Étude d'article pour le cours modèles aléatoires pour les neurosciences au sein du Master de probabilités théoriques de l'UPMC.

1. Lecture d’article pour le cours Mod`eles
al´eatoires pour les neurosciences
Hitting time for Bessel Processes Walk on moving
spheres algorithm (WOMS) [2]
Victor Bontemps
Avril 2019
1 Pr´esentation de l’article
En neurosciences, le temps d’activation d’un neurone est g´en´eralement mod´elis´e
comme le temps d’atteinte d’un processus stochastique associ´e au poten-
tiel de la membrane. Lorsqu’on ´etudi´e le circuit ´electrique ´equivalent as-
soci´e `a un neurone, le processus d’Ornstein-Uhlenbeck apparaˆıt de mani`ere
naturelle. Dans le mod`ele de Feller, les processus de Bessel g´en´eralis´es
apparaissent comme une alternative plus r´ealiste au processus d’Ornstein-
Uhlenbeck. Lorsqu’on consid`ere ces mod`eles, l’intervalle d’interspike est in-
terpr´et´e comme le premier temps de passage du potentiel de membrane d’un
seuil fix´e et il est ´etroitement li´e au premier temps d’atteinte d’une courbe
pour certains processus de Bessel.
Dans cet article, les auteurs ´etudient le temps d’atteinte de bornes pour
les processus de Bessel. Les r´esultats majeurs et l’algorithme principal sont
obtenus dans le cas des processus de Bessel.
1

2. 2 Etude des r´esulats
2.1 Premi`eres d´efinitions
Avant tout, nous allons ´etudier les carr´es de Bessel qui constituent le lien
central entre le processus de Bessel et le mouvement brownien.
Consid´erons un mouvement brownien mutidimensionnel (de dimension n) :
Bt = (B1
t , B2
t , B3
t , ..., Bn
t )
On consid`ere sa norme euclidienne au carr´e : Yt = n
k=1(Bk
t )2
. Avec la
formule d’Itˆo, on a : dYt = 2 n
k=1 Bk
t dBk
t + ndt
Si on note Wt =
n
1
t
0 Bk
s dBk
s
√
Ys
On remarque que < Wt >= n
1
t
0
( Bk
s√
Ys
)2
ds =
t
0
n
1 (Bk
s )2
Ys
ds = t
Par la caract´erisation de Levy, on conclut que Wt est un mouvement brown-
ien, on peut r´e´ecrire l’´equation v´erifi´ee par Yt:
dYt = 2
√
YtdWt + ndt
On peut d´esormais d´eterminer l’´equation v´erifi´ee par la norme de Bt : Zt =
(Yt). On utilise encore un fois Itˆo, on trouve :
dZt = n−1
2
1
Zt
dt + dWt
Comme nous allons le voir juste apr`es cette ´equation caract´erise un processus
de Bessel de dimension n.
Plus g´en´eralement, on d´efinit les processus de Bessel comme des solutions
de syst`emes d’´equations stochastiques.
Le processus de Bessel de dimension δ issu de y est la solution du
syst`eme d’´equation diff´erentiel stochastique suivant :
(1)
Zδ,y
t = Zδ,y
0 + δ−1
2
t
0
1
Zδ,y
s
+ Bt
Zδ,y
0 = y, y ≥ 0
δ est la dimension et ν = δ
2
− 1 est nomm´e l’index
La densit´e est donn´ee par les deux formules suivantes:
(2.1) py(t, x) = x
t
(x
y
)ν
e−x2+y2
2t Iv(xy
t
) pour t≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0
2

3. (2.2) p0(t, x) = 1
2ν
1
tν+1
1
Γ(ν+1)
xδ−1
e−x2
2t pour t≥ 0, x ≥ 0
O`u nous avons utilis´e la fonction de Bessel et la fonction Gamma :
Iv(z) = ∞
0 (z
2
)ν+2n 1
n!Γ(ν+n+1)
et Γ(z) =
∞
0
tz−1
e−t
dt
Remarque :
• Iv(x) est solution de x2
I”
v (x) + xIv(x) + (x2
− v2
)Iv(x) = 0
Figure 1: Repr´esentation graphiques de fonctions de Bessel
3

4. 2.2 M´ethode des images pour les processus de Bessel
Dans cette section, les auteurs ´etudient le premier temps d’atteinte d’une
courbe par le processus de Bessel issu de l’origine. Pour la courbe ψ(t) , on
introduit le temps d’arrˆet qui correpsond au premier instant ou le processus
d´epasse la courbe : τψ = inf{t > 0; Zδ,0
0 ≥ ψ(t)}
L’id´ee fondamentale est la suivante, soit F mesure σ-finie satisfaisant
toutes les conditions d’int´egrablit´e permettant d’´ecrire les ´egalit´es suivantes.
Alors pour a ≥ 0, on consid`ere la fonction u et la fonction ψ ainsi :
u(t, x) = p0(t, x) − 1
a
∞
0
py(t, x)F(dy)
ψ(t) = inf{x; u(t, x) < 0}
Ainsi pour tout t > 0, par d´efinition de l’infimum on a :
u(t, x) est solution du syst`eme:
(3)



∂u
∂t
= 1
2
∂2u
∂x∂x
− δ−1
2
∂
u(t,x)
x
∂x
u(t, ψ(t)) = 0
u(0, .) = δ0
Soit t fix´e, on a le configuration suivante :
Ainsi on a τψ = inf{t > 0; u(t, Zδ,0
0 ) = 0}. Donc l’information du temps
d’atteinte par un processus de Bessel de la courbe d´elimit´ee par t −→ ψ(t) est
donn´ee par l’´etude de la fonction t −→ u(t, Zδ,0
0 ).
Le th´eor`eme 2.1 de l’article donne une expression g´en´erale pour la densit´e
de la variable al´eatoire τψ.
Th´eor`eme 2.1 Soit u(t,x) telle que u(t, x) = p0(t, x) − 1
a
∞
0
py(t, x)F(dy)
et ψ(t) telle que u(t,ψ(t)) = 0. Alors la densit´e de τψ est donn´ee par :
fτψ
(t) = −1
2
∂u
∂x
|x=ψ(t) + 1
2
∂u
∂x
|x=0 − δ−1
2x
u(t, x)|x=0
4

5. Figure 2: Repr´esentation des valeurs prises par u `a t fix´e
On retrouve la mˆeme structure de d´emonstration que dans le cas vu dans
le cours et dans [3].
1) Les auteurs montrent que P(τψ > t, Zδ,0
t ∈ dx) = u(t, x)dx
2) Par ailleurs on a P(τψ > t) = R+
P(τψ > t, Zδ,0
t ∈ dx)
3) On remarque par d´efinition de τψ que :
{τψ > t} ⊂ {Zδ,0
t < ψ(t)} donc P(τψ > t) =
ψ(t)
0
u(t, x)dx
4) On prend l’oppos´e de la d´eriv´ee en t. Puis on utilise l’´equation v´erifi´ee
par u ainsi que sa valeur sur la courbe (t,ψ(t)). Enfin on int`egre et on utilise
encore la nullit´e de u sur cette mˆeme courbe :
fτψ
(t) = −ψ (t)u(t, ψ(t)) −
ψ(t)
0
∂u
∂t
fτψ
(t) = 0 −
ψ(t)
0
1
2
∂2u
∂x∂x
− δ−1
2
∂
u(t,x)
x
∂x
fτψ
(t) = −1
2
∂u
∂x
|x=ψ(t) + 1
2
∂u
∂x
|x=0 − δ−1
2x
u(t, x)|x=0
5

6. Ce r´esultat est la brique fondamentale de la m´ethode des images. L’id´ee
de cette m´ethode c’est que pour des F(dy) explicites on peut trouver des
formules explicites de temps d’atteinte. Dans l’article, les auteurs donnent
trois formules explicites:
1. F(dy) = y2ν+1
dy
2. F(dy) = p0(s, y)dy
3. F(dy) = y2ν+1
exp{−λy2
}dy
Ces formules explicites donnent respectivement (en respectant l’ordre des
lignes) les fonctions ψa(t) et fτψ
(t) pr´esentes dans le tableau `a la fin du rap-
port.
Remarque : Nous n’avons pas r´eecrit les supports des fonctions. Ce tableau
est donc valables pour es valeurs de t sur lesquelles les fonctions sont bien
d´efinies.
3 Etude de l’algorithme
3.1 Probl´ematique
Les auteurs souhaitent construire une proc´edure pour simuler le premier
temps d’arrˆet d’un processus de Bessel pour une ligne de niveau donn´ee.
Ils d´efinissent donc τl = inf{t > 0; Zδ,x
t ) = l}. On peut caract´eriser ce temps
d’arrˆet par sa trnsform´ee de Laplace, on obtient alors les expressions suiv-
antes :
Ex[eλτl ] = x−ν Iν (x
√
2λ)
l−ν Iν (l
√
2λ)
, x > 0
E0[eλτl ] = (l
√
2λ))ν Iν
2ν Γ(ν+1)
1
Iν (l
√
2λ)
Dans [1] Ciesielski et Taylor ont prouv´e l’expression de la queue de dis-
tribution pour τl,
6

7. P0(τl > t) = 1
2ν−1Γ(ν+1)
∞
k=1
jν−1
ν,k
Jν+1(jν,k)
e
−j2
ν,kt
2l2
Ou Jν est la fonction de Besssel de premi`ere esp`ece et (jν,k)ν,k sont la suite
ses zeros positifs. L’id´ee de l’article est de construire une m´ethode num´erique
efficace car l’inversion d’une transform´ee de Laplace est extrˆement couteuse
d’un point de vue num´erique et il n’est pas possible de calculer l’inverse de
la fonction de r´epartition.
3.2 Cas particulier : temps d’atteinte d’un niveau donn´e
par des processus de Bessel avec une dimension
enti`ere
Nous avons vu dans la section 2.1, le lien entre le mouvement brownien et
les processus de Bessel de dimensions enti`eres : un processus de Bessel de
dimension enti`ere n corrpespond `a la norme d’un mouvement brownien de
dimension n Pour l’algorithme, les auteurs exploitent ce lien en adaptant la
m´ethode introduite par Milstein en 1997 dans [4] pour approximer le temps
de sortie d’un domaine convexe par brownien bi-dimensionnel.
3.3 Origine de la m´ethode WoS (Walking on sphere
algorithm)
On consid`ere le probl`eme de Dirichlet :
∂2u
∂x∂x
= 0(Ω)
u(x) = h(x)(dΩ), avec h born´ee
On a alors ∀x ∈ Ω : u(x) = Ex[h(Wτ )]
Avec W mouvement brownien et τ premier temps de sortie de Ω
Preuve :
Soit Wt mouvement brownien issu de x, par Itˆo on a :
u(Wt) = u(x) +
t
0
∂u
∂x
dWs +
t
0
1
2
∂2u
∂x∂x
ds
u(Wt∧τ ) = u(x) +
t∧τ
0
∂u
∂x
dWs +
t∧τ
0
1
2
∂2u
∂x∂x
ds
u(Wt∧τ ) = u(x) +
t∧τ
0
∂u
∂x
dWs + 0
7

8. Le second terme est une martingale car le crochet est born´e, donc en prenant
l’esp´erance, on trouve : Ex[u(Wt∧τ )] = u(x)
On prend la limite quand t tend vers +∞ et on conclut.
Pour calculer l’esp´erance, on utilise la loi des grands nombres. Pour se
faire il faut simuler des mouvements browniens ind´ependants et arrˆet´es en τ.
La m´ethode WoS fournit un moyen efficace d’´echantillonner le premier
point de sortie d’un mouvement brownien du domaine, en remarquant que
pour toute sph`ere centr´ee sur x, le premier point de sortie de W de la sph`ere
a une distribution uniforme sur sa surface. Ainsi, on commence par x(0)
´egal `a x, et dessine la plus grande sph`ere centr´e sur x(0) et contenue dans le
domaine. Le premier point de sortie x(1) est uniform´ement distribu´e sur sa
surface. En r´ep´etant cette ´etape par induction, le WoS fournit une s´equence
(x(n)) de positions du mouvement brownien.
Selon l’intuition, le processus convergera vers le premier point de sortie du
domaine. Cependant, cet algorithme prend presque certainement un nombre
infini d’´etapes pour se terminer. Pour la mise en œuvre informatique, le
processus est g´en´eralement arrˆet´e lorsqu’il s’approche suffisamment de la
fronti`ere et renvoie la projection du processus sur la fronti`ere. [5]
Figure 3: Illustration de la m´ethode WoS
3.3.1 Etude de l’algorithme pour δ = 2
On d´efinit ρ(x) , la distance au bord,
ρ(x) = inf{|x − y|; y ∈ Dc
} = l − |x| et ∀ > 0, on d´efinit D =
8

9. x ∈ D; ρ(x) ≥
Enfin on d´efinit la fonction φa(t) = 2tlog(a
t
) qui va permettre de calculer
le rayon des cercles succesifs pour l’algorithme.
Algorithm 1 cas particulier : δ = 2
Require: 0 < γ < 1
X1(0) = 0
X2(0) = 0
θ(0) = 0
Θ(0) = 0
A0 = γ2l2e
2
while (X1(n − 1), X2(n − 1)) = X(n − 1) ∈ D do
(Un, Vn, Wn) ← 3 independant random variables uniformly distributed
θn ← An−1UnVn
Θn ← Θn−1 + θn
(X1(n), X2(n))T
= X(n − 1)T
φAn−1 (θn)(cos(2πWn), sin(2πWn)T
An ← γ2ρ(X(n))2e
2
end while
A la fin de la boucle, le r´esultat est donn´e par le couple de valeurs (Θn, X(n)
qui donnent respectivement le temps d’atteinte et la position de sortie.
Remarque : La diff´erence fondamentale entre l’algorithme de WoS e l’algorithme
WoMS est la dimension al´eatoire du rayon de la sph`ere dans le second. En
effet, dans une it´eration de l’algorithme WoS, pour trouver X(n), on cherche
uniform´ement sur le cercle de centre X(n-1) et de rayon γρ(X(n − 1)), donc
sachant X(n-1) ce rayon est d´eterministe. Dans l’algorithme WoMS, au con-
traire, le rayon est donn´e par l’expression : γρ(X(n − 1)) eUnVnlog( 1
UnVn
).
3.3.2 Programmation de l’algorithme pour tester les r´esultats de
l’article
Apr`es avoir pass´e du temps `a essayer de comprendre aux mieux les r´esultats
pr´esent´es dans cet article. J’ai souhait´e tester par moi mˆeme l’algorithme
WOMS. Je l’ai impl´ement´e sur python. D’une part pour mieux comprendre
l’article, pour mieux appr´ehender les r´esultats et d’autre part pour faire un
premier contrˆole simple sur les r´esultats.
9

10. Figure 4: Illustration de la m´ethode WOMS impl´ement´e sur python
J’ai ensuite compar´e mes r´esultats `a ceux pr´esent´es dans l’article avec les
mˆemes param`etres que ceux utilis´es par les auteurs id est l = 1, N = 20 000
(nombre de simulations), gamma = 0.9.
Figure 5: R´esultats personnels obtenus avec le code en python
On observe qu’avec mon code je retrouve des r´esultats tr`es similaires `a
ceux observables dans l’article. Cela montre que mon code correspond bien
a l’algorithme WoMS d´evelopp´e par les auteurs.
Remarques : l’interpr´etation du param`etre gamma n’est pas explicit´e
dans l’article. Apr`es avoir effectuer diff´erents tests sur les param`etres avec
mon code, j’ai juste pu observer (comme on le voit directement avec la formule
) que celui-ci influe sur le nombre dincr´ements (nombre de cercles) pour
sortir du cercle initial. On pourrait donc l’interpr´eter comme un pas de
quantification pour l simulation du processus.
4 Conclusion
J’ai vraiument appr´eci´e ´etudier cet article. Il m’a permis de voir une ap-
plication plus complexe de la methode des images introduite en cours pour
10

11. des processus browniens. En outre, il m’a amen´e `a parcourir d’autres sources
d’informations grˆace auxquelles j’ai pu me faire un id´ee claire de l’algorithme
WoS. Enfin, j’ai pu impl´ementer moi mˆeme l’algorithme WoMS. cette impl´ementation
a ´et´e un ´el´ement clef de compr´ehension pour apprhender les concepts pr´esent´es
dans l’article. Et j’ai pu l’effectuer car la seconde partie de l’article d´edi´ee `a
la m´ethode num´erique est tr`es bien structur´ee.
References
[1] Z. CIESIELSKI and S. J. TAYLOR. First passage times and sojourn
times for brownian motion in space and the exact hausdor measure of the
sample path. 1962.
[2] Madalina Deaconu and Samuel Herrmann. Hitting time for bessel pro-
cesses walk on moving spheres algorithm (woms). The Annals of Applied
Probability, 23(6):2259–2289, 2013.
[3] LERCHE. Boundary crossing of brownian motion. Lecture Notes in
Statistics 40. Springer, Berlin, 1986.
[4] G. N. MILSTEIN. Weak approximation of a diusion process in a bounded
domain. Stochastics, 62:147–200.
[5] Wikipedia. Walk on spheres method. 2019.
11

12. ψa(t)fτψ
(t)
2tloga
Γ(ν+1)tν+12ν
1
2at
(2tloga
Γ(ν+1)tν+12ν)ν+1
2t(t+s)
s
[(ν+1)log(1+s
t
)+log(a)]1
Γ(ν+1)
1
t
(t+s
s
)ν
[log(a(t+s
t
)ν+1
)]ν+1
exp−t+s
s
log(a(t+s
t
)ν+1
)
λt
1+2λt
+t(λt
1+2λt
)2+2
t
loga(1+2λt)ν+1
2νtν+1Γ(ν+1)
(λt
1+2λt
)2+2
t
loga(1+2λt)ν+1
2νtν+1Γ(ν+1)
p0(t,ψ(t))
12