Ce document est un cours d'analyse mathématique axé sur le calcul intégral, divisé en trois parties principales : les définitions et propriétés de l'intégrale des fonctions continues, les fonctions analytiques élémentaires, et la représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et de Fourier. Il s'agit d'un cours formel nécessitant des démonstrations rigoureuses, et les exercices demandent des solutions complètes et précises. Les prérequis incluent la connaissance des propriétés des fonctions continues et dérivables.

1. Analyse 2
Notes de cours
Andr´ Giroux
e
D´partement de Math´matiques et Statistique
e e
Universit´ de Montr´al
e e
Avril 2004

2. Table des mati`res
e
1 INTRODUCTION 4
1.1 Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
´
2 INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES 7
2.1 La continuit´ uniforme . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 D´finition de l’int´grale . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Propri´t´s de l’int´grale . . . . . . .
ee e . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exercices 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
´ `
3 THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL 17
3.1 Le th´or`me fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . 17
e e
3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale . . . . . . . . . . . . 19
ee e e
3.3 Exercices 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 24
4.1 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Exposants irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Exercices 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ´ 36
5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques
e e . . . . . . . . . . . 36
5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques
ee e . . . . . . . . . . . 39
5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses . .
e . . . . . . . . . . . 41
5.4 La notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 CALCUL DES PRIMITIVES 50
6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles . . . . . . . . . . 50
6.2 Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Exercices 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
´
7 INTEGRALES IMPROPRES 58
7.1 G´n´ralisation de l’int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
e e e
7.2 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Exercices 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1

3. ´
8 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 69
8.1 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 L’approximation des fonction continues . . . . . . . . . . . . 74
8.3 Les s´ries enti`res . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . 76
8.4 Exercices 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
´
9 SERIES DE TAYLOR 84
9.1 D´veloppements limit´s . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.1.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 S´ries infinies . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Exercices 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
´
10 SERIES DE FOURIER 97
10.1 La s´rie de Fourier . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2 Th´or`mes de convergence . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.3 L’approximation des fonctions continues p´riodiques
e . . . . . 107
10.4 Exercices 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Table des figures
1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 D´finition du logarithme . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Graphe du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Graphe de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 L’arcsinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 D´finition de l’arccosinus . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Le sinus et le cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 La tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12 L’arcsinus et l’arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
13 L’arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14 Angle entre deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
15 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
16 Angle et longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
17 Une substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
18 Comparaison de s´ries et d’int´grales
e e . . . . . . . . . . . . . . 61
19 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
20 Quelques fonctions Qn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2

4. 21 Les conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
22 Quelques fonctions Dn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
23 Fonctions f2 et S6 (f2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
24 Fonctions f3 et S12 (f3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
25 Quelques fonctions Fn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3

5. 1 INTRODUCTION
L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et
e e e
int´gral. Ce cours porte sur le calcul int´gral. Il se divise en trois parties. La
e e
premi`re pr´sente la d´finition et les propri´t´s de l’int´grale d’une fonction
e e e ee e
continue d’une variable r´elle. La seconde utilise cet outil pour introduire
e
les fonctions analytiques ´l´mentaires (les fonctions logarithmique, exponen-
ee
tielle, trigonom´triques directes et inverses, eul´riennes). La derni`re, enfin,
e e e
porte sur la repr´sentation de ces fonctions par des s´ries de Taylor et des
e e
s´ries de Fourier.
e
Il s’agit d’un cours de math´matique formel, avec des d´monstrations
e e
rigoureuses et compl`tes de tous les th´or`mes pr´sent´s. Les exercices pro-
e e e e e
pos´s sont de mˆme nature et exigent de l’´tudiant qu’il en compose des
e e e
solutions rigoureuses et compl`tes. Ce cours est un deuxi`me cours d’ana-
e e
lyse et suppose que l’´tudiant connaˆ d´j` les propri´t´s des fonctions conti-
e ıt e a ee
nues ainsi que celles des fonctions d´rivables. Rappelons quelques-unes de
e
ces propri´t´s.
ee
On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`-dire ferm´ born´),
a e e
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b},
]a, b[ un intervalle ouvert,
]a, b[= {x | a < x < b}
et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´sument que a ≤ b). Un
e
intervalle compact peut ˆtre caract´ris´ par la propri´t´ suivante :
e e e ee
• Toute suite {xn }n≥1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥1
qui converge vers un point de [a, b] (th´or`me de Bolzano-Weierstrass).
e e
Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0
a
de (a, b),
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Un fonction continue jouit des propri´t´s suivantes :
ee
• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-
tervalle (propri´t´ des valeurs interm´diaires).
ee e
• L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle
compact (propri´t´ des valeurs extrˆmes).
ee e
4

6. Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle y
admet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi continue et strictement
monotone.
Exemple.
Si n ∈ N, la fonction x → x1/n est d´finie et continue pour x ≥ 0 si n est
e
pair et pour tout x si n est impair.
La fonction f : (a, b) → R est dite d´rivable sur (a, b) si elle est d´rivable
e e
en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 de (a, b), la
a
limite suivante
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0 x − x0
existe. On ´crit alors
e
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim .
x→x0 x − x0
La fonction f est dite continˆ ment d´rivable si sa d´riv´e f est continue.
u e e e
Le th´or`me fondamental du calcul diff´rentiel est le th´or`me des ac-
e e e e e
croissements finis (quelquefois appel´ th´or`me de la moyenne ou encore
e e e
th´or`me de Rolle lorsque f (a) = f (b) = 0) :
e e
• Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[, il existe un
e
nombre c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
L’inverse d’une fonction d´rivable est d´rivable aux points y correspon-
e e
dant aux points x o` f (x) = 0 (y = f (x) et x = f −1 (y)) et alors
u
1
f −1 (y) = .
f (x)
Exemple.
Un polynˆme de degr´ n,
o e
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,
est d´rivable sur tout l’axe r´el et
e e
Pn (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 .
Une fonction rationnelle,
Pn (x)
R(x) = ,
Qm (x)
5

7. est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le
e u e a u
d´nominateur Qm (x) ne s’annule pas) et
e
Pn (x)Qm (x) − Pn (x)Qm (x)
R (x) = .
Q2 (x)
m
Si p ∈ Q,
d p
x = p xp−1 , x > 0.
dx
1.1 Exercices 1
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. V´rifier que la suite de points de [−1, 1] d´finie par
e e
1 + (−1)n n
xn =
1+n
ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.
2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´ peut toujours
e
ˆtre prolong´e ` une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il
e e a
vrai pour un intervalle quelconque ?
3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´ qui
e
n’y est pas born´e ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆme question
e e
pour un intervalle born´.
e
4. Montrer qu’une fonction d´rivable sur un intervalle ferm´ peut toujours
e e
ˆtre prolong´e ` une fonction d´rivable sur R tout entier.
e e a e
5. Les fonctions suivantes sont-elles d´rivables en tous les points de leur
e
domaine de d´finition :
e
x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ?
6. Soient 0 < a < b. D´terminer le point c du th´or`me des accroisse-
e e e
ments finis pour la fonction f (x) = x2 . Mˆme question pour la fonction
e
f (x) = x3 .
6

8. 2 ´
INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES
L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl´mentaire
e ee e
de ces fonctions lorsqu’on les consid`re sur des intervalles compacts.
e
2.1 La continuit´ uniforme
e
Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire qu’` chaque point x0
a a
et ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
a
|x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x0 )| < .
Le nombre δ d´pend ` la fois de x0 et de
e a :
δ = δ(x0 , ).
Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du point x0 ,
e e
δ = δ( ),
on dit que la fonction est uniform´ment continue sur l’intervalle (a, b).
e
En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ment e
continue sur (a, b) si ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
a
|x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < .
Exemples.
– La fonction f (x) = x2 est uniform´ment continue sur [0, 1] puisque :
e
|x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2|x − y|.
√
– La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; en
e
vertu du th´or`me des accroissements finis en effet, il existe z entre x
e e
et y tel que :
√ √ |x − y| |x − y|
| x − y| = √ ≤ .
2 z 2
– La fonction f (x) = x2 n’est pas uniform´ment continue sur [1, +∞[ ;
e
soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours
1
|f (xn ) − f (yn )| = 2 + >2
n2
bien que
1
|xn − yn | =
.
n
Aucun nombre δ ne peut correspondre ` = 2.
a
7

9. √
– La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1],
e
en vertu du th´or`me suivant.
e e
Th´or`me 1 Une fonction f : [a, b] → R continue sur un intervalle com-
e e
pact y est uniform´ment continue.
e
D´monstration. Supposons que le th´or`me est faux. Il existe alors > 0 tel
e e e
que, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x, y de l’intervalle [a, b]
pour lesquels :
|x − y| < δ et |g(x) − g(y)| > .
Choisissons successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . On obtient deux suites
de points xn et yn de [a, b] tels que
1
|xn − yn | < et |g(xn ) − g(yn )| > .
n
Par compacit´, la suite {xn }n≥1 contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui
e
converge vers un point z de [a, b]. Comme
1
|xnk − ynk | < ,
nk
la suite partielle {ynk }k≥1 correspondante converge aussi vers z. Par conti-
nuit´, on a donc
e
lim (g(xnk ) − g(ynk )) = g(z) − g(z) = 0
k→+∞
ce qui est absurde puisque l’on a toujours
|g(xnk ) − g(ynk )| > .
C.Q.F.D.
2.2 D´finition de l’int´grale
e e
`
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. A
chaque partition P de l’intervalle,
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } o` a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
u
associons avec Riemann une somme sup´rieure S(P, f ),
e
n
S(P, f ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ),
k=1
8

10. et une somme inf´rieure s(P, f ),
e
n
s(P, f ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ).
k=1
Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec-
tivement l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b
e e
et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont
pas n´cessairement ´quidistants).
e e
y
y f x
x
a b
Fig. 1 – Sommes de Riemann
Il est clair que l’on a
inf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)
pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition
plus fine que P, c’est-`-dire si P ⊆ Q, on a
a
S(Q, f ) ≤ S(P, f ) , s(P, f ) ≤ s(Q, f ). (1)
En effet, il suffit de v´rifier ces in´galit´s lorsque Q s’obtient de P par adjonc-
e e e
tion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj−1 < x∗ < xj ,
on a
sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj−1 )
= sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj−1 )
≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj−1 )
et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´s. De ceci d´coule
e e
la premi`re des in´galit´s (1). L’autre in´galit´ s’obtient de fa¸on similaire.
e e e e e c
9

11. On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on
e
a
s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ),
c’est-`-dire que toute somme inf´rieure est plus petite que toute somme
a e
sup´rieure. Ainsi
e
sup s(P, f ) ≤ inf S(P, f ).
P P
En fait, on a toujours
sup s(P, f ) = inf S(P, f ). (2)
P P
Cela est une cons´quence de la continuit´ uniforme d’une fonction continue
e e
sur un intervalle compact. D´montrons la relation (2). Soit > 0 arbitraire.
e
Soit δ > 0 un nombre tel que
|x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| < .
b−a
Soit aussi
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }
une partition pour laquelle
xk − xk−1 < δ pour tout k.
Soient enfin uk , vk ∈ [xk−1 , xk ] tels que, pour tout k,
f (uk ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } , f (vk ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }
(propri´t´ des valeurs extrˆmes). Alors
ee e
S(P, f ) − s(P, f )
n
= (sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } − inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk })(xk − xk−1 )
k=1
n n
= (f (vk ) − f (uk ))(xk − xk−1 ) ≤ (xk − xk−1 ) =
b−a
k=1 k=1
ce qui d´montre la relation (2).
e
On exprime l’´quation (2) en disant que la fonction f est int´grable sur
e e
l’intervalle [a, b], d’int´grale :
e
b
f (x) dx = sup s(P, f ) = inf S(P, f ).
a P P
10

12. Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne
e
l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le
e e
graphe de la fonction.
La signification de l’int´grale ayant ´t´ bien ´tablie, nous pouvons main-
e ee e
tenant donner avec Darboux une fa¸on plus commode de la calculer (fi-
c
gure (2) — les points o` la fonction est ´valu´e ne sont pas n´cessairement
u e e e
´quidistants).
e
y
y f x
x
a b
Fig. 2 – Sommes de Darboux
Th´or`me 2 (Darboux) Quels que soient les nombres
e e
k−1 k
xk,n ∈ [a + (b − a), a + (b − a)],
n n
on a
b n
b−a
f (x) dx = lim f (xk,n ).
a n→+∞ n
k=1
D´monstration. Soit
e
1 2
Pn = {a, a + (b − a), a + (b − a), . . . , b}
n n
la partition uniforme de [a, b]. On a
n
b−a
s(Pn , f ) ≤ f (xk,n ) ≤ S(Pn , f )
n
k=1
et
b
s(Pn , f ) ≤ f (x) dx ≤ S(Pn , f ).
a
11

13. Ainsi
b n
b−a
f (x) dx − f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) − s(Pn , f ).
a n
k=1
Or, en utilisant la continuit´ uniforme de la fonction f et la propri´t´ des
e ee
valeurs extrˆmes, on voit comme pr´c´demment que
e e e
lim (S(Pn , f ) − s(Pn , f )) = 0.
n→+∞
C.Q.F.D.
Exemple.
On a
1 n
1 k n+1 1
x dx = lim = lim = .
0 n→+∞ n n n→+∞ 2n 2
k=1
2.3 Propri´t´s de l’int´grale
e e e
Les trois propri´t´s essentielles de l’int´grale d’une fonction continue sont
ee e
la lin´arit´, la positivit´ et l’additivit´.
e e e e
Th´or`me 3 (Lin´arit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
e e e e e
fonctions continues et c1 , c2 ∈ R des nombres. Alors
b b b
(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx.
a a a
D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
e
b
(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx
a
n
b−a k k
= lim c1 f1 a + (b − a) + c2 f2 a + (b − a)
n→+∞ n n n
k=1
n n
b−a k b−a k
= c1 lim f1 a + (b − a) + c2 lim f2 a + (b − a)
n→+∞ n n n→+∞ n n
k=1 k=1
b b
= c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx.
a a
C.Q.F.D.
12

14. Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
e e e e
fonctions continues telles que
f1 (x) ≤ f2 (x) pour a ≤ x ≤ b.
Alors
b b
f1 (x) dx ≤ f2 (x) dx.
a a
D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
e
b n
b−a k
f1 (x) dx = lim f1 a + (b − a)
a n→+∞ n n
k=1
n b
b−a k
≤ lim f2 a + (b − a) = f2 (x) dx.
n→+∞ n n a
k=1
C.Q.F.D.
L’application de ce th´or`me aux fonctions f1 = ±f et f2 = |f | conduit
e e
a
` l’in´galit´ du triangle pour les int´grales :
e e e
b b
f (x) dx ≤ |f (x)| dx.
a a
Th´or`me 5 (Additivit´ de l’int´grale) Soient f : [a, b] → R une fonc-
e e e e
tion continue et a < c < b. Alors
b c b
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
a a c
D´monstration. Soient P, P et P des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b]
e
respectivement. On a donc :
P ∪ {c} = P ∪ P .
En utilisant les in´galit´s (1), on voit d’une part que
e e
b
f (x) dx = sup s(P, f ) ≤ sup s(P ∪ {c}, f ) = sup (s(P , f ) + s(P , f ))
a P P P ∪P
c b
≤ sup s(P , f ) + sup s(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx
P P a c
13

15. (exercice (11)) et d’autre part que
b
f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , f ))
a P P P ∪P
c b
≥ inf S(P , f ) + inf S(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx.
P P a c
C.Q.F.D.
Il commode de poser
a b
f (x) dx = − f (x) dx.
b a
L’int´grale
e
b
f (x) dx
a
est ainsi d´finie quelle que soit la position relative des bornes d’int´gration
e e
a et b — mais la propri´t´ de positivit´ ne vaut que si a < b.
ee e
Exemple.
Si f : [0, +∞[→ R est continue et limx→+∞ f (x) = L,
x
1
lim f (t) dt = L.
x→+∞ x 0
En effet, quelque soit > 0,
x
1 1 x
f (t) dt − L = (f (t) − L) dt
x 0 x 0
1 y 1 x
≤ |f (t) − L| dt + |f (t) − L| dt
x 0 x y
y x−y
≤ sup |f (t) − L| + sup |f (t) − L|
x t≥0 x t≥y
y x−y
< sup |f (t) − L| +
x t≥0 x 2
d`s que y = y est assez grand puis, y ainsi fix´,
e e
x
1
f (t) dt − L < + <
x 0 2 2
d`s que
e
2 y supt≥0 |f (t) − L|
x> .
14

16. 2.4 Exercices 2
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´riv´e born´e
e e e
est uniform´ment continue.
e
2. En d´duire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´e est uni-
e e
form´ment continue sur R.
e
3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ment continue
e
sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b).
√
4. En d´duire que la fonction f (x) = 3 x est uniform´ment continue sur
e e
R.
5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ment continue sur l’intervalle
e
]0, 1] ? sur l’intervalle [1, +∞[ ?
6. Les sommes sup´rieures et les sommes inf´rieures de Riemann peuvent
e e
ˆtre calcul´es pour toute fonction born´e f : [a, b] → R mais il n’est
e e e
plus certain que la fonction soit int´grable, c’est-`-dire que l’´quation
e a e
(2) soit vraie. Consid´rer avec Dirichlet la fonction indicatrice des
e
nombres rationnels :
1 si x ∈ Q
f (x) = IQ (x) =
0 sinon .
Montrer qu’elle n’est int´grable sur aucun intervalle.
e
7. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont
e e e
continues, alors
b b b
f (x)g(x) dx ≤ f 2 (x) dx g 2 (x) dx.
a a a
(Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸on optimale dans l’in´galit´ :
c e e
b
0≤ (f (x) + λg(x))2 dx.)
a
8. En d´duire l’in´galit´ de Minkowski :
e e e
b b b
(f (x) + g(x))2 dx ≤ f (x)2 dx + g(x)2 dx.
a a a
15

17. 9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b]
tel que
b
f (x) dx = f (c)(b − a).
a
(Premier th´or`me de la moyenne).
e e
10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que
b
f (x) dx = 0.
a
Montrer qu’elle est identiquement nulle.
11. V´rifier les relations suivantes :
e
sup (a + b) ≤ sup a + sup b,
a∈A, b∈B a∈A b∈B
inf (a + b) ≥ inf a + inf b.
a∈A, b∈B a∈A b∈B
12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an }n≥1 une suite de
nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que
b b
f (x) dx = lim f (x) dx.
a n→+∞ a
n
16

18. 3 ´ `
THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL
Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valuer
e e c e
une int´grale. Il en fait aussi apparaˆ des propri´t´s suppl´mentaires.
e ıtre ee e
3.1 Le th´or`me fondamental du calcul
e e
Faisant le lien entre le calcul diff´rentiel et le calcul int´gral en montrant
e e
que la d´rivation et l’int´gration sont les op´rations inverses l’une de l’autre,
e e e
le th´or`me fondamental du calcul a deux facettes.
e e
Th´or`me 6 (Th´or`me fondamental du calcul I) Soit f : [a, b] → R
e e e e
une fonction continue. Alors, pour tout x ∈ [a, b],
x
d
f (t) dt = f (x).
dx a
D´monstration. Posons
e x
I(x) = f (t) dt.
a
Soient a < x < b et h > 0 assez petit pour que les points x ± h soient dans
[a, b]. On a, en vertu des propri´t´s de lin´arit´ et d’additivit´ de l’int´grale,
ee e e e e
que
I(x + h) − I(x) 1 x+h
− f (x) = (f (t) − f (x)) dt
h h x
et que
x
I(x − h) − I(x) 1
− f (x) = (f (t) − f (x)) dt
−h h x−h
de telle sorte que, en vertu cette fois de la positivit´,
e
I(x + h) − I(x)
− f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x ≤ t ≤ x + h}
h
et que
I(x − h) − I(x)
− f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x − h ≤ t ≤ x}.
−h
En utilisant la continuit´ de la fonction f au point x, on voit donc que
e
I(x + h) − I(x)
lim = f (x).
h→0 h
17

19. Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D.
u u
Remarque.
Puisque
b x b
f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt,
a a x
on a aussi
b
d
f (t) dt = −f (x).
dx x
Th´or`me 7 (Th´or`me fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R
e e e e
une fonction continˆment d´rivable. Alors
u e
b
F (x) dx = F (b) − F (a).
a
D´monstration. Consid´rons la fonction
e e
x
J(x) = F (t) dt.
a
En vertu du th´or`me pr´c´dent, on a
e e e e
J (x) = F (x).
Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆme d´riv´e sur l’in-
e e e
tervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, elles
co¨
ıncident partout sur l’intervalle [a, b] :
J(b) = F (b) − F (a).
C.Q.F.D.
En vertu de ce th´or`me, il suffit donc, pour ´valuer
e e e
b
f (x) dx,
a
de trouver une fonction F (x) telle que F (x) = f (x). On a alors tout sim-
plement
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
(Pour abr´ger l’´criture, on ´crit
e e e
b
F (b) − F (a) = F (x) . )
a
18

20. Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e)
e e
ou encore int´grale ind´finie de f . On la d´note par
e e e
f (x) dx.
En d’autres mots,
F (x) = f (x) dx ⇔ F (x) = f (x).
Une primitive n’est d´finie qu’` l’addition d’une constante pr`s.
e a e
Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ment la fonction
e
d´finie par l’´quation
e e
x
F (x) = f (t) dt
a
(en vertu du th´or`me (6)) mais si cela s’av`re ˆtre la seule repr´sentation
e e e e e
disponible de F , elle n’est gu`re utile pour ´valuer l’int´grale « d´finie » de
e e e e
f . Cette situation se pr´sente cependant quelquefois. Et, en r`gle g´n´rale,
e e e e
le calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´riv´es.
e e
Exemple.
Si p ∈ Q, p = −1,
xp+1
xp dx =
p+1
puisque
d p+1
x = (p + 1)xp .
dx
On a donc, si 0 < a < b,
b
bp+1 − ap+1
xp dx = .
a p+1
3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale
e e e e
Le th´or`me fondamental du calcul met en lumi`re deux autres propri´t´s
e e e ee
de l’int´grale : l’int´gration par parties qui correspond a la r`gle de d´rivation
e e ` e e
d’un produit et la formule de changement de variable qui correspond ` la a
r`gle de d´rivation en chaˆ (exercice (7)).
e e ıne
19

21. Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc-
e e e
tions continˆment d´rivables. Alors
u e
b b b
F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. (3)
a a a
D´monstration. Puisque
e
d
F (x)G(x) = F (x)G(x) + F (x)G (x),
dx
on a
F (x)G(x) = F (x)G(x) dx + F (x)G (x) dx
c’est-`-dire
a
F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx
donc
b b b b
F (x)G (x) dx = F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx
a a a a
b b
= F (x)G(x) − F (x)G(x) dx.
a a
C.Q.F.D.
L’utilisation de la formule (3) pour ´valuer une int´grale
e e
b
h(x) dx
a
repose sur une factorisation judicieuse de la fonction h(x) sous la forme
h(x) = F (x)G (x).
Exemple.
Soit ` ´valuer
ae
1 √
x x + 1 dx.
0
√
Posant F (x) = x et G (x) = x + 1, on a F (x) = 1 et G(x) = 2(x + 1)3/2 /3.
Ainsi
√ 2 2
x x + 1 dx = x(x + 1)3/2 − (x + 1)3/2 dx
3 3
2 4 2
= x(x + 1)3/2 − (x + 1)5/2 = (x + 1)3/2 (3x − 2)
3 15 15
20

22. et √
1 √ 2 3/2 4( 2 + 1)
x x + 1 dx = 2 +2 = .
0 15 15
Th´or`me 9 (Changement de variable) Soit φ : [c, d] → R une fonc-
e e
tion continˆment d´rivable strictement monotone et telle que φ([c, d]) =
u e
[a, b]. Pour toute fonction continue f : [a, b] → R, on a
b d
f (x) dx = f (φ(t))|φ (t)| dt. (4)
a c
D´monstration. Soit F une primitive de f . Alors
e
f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)).
La fonction φ effectue une bijection de l’intervalle [c, d] sur l’intervalle [a, b].
Si φ est croissante (c’est-`-dire si φ > 0), on a
a
d d b
f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)) = F (b) − F (a) = f (x) dx
c c a
alors que si φ est d´croissante (c’est-`-dire si φ < 0), on a
e a
d d b
f (φ(t))(−φ (t)) dt = −F (φ(t)) = −F (a) + F (b) = f (x) dx.
c c a
C.Q.F.D.
L’utilisation de la formule (4) pour ´valuer une int´grale
e e
b
f (x) dx
a
repose sur sur un choix appropri´ de la nouvelle variable t = φ−1 (x).
e
Exemple.
Soit ` ´valuer
ae
1
x x2 + 1 dx.
0
On pose t = x2 + 1 de telle sorte que
dt
= 2x ≥ 0,
dx
l’intervalle 0 ≤ x ≤ 1 correspondant ` l’intervalle 1 ≤ t ≤ 2. On a
a
1 2√
√
2 + 1 dx =
1 1 3/2 2 2 2 − 1
x x t dt = t = .
0 1 2 3 1 3
21

23. 3.3 Exercices 3
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. D´duire le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) du premier
e e e e e
th´or`me de la moyenne (exercice (9) du chapitre 2).
e e
2. Soient f : R → R une fonction continue et a, b : R → R des fonctions
d´rivables telles que a(x) < b(x). Calculer
e
b(x)
d
f (t) dt.
dx a(x)
3. Soit f : R → R une fonction continue. Calculer
1
d
f (x + t) dt.
dx 0
4. Soit f : R → R une fonction continue et p´riodique de p´riode 2p
e e
(f (t + 2p) = f (t) pour tout t). Montrer que, quel que soit le nombre
x,
x+2p 2p
f (t) dt = f (t) dt.
x 0
5. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. Posons
x
1
φ(x) = f (t) dt.
x 0
Montrer que φ est croissante si f l’est.
6. Soit p > 0. Calculer
n
kp
lim .
n→+∞ np+1
k=1
7. D´duire la r`gle de d´rivation d’un quotient de la r`gle de d´rivation
e e e e e
d’un produit.
8. Soit p > 2. Calculer
n
knp−2
lim .
n→+∞ (k + n)p
k=1
9. Soit f : [−A, A] → R une fonction continue. Montrer que si f est
impaire (c’est-`-dire f (−x) = −f (x) pour tout x),
a
A
f (x) dx = 0
−A
22

24. et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x),
a
A A
f (x) dx = 2 f (x) dx.
−A 0
10. Soit f : [0, a] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que
u e
a a
af (a) = f (x) dx + xf (x) dx.
0 0
Donner une interpr´tation g´om´trique de cette relation dans le cas
e e e
o` f (x) > 0 et f (0) = 0.
u
11. Soient F : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable, positive et
u e
d´croissante et g : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il
e
existe c ∈ [a, b] tel que
b c
F (x)g(x) dx = F (a) g(x) dx.
a a
(Deuxi`me th´or`me de la moyenne — comparer avec le premier (exer-
e e e
cice (9) du chapitre 2)). (Suggestion : introduire la fonction
x
G(x) = g(t) dt
a
et int´grer par parties.)
e
12. Soit p > 0. Montrer qu’il existe un nombre c ∈ [0, 1] tel que
1
xp cp+1
dx = .
0 x2p + 1 p+1
23

25. 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es
e e
a e
` l’´tude des ph´nom`nes de croissance.
e e
4.1 Le logarithme
On sait que la fonction x → 1/x n’admet pas de primitive rationnelle.
Le logarithme est la fonction log : ]0, +∞[→ R d´finie par
e
x
dt
log x = .
1 t
(figure (3)). En vertu du th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)), le
e e e e
logarithme est une fonction d´rivable et
e
d 1
log x = .
dx x
Autre notation : ln x.
y
2
1.5 y 1 x
1
0.5
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fig. 3 – D´finition du logarithme
e
´
Th´or`me 10 (Equation fonctionnelle du logarithme) On a
e e
log xy = log x + log y (5)
et si f : ]0, +∞[→ R est une fonction d´rivable telle que
e
f (xy) = f (x) + f (y), (6)
il existe un nombre c ∈ R tel que
f (x) = c log x.
24

26. D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la
e e e
fonction
φ(x) = log xy − log y
(en fixant arbitrairement y > 0). Comme
1 d
φ (x) = = log x
x dx
et comme
φ(1) = 0 = log 1,
on doit avoir
φ(x) = log x.
Si, d’autre part, f satisfait l’´quation fonctionnelle (6), on aura, en d´rivant
e e
par rapport ` x que, quelque soit y > 0,
a
yf (xy) = f (x)
donc
yf (y) = f (1).
En passant aux primitives,
f (y) = f (1) log y + K
o` K est une constante. Puisque l’´quation fonctionnelle entraˆ que f (1) = 2f (1),
u e ıne
f (1) = 0 donc K = 0 et on a bien
f (x) = c log x
en posant c = f (1). C.Q.F.D.
Comme cons´quences de l’´quation (5), on a
e e
1
log = − log x,
x
et
log xn = n log x pour tout n ∈ N
donc aussi
1
log x1/m = log x pour tout m ∈ N
m
c’est-`-dire
a
log xp = p log x quelque soit p ∈ Q.
25

27. Puisque, de plus,
d2 1
log x = − 2 < 0,
dx2 x
le logarithme est une fonction strictement concave qui croˆ (stricte-
ıt
ment) de −∞ ` +∞ lorsque son argument croˆ de 0 ` +∞. Ces donn´es
a ıt a e
permettent de tracer son graphe (figure (4)).
La concavit´ d’une fonction entraˆ pour cette fonction d’importantes
e ıne
cons´quences. (Exercices (7), (8), (9)).
e
2
1
2 4 6 8 10
-1
-2
Fig. 4 – Graphe du logarithme
Remarque.
Le logarithme tend vers +∞ avec son argument mais plus lentement que
toute puissance (si petite soit-elle) de cet argument. En vertu de la r`gle de
e
l’Hospital, on a en effet, que quel que soit p > 0 :
log x x−1 1
limp
= lim p−1
= lim = 0.
x→+∞ x x→+∞ px x→+∞ pxp
Exemple.
On estime le nombre N d’atomes dans l’univers visible `
a
N = 10000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000.
Le logarithme de ce nombre est
log N < 240.
26

28. Th´or`me 11
e e
log e = 1.
D´monstration. Le nombre e est d´fini par
e e
n
1
e = lim 1+ .
n→+∞ n
En utilisant les propri´t´s du logarithme, on obtient :
ee
n
1 1 n
log e = log lim 1+ = lim log 1 +
n→+∞ n n→+∞ n
1
1 log 1 + n − log 1
= lim n log 1 + = lim
n→+∞ n n→+∞ 1/n
d
= log x = 1.
dx x=1
C.Q.F.D.
4.2 La fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme, exp : R →]0, +∞[,
d´finie par la relation
e
exp x = y ⇔ x = log y,
autrement dit
exp(log y) = y si y > 0, log(exp x) = x pour tout x ∈ R.
L’´quation fonctionnelle (5) du logarithme se traduit donc par l’´quation
e e
fonctionnelle suivante pour l’exponentielle :
exp(x1 + x2 ) = exp x1 exp x2 .
e e ´
Th´or`me 12 (Equation diff´rentielle de l’exponentielle) On a
e
d
exp x = exp x
dx
et si f : R → R est une fonction d´rivable telle que
e
f (x) = af (x)
avec a ∈ R, il existe un nombre c ∈ R tel que
f (x) = c exp(ax).
27

29. D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a
e e e
bien
d 1 1
exp x = d = = y = exp x.
dx dy log y
1/y
D’autre part, introduisant la fonction
g(x) = f (x) exp(−ax),
on a
g (x) = f (x) exp(−ax) − af (x) exp(−ax) = (f (x) − af (x)) exp(−ax) = 0
ce qui entraˆ
ıne
g(x) = c
pour une constante c appropri´e. C.Q.F.D.
e
Comme pour toute fonction inverse, le graphe de la fonction exponen-
tielle (figure (5)) est le sym´trique de celui du logarithme relativement ` la
e a
bissectrice y = x. Il s’agit d’une courbe strictement convexe qui croˆ ıt
(strictement) de 0 ` +∞ lorsque l’abscisse croˆ de −∞ ` +∞ et ce, plus
a ıt a
rapidement que toute puissance de cette abscisse (exercice (13)).
20
15
10
5
-3 -2 -1 1 2 3
Fig. 5 – Graphe de l’exponentielle
28

30. 4.3 Exposants irrationnels
Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme
e e
n fois et, lorsque x = 0, x−n est ´gal ` celui de x−1 par lui-mˆme n fois. Si
e a e
m ∈ N, la fonction x → x1/m est la fonction inverse de xm (elle est d´finie
e
pour tout x ∈ R si m si impair et pour tout x ≥ 0 si m est pair). On convient
enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0.
La fonction x → xp est donc bien d´finie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour
e
tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a
exp(p log x) = exp(log xp ) = xp .
Cette propri´t´ permet d’introduire des exposants irrationnels.
ee
Soit a ∈ R un nombre r´el quelconque. La fonction x → xa est la fonction
e
]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´finie par l’´quation
e e
xa = exp(a log x).
Observons que, en vertu du th´or`me (11), l’on a en particulier :
e e
ea = exp a pour tout a ∈ R.
Les r`gles de calcul avec les exposants restent encore vraies.
e
Th´or`me 13 (R`gles des exposants) Soient a, a1 , a2 ∈ R et x, y > 0.
e e e
Alors
a) (xy)a = xa y a
b) xa1 +a2 = xa1 xa2
c) xa1 a2 = (xa1 )a2
D´monstration. En vertu de la d´finition que nous avons pos´e, on a succes-
e e e
sivement
a) (xy)a = ea log xy = ea log x+a log y = ea log x ea log y = xa y a ;
b) xa1 +a2 = e(a1 +a2 ) log x = ea1 log x+a2 log x = ea1 log x ea2 log x = xa1 xa2 ;
c) (xa1 )a2 = exp(a2 log xa1 ) = exp(a2 log(exp(a1 log x))) = exp(a2 a1 log x) =
xa1 a2 .
C.Q.F.D.
Une cons´quence en est que la formule de d´rivation
e e
d a
x = axa−1
dx
29

31. reste toujours valable.
Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[
e
d´finie par
e
g(x) = bx .
Puisque
d
g(x) = bx log b,
dx
elle est strictement monotone (croissante si b > 1, d´croissante si b < 1).
e
Son inverse est le logarithme de base b, d´not´ par logb . Autrement dit
e e
x = logb y ⇔ y = bx .
4.4 Les fonctions hyperboliques
Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → R
d´finies par les relations
e
ex + e−x ex − e−x
cosh x = , sinh x =
2 2
respectivement.
Th´or`me 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´t´s suivantes :
e e ee
a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ;
b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ;
c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x.
D´monstration. En vertu des d´finitions que nous avons pos´es, on a
e e e
successivement
a)
e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x
cosh2 x − sinh2 x = − = 1;
4 4
b)
ex − e−x ex + e−x
cosh x = = sinh x , sinh x = = cosh x;
2 2
30

32. c)
cosh x cosh y + sinh x sinh y
ex+y + ex−y +e−x+y + e−x−y ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y
= +
4 4
ex+y + e−x−y
= = cosh(x + y),
2
sinh x cosh y + sinh y cosh x
ex+y + ex−y −e−x+y − e−x−y ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y
= +
4 4
ex+y − e−x−y
= = sinh(x + y).
2
C.Q.F.D.
Les graphes des fonctions hyperboliques se d´duisent de celui de l’expo-
e
nentielle.
15
10 cosh x
5
-4 -2 2 4
sinh x
-5
Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques
Sa d´riv´e ´tant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonc-
e e e
tion strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´rivable,
e
l’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R.
En r´solvant l’´quation quadratique
e e
e2x − 1 = 2 y ex
a
` l’aide de la formule de Vi`te, on trouve
e
ex = y + 1 + y2
31

33. c’est-`-dire
a
arcsinh y = log(y + 1 + y 2 ).
En d´rivant cette derni`re relation ou en utilisant la formule pour la d´riv´e
e e e e
d’une fonction inverse, on obtient enfin
d 1
arcsinh y = .
dy 1 + y2
Le graphe de l’arcsinus hyperbolique s’en d´duit.
e
3
2
1
-10 -5 5 10
-1
-2
-3
Fig. 7 – L’arcsinus hyperbolique
4.5 Exercices 4
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Soit
n
1
xn = − log n.
k
k=1
Montrer que la suite {xn }n∈N est d´croissante et minor´e par 1 − log 2
e e
— sa limite est la constante d’Euler-Mascheroni, d´not´e γ.
e e
2. D´terminer toutes les fonctions ]0, +∞, [ → ]0, +∞[ d´rivables qui sa-
e e
tisfont l’´quation fonctionnelle
e
f (xy) = f (x)f (y).
3. Tracer le graphe de la fonction
log x
f (x) = .
x
32

34. 4. Calculer les limites suivantes :
a)
lim xa log x
x→0
b)
lim xx
x→0
c)
lim x1/x
x→0
d)
lim x1/x .
x→+∞
5. Soient 0 < a < b. Lequel des deux nombres suivants est le plus grand :
ab ou ba ?
6. Calculer
x n
lim 1+ .
n→+∞ n
7. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
e
Montrer qu’elle satisfait l’in´galit´ de convexit´ suivante :
e e e
x2 − x3 x3 − x1
x1 < x3 < x2 ⇒ f (x3 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 )
x2 − x1 x2 − x1
qui exprime que son graphe est situ´ sous n’importe laquelle de ses
e
s´cantes (figure (8)). (Suggestion : utiliser le th´or`me des accroisse-
e e e
ments finis.)
8. V´rifier que l’in´galit´ pr´c´dente peut s’´crire
e e e e e e
f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )
avec
λ1 > 0, λ2 > 0 et λ1 + λ2 = 1
(une combinaison convexe de deux nombres). La g´n´raliser ` une
e e a
combinaison convexe de n nombres
n n
f λk xk ≤ λk f (xk )
k=1 k=1
par r´currence sur n (in´galit´ de Jensen).
e e e
33

35. 9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
e
Montrer que quel que soit x0 ∈]a, b[, le graphe de f est situ´ au-dessus
e
de sa tangente en x0 :
f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
(figure (8)).(Suggestion : utiliser le th´or`me fondamental du calcul.)
e e
le graphe de f
une sécante
une tangente
Fig. 8 – Une fonction convexe
10. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne arithm´tique et la moyenne
e e e e
g´om´trique de n nombres positifs x1 , x2 , . . . , xn :
e e
√ 1
n
x1 x2 · · · xn ≤ (x1 + x2 + · · · + xn ).
n
11. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne g´om´trique et la moyenne
e e e e e
harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . . , xn :
n √
≤ n x1 x2 · · · xn .
1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn
12. Montrer que
log x ≤ x − 1.
13. Montrer que
ex ≥ x + 1.
En d´duire directement (c’est-`-dire sans utiliser la r`gle de l’Hospital)
e a e
que, quel que soit n ∈ N,
xn
lim = 0.
x→+∞ ex
34

36. (Suggestion :
x x/2 1
= 2 x/2 x/2 ;
ex e e
raisonner par r´currence sur n.)
e
14. D´terminer toutes les fonctions R → R qui satisfont l’´quation diff´rentielle
e e e
f (x) = −xf (x).
15. D´terminer la solution de l’´quation logistique :
e e
f (x) = af (x)(b − f (x)) , x > 0
o` a > 0 et b > 0 si 0 < f (0) < b.
u
16. Montrer que
log y
logb y = .
log b
17. La fonction tangente hyperbolique est d´finie par
e
sinh x
tanh x = .
cosh x
V´rifier qu’elle satisfait l’´quation diff´rentielle
e e e
f (x) = 1 − f 2 (x).
Exprimer tanh(x+y) en terme de tanh x et de tanh y. Tracer le graphe.
18. V´rifier que la tangente hyperbolique admet une fonction inverse, l’arc-
e
tangente hyperbolique, arctanh : ] − 1, 1[ → R. Montrer que
1 1+y
arctanh y = log .
2 1−y
Calculer la d´riv´e de cette fonction et tracer son graphe.
e e
35

37. 5 ´
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’´tude des
e e e a e
ph´nom`nes p´riodiques.
e e e
5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques
e e
Le nombre π est, par d´finition, ´gal ` l’aire du disque de rayon unit´ :
e e a e
1
π=2 1 − x2 dx.
−1
Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons
1
arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2
y
(figure (9) — arccos y repr´sente l’aire du secteur (pour v´rifier cette affir-
e e
mation, distinguer suivant que y est positif ou n´gatif)).
e
y 1
Fig. 9 – D´finition de l’arccosinus
e
La fonction ainsi d´finie est continue sur [−1, 1] mais d´rivable seulement
e e
sur ] − 1, 1[ o`
u
d −1
arccos y = .
dy 1 − y2
36

38. Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de
e a ıt
−1 ` 1. Donn´ 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1
a e
tel que
arccos y = x.
Les fonctions trigonom´triques cosinus et sinus sont d´finies pour 0 ≤ x ≤ π
e e
par les relations
cos x = y , sin x = 1 − y 2 .
Elles sont prolong´es ` l’axe r´el R tout entier en posant d’abord, pour
e a e
−π < x < 0,
cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x)
et ensuite, pour n ∈ Z,
cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x.
Observons les valeurs remarquables
π 1 π 3π 1
cos 0 = 1 , cos = √ , cos = 0 , cos = − √ , cos π = −1
4 2 2 4 2
et
π 1 π 3π 1
sin 0 = 0 , sin= √ , sin = 1 , sin = √ , sin π = 0.
4 2 2 4 2
Observons aussi que la relation
cos2 x + sin2 x = 1
reste valable sur tout l’axe r´el.
e
Les fonctions p´riodiques de p´riode 2π ainsi obtenues sont continues :
e e
ainsi, pour le cosinus,
lim cos x = lim cos(−x) = lim cos z = cos 0
x→0− x→0− z→0+
et
lim cos x = lim cos(x − 2π) = lim cos z
x→π+ x→π+ z→−π+
= lim cos(−z) = lim cos w = cos π.
z→−π+ w→π−
Elles sont mˆme d´rivables et satisfont les relations
e e
d d
cos x = − sin x , sin x = cos x. (7)
dx dx
37

39. 1
sinus
0.5
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
cosinus
-1
Fig. 10 – Le sinus et le cosinus
V´rifions par exemple, la premi`re de ces relations. Lorsque 0 < x < π
e e
tout d’abord, on a :
d 1 1
cos x = d
= −1 = − 1 − y 2 = − sin x.
dx dy arccos y √
1−y 2
Consid´rons ensuite les points de raccordement. En x = 0, on a, en utilisant
e
le th´or`me des accroissement finis — dans ce qui suit 0 < h1 < h,
e e
cos h − 1
lim = lim − sin h1 = − sin 0
h→0+ h h→0+
et
cos(−h) − 1 cos h − 1
lim = lim = lim sin h1 = sin 0 = − sin 0.
h→0+ −h h→0+ −h h→0+
En x = π :
cos(π − h) − cos π
lim = lim − sin(π − h1 ) = − sin π
h→0+ −h h→0+
et
cos(π + h) − cos π cos(−π + h) − cos π
lim = lim
h→0+ h h→0+ h
cos(π − h) − cos π
= lim = lim sin(π − h1 ) = sin π = − sin π.
h→0+ h h→0+
38

40. Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctions
trigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)).
e
La fonction tangente est la fonction d´finie par la relation
e
sin x (2n + 1)π
tan x = si x = , n ∈ Z.
cos x 2
Son domaine de d´finition « naturel » est l’intervalle ] − π/2, π/2[. Elle
e
satisfait la relation
d
tan x = 1 + tan2 x (8)
dx
comme il est ais´ de le v´rifier ` partir de la d´finition. On en d´duit l’allure
e e a e e
de son graphe (figure (11)).
7.5
5
2.5
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-2.5
-5
-7.5
Fig. 11 – La tangente
5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques
e e e
e e ´
Th´or`me 15 (Equation diff´rentielle de sinus et cosinus) Les fonc-
e
tions sinus et cosinus sont deux solutions de l’´quation diff´rentielle
e e
f (x) + f (x) = 0. (9)
Si, r´ciproquement f : R → R est une fonction deux fois d´rivable qui
e e
satisfait l’´quation pr´c´dente, il existe deux nombres a, b ∈ R tels que
e e e
f (x) = a cos x + b sin x.
39

41. D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer
e e e
la seconde, posons a = f (0), b = f (0) et consid´rons la fonction
e
g(x) = f (x) − a cos x − b sin x.
Elle satisfait l’´quation diff´rentielle
e e
g (x) + g(x) = 0
sous les conditions initiales
g(0) = g (0) = 0.
Introduisons alors la fonction
h(x) = g 2 (x) + g 2 (x).
Comme
h (x) = 2g (x)(g(x) + g (x)) = 0,
on doit avoir
h(x) = h(0) = 0 pour tout x
c’est-`-dire que
a
g(x) = 0 pour tout x.
C.Q.F.D.
Th´or`me 16 (Formules d’addition) Quelques soient x, y ∈ R, on a :
e e
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
D´monstration. La fonction f (x) = sin(x + y), (y fix´), satisfait l’´quation
e e e
diff´rentielle (9) et est donc de la forme f (x) = a cos x + b sin x. Puisque
e
f (0) = sin y et que f (0) = cos y, il faut que a = sin y et que b = cos y ce qui
d´montre la premi`re formule.
e e
La d´monstration de la seconde est similaire. C.Q.F.D.
e
Les relations suivantes sont un cas particulier fr´quemment utilis´ :
e e
cos 2x = cos2 x − sin2 x , sin 2x = 2 sin x cos x.
La formule d’addition pour la tangente suit du th´or`me : si x, y et x +
e e
y = (2k + 2)π/2 avec k ∈ Z,
tan x + tan y
tan(x + y) = .
1 + tan x tan y
40

42. Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 ,
e e e
on a :
+π
cos mx sin nx dx = 0
−π
+π
0 si m = n
cos mx cos nx dx =
−π π si m = n
+π
0 si m = n
sin mx sin nx dx =
−π π si m = n.
D´monstration. En vertu des formule d’addition, on a, par exemple,
e
+π +π
cos(m − n)x + cos(m + n)x
cos mx cos nx dx = dx.
−π −π 2
Si m = n, on en tire
+π
1 sin(m − n)x sin(m + n)x π
cos mx cos nx dx = + =0
−π 2 m−n m+n −π
alors que si m = n, on obtient
+π
1 sin 2mx π
cos2 mx dx = x+ = π.
−π 2 2m −π
Les autres cas sont similaires. C.Q.F.D.
5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses
e
La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´finie
e
par la relation
1
arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2
y
comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´rivable sur ]−1, 1[,
e
avec
d −1
arccos y = .
dy 1 − y2
41

43. C’est une fonction strictement d´croissante et l’on a
e
cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1]
et
arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π].
Cependant, la fonction cosinus ´tant une fonction paire et p´riodique de
e e
p´riode 2π, elle n’admet pas d’inverse globale et de la relation cos x = y on
e
ne peut pas conclure que x = arccos y. En fait, on a
cos x = y ⇔ x = ± arccos y + 2kπ avec k ∈ Z.
3
2
arccosinus
1
-1 -0.5 0.5 1
arcsinus -1
Fig. 12 – L’arcsinus et l’arccosinus
La fonction sinus ´tant strictement croissante sur [−π/2, π/2], elle y
e
admet une fonction inverse continue mais d´rivable seulement sur ] − 1, 1[
e
(parce que sin (±π/2) = 0). La fonction inverse est l’arcsinus (figure (12)),
arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]. On a donc
sin(arcsin y) = y , y ∈ [−1, 1]
et
arcsin(sin x) = x , x ∈ [π/2, π/2].
Comme cos x > 0 lorsque −π/2 < x < π/2, on a pour tout y ∈] − 1, 1[ :
d 1 1 1 1
arcsin y = d
= = =
dy dx sin x cos x 1 − sin2 x 1 − y2
42

44. 1.5
1
0.5
-10 -5 5 10
-0.5
-1
-1.5
Fig. 13 – L’arctangente
c’est-`-dire que la fonction arcsin y + arccos y est constante ; calculant sa
a
valeur ` l’origine, on obtient :
a
π
arcsin y + arccos y = .
2
La fonction tangente croˆ (strictement) de −∞ ` ∞ lorsque son argu-
ıt a
ment croˆ de −π/2 ` π/2. La fonction inverse est la fonction arctangente
ıt a
(figure (13)), arctan : R →] − π/2, π/2[. On a donc
tan(arctan y) = y , y ∈ R
et
arctan(tan x) = x , x ∈] − π/2, π/2[.
En vertu de l’´quation (8), la d´riv´e de cette fonction est une fonction
e e e
rationnelle :
d 1
arctan y = .
dy 1 + y2
5.4 La notion d’angle
Les fonctions trigonom´triques introduites pr´c´demment via le calcul
e e e
int´gral sont bien les mˆmes que celles introduites en trigonom´trie pour
e e e
l’´tude des triangles. C’est qu’en effet la d´finition correcte de la notion
e e
d’angle repose sur la fonction arccosinus.
43

45. Soit Pi le point de coordonn´es cart´siennes (xi , yi ) du plan (i = 1, 2, 3).
e e
L’angle u form´ par les segments P1 P2 et P1 P3 est, par d´finition,
e e
(x2 − x1 )(x3 − x1 ) + (y2 − y1 )(y3 − y1 )
u = arccos
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2
(figure (14), exercice (13)).
P3
P2
P1 u
Fig. 14 – Angle entre deux droites
Introduisant la distance d(Pi , Pj ),
d(Pi , Pj ) = (xi − xj )2 + (yi − yj )2 ,
cette d´finition peut s’´crire
e e
d2 (P2 , P3 ) = d2 (P1 , P2 ) + d2 (P1 , P3 ) − 2d(P1 , P2 )d(P1 , P3 ) cos u
(loi des cosinus), ce qui se r´duit `
e a
d2 (P2 , P3 ) = d2 (P1 , P2 ) + d2 (P1 , P3 )
lorsque u = π/2 (th´or`me de Pythagore).
e e
Ces ´quations entraˆ
e ınent les relations suivantes pour un triangle rec-
tangle (figure (15)) :
A2 + C 2 − B 2 A A2 B B
cos u = = , sin u = 1− 2
= , tan u = .
2AC C C C A
Ces relations sont bien celles que l’on utilise en trigonom´trie pour d´finir
e e
les fonctions trigonom´triques.
e
Il y a une autre fa¸on de calculer un angle : en utilisant la longueur d’arc.
c
44

46. C
B
u
A
Fig. 15 – Le triangle rectangle
Une courbe plane simple C est d´finie par un param´trage
e e
x = x(t) , y = y(t) , t ∈ (a, b),
o` x(t) et y(t) sont des fonctions continˆment d´rivables telles que
u u e
x (t)2 + y (t)2 > 0
(ce qui signifie qu’elle admet une tangente en chaque point) et
x(t1 ) = x(t2 ) , y(t1 ) = y(t2 ) et t1 , t2 ∈]a, b[ ⇒ t1 = t2
(c’est-`-dire qu’elle ne se recoupe pas). La courbe est ferm´e si
a e
x(a) = x(b) , y(a) = y(b).
Si t = t(s) est une fonction continˆment d´rivable de s ∈ (c, d) telle que
u e
t (s) = 0, les ´quations
e
x = x(t(s)) = x1 (s) , y = y(t(s)) = y1 (s) , s ∈ (c, d),
repr´sentent la mˆme courbe C, parcourue ` une vitesse diff´rente, dans le
e e a e
mˆme sens si t (s) > 0 et dans le sens contraire si t (s) < 0.
e
La longueur LC de la courbe C est, par d´finition, le nombre
e
b
dx 2 dy 2
LC = + dt
a dt dt
45

47. Comme il se doit, ce nombre ne d´pend pas du param´trage retenu pour la
e e
courbe :
b
dx 2 dy 2 b
dx(t(s)) 2 dy(t(s)) 2 ds
+ dt = + dt
a dt dt a ds ds dt
d
dx1 2 dy1 2 ds dt d
dx1 2 dy1 2
= + ds = + ds
c ds ds dt ds c ds ds
en vertu de la formule du changement de variable (th´or`me (9)).
e e
De plus, il redonne bien, dans le cas d’un segment de droite, la distance
entre les ext´mit´s : un param´trage possible pour la droite D d’extr´mit´s
e e e e e
P1 et P2 est en effet
x = (1 − t)x1 + tx2 , y = (1 − t)y1 + ty2 , 0 ≤ t ≤ 1,
ce qui conduit `
a
1
LD = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 dt = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
0
1
y
C1
u
x
Fig. 16 – Angle et longueur d’arc
Calculons alors la longueur d’un arc C1 du cercle de rayon unit´. En vertu
e
des propri´t´s des fonctions trigonom´triques, un param´trage possible est
ee e e
x = cos t , y = sin t , 0 ≤ t ≤ u (o` 0 ≤ u ≤ 2π).
u
46

48. (figure (16)). On a donc
u
LC1 = (− sin t)2 + (cos t)2 dt = u.
0
Chacune des d´finitions pr´sent´e ci-dessus permet d’´tendre la notion
e e e e
d’angle ` une situation diff´rente ; celle avec l’arccosinus permet de d´finir
a e e
l’angle dans un espace ` un nombre quelconque (´ventuellement infini) de
a e
dimensions, celle avec l’arc de cercle permet d’introduire la notion d’angle
solide dans l’espace usuel.
5.5 Exercices 5
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Montrer que
sin x
lim = 1.
x→0 x
2. V´rifier que la fonction sinus est concave sur l’intervalle [0, π/2]. En
e
d´duire que :
e
π 2x
0≤x≤ ⇒ ≤ sin x ≤ x.
2 π
3. Est-il vrai qu’une fonction d´rivable est p´riodique si et seulement si
e e
sa d´riv´e l’est ?
e e
4. V´rifier que la fonction f : [0, 1] → R d´finie par :
e e
1
sin x si x = 0,
f (x) =
0 si x = 0
est discontinue mais poss`de quand mˆme la propri´t´ des valeurs in-
e e ee
term´diaires.
e
5. Obtenir la solution g´n´rale l’´quation diff´rentielle suivante :
e e e e
f (x) + ω 2 f (x) = ex .
6. Montrer que la solution g´n´rale de l’´quation diff´rentielle
e e e e
f (x) − f (x) = 0
est
f (x) = a cosh x + b sinh x.
47

49. 7. Exprimer sin 3x en terme de sin x. En d´duire la valeur de sin π/3.
e
Calculer sin π/5 par la mˆme m´thode.
e e
8. Montrer que, quels que soient les coefficients a1 , b1 , . . . , an , bn , l’´quation
e
a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx = 0
poss`de toujours au moins une racine dans l’intervalle ] − π, π].
e
9. Montrer que si
n
1
T (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx),
2
k=1
on a
+π
1
ak = T (x) cos kx dx , (k = 0, 1, . . . , n)
π −π
et
+π
1
bk = T (x) sin kx dx , (k = 1, 2, . . . , n)
π −π
(formules de Fourier pour les coefficients d’un polynˆme trigonom´trique).
o e
10. Soient −π < x1 < x2 < x3 ≤ π et y1 , y2 , y3 des nombres quelconques.
D´terminer un polynˆme trigonom´trique de degr´ un,
e o e e
1
T (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x,
2
tel que
T (xi ) = yi , (i = 1, 2, 3).
11. Montrer que la fonction f (y) = cos(n arccos y) est un polynˆme de
o
degr´ n en y. (Suggestion : raisonner par r´currence sur n).
e e
12. Montrer que la fonction arctan n’est pas une fonction rationnelle.
13. Si
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et y = (y1 , y2 , . . . , yn ),
soient
n
x y= xk yk
k=1
et √
x = x x.
48

50. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz :
e e e
|x y| ≤ x y
et discuter le cas d’´galit´ (comparer avec l’exercice (7) du chapitre
e e
2). V´rifier aussi la relation
e
2 2 2
x−y = x + y − 2 x y.
14. Montrer que la somme des angles int´rieurs d’un triangle est ´gale `
e e a
π. (Suggestion : commencer par un triangle rectangle.)
15. Calculer l’aire d´termin´e par l’ellipse
e e
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2 b
Le calcul de sa longueur est-il aussi facile ?
49

51. 6 CALCUL DES PRIMITIVES
La famille des fonctions introduites est ferm´e sous l’op´ration « calcul
e e
de la primitive ». En particulier, elle permet de trouver une primitive ` toute
a
fonction rationnelle.
6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles
Les entr´es de la petite table suivante peuvent ˆtre v´rifi´es en d´rivant
e e e e e
le membre de droite. Elles ont ´t´ obtenues soit directement, soit par une
ee
int´gration par parties,
e
f (x) dx = xf (x) − xf (x) dx,
et/ou par un changement de variable simple (y = 1 ± x2 , y = arcsin x,
y = arcsinh x).
1.
xp+1
xp dx = si p = −1 pour x > 0
p+1
2.
1
dx = log x pour x > 0
x
3.
ex dx = ex
4.
log x dx = x log x − x pour x > 0
5.
cos x dx = sin x
6.
sin x dx = − cos x
7.
π
tan x dx = − log cos x pour |x| <
2
50

52. 8.
arccos x dx = x arccos x − 1 − x2 pour |x| < 1
9.
arcsin x dx = x arcsin x + 1 − x2 pour |x| < 1
10.
arctan x dx = x arctan x − log 1 + x2
11.
cosh x dx = sinh x
12.
sinh x dx = cosh x
13.
1
1 − x2 dx = (arcsin x + x 1 − x2 ) pour |x| < 1
2
14.
1
1 + x2 dx = (arcsinh x + x 1 + x2 )
2
15.
1
√ dx = arcsin x pour |x| < 1
1 − x2
16.
1
√ dx = arcsinh x
1 + x2
On utilise quelquefois des « formules de r´duction » pour calculer cer-
e
taines primitives par r´currence. En voici un exemple.
e
Soit N ≥ 2 un entier naturel. Alors
sinN x dx = sinN −2 x dx − sinN −2 x cos2 x dx
= sinN −2 x dx − (sinN −2 x cos x) cos x dx
sinN −1 x sinN −1 x
= sinN −2 x dx − cos x + sin x dx
N −1 N −1
sinN −1 x cos x sinN x
= sinN −2 x dx − − dx
N −1 N −1
51

53. de telle sorte que
1 sinN −1 x cos x
sinN x dx 1 + = sinN −2 x dx − .
N −1 N −1
Autrement dit :
sinN −1 x cos x N − 1
sinN x dx = − + sinN −2 x dx. (10)
N N
La formule de Wallis est une belle application de cette derni`re relation.
e
Th´or`me 18 (Le produit de Wallis)
e e
π 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · 2n · 2n
= lim .
2 n→+∞ 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · · · (2n − 1) · (2n − 1) · (2n + 1)
D´monstration. En vertu de l’´quation (10), on a
e e
π/2 π/2
N −1
sinN x dx = sinN −2 x dx
0 N 0
de telle sorte que, par r´currence sur n,
e
π/2 π/2
2n − 1 2n − 3 1
sin2n x dx = ··· dx
0 2n 2n − 2 2 0
c’est-`-dire
a
π/2
1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) π
sin2n x dx =
0 2 · 4 · 6 · · · 2n 2
et que
π/2 π/2
2n 2n − 2 2
sin2n+1 x dx = ··· sin x dx
0 2n + 1 2n − 1 3 0
c’est-`-dire
a
π/2
2 · 4 · 6 · · · 2n
sin2n+1 x dx = . (11)
0 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)
Ainsi
π/2
π 0 sin2n x dx 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · 2n · 2n
= π/2
.
2 sin2n+1 x dx 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · · · (2n − 1) · (2n − 1) · (2n + 1)
0
52

54. Le r´sultat suit donc des in´galit´s
e e e
π/2 π/2
0 sin2n x dx 2n + 1 0 sin2n x dx 2n + 1 1
1≤ π/2
= π/2
≤ =1+ .
sin2n+1 x dx 2n sin2n−1 x dx 2n 2n
0 0
C.Q.F.D.
Remarque.
On utilise souvent la forme ´quivalente plus simple
e
π 2 · 4 · 6 · · · 2n
= lim √ (12)
2 n→+∞ 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) 2n + 1
du produit de Wallis.
6.2 Primitives des fonctions rationnelles
Les entr´es de la petite table suivante peuvent ˆtre v´rifi´es en d´rivant
e e e e e
le membre de droite. Elles ont ´t´ obtenues soit par une d´composition
ee e
en fractions partielles ou soit par un changement de variable simple (apr`se
compl´tion du carr´).
e e
1.
dx 1 x−a
= log pour x = a, b
(x − a)(x − b) a−b x−b
2.
dx 1 x+A
=√ arctan √ si B − A2 > 0
x2 + 2Ax + B B−A 2 B − A2
3.
x dx a b
= log |x − a| − log |x − b| pour x = a, b
(x − a)(x − b) a−b a−b
4.
x dx A x+A
= log x2 + 2Ax + B − √ arctan √
x2 + 2Ax + B B−A 2 B − A2
si B − A2 > 0
53

55. La primitive d’une fonction rationnelle R = P/Q quelconque peut s’ob-
tenir en factorisant son d´nominateur Q,
e
Q(x) = (x − ai )pi (x2 + 2Aj x + Bj )qj ,
i j
(dans un cours d’analyse complexe, on montre que tout polynˆme ` coeffi-
o a
cients r´els admet une telle factorisation) puis en la d´composant en fractions
e e
partielles :
αi xmi βj xuj
R(x) = A(x) + + ,
(x − ai )ni (x2 + 2Aj x + Bj )vj
i j
(A est un polynˆme, identiquement nul si le degr´ du num´rateur P est stric-
o e e
tement plus petit que celui du d´nominateur Q). Une formule de r´duction
e e
peut ensuite s’av´rer n´cessaire.
e e
En vertu du th´or`me du binˆme, on a
e e o
k
xk dx (x − a + a)k dx k k−i
= = a (x − a)i−n dx.
(x − a)n (x − a)n i
i=0
Par suite, si 1 ≤ k ≤ n − 2,
k
xk dx k k−i (x − a)i−n+1
= a pour x = a
(x − a)n i i−n+1
i=0
alors que
n−2
xn−1 dx n − 1 n−1−i (x − a)i−n+1
= a + log(x − a) pour x > a.
(x − a)n i i−n+1
i=0
On a √
dx B − A2 dy
=
(x2 + 2Ax + B)n (B − A2 )n (y 2 + 1)n
en posant
x+A
y=√ .
B − A2
54

56. De plus,
dx (x2 + 1 − x2 ) dx dx x dx
2 + 1)n
= 2 + 1)n
= 2 + 1)n−1
− x 2
(x (x (x (x + 1)n
dx 1 x dx
= 2 + 1)n−1
+ 2 + 1)n−1
− 2 + 1)n−1
(x 2(n − 1) (x (x
c’est-`-dire
a
dx 1 x 2n − 3 dx
= + (13)
(x2 + 1)n 2(n − 1) (x2 + 1)n−1 2n − 2 (x2 + 1)n−1
et, si 1 ≤ k ≤ 2n − 1 :
xk dx x dx
2 + 1)n
= xk−1 2
(x (x + 1)n
1 xk−1 k−1 xk−2 dx
=− + .
2(n − 1) (x2 + 1)n−1 2(n − 1) (x2 + 1)n−1
Exemple.
1
x4 (1 − x)4 dx 22
2+1
= − π. (14)
0 x 7
En effet, en divisant le num´rateur par le d´nominateur, on trouve
e e
x4 (1 − x)4 4
2+1
= x6 − 4x5 + 5x4 − 4x2 + 4 − 2
x x +1
ce qui conduit, par int´gration, ` la relation (14). Cette derni`re entraˆ en
e a e ıne
particulier
1
22 1
0< −π < x4 (1 − x)4 dx =
7 0 630
d’o` l’estimation
u
3, 141 < π < 3, 143.
6.3 Exercices 6
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
55

57. 1. Calculer
tanh x dx.
2. Calculer
arctanh x dx.
3. Montrer que
1 π/2
m! n!
xm (1 − x)n dx = 2 sin2m+1 x cos2n+1 x dx = .
0 0 (m + n + 1)!
4. La probabilit´ d’observer autant de piles que de faces lors de 2n lancers
e
d’une pi`ce de monnaie non-biais´e est
e e
2n 1
pn = .
n 22n
Montrer que
lim pn = 0.
n→+∞
5. Calculer
x3 dx
, x > 1.
(x − 1)4
6. Calculer
x3 dx
.
(x2 + 1)2
7. Calculer
x3 dx
.
(x2 + x + 1)2
1 y2 2y
x 1 y2
Fig. 17 – Une substitution
56

58. 8. Soit 0 < y < 1. On consid`re le triangle rectangle de cˆt´s 1 − y 2 , 2y
e oe
et 1 + y 2 . Montrer que l’angle x oppos´ au cˆt´ 2y vaut 2 arctan y. En
e oe
d´duire que la substitution x = 2 arctan y entraˆ
e ıne
1 − y2 2y
cos x = 2
et sin x = .
1+y 1 + y2
9. Calculer
1 + cos x π
dx , |x| < .
1 + sin x 2
57

59. 7 ´
INTEGRALES IMPROPRES
La d´finition de l’int´grale d’une fonction continue sur un intervalle n’a
e e
plus de sens si ce dernier n’est pas compact.
7.1 G´n´ralisation de l’int´grale
e e e
Soit f : (a, b) → R une fonction continue (−∞ ≤ a < b ≤ +∞). Elle est
donc int´grable sur tout intervalle compact [α, β] enti`rement contenu dans
e e
(a, b). Par d´finition,
e
b β
f (x) dx = lim f (x) dx
a α→a+, β→b− α
si la limite existe (c’est-`-dire si l’int´grale est convergente — elle peut ˆtre
a e e
divergente). On g´n´ralise ainsi la notion d’int´grale (exercice (12) du cha-
e e e
pitre 1) au cas o` l’intervalle d’int´gration ou la fonction ` int´grer (ou les
u e a e
deux) ne sont pas born´s. e
De fa¸on explicite, dans le cas par exemple de l’intervalle (0, +∞), dire
c
que
+∞
f (x) dx = I
0
signifie qu’` chaque
a > 0 correspondent δ > 0 et M > 0 tels que
β
0 < α < δ et β > M impliquent f (x) dx − I <
α
ou, de mani`re ´quivalente, que pour toutes suites {αn }n∈N et {βn }n∈N de
e e
nombres positifs,
βn
lim αn = 0 et lim βn = +∞ impliquent lim f (x) dx = I.
n→+∞ n→+∞ n→+∞ α
n
Exemples.
+∞ β
dx dx
2+1
= lim
0 x β→+∞ 0 x2 +1
β π
= lim arctan x = lim arctan β = ;
β→+∞ 0 β→+∞ 2
+∞ β β
e−x dx = lim e−x dx = lim −e−x = 1 − e−β = 1.
0 β→+∞ 0 β→+∞ 0
58

60. Exemple. Soient 0 < α < β. Puisque
β
dx β
= log x = log β − log α
α x α
et que, si p = 1,
β
dx x−p+1 β β −p+1 α−p+1
= = − ,
α xp −p + 1 α −p + 1 −p + 1
l’int´grale impropre
e
1
dx
0 xp
diverge si p ≥ 1 et
1
dx 1
p
= si p < 1
0 x 1−p
alors que l’int´grale impropre
e
+∞
dx
1 xp
diverge si p ≤ 1 et que
+∞
dx 1
p
= si p > 1.
1 x p−1
Ainsi, l’int´grale
e
+∞
dx
0 xp
est divergente quelque soit p > 0.
Les propri´t´s de lin´arit´, de positivit´ et d’additivit´ (th´or`mes (3),
ee e e e e e e
(4) et (5)) restent valables pour les int´grales impropres. Par exemple, si les
e
int´grales
e
b b
f1 (x) dx et f2 (x) dx
a a
sont convergentes et a1 , a2 ∈ R,
b b
a1 f1 (x) dx + a2 f2 (x) dx
a a
β β
= a1 lim f1 (x) dx + a2 lim f2 (x) dx
α→a+, β→b− α α→a+, β→b− α
β b
= lim (a1 f1 (x) + a2 f2 (x)) dx = (a1 f1 (x) + a2 f2 (x)) dx.
α→a+, β→b− α a
59

61. De mˆme, la formule du changement de variable et celle de l’int´gration
e e
par parties (convenablement adapt´es) (th´or`mes (8) et (9)) sont encore
e e e
vraies (exercice (1) ).
L’´tude de la convergence des int´grales impropres est semblable ` l’´tude
e e a e
de la convergence des s´ries infinies.
e
Lorsque la fonction int´gr´e est positive, il n’y a que deux possibilit´s, `
e e e a
savoir, la divergence vers +∞ :
b
f (x) dx = +∞
a
ou la convergence vers un nombre fini, ce que l’on d´note par
e
b
f (x) dx < +∞.
a
En effet, les nombres
βn
f (x) dx
αn
croissent lorsque αn ↓ a et βn ↑ b (exercice (2)).
En cons´quence, le crit`re de comparaison entre int´grales impropres de
e e e
fonctions positives est applicable. De mˆme, la convergence absolue d’une
e
int´grale impropre entraˆ sa convergence simple (exercice (3)).
e ıne
Exemple.
L’int´grale
e
+∞
sin x2 dx
1
est convergente. En effet,
β β2 β2 β2
sin y − cos y cos y
sin x2 dx = √ dy = √ − dy
1 1 2 y 2 y 1 1 4 y 3/2
de telle sorte que
+∞ +∞
cos 1 cos y
sin x2 dx = − dy
1 2 1 4 y 3/2
(cette derni`re int´grale est absolument convergente). Cet exemple illustre
e e
le fait qu’une int´grale impropre peut converger sans que la fonction int´gr´e
e e e
f (x) ne tende vers 0 lorsque x → +∞ — ` la diff´rence des s´ries.
a e e
60

62. Th´or`me 19 (Test int´gral) Soit f : [1, +∞[→ R une fonction conti-
e e e
+∞
nue, positive et d´croissante. Alors la s´rie +∞ f (k) et l’int´grale 1 f (x) dx
e e k=1 e
convergent ou divergent simultan´ment.
e
D´monstration. Les in´galit´s
e e e
k+1
f (k + 1) ≤ f (x) dx ≤ f (k)
k
entraˆ
ınent les in´galit´s
e e
+∞ +∞ +∞
f (k) ≤ f (x) dx ≤ f (k).
k=2 1 k=1
C.Q.F.D.
f k f x
f k 1
k k 1
Fig. 18 – Comparaison de s´ries et d’int´grales
e e
Exemple.
La s´rie
e
+∞
1
kp
k=1
converge si et seulement si p > 1, par comparaison avec l’int´grale
e
+∞
dx
.
1 xp
On a de plus l’estimation
+∞
1 1 p
≤ p
≤ .
p−1 k p−1
k=1
61

63. 7.2 La fonction gamma
L’int´grale
e
+∞
tx−1 e−t dt
0
converge si et seulement si x > 0. En effet, puisque
lim tx+1 e−t = 0,
t→+∞
on a, pour une constante positive Ax appropri´e, que
e
Ax
tx−1 e−t ≤ pour tout t > 1
t2
de telle sorte que, quel que soit x,
+∞ +∞
dt
tx−1 e−t dt ≤ Ax < +∞.
1 1 t2
D’autre part, lorsque x < 1, l’int´grale est aussi impropre ` 0 et elle y
e a
converge si et seulement si x > 0 puisque
1 1 1
1 dt dt
≤ tx−1 e−t dt ≤ .
e 0 t1−x 0 0 t1−x
La fonction gamma (ou fonction eul´rienne de seconde esp`ce) est la
e e
fonction Γ : ]0, +∞[→ R d´finie par la relation
e
+∞
Γ(x) = tx−1 e−t dt.
0
(La fonction eul´rienne de premi`re esp`ce ou fonction bˆta est une fonction
e e e e
de deux variables
1
B(x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt , x > 0 , y > 0.
0
(exercice (3) du chapitre 6)).
´
Th´or`me 20 (Equation fonctionnelle de la fonction gamma)
e e
Γ(x + 1) = xΓ(x). (15)
62

64. D´monstration. Il suffit d’int´grer par parties :
e e
+∞ +∞ +∞
Γ(x + 1) = tx e−t dt = tx (−e−t ) +x tx−1 e−t dt = xΓ(x).
0 0 0
C.Q.F.D.
La relation (15) jointe au fait que
Γ(1) = 1
montre que la fonction gamma interpole les factoriels :
Γ(n + 1) = n! pour n = 0, 1, 2, 3, . . .
Lue ` l’envers,
a
Γ(x + 1)
Γ(x) = ,
x
elle permet de prolonger la fonction gamma ` R {0, −1, −2, −3, . . .}. Le
a
trac´ du graphe de la fonction gamma est assez complexe et nous allons
e
omettre sa justification dans ce cours (figure (19)).
20
10
-2 2 4 6
-10
-20
Fig. 19 – La fonction gamma
Th´or`me 21 (L’int´grale de Gauss)
e e e
1 √
Γ = π. (16)
2
63

65. D´monstration. La d´monstration de cette formule repose sur la convexit´
e e e
de l’exponentielle. En vertu de l’exercice (13) du chapitre 4, nous avons
ex ≥ 1 + x pour tout x.
D’o`
u
2 2
e−x ≥ 1 − x2 , ex ≥ 1 + x2
c’est-`-dire
a
2 1
1 − x2 ≤ e−x ≤ .
1 + x2
En faisant le changement de variable t = x2 , nous voyons que
+∞ +∞
1 2
Γ = t−1/2 e−t dt = 2 e−x dx.
2 0 0
Or, en utilisant les in´galit´s pr´c´dentes, on a
e e e e
1 1 1
2 dx
(1 − x2 )n dx ≤ e−nx dx ≤
0 0 0 (1 + x2 )n
√
c’est-`-dire (on a pos´ y = x n dans l’int´grale du milieu de la ligne
a e e
pr´c´dente)
e e
√
1 n 1
1 2 dx
2 n
(1 − x ) dx ≤ √ e−y dy ≤ .
0 n 0 0 (1 + x2 )n
Donc, d’une part, en vertu de la relation (11) (et en posant x = cos y dans
l’int´grale de gauche de la ligne pr´c´dente),
e e e
√
n π/2
1 2 2 · 4 · 6 · · · 2n
√ e−y dy ≥ sin2n+1 y dy =
n 0 0 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)
et (´quation (12))
e
+∞ √ √
−y 2 2 · 4 · 6 · · · 2n n π
e dy ≥ lim = .
0 n→+∞ 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1) 2
D’autre part, en vertu de la relation (13),
√
n +∞
1 2 (2n − 3)(2n − 5) · · · 1 dx
√ e−y dy ≤
n 0 (2n − 2)(2n − 4) · · · 2 0 x2+1
64

66. et (´quation (12) encore une fois)
e
+∞ √ √
2 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) n π π
e−y dy ≤ lim = .
0 n→+∞ 2 · 4 · 6 · · · (2n − 2) 2 2
C.Q.F.D.
Remarque.
Dans le calcul des probabilit´s, on rencontre plutˆt l’int´grale de Gauss
e o e
sous la forme ´quivalente
e
+∞
1 2 /2
√ e−t dt = 1.
2π −∞
Th´or`me 22 (La formule de Stirling)
e e
n! √
lim √ n n = 2π.
n→+∞ n( e )
D´monstration. La d´monstration de cette formule repose sur la concavit´
e e e
du logarithme. En vertu de l’exercice (7) du chapitre 4, nous avons d’abord
0 < k < x < k + 1 ⇒ log x ≥ (k + 1 − x) log k + (x − k) log(k + 1)
c’est-`-dire
a
k+1
0 < k < x < k + 1 ⇒ log x ≥ log k + (x − k) log
k
ce qui, par int´gration, entraˆ
e ıne
k+1
1
log x dx ≥ (log(k + 1) + log k).
k 2
En vertu de l’exercice (9) du chapitre 4, nous avons aussi
1
log x ≤ log k + (x − k) ( pour tout x).
k
Nous en d´duisons tout d’abord que la suite de nombres
e
n!
√
n( n )n
e
65

67. est d´croissante. En effet, apr`s simplifications,
e e
n+1
(n + 1)! n! 1
log √ −log √ n n = (log(n+1)+log n)− log x dx ≤ 0.
n + 1( n+1 )n+1
e
n( e ) 2 n
Toute suite d´croissante de nombres positifs ´tant convergente, posons
e e
n!
λ = lim √ .
n→+∞ n( n )n
e
Cette limite est strictement positive :
n n k
x−k
log n! = log k ≥ log x − dx
k−1 k
k=2 k=2
n n k+1
1 1 1 dx
= n log n − n + 1 + ≥ n log n − n + 1 +
2 k 2 k x
k=2 k=2
1
= n log n − n + 1 + (log(n + 1) − log 2)
2
de telle sorte que
n n √ e
n! ≥ n+1√
e 2
√
et λ ≥ e/ 2. Nous avons finalement (´quation (12)),
e
π 2 · 4 · 6 · · · 2n 22n n!2
= lim √ = lim √
2 n→+∞ 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) 2n + 1 n→+∞ (2n!) 2n + 1
2
√ 2n
22n n! 2n 2n
e n λ2 λ
= lim √ √ n n √ = = .
n→+∞ 2n + 1 n( e ) (2n)! 2n 2 2n 2λ 2
C.Q.F.D.
7.3 Exercices 7
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
´
1. Enoncer et d´montrer la formule de changement de variable pour les
e
int´grales impropres.
e
2. Si f : [0, +∞[ est continue et positive, pour montrer que
+∞
f (x) dx = I,
0
66

68. il faut montrer que
βn
lim f (x) dx = I
n→+∞ 0
pour toute suite {βn }n∈N telle que
lim βn = +∞.
n→+∞
Montrer qu’il suffit de consid´rer les suites {βn }n∈N monotones.
e
3. Montrer que la convergence absolue implique la convergence simple,
c’est-`-dire que la convergence de l’int´grale
a e
b
|f (x)| dx
a
entraˆ celle de l’int´grale
ıne e
b
f (x) dx.
a
(Suggestion : on a 0 ≤ |f | − f ≤ 2|f |).
4. Pour quelles valeurs des param`tres p > 0 et q > 0 l’int´grale suivante
e e
est-elle convergente
+∞
dx
√ ?
0
q
1 + xp
5. Montrer qu’une fonction rationnelle R = P/Q est int´grable sur R si
e
et seulement si son d´nominateur Q ne s’annule pas et le degr´ de Q
e e
exc`de le degr´ du num´rateur P par au moins deux.
e e e
6. Montrer que l’int´grale
e
+∞
sin2 x
dx
0 x2
est convergente.
7. Montrer que l’int´grale
e
+∞
sin x
dx
0 x
est convergente. (Suggestion : int´grer par parties.)
e
67

69. 8. Montrer que l’int´grale
e
+∞
sin x
dx
0 x
est divergente.
9. Calculer
+∞
e−px cos x dx
0
(p > 0). (Suggestion : int´grer par parties.)
e
10. D´terminer les valeurs du param`tre p > 0 pour lesquelles la s´rie
e e e
+∞
1
k p log k
k=2
est convergente.
11. Calculer Γ(n + 1 ).
2
12. Calculer
+∞
2 /2σ 2
xk e−(x−µ) dx
−∞
pour k = 0, 1, 2 (σ > 0).
68

70. 8 ´
SUITES ET SERIES DE FONCTIONS
Si des fonction fn convergent vers une fonction limite f lorsque n → +∞,
des propri´t´s telles que la continuit´, la d´rivabilit´ ou l’int´grabilit´ ne sont
ee e e e e e
pas n´cessairement pr´serv´es.
e e e
8.1 La convergence uniforme
On peut consid´rer une suite de fonctions fn : (a, b) → R comme une
e
famille de suites num´riques d´pendant d’un param`tre x ∈ (a, b) ou comme
e e e
une suite de courbes index´es par un indice n ∈ N. Le premier point de vue
e
conduit naturellement ` la notion de convergence simple (ou ponctuelle), le
a
second conduit ` celle de convergence uniforme.
a
Les fonctions fn : (a, b) → R convergent simplement (ou ponctuelle-
ment) vers la fonction f : (a, b) → R sur l’intervalle (a, b) si, pour chaque
x ∈ (a, b), la suite num´rique {fn (x)}n∈N converge vers le nombre f (x),
e
c’est-`-dire si ` chaque x ∈ (a, b) et ` chaque > 0 correspond un indice
a a a
N ∈ N tel que
n ≥ N implique |fn (x) − f (x)| < .
Exemple.
Les fonctions
1 − nx
fn (x) =
1 + nx
convergent simplement sur l’intervalle [0, 1] vers la fonction
1 si x = 0,
f (x) =
−1 sinon.
Dans cet exemple, bien que les fonctions fn soient continues, la fonction
limite f ne l’est pas.
L’indice N de la d´finition pr´c´dente d´pend de x et de ,
e e e e
N = N (x, ).
Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du nombre x ∈ (a, b),
e e
N = N ( ),
69

71. on dit que les fonctions fn : (a, b) → R convergent uniform´ment sur
e
(a, b) vers la fonction limite f : (a, b) → R. En d’autres mots, les fonc-
tions fn : (a, b) → R convergent uniform´ment sur (a, b) vers la fonction
e
f : (a, b) → R si ` chaque > 0 correspond un indice N ∈ N tel que
a
n ≥ N implique |fn (x) − f (x)| < pour tout x ∈ (a, b).
Exemple.
Les fonctions
sin nx
fn (x) =
n
convergent uniform´ment sur R vers la fonction f = 0 puisque
e
1
|fn (x) − f (x)| ≤ pour tout x ∈ R.
n
Exemple.
Les fonctions
1 − nx
fn (x) =
1 + nx
ne convergent pas uniform´ment sur [0, 1] vers leur limite f puisque
e
1 1
fn −f = 1 pour tout n ∈ N.
n n
Aucun indice N ne peut correspondre ` = 1. Cette absence d’uniformit´
a e
dans la convergence est responsable de la discontinuit´ de la fonction limite.
e
Th´or`me 23 (Continuit´ d’une fonction limite) Soient fn : (a, b) → R
e e e
des fonctions continues qui convergent uniform´ment sur (a, b) vers une
e
fonction f : (a, b) → R. Alors f est continue sur (a, b).
D´monstration. Soit x0 ∈ (a, b) un point arbitraire. Montrons que f est
e
continue en x0 . Soit > 0. La convergence uniforme entraˆ l’existence
ıne
d’un indice N ∈ N tel que
n ≥ N implique |fn (x) − f (x)| < pour tout x ∈ (a, b).
3
La continuit´ de la fonction fN en x0 entraˆ d’autre part l’existence d’un
e ıne
nombre δ > 0 tel que
|x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |fN (x) − fN (x0 )| < .
3
70

72. Donc, si |x − x0 | < δ et x ∈ (a, b), on aura
|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN (x0 ) − f (x0 )| < .
C.Q.F.D.
Th´or`me 24 (Int´gration d’une fonction limite) Soient fn : [a, b] → R
e e e
des fonctions continues sur un intervalle compact [a, b] qui convergent uni-
form´ment sur [a, b] vers une fonction f : [a, b] → R. Alors
e
b b
f (x) dx = lim fn (x) dx.
a n→+∞ a
D´monstration. On a
e
b b b
f (x) dx − fn (x) dx ≤ |f (x) − fn (x)| dx.
a a a
Donn´ > 0, soit N ∈ N tel que
e
n ≥ N implique |f (x) − fn (x)| < pour tout x ∈ [a, b].
b−a
Alors
b b
n ≥ N implique f (x) dx − fn (x) dx < .
a a
C.Q.F.D.
Remarque.
Le th´or`me pr´c´dent n’est pas vrai si l’intervalle d’int´gration n’est
e e e e e
pas compact (exercice (5)).
Th´or`me 25 (Crit`re de Cauchy) Les fonctions fn : (a, b) → R convergent
e e e
uniform´ment sur (a, b) vers une fonction f : (a, b) → R si et seulement si
e
elles satisfont la condition suivante : ` chaque > 0 correspond un indice
a
N ∈ N tel que :
m, n ≥ N implique |fm (x) − fn (x)| < pour tout x ∈ (a, b).
D´monstration.
e
La condition est n´cessaire. Si les fonctions fn convergent uniform´ment
e e
vers la fonction f sur (a, b), il existe N ∈ N tel que
n ≥ N implique |fn (x) − f (x)| < pour tout x ∈ (a, b).
2
71

73. Alors, si m, n ≥ N , on aura
|fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < pour tout x ∈ (a, b).
La condition est suffisante. Si elle est satisfaite, en vertu du crit`re de Cauchy
e
pour les suites num´riques, pour chaque x ∈ (a, b),
e
lim fn (x) existe,
n→+∞
d´finissant ainsi une fonction f : (a, b) → R vers laquelle les fonction de la
e
suite convergent :
f (x) = lim fn (x).
n→+∞
Cette convergence est uniforme. En effet, donn´
e > 0, il existe N ∈ N tel
que l’on ait
|fm (x) − f (x)| = lim |fm (x) − fn (x)| < pour tout x ∈ (a, b)
n→+∞
d`s que m ≥ N . C.Q.F.D.
e
Th´or`me 26 (Crit`re de Weierstrass) Soient fk : (a, b) → R des fonc-
e e e
tions. La s´rie
e
+∞
fk (x)
k=0
converge uniform´ment sur (a, b) pourvu qu’il existe une s´rie num´rique
e e e
convergente
+∞
Mk < +∞,
k=0
telle que
|fk (x)| ≤ Mk pour tout x ∈ (a, b).
D´monstration. Posons
e
n n
Sn (x) = fk (x), Sn = Mk .
k=0 k=0
On a
|Sn (x) − Sm (x)| ≤ |Sn − Sm |
et le r´sultat suit du crit`re de Cauchy. C.Q.F.D.
e e
72

74. En vertu du th´or`me (24), une s´rie uniform´ment convergente de fonc-
e e e e
tions continues sur un intervalle compact peut y ˆtre int´gr´e terme ` terme :
e e e a
b +∞ b n
fk (x) dx = lim fk (x) dx
a k=0 n→+∞ a
k=0
n b +∞ b
= lim fk (x) dx = fk (x) dx.
n→+∞ a a
k=0 k=0
Exemple.
En vertu du crit`re de Weierstrass, la s´rie
e e
+∞
sin kx
k2
k=1
est uniform´ment convergente sur R et
e
π +∞ +∞
sin kx 2
dx = .
0 k2 (2j + 1)3
k=1 k=0
Dans le cas de fonctions continues sur un intervalle compact, les d´finitions
e
et les th´or`mes pr´c´dents peuvent s’´noncer ´l´gamment ` l’aide de la no-
e e e e e ee a
tion de norme, qui joue pour les fonctions un rˆle analogue ` celui que joue
o a
la notion de valeur absolue pour les nombres. La norme f d’une fonction
continue sur un intervalle compact f : [a, b] → R est d´finie par la relation
e
f = sup{|f (x)| | x ∈ [a, b]}.
On peut reformuler les ´nonc´s pr´c´dents ` l’aide de cette notion. Les
e e e e a
fonctions fn convergent uniform´ment vers la fonction f si et seulement si
e
lim fn − f = 0.
n→+∞
Le crit`re de Cauchy affirme qu’une condition n´cessaire et suffisante pour
e e
que les fonctions fn admettent une limite uniforme est que
lim fm − fn = 0
m, n→+∞
et le crit`re de Weierstrass dit que la condition
e
+∞
fk < +∞
k=0
73

75. est suffisante pour assurer la convergence uniforme de la s´rie
e
+∞
fk (x).
k=0
Remarque.
Lorsqu’une s´rie de fonctions converge en vertu du crit`re de Weierstrass,
e e
on dit qu’elle converge normalement.
8.2 L’approximation des fonction continues
Les polynˆmes sont les plus ´l´mentaires des fonctions continues. Ils
o ee
peuvent aussi servir ` approximer toutes les autres.
a
Th´or`me 27 (Weierstrass) Soit f : [a, b] → R une fonction continue.
e e
Alors il existe une suite de polynˆmes {Pn }n∈N qui convergent uniform´ment
o e
vers f sur [a, b].
D´monstration.
e
On peut supposer que [a, b] = [0, 1] et que f (0) = f (1) = 0 (en sous-
trayant si n´cessaire un polynˆme de degr´ un de f ). Prolongeons la fonc-
e o e
tion f en posant f (x) = 0 si x ∈ [0, 1]. Nous obtenons ainsi une fonction
/
f : R → R uniform´ment continue.
e
2
1.5
1
0.5
-1 -0.5 0.5 1
Fig. 20 – Quelques fonctions Qn (x)
Consid´rons le polynˆme (de degr´ 2n)
e o e
Qn (x) = cn (1 − x2 )n
74

76. o` le nombre cn est d´fini par
u e
1
Qn (x) dx = 1.
−1
(figure(20)). Observons que quelque soit δ > 0, on a
0 ≤ Qn (x) ≤ cn (1 − δ 2 )n si δ ≤ |x| ≤ 1.
De plus, en vertu de la convexit´ de la fonction u → (1 − u)n , on a
e
√ √
1/ n 1/ n
1 4
≥2 Qn (x) dx ≥ 2 (1 − nx2 ) dx = √ ,
cn 0 0 3 n
c’est-`-dire que
a √
cn < n.
Introduisons maintenant le polynˆme (de degr´ 2n)
o e
1
Pn (x) = f (s)Qn (x − s) ds.
0
Lorsque 0 ≤ x ≤ 1 et puisque f est nulle ` l’ext´rieur de l’intervalle [0, 1],
a e
x 1
Pn (x) = f (x − t)Qn (t) dt = f (x − t)Qn (t) dt.
x−1 −1
Lorsque 0 ≤ x ≤ 1 et quelque soit δ > 0, on a donc
1 1
|Pn (x) − f (x)| = (f (x − t) − f (x))Qn (t) dt ≤ |f (x − t) − f (x)|Qn (t) dt
−1 −1
= |f (x − t) − f (x)|Qn (t) dt + |f (x − t) − f (x)|Qn (t) dt.
|t|<δ δ≤|t|≤1
Un nombre > 0 ´tant donn´, choisissons, en vertu de la continuit´ uniforme
e e e
de la fonction f , un nombre δ = δ( ) > 0 tel que
|f (x − t) − f (x)|Qn (t) dt < Qn (t) dt < .
|t|<δ 2 |t|<δ 2
On a alors
√
|Pn (x) − f (x)| < + 2 f 2 cn (1 − δ 2 )n < +4 f n (1 − δ 2 )n .
2 2
75

77. En utilisant le fait que
√
lim n (1 − δ 2 )n = 0,
n→+∞
nous pouvons choisir un entier n tel que
n≥n implique |Pn (x) − f (x)| < + =
2 2
pour tout x ∈ [0, 1]. C.Q.F.D.
Remarque.
Le polynˆme Pn du th´or`me pr´c´dent est la convolution de la fonction
o e e e e
donn´e f avec le « noyau » Qn sur l’intervalle [−1, 1]. La repr´sentation
e e
1
Pn (x) = f (s)Qn (x − s) ds
−1
montre qu’il est, comme le noyau, un polynˆme alors que la repr´sentation
o e
1
Pn (x) = f (x − t)Qn (t) dt
−1
montre qu’il constitue une moyenne pond´r´e des valeurs de la fonction f
ee
sur l’intervalle, un poids plus grand ´tant accord´ aux valeurs pr`s de x,
e e e
d’o` la convergence vers f (x).
u
8.3 Les s´ries enti`res
e e
Les s´ries de fonctions les plus simples sont les s´ries enti`res (ou s´ries
e e e e
de puissances), qui sont des s´ries de la forme
e
+∞
ak xk
k=0
— les coefficients ak sont donn´s. La plus simple des s´ries enti`res est
e e e
la s´rie g´om´trique, pour laquelle ces coefficients sont tous ´gaux ` 1.
e e e e a
Puisque, si x = 1,
n
1 − xn+1
xk =
1−x
k=0
76

78. (comme il est ais´ de le v´rifier en multipliant les deux membres de l’´quation
e e e
par 1−x), la s´rie g´om´trique de raison x converge si et seulement si |x| < 1
e e e
auquel cas
+∞
1
xk = , |x| < 1.
1−x
k=0
Dans le cas g´n´ral, les coefficients ak d´terminent les valeurs de x pour
e e e
lesquelles la s´rie enti`re converge, via la notion de rayon de convergence. Et
e e
le calcul de ce rayon de convergence se fait au moyen d’une limite sup´rieure.
e
Soit {uk }k∈N une suite born´e. La suite
e
Mn = sup{uk | k ≥ n}
est d´croissante et born´e, donc elle est convergente. Sa limite est la limite
e e
sup´rieure de la suite {uk }k∈N :
e
lim sup uk = lim sup{uk | k ≥ n}.
k n→+∞
De mˆme, la suite
e
mn = inf{uk | k ≥ n}
est croissante et born´e, donc convergente. Sa limite est la limite inf´rieure
e e
de la suite {uk }k∈N :
lim inf uk = lim inf{uk | k ≥ n}.
k n→+∞
Si la suite n’est pas born´e sup´rieurement, on convient de poser
e e
lim sup uk = +∞
k
et si elle n’est pas born´e inf´rieurement, on pose
e e
lim inf uk = −∞.
k
Ainsi, pour toute suite {uk }k∈N , on a
−∞ ≤ lim inf uk ≤ lim inf uk ≤ +∞.
k k
Exemple.
77

79. On a
(−1)k k (−1)k k
lim sup = 1 , lim inf = −1
k k+1 k k+1
puisque Mn = 1 et mn = −1 pour tout n ∈ N.
Un nombre u est une valeur adh´rente (ou un point d’accumulation)
e
de la suite {uk }k∈N s’il existe une suite partielle qui converge vers u :
u = lim ukj .
j→+∞
En convenant que +∞ est une valeur adh´rente d’une suite qui n’est pas
e
born´e sup´rieurement et que −∞ est une valeur adh´rente d’une suite qui
e e e
n’est pas born´e inf´rieurement, toute suite admet au moins une valeur
e e
adh´rente.
e
Exemple.
La suite
p
uk = sin k π o` p, q ∈ N,
u
q
ne contient qu’un nombre fini de valeurs distinctes, ceux des nombres
p p p p
sin π, sin 2 π, . . . , sin(2q − 1) π, sin 2q π
q q q q
qui sont distincts. Ces valeurs sont toutes des valeurs adh´rentes. La plus
e
grande de ces valeurs est la limite sup´rieure de la suite, la plus petite, sa
e
limite inf´rieure.
e
Th´or`me 28 La limite sup´rieure d’une suite {uk }k∈N est ´gale ` sa plus
e e e e a
grande valeur adh´rente et sa limite inf´rieure, ` la plus petite.
e e a
D´monstration. Si les valeurs adh´rentes sont en nombre infini, leur borne
e e
sup´rieure est encore une valeur adh´rente (exercice (15)), c’est elle la plus
e e
la plus grande dans ce cas.
La suite n’est pas born´e sup´rieurement si et seulement si sa limite
e e
sup´rieure est +∞ mais aussi si et seulement si +∞ en est une valeur
e
adh´rente.
e
Si la suite est born´e sup´rieurement, soit α sa plus grande valeur adh´rente.
e e e
Soit > 0 arbitraire. Puisque l’on a uk < α + pour tout k assez grand, on
a aussi
lim sup uk ≤ α.
k
78

80. R´ciproquement, puisque sup{uk | k ≥ n} < lim supk uk +
e pour tout n
assez grand, on a aussi
α ≤ lim sup uk .
k
La d´monstration pour la limite inf´rieure est semblable. C.Q.F.D.
e e
Th´or`me 29 (Formule de Cauchy pour le rayon de convergence)
e e
Donn´e une s´rie enti`re,
e e e
+∞
ak xk ,
k=0
soit
1
R=
lim supk |ak |1/k
donc 0 ≤ R ≤ +∞. Alors la s´rie converge sur l’intervalle ] − R, R[, de
e
fa¸on uniforme sur tout sous-intervalle compact [−r, +r] et elle diverge si
c
|x| > R.
D´monstration. Si R = 0, la s´rie diverge pour tout x = 0. En effet, quel
e e
que soit x = 0, il y a un nombre infini d’indices k pour lesquels
1
|ak |1/k >
|x|
et la s´rie
e
+∞
ak xk
k=0
ne peut converger puisque que son terme g´n´ral ne tend pas vers 0.
e e
Si 0 < R < +∞, soient 0 < r < R arbitraire et |x| ≤ r. Pour tout k
suffisamment grand, on a
2
|ak |1/k <
R+r
donc
k
2r
|ak xk | <
R+r
et la s´rie, ´ventuellement major´e par une s´rie g´om´trique de raison
e e e e e e
inf´rieure ` 1, est uniform´ment convergente en vertu du crit`re de Weiers-
e a e e
trass. Si |x| > R par contre, il y a un nombre infini d’indices k pour lesquels
1
|ak |1/k >
|x|
79

81. et la s´rie diverge pour la mˆme raison que pr´c´demment.
e e e e
Si R = +∞ enfin, le raisonnement sur la convergence du paragraphe
pr´c´dent s’applique quelques soient les nombres R > r > 0 et la s´rie
e e e
converge pour tout x ∈ R. C.Q.F.D.
Remarque.
On ne peut rien conclure aux extr´mit´s de l’intervalle de convergence,
e e
les points o` |x| = R, comme le montre l’exemple des s´ries
u e
+∞ +∞ +∞
1 k 1 k
xk , x , et x
k k2
k=1 k=1 k=1
qui ont toutes 1 pour rayon de convergence et qui convergent exactement
sur les intervalles ] − 1, 1[, [−1, 1[ et [−1, 1] respectivement.
Exemple.
La s´rie exponentielle
e
+∞
1 k
x
k!
k=0
converge pour tout x ∈ R. En effet,
1/k 1/k
1 1
lim sup = lim =0
k k! k→+∞ k!
puisque, en vertu de la formule de Stirling, on a
1/k
1 e
lim = lim .
k→+∞ k! k→+∞ k (2πk)1/2k
Th´or`me 30 (D´rivation terme ` terme d’une s´rie enti`re) Soient
e e e a e e
R le rayon de convergence de la s´rie enti`re
e e
+∞
ak xk
k=0
et f : (−R, R) → R sa somme :
+∞
f (x) = ak xk .
k=0
80

82. Alors la fonction f est d´rivable sur l’intervalle ouvert ] − R, R[ et
e
+∞
f (x) = kak xk−1 , |x| < R.
k=1
+∞ k−1
D´monstration. Le rayon de convergence de la s´rie
e e k=1 kak x est encore
´gal ` R. Posons
e a
+∞
g(x) = kak xk−1 , |x| < R.
k=1
L’int´gration terme ` terme ´tant permise, on a que
e a e
x
g(t) dt = f (x) − a0
0
et le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) montre que
e e e e
g(x) = f (x).
C.Q.F.D.
Remarque.
En r´p´tant ce raisonnement, on voit que la somme d’une s´rie enti`re
e e e e
est une fonction ind´finiment d´rivable et que
e e
1 (k)
ak = f (0)
k!
(formule de Taylor pour les coefficients d’une s´rie enti`re).
e e
8.4 Exercices 8
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. D´terminer
e
1 + nx
lim , x ∈ R.
n→+∞ 1 + nx2
La convergence est-elle uniforme ?
2. D´terminer
e
x
lim log 1 + , x > −1.
n→+∞ n
La convergence est-elle uniforme ?
3. D´terminer
e
lim xe−nx , x ≥ 0.
n→+∞
La convergence est-elle uniforme ?
81

83. 4. Montrer par un exemple appropri´ que la convergence uniforme de
e
fonctions d´rivables fn vers une fonction d´rivable f n’entraˆ pas
e e ıne
n´cessairement la convergence des d´riv´es fn vers la d´riv´e f .
e e e e e
5. Montrer par un exemple appropri´ que le th´or`me (24) n’est pas
e e e
n´cessairement vrai si l’intervalle d’int´gration n’est pas compact.
e e
6. Montrer que la s´rie
e
+∞
ke−kx cos kx
k=1
converge uniform´ment sur tout intervalle [a, +∞[ (a > 0) .
e
7. Montrer que la s´rie
e
+∞
sin kx
k 2 + x2
k=1
converge uniform´ment sur R.
e
8. Montrer que la s´rie
e
+∞
x
sin
k2
k=1
converge uniform´ment sur tout intervalle [−M, M ].
e
9. Soient f, g : [0, 1] → R des fonctions continues. Montrer que
f +g ≤ f + g
et que
fg ≤ f g .
Ces in´galit´s peuvent-elles ˆtre strictes ?
e e e
10. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que
1
xn f (x) dx = 0 pour tout n ∈ N0 .
0
Montrer qu’elle est identiquement nulle.
11. D´terminer la limite sup´rieure et la limite inf´rieure de la suite
e e e
k
cos kπ
1+ .
k
82

84. 12. D´terminer les valeurs adh´rentes, la limite sup´rieure et la limite
e e e
inf´rieure de la suite
e
k cos k π
2
.
k+1
13. D´terminer les valeurs adh´rentes, la limite sup´rieure et la limite
e e e
inf´rieure de la suite
e
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1
, , , , , , , , , , ,...
2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
14. Montrer, si elles sont vraies, les in´galit´s suivantes
e e
lim sup(uk + vk ) ≤ lim sup uk + lim sup vk
k k k
et
lim sup uk vk ≤ lim sup uk lim sup vk .
k k k
Ces in´galit´s peuvent-elles ˆtres strictes ? Restent-elles vraies si on y
e e e
remplace lim supk par lim inf k ?
15. Montrer que si une suite admet un nombre infini de valeurs adh´rentes,
e
leur borne sup´rieure est encore une valeur adh´rente de la suite.
e e
16. Soit {ak }k∈N une suite de nombres strictement positifs pour lesquels
la limite
ak+1
lim
k→+∞ ak
existe. Montrer qu’alors
lim (ak )1/k
k→+∞
existe aussi et que ces deux limites sont ´gales. Donner un exemple o`
e u
la seconde limite existe mais pas la premi`re. (formule de d’Alembert
e
pour le rayon de convergence).
17. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles la s´rie
e e
+∞
k 2 xk
k=1
converge et calculer sa somme.
18. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles la s´rie
e e
+∞
xk+1
k+1
k=0
converge et calculer sa somme.
83

85. 9 ´
SERIES DE TAYLOR
Les puissances enti`res de la variable peuvent servir ` repr´senter toutes
e a e
les fonctions de l’analyse.
9.1 D´veloppements limit´s
e e
Le calcul diff´rentiel repose sur l’observation que, localement, « toute »
e
fonction est presque lin´aire. Soit f une fonction d´rivable dans un intervalle
e e
ouvert I contenant le point x0 . Alors,
f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) lorsque x ≈ x0 .
En effet, la d´finition de f (x0 ) peut se mettre sous la forme
e
f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + r1 (x) , x ∈ I
o`
u
r1 (x)
lim = 0.
x − x0
x→x0
Cette approximation locale peut ˆtre raffin´e lorsque la fonction admet des
e e
d´riv´es suppl´mentaires.
e e e
Th´or`me 31 (Taylor) Soit f une fonction n+1 fois continˆment d´rivable
e e u e
dans un intervalle I contenant un intervalle ouvert contenant le point x0 (dans
un voisinage I de x0 ). Alors
n
f (k) (x0 )
f (x) = (x − x0 )k + rn (x) , x ∈ I (17)
k!
k=0
o`
u
rn (x)
lim = 0.
x→x0 (x − x0 )n
Le reste rn peut s’exprimer sous forme int´grale :
e
x
1
rn (x) = (x − t)n f (n+1) (t) dt
n! x0
ou sous forme diff´rentielle :
e
f (n+1) (ξ)
rn (x) = (x − x0 )n+1
(n + 1)!
o` ξ est un point entre x et x0 .
u
84

86. D´monstration.
e
Premi`re d´monstration. En ´crivant le reste sous forme int´grale, on
e e e e
voit que la relation ` d´montrer se r´duit au th´or`me fondamental du calcul
a e e e e
(th´or`me (7)) lorsque n = 0. D’o` le raisonnement suivant. En int´grant n
e e u e
fois par parties :
x
f (x) = f (x0 ) + f (t) dt
x0
x x
= f (x0 ) + −(x − t)f (t) + (x − t)f (t) dt
x0 x0
1 x 1 x
= f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + − (x − t)2 f (t) + (x − t)2 f (t) dt
2 x0 2 x0
1
= f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )(x − x0 )2
2
1 x 1 x
+ − (x − t)3 f (t) + (x − t)3 f (iv) (t) dt
3! x0 3! x0
= ···
n x
f (k) (x0 ) 1
= (x − x0 )k + (x − t)n f (n+1) (t) dt.
k! n! x0
k=0
Seconde d´monstration. En ´crivant le reste sous forme diff´rentielle, on
e e e
voit que la relation ` d´montrer se r´duit au th´or`me des accroissements
a e e e e
finis lorsque n = 0. D’o` le raisonnement suivant. Introduisons la fonction
u
auxiliaire
n
f (k) (x0 )
g(t) = f (t) − (t − x0 )k − C(t − x0 )n+1
k!
k=0
o`
u
n f (k) (x0 )
f (x) − k=0 k! (x − x0 )k
C= n+1
(x − x0 )
(x et x0 sont fix´s, par exemple, x > x0 ). Cette fonction g est n + 1 fois
e
continˆment d´rivable dans l’intervalle I et
u e
g(x0 ) = g (x0 ) = g (x0 ) = · · · = g (n) (x0 ) = 0,
g (n+1) (t) = f (n+1) (t) − (n + 1)!C.
Puisque g(x0 ) = g(x) = 0, il existe x1 ∈]x0 , x[ tel que g (x1 ) = 0. Mais
alors g (x0 ) = g (x1 ) = 0. Donc il existe x2 ∈]x0 , x1 [ tel que g (x2 ) = 0. En
85

87. r´p´tant ce raisonnement n fois, on voit qu’il existe xn ∈]x0 , xn−1 [ tel que
e e
g (n) (xn ) = 0. Alors, toujours en vertu du th´or`me des accroissements finis,
e e
il existe ξ ∈]x0 , xn [ tel que
g (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − (n + 1)!C = 0
c’est-`-dire
a
n f (k) (x0 )
f (x) − k=0 k! (x − x0 )k f (n+1) (ξ)
n+1
= .
(x − x0 ) (n + 1)!
C.Q.F.D.
Le th´or`me pr´c´dent admet une sorte de r´ciproque. Si f est une fonc-
e e e e e
tion n + 1 fois continˆment d´rivable dans un voisinage I de x0 telle que
u e
n
f (x) = ak (x − x0 )k + rn (x) , x ∈ I
k=0
avec
rn (x)
lim = 0,
x→x0 (x − x0 )n
alors, n´cessairement,
e
f (k) (x0 )
ak = pour 0 ≤ k ≤ n.
k!
On a en effet que rn (x) est n + 1 fois continˆment d´rivable et satisfait les
u e
relations
f (k) (x0 ) = k! ak + rn (x0 )
(k)
(k)
et il suffit de v´rifier que rn (x0 ) = 0 pour 0 ≤ k ≤ n. Par r´currence sur k.
e e
On a
0 = lim rn (x) = r(x0 ).
x→x0
(k)
Supposant ensuite que rn (x0 ) = rn (x0 ) = · · · = rn (x0 ) = 0, on a en
appliquant plusieurs fois la r`gle de l’Hospital :
e
rn (x) rn (x)
0 = lim = lim
x→x0(x − x0 )k+1 x→x0 (k + 1)(x − x0 )k
rn (x)
= lim = ···
x→x0 (k + 1)k(x − x0 )k−1
(k)
rn (x) r(k+1) (x0 )
= lim = .
x→x0 (k + 1)k · · · 2(x − x0 ) (k + 1)!
86

88. Les d´veloppements limit´s des fonctions suivantes s’obtiennent directe-
e e
ment du th´or`me pr´c´dent.
e e e e
n
x 1 k eξ
e = x + xn+1 , x ∈ R, (18)
k! (n + 1)!
k=0
n
(−1)k 2k (−1)n+1 cos ξ 2n+2
cos x = x + x , x ∈ R,
(2k)! (2n + 2)!
k=0
n
(−1)k (−1)n+1 cos ξ 2n+3
sin x = x2k+1 + x , x ∈ R,
(2k + 1)! (2n + 3)!
k=0
n
p(p − 1) · · · (p − k + 1) k
(1 + x)p = 1 + x + rn (x) , x > −1, (19)
k!
k=1
(le binˆme de Newton) o`
o u
x
p(p − 1) · · · (p − n)
rn (x) = (x − t)n (1 + t)p−n−1 dt,
n! 0
n
(−1)k−1 k (−1)n
log(1 + x) = x + xn+1 , x > −1.
k (n + 1)(1 + ξ)n+1
k=1
En int´grant l’identit´
e e
n
1 (−1)n+1 t2(n+1)
= (−1)k t2k + ,
1 + t2 1 + t2
k=0
on obtient
n
(−1)k 2k+1
arctan x = x + r2n+2 (x) , x ∈ R
2k + 1
k=0
o`
u
x 2(n+1)
t
r2n+2 (x) = (−1)n+1 dt.
1 + t2 0
Il s’agit bien l` du d´veloppement limit´ de Taylor puisque l’on a
a e e
x 2(n+1) |x|
1 t 1 |x|
(−1)n+1 dt ≤ t2(n+1) dt = .
x2n+2 0 1+ t2 |x|2n+2 0 2n + 3
Exemples.
87

89. – En laissant n tendre vers +∞ dans la relation
n
(−1)k−1 (−1)n
log 2 = +
k (n + 1)(1 + ξ)n+1
k=1
(o` 0 < ξ < 1), on trouve
u
1 1 1
1− + − + · · · = log 2.
2 3 4
– En laissant n tendre vers +∞ dans la relation
n 1 2(n+1)
(−1)k t
arctan 1 = + (−1)n+1 dt,
2k + 1 0 1 + t2
k=1
on trouve
1 1 1 π
1− + − + ··· = .
3 5 7 4
9.1.1 Notations de Landau
Il est commode d’´crire avec Landau que
e
φ(x) = ◦(ψ(x)) , x → x0
(lire : φ est n´gligeable devant ψ lorsque x tend vers x0 ) si
e
φ(x)
lim = 0,
x→x0 ψ(x)
d’´crire
e
φ(x) = (ψ(x)) , x → x0
(lire : φ est comparable ` ψ lorsque x tend vers x0 ) si l’expression
a
φ(x)
ψ(x)
reste born´e lorsque x tend vers x0 et enfin
e
φ(x) ∼ ψ(x) , x → x0
(lire : φ est ´quivalente ` ψ lorsque x tend vers x0 ) si
e a
φ(x)
lim = 1.
x→x0 ψ(x)
Ici, −∞ ≤ x0 ≤ +∞. Ces notations s’emploient aussi pour les suites (avec
x0 = +∞).
Exemples.
88

90. –
x2 = ◦(x) , x → 0;
–
sin x = (1) , x → 0;
–
sin x ∼ x , x → 0;
–
n n√
n! ∼ 2πn , n → +∞.
e
Avec ces notations, un d´veloppement limit´ s’´crit
e e e
n
f (k) (x0 )
f (x) = (x − x0 )k + ◦(x − x0 )n , x → x0 .
k!
k=0
Exemple.
On a
x2
cos x = 1 − + ◦(x3 )
2
et
x3
sin x = x − + ◦(x4 )
6
de telle sorte que
x3 x3 x5 x3
cos x sin x = x − + x ◦ (x3 ) − + − ◦ (x3 )
2 6 12 6
x2 2 x3
+ ◦ (x4 ) − ◦(x4 ) + ◦(x4 ) ◦ (x3 ) = x − + ◦(x4 ).
2 3
9.2 S´ries infinies
e
Si la fonction f est ind´finiment d´rivable et si le reste rn dans son
e e
d´veloppement limit´ au point x0 tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, on
e e
peut la repr´senter comme la somme d’une s´rie de puissances enti`res de
e e e
x − x0 .
Th´or`me 32 Les fonctions analytiques usuelles admettent les repr´sentations
e e e
suivante :
89

91. 1.
+∞
x 1 k
e = x , x∈R
k!
k=0
2.
+∞
(−1)k 2k
cos x = x , x∈R
(2k)!
k=0
3.
+∞
(−1)k
sin x = x2k+1 , x ∈ R
(2k + 1)!
k=0
4.
+∞
p(p − 1) · · · (p − k + 1) k
(1 + x)p = 1 + x , |x| < 1
k!
k=1
5.
+∞
(−1)k−1 k
log(1 + x) = x , |x| < 1
k
k=1
6.
+∞
(−1)k 2k+1
arctan x = x , |x| < 1
2k + 1
k=0
7.
+∞
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) x2k+1
arcsin x = x + , |x| < 1.
2 · 4 · 6 · · · 2k 2k + 1
k=1
D´monstration. Il s’agit de voir que le reste rn (x) dans le d´veloppement
e e
limit´ de la fonction tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ pour x dans l’in-
e
tervalle indiqu´.
e
Consid´rons d’abord la fonction exponentielle. Donn´ x ∈ R, choisis-
e e
sons un indice N > 2|x| et consid´rons rn lorsque n > N . Nous utilisons
e
l’´quation (18) :
e
eξ |x|n+1
xn+1 ≤ e|x| = ΠN Πn
(n + 1)! (n + 1)!
o`
u
|x|N
ΠN = e|x|
N!
90

92. est fix´ et
e
|x|n+1−N 1
Πn = < n+1−N
(N + 1)(N + 2) · · · (n + 1) 2
tend vers 0 avec 1/n.
Les fonctions cosinus et sinus se traitent de la mˆme fa¸on.
e c
Pour le binˆme de Newton, donn´ x ∈] − 1, 1[, soit N un indice tel que
o e
2|p||x|
N>
1 − |x|
et consid´rons rn pour n > N . Nous utilisons la relation (19) :
e
p(p − 1) · · · (p − n) x
(x − t)n (1 + t)p−n−1 dt
n! 0
(p − 1) · · · (p − n) x
x−t n
= p(1 + t)p−1 dt
n! 0 1+t
(p − 1) · · · (p − n)
≤ |x|n |(1 + x)p − 1|
n!
(pour v´rifier le d´tail de ce calcul, distinguer suivant que x est positif ou
e e
n´gatif) de telle sorte que
e
p(p − 1) · · · (p − n) x
(x − t)n (1 + t)p−n−1 dt
n! 0
(p − 1) · · · (p − N ) (p − N − 1) · · · (p − n)
≤ |x|N |(1 + x)p − 1| |x|n−N = ΠN Πn
N! (N + 1) · · · n
o`
u
(p − 1) · · · (p − N )
ΠN = |x|N |(1 + x)p − 1|
N!
est fix´ et
e
(p − N − 1)(p − N − 2) · · · (p − n)
Πn = |x|n−N
(N + 1)(N + 2) · · · n
|p| |p| |p|
≤ 1+ 1+ ··· 1 + |x|n−N
N +1 N +2 n
n−N n−N
|p| 1 + |x|
≤ 1+ |x| ≤
N +1 2
91

93. tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Lorsque p est un entier positif, la s´rie se
e
termine avec k = p et le binˆme de Newton se r´duit au th´or`me binomial
o e e e
de l’alg`bre :
e
p
p p k
(1 + x) = x .
k
k=0
Les s´ries pour le logarithme, l’arctangente et l’arcsinus peuvent ˆtre
e e
obtenues le plus simplement ` partir du binˆme de Newton par int´gration
a o e
terme ` terme de la s´rie appropri´e. On a (p = −1 dans le binˆme de
a e e o
Newton)
+∞
1
= (−1)k xk , |x| < 1
1+x
k=0
donc
+∞
(−1)k k+1
log(1 + x) = x , |x| < 1.
k+1
k=0
Aussi (p = −1, x → x2 )
+∞
1
= (−1)k x2k , |x| < 1
1 + x2
k=0
de telle sorte que
+∞
(−1)k 2k+1
arctan x = x , |x| < 1.
2k + 1
k=0
Enfin (p = −1/2, x → −x2 )
+∞
1 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) 2k
√ =1+ x , |x| < 1
1−x2 2 · 4 · 6 · · · 2k
k=1
donc
+∞
1 · 3 · 5 · · · (2k − 1) x2k+1
arcsin x = x + , |x| < 1.
2 · 4 · 6 · · · 2k 2k + 1
k=1
C.Q.F.D.
Remarque. Il peut paraˆ ıtre surprenant que le rayon de convergence de
la s´rie pour la fonction arctangente soit ´gal ` 1 alors que la fonction est
e e a
ind´finiment d´rivable sur tout l’axe r´el. L’analyse complexe en fournit
e e e
l’explication.
92

94. Exemple.
Consid´rons la fonction f : R → R d´finie par
e e
0 si x ≤ 0,
f (x) =
e−1/x si x > 0.
Elle est ind´finiment d´rivable et l’on a
e e
1
f (k) (x) = f (x) p2k
x
o` p2k est un polynˆme de degr´ 2k, comme on peut le v´rifier par r´currence
u o e e e
sur k. Cela repose seulement sur le fait que quelque soit n
1 −1/x
lim e = 0.
x→0+ xn
On en d´duit que
e
f (k) (0) = 0 pour tout k ≥ 0.
Ainsi cette fonction pourtant ind´finiment d´rivable n’est ´gale ` la somme
e e e a
de sa s´rie de Taylor dans aucun intervalle centr´ ` l’origine.
e ea
Th´or`me 33 Le nombre e est irrationnel.
e e
D´monstration. On a
e
+∞
1
e= .
k!
k=0
Supposons que e est rationnel, soit e = p/q avec p, q ∈ N. On a alors
q +∞
q! q!
(q − 1)! p − = .
k! k!
k=0 k=q+1
Or ceci est impossible. En effet, le membre de gauche de cette ´quation est
e
un entier alors que le membre de droite ne l’est pas :
+∞ +∞
q! 1 1 q+2
0< < k
= < 1.
k! q+1 (q + 2) (q + 1)2
k=q+1 k=0
C.Q.F.D.
Th´or`me 34 Le nombre π est irrationnel.
e e
93

95. D´monstration. Consid´rons le polynˆme
e e o
xn (1 − x)n
φ(x) = .
n!
On peut ´crire
e
n 2n
n n
n!φ(x) = (−1)n−k x2n−k = (−1)j−n xj .
k 2n − j
k=0 j=n
On a d’abord
1
0 < φ(x) < si 0 < x < 1.
n!
De plus,

0

 si 0 ≤ k < n,
1 n
(k)
φ (0) = (−1)k−n k! si n ≤ k ≤ 2n,
 n! 2n − k


0 si 2n < k
et
φ(k) (1) = (−1)k φ(k) (0).
Les nombres φ(0), φ(1), φ (0), φ (1), φ (0), φ (1), . . . sont donc tous des en-
tiers.
Supposons donc que π est rationnel, soit π = p/q avec p, q ∈ N. Intro-
duisons le polynˆme
o
n
ψ(x) = q 2n (−1)k π 2n−2k φ(2k) (x).
k=0
Les nombres ψ(0) et ψ(1) sont donc eux aussi des entiers. D’autre part, ce
polynˆme ψ satisfait l’´quation diff´rentielle
o e e
ψ (x) + π 2 ψ(x) = q 2n π 2n+2 φ(x)
de telle sorte que
d
ψ (x) sin πx − πψ(x) cos πx = ψ (x) + π 2 ψ(x) sin πx = q 2n π 2n+2 φ(x) sin πx.
dx
Ainsi
1
ψ (x) sin πx 1
q 2n π 2n+1 φ(x) sin πx dx = − ψ(x) cos πx = ψ(0) + ψ(1)
0 π 0
94

96. est un entier et ce quelque soit n ∈ N. Ceci est impossible puisque
1
q 2n π 2n+1
0< q 2n π 2n+1 φ(x) sin πx dx <
0 n!
et que
q 2n π 2n+1
<1
n!
d`s que n est suffisamment grand. C.Q.F.D.
e
9.3 Exercices 9
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Soit f : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que
u e
b
f (b) + f (a) (b − a)2
f (x) dx ≤ (b − a) + f .
a 2 2
2. Obtenir le d´veloppement limit´ d’ordre 2 au point x0 = n pour la
e e
fonction
f (x) = xn e−x .
3. Consid´rons le d´veloppement limit´ d’une fonction f au point x0 .
e e e
Soit k > 0 le rang du premier terme apr`s f (x0 ) qui est non nul dans
e
ce d´veloppement. Montrer que si k est pair la fonction admet un
e
extr´mum relatif (local) en x0 . Qu’arrive-t-il k est impair ?
e
4. Obtenir le d´veloppement limit´ d’ordre 5 de la fonction tangente `
e e a
l’origine (utiliser les notations de Landau).
(Suggestion : sin x = tan x cos x).
5. Montrer que les in´galit´s
e e
1
1 + sin x < ex < √
1 − 2x
sont valables dans un petit intervalle ouvert autour de l’origine.
6. Soit R > 0. Repr´senter la fonction
e
1 1
f (x) = 2
−
(R − x) (R + x)2
comme la somme d’une s´rie de puissances enti`res de x dans le plus
e e
grand intervalle possible autour de l’origine.
95

97. 7. Obtenir la s´rie de Taylor ` l’origine de la fonction
e a
sinh x.
D´terminer son rayon de convergence.
e
8. Mˆmes questions pour la fonction
e
arcsinh x.
9. Mˆmes questions pour la fonction
e
arctanh x.
10. Mˆmes questions pour la fonction
e
√
sin x
√ .
x
11. Calculer
2π +∞
1 −kx
e cos kx dx.
0 2k
k=1
12. Montrer que le nombre cos 1 est irrationnel.
96

98. 10 ´
SERIES DE FOURIER
La repr´sentation d’une fonction par sa s´rie de Taylor est limit´e de deux
e e e
fa¸ons : d’abord, elle ne s’applique qu’aux fonctions ind´finiment d´rivables
c e e
et ensuite, elle est locale — les sommes partielles de la s´rie obtenue ne
e
constituent une approximation de la fonction que dans un voisinage (qui
peut ˆtre tr`s petit) du point autour duquel on la calcule.
e e
La s´rie de Fourier ne souffre pas de ces inconv´nients : on peut pres-
e e
crire ` l’avance l’intervalle de convergence et elle permet de repr´senter des
a e
fonctions tr`s g´n´rales, pr´sentant mˆme certains types de discontinuit´s.
e e e e e e
Le prix ` payer : alors que la s´rie de Taylor utilise les monˆmes
a e o
1, x, x2 , x3 , x4 , . . . ,
la s´rie de Fourier se sert des fonctions transcendantes
e
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .
La r´solution des ´quations aux d´riv´es partielles, objet d’´tude d’un cours
e e e e e
d’analyse appliqu´e, explique en partie le choix de ces fonctions.
e
10.1 La s´rie de Fourier
e
Dans tout ce chapitre, nous consid´rons des fonctions f : [−π, π[→ R,
e
prolong´es ` R par p´riodicit´.
e a e e
Remarque. Le nombre π n’a ´t´ choisi que pour simplifier l’´criture. Si
ee e
f : [a, b[→ R, on se ram`ne ` l’intervalle [−π, π[ en consid´rant la fonction g
e a e
b−a
g(x) = f a+ (x + π) .
2π
La fonction paire (ou la fonction impaire) qui co¨
ıncide avec
b−a
f a+ x
π
lorsque 0 ≤ x < π peut aussi ˆtre utilis´e.
e e
Nous dirons d’une fonction f qu’elle est continue par morceaux si
C1 il existe un nombre fini n ≥ 0 de points
−π = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 = π
tels que f est continue sur chaque intervalle ouvert ]xj−1 , xj [, 1 ≤ j ≤ n + 1 ;
97

99. C2 les limites unilat´rales
e
f (xj −) = lim f (x), f (xj +) = lim f (x)
x→xj − x→xj +
existent (comme nombres r´els finis) pour chaque 0 ≤ j ≤ n + 1.
e
Remarquons que l’on a toujours, par p´riodicit´, f (x0 −) = f (xn+1 −) et
e e
f (x0 +) = f (xn+1 +) alors que la relation f (x0 +) = f (xn+1 −) n’est pas
n´cessairement valable.
e
Nous dirons d’une fonction f qu’elle satisfait les conditions de Dirichlet
si (figure(21))
D1 il existe un nombre fini n ≥ 0 de points
−π = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 = π
tels que f est continˆment d´rivable sur chaque intervalle ouvert ]xj−1 , xj [,
u e
1 ≤ j ≤ n + 1;
D2 les limites unilat´rales
e
f (xj −) = lim f (x), f (xj +) = lim f (x)
x→xj − x→xj +
et
f (xj −) = lim f (x), f (xj +) = lim f (x)
x→xj − x→xj +
existent (comme nombres r´els finis) pour chaque 0 ≤ j ≤ n + 1.
e
x0 Π x1 x2 x3 Π
Fig. 21 – Les conditions de Dirichlet
98

100. L’int´grale d’une fonction f continue par morceaux est d´finie sur l’in-
e e
tervalle (−π, π) par la relation
+π n+1 xj
f (x) dx = f (x) dx
−π j=1 xj−1
et, sur un intervalle (a, b) ⊆ (−π, π) quelconque, par
b +π
f (x) dx = f (x)I(a,b) (x) dx
a −π
o` IE est la fonction indicatrice de l’ensemble E (´gale ` 1 ou ` 0 suivant
u e a a
que son argument appartient ou non ` E — exercice (6) du chapitre 2).
a
L’int´grale sur un intervalle qui n’est pas contenu dans (−π, π) est d´finie
e e
en utilisant la p´riodicit´ de f . Cette extension de la d´finition de l’int´grale
e e e e
pr´serve ses propri´t´s de lin´arit´, de posivit´ et d’additivit´.
e ee e e e e
Les coefficients de Fourier d’une fonction continue par morceaux sont,
par d´finition, les nombres
e
+π
1
ak (f ) = f (x) cos kx dx , (k = 0, 1, . . .)
π −π
et
+π
1
bk (f ) = f (x) sin kx dx , (k = 1, 2, . . .)
π −π
(ce choix est dict´ par la propri´t´ d’orthogonalit´ des fonctions trigonom´triques
e ee e e
— exercice (9) du chapitre 5).
La s´rie trigonom´trique form´e ` l’aide de ces coefficients,
e e e a
+∞
1
S(f )(x) = a0 (f ) + (ak (f ) cos kx + bk (f ) sin kx),
2
k=1
est la s´rie de Fourier de la fonction f . (On a choisi d’´crire le terme constant
e e
1
sous la forme 2 a0 (f ) afin que la formule pour a0 (f ) soit la mˆme que celle
e
pour ak (f ) lorsque k ≥ 1 — ce terme constant est donc la valeur moyenne
de la fonction sur une p´riode.)
e
Lorsque la fonction f est paire, la s´rie de Fourier se r´duit `
e e a
+∞
1
S(f )(x) = a0 (f ) + ak (f ) cos kx
2
k=1
99

101. o`
u π
2
ak (f ) = f (x) cos kx dx , (k = 0, 1, . . .)
π 0
et lorsqu’elle est impaire, `
a
+∞
S(f )(x) = bk (f ) sin kx,
k=1
avec π
2
bk (f ) = f (x) sin kx dx , (k = 1, 2, . . .)
π 0
Les sommes partielles de la s´rie de Fourier seront d´not´es par
e e e
n
1
Sn (f )(x) = a0 (f ) + (ak (f ) cos kx + bk (f ) sin kx).
2
k=1
Il s’agit d’´tudier leur convergence vers la fonction.
e
Exemples.
1. Pour la fonction f1 d´finie par
e
f1 (x) = x(x − π) si − π ≤ x < π,
on a
+∞
π2 4 2π
S(f1 )(x) = + (−1)k 2
cos kx + sin kx .
3 k k
k=1
2. Pour la fonction f2 d´finie par
e
f2 (x) = π − |x| si − π ≤ x < π,
on a
+∞
π 4
S(f2 )(x) = + cos(2j + 1)x.
2 π(2j + 1)2
j=0
3. Pour la fonction f3 d´finie par
e
f3 (x) = sgn x si − π ≤ x < π,
on a
+∞
4
S(f3 )(x) = sin(2j + 1)x.
π(2j + 1)
j=0
100

102. (La fonction sgn donne le signe de son argument :
x
 si x = 0,
sgn x = |x|
0 sinon.)
10.2 Th´or`mes de convergence
e e
D´signons par Tn un polynˆme trigonom´trique de degr´ n arbitraire :
e o e e
n
1
Tn (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx).
2
k=1
Th´or`me 35 (Approximation en moyenne quadratique) Pour toute
e e
fonction f continue par morceaux, on a
+π +π
1 1
inf{ (f (x) − Tn (x))2 dx | Tn } = (f (x) − Sn (f )(x))2 dx
π −π π −π
+π n
1 1 2
= f 2 (x) dx − a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f ) .
π −π 2 0 k k
k=1
D´monstration. Que les sommes partielles de la s´rie de Fourier constituent
e e
ses meilleures approximations en moyenne quadratique r´sulte directement
e
des propri´t´s d’orthogonalit´ des fonctions trigonom´triques. On a
ee e e
+π
1
(f (x) − Tn (x))2 dx
π −π
+π +π +π
1 2 1
= f 2 (x) dx − f (x)Tn (x) dx + 2
Tn (x) dx.
π −π π −π π −π
Or, en vertu de la d´finition mˆme des coefficients de Fourier,
e e
+π n
1 1
f (x)Tn (x) dx = a0 a0 (f ) + (ak ak (f ) + bk bk (f ))
π −π 2
k=1
et, ` cause de l’orthogonalit´ des fonctions trigonom´triques,
a e e
+π n
1 1
Tn (x) dx = a2 +
2
(a2 + b2 )
π −π 2 0 k k
k=1
101

103. de telle sorte que, en compl´tant les carr´s,
e e
+π +π
1 1
(f (x) − Tn (x))2 dx = f 2 (x) dx
π −π π −π
n
1
+ (a0 − a0 (f ))2 + ((ak − ak (f ))2 + (bk − bk (f ))2 )
2
k=1
n
1 2
− a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f )) .
2 0 k k
k=1
On voit donc que
+π +π
1 1
(f (x) − Tn (x))2 dx ≥ (f (x) − Sn (x))2 dx
π −π π −π
+π n
1 1 2
= f 2 (x) dx − a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f ) .
π −π 2 0 k k
k=1
C.Q.F.D.
Th´or`me 36 (Bessel) Pour toute fonction f continue par morceaux, on
e e
a
+∞
1 2 1 +π 2
a0 (f ) + (a2 (f ) + b2 (f ) ≤
k k f (x) dx.
2 π −π
k=1
D´monstration. Cette in´galit´ d´coule directement du th´or`me pr´c´dent.
e e e e e e e e
Quelque soit n, on a en effet
n +π
1 2 1
a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f )) ≤ f 2 (x) dx
2 0 k k
π −π
k=1
et donc, en laissant n tendre vers +∞, on voit que la s´rie des carr´s des
e e
coefficients de Fourier est convergente et satisfait l’in´galit´ de Bessel :
e e
+∞ +π
1 2 1
a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f ) ≤ f 2 (x) dx.
2 0 k k
π −π
k=1
C.Q.F.D.
En particulier, les coefficients de Fourier an (f ) et bn (f ) d’une fonc-
tion f continue par morceaux tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞. La
d´monstration du th´or`me suivant repose sur ce fait.
e e e
102

104. Th´or`me 37 (Dirichlet) La s´rie de Fourier d’une fonction f qui satis-
e e e
fait les conditions de Dirichlet converge vers cette fonction en tout point, `
a
la condition de la red´finir aux ´ventuels points de discontinuit´ xj en posant
e e e
f (xj −) + f (xj +)
f (xj ) = .
2
D´monstration. En rempla¸ant les coefficients de Fourier par leur ex-
e c
pression int´grale puis en permutant la somme et l’int´grale, on obtient
e e
n
1
Sn (f )(x) = a0 (f ) + (ak (f ) cos kx + bk (f ) sin kx)
2
k=1
+π n
1 1
= f (t) + cos k(x − t) dt
π −π 2
k=1
En vertu de l’identit´ trigonom´trique
e e
2 cos a sin b = sin(a + b) − sin(a − b),
on a
x−t
1
n sin(2n + 1)
+ cos k(x − t) = 2
2 x−t
k=1 2 sin
2
donc
1 sin(2n + 1) x−t
+π
2
Sn (f )(x) = f (t) dt
−π π 2 sin x−t
2
s
1 +π sin(2n + 1) 2
= f (x − s) s ds,
π −π 2 sin 2
ce que l’on exprime en disant que la somme partielle Sn (f )(x) est la convo-
lution de la fonction f avec le noyau de Dirichlet Dn sur l’intervalle [−π, π]
(figure(22)) :
s
sin(2n + 1) 2
Dn (s) = s .
2π sin 2
En appliquant cette relation ` la fonction g = 1, pour laquelle on a aussi
a
Sn (g) = 1, on voit que ce noyau poss`de la propri´t´ suivante :
e ee
+π s
1 sin(2n + 1) 2
1= s ds.
π −π 2 sin 2
103

105. 4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
Fig. 22 – Quelques fonctions Dn (x)
Soit donc x ∈ [−π, π[. Supposons d’abord que x n’est pas ´gal ` l’un des
e a
points xj . On a alors
+π s
1 sin(2n + 1) 2
Sn (f )(x) − f (x) = (f (x − s) − f (x)) s ds
π −π 2 sin 2
+π +π
1 1
= φx (s) cos ns ds + ψx (s) sin ns ds
π −π π −π
en posant
f (x − s) − f (x)
φx (s) =
2
et s
f (x − s) − f (x) cos 2
ψx (s) = s.
2 sin 2
La fonction s → φx (s) ´tant continue par morceaux, on a
e
+π
1
lim φx (s) cos ns ds = 0.
n→+∞ π −π
Il en va de mˆme pour la fonction s → ψx (s) puisque
e
s
f (x − s) − f (x) 2 s
lim ψx (s) = lim s cos = −f (x)
s→0 s→0 s sin 2 2
de telle sorte que l’on a ´galement
e
+π
1
lim ψx (s) sin ns ds = 0
n→+∞ π −π
104

106. ce qui compl`te le raisonnement lorsque x est un point r´gulier.
e e
Supposons maintenant que x = xj . Alors
f (x−) + f (x+)
Sn (f )(x) −
2
s
1 π f (x−) + f (x+) sin(2n + 1) 2
= f (x − s) − s ds
π 0 2 2 sin 2
s
1 π f (x−) + f (x+) sin(2n + 1) 2
+ f (x + s) − s ds
π 0 2 2 sin 2
s
1 π sin(2n + 1) 2
= (f (x − s) + f (x + s) − (f (x−) + f (x+))) s ds
π 0 2 sin 2
+π +π
1 1
= φx (s) cos ns ds + ψx (s) sin ns ds
π −π π −π
o`, maintenant,
u

0 si − π ≤ s ≤ 0,
φx (s) = f (x − s) + f (x + s) − (f (x−) + f (x+))
 si 0 < s < π
2
et

0 si − π ≤ s ≤ 0,
s
ψx (s) = f (x − s) + f (x + s) − (f (x−) + f (x+)) cos 2
 s si 0 < s < π.
2 sin 2
La fonction φx est bien ´videmment continue par morceaux de telle sorte
e
que
1 +π
lim φx (s) cos ns ds = 0.
n→+∞ π −π
Il en est de mˆme pour la fonction ψx puisque en vertu de la r`gle de l’Hos-
e e
pital, on a
s
f (x − s) − f (x−) + f (x + s) − f (x+) 2 s
lim ψx (s) = lim s cos
s↓0 s↓0 s sin 2 2
= −f (x−) + f (x+).
Ainsi
+π
1
lim ψx (s) sin ns ds = 0
n→+∞ π −π
aussi et la d´monstration est compl`te. C.Q.F.D.
e e
Exemples.
105

107. 1. Pour la fonction f1 d´finie par
e
f1 (x) = x(x − π) si − π ≤ x < π,
on a
+∞
π2 4 2π
S(f1 )(x) = + (−1)k 2
cos kx + sin kx
3 k k
k=1
de telle sorte que
x(x − π) si − π < x < π,
S(f1 )(x) =
π2 si x = −π.
On tire en particulier de ce dernier cas
+∞
1 π2
= .
k2 6
k=1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-3 -2 -1 1 2 3
Fig. 23 – Fonctions f2 et S6 (f2 )
2. Pour la fonction f2 d´finie par
e
f2 (x) = π − |x| si − π ≤ x < π,
on a
+∞
π 4
S(f2 )(x) = + cos(2j + 1)x = f2 (x)
2 π(2j + 1)2
j=0
pour tout x. La convergence de la s´rie est uniforme dans ce cas-ci et
e
la fonction limite est continue (figure(23)).
106

108. 3. Pour la fonction f3 d´finie par
e
f3 (x) = sgn x si − π ≤ x < π,
on a
+∞
4
S(f3 )(x) = sin(2j + 1)x.
π(2j + 1)
j=0
Ainsi (figure(24))

0
 si x = π,

+∞  π
−
1 4 si − π < x < 0,
sin(2j + 1)x =
(2j + 1) 0 si x = 0,
j=0 

π

4 si 0 < x < π.
1
0.5
-3 -2 -1 1 2 3
-0.5
-1
Fig. 24 – Fonctions f3 et S12 (f3 )
10.3 L’approximation des fonctions continues p´riodiques
e
On sait que les moyennes arithm´tiques des termes d’une suite forment
e
une nouvelle suite plus r´guli`re que la suite originelle, qui peut par exemple
e e
converger lorsque la suite elle-mˆme ne converge pas.
e
Th´or`me 38 (Fej´r) Soit f : [−π, π] → R une fonction continue telle
e e e
que f (−π) = f (π). Alors les moyennes arithm´tiques σn (f ) des sommes
e
partielles Sn (f ) de sa s´rie de Fourier convergent vers la fonction f uni-
e
form´ment sur [−π, π].
e
107

109. D´monstration. Par d´finition,
e e
n
1
σn (f )(x) = Sk (f )(x).
n+1
k=0
Comme
1 +π sin(2n + 1) x−t
2
Sn (f )(x) = f (t) x−t dt
2π −π sin 2
on a, en vertu de l’identit´ trigonom´trique
e e
2 sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b),
que
s
1 +π sin2 (n + 1) 2
σn (f )(x) = f (x − s) s ds
2π −π (n + 1) sin2 2
+π
1 1 − cos(n + 1)s
= f (x − s) ds.
2π −π (n + 1) (1 − cos s)
La fonction σn est donc la convolution de la fonction donn´e f avec le noyau
e
de Fej´r Fn sur l’intervalle [−π, π] (figure(25)) :
e
s
sin2 (n + 1) 2
Fn (s) = s.
2π(n + 1) sin2 2
Alors, quelque soit δ > 0,
+π
1 1 − cos(n + 1)s
|σn (f )(x) − f (x)| = (f (x − s) − f (x)) ds
2π
−π (n + 1) (1 − cos s)
+π
1 1 − cos(n + 1)s
≤ |f (x − s) − f (x)| ds
2π −π (n + 1) (1 − cos s)
1 1 − cos(n + 1)s
= |f (x − s) − f (x)| ds
2π |s|<δ (n + 1) (1 − cos s)
1 1 − cos(n + 1)s
+ |f (x − s) − f (x)| ds
2π δ≤|s|≤π (n + 1) (1 − cos s)
2
≤ sup |f (x − s) − f (x)| + 2 f (x)
|s|<δ (n + 1) (1 − cos δ)
Donn´ > 0, on peut choisir, en vertu de la continuit´ uniforme, δ = δ( ) > 0
e e
pour que
sup |f (x − s) − f (x)| <
|s|<δ 2
108

110. quelque soit x ∈ R puis n pour que
2
2 f (x) <
(n + 1) (1 − cos δ) 2
pour tout n > n . C.Q.F.D.
12
10
8
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
Fig. 25 – Quelques fonctions Fn (x)
Th´or`me 39 (Parseval) Soit f : [−π, π] → R une fonction continue telle
e e
que f (−π) = f (π). Alors
+π
1
lim (Sn (f )(x) − f (x))2 dx = 0
n→+∞ π −π
et
+∞ +π
1 2 1
a (f ) + (a2 (f ) + b2 (f ) = f 2 (x) dx.
2 0 k k
π −π
k=1
D´monstration. Les fonctions σn (f ) convergent uniform´ment vers f sur
e e
[−π, π] donc elles convergent en moyenne quadratique vers f et le r´sultat
e
suit du th´or`me (35).
e e
C.Q.F.D.
10.4 Exercices 10
1. Montrer que toute fonction d´finie sur un intervalle sym´trique par
e e
rapport ` l’origine peut s’y repr´senter comme la somme d’une fonction
a e
paire et d’une fonction impaire.
109

111. 2. Les coefficients ak (f ) et bk (f ) de Fourier d’une fonction f tendent
vers 0 d’autant plus vite que la fonction est plus r´guli`re. Montrer,
e e
par exemple, que si f admet une deuxi`me d´riv´e continue, on a
e e e
1 1
ak (f ) = ◦( 2
), bk (f ) = ◦( 2 )
k k
lorsque k → +∞.
3. D´terminer le minimum de l’expression
e
+π
1
(t2 − a − b cos t − c sin t)2 dt
π −π
lorsque a, b et c parcourent l’ensemble R des nombres r´els.
e
4. Obtenir la s´rie de Fourier de la fonction f d´finie par
e e
f (x) = π 2 − x2 si − π ≤ x < π.
´
Etudier sa convergence.
5. Mˆmes questions pour la fonction
e
f (x) = | sin x| si − π ≤ x < π.
6. Mˆmes questions pour la fonction
e
f (x) = x si − π ≤ x < π.
En d´duire la somme de la s´rie
e e
+∞
sin ky
.
k
k=1
7. Repr´senter la fonction x comme une somme de cosinus sur l’intervalle
e
(0, A).
8. Montrer qu’une fonction R → R p´riodique et continue est enti`rement
e e
d´termin´e par ses coefficients de Fourier.
e e
9. Montrer que
+∞
π2 1
x(π − x) = − cos 2kx , 0 < x < π
6 k2
k=1
et que
+∞
1 π4
= .
k4 90
k=1
110

112. R´f´rences
ee
[1] Jacques Labelle et Armel Mercier. Introduction ` l’analyse r´elle. Mo-
a e
dulo, Montr´al, 1993.
e
Manuel de premier cycle,
Math-Info : QA 300 L324 1993.
[2] Charles Cassidy et Marie-Louis Lavertu. Introduction ` l’analyse. Presses
a
de l’Universit´ Laval, Qu´bec, 1994.
e e
Manuel de premier cycle,
Math-Info : QA 331.5 C384 1994.
[3] Walter Rudin. Principes d’analyse math´matique. Ediscience, Paris,
e
1995.
Manuel de premier cycle,
Math-Info QA 300 R 8212 1995.
[4] Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, Houston, 1994.
Manuel de premier cycle,
Math-Info QA 303 S64 1994.
111

113. Index
Γ, 62 fonction d´rivable, 5
e
, 88 fonction eul´rienne, 62
e
◦, 88 fonction gamma (´quation fonction-
e
nelle), 62
additivit´ de l’int´grale, 13
e e fonction int´grable, 11, 15
e
arccosinus, 41 fonctions trigonom´triques (´quation
e e
arcsinus, 42 diff´rentielle), 39
e
arcsinus hyperbolique, 31 formules d’addition, 40
arctangente, 43 Fourier, 48, 99
arctangente hyperbolique, 35
Gauss, 63
Bessel, 102
Bolzano, 4 in´galit´ du triangle, 13
e e
int´grale, 11
e
Cauchy, 15, 48, 71, 79 int´grale ind´finie, 19
e e
changement de variable, 21 int´gration par parties, 20
e
continue par morceaux, 97 intervalle compact, 4
convergence absolue, 67 intervalle ouvert, 4
convergence normale, 74
convergence ponctuelle, 69 Jensen, 33
convergence simple, 67, 69
convolution, 76, 103 Landau, 88
cosinus, 37 limite inf´rieure, 77
e
cosinus hyperbolique, 30 limite sup´rieure, 77
e
lin´arit´ de l’int´grale, 12
e e e
d’Alembert, 83 logarithme, 24
Dirichlet, 15, 98 logarithme (´quation fonctionnelle),
e
24
Euler, 32 logarithme de base b, 30
exponentielle, 27, 29 loi des cosinus, 44
exponentielle (´quation diff´rentielle),
e e
27 Mascheroni, 32
Minkowski, 15
Fej´r, 107
e
fonction bˆta, 62
e Newton, 87
fonction concave, 26, 28, 33 nombre π, 36, 93
fonction continˆment d´rivable, 5
u e nombre e, 27, 93
fonction continue, 4 norme, 73
fonction convexe, 26, 28, 33
112

114. orthogonalit´, 41
e
Parseval, 109
partition, 8
partition uniforme, 11
polynˆme trigonom´trique, 48
o e
positivit´ de l’int´grale, 13
e e
primitive, 19
propri´t´ des valeurs extrˆmes, 4
ee e
propri´t´ des valeurs interm´diaires,
ee e
4
Pythagore, 44
rayon de convergence, 79
Rolle, 5
s´rie g´om´trique, 77
e e e
Schwarz, 15, 48
sinus, 37
sinus hyperbolique, 30
sommes de Darboux, 11
sommes de Riemann, 9
Stirling, 65
tangente, 39
tangente hyperbolique, 35
Taylor, 81, 84
test int´gral, 61
e
th´or`me de la moyenne I, 16
e e
th´or`me de la moyenne II, 23
e e
th´or`me des accroissements finis,
e e
5
th´or`me fondamental I, 17
e e
th´or`me fondamental II, 18
e e
valeur adh´rente, 78
e
voisinage, 84
Wallis, 52
Weierstrass, 4, 72, 74
113