SUR L'INSTANT DE PREMIER PASSAGE DANS LES RISQUES DYNAMIQUES ACTUARIELS

SUR L'INSTANT DE PREMIER PASSAGE DANS LES
RISQUES DYNAMIQUES ACTUARIELS
présentée par
KACEF Mohamed Amine
pour l'obtention du diplôme de
Doctorat 3ème Cycle en Mathématiques
Spécialité : Mathématiques Financières et Actuariat
Université des Sciences et de la Technologie HOUARI BOUMEDIENE
Faculté de Mathématiques
Laboratoire MSTD
Lundi 5 avril 2021

Plan de l'exposé
1 Introduction
KACEF, M.A. Sous la direction de:Prof. BOUKHETALA Kamal Lundi 5 avril 2021 2 / 43

Plan de l'exposé
1 Introduction
2 Gestion des risques nanciers par des options

Plan de l'exposé
1 Introduction
3 Tarication des options géométriques d'Istanbul : approche probabiliste

Plan de l'exposé
1 Introduction
4 Simulations Monte-Carlo du prix d'une option géométrique d'Istanbul

Plan de l'exposé
1 Introduction
4 Simulations Monte-Carlo du prix d'une option géométrique d'Istanbul
5 Perspectives de recherche

Introduction

Instant de premier passage pour les processus stochastiques

Dénition
Soit (Xt)t0 un processus stochastique déni sur (Ω, F, (Ft)t0, P) à
valeurs dans R. Soit D : R+ 7→ R une fonction continue appelée barrière.
Le premier instant où la trajectoire du processus Xt atteint la courbe de la
fonction D est déni par
τX,x0
D ≡

inf{τ 0 : Xτ D(τ)|X0 = x0}, si x0 D(0),
inf{τ 0 : Xτ 6 D(τ)|X0 = x0}, si x0 D(0).
La v.a. τX,x0
D est appelée instant de premier passage ou premier temps
d'atteinte de la barrière D par le processus X.

Figure Trajectoire d'un processus Xt issu de zéro (X0 = 0) qui atteint pour la
première fois la courbe de la fonction D(t) = sin (t2 − 0.25) à l'instant 0.491 sur
l'intervalle de temps [0, 1].

Pour x0 D(0), la distribution de probabilité de la v.a. τX,x0
D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t

= P Xτ D(τ), pour un certainτ ∈ [0, t]

, t 0. (1)

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
La densité de probabilité de τX,x0
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
I Le problème de l'instant du premier passage (rst-passage-time problem) consiste à
déterminer analytiquement les deux fonctions (1) et (2).

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
I En pratique, trois formes de barrières sont souvent étudiées, à savoir :

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Fixe : D(t) = a, a ∈ R [Bachelier, 1900].

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Ane : D(t) = at + b, (a, b) ∈ R2
[Abundo, 2002].

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Ane : D(t) = at + b, (a, b) ∈ R2
[Abundo, 2002].
Exponentielle : D(t) = eat+b, (a, b) ∈ R2
[Kunitomo et Ikeda, 1992].

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Ane : D(t) = at + b, (a, b) ∈ R2
[Abundo, 2002].
I La résolution du problème de l'instant de premier passage devient plus ardu lorsque le
processus X admet une structure complexe :

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Ane : D(t) = at + b, (a, b) ∈ R2
[Abundo, 2002].
Le modèle de Uhlenbeck et Ornstein : Ricciardi et Sato [1988], Alili et al. [2005]
et Linetsky [2004] et Yi [2010].

D est dénie par
P

τX,x0
D 6 t


, t 0. (1)
D est dénie par
f
τ
X,x0
D
(t) =
∂
∂t
P

τX,x0
D 6 t

, t 0. (2)
Ane : D(t) = at + b, (a, b) ∈ R2
[Abundo, 2002].
Le modèle de Uhlenbeck et Ornstein : Ricciardi et Sato [1988], Alili et al. [2005]
et Linetsky [2004] et Yi [2010].
Le modèle de Lévy : Pakes [1996], Kou et Wang [2003] et Hurd et Kuznetsov
[2009].

Techniques de résolution du problème de l'instant de
premier passage

premier passage
I Approches probabilistes

premier passage
Propriété forte de Markov et principe de réexion (Bachelier [1900],
Schrodinger[1915] et Smoluchowski [1915]).

premier passage
Théorie des Martingales [Srivastava et al., 2017].

premier passage
Équation de Fokker-Planck [Ding et Rangarajan, 1996].

premier passage
I Approches numériques : simulations Monte-Carlo

premier passage
I Approches numériques : simulations Monte-Carlo
Ces méthodes peuvent être envisagées pour plusieurs classes de
processus stochastiques, en particulier pour les processus de diusion
[Boukhetala, 1998], [Giraudo et al., 2001], [Opplestrup et al., 2006],
[Ichiba et Kardaras, 2011], [Drugowitsch, 2016] et [Herrmann et Zucca,
2019].

Instant de premier passage en nance

I Dans les secteurs de l'assurance et de la banque, les instants de
défaut d'une entreprise (ou d'un investisseur) sont équivalents aux
instants de premier passage à une barrière considérée comme étant le
seuil de faillite (ou de l'insolvabilité), la distribution de ces instants
est appelée probabilité de défaut.

I Le problème de l'instant de premier passage se pose aussi dans la
tarication de plusieurs produits nanciers, en particulier pour les
options exotiques telles que :

Les options binaires.

Les options européennes à barrières.

Les options Asiatiques à barrières.

Les options d'Istanbul.

Les options d'Istanbul.
Les options Américaines.

Quelques distributions de probabilité de l'instant de premier
passage connues dans la littérature

I Mouvement Brownien Standard (Processus de Wiener)
TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0

TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0 d
=⇒ Lévy(0; a2
)

TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0 d
=⇒ Lévy(0; a2
)
I Mouvement Brownien Arithmétique
Xt = µt + Bt , µ 0.
TX
a = inf{t 0 : Xt = a}, a 0

TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0 d
=⇒ Lévy(0; a2
)
Xt = µt + Bt , µ 0.
TX
a = inf{t 0 : Xt = a}, a 0 d
=⇒ Inverse-gaussienne

a
µ
; a2

.

TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0 d
=⇒ Lévy(0; a2
)
Xt = µt + Bt , µ 0.
TX
a = inf{t 0 : Xt = a}, a 0 d

a
µ
; a2

.
I Mouvement Brownien Géométrique
St = S0 exp (µt + σBt ) , S0 0, µ ∈ R, σ 0.
TS
a = inf{t 0 : St = a}, a S0

TB
a = inf{t 0 : Bt = a}, a 6= 0 d
=⇒ Lévy(0; a2
)
Xt = µt + Bt , µ 0.
TX
a = inf{t 0 : Xt = a}, a 0 d

a
µ
; a2

.
I Mouvement Brownien Géométrique
St = S0 exp (µt + σBt ) , S0 0, µ ∈ R, σ 0.
TS
a = inf{t 0 : St = a}, a S0
d
α
ν
; α2

,
où ν = µ/σ et α = log (a/S0) /σ.

Distribution des instants de premier de passage via la
méthode de Monte-Carlo

Soit le problème de l'estimation de l'espérance d'une fonction d'une certaine v.a. X :
µ = E [H(X)] , (3)
où H est une fonction arbitraire qui vérie la condition E [|H(X)|] ∞.

µ = E [H(X)] , (3)
I Technique Monte-Carlo standard

µ = E [H(X)] , (3)
La méthode de simulation de Monte-Carlo pour estimer µ est réalisée en deux
étapes :

µ = E [H(X)] , (3)
étapes :
1 Générer n variables aléatoires i.i.d., X1, X2, . . . , Xn, de même distribution que
la v.a. X.

µ = E [H(X)] , (3)
étapes :
la v.a. X.
2 L'estimation de µ est dénie comme étant la moyenne empirique de
l'échantillon des Xi , i ∈ {1, 2, . . . , n} :
µ̂n =
1
n
n
X
i=1
H(Xi ). (4)

µ = E [H(X)] , (3)
étapes :
la v.a. X.
µ̂n =
1
n
n
X
i=1
H(Xi ). (4)
Par la loi forte des grand nombres de Kolmogorov [1933], la moyenne empirique µ̂N
converge p.s. pour n assez grand vers µ.

µ = E [H(X)] , (3)
étapes :
la v.a. X.
µ̂n =
1
n
n
X
i=1
H(Xi ). (4)
Par la loi forte des grand nombres de Kolmogorov [1933], la moyenne empirique µ̂N
converge p.s. pour n assez grand vers µ.
µ̂N est un estimateur sans biais de µ.

I Pour t 0 xé, nous avons
P(τX,x0
D 6 t) = E

1{τ
X,x0
D
6t}

. (5)

I Pour t 0 xé, nous avons
P(τX,x0
D 6 t) = E

1{τ
X,x0
D
6t}

. (5)
Figure Convergence de l'estimateur de Monte-Carlo. Notes : Nous simulant un échantillon des réalisations de
la v.a. TB
0.56 = inf{t ∈ [0, T] : Bt 0.56} où Bt est un mouvement Brownien standard issu de zéro. Le nombre de
points simuler par trajectoire est de n = 1000. Le nombre de trajectoires N de Bt varie de 50 à 3000. La distribution
P(TB
0.56 6 t) est approximée à l'instant t = 0.354 pour chaque simulation.

Techniques de réduction de la variance dans Monte-Carlo

Soit le problème d'estimation de la quantité
µ = E (Y ) ,
où Y est une v.a. intégrable.

µ = E (Y ) ,
I La technique des variables antithétiques (AV) :

µ = E (Y ) ,
Soit Z une autre v.a. de même loi de Y avec Cov(Y , Z) 0.

µ = E (Y ) ,
Soit Z une autre v.a. de même loi de Y avec Cov(Y , Z) 0.Un
nouveau estimateur sans biais de µ serait
µ̂AV =
1
2N
N
X
i=1
(Yi + Zi ), (6)
où (Z1, Z2, . . . , ZN ) est un échantillon i.i.d. de même loi que la v.a. Z.

µ = E (Y ) ,
µ̂AV =
1
2N
N
X
i=1
(Yi + Zi ), (6)
Nous avons que :
Var(µ̂AV ) =
1
2

Var(µ̂MC ) +
Cov(Y , Z)
N


µ = E (Y ) ,
µ̂AV =
1
2N
N
X
i=1
(Yi + Zi ), (6)
Nous avons que :
Var(µ̂AV ) =
1
2

Var(µ̂MC ) +
Cov(Y , Z)
N

Var(µ̂MC ),
où µ̂MC est l'estimateur de Monte-Carlo standard de µ.

I La technique de la variable de contrôle (CV) :

Soit Z une variable aléatroire dont l'espérance E (Z) est connue.

Soit Z une variable aléatroire dont l'espérance E (Z) est connue. Si on a
(Y1, Y2, . . . , YN ) et (Z1, Z2, . . . , ZN ) deux échantillons i.i.d. de même loi que Y et
Z respectivement.

Z respectivement. Alors, pour toute constante α ∈ R, nous avons que
µ̂CV =
1
N
N
X
i=1
Yi − α

1
N
N
X
i=1
Zi − E (Z)
#
, (7)
est un estimateur sans biais et convergent pour µ.

µ̂CV =
1
N
N
X
i=1
Yi − α

1
N
N
X
i=1
Zi − E (Z)
#
, (7)
On a
Var(µ̂CV ) =
1
N

Var(Y ) + α2
Var(Z) − 2αCov(Y , Z)

. (8)

µ̂CV =
1
N
N
X
i=1
Yi − α

1
N
N
X
i=1
Zi − E (Z)
#
, (7)
On a
Var(µ̂CV ) =
1
N

Var(Y ) + α2

. (8)
Le coecient de contrôle qui minimise la variance (8) est donn é par
α?
=
Cov(Y , Z)
Var(Z)
. (9)

µ̂CV =
1
N
N
X
i=1
Yi − α

1
N
N
X
i=1
Zi − E (Z)
#
, (7)
On a
Var(µ̂CV ) =
1
N

Var(Y ) + α2

. (8)
α?
=
Cov(Y , Z)
Var(Z)
. (9)
En remplaçant la valeur α? dans la formule (8), on obtient
Var(µ̂CV ) = (1 − ρ2
YZ )Var(µ̂MC )

µ̂CV =
1
N
N
X
i=1
Yi − α

1
N
N
X
i=1
Zi − E (Z)
#
, (7)
On a
Var(µ̂CV ) =
1
N

Var(Y ) + α2

. (8)
α?
=
Cov(Y , Z)
Var(Z)
. (9)
En remplaçant la valeur α? dans la formule (8), on obtient
Var(µ̂CV ) = (1 − ρ2
YZ )Var(µ̂MC ) Var(µ̂MC ). (10)

Gestion des risques financiers
par des options

Les diérents types de risques nanciers

Gestion des risques nanciers avec des options
I La gestion des risques nanciers consiste, en premier lieu, à identier le
risque et à adopter par la ensuite des stratégies pour réduire ce dernier.

I Les options sont des contrats utilisés pour protéger les entreprises
contre plusieurs risques nanciers, en particulier le risque de change.

I Les options sont des contrats utilisés pour protéger les entreprises
contre plusieurs risques nanciers, en particulier le risque de change.
I Les options sont une police d'assurance.

Les options
Dénition (Option)
Une option est un contrat qui donne à son titulaire le droit et non l'obligation d'acheter ou de
vendre un actif sous-jacent à un prix appelé prix d'exercice et à une date déterminée à l'avance
appelée échéance. Le prix d'achat d'un contrat d'option est appelé prime.

Les options
I Types d'options

Les options
I Types d'options
Le Call ou option d'achat.

Les options
I Types d'options
Le Call ou option d'achat.
Le Put ou option de vente.

Le modèle de Black-Scholes [1973]

I Les hypothèses sur le marché sont :

Absence d'opportunité d'arbitrage (A.O.A.).

Le taux d'intérêt sur le marché r est connu et constant durant la durée
de vie de l'option.

de vie de l'option.
L'actif sous-jacent St est un MBG.

de vie de l'option.
L'option ne verse pas de dividendes.

de vie de l'option.
L'option est de style européenne.

de vie de l'option.
L'achat ou la vente de l'option est sans frais de transaction.

de vie de l'option.
L'achat ou la vente de l'option est sans frais de transaction.
Il est possible de vendre à découvert.

Tarication des options dans le modèle Black-Scholes [1973]
Théorème [Risk-Neutral Pricing Formula]
Dans le modèle de Black-Sholes, le prix à l'instant zéro de toute option
dont le payo hT est une v.a. positive, FT -mesurable et de carré intégrable
sous la mesure de risque-neutre Q est donné par
Prime = EQ

e−rT
hT

. (11)

Les Options Asiatiques : cas d'une moyenne géométrique

Dénition
Une option asiatique à moyenne géométrique (Geometric Asian Option) de prix d'exercice K
xe et d'échéance T est une option dont le payo hT s'écrit comme
hT =








exp

1
T
Z T
0
log Sudu

− K

+
, pour un Call,

K − exp

1
T
Z T
0
log Sudu

+
, pour un Put.

Dénition
Une option asiatique à moyenne géométrique (Geometric Asian Option) de prix d'exercice K
hT =








exp

1
T
Z T
0
log Sudu

− K

+
, pour un Call,

K − exp

1
T
Z T
0
log Sudu

+
, pour un Put.
Proposition [Kemna et Vorst, 1990]
Dans le modèle de Black-Scholes, le prix à l'instant zéro d'une option d'achat asiatique à
moyenne géométrique de prix d'exercice K et d'échéance T est donné par
GAC = S0e−
r+σ2/6
2 T
Φ(d1) − Ke−rT
Φ(d2), (12)
où
d1 =
√
3
σ
√
T

log

S0
K

+
r + σ2
/6
2
T

et d2 = d1 −
σ
√
T
√
3
.

Les Options Asiatiques : cas d'une moyenne arithmétique
Dénition
Une option asiatique à moyenne arithmétique (Arithmetic Asian Option) de prix d'exercice K
hT =








1
T
Z T
0
Sudu − K

+
, pour un Call,

K − 1
T
Z T
0
Sudu

+
, pour un Put.

Approximation Log-normale du prix d'une AAC

I Soit At un processus déni par
At =
1
t
Z t
0
Sudu, t ∈ [0, T]. (13)

At =
1
t
Z t
0
Sudu, t ∈ [0, T]. (13)
I Sous la mesure Q, les deux premiers moments de AT sont donnés par
m1(T) = EQ
[AT ] = S0
erT − 1
rT
(14)
et
m2(T) = EQ

A2
T

=
2S2
0
T2

e(2r+σ2)T
(r + σ2
)(2r + σ2
)
+
1
r(2r + σ2
)
−
erT
r(r + σ2
)
#
. (15)

At =
1
t
Z t
0
Sudu, t ∈ [0, T]. (13)
I Sous la mesure Q, les deux premiers moments de AT sont donnés par
m1(T) = EQ
[AT ] = S0
erT − 1
rT
(14)
et
m2(T) = EQ

A2
T

=
2S2
0
T2

e(2r+σ2)T
(r + σ2
)(2r + σ2
)
+
1
r(2r + σ2
)
−
erT
r(r + σ2
)
#
. (15)
I La distribution de la v.a AT est approximée comme suit
AT
d
≈ log N(µT ; σT ), (16)
où
µT = log
m1(T)2
p
m2(T)
!
et σT =
s
log

m2(T)
m1(T)2

. (17)

I Le prix à l'instant zéro d'une options d'achat arithmétique asiatique (Arithmetic Asian
Call option) peut être approximé comme suit
AAC = EQ

e−rT

1
T
Z T
0
Sudu − K

+
#
≈ EQ
h
e−rT
(log N(µT ; σT ) − K)+
i
. (18)

I Le prix à l'instant zéro d'une options d'achat arithmétique asiatique (Arithmetic Asian
Call option) peut être approximé comme suit
AAC = EQ

e−rT

1
T
Z T
0
Sudu − K

+
#
≈ EQ
h
e−rT
(log N(µT ; σT ) − K)+
i
. (18)
I On a
AAC ≈ e−rT
Υ(µT , σT ; K), (19)
où
Υ(µ, σ; K) = eµ+σ2/2
Φ

σ2
+ µ − log K
σ

− KΦ

µ − log K
σ

. (20)

Options dont le payo dépend de l'instant de premier
passage : Options à barrière

I Une option à barrière est une option dont le gain, à l'échéance, dépend du fait que le
cours de l'actif sous-jacent a atteint ou non un certain seuil prédéterminé appelé barrière.

I Il existe deux classes d'options à barrières : knock-in option et knock-out option.

I Deux positions pour la barrière : Up-barrier (S0 B) et Down-barrier (S0 B).

I Deux positions pour la barrière : Up-barrier (S0 B) et Down-barrier (S0 B).
Type d'option Classes Payo Notations
Call
Down-and-Out (ST − K)+1{TS
B T} DOCB
Down-and-In (ST − K)+1{TS
B T} DICB
Up-and-Out (ST − K)+1{TS
B T} UOCB
Up-and-In (ST − K)+1{TS
B T} UICB
Put
Down-and-Out (K − ST )+1{TS
B T} DOPB
Down-and-In (K − ST )+1{TS
B T} DIPB
Up-and-Out (K − ST )+1{TS
B T} UOPB
Up-and-In (K − ST )+1{TS
B T} UIPB

Tarification des options
géométriques d'Istanbul: approche
probabiliste

Options géométriques d'Istanbul
Dénition [KACEF, M.A. et BOUKHETALA, K., 2020]
Une option d'achat géométrique d'Istanbul (GIC) à échéance T et de prix
d'exercice K admet un payo de la forme (GT − K)+, où GT est une v.a.
dénie par
GT ≡ exp
1
T − τS
B
Z T
τS
B
log Sudu
!
1{τS
B T} + ST 1{τS
B T}, (21)
avec τS
B ≡ inf

t ∈ [0, T] : St B|0 S0 B

.

Prime d'une option GIC dans le modèle de Black-Scholes

I Avec la formule de tarication sous risque-neutre, le prix à l'instant zéro d'une option
d'achat géométrique d'Istanbul est donné par
GICB = EP
h
e−rT
(GT − K)+
i
(22)

GICB = EP
h
e−rT
(GT − K)+
i
(22)
I La distribution de probabilité de GT est essentielle pour obtenir une formule analytique de
GICB . On a
P (GT 6 x) = P

GT 6 x, τS
B T

+ P

GT 6 x, τS
B T

, (23)
avec
P

GT 6 x, τS
B T

= P

ST 6 x, τS
B T

. (24)

GICB = EP
h
e−rT
(GT − K)+
i
(22)
I La distribution de probabilité de GT est essentielle pour obtenir une formule analytique de
GICB . On a
P (GT 6 x) = P

GT 6 x, τS
B T

+ P

GT 6 x, τS
B T

, (23)
avec
P

GT 6 x, τS
B T

= P

ST 6 x, τS
B T

. (24)
I Nous pouvons réécrire la formule (22) comme
GICB = EP
h
e−rT
(GT − K)+ 1{τS
B
T}
i
| {z }
partie asiatique
+ UOCB
| {z }
partie européenne
. (25)

Résultats obtenus
Proposition [KACEF, M.A. et BOUKHETALA, K., 2020]
La distribution de GT lorsque B est atteint avant T, est donnée par
P

GT 6 x, τS
B T

=
Z T
0
Φ


√
3

log(x/B) − µ
2 (T − t)

σ
√
T − t

 h(t)dt,
(26)
avec
h(t) =
b
√
2πt3
exp −
(b − µt)2
2t
!
, (27)
où µ = r − σ2/2, µ = µ/σ et b = log (B/S0)/σ.

Résultats obtenus
I La dérivée de la formule (26) par rapport à x donne
P

GT ∈ (x, x + dx), τS
B T

=
√
3b
2πσx
exp

3µ log (x/B)
2σ
−
3µ2
T
8
+ bµ

×
Z T
0
1
p
(T − t)t3
exp

−
3log2
(x/B)
2(T − t)σ2
−
µ2
8
t −
b2
2t

dtdx.
(28)

Résultats obtenus
I La dérivée de la formule (26) par rapport à x donne
P

GT ∈ (x, x + dx), τS
B T

=
√
3b
2πσx
exp

3µ log (x/B)
2σ
−
3µ2
T
8
+ bµ

×
Z T
0
1
p
(T − t)t3
exp

−
3log2
(x/B)
2(T − t)σ2
−
µ2
8
t −
b2
2t

dtdx.
(28)
Figure Valeurs de µ2
/8 pour r compris de 1% à 8% et σ compris de 10% à 50%.

Résultats obtenus
Lemme 1 [KACEF, M.A. et BOUKHETALA, K., 2020]
Pour α 0, γ et T 0. Si β est au voisinage de zéro, alors on a
1
π
Z T
0
1
p
(T − t)t3
exp

−
α2
2(T − t)
− βt −
γ
t

dt =

α2
− 2γ + T
2
β2
− 2β

(1 − Φ(d))
+
√
T(
√
2γ − α)
2
β2
+
s
2
Tγ
!
φ(d)
+ O(β3
),
où d = (α +
√
2γ)/
√
T.

Théorème 2 [KACEF, M.A. et BOUKHETALA, K., 2020]
Supposons que K B. Nous avons
GICB ≈
√
3b
2σ
exp −
3µ2T
8
+ bµ − rT
!
×
(
B

exp(z3)
n
z4(1 − Φ(z2)) + z6φ(z2) + z7(1 − Φ(z2))
o
+ z5(1 − Φ(z1))

− K

exp(z9)
n
z10(1 − Φ(z8)) +

z12 + w/a
2

φ(z8) + z13(1 − Φ(z8))
o
+ z11(1 − Φ(z1))
)
, (29)
où
a =
√
3
σ
√
T
,
h =
|b|
√
T
,
e = c − 1,
c = 3µ
2σ
+ 1,
k =
(T−b2)µ4
128 − µ2
4 ,
w = − µ4√
3T
128σ
,
d = 3µ4
128σ2 ,
l = 2
Th
+ Tµ4h
128 ,
z1 = a log

K
B

+ h,
z2 = z1 − c
a
,
z4 = − 2dh
a3 −
d(1−h2)
ca2 + 2d
c3 + 2dh
ac2 + dc
a4 + k
c
,
z6 =
d log(K/B)
ac
− 2d
ac2 − dh
ca2 + d
a3 + w
a2 ,
z8 = z1 − e
a
,
z10 = − 2dh
a3 −
d(1−h2)
ea2 + 2d
e3 + 2dh
ae2 + de
a4 + k
e
,
z12 =
d log(K/B)
ae
− 2d
ae2 − dh
ea2 + d
a3 ,
z3 = c2
2a2 − hc
a
,
z5 =

K
B
c

−
d log2(K/B)
c
+
2d log(K/B)
c2 − 2d
c3 − k
c

,
z7 = wc
a3 − wh
a2 + l
a
,
z9 = e2
2a2 − he
a
,
z11 =

K
B
e

−
d log2(K/B)
e
+
2d log(K/B)
e2 − 2d
e3 − k
e

,
z13 = we
a3 − wh
a2 + l
a
.

Supposons que K B. Nous avons
GICB ≈
√
3b
2σ
exp −
3µ2T
8
+ bµ − rT
!
×
(
B

exp(z3)
n
z4(Φ(z2) − Φ(z1)) − z5φ(z2) + (d log(B/K)/(ca) + z5) φ(z1) + exp(−2hc/a)
×

z6(Φ(z2 − 2c/a) − 1) − (z5 + 2dh/(ca
2))φ(z2 − 2c/a)
o
+ z7(1 − Φ(z1 − c/a))(K/B)
c

− K

exp(z10)
n
z11(Φ(z9) − Φ(z8)) − z12φ(z9) + (d log(B/K)/(ea) + z12) φ(z8) + exp(−2he/a)
×

z13(Φ(z9 − 2e/a) − 1) − (z12 + 2dh/(ea
2))φ(z9 − 2e/a)
o
+ z14(1 − Φ(z8 − e/a))(K/B)
e
)
+ UOCB , (30)

Avec
a =
√
3
σ
√
T
,
h =
|b|
√
T
,
e = c − 1,
c = 3µ
2σ
+ 1,
k =
(T−b2)µ4
128 − µ2
4 ,
d = 3µ4
128σ2 ,
l = 2
Th
+ Tµ4h
128 ,
w = − µ4√
3T
128σ
,
z1 = a log

B
K

+ h + c
a
,
z3 = c2
2a2 + hc
a
,
z5 = 2d
ac2 − dh
ca2 − d
a3 − w
a2 ,
z7 = − d
c
log2

K
B

+ 2d
c2 log

K
B

− 2d
c3 − k
c
,
z9 = z8 − a log

B
K

,
z11 = 2dh
a3 −
d(1−h2)
ea2 + 2d
e3 − 2dh
ae2 + de
a4
+ k
e
+ we
a3 + wh
a2 − l
a
,
z13 = 2

2hd
a3 − 2hd
e2a
+ wh
a2 − l
a

− z11,
z2 = z1 − a log

B
K

,
z4 = 2dh
a3 −
d(1−h2)
ca2 + 2d
c3 − 2dh
ac2 + dc
a4 + k
c
+ wc
a3 + wh
a2 − l
a
,
z6 = 2

2hd
a3 − 2hd
c2a
+ wh
a2 − l
a

− z4,
z8 = a log

B
K

+ h + e
a
,
z10 = e2
2a2 + he
a
,
z12 = 2d
ae2 − dh
ea2 − d
a3 − w
a2 ,
z14 = − d
e
log2

K
B

+ 2d
e2 log

K
B

− 2d
e3 − k
e
.

Simulations Monte-Carlo du prix
d'une option géométrique
d'Istanbul

Simulations Monte-Carlo du prix d'une option GIC
I Pour simuler N = 104
trajectoires du prix St , on commence par discrétiser l'intervalle
[0, T] en points n = 2500, 0 = t0 t1 · · · tn = T, avec un pas de discrétisation
∆t = T/n, ti = i∆t, i = 0, 1, . . . , n :
Sti+1 = Sti exp

µ∆t + σ
√
∆tYi+1

, i ∈

0, 1, . . . , n − 1

, (31)
où Y1, Y2, . . . , Yn est n i.i.d. de loi N(0, 1).

∆t = T/n, ti = i∆t, i = 0, 1, . . . , n :
Sti+1 = Sti exp

µ∆t + σ
√
∆tYi+1

, i ∈

0, 1, . . . , n − 1

, (31)
I An d'obtenir une réalisation de la v.a. GT , nous utilisons une approximation avec la règle
des trapèzes :
Z T
τS
B
log Sudu ≈ ∆t



1
2
log

StS
B
Stn

+
n−1
X
i=tS
B
/∆t
log (Sti )


, (32)
où tS
B = min

ti , i ∈ {1, . . . , n}|Sti B

.

∆t = T/n, ti = i∆t, i = 0, 1, . . . , n :
Sti+1 = Sti exp

µ∆t + σ
√
∆tYi+1

, i ∈

0, 1, . . . , n − 1

, (31)
des trapèzes :
Z T
τS
B
log Sudu ≈ ∆t



1
2
log

StS
B
Stn

+
n−1
X
i=tS
B
/∆t
log (Sti )


, (32)
où tS
B = min

ti , i ∈ {1, . . . , n}|Sti B

.
I L'estimateur contrôlé pour GICB est donné par
Gb
ICCV
B = Gb
ICMC
B − θ?

G b
ACMC
− GAC

, (33)
où Gb
ICMC
B et G b
ACMC sont des estimateurs MC standards pour GICB et GAC
respectivement et θ? est un paramètre qui minimise la variance de Gb
ICCV
B .

∆t = T/n, ti = i∆t, i = 0, 1, . . . , n :
Sti+1 = Sti exp

µ∆t + σ
√
∆tYi+1

, i ∈

0, 1, . . . , n − 1

, (31)
des trapèzes :
Z T
τS
B
log Sudu ≈ ∆t



1
2
log

StS
B
Stn

+
n−1
X
i=tS
B
/∆t
log (Sti )


, (32)
où tS
B = min

ti , i ∈ {1, . . . , n}|Sti B

.
I L'estimateur contrôlé pour GICB est donné par
Gb
ICCV
B = Gb
ICMC
B − θ?

G b
ACMC
− GAC

, (33)
où Gb
ICMC
B et G b
ACMC sont des estimateurs MC standards pour GICB et GAC
respectivement et θ? est un paramètre qui minimise la variance de Gb
ICCV
B .
I Nous prenons θ? = Cov(H1, H2)/Var(H2), où H1 et H2 sont les payos des options GIC
et GAC, respectivement.

Table Comparaison entre le prix d'une option d'achat géométrique d'Istanbul
obtenu avec notre formule d'approximation analytique (29) et celui obtenu avec
les simulations de Monte-Carlo.
T = 0.5 T = 1 T = 1.5
S0 K B Approx. MCV R.E. Approx. MCV R.E. Approx. MCV R.E.
(S.E.) (%) (S.E.) (%) (S.E.) (%)
57 63 60 1.2886 1.2828 0.4521 2.4889 2.5103 0.8489 3.4720 3.5082 1.0317
(0.0087) (0.0127) (0.0158)
58 63 60 1.4739 1.4864 0.8415 2.7201 2.7566 1.3225 3.7257 3.7531 0.7307
(0.0081) (0.0112) (0.0132)
59 63 60 1.6747 1.6863 0.6860 2.9622 2.9982 1.1991 3.9878 4.0251 0.9256
(0.0194) (0.0088) (0.0100)
60 63 63 2.4187 2.4414 0.9283 3.8050 3.8491 1.1477 4.8783 4.9095 0.6362
(0.0122) (0.0160) (0.0178)
60 64 63 2.0400 2.0585 0.9015 3.4023 3.4367 1.0024 4.4704 4.4746 0.0945
(0.0113) (0.0149) (0.0162)
60 65 63 1.7079 1.7226 0.8529 3.0328 3.0610 0.9210 4.0893 4.1146 0.6148
(0.0105) (0.0141) (0.0161)
70 75 72 2.0299 2.0501 0.9853 3.5694 3.5975 0.7810 4.7936 4.8402 0.9626
(0.0095) (0.0126) (0.0145)
70 75 73 2.1844 2.1984 0.6390 3.7503 3.7965 1.2176 4.9874 5.0418 1.0803
(0.0116) (0.0158) (0.0187)
70 75 75 2.5116 2.5353 0.9347 4.1237 4.1585 0.8350 5.3831 5.4315 0.8903
(0.0166) (0.0210) (0.0243)
Notes : Les paramètres d'entrée sont pris comme suit : r = 0, 05 et σ = 0, 3. On note par Approx. le prix de l'option d'achat géométrique
d'Istanbul obtenu avec la formule (29) et par MCV l'estimateur (33) de Monte-Carlo du prix de la même option en utilisant la méthode des
variables de contrôle. On note également par S.E. l'erreur standard de MCV et par R.E. l'erreur relative qui est donnée en pourcentage avec
la formule suivante : R.E. = |Approx.−MCV |
MCV
× 100%.

Table Comparaison entre le prix d'une option d'achat géométrique d'Istanbul
obtenu avec notre formule d'approximation analytique (30) et celui obtenu avec
les simulations de Monte-Carlo.
T = 0.5 T = 1 T = 1.5
S0 K B Approx. MCV R.E. Approx. MCV R.E. Approx. MCV R.E.
(S.E.) (%) (S.E.) (%) (S.E.) (%)
55 56 58 3.0603 3.0859 0.8327 4.3377 4.3858 1.0980 5.3139 5.3606 0.8696
(0.0136) (0.0167) (0.0184)
56 56 58 3.3988 3.4029 0.1205 4.6770 4.7357 1.2408 5.6544 5.7237 1.2112
(0.0113) (0.0143) (0.0161)
57 56 58 3.7535 3.7905 0.9762 5.0266 5.0444 0.3531 6.0025 6.0535 0.8421
(0.0091) (0.0096) (0.0118)
60 61 64 3.5470 3.5650 0.5039 4.9452 4, 9782 0, 6634 6.0113 6.0866 1.2374
(0.0165) (0.0201) (0.0233)
60 62 64 3.0547 3.0800 0.8214 4.4610 4.4886 0.6155 5.5376 5.5609 0.4190
(0.0156) (0.0190) (0.0210)
60 63 64 2.6087 2.6245 0.6041 4.0103 4.0650 1.3445 5.0911 5.1519 1.1792
(0.0146) (0.0188) (0.0211)
79 81 82 3.8378 3.8695 0.8190 5.6662 5.7112 0.7886 7.0688 7.1464 1.0859
(0.0155) (0.0188) (0.0224)
79 81 85 4.4841 4.4995 0.3419 6.3405 6.4147 1.1562 7.7554 7.8190 0.8137
(0.0227) (0.0282) (0.0308)
79 81 87 4.9003 4.9394 0.7914 6.7895 6.8440 0.7962 8.2147 8.2225 0.0944
(0.0275) (0.0327) (0.0358)
Notes : Les paramètres d'entrée sont pris comme suit : r = 0, 05 et σ = 0, 3. On note par Approx. le prix de l'option d'achat géométrique
d'Istanbul obtenu avec la formule (30) et par MCV l'estimateur (33) de Monte-Carlo du prix de la même option en utilisant la méthode des
variables de contrôle. On note également par S.E. l'erreur standard de MCV et par R.E. l'erreur relative qui est donnée en pourcentage avec
la formule suivante : R.E. = |Approx.−MCV |
MCV
× 100%.

Étude de la sensibilité des formules de tarication (29) et
(30) aux variations des paramètres T et σ

Table Erreurs relatives lorsque la maturité est plus longue
Maturity T 2 3 4 5 6
R.E. avec la formule (29) 0.8260% 1.2073% 1.4955% 0.4393% 1.0083%
Notes : Les échéances sont prises en années (première ligne), nous considérons les contrats dont la durée de vie varie
de 2 à 6 ans. Pour la formule (29) (deuxième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, σ = 0, 3, S0 = 75,
B = 79 et K = 80. Pour la formule (30) (troisième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, σ = 0, 3, S0 = 55,
B = 58 et K = 56.

Table Erreurs relatives lorsque la maturité est plus longue
Maturity T 2 3 4 5 6
Notes : Les échéances sont prises en années (première ligne), nous considérons les contrats dont la durée de vie varie
de 2 à 6 ans. Pour la formule (29) (deuxième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, σ = 0, 3, S0 = 75,
B = 79 et K = 80. Pour la formule (30) (troisième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, σ = 0, 3, S0 = 55,
B = 58 et K = 56.
Table Erreurs relatives pour diérentes volatilités
Volatility σ 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6
Notes : Nous considérons des contrats sur des actifs sous-jacents avec des volatilités allant de 0,1 à 0,6 (première
ligne). Pour la formule (29) (deuxième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, T = 1, S0 = 75, B = 79 et
K = 80. Pour la formule (30) (troisième ligne), les paramètres d'entrée sont : r = 0, 05, T = 1, S0 = 55, B = 58 et
K = 56.

GIC vs. AIC

GIC vs. AIC
70 75 80 85 90 95 100
0
5
10
15
Underlying price ($)
The
Istanbul
call
option
value
($)
AICB
GICB
70 75 80 85 90 95 100
0
5
10
15
Strike price ($)
The
Istanbul
call
option
value
($)
AICB
GICB
Figure Comparaison des prix d'options d'achat d'Istanbul pour les
deux types de moyennes (Arithmétique et Géométrique). Notes : Les prix
des options d'achat d'Istanbul sont notés GICB et AICB pour les cas de
moyenne géométrique et arithmétique, respectivement. Nous prenons
comme paramètres d'entrée pour le graphique de gauche : S0 de 70 à
100, σ = 0, 3, r = 0, 05, T = 1, B = 105 et K = 90. Dans le graphique
de droite, nous considérons les paramètres d'entrée : K de 70 à 100,
σ = 0.3, r = 0.05, T = 1, B = 85 et S0 = 79.

Perspectives de recherche

I Les futures recherches sur les options d'Istanbul pourraient suivre deux
directions :

directions :
Axe 1 : Modier les paramètres d'entrée ou le type de moyenne :

directions :
Un prix d'exercice ottant (K = ST ).

directions :
Une barrière mobile (B est une fonction du temps).

directions :
Une moyenne harmonique (n/
Pn
i=1
1
Sti
).

directions :
Pn
i=1
1
Sti
).
Axe 2 : Étendre le concept d'options d'Istanbul à des modèles
économiques plus complexes :

directions :
Pn
i=1
1
Sti
).
Modèle de Lévy.

directions :
Pn
i=1
1
Sti
).
Modèle de Lévy.
Modèle CEV.

directions :
Pn
i=1
1
Sti
).
Modèle de Lévy.
Modèle CEV.
Modèle Heston.

Merci pour votre attention

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