Ce document présente une étude approfondie sur la modélisation, la simulation et la caractérisation en physique, axée sur l'élasticité et la mécanique de la rupture. Il explore les méthodes de calcul du facteur d'intensité de contraintes, présente des résultats et interprétations, et discute des perspectives futures dans ce domaine. La recherche vise à améliorer la conception de structures plus légères et durables en tenant compte des fissures dans les matériaux.

2. Département de physique
Diplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA)
Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP)
Préparé par :
M. Mohamed REFFADI
Sous la direction du : Pr. F. LAHNA
Comité de jury :
M. Mohamed ABID Faculté des Sciences Ain Chok
M. Abdelkader BOULZHAR Faculté des Sciences Ain Chok
M. Rachid SEHAQUI Faculté des Sciences Ain Chok
M. EL hassan SAYOUTY Faculté des Sciences Ain Chok
M. Fouzi LAHNA Faculté des Sciences Ain Chok
2
Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.

3. Plan
Introduction
Généralités sur l’élasticité
Généralités sur la mécanique de la rupture
Méthodes de calcul du facteur d’intensité de
contraintes
Résultats et interprétations
Conclusion
Perspectives
3

4. 4

5. Introduction
Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sont
concernées par la mécanique de la rupture.
La volonté de concevoir des structures de plus en plus légères
et à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendre
en compte les fissures dans les calculs de structure.
Définir les facteurs d’élasticité,
Déterminer les critères de la rupture,
Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs du
facteur d’intensité des contraintes,
Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement et
numériquement
5

6. 6

7. Généralités sur l’élasticité
L’élasticité est la propriété physique d'un corps de
reprendre sa forme initiale après suppression de la
sollicitation.
Le corps est parfaitement élastique s'il retrouve
complètement sa forme originale après suppression de la
charge.
Il est partiellement élastique si la déformation produite par
les forces externes ne disparaît pas complètement lorsque
celles-ci sont annulées.
7

8. Généralités sur l’élasticité
I- Tenseur des contraintes
Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des
contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps.
Aux contraintes sont associées des déformations.
8

9. Généralités sur l’élasticité
II- Tenseur des déformation
Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3
servant à décrire l'état de déformation local résultant de
contraintes (efforts internes).
ε ε ε 
 xx xy xz 
ε =  ε yx ε ε 

ε
yy yz

 zx ε zy ε 
zz 
Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de
Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.
Avec : i, j = (x, y, z)
9

10. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
Pour bien définir le comportement entre le système et les
contraintes extérieures, on doit donc écrire les différentes
relations entre contraintes (σij), déformations (εij) et
déplacements (Ui).
On a besoin de définir 15 équations pour résoudre un
problème d’élasticité en 3 dimensions.
10

11. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
A- Loi de Hooke
- Dans le cas d'un matériau isotrope :
1 +ν ν
ε ij = σ ij − σ kk δ ij [6 équations]
E E
δ ij { =1
= 0
p o u r i= j
pour i≠ j
Avec:
E : Module de Young
ν : Coefficient de poisson
11

12. Généralités sur l’élasticité
- Dans le cas d'un matériau anisotrope :
Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre
4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques.
En appliquant la sommation sur les indices k et l.
Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en
tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de
déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur.
Remarque :
[σ ] = [C ][ε ] Avec [C] Tenseur des rigidités
[ε ] = [S ][σ ] Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques.
12

13. Généralités sur l’élasticité
En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau
anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.

 1 −ν 21
−ν 31
η 1 , 23
η 1 , 13
η 1 , 12


 
 E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12 
η η η
 ν 12
 − 1 −ν 
32 2 , 23 2 , 13 2 , 12

 E 1 E E 3 G 23 G 13 G 12 
 2

 − ν 13 −ν 23 1 η 3 , 23
η 3 , 13
η 3 , 12 
 
S =  E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12 
 η η η η η 
 23 , 1 23 , 2 23 , 3 1 23 , 13 23 , 12 
 E 1 E 2 E 3 G G G 
 
23 13 12
 η 13 , 1 η 13 , 2
η 13 , 3
η 13 , 23 1 η 13 , 12 
 
 E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12 
 η η η η η 
 12 , 1 12 , 2 12 , 3 12 , 23 12 , 13 1 
 
 E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12 
Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général
d'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois
coefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de
LEKHNITSKII.
13

14. Généralités sur l’élasticité
- Dans le cas d'un matériau orthotrope :
Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de
symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes
d'orthotropies, d'où :
L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.
 1 −ν −ν 
 21 31
0 0 0 
 E 1 E 2 E 3

 
 −ν 1 −ν 
ε  
12 32
0 0 0
 σ 
 
11
   E E
ε
11
E
σ
22 
1 2 3
 
 −ν −ν
ε
22
 1 
σ
13 23
 33   0 0 0
 =  E 
γ
 E E 
33
 τ
23 
1 2 3

 1 23
γ   0 0 0 0 0  τ

  G 13 
13
 
γ  τ
23

 
12   0 0 0 0
1
0 12 
 
 G 13

 0 1 
0 0 0 0
 
 G 12 
Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes
14

15. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
B- Les équations d’équilibre
Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
∂σ
+ X = 0
ij
[3 équations différentielles scalaires]
∂
i
X j
Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
C- Les équations géométriques
Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
1  ∂U i ∂U 
ε = +
j
  [6 équations différentielles scalaires]
ij
2  ∂x j ∂x 
 i 
15

16. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité bidimensionnelle
A- Loi de Hooke
- Dans le cas d'un matériau isotrope :
1 +ν ν
ε ij = σ ij − tra ce (σ ij ) δ ij [3 équations]
E E
Avec : i, j=1 ,2
- Dans le cas d'un matériau anisotrope :
ε 11
= α 11σ 11 + α 12σ 22 + α 16σ 12
ε 22
= α 12σ 11 + α 22σ 22 + α 26σ 12
γ 12
= α 16σ 11 + α 26σ 22 + α 66σ 12

 S en C . P SS
C =S − ; i, j = 1,2,6.
i3 j3
Où α = ij

ij
 C en D . P ; Avec : ij ij

ij
S 33
16

17. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité bidimensionnelle
A- Loi de Hooke
- Dans le cas d'un matériau orthotrope :
Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutives
d’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par une
matrice des complaisances plus compacte.

 1
− ν 12
0


 E E 

 ε 11

 
ν
1
1
2
 σ

11


 ε 22  =  −
 E
21
E
0 

σ 22 

 γ 12

 
1 2
1 

 τ 12


 0 0 
 G 
 12 
Avec :
E 1
= E 2
ν 12 ν 21
17

18. Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité bidimensionnelle
B- Les équations d’équilibre
Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
∂σ
+ X = 0
ij
[2 équations différentielles scalaires]
∂
i
X j
Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
C- Les équations géométriques
Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
1  ∂U i ∂U 
ε = +
j
  [3 équations différentielles scalaires]
ij
2  ∂x j ∂x 
 i 
18

19. 19

20. Généralités sur la mécanique de la rupture
La mécanique de la rupture est une philosophie de conception
visant à développer un critère de ruine prenant en compte
l’existence de fissures dans le matériau.
La mécanique de la rupture a pour objet l’étude le
comportement mécanique d’un matériau en présence de fissures
macroscopiques.
Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères,
c'est-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défaut
identifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné.
20

21. Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Mode de rupture
cisaillement anti-plan
Traction (Mode III)
(Mode I)
Cisaillement simple
(Mode II)
21

22. Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Essai et courbe de traction
22

23. Généralités sur la mécanique de la rupture
I- Essai et courbe de traction
23

24. Généralités sur la mécanique de la rupture
II- Les facteurs de la rupture
A- Facteur d’intensité de contraintes
i. Cas d’une géométrie infinie :
KI = σ ∞ (π a) 1/ 2 En mode I
KII = τ ∞ (π a) 1/ 2
En mode II
ii. Cas d’une géométrie finie :
Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique,
les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme :
K m = ασ m (π a ) 1/ 2
σ m = σ ∞ ou τ ∞
24

25. Généralités sur la mécanique de la rupture
II- Les facteurs de la rupture
B- Le taux de restitution d’énergie
Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergie
nécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueur unité.
Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson.
25

26. 26

27. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
I- La méthode des éléments finis
1- Définition
La méthode des éléments finis est une méthode de résolution
approchée d'équations aux dérivées partielles.
2- Importance de la méthode
De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme
d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux
limites particulières.
Mécanique de la rupture
Mécanique des solides déformables
Conduction thermique
Electromanitisme…
27

28. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
II- Le maillage
Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale.
1- Les types de maillage
Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds).
28

29. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
III- Méthodes de calcul de KI
1- Méthodes directes
u KI r (3 −ν )(1+ν ) −1+ 2sin2 (θ / 2) 
 =
i. Méthode avec champ
 
v 2µ 2π (3 −ν )(1+ν ) +1− 2cos (θ / 2)
de déplacement 2
KI θ θ 3θ
σ xx (θ ) = cos (1 − sin sin )
2π r 2 2 2
KI θ θ 3θ
ii. Méthode avec champ de σ yy (θ ) = cos (1 + sin sin )
déplacement 2π r 2 2 2
KI θ θ 3θ
σ xy (θ ) = cos (sin sin )
2π r 2 2 2
29

30. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI
III- Méthodes de calcul de KI
1- Méthodes indirectes
i. Méthode de complaisance
P ² ∂Cm(a)
Gm = m . ; m= I, II
2 ∂a
ii. Méthode de déplacement virtuel
Pm ² ∆C m ( a )
Gm = . ; m = I , II
2 ∆a
30

31. 31

32. Résultats et interprétations
I- Description de l’essai
b
P
L= a + c
2h
a c
P
Éprouvette DCB
P : Charge appliquée = 10 daN 2h : Hauteur de l’éprouvette
a : Longueur de fissure L : Longueur de l’éprouvette (320mm)
c : Ligament b : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm
32

33. Résultats et interprétations
II- Maillage utilisé
En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette
.....
4 6 9
.....
.
1
h
..
2
3 5 8
20mm
7
10
320mm
33

34. Résultats et interprétations
III- Matériaux isotropes
Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont
représentés dans le tableau suivant :
Matériaux Acier Cuivre Aluminium Plexiglas
Module de Young E en
20 000 12 500 7 400 290
[daN/mm2]
Coefficient de poisson ν 0 ,3 0,35 0,34 0,36
34

35. Résultats et interprétations
- Méthodes utilisées
1- Méthode complaisance ( numérique)
Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uy
complaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P,
Trace de la courbe de C (a)
Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante,
∂C ( a )
Calcule de
∂a
P ∂C
2
(a )
Calcule de G I (a ) = I
2 ∂a
1 −ν
2
G I (a ) =
2
Calcule de KI
E K I
(a )
En fin, on trace la courbe de KI (a).
35

36. Résultats et interprétations
- Méthodes utilisées
2- Formule de KANNINEN ( Analytique)
2× 3 × P × a × [1 + 0.64( h / a ) ]
K1 (a ) =
b × h3/2
P : Charge appliquée
a : Longueur de fissure
h : Demi hauteur de l’éprouvette
b : Épaisseur de l’éprouvette
a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
KI [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94
La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de
contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E) 36

37. Résultats et interprétations
- Résultats
Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme
le suivant :
- Cas de l’acier avec (2h= 50mm).
Longueur
Déplacement ∂C (a ) Taux de
FIC KI FIC KI Ecart en
de Complaisance restitution
fissure"a"
Uy ∂a d'énergie
Numérique "KANNINEN %
60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%
80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67%
100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04%
120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31%
140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53%
160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70%
180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84%
200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96%
220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06%
240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14%
N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3ème degré donne
des bons résultas.
37

38. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas d’Acier
Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Acier- -Acier 2h = 50 mm-
C plaisance en
om
[m /daN
m ] FIC[daN.m -3/2]
m
4,50E-01 80,00
4,00E-01
70,00
3,50E-01
60,00
3,00E-01
50,00
2,50E-01 C plaisance
om
Lissage 3èm degré
e 40,00
2,00E-01 C plaisance
om
30,00 KANN N
INE
1,50E-01
1,00E-01 20,00
5,00E-02 10,00
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
38

39. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas du cuivre
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Cuivre- -Cuivre-
C plaisance en
om
[m /daN
m ] FIC [daN.m -3/2]
m
8,00E-01 8,00E+01
7,00E-01 7,00E+01
6,00E-01 6,00E+01
5,00E-01 5,00E+01
Complaisance
4,00E-01 4,00E+01
KANINNEN
3,00E-01 3,00E+01
C plaisance
om
2,00E-01 Lissage 3èm degré 2,00E+01
e
1,00E-01 1,00E+01
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
39

40. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas d’Aluminium
Courbe de FIC en m I en fonction de "a"
ode
Courbe de complaisance enfonctionde "a" -Alimunium-
-Alum -
inium
C plaisance en
om FIC[daN.m -3/2]
m
[m /daN
m ]
1,20E+00 8,00E+01
7,00E+01
1,00E+00
6,00E+01
8,00E-01
5,00E+01
6,00E-01 4,00E+01
Méthode de complaisance
C plaisance
om 3,00E+01
4,00E-01 Méthode de KANNINEN
Lissage 3èm degré
e
2,00E+01
2,00E-01
1,00E+01
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
40

41. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas du Plexiglas
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Plexiglas- -Plexiglas-
C plaisance en
om
[m /daN
m ] FIC [daN.mm-3/2]
35 8,00E+01
30 7,00E+01
6,00E+01
25
5,00E+01
20
Données réelles 4,00E+01 Complaisance
15
Lissage 3èm degré
e KANNINEN
3,00E+01
10
2,00E+01
5
1,00E+01
0 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm]
41

42. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FICen m I en fonction de "a"
ode
-Acier 2h= 20 m -
m -Acier 2h = 20 m -
m
C plaisance en
om
[m /daN
m ] FIC[daN m
.m -3/2]
8,00E+00
350,00
7,00E+00
300,00
6,00E+00
250,00
5,00E+00
C plaisance
om 200,00
4,00E+00
Lissage 4èm degré
e C plaisance
om
150,00
3,00E+00 KAN IN N
NE
100,00
2,00E+00
1,00E+00 50,00
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
42

43. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Acier 2h = 25 m -
m -Acier 2h = 25 mm-
C plaisance en
om
[m /daN
m ]
FIC[daN m
.m -3/2]
3,50E+00
250,00
3,00E+00
200,00
2,50E+00
2,00E+00 150,00
C plaisance
om
Lissage 3èm degré
e C plaisance
om
1,50E+00
100,00 KANN N
INE
1,00E+00
50,00
5,00E-01
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
43

44. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Acier 2h = 130 mm- -Acier 2h = 130 mm-
Com plaisance en
[m /daN]
m FIC [daN.mm-3/2]
3,50E-02 25,00
3,00E-02
20,00
2,50E-02
2,00E-02 Complaisance 15,00
Lissage 3èm degré
e Complaisance
1,50E-02 KANNINEN
10,00
1,00E-02
5,00
5,00E-03
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm]
44

45. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN
Courbe de com plaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Acier 2h= 135 m -
m -Acier 2h = 135 mm-
C plaisance en
om
[m /daN
m ]
FIC[daN m
.m -3/2]
3,50E-02
20,00
3,00E-02 18,00
16,00
2,50E-02
14,00
2,00E-02 C plaisance
om 12,00
Lissage 3èm degré
e 10,00 C plaisance
om
1,50E-02 KAN IN N
N E
8,00
1,00E-02 6,00
4,00
5,00E-03
2,00
0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ]
m
45

46. Résultats et interprétations
IV- Matériaux orthotropes
Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sont
représentés dans le tableau suivant :
Matériaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas
E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669
E2 (daN/mm2) 108 96,1 132
E3 (daN/mm2) 108 _ 92
G12 (daN/mm2) 141 101,4 120
ν12 0,22 0,5 0,367
ν21 0,0139 2,497E-02 0,029
ν13 0,22 _ 0,384
ν31 0,0139 _ 0,021
ν23 0,62 _ 0,594
ν32 0,62 _ 0,414
46

47. Résultats et interprétations
- Méthodes utilisées
1- Méthode complaisance ( numérique)
Nous suivons les même étapes que pour les matériaux
isotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons la
formule suivante :
1
 
 α 11α 22   α 22  2α 12 + α 66 
1 1 2
2
 2
= KI  +
2
G  α 
I 
 2    11 
2α 11  
Avec :
α ij
= S ij En contraintes planes
47

48. Résultats et interprétations
- Méthodes utilisées
2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique)
1
 2

 12   sh λc + sin λc   sh λc ch λc − sin λc cos λc 
2 2 2
3r 
( P I )  3 3 λa  +  + 
b  λ h   sh λc − sin λc  
2 2
sh λc − sin λc
2 2
 h
      
K I
= 1
 α 22  α 22  2 2α 12 + α 66 
1 4
 
  + 


 2α 11  α 11 
  2α 11  
r =α 1  6α 11 
1
4
66
Où et λ=  
α 11
h  α 22 


Avec : α ij
= S ij En contraintes planes
48

49. Résultats et interprétations
- Résultats
Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le
suivant :
- Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).
Longueur
de Déplacement Uy Complaisance
∂C (a ) Taux de
restitution
FIC KI
fissure"a" ∂a d'énergie
Numérique
60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,67
80 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46
100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31
120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16
140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02
160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89
180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75
200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62
220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48
49

50. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas du Pin Sylvester
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
FIC [daN.mm-3/2]
-Pin sylvestere - 25,00
-Pin sylvestere -
C plaisance en
om
[m /daN]
m
6,00E+00
20,00
5,00E+00
15,00
4,00E+00
Complaisance
3,00E+00
Lissage 3èm degré 10,00
e
Complaisance-CP-
2,00E+00
5,00
1,00E+00
Longueur de la fissure Longueur de fissure
0,00E+00 0,00 "a"[mm]
"a" en [m ]
m
60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220
50

51. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas du Douglas
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Douglas- -Douglas-
C plaisance en
om
[m /daN
m ] FIC [daN.mm-3/2]
6,000 30,000
5,000 25,000
4,000 20,000
C plaisance
om
3,000 15,000
Lissage 3èm degré
e
Complaisance
2,000 10,000
1,000 5,000
Longueur de la fissure
0,000 "a" en [m ]
m 0,000 Longueur de fissure
60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 "a"[mm]
51

52. Résultats et interprétations
- Résultats
- Cas d’Eucalyptus
Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
- Eucalyptus - -Eucalyptus -
Complaisance en
[mm/daN]
5,000 FIC [daN.mm-3/2]
25,000
4,500
4,000
20,000
3,500
3,000
15,000
2,500
2,000 Complaisance Complaisance
10,000
1,500 Lissage 3ème degré
1,000 5,000
0,500
Longueur de la fissure Longueur de fissure
0,000 "a" en [mm] 0,000
"a"[mm]
60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220
52

53. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de com plaisance en fonction de "a"
-E ucalyptus 2h=35m -m Courbe de FICen mode I en fonction de "a" -
Eucalyptus 2h=35mm-
C plaisance[m /daN
om m ] FIC [daN.mm-3/2]
40,000
14,000
35,000
12,000
30,000
10,000
25,000
8,000
C plaisance
om
20,000
Lissage3èm degré
e
6,000
15,000
4,000 C plaisance
om
10,000
P LAH A
r. N
2,000
5,000
0,000 0,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a[m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220
a [mm]
53

54. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de com plaisance en fonction de "a"
-E ucalyptus 2h=40m -m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -
Eucalyptus 2h=40mm-
C plaisance [m /daN
om m ] FIC [daN.mm-3/2]
30,000
9,000
8,000
25,000
7,000
6,000 20,000
5,000
C plaisance
om 15,000
4,000 Lissage 3èm degré
e
3,000 10,000
Complaisance
2,000 P LAHNA
r.
5,000
1,000
0,000 0,000
a [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220
a [mm]
60 80 100 120 140 160 180 200 220
54

55. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de com plaisance en fonction de "a"
-E ucalyptus 2h=50m -m Courbe de FICen m I en fonction de "a" -
ode
Eucalyptus 2h=50m -
m
C plaisance [m /daN
om m ] FIC [daN.mm-3/2]
25,000
5,000
4,500
20,000
4,000
3,500
3,000 15,000
C plaisance
om
2,500
Lissage 3èm degré
e
2,000 10,000
1,500 C plaisance
om
1,000 5,000 P LAH A
r. N
0,500
0,000 0,000
60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220
a [mm]
55

56. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de com plaisance en fonction de "a"
-E ucalyptus 2h=60m m- Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -
Eucalyptus 2h=60mm-
C plaisance [m /daN
om m ] FIC [daN.mm-3/2]
20,000
3,500
18,000
3,000
16,000
2,500 14,000
12,000
2,000
C plaisance
om 10,000
1,500 Lissage 3èm degré
e
8,000
6,000 Complaisance
1,000
4,000 P LAHN
r. A
0,500
2,000
0,000 0,000
a [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220
a [mm]
60 80 100 120 140 160 180 200 220
56

57. Résultats et interprétations
- Résultats
La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA
Courbe de complaisance enfonctionde "a"
-Eucalyptus 2h=65m -
m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
-Eucalyptus 2h=65mm-
C plaisance [m /daN
om m ] FIC [daN.mm-3/2]
20,000
3,000
18,000
2,500 16,000
14,000
2,000
12,000
C plaisance
om 10,000
1,500
Lissage 3èm degré
e
8,000
1,000 6,000 C plaisance
om
4,000 P LAH A
r. N
0,500
2,000
0,000 0,000
a [m ]
m 60 80 100 120 140 160 180 200 220
a [mm]
60 80 100 120 140 160 180 200 220
57

58. 58

59. Conclusion
Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire,
pour les matériaux isotropes et orthotropes
Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir les
formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceux
obtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance),
Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulement
de sa géométrie dans le cas des isotropes.
Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas des
orthotrope
La formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle :
h h
25 mm ( = 4% ) < 2h < 135 mm ( = 21% ).
l l
La formule du Pr. LAHNA est valable dans l'intervalle :
40 mm ( h = 6,2% ) < 2h < 65 mm ( h = 10,2% ).
l l
59

60. 60

61. Perspectives
Dans cette étude on a cherché à étudier la propagation de la
fissure en supposant que cette dernière se propage d'une
manière linéaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la réalité.
Cette étude reste encore un sujet très vaste de recherche
que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour
cela on prévoit dans des études à venir de :
Prendre en considération le changement de la direction de
la fissure (critère de bifurcation).
Étudier une géométrie d'éprouvette afin de trouver la
formule analytique de calcul de KI.
61