(Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf

MATHÉMATIQUES Tôpologie générale JACQUES DIXMIER PRESSES
UNIVERSITAIRES DE FRANCE
ISBN !2 13 03 6 647 3
Ire édition: 1 er trimestre Ig81
Presses Universitaires de France, Ig81 108, Bd Saint-Germain, 75006 Paris
SOMMAIRE
1 NTRODUCTIO N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE PREMIER / Espaces topologiques .................... 1 . 1 /
Ensembles ouverts, ensembles fermés dans un espace
, . me trI que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .2 / Espaces
topologiques......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 3 / Voisinages
..................................... 1 4 / 1 ,. , . i.". ., . nterieur, exterieur, lrontiere . . . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . 1 . 5 / Adhérence ..................................... 1 .6 / Espaces
topologiques séparés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE II/Limites.
Continuité .......................... 2 . 1 / Fil tres ...........,............................. 2 ,2 /
Limites suivant une base de filtre. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 3 / Applications
continues en un point ............... 2 .4 / Applications continues . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 2 . 5 / Homéomorphismes .............................. 2.6 / Valeurs
d'adhérence suivant une base de filtre. . . . . . . CHAPITRE III/Constructions
d'espaces topologiques ..,.......... 3 . 1 / Sous-espaces topologiques
........................ 3.2 / Produits finis d'espaces topologiques ...,...,...... 3.3 /

Produits infinis d'espaces topologiques. , . . . . . . . . . . . 3.4 / Espaces quotients
............................... CHAPITRE IV / Espaces compacts ........................... 4. 1
/ Définition des espaces compacts... . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 / Propriétés des
espaces compacts... . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 / Complément : produits infinis
d'espaces compacts. . . 4.4 / La droite achevée .............................. 4.5 /
Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE V /
Espaces métriques . . . . . . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 / Continuité de la
distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 1 Emploi des suites de points dans
les espaces métriques
7 9
9 13 15 17 19 20 22 23 24 28 29 31 34 37 37 41 47 48 50 50 52 57 59 61 65
65 67
6 Topologie générale
5.3 1 Fonctions uniformément continues, , , . , , . . . . , . . , . , . 69 5 .4 1
Ensembles équicontinus de fonctions. . . . . . . . . . . . , , . 71 5 . 5 / Espaces
métriques complets ..,......,.........,.. 72 5.6 1 Espaces complets et espaces
compacts . , . . . , , , . . . . . 76 5. 7 1 Méthode des approximations successives
..,...,.,.. 77 CHAPITRE VI 1 LÙnites de fonctions ,...........,....,....... 79 6 . 1 1
Convergence uniforme . . . . . . . , . . . . . . . . . . , . , . . . , . , 79 6. 2 /
Convergence simple ..............,....,...,..... 85 6. 3 1 Théorème d'Ascoli
......,........".....,....... 8 7 CHAPITRE VII 1 Fonctions nurnériques
..........,.,.......... 89 7 . 1 1 Bornes d'une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . , .
. . 89 7 . 2 1 Limite d'une fonction numérique croissante . . . . . . . . 92 7 . 3 1
Limites supérieure et inférieure d'une fonction numé- rlq ue
..,.,.......................,.,......"... 9 3 7 . 4 1 Fonctions semi-continues . , . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 96 7 . 5 1 Théorème de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .

, . . . 99 CHAPITRE VIII/Espaces normés .............,...,. . , , . . . , . 105 8. 1 1
Définition des espaces normés ...,.,..".,....,.., 1 05 8 . 2 1 Applications linéaires
continues . . . , . , . . . . . . , . . . . . . 109 8.3 / Applications linéaires bicontinues
,.,..,...,.,.,... 112 8 ,4 / Espaces préhil bertiens, . . , , . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . .
. 115 8 . 5 1 Espaces préhil bertiens séparés.. . . . . . . . . , . . . . . , . , , , 118 8.6
1 Espaces de Banach. Espaces hilbertiens,......,.... 121 8 . 7 1 Sous-espaces
vectoriels d'un espace normé. . , . . . . . . . 124 8 ,8 / Théorème de Riesz. . . . , .
. . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . , , 125 CHAPITRE IX / Sommes infinies
.,....,.,...,............... 131 9. 1 / Familles sommables .....,....""......,......., 131 9 . 2
1 Associativité, commutativité ............,.....,... 133 9 . 3 1 Séries
..."......,..",.,.,..,.,............... 135 9.4 1 Familles sommables de nombres réels ou
complexes. . 137 9,5 1 Certaines familles sommables dans les espaces
hilbertiens 142 CHAPITRE X / Espaces connexes ,...,......................, 145
10.11 Espaces connexes..........,...,.,.."......,... 145 10.2 1 Espaces connexes par
arcs. . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , 148 10. 3 / Composantes connexes . . , . , . . ,
. . . . . . . . . . . , . . . , . . . 148 EXERCICES . , . . . . , . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , .
. . . . . , . . . , . . . . . , . 150
INDEX DES NOTATIONS.,.,.."."""".....,....,...,.". 161
INDEX TERMINOLOGIQ,UE .................................. 163
Introduction
Ce livre est un cours de topologie générale, destiné aux étudiants de 2 e
cycle, 1 re année (autrement dit, aux étudiants parvenus à leur troisième
année d'université). Il a été enseigné en 1979-1980 pendant le premier
semestre (trois heures hebdomadaires de cours, quatre heures hebdomadaires
de travaux dirigés). La topologie est l'étude des notions de limite et de
continuité, donc est en principe très ancienne. Toutefois, nous nous limiterons

aux origines de la théorie depuis le dix-neuvième siècle. L'une des sources de
la topologie est l'effort de mise au point concernant les fonctions réelles de
variable réelle : continuité uniforme, convergence uniforme, équicontinuité,
théorème de Bol- zano,;. Weierstrass (ce travail est indissociable
historiquement des tentatives pour définir avec précision ce que sont les
nombres réels). Cauchy a été l'un des pionniers dans cette voie, mais les
erreurs qui se glissent dans ses travaux prouvent combien il était dijJicile de
dégager les bonnes notions. Un peu plus tard vient Cantor,. ses recherches sur
les séries trigonométriques l'ont amené à étudier en détail les ensembles de
points sur R (d'où les notions d'ensemble ouvert, d'ensemble fermé sur R, qui
se mêlent chez lui à des notions beaucoup plus subtiles). Ce qui précède ne
Justifie pas le cadre très général où se situe le cours. En fait, les notions
signalées plus haut se sont révélées utiles pour d'autres objets que les
nombres réels. D'abord, dès le dix-neuvième siècle, pour les points de Rn.
Puis, surtout au vingtième siècle, dans bien d'autres ensembles: ensemble des
droites du plan, ensemble des transformations linéaires d'un espace vectoriel
réel, groupe des rotations, groupe de Lorentz, etc. Puis dans des ensembles «
de dimension infinie » : ensemble de toutes les fonctions continues, ensemble
de tous les champs de vecteurs, etc. La topologie se partage en « topologie
générale » (dont ce cours expose
les rudiments) et « topologie algébrique », qui se base sur la topologie
générale mais utilise beaucoup d'algèbre. Citons quelques théorèmes dont les
démonstrations les Plus naturelles font appel à la topologie algébrique: 1)
soient B une boulefirmée de Rn,f une application continue de B dans B; alors
f admet un point fixe,. 2) pour tout x E 8 2 (sphère de dimension 2), -+ -+ soit
V (x) un vecteur tangent à 8 2 en x,. on suppose que V (x) déPend conti- -+
nûment de x,. alors il existe Xo E 8 2 tel que V (xo) = 0,. 3) soient V et V des
parties homéomorPhes de Rn,. si V est ouvert dans Rn, V est ouvert dans Rn.
Ces théorèmes ne peuvent s'obtenir par les méthodes du cours, et, au vu de
leurs énoncés, certains lecteurs souhaiteront peut-être s'initier à la topologie
algébrique.

Le signe
en marge concerne des théorèmes particulièrement profonds ou
particulièrement utiles. Le choix de ces énoncés comporte une grande part
d'arbitraire : il existe évidemment beaucoup de petites remarques, très faciles
et d'usage constant, qui ne sont pas gratifiées du signe
. Le signe * signale un passage qui est à la limite du «programme » (j'entends
par là ce qu'il est Plus ou moins traditionnel d'enseigner à ce niveau depuis
quelques années). D'assez nombreux énoncés ont déjà été vus en 1 er cycle.
Pour la clarté et la cohérence du texte, il a paru préférable de les reprendre en
détail.

CHAPITRE PREMIER
Espaces topologiques
Après avoir rappelé au
1 certaines notions déjà connues concernant les espaces métriques, on
introduit au
2 les espaces topologiques, puis les notions les plus simples qui sy rattachent.
Par exemple, on a la notion intuitive de ce qu'est un point frontière d'un
ensemble E (c'est un point qui est « sur le bord » de E), un point adhérent à E
(c'est un point qui appartient à E ou à son bord), un point intérieur à E (c'est
un point qui appartient à E sans être sur son bord). Les définitions précises et

les théo- rèmes correspondants occupent les
4 et 5. Au
6, on introduit les espaces topologiques séParés; en première lecture,
l'étudiant peut supposer que tous les espaces considérés dans la suite sont
séParés.
1.1 - Ensembles ouverts, ensembles fermés dans un espace métrique
1 . 1 . 1. Soit E un ensemble. Rappelons qu'on appelle distance sur E toute
fonction d, définie sur E X E, à valeurs réelles
0, vérifiant les conditions suivantes : (i) d(x,y) = 0 <=> x = y; (ii) d(x,y) =
d(y, x) quels que soient x, y dans E; (iii) d(x, z)
d(x,y) + d(y, z) quels que soient x, y, z dans E (<< inégalité triangulaire »). (Il
nous arrivera d'admettre la valeur + 00 pour une distance; cela ne change
presque rien à ce qui suit.) Un ensemble muni d'une distance s'appelle un
espace métrique. On sait que les axiomes précédents entraînent : (iv) 1 d(x, z)
- d(x,y) l
d(y, z) quels que soient x, y, z dans E.
On a une notion évidente d'isomorphisme entre espaces métriques. Soit E'
une partie de E. Prenons la restriction à E' X E' de la distance d donnée sur E
X E. Alors E' devient un espace métrique, appelé sous-espace métrique de E.

1.1.2. Exemples. Le plan ordinaire, l'espace ordinaire, munis de la distance
euclidienne usuelle, sont des espaces métriques. Pour x == (Xl' x 2 , . . ., x n )
E Rn et y == (YI ,Y2, . . . ,Yn) E Rn, posons
d(x,y) == ((Xl - YI)2 + ... + (X n - Yn)2)1/2.
On sait que d est une distance sur Rn, et Rn devient de cette manière un
espace métrique, ainsi que tous ses sous-ensembles. En particulier, R, muni
de la distance (x,y) M 1 x-y 1, est un espace métrique.
1 . 1 .3. Définition. Soient E un espace métrique (donc muni d'une distance
d), A une partie de E. On dit que A est ouverte si, pour tout Xo E A, il existe
un E > 0 tel que tout point x de E vérifiant d (xo, x) < € appartient à A.
1 . 1 .4. Exemple. Soient E un espace métrique, a E E, p un nombre;:;: 0, A
l'ensemble des x E E tels que d(a, x) < p. Alors A est ouvert. En effet, soit Xo
E A. On a d(a, xo) < p. Posons p - d(a, xo) == € > O. Si x E E est tel que
d(xo, x) < €, on a : d(a, x)
d(a, xo) + d(xo, x) < d(a, xo) + E == P
donc x E A. L'ensemble A s'appelle la boule ouverte de centre a et de rayon
p. Si p > 0, on a a E A; si p == 0, on a A == 0. Dans le plan ordinaire, on dit «
disque » plutôt que « boule ».

1 . 1 . 5. En particulier, soient a, b des nombres réels tels que a
b. L'intervalle ]a, b [ n'est autre que la boule ouverte dans R de centre! (a + b)
et de rayon! (b - a). On vérifie aisément .22 que les intervalles }- 00, a [, Ja, +
00 [ sont ouverts. Cela justifie l'expression « intervalle ouvert » employée
dans les cours élémentaires.
Espaces topologiques 11
1 . 1.6. Théorème. Soit E un espace métrique. (i) Les parties 0 et E de E sont
ouvertes. (ii) Toute réunion de parties ouvertes de E est ouverte. (iii ) Toute
intersection finie de parties ouvertes de E est ouverte. L'assertion (i) est
immédiate. Soient (Ai)iEI une famille de parties ouvertes de E, A = UiEIA i ,
et A' = niEIA i . Montrons que A est ouvert. Soit Xo E A. Il existe i E 1 tel
que Xo E Ai' Puis il existe z > 0 tel que la boule ouverte B de centre Xo et de
rayon z soit contenue dans Ai' A fortiori, on a A J B. Donc A est ouvert.
Supposons 1 fini, et montrons que A' est ouvert. Soit Xl E A'. Pour tout i E 1,
il existe e i > 0 tel que la boule ouverte de centre Xl et de rayon Zi soit
contellue dans Ai . Soit z le plus petit des Z" On a z > 0, et la boule ouverte
de centre Xl et de rayon z est contenue dans chaque Ai' donc dans A'. Donc
A' est ouvert.
1 . 1 . 7. Conservons les notations précédentes. Si 1 est infini, n'i El Ai n'est
pas toujours ouvert. Par exemple, dans R, l'intersection des intervalles
ouverts ] -
'
[ pour n = 1, 2, 3, ... est réduite à {O}, donc n'est pas ouverte. 1 . 1 .8.
Définition. Soient E un espace métrique, B une partie de E. On dit que B est
fermée si la partie E

B est ouverte.
1 . 1.9. Exemple. Soient a E E, p
0, B l'ensemble des x E E tels que d(a, x)
p. Alors B est fermé. En effet, soit Xo E E - B. On a d(a, xo) > p. Posons d(a,
xo) - p = z > O. Si x E E est tel que d(xo, x) < s:, on a : d(a, x)
d(a, xo) - d(xo, x) > d(a, xo) - z = p
donc x E E - B. Donc E - B est ouvert et par suite B est fermé. L'ensemble B
s'appelle la boule fermée de ce1J-tre a et de rayon p. On a a E B. Si p = 0, on
a B = { a}. Dans le plan ordinaire, on dit « disque » plutôt que « boule ». 1 . 1
. 10. En particulier, soient a, b des nombres réels tels que a
b. L'intervalle [a, b] n'est autre que la boule fermée dans R
de centre! (a + h) et de rayon! (h - a). On vérifie aisément que 2 2 les
intervalles [a, + 00 [ et ]- co, a] sont fermés. Cela justifie l'expression «
intervalle fermé» employée dans les cours élémen- taires. On voit aussi qu'un
intervalle de la forme [a, b[ ou ]a, b], avec a < b, n'est ni ouvert ni fermé.
1.1.11. Théorème. Soit E un espace métrique. (i) Les parties 0 et E de E sont
fermées. (ii ) Toute intersection de parties fermées de E est fermée. (iii )
Toute réunion finie de parties fermées de E est fermée. Cela résulte de 1. 1 .6
par passage aux complémentaires.

1. 1. 12. Exemple. Soient E un espace métrique, a E E, p
0, S l'ensemble des x E E tels que d(a, x) = p. Alors S est fermé. En effet, soit
A (resp. B) la boule ouverte (resp. fermée) de centre A et de rayon p. Alors E
- A est fermé. Comme S = B n CE - A), S est fermé d'après 1. 1 . Il (ii).
L'ensemble S s'appelle la sPhère de centre a et de rayon p. Si p = 0, on a S = {
a}. Dans R, une sphère de rayon> 0 est un ensemble réduit à 2 points. Dans le
plan ordinaire, on dit « cercle » plutôt que « sphère ».
1. 1. 13. Soit E un espace métrique. Si l'on compare 1.1.6 et 1. 1 . Il, on
constate que E (et de même 0) est une partie à la fois ouverte et fermée. Cela
est exceptionnel : dans les exemples les plus courants d'espaces métriques, il
est rare qu'une partie soit à la fois ouverte et fermée (cf. chap. X). D'autre
part, bien qu'il soit facile d'exhiber des exemples de parties qui sont soit
ouvertes, soit fermées, il faut comprendre qu'une partie de E choisie « au
hasard» n'est en général ni ouverte ni fermée. Par exemple, la partie Q de R
n'est ni ouverte ni fermée.
1.1.14. Théorème. Soient E un ensemble, d et d' des distances sur E. On
suppose qu'il existe des constantes c, e' > 0 telles que c d(x,y)
d'(x,y)
e' d(x,y)
quels que soient x,y E E. Les parties ouvertes de E sont les mêmes pour d et
pour d'.
Espaces topologiques 1 3

Soit A une partie de E ouverte pour d. Soit Xo E A. Il existe un ! > 0 tel que
tout point x de E vérifiant d(xo, x) < e appar- tienne à A. Si x E E vérifie d'
(xo, x) < ce, on a d(xo, x) < e, donc x E A. Cela prouve que A est ouverte
pour d'. On peut enfin échanger les rôles de d et d' dans ce qui précède.
1.1.15. Par contre (conservant les notations précédentes) les boules et les
sphères de E sont en général distinctes pour d et pour d'. Par exemple, pour x
= (Xl' . . ., x n ) E Rn ou en, et y = (YI' .. .,Yn) E Rn ou en, posons:
d(x,y) = (1 Xl -- Yl1 2 + ... + 1 X n - Yn 12)1/2 d' (x, y) = Ix l - yll + ... + IXn
-Ynl d" (X, y) = sup (1 Xl - YI 1, · · ., 1 X n - Yn D.
On sait que d, d', d" vérifient les conditions de 1. 1. 14, donc défi- nissent les
mêmes parties ouvertes de Rn. Mais, pour d", la boule ouverte de centre (Xl' .
. ., X n ) et de rayon p est le « pavé ouvert de centre (Xl' · · ., X n ) » :
]Xl -- P, Xl + P [ X ]X 2 - P, X 2 + P [ X.. · X ]X n -- P, X n + p[.
1 .2 - Espaces topologiques
1 .2. 1. Définition. On appelle espace topologique un ensemble E muni d'une
famille (!J de parties de E (appelées parties ouvertes de E) vérifiant les
conditions suivantes : (i) les parties 0 et E de E sont ouvertes; (ii) toute
réunion de parties ouvertes de E est ouverte; (iii) toute intersection finie de
parties ouvertes de E est ouverte.

1 .2.2. Par exemple, un espace métrique devient automatiquement, grâce à
1. 1 . 3 et 1. 1 .6, un espace topologique; cette structure d'espace topologique
ne change pas si l'on remplace la distance d de E par une distance d' liée à d
par la condition de 1.1.14. En particulier, tout sous-ensemble du plan
ordinaire, ou de l'espace ordinaire, ou de Rn, est un espace topologique.
Pendant
une bonne partie du cours, ce sont les seuls exemples intéressants que nous
aurons à notre disposition; mais ils mettent déjà en évi- dence une foule de
phénomènes.
1.2.3. Soit E un ensemble. Il existe en général plusieurs manières de choisir
dans E une famille (!J de parties vérifiant les conditions 1.2. 1. Autrement dit,
un ensemble E peut être muni de plusieurs structures d'espace topologique.
Par exemple, si l'on prend pour (!) la famille de toutes les parties de E, les
conditions 1.2. 1 sont vérifiées, donc E devient un espace topologique
appelé espace discret (on dit aussi que la topologie de E est discrète). Par
exemple encore, si l'on prend pour (!) la famille réduite à 0 et E, les
conditions 1. 2 . 1 sont vérifiées, donc E devient un espace topologique
appelé espace grossier (on dit aussi que la topologie de E est grossière). Si g-l
et g-2 sont des topologies sur E, on dit que
l est plus fine que
2 si tout ensemble ouvert pour g-2 est ouvert pour
l; c'est là une relation d'ordre entre topologies. Toute topologie sur E est plus
fine que la topologie grossière et moins fine que la topologie discrète.

1 .2.4. Par exemple, sur Rn, on peut considérer, outre la topologie définie en
1.2.2, la topologie discrète et la topologie grossière (et d'ailleurs encore bien
d'autres topologies). Toutefois, c'est la topologie définie en 1.2.2 qui est de
beaucoup la plus intéressante. Quand nous parlerons de Rn comme d'un
espace topologique sans préciser, il s'agira toujours de la topologie définie en
1. 2 . 2.
1.2.5. Définition. Soient E un espace topologique, A une partie de E. On dit
que A est fermée si la partie E - A est ouverte.
1.2.6. Théorème. Soit E un espace topologique. (i) Les parties 0 et E de E
sont fermées. (ii) Toute intersection de parties fermées de E est fermée. (iii )
Toute réunion finie de parties fermées de E est fermée. Cela résulte de 1.2. 1
par passage aux complémentaires.
1 .3 - Voisinages
1.3.1. Définition. Soient E un espace topologique, et x E E. Une partie V de E
est appelée voisinage de x dans E s'il existe une partie ouverte U de E telle
que x EUe V.
D'après cette définition, un vozsznage ouvert de x n'est autre qu'une partie
ouverte de E contenant x.

1 .3.2. Exemple. Soient E un espace métrique, x E E, V C E. Les conditions
suivantes sont équivalentes : Ci) V est un voisinage de x; (ii) il existe une
boule ouverte de centre x et de rayon> 0 contenue dans V. (ii) => Ci). C'est
évident puisque la boule considérée en (ii) est ouverte et contient x. Ci) =>
Cii). Si V est un voisinage de x, il existe une partie ouverte U de E telle que x
EUe V. D'après 1. 1 .3, il existe s > 0 tel que la boule ouverte de centre x et
de rayon e soit contenue dans U, donc a fortiori contenue dans V.
1 .3.3. Exemple. Dans R, considérons la partie A = [0, 1]. Soit x E R. Si 0 < x
< l, A est un voisinage de x. Si x
1 ou si x
0, A n'est pas voisinage de x.
1 . 3.4. Théorème. Soient E un espace topologique, et x E E. (i) Si V et V'
sont des voisinages de x, V f1 V' est un voisinage de x. (ii) Si V est un
voisinage de x, et si West une partie de E contenant V, West un voisinage de
x.
Soient V, V' des voisinages de x. Il existe des parties ouvertes U, V' de E
telles que x EUe V, X E V' C V'. Alors x E U n U' eV n V',
et U (' U' est ouverte d'après 1.2.1 (iii), donc V n V' est un voisinage de x.
L'assertion (ii) est évidente.

1.3.5. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie de E. Les
conditions suivantes sont équivalentes: (i) A est ouverte; (ii) A est voisinage
de chacun de ses points. (i) => (ii). Supposons A ouverte. Soit x E A. Alors x
E A c A, donc A est voisinage de x. (ii) => Ci). Supposons la condition (ii)
vérifiée. Pour tout x E A, il existe une partie ouverte B
de E telle que x E B
C A. Soit A' = U XE A B
. Alors A' est ouvert d'après 1.2.1 (ii), A' c A puisque B
C A pour tout x E A, et A' J A puisque tout point x de A appartient à B
, donc à A'. Donc A est ouvert.
1 .3.6. Définition. Soient E un espace topologique, et x E E. On appelle
système fondamental de voisinages de x toute famille (Vi)iEI de voisinages
de x, telle que tout voisinage de x contienne l'un des Vi.
1.3.7. Exemples. a) Supposons que E soit un espace métrique. Pour n = l, 2,
3, ..., soit Bn la boule ouverte de centre x et de rayon 1 ln. Alors la suite (BI'
B 2 , . . .) est un système fondamental de voisinages de x. En effet, si V est un
voisinage de x, il existe un e: > 0 tel que V contienne la boule ouverte B de
centre x et de rayon e (1.3.2). Soit n un entier tel que !:::; e. Alors n
BnCBCV. b) Conservons les mêmes notations, et soit B
la boule fermée de centre x et de rayon lIn. Alors (B
, B
, . . .) est un système fondamental de voisinages de x. En effet, Bn C B

C B"-l , donc notre assertion résulte de a). c) Soient E un espace topologique,
et x E E. L'ensemble de tous les voisinages de x est un système fondamental
de voisinages
de x. L'ensemble de tous les voisinages ouverts de x est un système
fondamental de voisinages de x (cf 1. 3 . 1).
1 . 3 . 8. Soie11t E un espace topologique, et x E E. Si on connaît un système
fondamental (Vi)iEI de voisinages de x, on connaît tous les voisinages de x;
en effet, soit V CE; pour que V soit un voisinage de x, il faut et il suffit que V
contienne l'un des Vi (cela résulte de 1. 3.4 (ii) et 1.3.6).
1 .4 - Intérieur, extérieur, frontière
1 .4. 1. Définition. Soient E un espace topologique, A C E, et x E E. On dit
que x est intérieur à A si A est un voisinage de x dans E, autrement dit s'il
existe une partie ouverte de E contenue dans A et contenant x. L'ensemble
des points intérieurs à A o s'appelle l'intérieur de A et se note souvent A.
1 .4.2. Bien entendu, si x est intérieur à A, on a x E A. Mais la réciproque
n'est pas vraie. Par exemple, si E = R et o A = [0, 1], on a A = ]0, 1 [; les
points 0 et 1 appartiennent à A mais ne sont pas intérieurs à A. Si E = R et A
= Z, on o a A = 0.

1 .4. 3. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie o de E. Alors
A est le Plus grand ensemble ouvert contenu dans A. Soit U une partie
ouverte de E contenue dans A. Si x E U, o 0 A est un voisinage de x, donc x
E A. Ainsi, U C A. o 0 Il est clair que AC A. Montrons que A est ouvert.
D'après o 0 1 .3.5, il suffit de prouver que, si x E A, A est voisinage de x. Or,
il existe une partie ouverte B de E telle que x E BeA. Alors, o 0 BeA d'après
la première partie de la démonstration, donc A est voisinage de x.
1.4.4. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie de E. Les
conditions suivantes sont équivalentes: (i) A est ouverte; o (ii) A = A.
1 8 Topologie générale
(i) => (ii). Si A est ouverte, Je plus grand ensemble ouvert ° contenu dans A
est A, donc A === A d'après 1.4.3. ° ° (ii) => (i). Si A === A, A est ouverte
puisque A est ouverte (1.4.3).
1 .4.5. Théorème. Soient E un espace topologique, A et B des ° ° parties de E.
On a (A n B)O == A n B. L'ensemble (A n B)O est ouvert (1.4.3) et contenu
dans A n B, donc a fortiori dans A. Par suite, (A n B)O C AO d'après 1.4.3.
De même, (A n B)OCBO, donc (A n B)OCAO n BO. ° ° ° ° ° ° On a A C A,
B C B, donc A n BeA n B. Mais A n B est o ° ouvert (1.2.1 (iii)), donc A n
Be (A n B)O d'après 1.4.3.
° ° 1 .4.6. Par contre, on a (A u B) ° =1= A u B en général. Par exemple,
prenons E == R, A == [0, 1], B === [l, 2]. Alors

° ° A u B == [0, 2], A == ]0, 1 [, B == ] 1, 2 [, (A u B)O == ]0, 2 [ =1= ]0, 1 [
u ] 1, 2 [.
1 .4. 7. Définition. Soient E un espace topologique, A une partie de E, x un
point de E. On dit que x est extérieur à A s'il est intérieur à E - A, autrement
dit s'il existe une partie ouverte de E disjointe de A et contenant x.
L'ensemble des points exté- rieurs à A s'appelle l'extérieur de A; c'est
l'intérieur de E - A. Echangeant A et E -- A, on voit que l'extérieur de E - A
est l'intérieur de A.
1 .4. 8. Soient E un espace topologique, A C E, Al l'intérieur de A, A 2
l'extérieur de A. Les ensembles Al et A 2 sont disjoints. Soit A3 == E -- (Al u
A 2 ). Alors Al' A 2 , A3 forment une par- tition de E. On dit que A3 est
lafrontière de A. C'est un ensemble fermé puisque Al u A 2 est ouvert. Si l'on
échange A et E -- A, Al et A 2 s'échangent, donc A3 ne change pas : un
ensemble et son complémentaire ont même frontière.
1 .4. 9. Exemple. Soit A la partie [0, 1 [ de R. L'intérieur de A est ]0, 1 [,
l'extérieur de A est ]- 00, 0 [ u ] 1, + 00 [, donc la frontière de A est {O} u {
1}.
1 ,5 - Adhérence
1.5. 1. Définition. Soient E un espace topologique, A C E et x E E. On dit que
x est adhérent à A si tout voisinage de x dans E rencontre A. L'ensemble des

points adhérents à A s'appelle l'adhé- rence de A et se note A .
1 .5.2. Bien entendu, si x E A, x est adhérent à A; mais la récipr oq ue n'est
pas vraie. Par exemple, si E == R et A == ]0, 1 [, on a A == [0, 1].
1,5.3. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie de E. Alors A
est le complémentaire de l'extérieur de A. Soit x E E. On a les équivalences
suivantes : x ri A <=> il existe un voisinage de x disjoint de A <=> il existe
un voisinage de x contenu dans E - A <=> x est intérieur à E - A <=> x
appartient à l'extérieur de A,
d'où le théorème.
1 .5.4. Théorème. Soient E un espace topologique, A C E, BeE. Ci) A est la
plus petite partie fermée de E contenant A; (ii) A fermée <=> A == A; (iii) (A
u B)- == A u B . Cela résulte de 1.4. 3, 1.4.4, 1.4.5 par passage aux complé-
mentaires, compte tenu de 1.5. 3. Par exemple, prouvons (i) en détail.
L'extérieur de A est (E - A) ° (1.4. 7), c'est-à-dire le plus grand ensemble
ouvert contenu dans E - A (1.4.3). Donc son complémentaire A (1. 5 . 3) est
fermé et cOlltient A. Si F est une partie fermée de E contenant A, E - F est
ouverte et contenue dans E-A, donc E-FC(E-A)O == E- A , donc F::> A .
1.5.5. Si l'on reprend les notations de 1.4.8, le théo- rème 1.5. 3 montre que A
== Al U A 3 , (E - A)- == A 2 U A3. Donc la frontière A3 est l'intersection
des adhérences A et (E - A)-.

1 . 5 . 6. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie de E. Les
conditions suivantes sont équivalentes: (i) toute partie ouverte non vide de E
rencontre A; (ii) l'extérieur de A est vide; (iii) l'adhérence de A est E tout
entier. La condition (i) signifie que la seule partie ouverte contenue dans E -
A est 0, donc d'après 1.4.3 que l'intérieur de E - A est vide. Cela prouve Ci)
<=> (ii). L'équivalence (ii) <=> (iii) résulte de 1.5.3.
1 .5. 7. Définition. Une partie A de E vérifiant les conditions 1. 5 . 6 est di te
dense dans E.
1 .5.8. Exemple. Q est dense dans R : en effet, toute partie ouverte non vide
de R contient un intervalle ouvert non vide, donc contient des nombres
rationnels. D'ailleurs le complémen- taire R - Q de Q dans R est lui aussi
dense dans R car tout intervalle ouvert nOIl vide contient des nombres
irrationnels.
1.5.9. Théorème. Soient A une partie majorée non vide de R, x sa borne
supérieure. Alors x est le plus grand élément de A . Soit V un voisinage de x
dans R. Il existe une partie ouverte U de R telle que x EUe V. Puis il existe e
> 0 tel que ]x - e, X + e [ CU. Par définition de la borne supérieure, il existe y
E A tel que x - e <y
x. Alors YEU C V, donc V nA i= 0. Ainsi, x est adhérent à A. Soit x' E A . Si
x' > x, posons e = x' - x > O. Alors Jx' - e, x' + e[ est un voisinage de x', donc
rencontre A. Soit y E A n Jx' - e, x' + e[. Puisque y > x' - e = x, x ne majore
pas A, ce qui est absurde. Donc x'
x. Cela prouve que x est le plus grand élément de A .

1 .6 - Espaces topologiques séparés
1.6.1. Définition. Un espace topologique E est dit séParé si deux points
distincts quelconques de E admettent des voisinages disjoints.
1.6.2. Exemples. a) Un espace métrique E est séparé. En effet, soient x,y E E
avec x :/= y. Posons e = d(x,y) > o. Alors les boules ouvertes V, W de centres
x, y et de rayon e/2 sont disjointes (car, si Z EV () W, on a d(x, z) < e; ,
d(z,y) < E , donc d(x,y) < ë., ce qui est absurde). 2 2 b ) Un espace
topologique discret E est séparé. En effet, si x,y E E et x =1= y, {x} et {y}
sont des voisinages ouverts disjoints de x, y. c ) Un espace topologique
grossier E est non séparé (s'il contient plus d'un point). Car soient x,y E E
avec x =1= y. Soient V, W des voisinages de x, y. Alors V contient une partie
ouverte U de E contenant x, d'où U = E et a fortiori V = E. De même, W = E.
Donc V () W =1= 0.
1 .6.3. Théorème. Soient E un espace topologique séParé, x E E. Alors {x}
est fermé. Soit y E E - { x}. On a y =1= x, donc il existe des voisinages V, W
de x, y qui sont disjoints. En particulier, W C E - {x}, donc E -{x} est
voisinage dey. Ainsi, E -{x} est voisinage de chacun de ses points, et par
suite ouvert (1.3.5). Donc {x} est fermé.
CHAPITRE II
Limites. Continuité

Comme on l'a dit dans l'introduction, la notion de limite est l'une de celles qui
sont à l'origine de la topologie. L'étudiant connaît déjà plusieurs aspects de
cette notion : limite d'une suite de points dans un espace métrique, limite
d'une fonction en un point, etc. Pour éviter d'avoir à multiplier les énoncés
ultérieurs, on présente au
2 un cadre (limite suivant une « base de filtre») qui englobe tous les aspects
utiles des limites. Il n'est pas mauvais d'avoir compris cette définition
générale, mais il est beaucoup plus important de se sentir familier avec une
foule de cas particuliers. Bien entendu, la définition de la limite entraîne celle
de la continuité des fonctions :
3 et 4. Deux espaces topologiques sont dits homéo- morphes (
5) s'il existe une bijection de l'un sur l'autre qui est continue ainsi que
l'application réciproque,. deux tels espaces ont les mêmes pro- priétés
topologiques, et l'on pourrait presque les considérer comme le même espace
topologique. (Par exemple, un cercle et un carré sont homéomorPhes; un
cercle et une droite ne sont pas homéomorPhes,. puis, ce qui est peut-être
plus surprenant, une droite et un cercle privé d'un point sont homéomorphes.)
Un but raisonnable de la topologie serait de classer tous les espaces topo-
logiques à homéomorphisme près, mais cela semble hors d'atteinte à l' heure
actuelle. On sait bien qu'une suite n'admet pas toujours de limite. Comme
substitut de la limite, on introduit au
6 la notion de valeur d'adhérence.
Limites. Continuité 23
2.1 - Filtres

2 . 1 . 1. Définition. Soit X un ensemble. On appelle filtre sur X un ensemble
ff de parties non vides de X vérifiant les conditions suivantes :
(i) si A Effet B E ff, alors A n B E ff (donc en particulier AnB=I=0); (ii) si A
E:F et si A' est une partie de X contenant A, alors A' E:F.
On appelle base de filtre sur X un ensemble f}J de parties non vides de X
vérifiant la condition suivante :
(i') si A E $ et B E &8, il existe C E fJd tel que C C A n B (donc en
particulier A n B =1= 0). Un filtre est une base de filtre, mais la réciproque
n'est pas vraie. Si &J est une base de filtre sur X, on voit aussitôt que
l'ensemble des parties de X qui contiennent un élément de fJ8 est un filtre.
2. 1 .2. Exemple. Soient X un espace topologique, Xo E X. L'ensemble 1/ des
voisinages de Xo est un filtre sur X (1. 3 .4) . Si if/" est un système
fondamental de voisinages de xo, if/ est une base de filtre sur X.
2.1 .3. ExemPle. Soit Xo E R. L'ensemble des intervalles ]xo - z, Xo + zr, où
E > 0, est une base de filtre sur R. C'est d'ailleurs un cas particulier de 2.1.2.
Mais voici des exemples de base de filtre sur R qui ne sont pas des cas
particuliers de 2.1.2 :
l'ensemble des [xo, Xo + zr, , z>O ou l'ensemble des ]xo, Xo + zr, , z>O ou
l'ensemble des ]xo - z, xo], , z>O ou l'ensemble des ]xo - z, x o [, , E>O ou

l'ensemble des ]xo - z, xo[ U ]xo, Xo + zL , z > O. ou
2. 1.4. Exemple. L'ensemble des intervalles [a, -f- 00 [, où a ER, est une base
de filtre sur R. De même pour l'ensemble des ]- 00, aJ.
2.1.5. Exemple. Sur N, l'ensemble des parties {n, n + 1, n + 2, . . .}, où n E N,
est une base de filtre.
1 .6. Exemple. Soient X un espace topologique, Y c X, et Xo E Y.
L'ensemble des parties de Y de la forme Y n V, où V est un voisinage de Xo
dans X, et un filtre sur Y (notamment, YnV:f. 0 parce que Xo E Y ). Si Y =
X, on retrouve 2.1.2.
2.2 - Limites suivant une base de filtre
2 .2. 1. Définition. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre f!J, E un
espace topologique, f une application de X dans E, l un point de E. On dit que
f tend vers l suivant f!d si la condition suivante est vérifiée
f

pour tout voisinage V de l dans E, il existe B E f!l tel que f(B) C V.
Si l'on connaît un système fondamental (Vi) de voisinages de l dans E, il
suffit de vérifier cette condition pour les Vi (en effet, tout voisinage de l
contient un Vi)'
2.2.2. ExemPle. Supposons que X = N, avec la base de filtre P4 considérée en
2.1.5. Une application de N dans E n'est
autre qu'une suite (a o , al' a 2 , . . .) de points de E. Dire que cette suite tend
vers l suivant [Jd signifie que
pour tout voisinage V de l dans E, il existe un entier N tel que n
N => an E V.
On écrit alors limn-+cx> an = l. Si, par exemple, E est un espace métrique,
cette condition se trad ui t ainsi :
pour tout z > 0, il existe N tel que n
N => d(a n , l)

€.
On reconnaît la définition classique de la limite d'une suite de points dans un
espace métrique (par exemple d'une suite de nombres réels).
2.2. 3. Exemple. Soient X et E des espaces topologiques, June application de
X dans E, Xo E X, l E E. Prenons pour f!l le filtre des voisinages de Xo dans
X (2. 1 .2). Dire que f tend vers l suivant /!À signifie que : pour tout
voisinage V de l dans E, il existe un voisinage W de Xo dans X tel que x E W
=> f(x) E V. On écrit alors limx-+xof(x) = l. Si X = E = R, on retrouve la
définition de la limite en un point d'une fonction réelle de variable réelle.
2.2.4. Exemples. On sait que la notion de limite d'une fonction réelle de
variable réelle comporte beaucoup de variantes. Ces
variantes entrent dans le cadre général de 2.2. 1. Par exemple, si X = E = R,
et si 1'011 prend les bases de filtre considérées en 2. 1 .3, 2. 1 .4, on retrouve
les notions connues suivantes
limœ
œo, x
Xg f(x) limx

xo, œ >xof(x) lim f( x ) œ
xo, x
Xo
limx
œo, œ<xof(x) limœ
xo, x -1= Xo f(x) 1imx
+ 00 ,f(x) limœ
_CIJ f(x).
2.2.5. Exemple. Soient X et E des espaces topologiques, y ex, Xo E Y , f une
application de Y dans E, l E E. Prenons pour f18 le filtre défini en 2. 1 .6.
Dire que f tend vers l suivant gg signifie que : pour tout voisinage V de l dans
E, il existe un voisinage W de Xo dans X tel que x E Y fi W => f(x) E V.
On écrit alors lim x -+ xo , xE y f(x) == l. Cet exemple généralise 2.2. 3. En
prenant X = E == R, et pour y diverses parties de R, on retrouve les cinq
premiers exemples de 2.2.4.
2 . 2 . 6. Théorème. Soient X, E des espaces topologiques, f une application
de X dans E, Xo E X, l E E, (Wi)iEI un système fondamental de voisinages
de Xo dans X, (V j) jE J un système fondamental de voisinages de l dans E.
Les conditions suivantes sont équivalentes:

Ci) lim x4xo fCx) == l; (ii) pour tout j E J, il existe i E 1 tel que .f(W i ) C V j
. Supposons vérifiée la condition (i). Soit j E J. Il existe un voisinage W de
Xo dans X tel que f(W) C V j . Puis il existe i E 1 tel que W, C W. Alors f(W
i ) C V j . Supposons vérifiée la condition (ii). Soit V un voisinage de l dans
E. Il existe j EJ tel que V j eV. Puis il existe i E 1 tel que f(W i ) C V j , d'où
f(W j ) eV.
2 . 2 . 7. Corollaire. Soient X, E des espaces métriques, f llne application de
X dans E, Xo E X, l E E. Les conditions suivantes sont équivalentes : Ci)
limx
xof(x) == l; (ii) pour tout E > 0, il existe "1) > 0 tel que : x E X, d(x, xo)
"1) => d(f(x), l)
z.
En effet, les boules fermées de centre Xo (resp. 1) et de rayon> 0 dans X
(resp. E) forment un système fondamental de voisinages de Xo (resp. l) dans
X (resp. E).
2 . 2 . 8. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre
, E un espace topologique séParé, f une application de X dans E. Si f admet
une limite suivant f!4, cette limite est unique. Soient l, l' des limites distinctes
de f suivant go. Puisque E est séparé, il existe des voisinages disjoints V, V'
de l, l' dans E. Il existe B, B' E gj tels que f(B) eV, f(B/) c V'. Puis il existe B"
E f!4 tel que B" C B (") B'. Alors f(B") C V (") V'. Comme B" i= 0, on a
f(B") i= 0, donc V (") V' i= 0, ce qui est absurde.

2.2.9. Par contre, si E n'est pas séparé, f peut admettre plusieurs limites
suivant go. Par exemple, si E est un espace grossier, on vérifie aisément que
tout point de E est limite de f suivant f!)J. L'emploi de la notion de limite
dans les espaces non séparés est risqué; dans ce cours, nous ne parlerons
guère de limite que pour les espaces séparés. Dans ces conditions, le théo-
rème 2. 2 . 8 permet de parler de la limi te (si elle existe! le lecteur connaît
déjà bien des exemples d'applications qui n'ont pas de limite du tout).
2 . 2 . 10. Théorème (caractère local de la limite). Soient X un ensemble muni
d'une base de filtre fJJ, E un espace topologique, f une application de X
dans E, 1 E E. Soient X' E 80, et f' la restriction de f à X'. Les ensembles B
(") X', où B E 84, forment une base de filtre go' sur X'. Les conditions
suivantes sont équivalentes : (i) f tend vers l suivant f!)J; (ii) f' tend vers 1
suivant fJd'. Supposons que f tende vers l suivant !JO. Soit V un voisinage de
1 dans E. Il existe B E fJd tel que f(B) C V. Alors f' (B (") X') C V, et B f1 x'
E fJdl, donc f' tend vers 1 suivant f!À'.
Supposons que J' tende vers l suivant !!J'. Soit V un voisinage de l dans E. Il
existe B' E f!l' tel que f' (B') eV. Mais B' est de la forme B t1 X' avec B E f}/.
Comme X' E flI, il existe BI E
tel que BI C B t1 X'. Alors J(BI) Cf'(B') C V, donc f tend vers l suivant f1l.
2.3 - Applications continues en un point

2.3. 1. Définition. Soient X et Y des espaces topologiques, f une application
de X dans Y, et Xo E X. On dit que f est continue en Xo si limx-+:lof(x) = f(x
o ), autrement dit (2.2.3) si la condition suivante est vérifiée :
f
pour tout voisinage W de f(x o ) dans Y, il existe un voisinage V de Xo dans
X tel que f(V) C W.
2.3.2. Exemple. Soient X et Y des espaces métriques, June application de X
dans Y, et Xo E X. D'après 2.2.7, dire que f est continue en Xo signifie que :
pour tout e > 0, il existe 1) > 0 tel que x E X et d(x, xo)
1) => d(f(x),f(xo))
€.
On reconnaît une définition classique. Par exemple, si X = Y = R, on retrouve
la continuité en un point d'une fonction réelle de variable réelle.
2 . 3 . 3. Théorème. Soient T un ensemble muni d'une hase de filtre (!J, X et
Y des espaces topologiques, l E X, f une application de T dans X qui tend

vers 1 suivant fIl, g une application de X dans Y continue en 1. Alors g of
tend vers g(l) suivant !JI.
f >-
Soit W un voisinage de g(l) dans Y. Il existe un voisinage V de 1 dans X tel
que g(V) C W. Puis il existe un B E f}J tel que f(B)CV. Alors (gof)(B) Cg
(V) CW, d'où le théorème.
2.3.4. Corollaire. Soient T, X, Y des espaces topologiques, f : T -+ X et g : X
-+ Y des applications, et t o E T. Si f est continue en t o et g continue en f (t o
), alors g o.f est continue en t o . On applique 2.3.3 en prenant pour fJ9 le
filtre des voisinages de t o dans T, et l =f(t o ). Alors g of tend vers g(f(t o ))
suivant !!J, c'est-à-dire que g of est continue en t o .
2.4 - Applications continues
2 .4. 1. Définition. Soient X et Y des espaces topologiques, f une application
de X dans Y. On dit que f est continue dans X sif est continue en tout point de
X. On note
(X, Y) l'ensemble des applications continues de X dans Y.
2.4.2. Exemples. Cette notion de continuité est très connue pour les fonctions
réelles de variable réelle, et plus généralement pour les applications d'un
espace métrique dans un autre.

2.4.3. Théorème. Soient X, Y, Z des espaces topologiques, fE
(X,Y), gE
(Y,Z). Alors gofE
(X,Z). Cela résulte aussitôt de 2.3.4.
2.4.4. Théorème. Soient X et Y des espaces topologiques, f une application
de X dans Y. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) f est continue; (ii) l'image réciproque par f de toute partie ouverte de Y est
une partie ouverte de X; (iii) l'image réciproque par f de toute partie fermée
de Y est une partie fermée de X; (iv) pour toute partie A de X, on a f(A)
(f(A).
(i) => (iv). Supposons f continue. Soient A (X et Xo E A. Soit W un
voisinage def(x o ) dans Y. Commefest continue en Xo, il existe un voisinage
V de Xo dans X tel que f(V) (W. Comme Xo E A , on a V n A i= 0. Comme
f(V n A) (,tV nf(A), on voit que W nf(A)
0. Cel a ét ant valable pou r to ut voisinage W de f(x o ), on a f(x o ) Ef(A).
Ainsi f( A ) (f(A). (iv) => (iii). Supposons la condition (iv) vérifiée. Soient Y'
une partie fermée de Y et X' = f-1 (Y'). On a f(X' ) (Y', donc f(X') (Y' (1.5.4).
Si x E X', on a f(x) Ef(X/) d'après_la condition (iv), donc f(x) E Y', donc x E
X'. Ainsi, X' = X', ce qui prouve que X' est fermé. (iii) => (ii). Supposons la
condition (iii) vérifiée. Soient Y' une partie ouverte de Y, et X' = f-1 (Y').

Alors Y - Y' est fermé, donc f-l(Y - Y') est fermé. Mais f-l(Y - Y') = X_f-
l(Y'). Donc j-l(Y') est ouvert. (ii) => (i). Supposons la condition (ii) vérifiée.
Soit Xo E X et prouvons que f est continue en Xo' Soit W un voisinage de f(x
o ) dans Y. Il existe une partie ouverte Y' de Y telle que f(x o ) E Y' ( W. Soit
X' =f-1(Y'). Alors X' est ouvert d'après la condition (ii), et Xo E X', donc X'
est un voisinage de Xo' Comme f(X') ( Y' ( W, cela prouve la continuité de f
en Xo'
2 .4.5. Exemple. Soient a, b des nombres > O. On sait que x2 y2 l'application
(x, y) /--» a 2 + b 2 - 1 de R2 dans R est continue. D'autre part, [0, + ex) [ est
une partie fermée de R. Donc l'ensemble x2 y2 des (x, y) E R2 tels que a 2 +
b 2 - 1
0 est fermé dans R2. De
x2 y2 même, l'ensemble des (x, y) E R2 tels que a 2 + b 2 - 1 === 0 (ellipse)
est fermé dans R2, etc.
2 .4.6. Erreur à éviter. On risque de confondre les conditions (ii) et (iii) de
2.4.4 avec les conditions suivantes : (ii') l'image directe de toute partie
ouverte de X est une partie ouverte de Y; (iü') l'image directe de toute partie
fermée de X est une partie fermée de Y. Les applications vérifiant (ii') (resp.
(iii')) sont appelées applications ouvertes (resp. applications fermées). Il
existe des applications continues qui ne sont ni ouvertes ni fermées, des
applications ouvertes qui ne sont ni continues ni fermées et des applications
fermées qui ne sont ni continues ni ouvertes.

2 .4. 7. Soient g"l, g" 2 deux topologies sur un ensemble E. Désignons par El,
E 2 l'ensemble E muni des topologies g"l, g" 2 . Dire que g"l est plus fine que
g"2 signifie, d'après 2.4.4 (ii), que l'application identique de El dans E 2 est
continue.
2.5 - Homéomorphismes
2 . 5 . 1. Théorème. Soient X et Y des espaces topologiques, June application
bijective de X sur Y. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f et f- l
sont continues; (ii) pour qu'une partie de X soit ouverte, il faut et il suffit que
son image dans Y soit ouverte; (iii) pour qu'une partie de X soit fermée, il
faut et il suffit que son image dans Y soit fermée. Cela résulte aussitôt de
2.4.4.
2.5.2. Définition. Une application f de X dans Y qui vérifie les conditions
2.5.1 s'appelle une application bicontinue de X sur Y, ou un
homéomorphisme de X sur Y. (D'après 2.5.1 (ii), c'est la notion naturelle
d'isomorphisme pour la structure d'espace topologiq ue. )
2.5.3. Il est clair que l'application réciproque d'un homéo- morphisme est un
homéomorphisme. D'après 2.4.3, le composé de deux homéomorphismes est
un homéomorphisme.
2.5.4. Soient X et Y des espaces topologiques. S'il existe un
homéomorphisme de X sur Y, on dit que X et Y sont homéo- morPhes. En

vertu de 2.5.3, il s'agit là d'une relation d'équivalence entre espaces
topologiques. Si X et Y sont homéomorphes, la structure des parties ouvertes
est la même dans X et Y; comme toutes les propriétés topologiques sont
définies à partir des ensembles ouverts, X et Y auront les mêmes propriétés
topologiques; X et Y sont presque « le même» espace topologique. Un des
buts de la topologie (pas le seul, loin de là) consiste à reconnaître si deux
espaces donnés sont homéomorphes ou non, et à classer les espaces
topologiques à homéomorphisme près; ce but est loin d'être atteint à l'heure
actuelle.
2.5.5. Exemples. Tous les intervalles ouverts non vides de R sont
homéomorphes. En effet, si Il et 1 2 sont ouverts bornés, il existe une
homothétie ou une translation! qui transforme Il en 1 2 , et f est évidemment
bicontinue. De même si Il et 1 2 sont de la forme ]a, + oo[ ou ]-00, a[. Reste
donc à comparer les intervalles ]0, 1 [, ]0, + 00 [ et ]- 00, + 00 [. Or
l'applicatio11 x
tg 7t X 2 de ]0, 1 [ dans ]0, + 00 [ est bijective, continue, et son application
réciproque x
2 Arc tg x est continue; donc ]0, 1 [ et ]0, + 00 [ 1t sont homéomorphes. De
même, l'application x
tg 1t X de ]- 1, 1 [ dans ]- 00, + oo[ est un homéomorphisme. 2 Les
intervalles ]0, 1 [ et [0, 1] sont non homéomorphes (cf. 4. 2 . 8) .
2.5.6. ExemPle. Un cercle et un carré dans R2 sont homéo- morphes (par
translation suivie d'une projection centrale).
2.5. 7. Exemple: projection stéréographique. Soit Sn l'ensemble des x = (Xl' x
2 , ..., x n + l ) E Rn+l tels que xi + ... + X;+l = 1 (<< sphère de dimension n
»). Soit a = (0, 0, . . ., 0, 1) E Sn' Iden- tifions Rn à l'ensemble des (Xl'.'" X n ,

0) E Rn+l. Nous allons définir un homéomorphisme de Sn -{a} sur Rn.
f(X)
Soit X== (Xl' ...,X n + l ) ESn-{a}. La droite Djoignant a à X dans Rn + 1 est
l'ensemble des points de la forme :
(ÀX I , ..., ÀX n , 1 + À(x n + l -1))
où À ER. Ce point est dans Rn pour 1 + À(x n + 1 - 1) = 0 c'est-à-dire pour À
== (1 - X n + 1 )-1 (on a xn+l ¥= 1 car X ¥= a). Donc D n Rn se réduit au
point f(x) de coordonnées:
Xl ( 1)
Hi: x
== .. J',_
1 - X n + 1 '

1 x 2 x 2 == 1 ' ..., - xn+l
1 x n x n == 1 ' - xn+l
X
+l = O.
On a ainsi défini une application f de Sn - { a} dans Rn. Si x' == (x
, . . ., X
, 0) est donné dans Rn, il existe un point
X == (Xl' · · ., X n + 1) E Sn - {a}
et un seul tel que f(x) == x'. En effet, en résolvant (1) on a les conditions :
Xi == X; (1 - X n + l )
pour 1
i
n,

;==1 x;2(1 - Xn+l)2 + X;+l = 1
d'où, en simplifiant par 1-x n + 1 qui est non nul:
(X
2 + ... + X
2) (l-x n + 1 ) -1-x n + 1 = 0
TOPOLOGIE
2
d'où
(2)
X
2 + . .. + X

2 - 1 xn+1 = '2 + + '2 + 1 Xl · · · X n 2x
1- - '2 1 Xl + ... + Xn 2 + 1
(1
i
n).
X. 10
Ainsi, f est une bijection de Sn - { a} sur Rn. Les formules (1) et (2) prouvent
en outre que f et f-1 sont continues. L'homéomorphisme f s'appelle la
projection stéréographique de Sn -{a} sur Rn.
2.6 - Valeurs d'adhérence suivant une base de filtre
2.6. 1. Définition. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre &6, E un
espace topologique, f une application de X dans E, l un point de E. On dit que
l est valeur d'adhérence de f suivant fJB si la condition suivante est vérifiée :
pour tout voisinage V de l dans E et tout B E
, f(B) rencontre V.

Si l'on connaît un système fondamental de voisinages (Vi) de l dans E, il
suffit de vérifier cette condition pour les Vi'
2.6.2. Exemple. Supposons que X = N avec la base de filtre 2. 1.5. On
considère donc une suite (a o , al' . . .) de points de E. Dire que l est valeur
d'adhérence de cette suite signifie que: pour tout voisinage V de l dans E, et
tout entier N, il existe n
N tel que an E V.
Si, par exemple, E est un espace métrique, cette condition se trad ui t ainsi :
pour tout E > 0, et tout entier N, il existe n
N tel que d(a n , l)
E.
Li mites. Continuité 35
Par exemple, prenant E = R, considérons la suite de nombres 1 1 1 1 1 1 4 ' 1
- 4 ' 5 ' 1 - 5' 6 ' 1 - 6 '
On vérifiera à titre d'exercice que les valeurs d'adhérence de cette suite sont 0
et 1.

2.6. 3. Ex emple. Soient X et E des espaces topologiques, y ex, Xo E Y, f une
application de Y dans E, l E E. Prenons pour f!8 le filtre 2. 1 .6. Dire que l est
valeur d'adhérence de f suivant fJB signifie que : pour tout voisinage V de l
dans E et tout voisinage W de Xo dans X, f(W n Y) rencontre V. On dit alors
que l est valeur d'adhérence de f quand x tend vers Xo en restant dans Y.
x
-1
Par exemple, prenons X = E = R, Y = R - { O}, Xo = 0, et f(x) = sin! pour x
ER -{O}. On vérifiera à titre d'exercice x que les valeurs d'adhérence def
quand x tend vers 0 par valeurs i= 0 sont tous les nombres de [- l, 1]. On
reconnaît sur les exemples 2. 6 . 2, 2. 6. 3 que la notion de valeur d'adhérence
est une sorte de substitut de la notion de limite. Ce point va être précisé
maintenant.
2.6.4. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre f!d, E un
espace topologique séParé, f une application de X dans E, l un point de E. Si f
tend vers l suivant &6, l est l'unique valeur d'adhérence de f suivant (JI.
Soient V un voisinage de l dans E et B E PÀ. Il existe B' E f!J tel que f(B') C
V. Alors B n B' i= 0, donc f(B n B') =1= 0, et f(B n B') Cf(B) n V. Doncf(B)
rencontre V. Ainsi, l est valeur d'adhérence de f suivant fJ1J. Soit l'une valeur
d'adhérence de f suivant $, et supposons [' ¥= l. Il existe des voisinages V, V'

de l, [' qui sont disjoints. Puis il existe B E
tel que f(B) C V. Alors f(B) n V' = 0, ce qui contredit le fait que l'est valeur
d'adhérence.
2.6.5. Ainsi, quand f admet une limite suivant ffd, la notion de valeur
d'adhérence, n'apportant rien de nouveau, est sans intérêt. Mais que peut-il
arriver quand f n'a pas de limite suivant fJ6? a) il peut arriver quefn'ait
aucune valeur d'adhérence; exemple: la suite (0, l, 2, 3, . . .) dans R n'a pas de
valeur d'adhérence; cf. toutefois 4.2. 1 ; b) il peut arriver que f ait une valeur
d'adhérence et une seule; exemple : la suite (0, l, 0, 2, 0, 3, ...) dans R n'a pas
de limite, et sa seule valeur d'adhérence est 0; cf. toutefois 4.2.4; c) il peut
arriver que f ait plusieurs valeurs d'adhérence (2.6.2, 2.6.3).
En somme, par rapport à la notion de limite, on perd sur l'unicité, mais on
gagne sur l'existence.
2.6.6. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre
, E un espace topologique,fune aPPlication de X dans E. L'ensemble des
valeurs d'adhérence de f suivant
est ['intersection des f(B) quand B parcourt fJ6. Soit [ une valeur d'adhérence
de f suivant BB. Soit B E PÀ. Tout voisinage de l rencontre f(B), donc
[Ef(B). Ainsi : [ E nBE
f(B) . Supposons que m E nBE
f(B) . Soient V un voisinage de m et B E
. Puisque m Ef(B), f(B) rencontre V. Donc m est valeur d'adhérence de J. (Il
Y a donc une relation entre la notion de valeur d'adhé- rence et celle de point
adhérent. Mais on ne confondra pas ces deux notions.)

CHAPITRE III
Constructions d J espaces topologiques
L'étude d'une structure quelconque amène souvent à l'étude des sous-
structures, structures produits, structures quotients. Par exemPle, l'étudiant l'a
déjà vu dans l'étude de la structure d'espace vectoriel. Il en est de même pour
les espaces topologiques. Cela fournit de nouveaux espaces importants (par
exemple les tores Tn J' cf. aussi, en exercice, les espaces proJectifs).
3,1 - Sous-espaces topologiques
3 . 1 . 1. Théorème. Soient E un espace topologique, F une partie de E. Soit
0/1 l'ensemble des parties ouvertes de E. Soit 1/ l'ensemble des parties de F
de la forme V n F, où U E 0/1. Alors 1/ vérifie les axiomes (i ) , (ii) , ( iii) de
1. 2 . 1. Ci) On a 0 E Olt et E E 0/1, donc 0 == 0 n F E 1/ et F == E n F E 1/.
(ii) Soit (Vi)iEI une famille de parties appartenant à 1/. Pour tout i E 1, il
existe un Vi E Olt tel que Vi == U i n F. Alors U iEI Vi E 0/1, donc : U iEI
V'i == UiEI(U i n F) == CU iEI U i ) n F E 1/.
(iii) Conservons les notations de (ii), et supposons de plus 1 fini. Alors niEI
Vi E Olt, donc : niEI Vi == niEICU i n F) == CniEI Vi) n F E 1/.
3.1.2. D'après 3.1.1, 1/ est l'ensemble des parties ouvertes d'une topologie sur
F, appelée topologie induite sur F par la topologie

donnée de E. Muni de cette topologie, F s'appelle un sous-espace topologique
(ou simplement un sous-espace) de E. Les parties ouvertes de F sont donc,
par définition, les intersections avec F des parties ouvertes de E.
3. 1 .3. Remarque. Soient E un espace topologique, F un sous- espace de E. Si
A est une partie de F, les propriétés de A relativement à F et relativement à
E peuvent différer. Par exemple, si A est ouverte dans E, A est ouverte dans F
(car on a A == A n F), mais la réciproque est inexacte en général (par
exemple, F est une partie ouverte de F mais n'est pas ell général une partie
ouverte de E). Toutefois, si F est une partie ouverte de E, et si A est ouverte
dans F, alors A est ouverte dans E (car A == B () F avec B ouverte dans E, et
l'intersection de deux parties ouvertes de E est une partie ouverte de E).
3. 1 .4. Théorème. Soient E un espace topologique, F un sous- espace de E, A
une partie de F. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est fermée
dans F; (ii) A est l'intersection avec F d'une partie fermée de E. Ci) => (ii).
Supposons A fermée dans F. Alors F - A est ouverte dans F, donc il existe
une partie ouverte U de E telle que F-A = U () F. Comme A == (E- U) () F et
que E- U est fermée dans E, on voit que la condition (ii) est vérifiée. (ii) =>
(i). Supposons A = X () F, où X est une partie fermée de E. Alors F - A == (E
- X) () F, et E - X est ouverte dans E, donc F - A est ouverte dans F, et A est
fermée dans F.
3.1.5. Remarque. Conservons les notations 3.1.4. Si A est fermée dans E, A
est fermée dans F. Mais la réciproque est inexacte en général (par exemple, F
est fermée dans F mais pas dans E en général). Toutefois, si F est fermée dans

E et si A est fermée dans F, alors A est fermée dans E (car A == X () F avec
X fermée dans E, et l'intersection de deux parties fermées de E est une partie
fermée de E).
3 . 1 . 6. Théorème. Soient E un espace topologique, F un sous- espace et x E
F. Soit W CF. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) West un
voisinage de x dans F; (ii) West l'intersection avec F d'un voisinage de x dans
E.
Constructions d'espaces topologiques 39
Ci) => (ii). Supposons que W soit un voisinage de x dans F. Il existe une
partie ouverte B de F telle que x E Be W. Puis il existe une partie ouverte A
de E telle que B = F fi A. Soit V = A u W. On a x EACV, donc V est un
voisinage de x dans E. D'autre part :
F n V = (F n A) u (F n W) = B u W = W.
(ii) => (i). Supposons W = F n V où V est un voisinage de x dans E. Il existe
une partie ouverte A de E telle que x E A C V. Alors x E F n AC F n V = W,
et F n A est ouverte dans F, donc West un voisinage de x dans F.
3 . 1 .7. Théorème. Soient E un espace topologique, F un sous-espace de E. Si
E est séParé, F est séParé. Soient x, y des points distincts de F. Il existe des
voisinages disjoints V, W de x, y dans E. Alors F n V, F n W sont des
voisinages de x, y dans F (3. 1 .6), et ils sont disjoints. Donc F est séparé.

3. 1 .8. Définition. Soient E un espace topologique, A C E et x E A. On dit
que x est point isolé de A s'il existe lIn voisinage V de x dans E tel que V ( A
= {x}.
3.1.9. Théorème. Soient E un espace topologique et FeE. Les conditions
suivantes sont équivalentes : (i) l'espace topologique F est discret; (ii) tout
point de F est isolé. (i) => (ii). Supposons F discret. Soit x E F. Alors {x} est
une partie ouverte de F, donc il existe une partie ouverte U de E telle que {x}
= U n F. Comme U est un voisinage de x dans E, on voit que x est point isolé
de F. (ii) => (i). Supposons que tout point de F soit isolé. Soit x E F. Il existe
un voisinage V de x dans E tel que V IÎ F = {x}. En diminuant V, on peut
supposer V ouvert dans E. Alors {x} est ouvert dans F. Comme toute partie
de F est réunion de parties à un seul élément, toute partie de F est ouverte
dans F. Donc l'espace topologique F est discret.
3. 1 . 10. ExemPle. Dans R, considérons la partie Z. Si nEZ, on a {n} = zn] n
-
, n +
[, donc n est isolé dans Z. Donc le sous-espace topologique Z de R est discret.
3 . 1 . Il. Théorème (transitivité des sous-espaces). Soient E, E', E" des
ensembles tels que E:) E' :) E". Soient
une topologie sur E,

' la topologie induite par ff sur E', g-" la topologie induite par
' sur E". Alors
" est la topologie induite par
sur E". Soit
' la topologie induite par
sur E". Soit V" C E" une partie ouverte pour
". Il existe une partie U' de E' ouverte pour
' telle que V' n E" == V". Puis il existe une partie U de E ouverte pour
telle que V fi E' == V'. Alors V n E" == V", donc V" est ouverte pour
'. Soit V" c E" une partie ouverte pour
'. Il existe une partie V de E ouverte pour
" telle que V n E" == V". Posons V fi E' == V'. Alors V' est ouverte pour ?J",
et V" == V' ( E", donc V" est ouverte pour
".
3.1.12. Théorème. Soient E un espace métrique, E' un sOlls-espace métrique
de E. Soient
,

' les topologies de E, E' définies par leurs distances (1. 2 . 2). Alors
' n'est autre que la topolog'ie induite par g- sur E'. Soit
la topologie induite par
sur E'. Soit V' C E' une partie ouverte pour
'. Pour tout x EV', il existe €
> 0 tel que la boule ouverte B
de centre x et de rayon e
dans E' soit contenue dans U'. Soit B
la boule ouverte de centre x et de rayon €x dans E. Alors Bx est un voisinage
de x pour
, donc B
est un voisinage de x pour
(3. 1 . 6). Donc U' est un voisinage de x pour
. Cela étant vrai pour tout x E U', on voit que V' est ouverte dans E' pour
(1.3.5). Soit V' c E' une partie ouverte pour
. Il existe une partie ouverte V de E telle que V' == V ( E'. Pour tout x E V',

il existe 1)x > 0 tel que la boule ouverte C x de centre x et de rayon 'l).c dans
E soit contenue dans V. Soit C
la boule ouverte de centre x et de rayon 1)x dans E'. Alors C
== C x n E' eV n E' == V'. Donc V' est ouverte pour
/.
3.1. 13. Par exemple, si l'on considère une partie A de Rn comme un sous-
espace topologique de Rn, la topologie de A n'est autre que celle considérée
en 1.2.2.
3.1.14. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre :11, E un
espace topologique, E' un sous-espace de E, f une application de X dans E', l
un point de E'. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f tend vers l
suivant gg relativement à E':J' (ii) f tend vers l suivant PJJ relativement à E.
Supposons la condition (i) vérifiée. Soit V un voisinage de l dans E. Alors V
n E' est un voisinage de l dans E' (3. 1 . 6). Il existe B E gg tel que f(B) eV n
E'. Afortiori, f(B) eV. Donc f tend vers l suivant PÀ relativement à E.
Supposons la condition (ii) vérifiée. Soit V' un voisinage de l dans E'. Il
existe un voisinage V de l dans E tel que V n E' = V' (3.1.6). Puis il existe B
E PJJ tel que f(B) eV. Comme f(X) CE', on a 1(B) eV n E' = V'. Donc 1 tend
vers l suivant 3d relativement à E'.
3.1.15. Théorème. Soient T, E des espaces topologiques, E' un sous-espace de
E, 1 llne application de T dans E'. Les conditions suivantes sont équivalentes
: (i) 1 est continue; (ii) 1, considérée comme aPPlication de T dans E, est
continue. En effet, pour tout t o E T, la condition limt

tof(t) = 1(t o ) a le même sens, d'après 3. 1 . 14, si l'on considère f comme à
valeurs dans E' ou comme à valeurs dans E.
3. 1 . 16. Corollaire. Soient E un espace topologique, E' un sous- espace de E.
L'application identique de E' dans E est continue. En effet, l'application
identique de E' dans E' est évidemment continue. On applique alors 3.1.15.
3.2 - Produits finis d'espaces topologiques
3.2. 1. Soient El, E 2 , ..., En des espaces topologiques. Nous allons définir
une topologie naturelle sur E = El X E 2 X ... X En' Appelons partie ouverte
élémentaire dans E une partie de la forme U 1 X U 2 X ... X Un où U i est
une partie ouverte de E i . Appelons partie ouverte dans E une réunion de
parties ouvertes élémen- taires. Pour justifier cette terminologie, nous allons
montrer que cette famille de parties de E vérifie les axiomes (i), (ii), (iii) de
1.2. 1.
D'abord : E = El X E 2 X ... X En et eJ = 0 X E 2 X ... X En sont des parties
ouvertes, et même des parties ouvertes élémentaires. L'axiome (ii) est
immédiat. Enfin, soient A, B des parties ouvertes de E, et montrons que A (
B est une partie ouverte de E. On a A = u A)., B = u Bfl. où les A). et les Bfl.
sont des parties ouvertes élémentaires. Alors A ( B est la réunion des A). (
Bfl.' et il suffit de prouver que, pour À et lL fixés, A). ( Bfl. est une partie
ouverte élémentaire. Or A). == U 1 X ... X Un' Bfl. == V 1 x... X V n où Vi'
Vi sont des parties ouvertes de E i . Il en résulte que : A). ( Bfl. == (U 1 ( V
1) X... X (Un ( V n) ;

comme Ut ( Vi est une partie ouverte de E i , cela achève la démonstration.
3.2.2. On a donc défini une topologie sur E, appelée topologie produit des
topologies données sur El, ..., En' On dit aussi que E est l'espace topologique
produit des espaces topologiques El, E 2 , · · ., En ·
3 . 2 . 3. Exemple: produit d'espaces métriques. Soient El, E 2 , ..., En des
espaces métriques. Posons E == El X... X En' Si X = (Xl' . . ., X n ) E E et y
== (J'l, . . . ,Yn) E E, on pose d ( x, y) == (d (Xl' Y1) 2 + . .. + d (X n , Y n) 2)
1/2.
On vérifie comme dans le cas de Rn que d est une distance sur E. Ainsi, un
produit d'espaces métriques est automatiquement un espace métrique. Soit
la topologie sur E définie par cette distance (1. 2 . 2). Par ailleurs, El, ..., En
sont des espaces topologiques (1.2.2), donc nous avons défini en 3.2.2 une
topologie produit
' sur E. Montrons que
== g-'. Soit U une partie de E ouverte pour g-'. Pour tout X = (Xl' · · ., X n ) E
U, il existe des voisinages ouverts VI' . . ., Un de Xl' ...) X n dans El, ..., En
tels que U I X ... X Un cU. Il existe e, > 0 tel que la boule ouverte de centre
Xi et de rayon €i dans E i soit contenue dans U i . Soit B la boule ouverte de
centre X et de

rayon E = inf(e:l' ..., En) dans E. Si Y = (YI' .. .,Yn) E B, on a d(x,y) < e:,
donc d(x i ,y,) < &
E i pour tout i, donc y, E U" donc y E V. Ainsi, Be V. On a donc prouvé que
V est ouverte pour g-. Soit V une partie de E ouverte pour g-. Pour tout x =
(Xl' . . ., X n ) E V, il existe € > 0 tel que V contienne la boule ouverte de
centre X et de rayon €. Soit Bi la boule ouverte de centre Xi et de
rayonë.jndansEi.SiY=(YI,...,Yn)EBlx ... xBn, on a: 2 d(x,y)2 =
7=1 d(X"y,)2 <
=1 :2
ë. 2
donc y E V. Ainsi, l'ensemble ouvert élémentaire BI X ... X Bn est contenu
dans V, et contient x. Par suite, V est réunion d'ouverts élémentaires, donc est
ouvert pour g-'. En particulier, si l'on munit Rn de la topologie définie par sa
distance usuelle (1.1.2), Rn apparaît comme l'espace topologique produit R X
R X ... X R.
3 . 2 .4. Théorème. Soit E = El X ... X En un produit d'espaces topologiques.
Soit X = (Xl' . . ., X n ) E E. Les ensembles de la forme VI X... X V n' où Vi
est un voisinage de Xi dans E i , constituent un système fondamental de
voisinages de X dans E. Pour i = l, . . ., n, soi t Vi un voisinage de Xi dans E i
. Il existe une partie ouverte Vi de E i telle que Xi E U i C Vi . Alors X E
VIX ... X V n C VI X... X V n , et V 1 X ... X V n est ouvert dans E, donc VI
X ... X V n est un voisinage de X dans E. Soit V un voisinage de X dans E. Il
existe une partie ouverte V de E telle que X EUe V. L'ensemble U est réunion
de parties ouvertes élémentaires, donc X appartient à l'une de ces parties,

disons VIX ... xUn' où U, est une partie ouverte de E i . Alors Xi E Vi' donc
U i est un voisinage de Xi dans E i , et l'on a : VI X ... X Un C V.
3 . 2 . 5. Théorème. Soit E = El X ... X En un produit d'espaces
topologiques. Si chaque E i est séparé, E est séParé. Soient X = (Xl' . . ., X n )
et y = (YI' . . . ,Yn) deux points distincts de E. On a Xi i= Yi pour au moins
un i, par exemple Xl i= YI . Il existe des voisinages disjoints V, W de Xl' YI
dans El' Alors V X E 2 X ... X En et W X E 2 X ... X En sont des voisinages
de x, Y dans E (3.2.4) et sont disjoints.
3.2.6. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre fJ4, E = El
X E 2 X ... X En un produit d'espaces topologiques, 1 = (11' . . ., ln) E E. Soit
f une application de X dans E, donc de la forme x Ho (!t(x), .. "fn(x)) où!ï est
une application de X dans E i . Alors les conditions suivantes sont
équivalentes : (i) f tend vers 1 suivant q),' (ii) pour i = 1, 2, . . ., n, !ï tend vers
Ii suivant gg.
E 2
E
f 2 (x) _____ _____... ((x) ----- ----. 1 /2 / ! 1 1 1 1 /, 1 .

E,
Supposons queftende vers l suivant !!!J. Montrons par exemple que!t tend
vers II suivant q). Soit VI un voisinage de II dans El' Alors VI X E 2 X ... X
En est un voisinage de 1 dans E (3.2.4). Donc il existe B E
tel que f(B) C VI X E 2 X ... X En' Alors !t(B) C VI' donc fI tend vers II
suivant fffJ. Supposons la condition (ii) vérifiée. Soit V Ull voisinage de l
dans E. Il existe des voisinages VI' . . ., V n de ll' . · ., ln dans El, . . ., En tels
que VI X ... X V n C V (3 . 2 . 4). Puis il existe BI, . . ., Bn E fffJ tels que !t
(BI) C VI' · · · ,fn (Bn) C V n' Puis il existe B E
tel que B C BI n . .. n Bn' Alors :
f(B)C!t(B 1 ) x... xfn(Bn)CV 1 X ... X VnCV,
donc f tend vers 1 suivant [!J.
3. 2 . 7. Théorème. Soient E = El X ... X En un produit d'espaces
topologiques et T un espace topologique. Soit J une application de T dans E,
donc de la forme t f-> (!t(t), .. .,fn(t)) où!ï est une application de T dans E i .
Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue; (ii) !t, . · ., ln
sont continues.
En effet, pour tout t o E T, les conditions : lim t -+ tof(t) = f(t o ) limt

to.h(t) =h(t o )
pour i = l, . . ., n
sont équivalentes d'après 3.2.6.
3 . 2 . 8. Corollaire. Soit E = El X ... X En un produit d'espaces
topologiques. Les projections canoniques de E sur El' . . ., En sont continues.
Soitfl'application identique de E. Elle est continue. Or, c'est l'application x
(ft (x), . · . ,fn (x)), où fI' · · · ,fn sont les projections canoniques de E sur El,
. . ., En' Il suffit alors d'appliquer 3. 2 . 7.
3.2.9. Théorème. Soient X, Y, Z des espaces topologiques. L'application
(x,)J, z)
((x,y), z) de X X Y X Z sur (X X Y) X Z est un homéomorphisme. Cette
application est évidemment bijective. Les applications (x ,y, z) f-> x et (x, y,
z)
y de X X Y X Z dans X et Y sont continues (3.2.8), donc l'application (x, y,
z)
(x ,y)
de X X Y X Z dans X X Y est continue (3.2.7). De même, l'application (x, y,
z)
z de X X Y X Z dans Z est continue (3.2.8), donc l'application (x, y, z)

((x, y), z) de X X Y X Z dans (X X Y) X Z est continue (3. 2 . 7). On prouve
de même successivement la continuité des applications suivantes : ((x, y), z)
f-> (x, y) , ((x, y), z)
x, ((x,y), z)
y, ((x, y), z)
z, ((x, y), z)
(x, y, z).
3.2.10. Grâce à 3.2.9, on identifie les espaces topologiques (X X Y) X Z et X
X Y X Z. Cela ramène de proche en proche l'étude des produits finis
d'espaces topologiques à l'étude des produits de deux espaces. Pour p
n, on identifie Rn à RV X Rn-v, etc.
3 . 2 . Il. Théorème. Soient X, Y des espaces topologiques, Yo un pointfixé
de Y, A la partie X X {Yo} de X X Y. L'application x
(x,Yo) de X sur A est un homéomorPhisme.
Cette application est évidemment bijective. Elle est continue de X dans X X
Y d'après 3.2. 7, donc continue de X dans A
y

XxV
Yo' ------
(x, Yo)
x
x
d'après 3. 1. 15. L'application réciproque est composée de l'injec- tion
canonique de A dans X X Y, qui est continue (3.1.16) et de la projection
canonique de X X Y sur X, qui est continue (3.2.8). 3.2. 12. Par exemple, on
peut identifier R au sous-espace R X {O} de R2, etc. 3.2. 13. Théorème.
Soient X un espace topologique séParé,
la diagonale de X X X (c'est-à-dire l'ensemble des (x, x) où x parcourt X).
Alors Ll est fermé dans X X X. Montrons que (X X X) -
est ouvert dans X X X, c'est-à- dire voisinage de chacun de ses points. Soit
(x,y) E X X X. Si (x,y) et
, on a x # y. Puisque X est séparé, il existe des voisinages disjoints V, W de
x,y. Alors V X West un voisinage de (x,y) dans X X X (3.2.4), et V X West
disjoint de
, c'est-à-dire contenu dans (X X X) -

. Ainsi, (X X X) -
est voisinage de (x, y) . 3.2. 14. Corollaire. Soient E un espace topologique, F
un espace topologique séparé,.f et g des applications continues de E dans F.
L'ensemble des x E E tels que f(x) = g(x) est fermé dans E. En effet,
l'application x
h(x) = (f(x), g(x)) de E dans F X F est continue (3.2. 7). Soit
la diagonale de F X F, qui est fermée dans F (3.2.13). L'ensemble étudié dans
le corollaire n'est autre que h-l(
), donc est fermé (2.4.4). 3.2. 15. Corollaire. Soient E, F,1, g comme en 3.2.
14. Si f et g sont égales sur une partie dense de E, on a f = g. En effet,
l'ensemble de 3. 2 . 14 est ici à la fois dense et fermé, donc est égal à E.
3.3 - Produits infinis d'espaces topologiques
3.3.1. Soit (Ei)iEI une famille d'espaces topologiques. Soit E = II iE1 E,. Il Y
a une manière évidente d'étendre les défini- tions 3. 2 . 1, 3. 2 . 2 à cette
situation, mais cela ne conduit pas à une notion utile. On appelle partie
ouverte élémentaire de E une partie de la forme II iE1 U i , où U i est une
partie ouverte de E i , et où Vi = E i pour presque tout i E 1 (ce qui, dans ce
contexte, signifiera: U i = E, sauf pour un nombre fini d'indices). Pour 1 fini,
on retrouve la définition 3.2. 1. On appelle encore partie ouverte de E une
réunion de parties ouvertes élémentaires. On vérifie comme en 3.2. 1 qu'on a
ainsi défini une topologie sur E appelée topologie produit des topologies des
E i .

3.3.2. La plupart des raisonnements de 3.2 s'étendent avec des complications
minimes. Enonçons les résultats : a) Soit x = (Xi)iEI E E, où Xi E E i pour
tout i E 1. Les ensembles de la forme Il iE1 Vi' où Vi est un voisinage de Xi
dans E i , et où Vi = E i pour presque tout i, constituent un système
fondamental de voisinages de X dans E. b) Si chaque Et est séparé, E est
séparé. e) Soient X un ensemble muni d'une base de filtre f!d, June
application de X dans E (donc de la forme x
(h(X))iEI où h est une application de X dans E i ), l = (li)iEl E E. Les condi-
tions suivantes sont équivalentes : (i) f tend vers 1 suivant f!d; (ii) pour tout i
E 1, h tend vers Ii suivant !!J. , d) Soient T un espace topologique, f une
application de T dans E (donc de la forme t
(h(t))iEI OÙh est une application de T dans E i ). Les conditions suivantes
sont équivalentes : (i) f est continue; (ii) chaque h est continue. e) Les
projections canoniques de E sur les E i sont continues. f) Si 1 est réunion de
parties disjointes lÀ' où À parcourt un ensemble A, l'espace topologique Il
iEI E i s'identifie à l'espace topologique IIÀEA(IIiEIÀ E,) (<< associativité
du produit topologique »).
3.4 - Espaces quotients
3 .4. 1. Théorème. Soient E un espace topologique, R une relation
d'équivalence sur E, F l'ensemble quotient EfR, 1t l'application canonique de
E sur F. Soit (!) l'ensemble des parties A de F telles que 1t- 1 (A) soit ouvert
dans E. Alors (f) vérifie les axiomes (i), (ii), (iii) de 1.2.1. C'est immédiat.
3.4.2. Ainsi, (!) est l'ensemble des parties ouvertes d'une topologie sur F

appelée topologie quotient de la topologie de Epar R. Muni de cette
topologie, F s'appelle l'espace quotient de EPar R. L'application 1t de E sur F
est continue (car, si A est ouvert dans F, 1t- 1 CA) est ouvert dans E). 3.4.3.
Exemple. L'ensemble T est le quotient de R par la relation d'équivalence x-y
E Z. D'après 3 .4. 2, T est muni d'une topologie qui en fait un espace quotient
de R.
3.4.4. Théorème. Soient F = EfR l'espace quotient d'un espace topologique E
par une relation d'équivalence R, 1t l'application canonique de E sur F, Y un
espace topologique, f une application de F dans Y. Les conditions suivantes
sont équivalentes : (i) f est continue; (ii) ['application J 0 1t de E dans Y est
continue.
n- 1 ( f-1 ( U )) fa 7f
ni
- E/R f-1 ( U)
Supposons J continue. Comme 1t est continue (3.4.2), f 0 1t est continue.
Supposons f 0 1t continue. Soit U une partie ouverte de Y. Alors 1t- 1 (f-l(U))
= (J01t)-I(U) est ouvert dans E (2.4.4), donc J-1 (U) est ouvert dans F (3.4.
2). DoncJ est continue (2 . 4.4).
3.4.5. Exemple. On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1.
On sait que l'application x
g(x) == exp(27tix) de R dans U est surjective, et que g(x) = g(x') <=> x - x' E
Z. Donc, si 7t désigne l'application canonique de R sur T, g définit par

passage au quotient une bijection f de T sur U, telle que Jo 7t == g. Comme g
est continue, f est continue (3.4.4). Nous verrons (4.2. 16) que f est un
homéomorphisme. Montrons que T est séparé. Soient x,y des points distincts
de T. On a f(x) =l=f(y). Comme U est séparé, il existe des voisinages
disjoints ouverts V, W def(x),f(y) dans U. Alorsf-l(V),f-l(W) sont des
voisinages disjoints ouverts de x, y dans T.
CHAPI'TRE IV
Espaces compacts
Ce chapitre est probablement le plus important du cours. Bien que la
définition des espaces compacts (
1) ne suggère aucune image intuitive, c'est une définition très féconde (voir
les propriétés des espaces compacts aux
2 et 3, et les applications dans presque toute la suite du cours). Au
4, on adjoint à la droite R un point + 00 et un point - 00, pour obtenir un
espace compact, la « droite achevée » R ,o il Y a longtemps que l'étudiant en
fait usage, même si la terminologie lui paraît nouvelle. Au
5, on introduit les espaces localement compacts; pour ce cours, ils sont
beaucoup moins importants que les espaces compacts.
4. 1 - Définition des espaces compacts

4. 1 . 1. Théorème. Soit E un espace topologique. Les conditions suivantes
sont équivalentes : Ci) Si une famille de parties ouvertes de E recouvre E, on
peut en extraire une sous-famille finie qui recouvre encore E. (ii) Si une
famille de parties fermées de E a une intersection vide, on peut en extraire
une sous-famille finie dont l'intersection est encore vide.
C'est immédiat par passage aux complémentaires.
Espaces compacts 51
4. 1 .2. Définition. On appelle espace compact un espace séparé qui vérifie
les conditions équivalentes de 4.1.1. Soit E un espace topologique. On
appelle bien entendu partie compacte de E une partie A de E telle que
l'espace topologique A (3. 1 . 2) soit compact.
4.1.3. Théorème. Soient E un espace topologique, A une partie séParée de E.
Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est compacte; (ii) si une
famille de parties ouvertes de E recouvre A, on peut en extraire une sous-
famille finie qui recouvre encore A.
Supposons A compacte. Soit (Vi)iEI une famille de parties ouvertes de E
recouvrant A. Les U i n A sont ouverts dans A (3.1.2) et recouvrent A, donc
il existe une partie finie J de 1 telle que la famille (U, n A)iEJ recouvre A.
Afortiori, la famille (Vi)iEJ recouvre A. Supposons la condition (ii) vérifiée.
Soit (Vi)iEI une famille de parties ouvertes de A recouvrant A. Pour tout i E
1, il existe une partie ouverte W i de E telle que Vi = W i n A (3. 1 .2). Alors
(Wi)iEI recouvre A, donc il existe une partie finie J de 1 telle que (Wi)iEJ
recouvre A. Donc (Vi)iEJ recouvre A.

4. 1 .4. Théorème (Borel-Lebesgue). Soient a, bER avec a
b. Alors l'intervalle [a, b] est compact. Il est clair que [a, b] est séparé. Soit
(Ui)iEI une famille de parties ouvertes de R recouvrant [a, b]. Soit A
l'ensemble des x E [a, b] tels que [a, x] soit recouvert par un nombre fini de
parties U i . L'ensemble A est non vide car a E A. Il est contenu dans [a, bJ,
donc il est majoré. Soit m sa borne supérieure. On a a
m
b. Il existe J- E 1 tel que m E U j' Puisque V j est ouvert dans R, il existe e >
0 tel que [m - g, m + e] C U j . Puisque m est la borne supérieure de A, il
existe x E A tel que m - E < X
m. Alors [a, x] est recouvert par un nombre fini de Vi' et [x, m + g] C Dj,
donc [a, m + s:] est recouvert par un nombre fini de Vi' Si m < b, on voit, en
diminuant au besoin e de manière que m + g E [a, b], que m + € E A, ce qui
contredit la définition de la borne supé- rieure. Donc m = b, et [a, b] est
recouvert par un nombre fini de U i . Il suffit alors d'appliquer 4. 1.3.
4.2 - Propriétés des espaces compacts
On va montrer : 1) que les espaces compacts ont des propriétés utiles; 2) qu'il
existe des exemples intéressants d'espaces compacts (outre ceux de 4.1.4).
L'ordre logique des démonstrations oblige malheureusement à mélanger les
deux objectifs.

4.2. 1. Théorème. Soient X un ensemble muni d'une base de filtre &8, E un
espace compact, f une application de X dans E. Alors f admet au moins une
valeur d'adhérence suivant
. Considérons la famille de partiesf(B) de E, où B parcourt
. Ce sont des parties fermées. So it A = n BE &6' ](B). Si A = 0, il existe BI' .
. ., Bn E
tels que f(BI) n . . . nf(Bn) = 0 (car E est compact). Or, il existe Bo E fffj tel
que Bo C BI n . .. n Bn, d'où ((Bo) Cf(BI) n . . . nf(Bn) et par suite f(BI) n . . .
nf(Bn) =1= 0. Cette contradiction prouve que A =1= 0. Compte tenu de 2.
6.6, cela prouve le théorème.
4. 2 . 2. Corollaire. Dans un espace compact, toute suite de points admet au
moins une valeur d'adhérence.
4.2 .3. Théorème. Soient X, q}, E, f comme en 4.2.1. Soit A l'ensemble (non
vide) des valeurs d'adhérence de f suivant f?J. Soit U une partie ouverte de E
contenant A. Il existe B E
tel que f (B) C U (et même f(B) CU). On a (E -- U) n A = 0, donc (E -- U) n n
BE &6' f(B) = 0. Con1me E -- U et lesf(B) sont fermés, on en déduit, puisque
E est compact, qu'il existe BI,"" Bn E
tels que
(E -- U) t1f(BI) n . .. t1f(Bn) = 0.
Puis il existe Bo E ffB tel que Bo C BI t1 . .. t1 Bn' Alors

(E -- U) t1f(Bo) = 0,
c'est-à-dire f(Bo) CU.
4.2.4. Corollaire. Soient X,
, E, f comme en 4.2.1. Si f admet une seule valeur d'adhérence l suivant ffB, f
tend vers 1 suivant
.
Espaces compacts 53
Avec les notations précédentes, on a A == {l}, et l'on peut prendre pour U un
voisinage ouvert quelconque de l. 4. 2 . 5. Corollaire. Dans un espace
compact, si une suite de points a une seule valeur d'adhérence l, elle tend vers
l.
4. 2 . 6. Théorème. Soient E un espace compact, F un sous-espace fermé de
E. Alors F est compact. Comme E est séparé, F est séparé. Soit CFi)iEI une
famille de parties fermées de F d'intersection vide. Comme F est fermé dans
E, les Fi sont fermés dans E (3. 1 .5). Comme E est compact, il existe une
sous-famille finie (Fi)iE J d'intersection vide. 4.2.7. La réciproque de 4.2.6
est vraie. Bien mieux :
Théorème. Soient E un espace séParé, F un sous-espace compact de E. Alors
F est fermé dans E. On va montrer que E -- F est voisinage de chacun de ses

points. Soit Xo E E -- F. Pour tout y E F, il existe, puisque E est séparé, des
voisinages W y , V y dey, Xo dans E qui sont disjoints. En diminuant W y ,
on peut supposer W y ouvert dans E. Les W y , où y parcourt F, recouvrent F.
Puisque F est compact, il existe ( 4. 1 . 3) des points YI' . . ., y nEF tels que F
C W YI U · .. U W Yn · Soit V == V 1I1 ( . .. ( V lIn , qui est un voisinage
de Xo dans E. Alors V est disjoint de W 1I1 U . .. U W lIn , et a fortiori de F.
Autrement dit, V C E - F, ce qui prouve que E - F est un voisinage de Xo'
4.2. 8. Corollaire. Dans R, les parties compactes sont les parties fermées
bornées. Soit A une partie compacte de R. Alors A est fermé dans R (4.2. 7).
D'autre part, il est clair que Ac U œE A]X - 1, x + 1 [; d'après 4.1.3, A est
recouvert par un nombre fini d'intervalles ]x i -- 1, XL + 1 [, donc est borné.
Soit B une partie fermée bornée de R. Il existe un intervalle [a, b] tel que Be
[a, b]. Alors [a, b] est compact (4.1.4), B est fermé dans [a, b] (3. 1 . 5) , donc
compact (4. 2 . 6) .
4. 2 . 9. Théorème. Soit E un espace séparé. Ci) Si A, B sont des parties
compactes de E, A u B est compacte. (ii) Si (Ai) jE I est une famille non vide
de parties compactes de E, niEI A, est compacte.
Soit (U')iEI un recouvrement de A u B par des parties ouvertes de E. Il existe
des parties finies JI' J 2 de 1 telles que (V')iEJl recouvre A, (V')iE J 2
recouvre B. Alors (V')'EJIUJS recouvre A u B, ce qui prouve que A u B est
compacte (4. 1.3). Les Ai sont fermés dans E (4.2. 7), donc ni E 1 Ai est
fermée dans E, et par suite dans chaque Ai (3.1.5). Comme les Ai sont
compactes, niEIA i est compacte (4.2.6).

4.2. 10. Par contre, une réunion infinie de parties compactes n'est pas
compacte en général. Par exemple, les intervalles [- l, 1], [- 2, 2], [- 3, 3], ...
de R sont compacts, mais leur réunion, qui est R, est non compacte (4.2.8).
4.2. Il. Théorème. Soient E un espace compact, x un point de E. Alors x
admet dans E un système fondamental de voisinages compacts. Soit fJ6 le
filtre des voisinages de x dans E. L'application identique de E dans E tend
vers x suivant fJ6. Soit U un voisinage de x dans E. D'après 4.2.3, il existe B
E fJ6 tel que B e U. Or B est un voisinage compact de x d'après 4.2.6.
4. 2 . 12. Théorème. Soient E un espace compact, F un espace séParé, f une
application continue de E dans F. Alors f(E) est compact. D'abord, f(E) est
séparé puisque F est séparé. Soit (Vi)iEI une famille de parties ouvertes de F
recouvrant f(E). Puisque f est continue, les f-l(U i ) sont des parties ouvertes
de E (2.4.4). Puisque les Vi recouvrentf(E), lesf-l(UJ recouvrent E. Comme E
est compact, il existe une partie finie J de 1 telle que (f-l(U i ))iEJ recouvre E.
Alors (Ui)iEJ recouvref(E). Doncf(E) est compact (4.1.3).
4.2. 13. Corollaire. Soient E un espace compact non vide, f une fonction
continue réelle sur E. Alors f est bornée, et atteint ses bornes infé- . , . rzeure
et superzeure. D'après 4.2.12, f(E) est une partie compacte de R, donc une
partie fermée bornée de R (4. 2 . 8). Puisque f (E) est bornée, f est bornée.
Puisque f(E) est de plus fermée, f(E) possède un plus petit et un plus grand
élément (1.5.9). Si, par exemple, f(x o ) est le plus grand élément de f(E), f
atteint sa borne supérieure en Xo'
Espaces compacts 55

4.2.14. Corollaire. Soient E un espace compact, J une Jonction continue sur E
à valeurs > O. Il existe lX > 0 tel que J(x)
rx pour tout x E E. Soit lX la borne inférieure de J sur E. D'après 4.2.13, il
existe Xo E E tel que J(xo) = ('L. Donc lX > O. Il est clair que f(x)
lX pour tout x E E.
4. 2 . 15. Corollaire. Soient E un espace compact, F un espace séParé, f une
application bijective continue de E sur F. Alors 1- 1 est continue (autrement
dit, f est un homéomorphisme de E sur F). Soit g = f--1. Si A est une partie
fermée de E, A est compacte (4.2.6), doncJ(A) est compacte (4.2.12),
doncf(A) est fermée dans F (4.2.7), autrement dit g-l(A) est fermée dans F.
Cela prouve que g est continue (2. 4. 4) .
4.2.16. Exemple. Soit TC l'application canonique de R sur T. Elle est
continue (3.4. 2). Comme T est séparé (3.4. 5) et que [0,1] est compact
(4.1.4), TC([O, 1]) est compact (4.2.12). Mais TC([O, 1]) = T. Donc l'espace
T est compact. On a défini en 3.4.5 une bijection continue 1 de T sur U. Or T
est compact, et U est séparé. DoncJ est un homéomorphisme. Ainsi, les
espaces T et U sont homéomorphes. Comme U 2 peut s'identifier à la surface
de l'espace couram- ment appelée « tore », on dit que T2 est le tore de
dimension 2, et plus généralement que Tn est le tore de dimension n. En
particulier, T s'appelle le tore de dimension 1.
4.2. 17. Théorème. Le produit d'un nombre fini d'espaces compacts est
compact. Il suffit de prouver que, si X et Y sont compacts, X X Y est
compact. D'abord, X X Y est séparé (3.2.5). Soit (Ui)iEI un recouvrement
ouvert de X X Y. Pour tout m = (x,y) E X X Y, choisissons i Cm) E 1 tel que
m E Ui<m> . D'après 3.2.4, il existe un voisinage ouvert V m de x dans X et
un voisinage ouvert W m de y dans Y tels que V m X W m C V,cm> . Posons
V m X W m = Pm. Fixons provisoirement Xo EX. Le sous-ensemble {xo} X

Y de X X Y est homéomorphe à Y (3. 2 . Il), donc compact. Les parties Pm'
où m parcourt {xo} X Y, sont ouvertes dans X X Y
et recouvrent {Xo} X Y, donc {xo} X Y est contenu dans une réunion finie
Pm U . .. U Pm (4.1 .3). L'intersection 1 n V m (1 ... nV m 1 n
y
W m 2
/' K --- - - --- --- Ec 1 - t --. --------- --- --
---I J -------- --- -r-L
2 - - - - - - - - - - - L... 40- t'-
: 1 1 1 1 : lTl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Xal Il 1
1 ,1.. , 1 1 .
. - AXa
XxV

Vv m ') J
W m,
x
est un vOIsInage ouvert Axo de Xo dans X, Si (x,.y) E ix o X Y, il existe un
k tel que (xo ,y) E P mk == V mk X W mk' d'où y E W mk , et (x,y) E Axo X
W mk C V mk X W mk == P mk' Ainsi, Axo X y est recouvert par un
nombre fini d'ensembles U i . Si maintenant Xo parcourt X, les Ax forment
un recouvrement o ouvert de X, dont on peut extraire un recouvrement fini
X=Ax U ... uAx' 1 P Chaque Ax X y est recouvert par Ull nombre fini
d'ensembles U i , donc X xPy est recouvert par un nombre fini d'ensembles U
i ,
4. 2 . 18. Corollaire. Dans Rn, les parties compactes sont les parties fermées
bornées. (On dit qu'une partie de Rn est bornée si ses n projections
canoniques sur R sont bornées.) Soit A une partie compacte de Rn. Alors A
est fermée dans Rn (4.2. 7). Ses projections canoniques sur R sont compactes
(3.2.8 et 4.2.12), donc bornées (4.2.8), de sorte que A est bornée. Soit B une
partie fermée bornée de Rn. Puisque B est bornée, on aBC [al' b l ] X [a 2 , b
2 ] X ... X [an, b ,J == C. Or C est corn pact (4. 1 . 4 et 4. 2 . 1 7), B est
fermée dans C (3. 1 . 5), donc compacte (4. 2 . 6) .
Espaces compacts 57
4.2.19. Exemples. L'espace Rn n'est pas compact. La sphère Sn (2.5. 7) est
bornée dans Rn + et fermée dans Rn + 1 (1.1.12), donc compacte (4.2.18).
Avec les notations de 2.5.7, l'espace Sn -{a} est homéo- morphe à Rn, donc

non compact.
4.3 - Complément : produits infinis d'espaces compacts
* 4. 3 . 1. Soit X un ensemble. Si :FI et :F 2 sont des filtres sur X, la relation
:FI C %2 a un sens, puisque
I et %2 sont des parties de &(X) (ensemble des parties de X). Ainsi,
l'ensemble des filtres sur X est ordonné par inclusion. On appelle ultrafiltre
sur X un filtre sur X qui est maximal pour cette relation d'ordre (c'est-à-dire
un filtre ff tel que, si q; est un filtre sur X contenant !IF, on a q; == !F).
* 4.3.2. Soit (%,J ÀEA une famille totalement ordonnée de filtres sur X (donc
ff À C ff fL ou y fL C :F À quels que soient À et tl). Alors :F == U ÀEA ff À
est un filtre sur X. En effet, soient Y E!F et Z C X tels que Z J Y; on a Y E:F
À pour un certain À, donc Z E
À' donc Z E!F. D'autre part, soient YI' Y 2 E :F; il existe À, tl E A tels que YI
E :F À' y 2 E :F fJ.; on a par exemple !FÀCYfL' donc YIE:FfL' donc
YIf1Y2E!FfLC:F. Cela prouve notre assertion. Il résulte alors du théorème de
Zorll (cf. par exemple Bourbaki, Théorie des ensembles, chap. III,
2, cor. 1 du th. 2) que tout filtre sur X est contenu dans un ultrafiltre.
* 4.3.3. Théorème. Soit ff un filtre sur X. Les conditions suivantes sont
équivalentes : (i) ff est un ultrajiltre; (ii) pour toute partie Y de X, on a Y E!F
ou X - Y E !F. Supposons que !F ne soit pas un ultrafiltre. Soit :F' un filtre
sur X contenant strictement:F. Il existe Y E:F ' tel que Y tt:F. On a X-y et/F '
(car Y f1 (X-Y) == 0) et a fortiori X-Y et!F. Supposons qu'il existe une partie
Y de X telle que Y et!F et X - Y 1: /!F. Soit

l'ensemble des parties de X contenant un ensemble de la forme F n Y où F E
fF. Montrons que Cf} est
un filtre. Pour tout F E
, on a F q: X - Y (sinon X - Y E F), donc F n Y ¥= 0; donc tout élément de
c:g est non vide. Il est clair que toute partie de X contenant un élément de f!}
appartient à fl}. Enfin, soient G 1 , G 2 des éléments de 9J; on a G 1 :> FI n
V, G 2 )F 2 n Y avec FI' F 2 E$l', donc G I n G 2 ) (FI n F 2 ) n V, et FI n F 2
E:F; donc G I IÎ G 2 E qj. On a donc bien montré que ty est un filtre. Il est
clair que qj:>!F, et que V E cg, donc ty -#
et:F n'est pas un ultrafiltre.
* 4.3.4. Théorème. Soient X et X' des ensembles, f une application de X dans
X', :F un ultraftltre sur X. Soit !F' l'ensemble des parties de X' contenant un
ensemble de la forme f (F), où F E:F. Alors:F ' est un ultraftltre sur X'. Il est
clair que :F' est un filtre sur X'. Soit V' C X'. Posons f-l(V/) = Y. On a Y E:F
ou X- y E!F (4.3.3). Si V E$l', on a V' E:F ' parce que f(V) C Y'. Si X - V
E$l', on a X' - V' E!F ' parce que f(X - V) C X' - V'. Donc:F ' est un ultrafiltre
(4. 3 . 3).
* 4. 3 . 5. Théorème. Soit E un espace topologique séParé. Les conditions
suivantes sont équivalentes : (i) E est compact; (ii) si 0/1 est un ultraftltre sur
un ensemble X, et si f est une application de X dans E, f a une limite suivant
0/1. a) Supposons E compact. Soient X, 011, f comme en (ii). Soit Xo une
valeur d'adhérence de f suivant 0/1 (4.2. 1). Les ensembles de la forme f(U) n
V, où U E 0/1 et où V est un voisinage de Xo dans E, sont non vides (2. 6. 1).

Ils constituent une base de filtre !?À sur E, car, si U l' U 2 E 011 et si VI' V 2
sont des voisinages de xo, on a :
f{U I IÎ U 2 ) IÎ (VIIÎ V 2 ) C (f(U I ) IÎ VI) IÎ (f(U 2 ) IÎ V 2 ).
Soit !F l'ensemble des parties de E qui contiennent un élément de fJB. Alors
est un filtre sur E (2. 1 . 1). Soit ty l'ensemble des parties de E qui contiennent
un ensemble de la formef(U) où U E 011. Alors Cf} est un ultrafiltre (4.3.4).
Il est clair que cg C!F. Donc q; =:F. Soit alors V un voisinage de Xo' On a V
E ff, donc V E cg, donc il existe U E 0/1 tel que f(D) eV. Ainsi, f tend vers
Xo suivant 0//.
Espaces compacts 59
b) Supposons vérifiée la condition (ii). Soit (Fi)'E 1 une famille de parties
fermées de E. Supposons que, pour toute partie finie J de 1, l'ensemble F J =
n iEJ Fi soit non vide. Il s'agit de montrer que ni El F, # 0. Or les F J forment
une base de filtre. Soit tJU un ultrafiltre sur E contenant tous les F J (4. 3 . 2).
Appliquons la condition (ii) à l'application identique de E dans E : on voit
qu'il existe un Xo E E tel que tout voisinage de Xo contienne un élément de
OJ/. Fixons i E I. Soit V un voisinage de Xo. Soit U E OJ/ tel que U C V. On
a Fi f1 U =1= 0 puisque Fi E OJ/ et U E 0/1. Donc Fi n V =1= 0. Cela étant
vrai pour tout V, on a Xo E F i = F'i' Cela étant vrai pour tout i, on voit que
Xo E niEI Fi'
* 4.3.6. Théorème. Soient (Ei)iEI une famille d'espaces compacts, et E = TI
iEI E i . Alors E est compact. Soient X un ensemble, OJ/ un ultrafiltre sur
X,fune application de X dans E, donc de la forme x H- (

(X))iEI' où
est une application de X dans E i . D'après 4.3. 5,
a une limite li E E i suivant OJ/. Soit 1 = (IJiEI E E. D'après 3.3.2 c), f tend
vers l suivant OJ/. Donc E est compact (4.3.5).
4.4 - La droite achevée
4.4.1. Soit R l'ensemble obtenu en adjoignant à R deux éléments, notés -
00 et - 00, n'appartenant pas à R. Si x,y E R , on définit la relation x
y de la manière suivante : 1) si X,Y E R, x
yale sens usuel; 2) pour tout x E R, on pose x < + 00, - 00 < x; 3) on pose - 00
< + 00. On vérifie facilement qu'on obtient ainsi un ordre total sur R .
L'ensemble ordonné R s'appelle la droite achevée.
4.4.2. Considérons l'application f de [ - ; , ; ] dans R définie ainsi :
f (x) = tg x
. SI
7t 7t --<x<-- 2 2

f( ; ) = + 00
f(- ; ) = - 00.
.. AlorsJ est bijective, croissante ainsi quef-t, et c'est donc un isomorphisme
d'ensemble ordonné. Toute propriété de l'ensemble ordonné [- ; , ; ] est donc
vraie aus si d ans l'ensemble ordonné R. En particulier, toute partie non vide
de R admet une borne suPérieure et une borne inférieure.
4.4.3. Topologie sur R . Appelons partie ouverte de R l'image par f d'une
partie ouverte de [-
' ; ]. On définit ainsi une - [ 1t 1t ] - topologie sur R, et f est un
homéomorphisme de - 2 ' 2 sur R. Il en résulte que R est compact, et que,
dans R , toute partie fermée non vide admet un plus petit et un plus grand
élément. Comme la restriction de f à ] - ; , ; [ est un homéomorphisme de ] - ;
, ; [ sur R (2.5.5), la topologie de R induit sur R la topologie usuelle. [ 1t ] 1t
1t Les intervalles b, 2 ' où - 2 < b < 2 ' forment un système fondamental de
voisinages de ; dans [- i ' i]. Donc les intervalles [a, + co], où a ER, forment
un système fondamental de voisinages de + co dans R . De même, les
intervalles [- co, a], où a E R, forment un système fondamental de voisinages
de - co dans R . Il résulte de là que, si (Xl' X 2 , . . .) est une suite de nombres
réels, dire que X n
+ co dans R signifie que X n
+ 00 au sens usuel.

4.4. 4. Théorème (passage à la limite dans les inégalités). Soient X un
ensemble muni d'une base de filtre PÀ, f et f' des applications de X dans R ,
admettant des limites l, l' suivant /71. Supposons que J (x)
f' (x) pour tout x E X. Alors 1
l'. Supposons 1 > l'. Soit a ER tel que 1 > a > l'. Alors ]a, + 00] et [-- 00, a[
sont des voisinages de 1 et l' dans R . Il existe donc B E f!8 et B' E gg tels que
: X E B => f(x) > a X E B' => f'(x) < a, Si x E B (') B', on voit que f(x) > J'
(x), ce qui est absurde.
Espaces compacts 61
4.5 - Espaces localement compacts
4.5. 1. Théorème. Soit E un espace topologique. Les conditions suivantes
sont équivalentes : (i) tout point de E admet un voisinage compact
. (ii) tout point de E admet un système fondamental de voisinages compacts.
Evidemment, (ii) => (i). Soient x E E et V un voisinage compact de x.
D'après 4.2.11, x admet dans V un système fondamental de voisinages
compacts (Vi)' On vérifie aisément que (Vi) est un système fondamental de
voisinages de x dans E (cf. 3. 1 . 6) .
4.5.2. Définition. On dit qu'un espace topologique est localement compact
s'il est séparé et s'il vérifie les conditions équivalentes de 4. 5 , 1.

4.5.3. Exemples. a) Tout espace compact est localement compact. b ) Rn est
localement compact (sans être compact). En effet, Rn est séparé, et tout point
de Rn admet pour voisinage une boule fermée, laquelle est compacte (4. 2 .
18). c) Montrons que Q n'est pas localement compact. Supposons que le point
0 de Q possède dans Q un voisinage compact V. Il existe un voisinage W de
0 dans R tel que V == W n Q (3. 1 . 6). Puis il existe CI.. > 0 tel que ]- CI..,
CI..[ C W, d'oÙ ]- CI.., CI..[ n Q C V. Par ailleurs, puisque V est compact, V
est fermé dans R (4.2. 7). Or tout nombre réel de ]- CI.., CI..[ est adhérent à ]-
CI.., CI.. [ n Q, d'oÙ ]- CI.., CI..[ C V, ce qui est absurde puisque V C Q.
4.5.4. Théorème. Soient X un espace localement compact, Y une partie
ouverte ou fermée de X. Alors l'espace Y est localement compact. D'abord, Y
est séparé. D'autre part, soit y E Y. Il existe un voisinage compact V de y
dans X. Alors V n Y est un voisinage de y dans Y (3. 1 . 6). Si Y est fermé
dans X, V n Y est fermé dans V (3. 1 .4), donc compact (4.2. 6). Si Y est
ouvert dans X, on peut supposer VCY (4.5.1 (ii)), et alors V n Y == V.
4.5.5. Théorème. Soient Xl' X 2 , ..., X n des espaces localement compacts, et
X = Xl X ... X Xn' Alors X est localement compact.
D'abord, X est séparé. D'autre part, soit x === (Xl' . . ., X,,) E X. Pour tout i,
il existe un voisinage compact Vi de Xi dans Xi' Alors V 1 X ... X V", est un
voisinage de x dans X (3.2.4), et est compact (4. 2 . 1 7) .
* 4.5.6. Remarque. Soient E un espace compact, (ù un point de E. D'après
4.5.4, l'espace X == E -{ (ù} est localement compact.

(Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf

(Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à (Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf

Similaire à (Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf (20)

(Mathématiques) Jacques Dixmier (Topologie générale-PUF (1981) [générale-PUF etc.) (z-lib.org).pdf