2. 1 Opérations sur les matrices
1.1 Définition d’une matrice
On se donne deux entiers naturels non nuls n et p. La définition la plus propre d’une matrice à n lignes et p colonnes à
coefficients dans K est : « une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est une application de J1, nK × J1, pK
dans K ou encore une famille d’éléments de K indexée par J1, nK × J1, pK ». Dans la pratique, une matrice est écrite sous
une des formes suivantes (la notation avec des parenthèses étant de loin la plus utilisée) :
A = (ai,j)16i6n, 16j6p =
a1,1 . . . a1,j . . . a1,p
.
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ai,1 . . . ai,j . . . ai,p
.
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an,1 . . . an,j . . . an,p
=
a1,1 . . . a1,j . . . a1,p
.
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ai,1 . . . ai,j . . . ai,p
.
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an,1 . . . an,j . . . an,p
.
Nous adopterons donc la définition suivante :
Définition 1. Pour n et p entiers naturels non nuls donnés, une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans
K est un tableau à n lignes et p colonnes et donc à np cases, chaque case contenant un élément de K. Dans ce cas, la
matrice est de format (n, p). L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K se note Mn,p(K).
Si de plus n = p, la matrice est dite carrée. Dans ce cas, n est le format ou la taille de la matrice carrée. L’ensemble
des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans K se note Mn(K).
Une matrice à n lignes et 1 colonne s’appelle une matrice colonne. L’ensemble des matrices colonnes à n lignes se
note Mn,1(K).
Une matrice à 1 ligne et p colonnes s’appelle une matrice ligne. L’ensemble des matrices lignes à p colonnes se note
M1,p(K).
Par exemple, la matrice
2 −1 4
5 0 1
est une matrice à deux lignes et trois colonnes,
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
est une matrice
carrée de format 2,
x1
x2
est une matrice colonne et x1 x2
est une matrice ligne.
Un élément de M1,1(K) est une matrice n’ayant qu’un seul coefficient ; A = (a1,1). On a souvent l’habitude d’identifier une
telle matrice et son unique coefficient : (a1,1) = a1,1 ou encore M1,1(K) = K de même que dans les chapitres précédents,
on a identifié K1
et K.
Si A =
a1,1 . . . a1,j . . . a1,p
.
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ai,1 . . . ai,j . . . ai,p
.
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an,1 . . . an,j . . . an,p
, ai,j est le coefficient ligne i, colonne j, de A,
a1,j
.
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.
ai,j
.
.
.
an,j
est la j-ème colonne de
A souvent notée Cj et ai,1 . . . ai,j . . . ai,p
est la i-ème ligne de A souvent notée Li.
Quand A est une matrice carrée, la diagonale principale de la matrice A est la diagonale formée par les coefficients
ai,i, 1 6 i 6 n. Elle démarre en haut à gauche et finit en bas à droite. Les coefficients de cette diagonale principale sont
souvent appelés coefficients diagonaux.
1.2 L’espace vectoriel (Mn,p(K), +, .)
1.2.1 Définition l’addition et de la loi externe
On définit sur Mn,p(K) une addition et une loi externe de domaine K.
• Pour tout (A, B) =
(ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK , (bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK
∈ (Mn,p(K))
2
, on pose
A + B = (ai,j + bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK .
• Pour tout A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K) et tout λ ∈ K, on pose
λA = (λai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK .
On vérifie facilement que :
c
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3. Théorème 1. (Mn,p(K), +, .) est un K-espace vectoriel.
L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle notée 0 ou 0n,p. C’est la matrice rectangulaire de format (n, p)
dont tous les coefficients sont nuls.
L’opposé d’une matrice A = (ai,j)(i,j)∈J×J1,pK est la matrice −A = (−ai,j)(i,j)∈J×J1,pK.
1.2.2 Etude de la base canonique de Mn,p(K). Matrices élémentaires
Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, on note Ei,j la matrice rectangulaire de format
(n, p) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient ligne i, colonne j, qui est égal à 1. Les matrices Ei,j sont les
matrices élémentaires.
Pour (k, l) ∈ J1, nK × J1, pK, le coefficient ligne k, colonne l de la matrice Ei,j, est donc égal à 1 si et seulement si k = i et
l = j et est égal à 0 sinon. Le coefficient ligne k, colonne l, est donc δk,i × δl,j. Ainsi,
∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, Ei,j =
0 . . . 0 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0 . . . 0 1 0 . . . 0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 . . . 0
j
i
ou aussi
∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, Ei,j = (δk,i × δl,j)(k,l)∈J1,nK×J1,pK .
Si A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une matrice donnée, alors
A =
X
(i,j)∈J1,nK×J1,pK
ai,jEi,j.
Ceci montre que la famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est génératrice de Mn,p(K). D’autre part, si (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Knp
X
(i,j)∈J1,nK×J1,pK
ai,jEi,j = 0 ⇒ (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK = (0)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ⇒ ∀(i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, ai,j = 0.
Donc, la famille de matrices (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est libre. Finalement, la famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base de
Mn,p(K) : c’est la base canonique de l’espace vectoriel (Mn,p(K), +, .).
On en déduit que
Théorème 2. dim (Mn,p(K)) = np.
La famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base de Mn,p(K)
L’égalité (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK =
X
(i,j)∈J1,nK×J1,pK
ai,jEi,j est fréquemment utilisée. Par exemple,
1 0 3
−1 1 0
= E1,1 + 3E1,3 − E2,1 + E2,2.
1.3 Produit de deux matrices
1.3.1 Définition du produit matriciel
On définit maintenant le produit de deux matrices. Pour des raisons qui apparaitront ultérieurement, on ne multipliera
pas tout type de matrice par tout type de matrice. On effectuera un produit A × B uniquement dans le cas où le nombre
de colonnes de A est le nombre de lignes de B. Plus précisément, si n, p et q sont trois entiers naturels non nuls et si
A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K) et B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK ∈ Mp,q(K), la matrice A × B est la matrice de format
(n, q) dont le coefficient ligne i, colonne j, où (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK, est
p
X
k=1
ai,kbk,j. Ainsi,
c
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4. ∀
(ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK , (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK
∈ Mn,p(K) × Mp,q(K), A × B =
p
X
k=1
ai,kbk,j
!
(i,j)∈J1,nK×J1,qK
.
On note que dans le cas général, × n’est pas une loi interne car les matrices que l’on multiplie n’appartiennent pas au
même ensemble.
Ainsi, par exemple, le coefficient ligne 1 colonne 2, de la matrice AB est a1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a1,3b3,2 + . . . + a1,pbp,2.
On dit que l’on a effectué le produit scalaire usuel du p-uplet (a1,1, a1,2, a1,3, . . . , a1,p) (constitué des coefficients de
la ligne 1) par le p-uplet (b1,2, b2,2, b3,2 . . . , bp,2) (constitué des coefficients de la colonne 2). Plus généralement, pour
obtenir le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A×B, on effectue le produit de la ligne i par la colonne j :
p
X
k=1
ai,kbk,j.
Exemple. Si A =
1 5 −2
1 3 2
et B =
3 −1 1
−5 −2 1
2 3 2
, la matrice A est de format (2, 3) et la matrice B est de
format (3, 3). Donc, la matrice A × B est définie et de format (2, 3). De plus, son coefficient ligne 2, colonne 1, est obtenu
de la façon suivante :
1 5 −2
1 3 2
×
3 −1 1
−5 −2 1
2 3 2
=
• • •
1 × 3 + 3 × (−5) + 2 × 2 • •
=
• • •
−8 • •
,
et plus généralement,
1 5 −2
1 3 2
×
3 −1 1
−5 −2 1
2 3 2
=
−26 −17 2
−8 −1 8
.
❏
On donne maintenant les premières règles de calcul avec des produits de matrices.
Théorème 3. Soient n, p, q, r quatre entiers naturels non nuls.
∀(A, B, C) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K) × Mq,r(K), (AB)C = A(BC).
Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK, B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK et C = (ci,j)(i,j)∈J1,qK×J1,rK.
A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K). Donc le produit A×B est défini et est élément de Mn,q(K). Ensuite, A×B ∈ Mn,q(K) et C ∈ Mq,r(K).
Donc, le produit (AB) × C est défini et est élément de Mn,r(K). De même, le produit A × (BC) est défini et est élément de Mn,r(K).
Pour (i, k) ∈ J1, nK × J1, qK, le coefficient ligne i, colonne k, de la matrice A × B est
p
X
l=1
ai,lbl,k et donc, pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, rK,
le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice (A × B) × C est
q
X
k=1
p
X
l=1
ai,lbl,k
!
ck,j =
X
16l6p
16k6q
ai,lbl,kck,j =
X
16k′
6p
16l′
6q
ai,k′ bk′,l′ cl′,j.
De même, pour (i, j) ∈ J1, nK × J1, rK, le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A × (B × C) est
p
X
k=1
ai,k
p
X
l=1
bk,lcl,j
!
=
X
16k6p
16l6q
ai,kbk,lcl,j.
Les matrices (A × B) × C et A × (B × C) ont les mêmes coefficients. Ces matrices sont donc égales.
❏
On note In la matrice carrée de format n dont le coefficient ligne i, colonne j, 1 6 i, j 6 n, vaut 1 si i = j et 0 sinon. Donc,
In = (δi,j)16i,j6n =
1 0 . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 1
.
c
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5. Théorème 4. Soient n et p deux entiers naturels non nuls.
∀A ∈ Mn,p(K), In × A = A et A × Ip = A.
Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.
In ∈ Mn,n(K) et A ∈ Mn,p(K). Donc, le produit In × A est défini et est élément de Mn,p(K).
Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice In × A est
n
X
k=1
δi,kak,j = ai,j (obtenu pour k = i).
Donc, In × A = A. De même, A × Ip = A.
❏
Théorème 5. ∀(A, B, C) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K) × Mp,q(K), A × (B + C) = AB + AC et ∀(B, C, A) ∈ Mn,p(K) ×
Mn,p(K) × Mp,q(K), (B + C) × A = BA + CA.
Démonstration . On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK, B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK et C = (ci,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK.
A est dans Mn,p(K) et B, C et B + C sont dans Mp,q(K). Donc, les produit A × B, A × C et A × (B + C) sont définis et sont éléments
de Mn,q(K).
Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne i, colonne j, de A × B est
p
X
k=1
ai,kbk,j et le coefficient ligne i, colonne j, de A × C est
p
X
k=1
ai,kck,j puis le coefficient ligne i, colonne j, de A × B + A × C est
p
X
k=1
ai,kbk,j +
p
X
k=1
ai,kck,j =
p
X
k=1
(ai,kbk,j + ai,kck,j) =
p
X
k=1
ai,k (bk,j + ck,j) ,
qui est le coefficient ligne i, colonne j, de A × (B + C). Donc, A × (B + C) = A × B + A × C.
L’autre égalité se démontre de la même manière.
❏
Théorème 6. ∀λ ∈ K, ∀(A, B) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K), (λA) × B = A × (λB) = λAB.
Démonstration . Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice (λA) × B est
n
X
k=1
(λai,k) bk,j =
λ
n
X
k=1
ai,kbk,j et celui de la matrice A × (λB) est
n
X
k=1
ai,k (λbk,j) = λ
n
X
k=1
ai,kbk,j. Dans les deux cas, on a trouvé le coefficient ligne i,
colonne j, de la matrice λAB
❏
Exercice 1. Pour θ ∈ R, on pose M(θ) =
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
.
1) Calculer M(θ) × M(θ′
) pour tout (θ, θ′
) ∈ R2
.
2) Calculer (M(θ))n
pour tout θ ∈ R et pour tout n ∈ N∗
(où (M(θ))n
=
n facteurs
z }| {
M(θ) × . . . × M(θ)).
Solution 1.
1) Soit (θ, θ′
) ∈ R2
.
M(θ) × M(θ′
) =
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
cos(θ′
) − sin(θ′
)
sin(θ′
) cos(θ′
)
=
cos(θ) cos(θ′
) − sin(θ) sin(θ′
) − sin(θ) cos(θ′
) − cos(θ) sin(θ′
)
sin(θ) cos(θ′
) + cos(θ) sin(θ′
) cos(θ) cos(θ′
) − sin(θ) sin(θ′
)
=
cos(θ + θ′
) − sin(θ + θ′
)
sin(θ + θ′
) cos(θ + θ′
)
= M(θ + θ′
).
c
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6. 2) Soit θ ∈ R. Montrons par récurrence que ∀n ∈ N∗
, (M(θ))n
= M(nθ).
• L’égalité est vraie pour n = 1.
• Soit n 1. Supposons que (M(θ))n
= M(nθ). Alors,
(M(θ))n+1
= (M(θ))n
× M(θ)
= M(nθ) × M(θ) (par hypothèse de récurrence)
= M(nθ + θ) (d’après 1))
= M((n + 1)θ).
Le résultat est démontré par récurrence.
1.3.2 Produit de deux matrices élémentaires
Théorème 7. ∀(i, j, k, l) ∈ J1, nK × J1, pK × J1, pK × J1, qK, Ei,j × Ek,l = δj,kEi,l.
Démonstration . Soit (u, v) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne u, colonne v, de Ei,j × Ek,l est
p
X
w=1
(δu,i δw,j)
| {z }
coef. ligne u,
colonne w,
de Ei,j
(δw,k δv,l)
| {z }
coef. ligne w,
colonne v,
de Ek,l
= δu,iδv,l
n
X
w=1
δw,jδw,k
= δj,kδu,iδv,l (obtenu pour w = j).
Ce coefficient est aussi celui de δj,kEi,l ce qui démontre le résultat.
❏
Ainsi, dans le cas de matrices carrées de format n 2, E1,2 × E2,1 = E1,1 et E2,1 × E1,2 = E2,2. En particulier,
E1,2 × E2,1 6= E2,1 × E1,2. On note aussi que E1,2 × E1,1 = 0 et pourtant E2,1 6= 0 et E1,1 6= 0.
Exercice 2. Soit N =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
. Calculer N2
et N3
.
Solution 2. N = E1,2 + E2,3. Ensuite,
N2
= (E1,2 + E2,3) (E1,2 + E2,3) = E1,2E1,2 + E1,2E2,3 + E2,3E1,2 + E2,3E2,3 = E1,3
=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
,
puis
N3
= N × N2
= (E1,2 + E2,3) E1,3
= 0.
➱ Commentaire .
⋄ Quand des matrices contiennent beaucoup de 0, on utilise fréquemment l’écriture de cette matrice à l’aide des matrices élémentaires
pour effectuer des produits.
⋄ La matrice N de l’exercice 2 vérifie N 6= 0, N2
6= 0 et N3
= 0. Une telle matrice est dite nilpotente d’indice 3. De manière
générale, si A ∈ Mn(K), A est nilpotente si et seulement si il existe un entier naturel non nul k tel que Ak
= 0. L’indice de
nilpotence de A est alors p = Min
k ∈ N∗
, Ak
= 0
. Il existe une et une seule matrice nilpotente d’indice 1 à savoir la matrice
nulle 0.
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7. 1.3.3 L’anneau (Mn(K), +, ×)
Le produit de deux matrices carrées de format n est défini et est une matrice carrée de format n. Donc, × est une loi
interne sur Mn(K). Les théorèmes 1, 3, 4 et 5, ainsi que les calculs précédant l’exercice 2, fournissent immédiatement
Théorème 8. Pour tout n 1, (Mn(K), +, ×) est un anneau. Cet anneau est non commutatif pour n 2.
On note que l’élément neutre de × est In. D’autre part, comme dans tout anneau, l’élément neutre pour +, à savoir la
matrice nulle 0n, est absorbant pour la multiplication : ∀A ∈ Mn(K), A × 0n = 0n × A = 0n.
Comme dans tout anneau, on peut définir les exposants : pour A ∈ Mn(K) et p ∈ N∗
, on pose Ap
= A × . . . × A
| {z }
p facteurs
et on
adopte la convention A0
= In (convention douteuse faisant parfois commettre quelques erreurs, la notation A0
n’étant
réellement cohérente que quand A est inversible pour ×).
On a alors les règles de calculs usuelles sur les exposants :
- ∀A ∈ Mn(K), ∀(p, q) ∈ N2
, Ap
× Aq
= Ap+q
et (Ap
)
q
= Apq
.
- ∀(A, B) ∈ (Mn(K))
2
, ∀p ∈ N, si A et B commutent, alors (AB)p
= Ap
Bp
.
Comme dans tout anneau, on a aussi la formule du binôme de Newton et l’identité Ap
− Bp
= . . . :
Théorème 10. Soit n 1.
• (formule du binôme de Newton) ∀(A, B) ∈ (Mn(K))
2
, si A et B commutent
∀p ∈ N, (A + B)p
=
p
X
k=0
p
p
Ak
Bp−k
.
• ∀(A, B) ∈ (Mn(K))
2
, si A et B commutent
∀p ∈ N∗
, Ap
− Bp
= (A − B)
p−1
X
k=0
Ak
Bp−1−k
.
Si A et B ne commutent pas, on a par exemple (A + B)2
= (A + B)(A + B) = A2
+ AB + BA + B2
et pas mieux.
Il est donc temps de s’intéresser aux matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées :
Exercice 3. Soit n 2. Déterminer les matrices A ∈ Mn(K) telles que ∀B ∈ Mn(K), AB = BA.
Solution 3. Posons A = (ai,j)16i,j6n. Si A est solution du problème, alors ∀(i, j) ∈ J1, nK2
, AEi,j = Ei,jA. Or,
AEi,j =
X
16k,l6n
ak,lEk,lEi,j =
n
X
k=1
ak,iEk,j
= a1,iE1,j + a2,iE2,j + . . . + ai,iEi,j + . . . + an,iEn,j,
et
Ei,jA =
X
16k,l6n
ak,lEi,jEk,l =
n
X
l=1
aj,lEi,l
= aj,1Ei,1 + aj,2Ei,2 + . . . + aj,jEi,j + . . . + aj,nEi,n.
Puisque la famille (Ei,j)16i,j6n est libre, on peut identifier les coefficients et on obtient : pour tout (i, k) ∈ J1, nK2
tel que
i 6= k, ai,k = 0 et pour tout (i, j) ∈ J1, nK2
, ai,i = aj,j.
Ainsi, si A commutent avec toutes les matrices, alors A est nécessairement de la forme A =
λ 0 . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
... 0
0 . . . 0 λ
= λIn
où λ ∈ K. Réciproquement, pour λ ∈ K et B ∈ Mn(K), B × (λIn) = λB = (λIn) × B.
Les matrices qui commutent avec toutes les matrices carrées sont les matrices de la forme λIn, λ ∈ K.
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8. Exercice 4.
1) Soit N =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
. Calculer Nk
pour k ∈ N.
2) Soit A =
2 −1 0
0 2 −1
0 0 2
. Calculer An
pour n ∈ N.
Solution 4.
1) N0
= I3 et N1
= N. On a vu dans l’exercice no
2 que N2
= E1,3 puis N3
= 0. On en déduit que pour k 3 (de sorte
que k − 3 0), Nk
= Nk−3
× N3
= Nk−3
× 0 = 0.
2) A0
= I3 et A1
= A. Soit n 2. A = 2I3 − N et puisque les matrices A et −2In commutent, la formule du binôme de
Newton permet d’écrire
An
= (2I3 − N)
n
=
n
X
k=0
n
k
(2I3)
n−k
(−N)
k
=
n
0
(2I3)
n
(−N)
0
+
n
1
(2I3)
n−1
(−N)
1
+
n
2
(2I3)
n−2
(−N)
2
(car pour k 3, Nk
= 0)
= 2n
I3 − n2n−1
N + n(n − 1)2n−3
N2
=
2n
−n2n−1
n(n − 1)2n−3
0 2n
−n2n−1
0 0 2n
,
ce qui reste vrai pour n = 0 ou n = 1. Donc,
∀n ∈ N, An
=
2n
−n2n−1
n(n − 1)2n−3
0 2n
−n2n−1
0 0 2n
.
➱ Commentaire . Quand on écrit An
=
n
X
k=0
n
k
!
(2I3)n−k
(−N)k
, on remplace le problème du calcul des puissances successives
de A par le calcul des puissances successives de la matrice 2I3 et de la matrice −N. Si l’on n’était pas capable de calculer ces
puissances, utiliser le binôme ne présente plus aucun intérêt. Cette mentalité est la même dans l’exercice suivant.
Exercice 5.
1) Soit J =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
. Calculer J2
. En déduire Jk
pour k ∈ N∗
.
2) Soit A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
. Calculer An
pour n ∈ N.
Solution 5.
1) J2
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
3 3 3
3 3 3
3 3 3
= 3J. Montrons alors par récurrence que pour tout k ∈ N∗
,
Jk
= 3k−1
J.
• 31−1
J = J = J1
et donc, la formule est vraie quand k = 1.
• Soit k 1. Si Jk
= 3k−1
J, alors
Jk+1
= Jk
× J = 3k−1
J × J = 3k−1
× 3J = 3(k+1)−1
J.
On a montré par récurrence que ∀k ∈ N∗
, Jk
= 3k−1
J. D’autre part, J0
= I3 (et en particulier J0
6= 30−1
J).
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Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. 8 http ://www.maths-france.fr
9. 2) A0
= I3. Soit n 1. Puisque A = I3 + J et que les matrices I3 et J commutent, la formule du binôme de Newton
fournit
An
= (I3 + J)
n
=
n
X
k=0
n
k
In−k
3 Jk
= I3 +
n
X
k=1
n
k
In−k
3 Jk
= I3 +
n
X
k=1
n
k
3k−1
J = I3 +
n
X
k=1
n
k
3k−1
!
J
= I3 +
1
3
n
X
k=1
n
k
3k
!
J = I3 +
1
3
n
X
k=0
n
k
3k
1n−k
− 1
!
J
= I3 +
1
3
((3 + 1)n
− 1) J = I3 +
4n
− 1
3
J
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+
4n
− 1
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
1
3
4n
+ 2 4n
− 1 4n
− 1
4n
− 1 4n
+ 2 4n
− 1
4n
− 1 4n
− 1 4n
+ 2
,
ce qui reste vrai quand n = 0. Donc,
∀n ∈ N, An
=
1
3
4n
+ 2 4n
− 1 4n
− 1
4n
− 1 4n
+ 2 4n
− 1
4n
− 1 4n
− 1 4n
+ 2
.
1.3.4 Matrices carrées inversibles. Le groupe (GLn(K, ×)
On rappelle qu’une matrice carrée A ∈ Mn(K) est inversible pour × si et seulement si il existe une matrice carrée
B ∈ Mn(K) telle que A × B = B × A = In. Dans ce cas, la matrice B est unique et se note A−1
. On note GLn(K)
l’ensemble des matrices carrées inversibles pour ×. GLn(K) est l’ensemble des inversibles de l’anneau (Mn(K), +, .) et à
ce titre :
Théorème 11. Soit n 1. (GLn(K), ×) est un groupe.
En particulier, In ∈ GLn(K), si (A, B) ∈ (GLn(K))
2
, alors AB ∈ GLn(K) (et (AB)
−1
= B−1
A−1
) et si A ∈ GLn(K), alors
A−1
∈ GLn(K) (et A−1
−1
= A).
Théorème 12. Soit (n, p) ∈ (N∗
)
2
.
∀A ∈ GLn(K), ∀(B, C) (Mn,p(K)
2
, AB = AC ⇒ B = C.
∀A ∈ GLn(K), ∀(B, C) (Mp,n(K))
2
, BA = CA ⇒ B = C.
Démonstration . Soient A ∈ GLn(K) et (B, C) (Mn,p(K)2
.
AB = AC ⇒ A−1
AB = A−1
AC ⇒ InB = InC ⇒ B = C.
Et de même pour l’autre implication.
❏
Si A ∈ GLn(K), on peut définir Ap
pour p ∈ Z : ∀p ∈ Z, Ap
=
p facteurs
z }| {
A × . . . × A si p 1
In si p = 0
A−1
× . . . × A−1
| {z }
−p facteurs
si p 6 −1
. Avec cette définition, on
a les règles de calcul usuelles sur les exposants :
• ∀A ∈ GLn(K), ∀(p, q) ∈ Z2
, Ap
× Aq
= Ap+q
et (Ap
)
q
= Apq
.
• ∀(A, B) ∈ (GLn(K))
2
, ∀p ∈ Z, si A et B commutent, (AB)p
= Ap
Bp
.
Au fur et à mesure du cours, nous rencontrerons de nombreuses méthodes, à utiliser en fonction des circonstances, pour
montrer qu’une certaine matrice carrée est inversible et déterminer son inverse. La première méthode est fournie par la
définition de l’inversibilité et de l’inverse. Cette méthode est mise en œuvre dans les deux exercices qui suivent.
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10. Exercice 6. Soient A =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
et N =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
.
1) Exprimer A en fonction de I3 et N.
2) Calculer N3
.
3) En déduire que A ∈ GL3(R) et préciser A−1
.
Solution 6.
1) A =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
0 1 0
0 0 1
0 0 0
= I3 − N.
2) On a vu dans l’exercice 2 que N3
= 0.
3) Puisque les matrices I3 et N commutent, (I3 − N) I3 + N + N2
= I3 −N3
= I3 et de même, I3 + N + N2
(I3 − N) =
I3 − N3
= I3. Donc, A est inversible et A−1
= I3 + N + N2
. Plus précisément,
A−1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+
0 1 0
0 0 1
0 0 0
+
0 0 1
0 0 0
0 0 0
=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
.
Exercice 7. Soient A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
et J =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
.
1) Exprimer A en fonction de I3 et J.
2) Calculer J2
. En déduire une égalité du type αA2
+ βA + γI2 où α, β et γ sont trois réels, α étant non nul.
3) En déduire que A ∈ GL3(R) et préciser A−1
.
Solution 7.
1) A = I3 + J.
2) J2
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=
3 3 3
3 3 3
3 3 3
= 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
= 3J, puis
J2
= 3J ⇒ (A − I3)
2
= 3 (A − I3) ⇒ A2
− 5A + 4I3 = 0.
3) A2
− 5A + 4I3 = 0 ⇒ I3 =
1
4
−A2
+ 5A
. Donc,
A ×
1
4
(−A + 5I3) = I3 =
1
4
(−A + 5I3) × A.
Par suite, A ∈ GL3(R) et
A−1
=
1
4
(−A + 5I3) =
1
4
3 −1 −1
−1 3 −1
−1 −1 3
.
1.3.5 Les pièges de la multiplication des matrices
Les pièges du produit des matrices sont les mêmes que les mêmes que les pièges de la composition des applications linéaires.
• Il est possible que A × B 6= B × A. Par exemple, E1,1 × E1,2 = E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.
• Il est possible que A 6= 0, B 6= 0 et A × B = 0 ou encore un produit de facteurs peut être nul sans qu’aucun de ses
facteurs ne soit nul. Par exemple, E1,1 6= 0, E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.
• Il est possible que A × B = 0 et B × A 6= 0. Par exemple, E1,1 × E1,2 6= 0 et E1,2 × E1,1 = 0.
• Il est possible que A × B = A × C et B 6= C. Par exemple, E1,2 × E1,1 = 0 × E1,1 mais E1,2 6= 0.
c
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11. • Il est possible que (A × B)2
6= A2
× B2
. Par exemple, (E1,2E2,1)2
= (E1,1)2
= E1,1 mais E2
1,2E2
2,1 = 0.
• Il est possible que (A + B)
2
6= A2
+ 2AB + B2
.
Par exemple, (E1,2 + E2,1)
2
= (E1,2 + E2,1) (E1,2 + E2,1) = E2
1,2 + E1,2E2,1 + E2,1E1,2 + E2
2,1 = E1,1 + E2,2 mais
E2
1,2 + 2E1,2E2,1 + E2
2,1 = 2E1,1.
1.4 Transposée d’une matrice
Définition 2. Soit (n, p) ∈ (N∗
)2
. Soit A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(K).
La transposée de la matrice A, notée t
A, est la matrice élément de Mp,n(K) dont le coefficient ligne i, colonne j,
(i, j) ∈ J1, pK × J1, nK, est le coefficient de la matrice A situé ligne j, colonne i ou encore
t
A = a′
i,j
(i,j)∈J1,pK×J1,nK
où ∀(i, j) ∈ J1, pK × J1, nK, a′
i,j = aj,i.
Par exemple, si A =
1 3
−1 5
4 0
, alors t
A =
1 −1 4
3 5 0
.
Les propriétés usuelles de calcul de la transposition sont :
Théorème 13.
1) ∀A ∈ Mn,p(K), t
(t
A) = A.
2) ∀(A, B) ∈ (Mn,p(K))2
, ∀(λ, µ) ∈ K2
, t
(λA + µB) = λt
A + µt
B.
3) ∀(A, B) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K), t
(AB) = t
Bt
A.
4) ∀A ∈ Mn(K), t
A ∈ GLn(K) ⇔ A ∈ GLn(K). De plus, en cas d’inversibilité, (t
A)
−1
= t
A−1
.
Démonstration .
1) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK. t
A est la matrice de format (p, n) dont le coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, pK × J1, nK,
est a′
i,j = aj,i. t t
A
est la matrice de format (n, p) dont coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, est a′′
i,j = a′
j,i = ai,j.
Donc, t t
A
= A.
2) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK et B = (bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.
Soit (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice t
(λA + µB) est λaj,i + µbj,i et est aussi le coefficient ligne
i, colonne j, de la matrice λt
A + µt
B. Donc, t
(λA + µB) = λt
A + µt
B.
3) On pose A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK et B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK puis t
A = a′
i,j
(i,j)∈J1,pK×J1,nK
et t
B = b′
i,j
(i,j)∈J1,qK×J1,pK
.
• AB est un élément de Mn,q(K) et donc t
(AB) est un élément de Mq,n(K). Soit (i, j) ∈ J1, qK × J1, nK. Le coefficient ligne i, colonne
j, de la matrice t
(AB) est encore le coefficient ligne j, colonne i, de la matrice AB c’est-à-dire
p
X
k=1
aj,kbk,i.
• t
A est un élément de Mp,n(K) et t
B est un élément de Mq,p(K). Donc, t
Bt
A est défini et est un élément de Mq,n(K). Soit
(i, j) ∈ J1, qK × J1, nK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice t
Bt
A est le « produit » de la ligne i de t
B par la colonne j de
t
A c’est-à-dire
p
X
k=1
b′
i,ka′
k,j =
p
X
k=1
aj,kbk,i.
Donc, t
(AB) = t
Bt
A.
4) Si A ∈ GLn(K), alors t
A × t
A−1
= t
A−1
A
= t
In = In et t
A−1
× t
A = t
AA−1
= t
In = In. Donc, t
A ∈ GLn(K) et
t
A
−1
= t
A−1
.
En appliquant ce résultat à la matrice t
A, on obtient : si t
A ∈ GLn(K), alors A = t t
A
∈ GLn(K).
❏
Exercice 6. Soient U =
u1
.
.
.
un
et V =
v1
.
.
.
vn
deux éléments de Mn,1(K). Calculer t
UV et Ut
V.
Solution 6.
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12. • t
U est une matrice de format (1, n) et V est une matrice de format (n, 1). Donc, t
UV est définie et de format (1, 1).
t
UV est le nombre :
t
UV = u1 . . . un
v1
.
.
.
vn
= u1v1 + . . . + unvn.
• U est une matrice de format (n, 1) et V est une matrice de format (1, n). Donc, Ut
V est définie et de format (n, n). Si
(i, j) ∈ J1, nK2
, le coefficient ligne i, colonne j, est uivj et donc
Ut
V =
u1
.
.
.
un
v1 . . . vn
=
u1v1 . . . u1vj . . . u1vn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
uiv1 . . . uivj . . . uivn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
unv1 . . . unvj . . . unvn
= (uivj)16i,j6n .
1.5 Quelques grands types de matrices
1.5.1 Matrices scalaires
Définition 3. Une matrice scalaire de format n ∈ N∗
est une matrice de la forme
λ 0 . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 λ
= λIn.
➱ Commentaire .
⋄ On a vu dans l’exercice 3, page 7, que les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées sont exactement les
matrices scalaires.
⋄ L’ensemble des matrices scalaires de format n est un sous-espace vectoriel de Mn(K) de dimension 1. Une base de ce sous-espace
est (In). L’espace des matrices scalaires étant de dimension 1, il est isomorphe à K1
= K l’espace des scalaires, un isomorphisme
étant λ 7→ λIn. Ceci motive la dénomination « matrices scalaires ».
1.5.2 Matrices diagonales
Définition 4. Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(K). A est une matrice diagonale si et seulement si ∀i 6= j, ai,j = 0.
Une matrice diagonale est donc une matrice de la forme : D =
λ1 0 . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 λn
où (λ1, . . . , λn) ∈ Kn
. Une telle
matrice se note D = diag (λ1, . . . , λn) = diag (λi)16i6n.
L’ensemble des matrices diagonales se note Dn(K).
Théorème 14. Dn(K) est un sous-espace de Mn(K) de dimension n. Une base de Dn(K) est (Ei,i)16i6n.
Démonstration . Pour tout (λ1, . . . , λn) ∈ Kn
, diag (λ1, . . . , λn) =
n
X
i=1
λiEi,i. Par suite, Dn(K) = Vect (Ei,i)16i6n et en
particulier, Dn(K) est un sous-espace de Mn(K).
De plus, la famille (Ei,i)16i6n est génératrice de Dn(K) et libre en tant que sous-famille d’une famille libre. Finalement, la famille
(Ei,i)16i6n est une base de Dn(K) et en particulier, dim (Dn(K)) = card
(Ei,i)16i6n
= n. ❏
On donne maintenant les règles de calcul sur les matrices diagonales. Elles sont remarquablement simples :
c
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13. Théorème 15.
1) ∀
(λi)16i6n , (µi)16i6n
∈ (Kn
)
2
, ∀(α, β) ∈ K2
, α diag (λi)16i6n + β diag (µi)16i6n = diag (αλi + βµi)16i6n.
2) a) ∀
(λi)16i6n , (µi)16i6n
∈ (Kn
)
2
, diag (λi)16i6n × diag (µi)16i6n = diag (λiµi)16i6n.
b) ∀ (λi)16i6n ∈ Kn
, ∀k ∈ N,
diag (λi)16i6n
k
= diag λk
i
16i6n
.
3) a) ∀ (λi)16i6n ∈ Kn
,
diag (λi)16i6n ∈ GLn(K) ⇔ ∀i ∈ J1, nK, λi 6= 0
et dans ce cas
diag (λi)16i6n
−1
= diag
1
λi
16i6n
.
b) Pour (λi)16i6n ∈ Kn
tel que pour tout i ∈ J1, nK, λi 6= 0, ∀k ∈ Z,
diag (λi)16i6n
k
= diag λk
i
16i6n
.
Démonstration .
1) Immédiat.
2) a) diag (λi)16i6n × diag (µi)16i6n =
n
X
i=1
λiEi,i
!
n
X
j=1
µjEj,j
=
X
16i,j6n
λiµjEi,iEj,j =
n
X
i=1
λiµiEi,i = diag (λiµi)16i6n.
b) Se déduit immédiatement du a) par récurrence sur k.
3) a) Si tous les λi, 1 6 i 6 n, sont non nuls, alors
diag (λi)16i6n × diag
1
λi
16i6n
= diag
λi ×
1
λi
16i6n
= diag (1)16i6n = In
et de même, diag
1
λi
16i6n
×diag (λi)16i6n = In. Dans ce cas, diag (λi)16i6n ∈ GLn(K) et
diag (λi)16i6n
−1
= diag
1
λi
16i6n
.
Si l’un des λi est nul, soit i0 ∈ J1, nK tel que λi0
= 0. Alors, pour toute matrice A ∈ Mn(K), la i0-ème colonne de la matrice
A × diag (λi)16i6n est nulle. En particulier, pour toute matrice A ∈ Mn(K), A × diag (λi)16i6n 6= In. Ceci montre que la matrice
diag (λi)16i6n n’est pas inversible.
b) Le résultat est acquis pour k 0 et si k 0,
diag (λi)16i6n
k
=
diag (λi)16i6n
−1
−k
diag
λ−1
i
16i6n
−k
= diag
λ−1
i
−k
16i6n
= diag
λk
i
16i6n
.
❏
1.5.3 Matrices triangulaires
Commençons par analyser différentes « régions » dans une matrice carrée. La diagonale principale est constituée des
coefficients ai,j tels que j = i.
Un coefficient ai,j situé strictement au-dessous cette diagonale a un numéro de colonne j strictement inférieur au numéro
de ligne i et un coefficient ai,j situé strictement au-dessus cette diagonale a un numéro de colonne j strictement supérieur
au numéro de ligne i. On peut résumer ceci avec le graphique :
...
... j i
i = j
j i
...
...
.
On peut maintenant donner la définition d’une matrice triangulaire :
c
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14. Définition 5. Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(K). A est une matrice triangulaire supérieure (resp. triangulaire
inférieure) si et seulement si ∀(i, j) ∈ J1, nK2
, (i j ⇒ ai,j = 0) (resp. (i j ⇒ ai,j = 0).
Une matrice triangulaire supérieure est donc une matrice de la forme : T =
a1,1 . . . . . . a1,n
0
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
0 . . . 0 an,n
et une matrice
triangulaire inférieure est une matrice de la forme : T =
a1,1 0 . . . 0
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
... 0
an,1 . . . . . . an,n
.
L’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) se note Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)).
On note que Tn,s(K) ∩ Tn,i(K) = Dn(K). On note aussi que la transposée d’une matrice triangulaire inférieure est une
matrice triangulaire supérieure et que la transposée d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire
inférieure
Théorème 16. Tn,s(K) et Tn,i(K) sont des sous-espaces de Mn(K) de dimension
n(n + 1)
2
. Une base de Tn,s(K)
(resp. Tn,i(K)) est (Ei,j)16i6j6n (resp. (Ei,j)16j6i6n).
Démonstration . Par la même démarche que pour Dn(K), il est clair que Tn,s(K) = Vect (Ei,j)16i6j6n (et donc Tn,s(K) est
un sous-espace de Mn(K)) puis que (Ei,j)16i6j6n est une base de Tn,s(K). Par suite,
dim (Tn,s(K)) = card
(Ei,j)16i6j6n
= n + (n − 1) + . . . + 2 + 1 =
n(n + 1)
2
.
❏
Exercice 7. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Solution 7. Soient A = (ai,j)16i,j6n et B = (bi,j)16i,j6n deux matrices triangulaires supérieures. Donc, pour tout
(i, j) ∈ J1, nK2
, si i j, alors ai,j = 0 et bi,j = 0.
Soit (i, j) ∈ J1, nK2
tel que i j. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice AB est
n
X
k=1
ai,kbk,j.
Dans cette somme, si k j, alors bk,j = 0 puis ai,kbk,j = 0 et si k 6 j, alors i j k et en particulier i k de sorte que
ai,k = 0 puis ai,kbk,j = 0. Finalement, tous les termes de la somme sont nuls puis la somme est nulle.
En résumé, pour tout (i, j) ∈ J1, nK2
tel que i j, on a
n
X
k=1
ai,kbk,j = 0. Ceci montre que la matrice AB est triangulaire
supérieure.
1.5.4 Matrices symétriques, matrices antisymétriques
Définition 6. Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(K).
A est une matrice symétrique ⇔ t
A = A ⇔ ∀(i, j) ∈ J1, nK2
, aj,i = ai,j.
A est une matrice anti-symétrique ⇔ t
A = −A ⇔ ∀(i, j) ∈ J1, nK2
, aj,i = −ai,j.
L’ensemble des matrices symétriques se note Sn(K) et l’ensemble des matrices anti-symétriques se note An(K).
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15. Théorème 17.
• Sn(K) et An(K) sont des sous-espaces de Mn(K).
• Mn(K) = Sn(K)⊕An(K). De plus, la décomposistion d’un élément A de Mn(K) relativement à cette décomposition
de Mn(K) est :
A =
1
2
A + t
A
+
1
2
A − t
A
.
• dim (Sn(K)) =
n(n + 1)
2
et dim (An(K)) =
n(n − 1)
2
.
Démonstration . Soit ϕ : Mn(K) → Mn(K)
A 7→ t
A
.
- ϕ ∈ L (Mn(K)) et ϕ2
= IdMn(K) d’après le théorème 13, page 11.
- ϕ est donc une symétrie et on sait que Mn(K) = Ker ϕ − IdMn(K)
⊕ Ker ϕ + IdMn(K)
. Maintenant, pour A ∈ Mn(K),
A ∈ Ker ϕ − IdMn(K)
⇔ ϕ(A) − A = 0 ⇔ t
A = A ⇔ A ∈ Sn(K),
et de même
A ∈ Ker ϕ + IdMn(K)
⇔ ϕ(A) + A = 0 ⇔ t
A = −A ⇔ A ∈ An(K).
Finalement, Sn(K) = Ker ϕ − IdMn(K)
est un sous-espace vectoriel de Mn(K et An(K) = Ker ϕ + IdMn(K)
. Enfin, Mn(K) =
Sn(K) ⊕ An(K).
- Soient A ∈ Mn(K) puis B =
1
2
A + t
A
et C =
1
2
A − t
A
.
• B + C = A.
• t
B =
1
2
t
A + A
= B et donc B ∈ Sn(K).
• t
C =
1
2
t
A − A
= −C et donc C ∈ An(K).
- Déterminons maintenant la dimension de Sn(K). Soit A = (ai,j)16i,j6n ∈ Sn(K).
A =
X
16i,j6n
ai,jEi,j =
n
X
i=1
ai,iEi,i +
X
16ij6n
ai,j (Ei,j + Ej,i) (∗).
Ceci montre que toute matrice symétrique est combinaison linéaire de la famille (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16ij6n. (∗) montre
aussi qu’une combinaison linéaire de la famille (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16ij6n est une matrice symétrique et finalement Sn(K) =
Vect
(Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16ij6n
. D’autre part, cette famille est libre car si
n
X
i=1
λi,iEi,i +
X
16ij6n
λi,j (Ei,j + Ej,i) = 0, alors
X
16i,j6n
λi,jEi,j où on a posé λi,j = λj,i pour i j, et donc tous les coefficients sont nuls.
Finalement, (Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16ij6n est une base de Sn(K). Parmi ces n2
couples (i, j) de J1, nK2
, il y en a n tels que i = j
et il y a autant de couples (i, j) tels que i j que de couples (i, j) tels que i j. Le nombre de couples (i, j) tels que i j est
n2
− n
2
=
n(n − 1)
2
puis
dim (Sn(K)) = card
(Ei,i)16i6n ∪ (Ei,j + Ej,i)16ij6n
= n +
n(n − 1)
2
=
n(n + 1)
2
.
❏
2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases
2.1 Définition de la matrice d’une famille de vecteurs dans une base (rappel)
On rappelle la définition de la matrice d’une famille finie (u1, . . . , up) de vecteurs d’un K-espace E de dimension finie
n ∈ N∗
, dans une base B = (e1, . . . , en) donnée de cette espace : MatB (u1, . . . , up) est l’élément de Mn,p(K) dont le
coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, est la i-ème coordonnée de uj dans la base B.
La j-ème colonne, 1 6 j 6 p, de Mn,p(K) est constituée des coordonnées du vecteur uj dans la base B et la i-ème ligne,
1 6 i 6 n, de Mn,p(K) est constituée des i-èmes coordonnées des vecteurs u1, . . . ,up dans la base B.
On peut condenser les notations. Pour i ∈ J1, nK, on pose :
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16. ∀x =
n
X
i=1
xiei ∈ E, e∗
i (x) = xi.
Pour chaque i, e∗
i est une forme linéaire sur E : les n formes linéaires e∗
1, . . . , e∗
n sont les formes coordonnées dans la
base (e1, . . . , en). Avec ces notations, on a alors
Mat(e1,...,en) (u1, . . . , up) = (e∗
i (uj))16i6n, 16j6p .
Par exemple, si (e1, e2, e3) est la base canonique de R3
et si u1 = e1 − 2e3 et u2 = e1 + 2e2 − e3, alors
Mat(e1,e2,e3) (u1, u2) =
1 1
0 2
−2 −1
.
Si P0 = 1, P1 = X − 1 et P2 = (X − 1)2
, alors la matrice de la famille (P0, P1, P2) dans la base 1, X, X2
de R2[X] est
Mat(X2,X,1) (P0, P1, P2) =
1 −1 1
0 1 −2
0 0 1
.
Exercice 8. Soient n un entier naturel puis a0, . . . , an, n + 1 nombres complexes deux à deux distincts. Pour
i ∈ J0, nK, on pose
Li =
Y
j6=i
X − aj
ai − aj
.
1) Montrer que la famille (Li)06i6n est une base de Cn[X] et déterminer les coordonnées d’un élément P ∈ Cn[X] dans
cette base.
2) Déterminer la matrice de la base (1, X, . . . , Xn
) dans la base (L0, . . . , Ln).
Solution 8.
1) Chaque Li, 0 6 i 6 n, est un polynôme de degré n et en particulier un élément de Cn[X]. Soit (λi)06i6n ∈ Cn+1
.
n
X
i=0
λiLi = 0 ⇒ ∀j ∈ J0, nK,
n
X
i=0
λiLi (aj) = 0 ⇒ ∀j ∈ J0, nK,
n
X
i=0
λiδi,j = 0 ⇒ ∀j ∈ J0, nK, λj = 0.
Ainsi, la famille (Li)06i6n est une famille libre de l’espace Cn[X]. De plus,
card (Li)06i6n = n + 1 = dim (Cn[X]) +∞.
On en déduit que la famille (Li)06i6n est une base de l’espace Cn[X].
Soit P ∈ Cn[X]. Il existe (λi)06i6n ∈ Cn+1
tel que P =
n
X
i=0
λiLi. Pour tout j ∈ J0, nK, P (aj) =
n
X
i=1
λiLi (aj) = λj. On a
montré que
∀P ∈ Cn[X], P =
n
X
i=0
P (ai) Li.
2) En particulier, pour j ∈ J0, nK,
Xj
=
n
X
i=0
aj
iLi.
La matrice de (1, X, . . . , Xn
) dans la base (L0, . . . , Ln) est donc
1 a0 a2
0 . . . an
0
1 a1 a2
1 . . . an
1
1 a2 a2
2 . . . an
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 an a2
n . . . an
n
.
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17. 2.2 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases
Définition 7. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p. Soient B = (e1, . . . , en)
une base de E et B′
= e′
1, . . . , e′
p
une base de F. Soit f ∈ L(E, F).
La matrice de f relativement aux bases B et B′
, notée MatB,B′ f, est la matrice de la famille f (B) = (f (e1) , . . . , f (en))
dans la base B′
= e′
1, . . . , e′
p
:
MatB,B′ f = MatB′ (f(B)) .
MatB,B′ f est un élément de Mp,n(K).
Aves les formes coordonnées dans la base B′
, on peut écrire :
MatB,B′ f = ei
′∗
(f (ej))
16i6p
16j6n
.
Exemple. On note B = (e1, e2, e3) et B′
= (e′
1, e′
2) les bases canoniques respectives de R3
et R2
. Soit f l’élément de
L R3
, R2
défini par f (e1) = 2e′
1 − e′
2, f (e2) = e′
2 et f (e3) = −e′
1 + e′
2. La matrice de f relativement aux bases B et B′
est :
MatB,B′ f =
2 0 −1
−1 1 1
.
C’est un élément de M2,3(R). ❏
2.3 Ecriture matricielle d’une application linéaire
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p respectivement. Soient B = (e1, . . . , en) une
base de E et B′
= e′
1, . . . , e′
p
une base de F.
Soit f ∈ L(E, F). Soit A = (ai,j)16i6p
16i6n
la matrice de f relativement aux bases B et B′
. Par définition de A, on a
∀j ∈ J1, nK, f (ej) =
p
X
i=1
ai,je′
i.
Soit alors x =
n
X
j=1
xjej un élément de E.
f(x) =
n
X
j=1
xjf (ej) =
n
X
j=1
xj
p
X
i=1
ai,je′
i
!
=
p
X
i=1
n
X
j=1
ai,jxje′
i
=
p
X
i=1
n
X
j=1
ai,jxj
e′
i.
Ainsi, si on pose f(x) =
p
X
i=1
yie′
i, alors, ∀i ∈ J1, pK, yi =
n
X
j=1
ai,jxj. Ces égalités peuvent encore s’écrire matriciellement
a1,1 . . . . . . a1,n
.
.
.
.
.
.
ap,1 . . . . . . ap,n
x1
.
.
.
.
.
.
xn
=
y1
.
.
.
yp
et on peut donc énoncer
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18. Théorème 18. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles n et p. Soient B = (e1, . . . , en)
une base de E et B′
= e′
1, . . . , e′
p
une base de F.
Soient f ∈ L(E, F) puis A = (ai,j)16i6p
16i6n
la matrice de f relativement aux bases B et B′
.
Soient x =
n
X
j=1
xjej ∈ E puis y = f(x) =
p
X
i=1
yie′
i. Soient X =
x1
.
.
.
xn
le vecteur colonne dont les composantes sont
les coordonnées de x dans la base B et Y =
y1
.
.
.
yp
le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de
y = f(x) dans la base B′
. Alors
Y = AX.
➱ Commentaire . Le plus long est effectivement de définir toutes les données.
Exemple. On reprend l’exemple du paragraphe 2.2. Soit f l’élément de R3
dans R2
de matrice A =
2 0 −1
−1 1 1
relativement aux bases canoniques de R3
et R2
. L’image par f du triplet u = (x, y, z) est obtenu par le calcul matriciel
suivant : en posant X =
x
y
z
,
AX =
2 0 −1
−1 1 1
x
y
z
=
2x − z
−x + y + z
,
ou encore f((x, y, z)) = (2x − z, −x + y + z). ❏
Une conséquence immédiate du théorème 18 est
Théorème 19. Soit (A, B) ∈ (Mn,p(K))
2
.
∀X ∈ (Mp,1(K))
2
AX = BX
⇒ A = B.
Démonstration . Soit f (resp. g) l’élément de L (Kp
, Kn
) de matrice A (resp. B) relativement aux bases canoniques de Kp
et Kn
.
∀X ∈ (Mp,1(K))2
AX = BX
⇒ (∀x ∈ Kp
, f(x) = g(x)) ⇒ f = g ⇒ A = B.
❏
2.4 Isomorphisme entre Mp,n(K) et L(E, F)
Si E est de dimension n ∈ N∗
et F est de dimension p ∈ N∗
, alors L(E, F) est de dimension np de même que Mp,n(K) (ou
aussi Mn,p(K)). On sait alors que ces deux espaces sont isomorphes. On va expliciter un isomorphisme.
Théorème 20. Soient E et F deux K-espaces de dimensions finies non nulles. Soient B une base de E et B′
une base
de F.
1) a) ∀(f, g) ∈ (L(E, F))2
, MatB,B′ (f + g) = MatB,B′ (f) + MatB,B′ (g).
b) ∀f ∈ L(E, F), MatB,B′ (λf) = λ MatB,B′ (f).
2) ∀(f, g) ∈ (L(E, F))2
, ∀(λ, µ) ∈ K2
, MatB,B′ (λf + µg) = λMatB,B′ (f) + µMatB,B′ (g).
Démonstration . Notons B = (e1, . . . , en) une base de E et (e′
1, . . . , e′
p) une base de F. Le coefficient line i, colonne j,
(i, j) ∈ J1, pK × J1, bK, de MatB,B′ (λf + µg) est la i-ème coordonnée du vecteur λf (ej) + µg (ej) de même que le coefficient ligne i,
colonne j de la matrice λMatB,B′ (f) + µMatB,B′ (g). Les deux matrices sont donc égales.
❏
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19. Théorème 21. Soient E et F deux K-espaces de dimensions finies non nulles notées respectivement n et p. Soient B
une base de E et B′
une base de F.
L’application L(E, F) → Mp,n(K)
f 7→ MatB,B′ (f)
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Démonstration . L’application ϕ est linéaire d’après le théorème précédent. Ensuite, si f est un élément de L(E, F) tel que
MatB,B′ (f) = 0, alors l’application linéaire f s’annule sur la base B et donc f = 0. Puisque dim (L(E, F)) = np = dim (Mp,n(K)) +∞,
on en déduit que ϕ est un isomorphisme.
❏
➱ Commentaire .
⋄ Une conséquence parmi d’autres du théorème 21 est le fait qu’une application linéaire est uniquement déterminée par la donnée
de sa matrice relativement à deux bases.
⋄ L’isomorphisme du théorème 21 n’est pas un isomorphisme canonique ou encore n’est pas un isomorphisme privilégié parmi tous
les isomorphismes car il dépend du choix de deux bases. Si on prend deux autres bases, on obtient un nouvel isomorphisme qui a le
même statut que le premier isomorphisme fourni.
2.5 Matrice d’une composée. Interprétation du produit de deux matrices
Théorème 22. Soient E, F et G trois K-espaces de dimensions finies non nulles notées respectivement n, p et q. Soient
B une base de E, B′
une base de F et B′′
une base de G. Soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
Alors, MatB,B′′ (g ◦ f) = MatB′,B′′ (g) × MatB,B′ (f).
Démonstration . Posons A = MatB,B′ (f), B = MatB′,B′′ (g) et C = MatB,B′′ (g ◦ f).
Soit x ∈ E. Soient X, Y et Z les vecteurs colonnes, éléments de Mn,1(K), Mp,1(K) et Mq,1(K) respectivement, dont les composantes
sont les coordonnées de x, f(x) et g(f(x)) dans les bases B, B′
et B′′
respectivement.
On a d’une part Z = CX et d’autre part Z = BY = BAX. Par suite, pour tout X de Mn,1(K), on a CX = BAX. D’après le théorème
19, on en déduit que C = BA.
❏
Théorème 23. Soit E un K-espace de dimension finie non nulle notée n. Soit B une base de E.
Alors, MatB (IdE) = In.
Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en). Pour j ∈ J1, nK, IdE (ej) = ej =
n
X
i=1
δi,jei. Donc, MatB (IdE) = (δi,j)16i,j6n = In.
❏
Théorème 24. Soient E et F deux K-espaces de même dimension finie non nulle notée n. Soient B une base de E et
B′
une base de F. Soit f ∈ L(E, F).
Alors, f est un isomorphisme si et seulement si MatB,B′ (f) est inversible. Dans ce cas,
MatB′,B f−1
= (MatB′,B (f))−1
.
Démonstration .
• Supposons MatB,B′ (f) = A inversible. Notons g l’élément de L(F, E) de matrice A−1
relativement aux bases B′
et B.
MatB (g ◦ f) = MatB′,B (g) × MatB,B′ (f) = A × A−1
= In,
et donc g ◦ f = IdE. De même,
MatB′ (f ◦ g) = MatB,B′ (f) × MatB′,B (g) = A × A−1
= In,
et donc f ◦ g = IdE′ . On en déduit que l’application linéaire f est bijective et donc, est un isomorphisme de E sur F.
• Supposons que f soit un isomorphisme de E sur F. Posons B = MatB′,B f−1
(et toujours A = MatB,B′ (f)).
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20. B × A = MatB′,B
f−1
× MatB,B′ (f) = MatB
f−1
◦ f
= MatB (IdE) = In,
et de même,
A × B = MatB,B′ (f) × MatB′,B
f−1
= MatB′
f ◦ f−1
= MatB (IdF) = In.
On en déduit que la matrice A est inversible et que A−1
= MatB′,B f−1
.
❏
Exercice 9. Soit A =
0
0
1
0
2
0
. . .
n − 1
0
n
0
0
1
1
2
1
n − 1
1
n
1
0 0
2
2
n − 1
2
n
2
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
...
n − 1
n − 1
n
n − 1
0 . . . . . . 0
n
n
∈ Mn+1(K).
Montrer que A ∈ GLn(R) et déterminer A−1
.
Solution 9. Soit f : Rn[X] → Rn[X]
P(X) 7→ P(X + 1)
. f est un endomorphisme de Kn[X]. Pour j ∈ J0, kK, la formule du binôme
de Newton fournit
f Xj
= (X + 1)j
=
j
X
i=0
j
i
Xj
.
Par suite, A est la matrice de l’endomorphisme f dans la base canonique B = (1, X, . . . , Xn
) de Rn[X].
Soit g : Rn[X] → Rn[X]
P(X) 7→ P(X − 1)
. On a g ◦ f = IdRn[X]. Donc, f ∈ GL (Rn[X]) (car dim (Rn[X]) +∞) et g = f−1
.
Mais alors, A ∈ GLn(K) et A−1
= MatB f−1
. Plus précisément,
A−1
=
0
0
−
1
0
2
0
. . . (−1)n−1
n − 1
0
(−1)n
n
0
0
1
1
−
2
1
(−1)n−2
n − 1
1
(−1)n−1
n
1
0 0
2
2
(−1)n−3
n − 1
2
(−1)n−2
n
2
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
...
n − 1
n − 1
−
n
n − 1
0 . . . . . . 0
n
n
.
Théorème 25. Soit A ∈ Mn(K).
1) A est inversible si et seulement si A est inversible à droite si et seulement si A est inversible à gauche.
2) A est inversible si et seulement si Ker(A) = {0} où Ker(A) = {X ∈ Mn,1(K)/ AX = 0}.
Démonstration . Soit f l’endomorphisme de Kn
de matrice A dans la base canonique de Kn
.
1) Si A est inversible à gauche, il existe B ∈ Mn(K) telle que B × A = In. Soit g l’endomorphisme de Kn
de matrice B dans la base
canonique de Kn
.
MatB(g ◦ f) = MatB(g) × MatB(f) = B × A = In
et donc g ◦ f = IdKn . Ainsi, f est inversible à gauche et donc inversible car dim (Kn
) +∞. Mais alors A ∈ GLn(K).
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21. 2) Puisque dim (Kn
) +∞,
A ∈ GLn(K) ⇔ f ∈ GL (Kn
) ⇔ Ker(f) = {0} ⇔ Ker(A) = {0}.
❏
Exercice 10. (Théorème de Hadamard). Soient n 2 puis A = (ai,j)16i,j6n ∈ Mn(C) telle que
∀i ∈ J1, nK, |ai,i|
X
j6=i
|ai,j| .
(A est dite « à diagonale strictement dominante »). Montrer que A ∈ GLn(C).
Solution 10. Montrons que Ker(A) = {0}. Soit X = (xi)16i6n ∈ Mn,1(K).
X ∈ Ker(A) ⇒ AX = 0 ⇒ ∀i ∈ J1, nK,
n
X
j=1
ai,jxj = 0 ⇒ ∀i ∈ J1, nK, ai,ixi = −
X
j6=i
ai,jxj
⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| =
33. ⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| 6
X
j6=i
|ai,j| |xj|
⇒ ∀i ∈ J1, nK, |ai,i| |xi| 6
X
j6=i
|ai,j|
× Max {|xj| , j ∈ J1, nK} .
Supposons de plus Ker(A) 6= {0}. Soit X un vecteur non nul de Ker(A). Soit i0 ∈ J1, nK tel que |xi0
| = Max {|xj| , j ∈ J1, nK}.
Puisque X 6= 0, |xi0
| 0.
D’après ce qui précède, |ai0,i0
| |xi0
| 6
X
j6=i0
|ai0,j|
|xi0
| puis |ai0,i0
| 6
X
j6=i0
|ai0,j|.
En résumé, Ker(A) 6= {0} ⇒ ∃i0 ∈ J1, nK/ |ai0,i0
| 6
X
j6=i0
|ai0,j|. Par contraposition,
∀i ∈ J1, nK, |ai,i|
X
j6=i
|ai,j|
⇒ Ker(A) = {0} ⇒ A ∈ GLn(C).
Théorème 26. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B une base de E. Soit f ∈ L(E).
1) ∀p ∈ N, MatB (fp
) = (MatBf)
p
.
2) Si de plus f ∈ GL(E), alors ∀p ∈ Z, MatB (fp
) = (MatBf)
p
.
Démonstration . 1) se démontre par récurrence grâce aux théorèmes 22 et 23. Si p 0, le théorème 24 fournit MatB (fp
) =
MatB f−P
−1
= MatB (f)−p
−1
= (MatB (f))p
.
❏
3 Changement de bases
3.1 Matrices de passage
Théorème 27. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B = (e1, . . . , en) une base de E. Soit
(u1, . . . , un) une famille de n vecteurs de E.
(u1, . . . , un) est une base de E si et seulement si MatB (u1, . . . , un) est inversible.
Démonstration . Posons A = MatB (u1, . . . , un). Soit f l’endomorphisme de E de matrice A dans la base B. Par définition
c
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34. de A, pour tout i ∈ J1, nK, f (ei) = ui et donc
(u1, . . . , un) base de E ⇔ f ∈ GL(E) ⇔ A ∈ GLn(K).
❏
Définition 8. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis B et B′
deux bases de E.
La matrice de passage de la base B à la base B′
, notée PB′
B , est la matrice de la base B′
dans la base B.
Un cas particulier du théorème 27 est
Théorème 28. Soit A ∈ Mn(K).
A est inversible si et seulement si la famille (C1, . . . , Cn) des colonnes de A est une base de Mn,1(K).
A est inversible si et seulement si la famille (L1, . . . , Ln) des lignes de A est une base de M1,n(K).
Démonstration . Si on note C1, . . . , Cn les colonnes de la matrice, A est aussi la matrice de la famille (C1, . . . , Cn) dans la
base canonique de Mn,1(K). Donc, A est inversible si et seulement si (C1, . . . , Cn) est une base de Mn,1(K).
On sait que A est inversible si et seulement si t
(A) est inversible ou encore A est inversible si et seulement si la famille des colonnes
de t
A est une base de Mn,1(K) ou enfin A est inversible si et seulement si la famille des lignes de A est une base de M1,n(K).
❏
3.2 La formule de changement de base
Soit E un K-espace de dimension finie non nulle n. Soient B = (e1, . . . , en) et B′
= (e′
1, . . . , e′
n) deux bases de E.
Soit x ∈ E. Soit X = (xi)16i6n (resp. X′
= (x′
i)16i6n) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de
x dans la base B (resp. la base B′
). Soit enfin P = (pi,j)16i,j6n la matrice de passage de la base B à la base B′
. Par
définition de P, pour tout j ∈ J1, nK, e′
j =
n
X
i=1
pi,jei. On en déduit que
x =
n
X
j=1
x′
je′
j =
n
X
j=1
x′
j
n
X
i=1
pi,jei
!
=
n
X
j=1
n
X
i=1
pi,jx′
jei
!
=
n
X
i=1
n
X
j=1
pi,jx′
jei
=
n
X
i=1
n
X
j=1
pi,jx′
j
ei
et donc
∀i ∈ J1, nK, xi =
n
X
j=1
pi,jx′
j.
Pour i ∈ J1, nK donné,
n
X
j=1
pi,jx′
j est le produit de la i-ème ligne de la matrice P par le vecteur colonne X′
et on a donc
montré que X = PX′
. On peut énoncer :
Théorème 29. (la formule de changement de base)
Soit E un K-espace de dimension finie non nulle n. Soient B et B′
deux bases de E. Soit P la matrice de passage de la
base B à la base B′
.
Soit x ∈ E. Soit X (resp. X′
) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées du vecteur x dans la base
B (resp. la base B′
). Alors,
X = PX′
.
➱ Commentaire . On doit noter que la formule X = PX′
expriment les anciennes coordonnées de x (c’est-à-dire les coor-
données de x dans la base initiale B) en fonction des nouvelles coordonnées de x (c’est-à-dire les coordonnées de x dans la
nouvelle base B′
).
Exemple. Notons B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3
. Posons u1 = (2, 0, 0) = 2e1, u2 = (−1, 1, 0) = −e1 + e2 et
u3 = (3, 1, −1) = 3e1 + e2 − e3. La matrice de la famille (u1, u2, u3) dans la base (e1, e2, e3) est
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35.
2 −1 3
0 1 1
0 0 −1
.
Au vu de cette matrice, la famille (u1, u2, u3) est de rang 3 et donc est une base B′
de R3
. La matrice ci-dessus est alors
PB′
B .
Soit v = (x, y, z) ∈ R3
. Les composantes x, y et z de ce triplet sont aussi ses coordonnées dans la base canonique de R3
(v = xe1 + ye2 + ze3). Si on note (x′
, y′
, z′
) les coordonnées de v dans la base (u1, u2, u3), les formules de changement de
bases fournissent :
x
y
z
=
2 −1 3
0 1 1
0 0 −1
x′
y′
z′
=
2x′
− y′
+ 3z′
y′
+ z′
−z′
.
❏
Exercice 11. Dans R2
, on considère la courbe C d’équation x2
− y2
= 2 dans le repère R = (O, e1, e2) = (O, B) où
e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1).
On pose e′
1 =
1
√
2
(1, −1) et e′
2 =
1
√
2
(1, 1).
1) Montrer que (e′
1, e′
2) est une base B′
de R2
et préciser la matrice de passage de B à B′
.
2) Ecrire les formules de changement de base (et donc de changement de repère).
3) Déterminer une équation de la courbe C dans le repère R′
= (O, e′
1, e′
2). Identifier la courbe C et la construire.
Solution 11. 1) e′
1 et e′
2 sont deux vecteurs non colinéaires de R2
. Donc, B′
= (e′
1, e′
2) est une base de R2
. La matrice
de passage de B à B′
est
P =
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
.
2) Les formules de changement de base s’écrivent
x
y
=
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
x′
y′
=
x′
+ y′
√
2
−x′
+ y′
√
2
.
3) Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) dans le repère R = (O, e1, e2) et (x′
, y′
) dans le repère R′
= (O, e′
1, e′
2).
M ∈ C ⇔ x2
− y2
= 2 ⇔
x′
+ y′
√
2
2
−
x′
+ y′
√
2
2
= 2 ⇔
1
2
x′2
+ 2x′
y′
+ y′2
−
1
2
x′2
− 2x′
y′
+ y′2
= 2
⇔ x′
y′
= 1.
On reconnaît l’hyperbole d’équation y′
=
1
x′
dans le repère R′
.
e
′
1
e
′
2
e1
e2
C
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36. On déduit du théorème 29 un certain nombre de propriétés de calcul des matrices de passage :
Théorème 30.
Soit E un K-espace de dimension finie non nulle.
1) Pour toutes bases B, B′
et B′′
de E, PB′
B × PB′′
B′ = PB′′
B .
2) a) Pour toute base B de E, PB
B = In.
b) Pour toutes bases B et B′
de E, PB
B′ =
PB′
B
−1
.
Démonstration .
1) Soit x ∈ E. Soit X (resp. X′
, X′′
) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de x dans B (resp. B′
, B′′
).
PB′′
B X′′
= X = PB′
B X′
= PB′
B × PB′′
B′ X′′
.
Ainsi, pour tout élément X′′
de Mn,1(K), PB′′
B X′′
= PB′
B × PB′′
B′ X′′
. On en déduit que PB′′
B = PB′
B × PB′′
B′ .
2) a) Il est clair que PB
B = In.
b) On sait déjà que PB′
B est inversible. Ensuite,
PB′
B × PB
B′ = PB
B = In
et donc PB
B′ =
PB′
B
−1
.
❏
3.3 Changements de bases et applications linéaires
Théorème 31.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles notées n et p respectivement.
Soient B et B′
deux bases de E et B1 et B′
1 deux bases de F. Soient P = PB′
B ∈ GLn(K) et Q = P
B′
1
B1
∈ GLp(K).
Soit f ∈ L(E, F). Soient A = MatB,B1
(f) ∈ Mp,n(K) et B = MatB′,B′
1
(f) ∈ Mp,n(K). Alors,
B = Q−1
AP.
Démonstration . Soit x ∈ E. Soit X (resp. X′
) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de x dans B
(resp. B′
). Soit Y (resp. Y′
) le vecteur colonne dont les composantes sont les coordonnées de f(x) dans B1 (resp. B′
1).
D’après les théorèmes 18 et 29,
QY′
= Y = AX = APX′
et donc Y′
= Q−1
APX′
. D’autre part, Y′
= BX′
. Ainsi, ∀X′
∈ Mn,1(K), Q−1
APX′
= BX′
. D’après le théorème 19, B = Q−1
AP.
❏
Un cas particulier très important du théorème 31 est :
Théorème 32.
Soit E un K-espace vectoriel de dimensions finie non nulle notées n.
Soient B et B′
deux bases de E. Soit P = PB′
B ∈ GLn(K).
Soit f ∈ L(E). Soient A = MatB(f) ∈ Mn(K) et B = MatB′ (f) ∈ Mn(K). Alors,
B = P−1
AP.
Démonstration . C’est le cas particulier où F = E puis B1 = B et B′
1 = B′
.
❏
Le théorème précédent est très utilisé, entre autres pour calculer des puissances de matrices et ceci en liaison avec le
théorème suivant :
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37. Théorème 33. Soit (A, B) ∈ (Mn(K))2
. On suppose qu’il existe P ∈ GLn(K) telle que B = P−1
AP.
Alors, ∀p ∈ N, Bp
= P−1
Ap
P.
De plus A ∈ GLn(K) ⇔ B ∈ GLn(K) et dans ce cas, ∀p ∈ Z, Bp
= P−1
Ap
P.
Démonstration . Soient B la base canonique de Kn
puis B′
la base de Kn
telle que PB′
B . Soit f l’endomorphisme de Kn
tel
que MatB(f) = A. Alors, MatB′ (f) = P−1
AP = B. Soit p ∈ N.
Bp
= (MatB′ (f))p
= MatB′ (fp
) = P−1
MatB (fp
) P = P−1
(MatB (f))p
P = P−1
Ap
P.
Si de plus, A est inversible, alors B = P−1
AP est inversible en tant que produit de matrices inversibles et si B est inversible alors
A = PBP−1
est inversible et dans ce cas, le calcul ci-dessus est valable pour p ∈ Z.
❏
Exercice 12. Soit A =
1 −3/2 3/2
3 5/2 −9/2
3 −3/2 −1/2
. Le but de l’exercice est de calculer An
pour n ∈ Z.
On note f l’endomorphisme de R3
de matrice A dans la base canonique B = (e1, e2, e3) de R3
.
1) Déterminer une base (u1) de Ker (f − IdR3 ), une base (u2) de Ker (f + 2IdR3 ) et une base (u3) de Ker (f − 4IdR3 ).
2) a) Montrer que (u1, u2, u3) est une base de R3
. Ecrire la matrice de passage P de la base B = (e1, e2, e3) à la
base B′
= (u1, u2, u3).
b) Déterminer P−1
.
c) Déterminer la matrice D de f dans la base (u1, u2, u3).
3) a) A l’aide des formules de changement de base, exprimer A en fonction de P et D.
b) En déduire An
pour n ∈ Z (après en avoir justifié l’existence).
Solution 12.
1) • Soient u = (x, y, z) ∈ R3
puis X =
x
y
z
.
u ∈ Ker (f − IdR3 ) ⇔ (f − IdR3 ) (u) = 0 ⇔ (A − I3) X = 0
⇔
0 −3/2 3/2
3 3/2 −9/2
3 −3/2 −3/2
x
y
z
=
0
0
0
⇔
−
3
2
y +
3
2
z = 0
3x +
3
2
y −
9
2
z = 0
3x −
3
2
y −
3
2
z = 0
⇔
z = y
3x − 3y = 0
3x − 3y = 0
⇔ x = y = z.
Donc, Ker (f − IdR3 ) = Vect (u1) où u1 = (1, 1, 1).
• Soient u = (x, y, z) ∈ R3
puis X =
x
y
z
.
u ∈ Ker (f + 2IdR3 ) ⇔ (f + 2IdR3 ) (u) = 0 ⇔ (A + 2I3) X = 0
⇔
3 −3/2 3/2
3 9/2 −9/2
3 −3/2 3/2
x
y
z
=
0
0
0
⇔
3x −
3
2
y +
3
2
z = 0
3x +
9
2
y −
9
2
z = 0
3x −
3
2
y +
3
2
z = 0
⇔
2x − y + z = 0
2x + 3y − 3z = 0
2x − y + z = 0
⇔
38. z = −2x + y
2x + 3y − 3(−2x + y) = 0
⇔ x = 0 et y = z.
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39. Donc, Ker (f + 2IdR3 ) = Vect (u2) où u2 = (0, 1, 1).
• Soient u = (x, y, z) ∈ R3
puis X =
x
y
z
.
u ∈ Ker (f − 4IdR3 ) ⇔ (f − 4IdR3 ) (u) = 0 ⇔ (A − 4I3) X = 0
⇔
−3 −3/2 3/2
3 −3/2 −9/2
3 −3/2 −9/2
x
y
z
=
0
0
0
⇔
−3x −
3
2
y +
3
2
z = 0
3x −
3
2
y −
9
2
z = 0
3x −
3
2
y −
9
2
z = 0
⇔
−2x − y + z = 0
2x − y − 3z = 0
2x − y − 3z = 0
⇔
40. z = 2x + y
2x − y − 3(2x + y) = 0
⇔ y = −x et z = x.
Donc, Ker (f − 4IdR3 ) = Vect (u3) où u3 = (1, −1, 1).
2) a) Soit (a, b, c) ∈ R3
.
au1 + bu2 + cu3 = 0 ⇒
a + c = 0
a + b − c = 0
a + b + c = 0
⇒
c = −a
2a + b = 0
b = 0
⇒ a = b = c = 0.
Donc, la famille (u1, u2, u3) est libre. De plus, card (u1, u2, u3) = 3 = dim R3
+∞. Finalement, la famille (u1, u2, u3)
est une base de R3
.
La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base (u1, u2, u3) est P =
1 0 1
1 1 −1
1 1 1
b) P−1
est la matrice de passage de la base (u1, u2, u3) à la base (e1, e2, e3). Or
u1 = e1 + e2 + e3 (I)
u2 = e2 + e3 (II)
u3 = e1 − e2 + e3 (III)
⇔
e2 =
1
2
(u1 − u3) (I) − (III)
u1 = e1 +
1
2
(u1 − u3) + e3
u2 =
1
2
(u1 − u3) + e3
⇔
e2 =
1
2
(u1 − u3) (I) − (III)
e3 =
1
2
(−u1 + 2u2 + u3)
e1 = u1 −
1
2
(u1 − u3) −
1
2
(−u1 + 2u2 + u3)
⇔
e2 =
1
2
(u1 − u3) (I) − (III)
e3 =
1
2
(−u1 + 2u2 + u3)
e1 = u1 − u2
Finalement, P−1
=
1
2
2 1 −1
−2 0 2
0 −1 1
.
c) Par construction, f (u1) = u1, f (u2) = −2u2 et f (u3) = 4u3. Donc,
D = MatB′ (f) = diag(1, −2, 4).
3) a) La formule de changement de base fournit :
A = MatB(f) = PB′
B MatB′ (f)PB
B′ = PDP−1
.
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41. b) D est inversible car aucun des coefficients diagonaux de D n’est nul puis A est inversible en tant que produit de matrices
inversibles (d’inverse PDP−1
−1
= PD−1
P−1
). Donc, An
existe pour tout n de Z et
An
= MatB (fn
) = PB′
B MatB′ (fn
) PB
B′ = PDn
P−1
=
1 0 1
1 1 −1
1 1 1
1 0 0
0 (−2)n
0
0 0 4n
1
2
2 1 −1
−2 0 2
0 −1 1
=
1
2
1 0 4n
1 (−2)n
−4n
1 (−2)n
4n
2 1 −1
−2 0 2
0 −1 1
=
1
2
2 1 − 4n
−1 + 4n
2 − 2(−2)n
1 + 4n
−1 + 2(−2)n
− 4n
2 − 2(−2)n
1 − 4n
−1 + 2(−2)n
+ 4n
.
3.4 Matrices équivalentes. Matrices semblables
Définition 9.
Soit (A, B) ∈ (Mn,p(K))2
. B est équivalente à A si et seulement si il existe (P, Q) ∈ GLp(K) × GLn(K) tel que
B = QAP.
Soit (A, B) ∈ (Mn(K))
2
. B est semblable à A si et seulement si il existe P ∈ GLn(K) tel que B = P−1
AP.
Un premier théorème immédiat est :
Théorème 34. Soit (A, B) ∈ (Mn(K))2
.
Si B est semblable à A, alors B est équivalente à A.
La réciproque de l’implication précédente est fausse, ne serait-ce que parce que la notion d’équivalence des matrices concerne
les matrices rectangulaires, alors que la notion de matrices semblables ne concerne que les matrices carrées. Même dans le
cas de matrices carrées, on verra au fur et à mesure des exemples de matrices équivalentes mais pas semblables.
Théorème 35.
La relation « B est équivalente à A » est une relation d’équivalence sur Mn,p(K).
La relation « B est semblable à A » est une relation d’équivalence sur Mn(K).
Démonstration . On démontre le théorème pour la relation « B est équivalente à A ». On note R cette relation ou encore,
on pose : ∀(A, B) ∈ (Mn,p(K))2
, ARB ⇔ B est équivalente à A ⇔ ∃(P, Q) ∈ GLp(K) × GLn(K)/ B = QAP.
• Soit A ∈ Mn,p(K). On prend Q = In ∈ GLn(K) et P = Ip ∈ GLp(K). On a alors QAP = InAIp = A. Par suite, ∀A ∈ Mn,p(K),
ARA. La relation R est réflexive.
• Soit (A, B) ∈ (Mn,p(K))2
. Supposons ARB ou encore supposons B équivalente à A. Il existe Q ∈ GLn(K) et P ∈ GLp(K) telles
que B = QAP. Mais alors, Q−1
BP−1
= Q−1
QAPP−1
= A. Ainsi, si on prend Q1 = Q−1
∈ GLn(K) et P1 = P−1
∈ GLp(K), alors
A = Q1BP1 et donc BRA. La relation R est symétrique.
• Soit (A, B, C) ∈ (Mn,p(K))3
. Supposons ARB et BRC. Il existe (Q1, Q2) ∈ (GLn(K))2
et (P1, P2) ∈ (GLp(K))2
telles que B = Q1AP1
et C = Q2BP2. Mais alors, C = Q2Q1AP1P2. Ainsi, si on prend Q = Q2Q1 ∈ GLn(K) et P = P1P2 ∈ GLp(K), alors C = QAP et donc
ARC. La relation R est transtive.
On a montré que la relation R est une relation d’équivalence sur Mn,p(K).
❏
➱ Commentaire . Dorénavant, on peut dire que les matrices A et B sont équivalentes (ou pas) à la place de B est équivalente
à A. De même pour A et B sont semblables (ou pas).
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42. Théorème 36.
Soit (A, B) ∈ (Mn,p(K))
2
. A et B sont équivalentes si et seulement si il existe E et F espaces de dimensions respectives
p et n, B et B′
bases de E, B1 et B′
1 base de F, f ∈ L(E, F) tels que A = MatB,B1
(f) et B = MatB′,B′
1
(f).
Soit (A, B) ∈ (Mn(K))2
. A et B sont semblables si et seulement si il existe E espace de dimension n, B et B′
bases de
E, f ∈ L(E) tels que A = MatB(f) et B = MatB′ (f).
Démonstration . Supposons qu’il existe E et F espaces de dimensions respectives p et n, B et B′
bases de E, B1 et B′
1 base
de F, f ∈ L(E, F) tels que A = MatB,B1
(f) et B = MatB′,B′
1
(f). Si on pose P = PB′
B et Q = P
B′
1
B1
, les formules de changement de base
fournissent B = Q−1
AP où Q−1
∈ GLp(K) et P ∈ GLn(K). Les matrices A et B sont donc équivalentes.
Réciproquement, supposons A et B équivalentes. Il existe (P, Q) ∈ GLn(K) × GLp(K) tel que B = QAP.
Soient B et B1 les bases canoniques de Kp
et Kn
respectivement. Soient B′
et B′
1 les bases de Kp
et Kn
respectivement définies par
PB′
B = P et P
B′
1
B1
= Q−1
. Soit enfin f l’élément de L (Kp
, Kn
) tel que A = MatB,B1
(f). D’après les formules de changement de base,
on a B = MatB′,B′
1
(f).
❏
Ainsi, deux matrices rectangulaires équivalentes peuvent être interprétées comme les matrices d’une même application
linéaire relativement à deux couples de bases éventuellement différents. De même, deux matrices carrées semblables peuvent
être interprétées comme les matrices d’un même endomorphisme relativement à deux bases éventuellement différentes.
4 Calculs par blocs
Etudions d’abord un exemple. Soient E un K-espace de dimension finie non nulle n puis F et G deux sous-espaces
supplémentaires de E, de dimensions respectives p et q = n − p où p et q sont deux entiers naturels non nuls. Soit
B = (e1, . . . , ep, ep+1, en) une base de E adaptée à la décomposition E = F ⊕ G. Soit f la projection sur F parallèlement à
G. Pour i ∈ J1, pK, f (ei) = ei et pour i ∈ Jp + 1, nK, f (ei) = 0. Donc,
MatB(f) =
1 0 . . . . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
... 1
0
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . . . . 0 0
.
p q
On dispose d’une manière beaucoup plus synthétique de décrire cette matrice, une description par blocs :
MatB(f) =
Ip 0q,p
0p,q 0q,q
,
où Ip est la matrice unité de format p et 0u,v est la matrice nulle de format (u, v). Les termes écrits dans la matrice ne
sont plus des nombres mais des matrices rectangulaires.
De même, si s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G et B est la base définie plus haut,
MatB(s) =
Ip 0q,p
0p,q −Iq
.
De manière générale, une matrice A ∈ Mn,p(K) pourra être décrite par blocs : A =
A1 A3
A2 A4
ou plus généralement
A =
A1,1 . . . A1,j . . . A1,l
.
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.
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Ai,1 . . . Ai,j . . . Ai,l
.
.
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.
Ak,1 . . . Ak,j . . . Ak,l
les Ai,j sont des matrices de format (ni, pj) où n1, . . . , nk, p1, . . . , pl sont des entiers naturels non nuls tels que
n1 + . . . + nk = n et p1 + . . . + pl = p.
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43. Il s’agit maintenant d’apprendre à calculer par blocs.
• Il est immédiat que si A =
A1,1 . . . A1,j . . . A1,l
.
.
.
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.
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.
Ai,1 . . . Ai,j . . . Ai,l
.
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.
Ak,1 . . . Ak,j . . . Ak,l
et B =
B1,1 . . . B1,j . . . B1,l
.
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.
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.
Bi,1 . . . Bi,j . . . Bi,l
.
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.
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.
Bk,1 . . . Bk,j . . . Bk,l
où pour tout
(i, j), Ai,j et Bi,j sont de format (ni, pj), alors pour tout (λ, µ) ∈ K2
,
λA + µB =
λA1,1 + µB1,1 . . . λA1,j + µB1,j . . . λA1,l + µB1,l
.
.
.
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.
λAi,1 + µBi,1 . . . λAi,j + µBi,j . . . λAi,l + µBi,l
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λAk,1 + µBk,1 . . . λAk,j + µBk,j . . . λAk,l + µBk,l
.
• Le produit de deux matrices définies par blocs n’est pas plus compliqué. Il y a juste quelque précautions à prendre. On
se donne deux matrices A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K) de sorte que le produit AB est défini. Commençons par découper A
et B en quatre blocs : A =
A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
et B =
B1,1 B1,2
B2,1 B2,2
. Si on a envie que les produits A1,1B1,1 ou A1,1B1,2
ou . . . soient définis, il s’agit à chaque fois que le nombre de colonnes de Ai,k soit égal au nombre de lignes de Bk,j. On
impose donc au découpage de A en colonnes d’être identique au découpage de B en lignes :
A =
A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
p1 p2
n1
n2
et B =
B1,1 B1,2
B2,1 B2,2
p1
p2
q1 q2
On a alors
AB =
A1,1B1,1 + A1,2B2,1 A1,1B1,2 + A1,2B2,2
A2,1B1,1 + A2,2B2,1 A2,1B1,2 + A2,2B2,2
.
Vérifions-le en analysant par exemple le bloc en haut à gauche. A1,1B1,1 est défini et de format (n1, q1) de même que
A1,2B2,1. Donc, A1,1B1,1 + A1,2B2,1 est défini et de format (n1, q1). On pose alors A = (ai,j)16i6n
16j6p
, B = (bi,j)16i6p
16j6q
,
A1,1 = (αi,j)16i6n1
16j6p1
, A1,2 = α′
i,j
16i6n1
16j6p2
, B1,1 = (βi,j)16i6p1
16j6q1
et B2,1 = β′
i,j
16i6p2
16j6q1
.
Soit (i, j) ∈ J1, n1K × J1, q1K. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice AB est
p
X
k=1
ai,kbk,j =
p1
X
k=1
ai,kbk,j +
p
X
k=p1+1
ai,kbk,j =
p1
X
k=1
αi,kβk,j +
p
X
k=p1+1
α′
i,k−p1
β′
k−p1,j
=
p1
X
k=1
αi,kβk,j +
p2
X
l=1
α′
i,lβ′
l,j
qui est bien le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice A1,1B1,1 + A1,2B2,1.
Plus généralement, si on découpe la matrice A en blocs Ai,k et la matrice B en blocs Bk,j, de sorte que le découpage en
colonne de A soit le même que le découpage en ligne de B (n = n1 + . . . + ns, p = p1 + . . . + pt, q = q1 + . . . + qu), alors
on peut effectuer le calcul de AB par blocs, le bloc no
(i, j) étant
t
X
k=1
Ai,kBk,j.
Exemple. Soit A =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 2
. A peut s’écrire
A =
S 0
0 D
,
où S =
0 1
1 0
et D =
−1 0
0 2
= diag(−1, 2). On a S2
= I2 (si s est l’endomorphisme de R2
de matrice S dans la
base canonique (e1, e2) de R2
, alors s (e1) = e2 et s (e2) = e1 puis s2
(e1) = e1 et s2
(e2) = e2 puis s2
= Id). On peut
alors calculer A2
et plus généralement les puissances de A par blocs :
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44. A =
S 0
0 D
S 0
0 D
=
S2
0
0 D2
=
I2 0
0 D2
= diag(1, 1, 1, 4) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 4
.
Plus généralement, pour p ∈ N, A2p
=
S2p
0
0 D2p
=
I2 0
0 D2p
= diag (1, 1, 1, 2p
) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2p
et
A2p+1
=
S 0
0 D2p+1
=
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 22p+1
. ❏
5 Rang d’une matrice
5.1 Définition du rang d’une matrice
Définition 10. Soit A ∈ Mn,p(K). Le rang de A, noté rg(A), est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes dans
Mn,1(K).
Par exemple, rg
0 0
0 0
= 0, rg
1 0
0 0
= 1 et rg
1 0
0 1
= 2.
5.2 Lien avec le rang d’une famille de vecteurs
Théorème 37. Soient E un espace de dimension n ∈ N∗
puis B une base de E. Soit (u1, . . . , up) une famille de p
vecteurs de E, p ∈ N∗
. Soit A = MatB (u1, . . . , up).
Alors, rg(A) = rg (u1, . . . , up).
Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en). Soit ϕ : Mn,1(K) → E
x1
.
.
.
xn
7→
n
X
i=1
xiei
. ϕ est linéaire et l’image par ϕ de la base
canonique de Mn,1(K) est la base (e1, . . . , en) de E. Donc, ϕ est un isomorphisme.
Par suite, en notant C1, . . . , Cp, les colonnes de A
rg(A) = rg (C1, . . . , Cp) = dim (Vect (C1, . . . , Cp)) = dim (ϕ (Vect (C1, . . . , Cp))) = dim (Vect (ϕ (C1) , . . . , ϕ (Cp)))
= dim (Vect (u1, . . . , up)) = rg (u1, . . . , up) .
❏
En reprenant les premières propriétés du rang d’une famille de vecteurs, on en déduit immédiatement
Théorème 38. Soit A ∈ Mn,p(K). Alors, rg(A) 6 Min{n, p}.
De plus,
rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une famille génératrice de Mn,1(K).
rg(A) = p ⇔ les colonnes de A forment une famille libre de Mn,1(K).
et en particulier
Théorème 39. Soit A ∈ Mn(K). Alors, rg(A) 6 n.
De plus, rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une base de Mn,1(K) ⇔ A ∈ GLn(K).
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45. 5.3 Lien avec le rang d’une application linéaire
Théorème 40. Soient E et F deux espaces de dimensions respectives n et p puis B une base de E et B′
une base de
F. Soient f ∈ L(E, F) puis A = MatB,B′ (f) ∈ Mp,n(K).
Alors, rg(A) = rg(f).
Démonstration . Posons B = (e1, . . . , en) de sorte que A = MatB′ (f (e1) , . . . , f (en)). Alors,
rg(f) = rg (f (e1) , . . . , f (en)) = rg (MatB′ (f (e1) , . . . , f (en))) = rg(A).
❏
En appliquant les propriétés déjà connues du rang d’une application linéaire (voir la fin du chapitre « Dimension d’un
espace vectoriel »), on obtient :
Théorème 41.
• ∀(A, B) ∈ (Mn,p(K))
2
, rg(A + B) 6 rg(A) + rg(B).
• ∀A ∈ Mn,p(K), ∀λ ∈ K, rg(λA) =
46. rg(A) si λ 6= 0
0 si λ = 0
6 rg(A).
• ∀(A, B) ∈ (Mn,p(K))2
, ∀(λ, µ) ∈ K2
, rg(λA + λB) 6 rg(A) + rg(B).
De même,
Théorème 42.
• ∀(A, B) ∈ Mn,p(K) × Mp,q(K), rg(A × B) 6 Min{rg(A), rg(B)} ou encore rg(A × B) 6 rg(A) et rg(A × B) 6 rg(B).
• ∀A ∈ Mn,p(K), ∀(P, Q) ∈ GLn(K) × GLp(K), rg(AP) = rg(A) et rg(QA) = rg(A).
Démonstration . L’inégalité rg(A × B) 6 Min{rg(A), rg(B)} est la traduction en termes de matrices de l’inégalité déjà connue
rg(f ◦ g) 6 Min{rg(f), rg(g)}.
Etudions alors les deux cas d’égalité. Soit P ∈ GLn(K). On a déjà rg(AP) 6 rg(A). Mais d’autre part, rg(A) = rg (AP)P−1
6 rg(AP).
Finalement, rg(AP) = rg(A). De même, rg(QA) = rg(A) si Q est inversible.
❏
On en déduit encore :
Théorème 43. Deux matrices équivalentes ont même rang. Deux matrices semblables ont même rang.
5.4 Une caractérisation du rang d’une matrice
Soient n et p deux entiers naturels non nuls. Pour r ∈ J0, Min{n, p}K, on définit la matrice Jr par : si r = 0, Jr = 0n,p et si
r 1, Jr est la matrice de format (n, p) telle que pour 1 6 i 6 r, le coefficient ligne i, colonne i, de Jr est égal à 1, tous
les autres coefficients étant nuls. La matrice Jr peut se définir par blocs (en adaptant la lecture dans les cas particuliers
r = 0, ou r = p ou r = n) :
Jr =
Ir 0r,p−r
0n−r,r 0n−r,p−r
,
Ir désignant la matrice unité de format r et 0u,v désignant la matrice nulle de format (u, v).
On peut alors caractériser le rang d’une matrice à partir de la matrice Jr.
Théorème 44. Soit A ∈ Mn,p(K). Soit r ∈ J0, Min{n, p}K.
rg(A) = r ⇔ A est équivalente à Jr.
Démonstration .
• Supposons A équivalente à Jr. Alors rg(A) = rg (Jr), puisque deux matrices équivalentes ont même rang, et donc rg(A) = r (d’après
le travail effectué sur le calcul du rang d’une famille de vecteurs dans le chapitre « Dimension d’un espace vectoriel »).
• Inversement, soit A ∈ Mn,p(K) de rang r ∈ J0, Min{n, p}K. Il s’agit de montrer que A est équivalente à Jr.
Soit f l’élément de L (Kp
, Kn
) de matrice A relativement aux bases canoniques B et B1 de Kp
et Kn
respectivement. D’après le
théorème du rang,
dim(Ker(f)) = dim (Kp
) − rg(f) = p − rg(A) = p − r.
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47. Si r = 0, alors f = 0 puis A = 0n,p et d’autre part, Jr = 0n,p. Dans ce cas, A et Jr sont équivalentes. Dorénavant, 1 6 r 6 p.
Soit F = (er+1, . . . , ep) si r p ou F = ∅ si r = p, une base de Ker(f). On complète (éventuellement) la famille libre F en
B′
= (e1, . . . , ep) base de Kp
. On sait que S = Vect (e1, . . . , er) est un supplémentaire de Ker(f) dans Kp
.
D’après le théorème du rang, on sait que la restriction de f à S est un isomorphisme de S sur Im(f). On en déduit que la famille
F′
= (e′
1, . . . , e′
r) = (f (e1) , . . . , f (er)) est une base de Im(f). On la complète (éventuellement) en B′
1 = (e′
1, . . . , e′
n) base de Kn
.
Pour i ∈ J1, rK, on a f (ei) = e′
i et pour i r (si r p), on a f (ei) = 0. Donc, MatB′,B′
1
(f) = Jr. Soient P = PB′
B et Q = P
B′
1
B1
. Les
formules de changement de base fournissent Jr = Q−1
AP. Ceci montre que A et Jr sont équivalentes.
❏
On déduit du théorème 44 :
Théorème 45. Soit (A, B) ∈ (Mn,p(K))2
. A et B sont équivalentes si et seulement si rg(A) = rg(B).
Démonstration . On sait déjà que deux matrices équivalentes ont même rang.
Inversement, si rg(A) = rg(B) = r, alors A et B sont toutes deux équivalentes à Jr et donc, par transitivité, A et B sont équivalentes.
❏
Du théorème 44, on déduit aussi :
Théorème 46. ∀A ∈ Mn,p(K), rg(t
A) = rg(A).
Démonstration . Soit r le rang de A. La matrice A est équivalente à la matrice Jr et donc il existe P ∈ GLn(K) et Q ∈ GLp(K
telles que A = QJrP. Mais alors, t
A = t
Pt
Jr
t
Q avec t
P ∈ GLn(K) et t
Q ∈ GLp(K). Maintenant, la matrice t
Jr est la matrice Jr de
format (p, n) : t
Jr =
Ir 0r,n−r
0r,p−r 0p−r,n−r
. Ceci montre que t
A est de rang r. ❏
➱ Commentaire .
⋄ Une conséquence de ce résultat est que tout résultat concernant le rang d’une matrice, énoncé en termes de colonnes de cette
matrice, peut aussi être énoncé en termes de lignes. Par exemple, pour A ∈ Mn,p(K),
rg(A) est la dimension du sous-espace de Mn,1(K) engendré par les colonnes de A
rg(A) est la dimension du sous-espace de M1,p(K) engendré par les lignes de A
rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une famille génératrice de Mn,1(K)
⇔ les lignes de A forment une famille libre de M1,p(K)
rg(A) = p ⇔ les colonnes de A forment une famille libre de Mn,1(K)
⇔ les lignes de A forment une famille génératrice de M1,p(K)
et si de plus A ∈ Mn(K),
rg(A) = n ⇔ les colonnes de A forment une base de Mn,1(K)
⇔ les lignes de A forment une base de M1,n(K)
⋄ Il faut concrétiser le fait que rg(A) = rg t
A
. Construisons une matrice A carrée de format 3 et de rang 2 en plaçant d’abord 2
colonnes non colinéaires puis en mettant en troisième colonne la somme des deux autres :
A =
−1 3 2
2 2 4
5 7 12
.
La famille des lignes de cette matrice doit aussi être de rang 2 et donc, puisque les deux premières lignes sont non colinéaires, et bien
que nous n’ayons rien fait pour ça, la troisième ligne doit être une combinaison linéaire des deux premières. De fait, L3 =
1
2
L1 +
11
4
L2
(nous n’avons vraiment pas fait exprès).
5.5 Transformations élémentaires ne modifiant pas le rang d’une matrice
5.5.1 Rappel. Codage des transformations élémentaires
On sait que le rang d’une matrice peut s’interpréter comme le rang d’une certaine famille de vecteurs et on a donné dans
le chapitre « Dimensions » des transformations sur les vecteurs de cette famille ne modifiant pas le rang de cette famille.
En s’adaptant aux notations matricielles, on obtient des transformations sur les colonnes d’une matrice ne modifiant pas
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48. son rang : en appliquant l’une de ces transformations, on obtient une nouvelle matrice qui a même rang que la matrice de
départ ou encore, on obtient une matrice équivalente à la matrice de départ.
On sait aussi que rg(A) = rg (t
A). Les transformations sur les colonnes fournissent aussi des transformations sur les lignes
d’une matrice, ne modifiant pas le rang de cette matrice.
Les transformations élémentaires sur les colonnes ou les lignes d’une matrice, ne modifiant pas le rang de cette matrice
sont :
• Echange de deux colonnes. L’échange de la colonne i et de la colonne j (i 6= j) se note Ci ↔ Cj.
Echange de deux lignes. L’échange de la ligne i et de la ligne j (i 6= j) se note Li ↔ Lj.
• Multiplier une colonne par un nombre λ 6= 0. Le remplacement de la colonne j par λ fois cette ligne se note Cj ← λCj.
Multiplier une ligne par un nombre λ 6= 0. Le remplacement de la ligne i par λ fois cette ligne se note Li ← λLi.
• Ajouter une colonne à une autre. Le remplacement de la colonne j par la colonne j + la colonne i se note Cj ← Cj +Ci.
Ajouter une ligne à une autre. Le remplacement de la ligne i par la ligne i plus la ligne j se note Li ← Li + Lj.
On en déduit d’autres transformations moins élémentaires sur les colonnes ou les lignes d’une matrice, ne modifiant pas
le rang de cette matrice :
• Permuter des colonnes : pour toute permutation σ de J1, nK, rg C1 . . . Cp
= rg Cσ(1) . . . Cσ(p)
.
Permuter des lignes : pour toute permutation σ de J1, nK, rg
L1
.
.
.
Ln
= rg
Lσ(1)
.
.
.
Lσ(n)
.
• Ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes : Cj ← Cj +
X
i6=j
λiCi.
Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes : Li ← Li +
X
j6=i
λjLj.
On peut appliquer la transformation Ci ←
n
X
j=1
λjCj sans changer le rang si on prend bien garde au fait que λi
(le coefficient de Ci) soit non nul. De même pour les lignes.
Notons encore qu’on ne change pas le rang d’une matrice quand :
• on supprime une colonne de 0 ou une ligne de 0 (la nouvelle matrice a alors un format différent du format de départ),
• On supprime une colonne (ou une ligne) qui est égale ou plus généralement colinéaire à une autre colonne (ou une
autre ligne).
• On supprime une colonne (ou une ligne) qui est combinaison linéaire d’autres colonnes (ou d’autres lignes).
Exercice 13. Soit p 2. Soit A =
a 0 . . . . . . 0 b
0
...
... 0
.
.
.
...
... 0 0
.
.
.
0 a b 0
0 b a 0
.
.
. 0 0
...
...
.
.
.
0
...
... 0
b 0 . . . . . . 0 a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∈ M2p(C).
Déterminer rg(A) en fonction de a et b.
Solution 13. On effectue les transformations : ∀j ∈ J1, pK, Cj ← Cj + C2p+1−j. On obtient
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49. rg(A) = rg
a + b 0 . . . . . . 0 b
0
...
... 0
.
.
.
...
... 0 0
.
.
.
0 a + b b 0
0 a + b a 0
.
.
. 0 0
...
...
.
.
.
0
...
... 0
a + b 0 . . . . . . 0 a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
• Si a + b = 0 ou encore si b = −a, en supprimant les colonnes de 0 puis en supprimant les p premières lignes, chacune
étant colinéaire à l’une des p dernières, on a
rg(A) = rg
0 . . . 0 −a
.
.
. 0
0
.
.
.
−a 0
a 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
= rg
a 0 . . . 0
0
...
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 a
= rg (aIp).
Si b = −a 6= 0, rg(A) = p et si a = b = 0, rg(A) = 0.
• Si a + b 6= 0 ou encore si b 6= −a,
rg(A) = rg
1 0 . . . . . . 0 b
0
...
... 0
.
.
.
...
... 0 0
.
.
.
0 1 b 0
0 1 a 0
.
.
. 0 0
...
...
.
.
.
0
...
... 0
1 0 . . . . . . 0 a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
On effectue les transformations : ∀i ∈ Jp + 1, 2pK, Li ← Li − L2p+1−i. On obtient
rg(A) = rg
1 0 . . . . . . 0 b
0
...
... 0
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.
...
... 0 0
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.
1 b 0
0 a − b 0
...
...
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.
...
... 0
0 . . . . . . 0 a − b
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Si b 6= a (et b 6= −a), rg(A) = 2p (matrice triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls). Si a = b 6= 0, en
supprimant les p dernières lignes qui sont nulles puis les p dernières colonnes, chacune colinéaire à l’une des p premières,
on obtient rg(A) = rg(Ip) = p.
En résumé,
• Si b 6= a et b 6= −a, rg(A) = 2p et en particulier, A est inversible.
• Si b = a 6= 0 ou b = −a 6= 0, rg(A) = p.
• Si a = b = 0, rg(A) = 0.
c
Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. 34 http ://www.maths-france.fr
50. Exercice 14. Soient n ∈ N∗
puis A ∈ Mn(K). Soit B la matrice diagonales par blocs définie par
B =
A 0n . . . 0n
0n A
...
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.
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.
.
.
...
... 0n
0n . . . 0n A
∈ Mnp(K) (où p ∈ N∗
et 0n est la matrice nulle de format n).
Déterminer le rang de B en fonction du rang de A.
Solution 14. Soit r = rg(A) ∈ J0, nK. Si r = 0, alors A = 0 puis B = 0 et donc rg(B) = 0. On suppose maintenant
r ∈ J1, nK.
Il existe (P1, Q1) ∈ (GLn(K))
2
tel que A = Q1JrP1.
On pose P =
P1 0n . . . 0n
0n P1
...
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.
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...
... 0n
0n . . . 0n P1
∈ Mnp(K) et Q =
Q1 0n . . . 0n
0n Q1
...
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.
...
... 0n
0n . . . 0n Q1
∈ Mnp(K). Un calcul par blocs montre
que P et Q sont inversibles, d’inverses respectifs
P−1
1 0n . . . 0n
0n P−1
1
...
.
.
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.
...
... 0n
0n . . . 0n P−1
1
et
Q−1
1 0n . . . 0n
0n Q−1
1
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0n
0n . . . 0n Q−1
1
.
De nouveau, un calcul par blocs fournit A = Q
Jr 0n . . . 0n
0n Jr
...
.
.
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.
...
... 0n
0n . . . 0n Jr
P puis rg(A) = rg
Jr 0n . . . 0n
0n Jr
...
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.
.
.
.
.
...
... 0n
0n . . . 0n Jr
. En
supprimant les colonnes nulles puis les lignes nulles, on obtient
rg(A) = rg
Ir 0n . . . 0n
0n Ir
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0n
0n . . . 0n Ir
= rg(Ipr) = pr = p rg(A),
ce qui reste vrai quand r = 0.
On a montré que rg(B) = p rg(A).
5.5.2 Interprétation en terme de calcul matriciel des transformations élémentaires
On va voir que chacune des transformations précédentes peut s’interpréter en terme de calcul matriciel. Commençons par
un résultat utile pour la suite et à connaître en tant que tel. On calcule une bonne fois pour toutes le produit d’une matrice
A par une matrice élémentaire Ei,j.
Théorème 47. Soit A ∈ Mn,p(K). On note L1, . . . , Ln les lignes de A et C1, . . . , Cp les colonnes de A.
• Soient (i, j) ∈ J1, pK2
puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6p ∈ Mp(K).
AEi,j = 0 . . . 0 Ci 0 . . . 0
j
• Soient (i, j) ∈ J1, nK2
puis Ei,j = (δk,iδl,j)16k,l6n ∈ Mn(K).
Ei,jA =
0
.
.
.
0
Lj
0
.
.
.
0
i
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