Techniques de transmission

e ´
Institut Sup´rieur des Etudes Technologiques de Rad`s
e

e e ´
D´partement de Gńie Electrique

´
Electronique de Communication

Support de cours
et exercices corrig´s
e

e
e ´
3`me niveau Gńie Electrique
´
Option Electronique

Dr J.Y. Haggege
`
Ingńieur ENIT
e
e e e ´
Agr´g´ de Gńie Electrique
Technologue a l’ISET de Rad`s
` e

2004

ii

ISET Rad`s
e cours d’´lectronique de communication
e `
HAGGEGE, 2003

Table des mati`res
e

1 Les signaux 1
1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 1
1.1.1 Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Repr´sentation math´matique d’un signal . . . . . . . .
e e . . . . . . 1
1.2 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Les signaux p´riodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 2
1.3.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 2
1.3.2 Signaux sinuso¨ ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Spectre d’un signal p´riodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 3
1.4.1 D´veloppement en s´rie de Fourier . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . 3
1.4.2 Rep´sentation spectrale d’un signal p´riodique . . . . . .
e e . . . . . . 4
1.4.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal p´riodique . . .
e . . . . . . 5
1.5 Gń´ralisation de la notion de spectre . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . 6
1.5.1 Spectre d’un signal non p´riodique . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 6
1.5.2 Exemple de calcul du spectre d’un signal non p´riodique
e . . . . . . 7
1.5.3 Calcul de la puissance d’un signal a partir de son spectre
` . . . . . . 8
1.5.4 Spectre des signaux utilis´s en t´lćommunications . . .
e ee . . . . . . 8
1.6 Filtrage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Exemples de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La modulation d’amplitude 11
2.1 But d’une modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Cas d’un signal modulant sinuso¨ . . . . . . . . .
ıdal . . . . . . . . . 13
2.2.3 Cas d’un signal modulant quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Gń´ration du signal AM DBSP . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . 15
2.3.1 Utilisation de circuit int´gr´s spćialis´s . . . . . .
e e e e . . . . . . . . . 16
2.3.2 Modulateur en anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 D´modulation des signaux AM DBSP . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 19
2.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Repr´sentation spectrale . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 20
2.4.3 Probl`me de la d´modulation du signal AM DBSP
e e . . . . . . . . . 20
2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse . . . . . . . . . . . . . . 21

`
HAGGEGE, 2003 cours d’´lectronique de communication
e ISET Rad`s
e

iv Table des mati`res
e

2.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Repr´sentation temporelle du signal AM DBAP . . . . .
e . . . . . . 21
2.5.3 Repr´sentation spectrale du signal AM DBAP . . . . . .
e . . . . . . 22
2.5.4 Puissance d’un signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Gń´ration du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . 24
2.6.1 M´thode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 24
2.6.2 Utilisation d’une non linárit´ . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . 24
2.6.3 Amplificateur a gain variable . . . . . . . . . . . . . . .
` . . . . . . 26
2.7 D´modulation des signaux AM DBAP . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 27
2.7.1 D´modulation coh´rente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . 27
2.7.2 D´modulation AM par d´tection d’enveloppe . . . . . . .
e e . . . . . . 28
2.8 La modulation AM a Bande Lat´rale Unique . . . . . . . . . . .
` e . . . . . . 30
2.8.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.2 Caract´ristiques du signal BLU . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 31
2.8.3 Gń´ration du signal BLU par filtrage passe-bande . . .
e e . . . . . . 31
2.8.4 Gń´ration du signal BLU par la m´thode du d´phasage
e e e e . . . . . . 33
2.8.5 D´modulation du signal BLU . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 34
2.9 La modulation AM a Bande Lat´rale R´siduelle . . . . . . . . .
` e e . . . . . . 34
2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10.1 Modulateur AM a non linárit´ cubique . . . . . . . . .
` e e . . . . . . 35
2.10.2 Modulation d’amplitude en quadrature (QAM) . . . . . . . . . . . 36
2.10.3 D´modulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 38
2.10.4 Codage et dćodage st´róphonique . . . . . . . . . . . .
e ee . . . . . . 39
2.10.5 Cryptage par inversion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10.6 Puissance d’un signal AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 La modulation de fr´quence
e 43
3.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 43
3.2 Caract´ristiques de la modulation de fr´quence . . . . . . .
e e . . . . . . . . . 44
3.3 Analyse spectrale du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 D´veloppement en s´rie de Fourier d’un signal FM .
e e . . . . . . . . . 45
3.3.2 Les fonctions de Bessel de premi`re esp`ce . . . . .
e e . . . . . . . . . 45
3.3.3 Repr´sentation spectrale du signal FM . . . . . . .
e . . . . . . . . . 48
3.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.5 Gń´ralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . 50
3.4 Gń´ration du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . 50
3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 M´thode par variation de param`tres . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . 51
3.4.3 Modulateur d’Armstrong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 D´modulation des signaux FM . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 55
3.5.1 Discriminateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.2 Boucle a verrouillage de phase . . . . . . . . . . . .
` . . . . . . . . . 57
3.6 Les rćepteurs ` changement de fr´quence . . . . . . . . .
e a e . . . . . . . . . 59
3.7 La modulation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

Table des mati`res
e v

3.7.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7.2 Occupation spectrale du signal PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8.1 Mesure de la sensibilit´ d’un modulateur de fr´quence
e e . . . . . . . . 61
3.8.2 Modulateur FM a diode varicap . . . . . . . . . . . .
` . . . . . . . . 62
3.8.3 D´modulateur FM quadratique . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 65
3.8.4 Synth`se d’une PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 68

Bibliographie 71

`
e ISET Rad`s
e

vi Table des mati`res
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

Chapitre 1

Les signaux

1.1 D´finitions
e
1.1.1 Signal
Un signal est le support physique d’une information. Exemples :
– signaux sonores : fluctuations de la pression de l’air transportant un message a notre
`
oreille ;
– signaux visuels : ondes de lumi`re apportant une information a notre œil.
e `
En t´lćommunications, on appelle signal tout phńom`ne ´lectromagn´tique, gń´ra-
ee e e e e e e
lement de faible niveau, qui constitue le support d’une information. Exemple : tension
modulé en fr´quence ou en amplitude.
e e

1.1.2 Repr´sentation math´matique d’un signal
e e
Un signal est repr´sent´ par une fonction d’une ou plusieurs variables. Gń´ralement, une
e e e e
seule variable est utilisé : le temps car l’information transporté par un signal est la
e e
variation d’une grandeur au cours du temps.
Notation des signaux : x(t), y(t), s(t), ...
Exemples de signaux :
– x(t) = A (signal constant)
– y(t) = at + b
– s(t) = s0 eαt
Ces fonctions constituent une idálisation math´matique des signaux réls.
e e e

1.2 Classification des signaux
Les signaux peuvent ˆtre class´s en deux cat´gories :
e e e
– signaux d´terministes :
e
- analogiques : amplitude et temps continus, images exactes des informations a trans-
`
mettre ;

`
e ISET Rad`s
e

2 Chapitre 1. Les signaux

- num´riques : amplitude et temps discrets, obtenus par passage de l’information
e
par un convertisseur analogique/num´rique ou signaux naturellement num´riques
e e
provenant d’un calculateur.
– signaux alátoires : ´tudi´s en utilisant la thórie des probabilit´s et des processus
e e e e e
alátoires. Ils permettent de mieux repr´senter les signaux réls.
e e e
Cons´quence : il y a deux types de transmission des signaux : transmission analogique et
e
transmission num´rique.
e

1.3 Les signaux p´riodiques
e
1.3.1 D´finitions
e
Un signal x(t) est p´riodique s’il existe une duré T telle que x(t + T ) = x(t).
e e
Exemples :
signal carré signal en dents de scie
x(t) y(t)
T
T
A
t
A
t

Un signal p´riodique x(t) est caract´ris´ par :
e e e
– son amplitude A ;
1
– sa p´riode T (en secondes) ou sa fr´quence f =
e e T
(en Hertz) ;
T
1
– sa puissance moyenne P = x(t)2 dt ;
T
0
T
1
– sa valeur moyenne (composante continue) : Xm = x(t)dt.
T
0

1.3.2 Signaux sinuso¨
ıdaux
Les signaux sinuso¨
ıdaux (ou harmoniques) sont des signaux p´riodiques tr`s importants.
e e
Ce sont les signaux de la forme :

x(t) = A0 sin(2πf0 t + ϕ0 )
avec :
– A0 : amplitude ;
– f0 : fr´quence ;
e
– ϕ0 : phase ` l’origine (ou d´phasage ou phase) ;
a e
– 2πf0 t + ϕ0 : phase instantanné.
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

1.4. Spectre d’un signal p´riodique
e 3

2
ıdal : P = A .
Puissance d’un signal sinuso¨ 2
Repr´sentation temporelle d’un signal sinuso¨
e ıdal :
T0

A

t

ϕ
0

Autre repr´sentation d’un signal sinuso¨
e ıdal : c’est la repr´sentation spectrale :
e

amplitude
A spectre d'amplitude

A0

f
f0

phase
ϕ
spectre de phase fréquence

ϕ0

f
f0

1.4 Spectre d’un signal p´riodique
e
1.4.1 D´veloppement en s´rie de Fourier
e e
Soit x(t) un signal p´riodique quelconque (non sinuso¨
e ıdal) de p´riode T (ou de fr´quence
e e
1
f = T ). On montre que x(t) peut s’´crire sous la forme d’un d´veloppement en s´rie de
e e e
Fourier, c’est-`-dire une somme de signaux sinuso¨
a ıdaux de fr´quences multiples entiers de
e
f :
∞
a0
x(t) = + an cos 2πnf t + bn sin 2πnf t
2 n=1
avec :
T
a0 1
= x(t)dt
2 T
0

`
e ISET Rad`s
e


et ∀n ≥ 1,
T
2
an = x(t) cos 2πnf t dt
T
0
T
2
bn = x(t) sin 2πnf t dt
T
0
Le signal sinuso¨ıdal de fr´quence f est appel´ fondamental et les signaux sinuso¨
e e ıdaux de
fr´quences nf , n ≥ 2 sont appel´s harmoniques.
e e
Si x(t) est impair (c’est-`-dire x(−t) = −x(t)), alors ∀n > 0, an = 0, et si x(t) est pair
a
(c’est-`-dire x(−t) = x(t)) alors ∀n > 1, bn = 0.
a

1.4.2 Rep´sentation spectrale d’un signal p´riodique
e e
Le d´veloppement en s´rie de Fourier d’un signal p´riodique x(t) peut ´galement s’´crire
e e e e e
sous la forme :
∞
a0
x(t) = + Ax (n) cos(2πnf t + ϕx (n))
2 n=1
avec :
Ax (n) = a2 + b 2
n n
et :
bn
ϕx (n) = −arctan
an
Ax (n) et ϕx (n) repr´sentent respectivement le spectre d’amplitude et le spectre de phase
e
de x(t). Ce sont des spectres de raies ou spectres discrets : un signal p´riodique ne poss`de
e e
de composantes spectrales que pour des fr´quences multiples entiers du fondamental.
e
Repr´sentation graphique :
e
A x (n) spectre d'amplitude

A x (1)
A x (2)
A x (5)
A x (3) A x (4)

f 2f 3f 4f 5f fréquence

spectre de phase
ϕ x (n)
ϕ x (1) ϕ x (5)
ϕ x (2) ϕ x (4)

f 2f 3f 4f 5f fréquence
ϕ x (3)

En pratique, le spectre d’un signal est visualis´ au moyen d’un analyseur de spectre.
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

1.4. Spectre d’un signal p´riodique
e 5

1.4.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal p´riodique
e

On consid`re un signal carr´ bipolaire :
e e
x(t)
T
A
T T t
2
-A
⎧
⎪ a0 = 0
⎨
x(t) est impair ⇒ ⎪ 2
⎩ ∀n ≥ 1, a = 0
n

T
2 T
2 2πnt 2 2πnt
bn = A sin dt + −A sin dt
T T T T
T
0
2
T
T
= 2
T
T
A 2πn − cos 2πnt
T
2
− 2
T
T
A 2πn − cos 2πnt
T T
0 2

= − πn [(−1)n − 1]
A
+ A
πn
[1 − (−1)n ]

= 2A
πn
[1 − (−1)n ]

0 si n = 2p
= 4A
πn
si n = 2p + 1

Finalement, le d´veloppement en s´rie de Fourier de x(t) est :
e e

4A ∞ 1 2π(2p + 1)t
x(t) = sin
π p=0 2p + 1 T

e

`
e ISET Rad`s
e


A x(n)

4A
π

4A
3π
4A
5π
4A
7π
4A
9π

fréquence
f 3f 5f 7f 9f

1.5 Gń´ralisation de la notion de spectre
e e
1.5.1 Spectre d’un signal non p´riodique
e
Soit x(t) un signal quelconque, en particulier non p´riodique. On montre dans ce cas que
e
le spectre de x(t) est une fonction continue de la fr´quence, c’est-`-dire que x(t) poss`de
e a e
des composantes spectrales ` toutes les fr´quences. Le signal x(t) peut alors s’ćrire sous
a e e
la forme :
+∞
x(t) = Ax (f ) cos(2πf t + ϕx (f ) df
0
avec :
Ax (f ) = 2 |X(f )| : spectre d amplitude
ϕx (f ) = arg X(f ) : spectre de phase
o` X(f ) est la transformé de Fourier de x(t) d´finie par :
u e e
+∞
X(f ) = x(t)e−j2πf t dt
−∞

Contrairement aux signaux p´riodiques, les signaux non p´riodiques poss`dent donc un
e e e
spectre continu :
Ax (f) ϕ x(f)
spectre de phase
spectre d'amplitude

f

f

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

1.5. G´n´ralisation de la notion de spectre
e e 7

1.5.2 Exemple de calcul du spectre d’un signal non p´riodique
e
Soit une impulsion x(t) de dur´e τ et d’amplitude A :
e
x(t)
τ

A

t

+∞ τ A τ A
X(f ) = x(t)dt = Ae−j2πf t dt = − e−j2πf t =− e−j2πf τ − 1
−∞ 0 j2πf 0 j2πf

A A −jπf τ jπf τ A −jπf τ sin πf τ −jπf τ
= 1 − e−j2πf τ = e e − e−jπf τ = e sin πf τ = Aτ e
j2πf j2πf πf πf τ

Ainsi :

sin πf τ
Ax (f ) = 2 |X(f )| = 2Aτ
πf τ
et :
ϕx (f ) = arg X(f ) = −πf τ
e

A x(f)

2Ατ

f
1 2 3 4
ϕ x (f) τ τ τ τ
0 f
−π
−2π
−3π
−4π

`
e ISET Rad`s
e


1.5.3 Calcul de la puissance d’un signal a partir de son spectre
`
La puissance d’un signal est ´gale a la somme des puissances des composantes de son
e `
spectre d’amplitude.
Dans le cas d’un signal x(t) p´riodique dont le d´veloppement en s´rie de Fourier s’ćrit :
e e e e
∞
a0
x(t) = + Ax (n) cos(2πnf t + ϕx (n))
2 n=1

la puissance moyenne est :
∞
1 T a2
0 Ax (n)2
P = x(t)2 dt = + (´galit´ de Parseval)
e e
T 0 4 n=1 2
domaine temporel
domaine spectral

Dans le cas d’un signal non p´riodique s’ćrivant sous la forme :
e e
+∞
x(t) = Ax (f ) cos(2πf t + ϕx (f ) df
0

son ńergie est :
e
+∞ 1 +∞
E= x(t)2 dt = Ax (f )2 df
−∞ 2 0
domaine temporel domaine spectral

1.5.4 Spectre des signaux utilis´s en t´lćommunications
e ee
Les signaux transmis par un syst`me de t´lćommunications sont des signaux a bande
e ee `
´troite. Ces signaux poss`dent un spectre nul en dehors d’un intervalle de largeur B,
e e
appelé largeur de bande ou occupation spectrale du signal.
e
Cet intervalle est gń´ralement centr´ autour d’une fr´quence f0 appelé fr´quence centrale
e e e e e e
du signal. S’il est de la forme [0, B], alors le signal est appel´ signal en bande de base.
e

Ax (f) signal à bande étroite Ax (f) signal en bande de base
B

f0 f 0 B f

La connaissance du spectre d’un signal permet de dimensionner les canaux de transmis-
sion.

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

1.6. Filtrage des signaux 9

1.6 Filtrage des signaux
1.6.1 Principe
L’op´ration de filtrage d’un signal consiste a modifier le spectre de ce signal de mani`re `
e ` e a
affaiblir certaines parties du spectre et/ou ` en amplifier d’autres.
a
Dans le domaine spectral, le filtrage se traduit par la multiplication du spectre d’amplitude
du signal par une fonction de la fr´quence et de l’addition d’une autre fonction de la
e
fr´quence au spectre de phase du signal.
e
Soit un filtre de fonction de transfert H(f ) (H(f ) est une fonction complexe de f ).

e(t) s(t)
H(f)

Si on injecte a l’entré de ce filtre un signal e(t) dont le spectre d’amplitude est Ae (f )
` e
et le spectre de phase est ϕe (f ), alors les spectres d’amplitude et de phase du signal de
sortie s(t) sont respectivement :

As (f ) = |H(f )| · Ae (f )
et
ϕs (f ) = ϕe (f ) + arg H(f )

1.6.2 Exemples de filtres
Filtre passe-bas :
symbole fonction de transfert
H(f)
1
0,71

f
fc fréquence
de coupure

Filtre passe-bande :
symbole fonction de transfert
bande
H(f) passante
1
0,71

f
fc1 f 0 fc2
fréquence centrale

`
e ISET Rad`s
e


ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

Chapitre 2

La modulation d’amplitude

2.1 But d’une modulation
Soit le montage suivant :

I
A
l
transformateur

Générateur
sinusoïdal tige métallique de
de fréquence longueur variable
f = constante

En faisant varier la longueur l de la tige m´tallique, on constate que pour une longueur
e
l0 , le courant d´bit´ par le gń´rateur devient tr`s sup´rieur au courant consomm´ par le
e e e e e e e
primaire du transformateur a vide : tout se passe comme si le secondaire du transformateur
`
´tait connect´ ` une charge.
e ea
I
courant en charge
du transformateur

courant à vide
du transformateur
l
l0

Il y a donc un ćhange d’ńergie entre le gń´rateur et le milieu ambiant. Cet ćhange se
e e e e e

`
e ISET Rad`s
e

12 Chapitre 2. La modulation d’amplitude

fait sous forme de rayonnement ´lectromagn´tique. La tige m´tallique joue le rˆle d’une
e e e o
antenne ´mettrice.
e
On constate ´galement que la longueur l0 pour laquelle le rayonnement est maximal est
e
lié ` la fr´quence f du gń´rateur par la relation :
e a e e e
λ
l0 =
2
c
avec : λ = = longueur d’onde du signal produit par le gń´rateur, c ´tant la vitesse de
e e e
f
la lumi`re.
e
Exemple de calcul : si on veut transmettre un signal audio dont le spectre se situe autour
de 10 kHz, la longueur de l’antenne doit ˆtre :
e
c 3 · 108
l= = = 15 000 m
2f 2 × 10 · 103
L’antenne doit avoir une longueur tr`s grande : difficile en pratique. Pour diminuer la
e
longueur de l’antenne, on doit augmenter la fr´quence du signal ` transmettre : on effectue
e a
un dćalage spectral vers les hautes fr´quences du signal : c’est la modulation.
e e
Exemple : si l’´mission se fait a la fr´quence f = 10 MHz, la longueur de l’antenne devient :
e ` e
c 3 · 108
l= = = 15 m
2f 2 × 10 · 106
C’est une antenne rálisable pratiquement.
e
A la rćeption, le signal HF doit ˆtre ramen´ vers les basses fr´quences : dćalage spectral
e e e e e
vers les basses fr´quences du signal : c’est la d´modulation.
e e
Ainsi, les signaux basse fr´quence (signaux audio) ne peuvent pas ˆtre directement trans-
e e
mis en bande de base car ils nćessitent de trop grandes antennes. Le but d’une modulation
e
est donc de dćaler le signal a ´mettre vers les hautes fr´quences afin d’avoir des antennes
e è e
´mettrices de dimensions raisonnables.
e
La fr´quence ` laquelle se fait l’´mission en HF est appelé fr´quence porteuse car elle
e a e e e
transporte l’information BF. Le signal transmis en HF est appel´ signal modul´.
e e
On en d´duit le sch´ma synoptique d’une chaˆ de transmission :
e e ıne
message signal émis signal reçu signal démodulé
m(t) s(t) r(t) ^
m(t)

source canal de
modulateur démodulateur destinataire
d'information transmission
BF HF HF BF
signal en signal à signal à signal en
bande de base bande étroite bande étroite bande de base
La m´thode la plus simple de transposition spectrale est la modulation d’amplitude (ou
e
modulation lináire), noté AM (Amplitude Modulation). C’est la m´thode utilisé pour
e e e e
les premi`res transmissions radio, dans les annés 1920.
e e
Il y a quatre types de modulations d’amplitude :

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.2. La modulation AM Double Bande Sans Porteuse 13

– AM Double Bande Sans Porteuse (DBSP) : utilisé pour le multiplexage fr´quentiel et
e e
le cryptage analogique ;
– AM Double Bande Avec Porteuse (DBAP) : utilisé en radiodiffusion ;
e
– AM Bande Lat´rale Unique (BLU) : utilisé pour le multiplexage fr´quentiel, la t´l´phonie,
e e e ee
les radiocommunications militaires et marines ;
– AM Bande Lat´rale R´siduelle (BLR) : utilisé pour l’´mission des signaux de t´l´vision.
e e e e ee

2.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse
2.2.1 Principe
Soit un signal sinuso¨
ıdal haute fr´quence p(t) = cos 2πf0 t, appel´ porteuse. Le message
e e
m(t) ` transmettre est appel´ signal modulant.
a e
Le signal AM modul´ en amplitude Double Bande Sans Porteuse (DBSP) s’ćrit :
e e
s(t) = p(t) · m(t)

2.2.2 Cas d’un signal modulant sinuso¨
ıdal
On consid`re un signal modulant sinuso¨
e ıdal m(t) = A cos 2πfm t avec fm f0 . Le signal
AM s’ćrit alors :
e
s(t) = cos 2πf0 t · A cos 2πfm t
Repr´sentation temporelle :
e
p(t)
1

t

-1

m(t)
A

t

-A

s(t)
A

t
-A

`
e ISET Rad`s
e


Repr´sentation spectrale : pour d´terminer le spectre de s(t), il faut dćomposer s(t) en
e e e
une somme de signaux sinuso¨ ıdaux. On a :
A A
s(t) = cos 2πf0 t · A cos 2πfm t = cos 2π(f0 + fm )t + cos 2π(f0 − fm )t
2 2
Le spectre d’amplitude du signal modul´ s(t) est donc constitu´ de deux raies sym´triques
e e e
situés aux fr´quences f0 − fm et f0 + fm . De plus, il n’y a pas de composante spectrale a
e e `
la fr´quence f0 de la porteuse. L’allure du spectre d’amplitude du signal modul´ justifie
e e
l’appellation Double Bande Sans Porteuse.

Am(f) signal modulant
A

fm f

As(f) signal modulé

A A
2 2
f
f0 - fm f 0 f0 + f m
Le signal modul´ est un signal a bande ´troite, centr´ autour de la fr´quence f0 de la
e ` e e e
porteuse. Le but de la modulation est atteint : le signal BF est transform´ en un signal
e
HF.

2.2.3 Cas d’un signal modulant quelconque
e
m(t)

t

s(t)

t

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.3. Gń´ration du signal AM DBSP
e e 15

Repr´sentation spectrale :
e
Am(f) signal modulant

A

f
Bm

signal modulé
As(f)
Bs = 2 Bm
A
2

f
f0 - Bm f0 f0 + Bm
bande latérale bande latérale
inférieure (BLI) supérieure (BLS)

Le spectre d’amplitude du signal AM DBSP avec un signal modulant quelconque est
constitu´ de deux bandes sym´triques, centrés autour de f0 : la bande lat´rale inf´rieure
e e e e e
(BLI) et la bande lat´rale sup´rieure (BLS).
e e
L’occupation spectrale du signal AM DBSP est :

Bs = 2 × Bm

La transmission d’un signal en modulation AM DBSP nćessite donc une largeur de bande
e
double de celle du signal modulant.

2.3 Gń´ration du signal AM DBSP
e e
Pour produire un signal AM DBSP, il faut effectuer le produit du signal modulant par
la porteuse. Le syst`me qui effectue cette op´ration est appel´ multiplieur analogique ou
e e e
modulateur ou encore m´langeur.
e
multiplieur analogique
(ou modulateur, ou mélangeur)

m(t) s(t)

p(t)
Il existe diff´rentes rálisations possibles du modulateur.
e e

`
e ISET Rad`s
e


2.3.1 Utilisation de circuit int´gr´s spćialis´s
e e e e
On utilise des circuits int´gr´s spćifiques bas´s sur le principe de l’amplificateur diff´rentiel :
e e e e e

circuit constructeur fr´quence maximale
e
AD 633 Analog Device 1 MHz
MC 1496 Motorola 1 MHz
SO42P Siemens 200 MHz

Exemple de mise en œuvre :

8,2 kΩ 8,2 kΩ + 15 V

signal modulant 5 6 10 11
4 3 kΩ 10 µF
1
porteuse MC 1595
9
3,3 kΩ
2
8
réglage d'offset 3,3 kΩ
12 14

3 13 7

sortie signal AM
1,8 kΩ 10 µF

- 15 V

2.3.2 Modulateur en anneau
Le produit m(t) cos 2πf0 t peut ˆtre obtenu en multipliant le signal modulant m(t) par un
e
signal carr´ bipolaire c(t) de fr´quence f0 et en effectuant un filtrage passe-bande centr´
e e e
sur f0 .

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.3. G´n´ration du signal AM DBSP
e e 17

m(t)

t

c(t) 1/f 0
+U

t

-U
u(t) = m(t) c(t)

t

Spectre du signal u(t) = c(t) · m(t) :

∞
4U 1
c(t) = cos 2π(2n + 1)f0 t
π n=0 2n + 1

∞
4U 1
u(t) = c(t) · m(t) = m(t) cos 2π(2n + 1)f0 t
π n=0 2n + 1

4U 4U 1 4U 1
= m(t) cos 2πf0 t + m(t) cos 2π(3f0 )t + m(t) cos 2π(5f0 )t + · · ·
π π 3 π 5

Apr`s ﬁltrage passe-bande autour de f0 , on obtient un signal AM DBSP :
e

4U
s(t) = m(t) cos 2πf0 t
π
`
e ISET Rad`s
e


A m(f)

A

f
Bm

filtrage
A u(f) passe-bande

1 4U A
π 2
4U A
3π 2 4U A
5π 2

f0 3f 0 5f 0 f

A s (f)

4U A
π 2

signal AM DBSP

f0 f

La multiplication du signal modulant m(t) par le signal carr´ bipolaire c(t) revient a
e `
multiplier alternativement m(t) par +1 ou par −1. La rálisation pratique du modulateur
e
en anneau est basé sur le fait que cette multiplication est une commutation de signe, ce
e
qui se traduit par une inversion p´riodique du sens d’un courant ou d’une tension. Pour
e
ráliser cette op´ration, on utilise le montage suivant, appel´ modulateur en anneau :
e e e
D1

D2
n n
m(t) n n u(t) s(t)
n n
D'
2

D'1 f0

c(t)
Le signal c(t) commande l’ouverture des diodes disposés en anneau (d’o` le nom de
e u
modulateur en anneau) et assure ainsi la multiplication par ±1 : si c(t) = +U , les diodes
D1 et D1 conduisent et les diodes D2 et D2 sont bloqués et u(t) = m(t) ; si c(t) = −U ,
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.4. D´modulation des signaux AM DBSP
e 19

les diodes D2 et D2 conduisent et les diodes D1 et D1 sont bloqu´es et u(t) = −m(t).
e

c(t) = +U et m(t) > 0 c(t) = -U et m(t) > 0
D1

D2
L L L L
m(t) L L m(t) m(t) L L -m(t)
L U L L U L
D'
2

D'1

c(t) = +U et m(t) < 0 c(t) = -U et m(t) < 0
D1

D2
L L L L
m(t) L L m(t) m(t) L L -m(t)
L U L L U L
D'
2

D'1

2.4 D´modulation des signaux AM DBSP
e
2.4.1 Principe

s(t) = m(t) cos 2πf0t v(t) ^
m(t)

passe bas
cos 2πf0t : porteuse locale

v(t) = s(t) cos 2πf0 t = m(t) cos2 2πf0 t
1 1 1
= m(t) · (1 + cos 4πf0 t) = m(t) + m(t) cos 4πf0 t
2 2 2
Apr`s ﬁltrage passe bas de v(t), on obtient le signal d´modul´ :
e e e
1
m(t) = m(t)
ˆ
2

`
e ISET Rad`s
e


2.4.2 Repr´sentation spectrale
e
Am(f)
signal modulant
A

f
Bm
As(f)
signal modulé
A
2

f
f0 - Bm f0 f0 + Bm
Av(f)
A filtrage
2 passe bas A
4
f
f0 - Bm f0 f0 + Bm

Am(f)
^

A signal démodulé
2

f
Bm
2.4.3 Probl`me de la d´modulation du signal AM DBSP
e e
Si la porteuse locale est affecté d’un d´phasage ϕ, on a :
e e
v(t) = s(t) cos(2πf0 t + ϕ) = m(t) cos 2πf0 t · cos(2πf0 t + ϕ)
1 1
= m(t) cos ϕ + m(t) cos(4πf0 t + ϕ)
2 2
Apr`s filtrage passe bas :
e
1
m(t) = m(t) cos ϕ
ˆ
2
On constate qu’il y a attńuation du signal d´modul´, d’o` la nćessit´ que la porteuse lo-
e e e u e e
cale soit en phase avec la porteuse re¸ue : d´modulation coh´rente ou synchrone. Solution :
c e e
transmission s´paré d’une porteuse de r´f´rence appelé fr´quence pilote.
e e ee e e
La modulation AM DBSP n’est pas utilisé pour la radiodiffusion mais pour des techniques
e
de multiplexage fr´quentiel : transmission de plusieurs signaux sur un mˆme support,
e e
chaque signal ´tant transmis sur une porteuse diff´rente.
e e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 21

2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse
2.5.1 Principe
Soit p(t) = A cos 2πf0 t la porteuse et m(t) le message ` transmettre. Le signal AM DBAP
a
s’´crit :
e
s(t) = (A + m(t)) cos 2πf0 t

Dans le cas d’un signal modulant sinuso¨
ıdal m(t) = Am cos 2πfm t, le signal AM DBAP
devient :
s(t) = (A + Am cos 2πfm t) cos 2πf0 t

Am
= A(1 + A
cos 2πfm t) cos 2πf0 t

= A(1 + k cos 2πfm t) cos 2πf0 t

avec k = Am : indice de modulation (ou taux de modulation) = rapport entre l’amplitude
A
du signal modulant et celle de la porteuse.
Pour un signal modulant quelconque, l’indice de modulation est d´ﬁni par :
e

|m(t)|max
k=
A

2.5.2 Repr´sentation temporelle du signal AM DBAP
e
m(t) signal modulant
Am

t

-Am
k<1 k>1
s(t) s(t) s(t)
(k = 0,5) k=1 enveloppe (k = 1,5)
1,5 A smax 2A 2,5 A
du signal
A
A A
0,5 A smin
0,5 A
t t t
-0,5 A
-0,5 A
A A
A
-1,5 A 2A -2,5 A

Si k ≤ 1, l’enveloppe du signal modul´ s(t) poss`de exactement la forme du signal modu-
e e
lant. Si k > 1, l’enveloppe du signal modul´ ne correspond plus au signal modulant : la
e
signal AM est surmodul´. En pratique, on doit toujours avoir k ≤ 1.
e

`
e ISET Rad`s
e


D´termination de l’indice de modulation k ` partir de la repr´sentation temporelle du
e a e
signal AM DBAP :
smax = A(1 + k) smax − smin
⇒k=
smin = A(1 − k) smax + smin

Autre m´thode de d´termination pratique de l’indice de modulation d’un signal AM
e e
DBAP : m´thode du trap`ze. On trace le signal modul´ s(t) en fonction du signal modu-
e e e
lant m(t) :
k<1 s(t) s(t)
M k>1
smax = A (1+k) M

smax - smin
smax + smin
N
smin = A (1-k) P
m(t)
m(t)

-smin = -A (1-k)

-smax = -A (1+k) N
P

smax − smin MN
k= ⇒k=
smax + smin MP

2.5.3 Repr´sentation spectrale du signal AM DBAP
e

s(t) = A(1 + k cos 2πfm t) cos 2πf0 t

= A cos 2πf0 t + kA cos 2πfm t cos 2πf0 t

= A cos 2πf0 t + kA
2
cos 2π(f0 − fm )t + kA
2
cos 2π(f0 + fm )t

Le spectre du signal AM DBAP poss`de donc une raie d’amplitude A ` la fr´quence f0
e a e
de la porteuse et deux raies lat´rales d’amplitude kA aux fr´quences f0 − fm et f0 + fm .
e 2
e
As(f)

A
kA kA
2 2

f
f 0 - f m f0 f0 + f m

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 23

Cas d’un signal modulant quelconque :
As(f)

bande A bande
latérale latérale
inférieure supérieure

f
f0 - Bm f0 f0 + Bm
Occupation spectrale du signal AM DBAP :

Bs = 2Bm

2.5.4 Puissance d’un signal AM DBAP
On a les relations suivantes :
⎧
⎪ Ps = Pporteuse + PBLI + PBLS
⎨
⎪
⎩
PBLI = PBLS

d’o` :
u
Ps = Pporteuse + 2 × PBL

ıdal :

A2 ( kA )2 A2 k 2 A2 k2 A2
Ps = +2× 2 = + = 1+
2 2 2 4 2 2

Ainsi :
k2
Ps = 1 + Pporteuse
2

En g´n´ral, le signal AM transmis ne doit pas ˆtre surmodul´ : k ≤ 1. Pour k = 1 (valeur
e e e e
maximale), on a donc :
3 2
Ps = Pporteuse ⇒ Pporteuse = Ps
2 3
Donc seul un tiers (au maximum) de la puissance du signal AM contient l’information
utile. C’est un inconv´nient de la modulation AM DBAP : gaspillage de puissance.
e

`
e ISET Rad`s
e


2.6 Gń´ration du signal AM DBAP
e e
2.6.1 M´thode directe
e
m(t)
s(t)
Σ
A
cos 2πf0t
Cette m´thode est tr`s peu utilisé.
e e e

2.6.2 Utilisation d’une non linárit´
e e
m(t) x(t) y(t) s(t)
Σ NL

f0
p(t) = A cos 2πf0t
Exemple : on consid`re la non linárit´ d´finie par :
e e e e
y = F (x) = a0 + a1 x + a2 x2
Le signal y(t) s’ćrit alors :
e
y(t) = F (m(t) + p(t))

= a0 + a1 [m(t) + p(t)] + a2 [m(t)2 + p(t)2 + 2m(t)p(t)]

= a0 + a1 m(t) + a1 p(t) + a2 m(t)2 + a2 p(t)2 + 2a2 m(t)p(t)
0 Bm f0 2Bm 2f0 f0

Apr`s filtrage passe bande du signal y(t) autour de la fr´quence f0 , on obtient :
e e
s(t) = a1 p(t) + 2a2 m(t)p(t)

= [a1 + 2a2 m(t)] p(t)
C’est bien un signal AM DBAP :
filtrage
Ay(f) passe bande
autour de f0
a0 a1p(t)
a1m(t) a2p(t)2
a2m(t)2 2a2(m(t)p(t)

f
Bm 2Bm f0 2f0

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.6. Gń´ration du signal AM DBAP
e e 25

Application pratique :
+Vcc
impédance Z

R
C L

ic s(t)

Cl
iHF Rb ib
VCE
iBF
LA

HF BF
porteuse signal
modulant

Dans ce circuit, le condensateur de liaison Cl (imp´dance faible aux hautes fr´quences,
e e
´levé aux basses fr´quences) et l’inductance d’arrˆt LA (imp´dance ´levé aux hautes
e e e e e e e
fr´quences, faible aux basses fr´quences, appelé ´galement self de choc) permettent l’ai-
e e e e
guillage des courants HF et BF vers la base du transistor sans que les deux sources
(porteuse et signal modulant) ne se perturbent mutuellement. On a ainsi :
ib = iHF + iBF
Le point de fonctionnement du transistor est choisi dans la zone non lináire de sa ca-
e
ract´ristique IC − VCE :
e
IC coude de saturation
IC = β IB Vcc = non linéarité
R

point de
fonctionnement

IB VCE
Vcc
variation de variation de
ib = iHF + iBF VCE = f(iHF + iBF)

Ainsi, la tension VCE est bien une fonction non lináire de ib = iHF + iBF , pouvant ˆtre
e e
repr´senté sous la forme :
e e
VCE = a0 + a1 ib + a2 i2 + · · ·
b

`
e ISET Rad`s
e


Le filtrage autour de la fr´quence f0 de la porteuse est effectu´ par le circuit RLC se
e e
trouvant dans le circuit de collecteur du transistor. En effet, l’imp´dance du circuit RLC
e
est :
1
Z(f ) = 1
R
+ j 2πf C − 2πf L
1

et sa fr´quence de r´sonnance est :
e e
1
fr = √
2π LC
Celle-ci est choisie telle que fr = f0 .

Z(f)
R

fr = f 0 f

En dehors de la r´sonnance (f
e f0 ou f f0 ), Z ≈ 0 et VCE = Vcc = constante. A la
r´sonnance, Z = R et on a alors le signal AM DBAP sur le collecteur du transistor. On
e
a donc bien un filtrage de la porteuse et des bandes lat´rales.
e

2.6.3 Amplificateur ` gain variable
a

p(t) = A cos 2πf0t s(t)
(porteuse) Ampli
HF
commande
de gain
m(t)
(signal modulant)
A la fr´quence f0 de la porteuse, l’amplificateur HF a un gain G(f0 ) = G0 e jϕ0 . Pour
e
une entré p(t) = A cos 2πf0 t, on a s(t) = AG0 cos(2πf0 t + ϕ0 ). Le gain G0 d´pend des
e e
polarisations du montage, on peut donc faire varier G0 en fonction de m(t) en agissant
sur ces polarisations. Ainsi, le gain devient :
G = G0 + αm(t)
Le signal modulant m(t) varie lentement par rapport a la porteuse d’o` :
` u
α
s(t) = A[G0 + αm(t)] cos(2πf0 t + ϕ0 ) = AG0 1 + m(t) cos(2πf0 t + ϕ0 )
G0
C’est bien un signal AM DBAP.

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.7. D´modulation des signaux AM DBAP
e 27

Exemple de r´alisation d’un ´metteur AM 27 MHz :
e e
+12 V
BD158 entrée
10 nF
modulation

antenne
+12 V
10 nF L2*
5-65 10 nF
L1* L3*
pF
12 kΩ
100 pF

7-100 7-100
27 MHz pF pF
2N3053
2N2218

220 Ω
6,8 kΩ 47 Ω
47 nF

* L1 : 10 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm
L2 : 15 spires, fil diamètre 1 mm, noyau ferrite diamètre 9 mm
L3 : 12 spires, fil diamètre 0,4 mm, noyau VK200

2.7 D´modulation des signaux AM DBAP
e

2.7.1 D´modulation coh´rente
e e

v(t) ^
m(t)
s(t)

passe bas suppression
de la composante
cos 2πf0t continue
(porteuse locale)

`
e ISET Rad`s
e


Pour un signal m(t) tel que |m(t)|max = 1, on a :

v(t) = s(t) cos 2πf0 t

= A(1 + k · m(t)) cos2 2πf0 t

= A
2
(1 + k · m(t))(1 + cos 4πf0 t)

A k·A A k·A
= 2
+ 2
m(t) + 2
cos 4πf0 t + 2
m(t) cos 4πf0 t

Apr`s filtrage passe-bas et suppression de la composante continue :
e
k·A
m(t) =
ˆ m(t)
2
La d´modulation coh´rente pr´sente le probl`me de la synchonisation de la porteuse locale
e e e e
avec la porteuse a l’´mission. Une m´thode de d´modulation plus efficace est la d´tection
` e e e e
d’enveloppe.

2.7.2 D´modulation AM par d´tection d’enveloppe
e e
Principe : mesure de l’enveloppe du signal pour rćup´rer le signal modulant m(t) :
e e
s(t)

enveloppe = m(t)

t

D´tecteur d’enveloppe :
e
suppression
redresseur cellule RC de la composante
continue

C'
s(t) R C R' ^
m(t)

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.7. D´modulation des signaux AM DBAP
e 29

Fonctionnement : le signal AM est redress´ par la diode afin de garder seulement l’alter-
e
nance positive. Le signal AM ne doit pas ˆtre surmodul´ pour que l’enveloppe du signal
e e
redress´ soit proportionelle au signal modulant :
e
signal AM
redressé

t

Pendant l’alternance positive du signal AM o` la diode conduit, le condensateur C se
u
charge. Lorsque la diode se bloque pendant l’alternance n´gative, le condensateur se
e
dćharge ` travers la r´sistance R avec une constante de temps τ = RC. Si cette constante
e a e
de temps est suffisamment grande, la tension aux bornes du condensateur reproduit ap-
proximativement la forme de l’enveloppe du signal AM.

tension aux bornes
du condensateur

t

Apr`s ´limination de la composante continue, on obtient le signal d´modul´ :
e e e e

^
m(t)

t

`
e ISET Rad`s
e


Si τ est de l’ordre de la p´riode Tm = f1 du signal modulant, le condensateur se dćharge
e m
e
trop lentement → le signal d´modul´ ne peut pas suivre les variations du signal modulant :
e e

Tm

t
1
Si τ est de l’ordre de la p´riode T0 =
e de la porteuse, le condensateur se dćharge trop
f0
e
rapidement → le signal d´modul´ pr´sente une forte ondulation haute fr´quence :
e e e e

T0

t
Pour une d´modulation correcte, on doit donc avoir :
e

T0 τ Tm

c’est-`-dire :
a
1
fm f0
RC
L’avantage de la modulation AM DBAP est la simplicit´ de la rálisation du d´modulateur.
e e e
La modulation AM DBAP est tr`s utilisé pour la radiodiffusion.
e e

2.8 La modulation AM ` Bande Lat´rale Unique
a e
2.8.1 Principe
En modulation AM double bande, avec ou sans porteuse, le spectre du signal modul´ e
pr´sente deux bandes lat´rales sym´triques autour de la fr´quence de la porteuse. Ces
e e e e
deux bandes lat´rales se d´duisent l’une de l’autre, donc elles contiennent chacune la
e e
mˆme information. Leur occupation spectrale vaut le double de celle du signal en bande
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.8. La modulation AM ` Bande Lat´rale Unique
a e 31

de base. Il y a donc un gaspillage de la puissance de l’´metteur et de la bande passante
e
du canal de transmission.
Principe de la modulation AM a bande lat´rale unique (BLU) : supprimer l’une des deux
` e
bandes lat´rales du signal transmis pour une meilleure exploitation de la puissance et de
e
la bande passante.
La modulation BLU (ou SSB : Single Side Band ) est principalement utilisé en ra-
e
diot´l´phonie militaire et marine.
ee

2.8.2 Caract´ristiques du signal BLU
e
Am(f)
signal modulant

f
Bm
As(f) As(f)
signal BLU signal BLU
bande latérale bande latérale
inférieure ou supérieure

f f
f0 - Bm f0 f0 f0 + Bm
Occupation spectrale du signal BLU :

Bs = Bm

2.8.3 Gń´ration du signal BLU par filtrage passe-bande
e e

passe bande

m(t) s(t)

f0 + B m (BLS)
2
ou
f0 - Bm (BLI)
2
cos 2πf0t

`
e ISET Rad`s
e


As(f) filtrage de la
bande latérale
supérieure

f
f0 f0 + Bm

Probl`me pos´ par cette m´thode : rálisation d’un filtre passe-bande avec une coupure
e e e e
nette en f0 (pente infinie) → le spectre du signal modulant ne doit pas contenir de
fr´quences tr`s basses pour pouvoir utiliser un filtre passe-bande rálisable.
e e e
En pratique, on supprime les fr´quences du signal modulant comprises dans un intervalle
e
[0 ∆f ] ` l’aide d’un filtre passe bande avant d’effectuer la modulation (∆f = 300 Hz pour
a
la t´l´phonie) :
ee
signal modulant signal BLU
Am(f) As(f) 2∆f
∆f filtrage
passe-bande
réalisable

f f
Bm f0 - ∆f f0 f0 + ∆f f0 + Bm

Pour augmenter encore ∆f afin de pouvoir utiliser un filtre passe-bande avec une faible
pente, on peut ráliser une double modulation BLU :
e

signal modulant signal BLU
Am(f)
∆f première As(f) 2(f1 + ∆f) filtrage
f1 + ∆f deuxième
passe-bande
modulation modulation à faible pente
BLU BLU

f f f
Bm f1 f1 + ∆f f2

m(t) s(t)

cos 2πf1t cos 2πf2t

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.8. La modulation AM ` Bande Lat´rale Unique
a e 33

2.8.4 Gń´ration du signal BLU par la m´thode du d´phasage
e e e e

m(t) cos 2πf0t

+
s(t)
filtre
−
π Σ
déphaseur 2 + (BLS)
− (BLI)
sin 2πf0t
m1(t)

Le filtre d´phaseur (ou filtre de Hilbert) pr´sente un gain ´gal a 1 et introduit un d´phasage
e e e ` e
de − 2 dans la bande de fr´quences [0 Bm ] (Bm : occupation spectrale du signal modulant) :
π
e
H(f)
1

f
Bm

H(f)
f
Bm
π
−
2
Pour un signal modulant m(t) = Am cos 2πfm t, on a :
s(t) = m(t) cos 2πf0 t ± m1 (t) sin 2πf0 t

= Am cos 2πfm t cos 2πf0 t ± Am sin 2πfm t sin 2πf0 t

= Am
2
cos 2π(f0 + fm )t + Am
2
cos 2π(f0 − fm )t

± A2 [cos 2π(f0 + fm )t − cos 2π(f0 − fm )t]
m

Am cos 2π(f0 + fm )t (+ : BLS)
=
Am cos 2π(f0 − fm )t (− : BLI)
La rálisation pratique du filtre d´phaseur reste cependant d´licate.
e e e

`
e ISET Rad`s
e


2.8.5 D´modulation du signal BLU
e
La d´modulation d’un signal BLU se fait par d´modulation coh´rente :
e e e

v(t) ^
m(t)
s(t)

passe bas
cos 2πf0t : porteuse locale

Pour un signal BLU s(t) = Am cos 2π(f0 + fm )t, on a :

v(t) = s(t) cos 2πf0 t

= Am cos 2π(f0 + fm )t cos 2πf0 t

Am Am
= 2
cos 2πfm t + 2
cos 2π(2f0 + fm )t

Apr`s filtrage passe-bas, on obtient le signal d´modul´ :
e e e
Am 1
m(t) =
ˆ cos 2πfm t = m(t)
2 2

2.9 La modulation AM ` Bande Lat´rale R´siduelle
a e e
La modulation AM a Bande Lat´rale R´siduelle (BLR ou VSB : Vestigial Side Band ) est
` e e
utilisé lorsque les signaux ` transmettre pr´sentent des composantes spectrales impor-
e a e
tantes aux tr`s basses fr´quences qui ne peuvent donc pas ˆtre ´liminés comme dans le
e e e e e
cas de la modulation BLU. Exemple caract´ristique : les signaux vidó. La modulation
e e
BLR est une technique interm´diaire entre les modulations double bande et BLU.
e
Principe :
symétrie
signal modulant locale filtrage signal BLR
Am(f) As(f)

modulation
double bande
sans porteuse

Bm f f0 - Bm f0 f 0 + Bm f f0 − αBm f0 + Bm f

L’occupation spectrale du signal BLR est :

Bs = (1 + α)Bm avec 0 < α < 1 (α = 0, 15 en gń´ral)
e e

On montre que la d´modulation d’un signal BLR peut se faire par d´tection d’enveloppe.
e e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.10. Exercices 35

2.10 Exercices
2.10.1 Modulateur AM ` non linárit´ cubique
a e e
Le sch´ma bloc suivant repr´sente un modulateur d’amplitude o` p(t) = A cos 2πf0 t
e e u
repr´sente la porteuse et m(t) = b · x(t) le signal modulant avec |x(t)| ≤ 1. Le circuit non
e
lináire est caract´ris´ par l’´quation vs = a · ve o` vs d´signe sa sortie et ve son entré.
e e e e 3
u e e

m(t) + ve(t) vs(t) s(t)
Σ Σ
+
NL
+ filtre
+
e(t) passe bande
diviseur
:2 de fréquence
p(t)

1. Donner l’expression des signaux ve (t) et vs (t).
2. Quelle est la condition sur le filtre passe bande pour obtenir un signal AM DBAP
en sortie ? Donner alors l’expression de s(t).
3. D´terminer l’indice de modulation k du signal AM si A = 1, a = 2 et b = 0,2.
e
Donner la repr´sentation temporelle puis spectrale de s(t).
e
Correction :
1. On a :
ve (t) = m(t) + e(t)
= bx(t) + A cos ω2 t avec ω0 = 2πf0
0

et :
3
vs (t) = ave (t)3 = a bx(t) + A cos ω2 t
0

= ab3 x(t)3 + 3abx(t)A2 cos2 ω2 t + 3ab2 x(t)2 A cos ω2 t + aA3 cos3
0 0 ω0 t
2
= ab3 x(t)3 + 3abx(t)A2 1 + 1 cos ω0 t + 3ab2 x(t)2 A cos ω2 t
2 2
0

3
+aA3 4
cos ω2 t + 1 cos 3ω0 t
0
4 2

2. Le signal vs (t) poss`de des composantes spectrales aux fr´quences f0 , f20 et 3f0 . La
e e 2
composante a la fr´quence f0 correspond au produit de x(t) par la porteuse. Il faut
` e
donc garder seulement ce terme pour obtenir la modulation souhaité : le filtre passe
e
bande doit ainsi poss´der une fr´quence centrale fc = f0 . A la sortie du filtre passe
e e
bande, il ne reste plus que le terme 3 abA2 x(t) cos ω0 t. Le signal s(t) s’ćrit alors :
2
e

3 3abA
s(t) = A cos 2πf0 t + abA2 x(t) cos 2πf0 t = A 1 + x(t) cos 2πf0 t
2 2
3abA
C’est bien un signal AM DBAP dont l’indice de modulation est k = 2
puisqu’on
a |x(t)| ≤ 1.

`
e ISET Rad`s
e


3. Pour A = 1, a = 2 et b = 0,2, on a :

3abA 3 × 2 × 0,2 × 1
k= = = 0,6
2 2
Repr´sentation temporelle (cas d’un signal modulant sinuso¨
e ıdal) :
amplitude
2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
0 5 10 15
temps

Repr´sentation spectrale :
e
amplitude
1

0,3

f 0 − fm f0 f0 + fm fréquence

2.10.2 Modulation d’amplitude en quadrature (QAM)
On veut transmettre deux messages m1 (t) et m2 (t) dont l’occupation spectrale est res-
pectivement Bm1 et Bm2 sur une mˆme porteuse de fr´quence f0 . Pour cela, on utilise le
e e
syst`me de modulation suivant :
e

m1(t)

cos 2πf0t
+
s(t)
π/2 Σ
+
sin 2πf0t

m2(t)

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.10. Exercices 37

1. Ecrire l’expression temporelle du signal s(t) a transmettre (signal QAM).
`
2. Repr´senter le spectre de s(t) en fonction de celui de m1 (t) et m2 (t) dans le cas o`
e u
m1 (t) et m2 (t) sont des signaux sinuso¨
ıdaux de fr´quences respectives fm1 et fm2 .
e
3. Donner l’occupation spectrale de s(t) et conclure.
4. Proposer un d´modulateur qui permet d’extraire les signaux m1 (t) et m2 (t) du signal
e
s(t).
Correction :
1. D’apr`s le sch´ma synoptique du modulateur, on a :
e e
s(t) = m1 (t) cos 2πf0 t + m2 (t) sin 2πf0 t
Le signal s(t) est la somme des signaux AM DBSP m1 (t) cos 2πf0 t et m2 (t) sin 2πf0 t.
2. Le spectre du signal QAM s(t) est la somme des spectres des deux signaux AM
DBSP :
signaux modulants
Am1
Am2

f f
fm1 fm2
signaux modulés en amplitude DBSP
Bm1 = 2 fm1
Bm2 = 2 fm2
Am1
2 Am2
2

f f
f0 − fm1 f0 f0 + fm1 f0 − fm2 f0 f0 + fm
2

signal s(t) transmis
Bs = 2 max(Bm1,Bm2)
Am1
2
Am2
2

f0 − fm2 f0 − fm1 f0 f0 + fm1 f0 + fm2 f

3. D’apr`s le spectre de s(t), on a :
e
Bs = 2 × max(Bm1 , Bm2 )
Le signal QAM contient deux signaux modulants et donc deux informations diﬀ´ren-e
tes. L’occupation spectrale de ce signal est ´gale a celle d’un signal AM DBSP qui ne
e `
contient qu’un seul signal. Donc la modulation QAM permet de transmettre deux
fois plus d’information que la modulation AM DBSP en utilisant la mˆme bande
e
passante.

`
e ISET Rad`s
e


4. On peut utiliser le d´modulateur suivant :
e
v1(t) ^
m1(t)

s(t) cos 2πf0t
π/2

sin 2πf0t
v2(t) ^
m2(t)

En effet, on a :
v1 (t) = s(t) cos 2πf0 t = m1 (t) cos2 2πf0 t + m2 (t) sin 2πf0 t cos 2πf0 t
1 1
= m1 (t)(1 + cos 4πf0 t) + m2 (t) sin 4πf0 t
2 2
1 1 1
= m1 (t) + m1 (t) cos 4πf0 t + m2 (t) sin 4πf0 t
2 2 2
2f0 2f0

Le filtre passe bas permet d’´liminer les composantes ` la fr´quence 2f0 et on a
e a e
donc :
1
m1 (t) = m1 (t)
ˆ
2
De mˆme :
e
v2 (t) = s(t) sin 2πf0 t = m1 (t) cos 2πf0 t sin 2πf0 t + m2 (t) sin2 2πf0 t
1 1
= m1 (t) sin 4πf0 t + m2 (t)(1 − cos 4πf0 t)
2 2
1 1 1
= m1 (t) sin 4πf0 t + m2 (t) − m2 (t) cos 4πf0 t)
2 2 2
2f0 2f0

Le filtre passe bas permet d’´liminer les composantes ` la fr´quence 2f0 et on a
e a e
donc :
1
m2 (t) = m2 (t)
ˆ
2

2.10.3 D´modulation quadratique
e
On consid`re un signal s(t) modul´ en amplitude DBAP. D´terminer ` quelle condition
e e e a
le dispositif suivant permet de d´moduler s(t) :
e

s(t) m(t)
(.)2

Suppression
Filtre
Quadrateur de la composante
passe-bas
continue

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.10. Exercices 39

Correction :
Pour un signal modulant m(t) tel que |m(t)| ≤ 1, on a :

s(t) = A ((1 + k m(t)) cos 2πf0 t

et donc :
s(t)2 = A2 ((1 + k m(t))2 cos2 2πf0 t
A2
= 1 + 2k m(t) + k 2 m(t)2 (1 + cos 4πf0 t)
2
A2
= 1 + cos 4πf0 t + 2k m(t) + 2k m(t) cos 4πf0 t + k 2 m(t)2 + k 2 m(t)2 cos 4πf0 t
2
Apr`s filtrage passe bas et ´limination de la composante continue, on obtient :
e e

k 2 A2
m(t) = kA2 m(t) +
ˆ m(t)2
2
Pour que le signal d´modul´ m(t) soit proportionnel au signal modulant m(t), il faut que
e e ˆ
2 A2
le terme k 2 m(t)2 soit faible devant le terme kA2 m(t) :

k 2 A2
m(t)2 kA2 m(t)
2

⇒ |km(t)| 2
Comme on a |m(t)| ≤ 1, la condition s’ćrit :
e

|k| 2

2.10.4 Codage et dćodage st´róphonique
e e e
Le signal composite st´róphonique c(t) poss`de le spectre suivant :
ee e

Ac(f)

Gauche + Droite

Sous-porteuse
Gauche − Droite

0 15 kHz 19 kHz 23 kHz 38 kHz 53 kHz f

Il contient les voies droite d(t) et gauche g(t) par multiplexage fr´quentiel. La somme g(t)+
e
d(t) est transmise en bande de base, la diff´rence g(t) − d(t) est transmise en modulation
e
DBSP ` la fr´quence f0 = 38 kHz. On ajoute en plus une sous-porteuse (fr´quence pilote)
a e e
` 19 kHz pour faciliter la synchronisation du d´modulateur a la rćeption.
a e ` e
1. Justifier le choix du signal composite utilis´.
e
2. Donner l’expression du signal composite c(t).

`
e ISET Rad`s
e


3. Proposer un sch´ma de dćodeur st´róphonique permettant d’obtenir s´par´ment
e e ee e e
les signaux g(t) et d(t). On utilisera une d´modulation coh´rente et des filtres.
e e
Correction :
1. Le signal composite utilis´ permet de transmettre un signal st´róphonique, c’est-`-
e ee a
dire contenant un signal « gauche » g(t) et un signal « droite » d(t) , sans affecter la
rćeption monophonique. En effet, un rćepteur monophonique doit ˆtre capable de
e e e
recevoir correctement une ´mission st´róphonique. Pour cela, on ne transmet pas
e ee
directement les signaux g(t) et d(t) mais plutˆt le signal g(t) + d(t) qui constitue le
o
signal monophonique et le signal g(t) − d(t) modul´ sur une sous-porteuse de 38 kHz
e
situé au-del` du spectre des fr´quences audibles. Un rćepteur monophonique re¸oit
e a e e c
donc seulement le signal g(t) + d(t) tandis qu’un rćepteur st´róphonique re¸oit en
e ee c
plus le signal g(t) − d(t). Le rćepteur st´róphonique peut ainsi reconstituer les
e ee
signaux g(t) et d(t) ` partir du signal composite re¸u.
a c
2. D’apr`s le spectre du signal composite, on a :
e
f0
c(t) = g(t) + d(t) + (g(t) − d(t)) cos 2πf0 t + cos 2π t
2
avec f0 = 38 kHz.
3. Sch´ma d’un dćodeur st´róphonique :
e e ee

0 - 15 kHz
g(t) + d(t) g(t)

23 -53 kHz +/−
0 - 15 kHz
c(t) g(t) − d(t) d(t)

38 kHz
19 kHz

x2
multiplicateur
de fréquence

2.10.5 Cryptage par inversion de spectre
On veut crypter un message m(t), une ´mission de t´l´vision par exemple, dont l’occu-
e ee
pation spectrale est Bm . Proposer le sch´ma de principe d’un syst`me qui effectue une
e e
inversion de spectre :

Am(f) A'm(f)

cryptage

f f

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

2.10. Exercices 41

Correction :
Pour r´aliser le cryptage par inversion de spectre, on peut eﬀectuer une modulation a
e `
bande lat´rale unique en conservant la bande lat´rale inf´rieure qui est sym´trique par
e e e e
rapport a la bande lat´rale sup´rieure puis d´moduler ce signal :
` e e e

Am(f) A'm(f)
signal en "clair" modulation Bande signal crypté
BLU Latérale démodulation
Inférieure

f f f
Bm f0 − B m f0

2.10.6 Puissance d’un signal AM
Sachant qu’un signal AM double bande avec porteuse est ´mis avec une puissance de
e
1000 W, compl´ter le tableau suivant :
e

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)
1
734,6
956,9 21,9
87,2

Correction :

Premi`re ligne du tableau :
e
k2
Ps = 1 + 2
Pporteuse ⇒ Pporteuse = Ps
2
= 1000
1,5
= 666,7 W
1+ k2

Ps −Pporteuse
Ps = Pporteuse + 2PBL ⇒ PBLI = PBLS = 2
= 1000−666,7
2
= 166,7 W

Deuxi`me ligne :
e
k2
Ps = 1 + 2
Pporteuse ⇒ k = 2 Ps
Pporteuse
−1 = 2× 1000
734,6
− 1 = 0,85

Ps −Pporteuse
Ps = Pporteuse + 2PBL ⇒ PBLI = PBLS = 2
= 1000−734,6
2
= 132,7 W

Troisi`me ligne :
e
2
Ps = 1 + k2 Pporteuse k2 k2
⇒ 1+ 2
Pporteuse = Pporteuse + 2PBL ⇒ P
2 porteuse
= 2PBL
Ps = Pporteuse + 2PBL

k2
⇒ PBL
Pporteuse
= 4
⇒k=2 PBL
Pporteuse
=2× 21,9
956,9
= 0,3

PBLS = PBLI = 21,9 W

`
e ISET Rad`s
e


Quatri`me ligne :
e
⎫
Pporteuse = Ps ⎪
⎬
1+ k
2 Ps 4 PPs
BL
4 × 1000
87,2
2 ⇒ = Ps − 2PBL ⇒ k = =
⎪ k2 1 − 2 PPs 1 − 2 × 1000
87,2
Pporteuse = Ps − 2PBL ⎭
BL
1+ 2

= 0,65
Ps 1000
Pporteuse = k2
= 0,652
= 825,6 W
1+ 2
1+ 2

PBLS = PBLI = 87,2 W

On a ainsi :

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)
1 666,7 166,7 166,7
0,85 734,6 132,7 132,7
0,3 956,9 21,9 21,9
0,65 825,6 87,2 87,2

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

Chapitre 3

La modulation de fr´quence
e

3.1 D´finitions
e
Soit un signal s(t) = A cos(2πf0 t + ϕ(t)). On d´finit :
e

- la phase instantané :
e
Θi (t) = 2πf0 t + ϕ(t)

- la fr´quence instantané :
e e

1 dΘi (t) 1 dϕ(t)
Fi (t) = = f0 +
2π dt 2π dt

La modulation de fr´quence (FM : Frequency Modulation) est la transformation du mes-
e
sage m(t) ` transmettre en variations de la fr´quence instantané du signal s(t) qui est
a e e
transmis sur le canal de transmission. La transformation est lináire :
e

Fi (t) = f0 + kf · m(t)

On en d´duit l’expression du signal modul´ en fr´quence :
e e e

t t
Θi (t) = 2π Fi (u)du = 2πf0 t + 2πkf m(u)du
0 0

d’o` :
u
t
s(t) = A cos 2πf0 t + 2πkf m(u)du
0

`
e ISET Rad`s
e

44 Chapitre 3. La modulation de fr´quence
e

e

m(t)
signal modulant

t

s(t) signal FM

t

3.2 Caract´ristiques de la modulation de fr´quence
e e
La FM poss`de une tr`s bonne r´sistance au bruit (perturbations) : elle est utilisé pour
e e e e
la radiodiffusion haute fid´lit´ et les transmissions par satellites.
e e
C’est une modulation a enveloppe constante, d’o` :
` u
2
- puissance constante : PF M = A , ind´pendante du signal modulant m(t), ce qui
2
e
facilite le dimensionnement et la rálisation des ´metteurs ;
e e
- r´sistance aux non linárit´s :
e e e
s(t) u(t)
NL
signal FM

u = a0 + a1 s + a 2 s 2 + a 3 s 3 + · · ·

s(t) = A cos(2πf0 t + ϕ(t))

u(t) = m + n cos(2πf0 t + ϕ(t)) + p cos(4πf0 t + 2ϕ(t)) + q cos(6πf0 t + 3ϕ(t)) + · · ·
Un filtrage passe bande permet de rćup´rer le signal FM : n cos(2πf0 t + ϕ(t)).
e e
On peut ainsi utiliser, pour l’amplification des signaux FM, des amplificateurs de
puissance fonctionnant pr`s de la saturation (zone fortement non lináire), donc
e e
avec un tr`s bon rendement : amplificateurs a T.O.P (tubes a ondes progressives)
e ` `
pour les transmissions satellites et les faisceaux hertziens.

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.3. Analyse spectrale du signal FM 45

3.3 Analyse spectrale du signal FM
3.3.1 D´veloppement en s´rie de Fourier d’un signal FM
e e
Soit un signal FM :
t
s(t) = A cos 2πf0 t + 2πkf m(u)du
0

On ne sait pas calculer le spectre de s(t) pour un signal modulant m(t) quelconque. On
effectue le calcul dans le cas d’un signal modulant sinuso¨
ıdal :

m(t) = Am cos 2πfm t

Dans ce cas, la fr´quence instantané du signal FM est :
e e

Fi (t) = f0 + kf m(t) = f0 + kf Am cos 2πfm t

ıdale dans un intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f ] avec :
Fi (t) varie de mani`re sinuso¨
e

∆f = kf Am

∆f est appel´ excursion maximale en fr´quence. C’est une grandeur proportionnelle a
e e `
l’amplitude du signal modulant.
On en d´duit la phase instantané du signal FM :
e e
t kf Am
Θi (t) = 2π Fi (u)du = 2πf0 t + sin 2πfm t
0 fm
On d´finit l’indice de modulation du signal FM :
e
∆f kf Am
β= =
fm fm
Le signal FM s’ćrit donc :
e

s(t) = A cos (2πf0 t + β sin 2πfm t)

C’est un signal p´riodique. On montre que son d´veloppement en s´rie de Fourier s’ćrit :
e e e e
+∞
s(t) = A Jn (β) cos 2π(f0 + nfm )t
n=−∞

o` Jn (β) est la fonction de Bessel de premi`re esp`ce d’ordre n.
u e e

3.3.2 Les fonctions de Bessel de premi`re esp`ce
e e
La fonction de Bessel de premi`re esp`ce d’ordre n est d´finie par :
e e e
π
1
d´f
e
Jn (x) = exp(jx sin θ − jnθ)dθ
2π
−π

`
e ISET Rad`s
e

e

Elle peut ˆtre d´velopp´e en s´rie par :
e e e e
+∞
(−1)m ( x )n+2m
2
Jn (x) =
m=0 m! (n + m)!

Elle poss`de les propri´t´s suivantes :
e ee

Jn (x) = (−1)n J−n (x)

Jn (x) = (−1)n Jn (−x)
2n
Jn−1 (x) + Jn+1 (x) = Jn (x)
x
xn
Pour x 1, Jn (x) ≈ n
2 n!
2 π nπ
Pour x 1, Jn (x) ≈ cos x − −
πx 4 2
+∞ +∞ +∞
2
Jn (x) = Jn (x)Jm (x) = 1
n=−∞ n=−∞ m=−∞

e

1

J0(β)

J1(β)
J2(β)
0.5
J3(β)
J4(β)

0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
β

-0. 5

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003


Table des fonctions Jn (β) pour diﬀ´rentes valeurs de l’indice β :
e

nβ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 1.000000 0.99002 0.9604 0.912 0.84629 0.7652
1 0 0.099501 0.19603 0.2867 0.36884 0.44005
2 0 0.0049834 0.019735 0.043665 0.075818 0.1149
3 0 0.00016625 0.0013201 0.0043997 0.010247 0.019563
4 0 4.1583e-006 6.6135e-005 0.00033147 0.001033 0.0024766
5 0 8.3195e-008 2.6489e-006 1.9948e-005 8.3084e-005 0.00024976
6 0 1.3869e-009 8.8382e-008 9.9956e-007 5.5601e-006 2.0938e-005
7 0 1.9816e-011 2.527e-009 4.2907e-008 3.1864e-007 1.5023e-006
8 0 2.4774e-013 6.321e-011 1.611e-009 1.5967e-008 9.4223e-008
9 0 2.753e-015 1.4053e-012 5.3755e-011 7.1092e-010 5.2493e-009
10 0 2.7532e-017 2.8116e-014 1.614e-012 2.8478e-011 2.6306e-010
11 0 2.5031e-019 5.1136e-016 4.4047e-014 1.0368e-012 1.198e-011
12 0 2.0861e-021 8.5248e-018 1.1018e-015 3.4597e-014 4.9997e-013
13 0 1.6048e-023 1.3118e-019 2.5439e-017 1.0655e-015 1.9256e-014
14 0 1.1463e-025 1.8744e-021 5.4536e-019 3.0465e-017 6.8854e-016
15 0 7.6424e-028 2.4996e-023 1.0911e-020 8.1294e-019 2.2975e-017
16 0 4.7767e-030 3.1249e-025 2.0465e-022 2.0335e-020 7.1864e-019

nβ 2 3 4 5 6 7
0 0.22389 -0.26005 -0.39715 -0.1776 0.0.15065 0.30008
1 0.57672 0.33906 -0.066043 -0.32758 -0.27668 -0.0046828
2 0.35283 0.48609 0.36413 0.046565 -0.24287 -0.30142
3 0.12894 0.30906 0.43017 0.36483 0.11477 -0.16756
4 0.033996 0.13203 0.28113 0.39123 0.35764 0.1578
5 0.0070396 0.043028 0.13209 0.26114 0.36209 0.3479
6 0.0012024 0.011394 0.049088 0.13105 0.24584 0.3392
7 0.00017494 0.0025473 0.015176 0.053376 0.12959 0.23358
8 2.218e-005 0.00049344 0.0040287 0.018405 0.056532 0.12797
9 2.4923e-006 8.4395e-005 0.0009386 0.0055203 0.021165 0.058921
10 2.5154e-007 1.2928e-005 0.00019504 0.0014678 0.006964 0.023539
11 2.3043e-008 1.794e-006 3.6601e-005 0.00035093 0.0020479 0.0083348
12 1.9327e-009 2.2757e-007 6.2645e-006 7.6278e-005 0.00054515 0.0026556
13 1.4949e-010 2.6591e-008 9.8586e-007 1.5208e-005 0.00013267 0.00077022
14 1.0729e-011 2.8802e-009 1.4362e-007 2.8013e-006 2.9756e-005 0.0002052
15 7.183e-013 2.9076e-010 1.9479e-008 4.7967e-007 6.1917e-006 5.059e-005
16 4.506e-014 2.7488e-011 2.4717e-009 7.675e-008 1.2019e-006 1.1612e-005

nβ 8 9 10 11 12 13
0 0.17165 -0.090334 -0.24594 -0.17119 0.047689 0.20693
1 0.23464 0.24531 0.043473 -0.17679 -0.22345 -0.070318
2 -0.11299 0.14485 0.25463 0.13905 -0.08493 -0.21774
3 -0.29113 -0.18094 0.058379 0.22735 0.19514 0.0033198
4 -0.10536 -0.26547 -0.2196 -0.01504 0.1825 0.21928
5 0.18577 -0.055039 -0.23406 -0.23829 -0.073471 0.13162
6 0.33758 0.20432 -0.014459 -0.20158 -0.24372 -0.11803
7 0.32059 0.32746 0.21671 0.018376 -0.17025 -0.24057
8 0.22345 0.30507 0.31785 0.22497 0.045095 -0.14105
9 0.12632 0.21488 0.29186 0.30886 0.23038 0.066976
10 0.060767 0.12469 0.20749 0.28043 0.30048 0.23378
11 0.025597 0.062217 0.12312 0.20101 0.27041 0.29269
12 0.0096238 0.027393 0.06337 0.1216 0.19528 0.26154
13 0.0032748 0.01083 0.028972 0.064295 0.12015 0.19015
14 0.0010193 0.0038946 0.011957 0.030369 0.06504 0.11876
15 0.0002926 0.0012864 0.004508 0.013009 0.031613 0.065644
16 7.8006e-005 0.0003933 0.0015668 0.00511 0.013991 0.032725

`
e ISET Rad`s
e

e

3.3.3 Repr´sentation spectrale du signal FM
e
D’apr`s les propri´t´s des fonctions de Bessel :
e ee
- le spectre du signal FM modul´ par un signal sinuso¨ de fr´quence fm est constitu´
e ıdal e e
d’une infinit´ de raies distantes de fm , situés aux fr´quences f0 ± nfm , d’amplitude
e e e
A · Jn (β) ;
- les raies sym´triques aux fr´quences f0 + nfm et f0 − nfm ont mˆme amplitude mais
e e e
n
sont en opposition de phase pour n impair car Jn (β) = (−1) Jn (−β) ;
- le nombre de raies est infini, mais Jn (β) → 0 quand n → ∞ donc le signal FM peut
ˆtre consid´r´ comme un signal a largeur de bande limité ;
e ee ` e
- lorsque l’indice de modulation est faible, c’est-`-dire β
a 1, on a :
β
J0 (β) ≈ 1, J1 (β) ≈
et Jn (β) ≈ 0 pour n > 1
2
donc le spectre est constitu´ d’une raie a la fr´quence f0 de la porteuse et de deux
e ` e
raies lat´rales aux fr´quences f0 − fm et f0 + fm : il ressemble ` un signal AM
e e a
double bande avec porteuse sauf que les raies lat´rales sont en opposition de phase
e
car J−1 (β) = −J1 (β). Un tel signal est appel´ signal FM ` bande ´troite (NBFM :
e a e
Narrow Band FM ).
0.99
β = 0,2

0.1 0.1
f0 − fm f0 f0 + fm
f
β=1 0.76
0.44 0.44
0.11 0.11
f0 − 2fm f0 − fm f0 f0 + fm f0 + 2fm
f
β=3
0.49 0.49
0.31 0.34 0.34 0.31
0.26
0.13 0.13
0.01 0.04 0.04 0.01
f0 − 5fm f0 − 3fm f0 − fm f0 f0 + fm f0 + 3fm f0 + 5fm
f0 − 6fm f0 − 4fm f0 − 2fm f0 + 2fm f0 + 4fm f0 + 6fm f
0.39 0.36 0.39
β=5 0.33 0.33
0.36
0.26 0.26
0.18
0.13 0.13
0.05 0.05 0.05 0.05
0.02 0.02
f0 − 7fm f0 − 5fm f0 − 3fm f0 − fm f0 f0 + fm f0 + 3fm f0 + 5fm f0 + 7fm
f0 − 8fm f0 − 6fm f0 − 4fm f0 − 2fm f0 + 2fm f0 + 4fm f0 + 6fm f0 + 8fm f

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003


3.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM
Le signal FM poss`de thóriquement une occupation spectrale infinie (nombre de raies
e e
infini), il nćessite donc un canal de transmission poss´dant une bande passante infinie :
e e
irrálisable en pratique.
e
La transmission du signal FM se fait donc en remarquant que, pour une valeur donné dee
l’indice de modulation β, l’amplitude des raies spectrales devient de plus en plus faible
lorsqu’on s’´loigne de la fr´quence de la porteuse. On peut donc n´gliger les raies dont le
e e e
rang est sup´rieur a une certaine valeur qui reste a d´terminer en fonction de β.
e ` ` e
Soit N (β) le nombre de raies significatives de part et d’autre de la porteuse. L’occupation
spectrale utile du signal FM est donc :
Bs = 2N (β)fm
Il existe diff´rents crit`res de d´termination de N (β), par exemple la r`gle de Carson :
e e e e
pour mesurer N (β), on ne garde que les raies dont la somme des puissances constitue au
moins 98 % de la puissance totale du signal FM.
En utilisant le d´veloppement en s´rie de Fourier du signal FM, la puissance de celui-ci
e e
s’ćrit :
e
[A · Jn (β)]2
+∞
A2 +∞
A2 +∞
PF M = = Jn (β)2 = (car Jn (β)2 = 1)
n=−∞ 2 2 n=−∞ 2 n=−∞

Le nombre N (β) de raies significatives selon la r`gle de Carson est donc d´fini par
e e
l’in´galit´ :
e e
A2 +N (β) A2
Jn (β)2 ≥ 0, 98 ·
2 n=−N (β) 2
98 % de la puissance totale
puissance des raies significatives

c’est-`-dire :
a
+N (β)
Jn (β)2 ≥ 0, 98
n=−N (β)
ou encore :
N (β)
J0 (β)2 + 2 Jn (β)2 ≥ 0, 98
n=1
car, pour n > 1, on a J−n (β) = (−1) Jn (β) donc J−n (β)2 = Jn (β)2 .
n

En utilisant la table des fonctions de Bessel, on trouve que :
N (β) = β + 1
d’o` :
u
Bs = 2(β + 1)fm
∆f
Puisque β = fm
, on a ´galement :
e
∆f
Bs = 2 + 1 fm = 2(∆f + fm ) = 2(kf Am + fm )
fm
L’occupation spectrale du signal FM d´pend donc de deux grandeurs :
e

`
e ISET Rad`s
e

e

- l’excursion en fr´quence ∆f , proportionnelle a l’amplitude du signal modulant ;
e `
- la fr´quence fm du signal modulant.
e
Dans le cas d’un signal FM a faible indice (β
` 1), on a Bs = 2(β + 1)fm ≈ 2fm : on
retrouve l’occupation spectrale d’un signal AM.
Dans le cas d’un signal FM a grand indice (β
` 1), on a Bs = 2(β+1)fm ≈ 2βfm = 2kf Am
donc l’occupation spectrale d’un signal FM a grand indice de modulation (appel´ signal
` e
WBFM : Wide Band FM ) est proportionnelle a l’amplitude du signal modulant. Ce
`
dernier r´sultat est connu sous le nom de thór`me de Woodward.
e e e

3.3.5 Gń´ralisation
e e
Dans le cas d’un signal modulant m(t) quelconque, on peut utiliser pour d´terminer l’oc-
e
cupation spectrale utile du signal FM, le r´sultat trouv´ dans le cas d’un signal modulant
e e
sinuso¨
ıdal en d´finissant l’indice de modulation gń´ralis´ :
e e e e
∆f kf |m(t)|max
β= =
Bm Bm
avec :
- ∆f = kf |m(t)|max : excursion maximale de la fr´quence instantané ;
e e
- Bm : occupation spectrale du signal modulant.
La r`gle de Carson donne :
e
Bs = 2(∆f + Bm )
Exemple de calcul : en radiodiffusion FM dans la bande 88 – 108 MHz, on a ∆f = 75 kHz
et Bm = 15 kHz (norme HI-FI : haute fid´lit´). Dans ce cas, on a :
e e
∆f 75
β= = =5
Bm 15
et :
Bs = 2(∆f + Bm ) = 2 × (75 + 15) = 180 kHz
La valeur ainsi d´terminé constitue une estimation de Bs . Il reste nćessaire d’effectuer
e e e
des mesures pour chaque cas particulier.

3.4 Gń´ration du signal FM
e e
3.4.1 Principe
Gń´rer un signal FM consiste a transformer des variations de tension en variations de
e e `
fr´quence. La transformation tension u → f r´quence f doit ˆtre lináire :
e e e e
f (u) = f0 + kf · u
Pour u = 0, f = f0 : le modulateur FM d´livre la porteuse non modulé, kf est appel´
e e e
sensibilit´ du modulateur (en Hz/V) et mesure la variation de fr´quence ∆f produite par
e e
une variation de tension ∆u.

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.4. Gń´ration du signal FM
e e 51

3.4.2 M´thode par variation de param`tres
e e
Le signal FM est obtenu en faisant varier la fr´quence d’un oscillateur LC en agissant
e
sur la valeur de la capacit´ qui d´termine la fr´quence d’oscillation. L’´l´ment ` capacit´
e e e ee a e
variable utilis´ est une diode varicap placé en parall`le avec la capacit´ du circuit LC :
e e e e
LA Cl

C L
m(t) DV oscillateur

La diode varicap se comporte comme une capacit´ dont la valeur d´pend de la tension
e e
inverse Vp appliqué entre ses bornes. La capacit´ d’une diode varicap est :
e e
C0
C(Vp ) = Vp n
1+ V0

o` C0 , V0 et n sont des constantes. Par exemple, pour la diode BB909A : C0 = 30 pF,
u
V0 = 700 mV et n = 0, 7.
C (pF)
30

25

20
Vp
DV
15

10

5

0 Vp (V)
0 5 10 15 20 25 30 35

Le condensateur de liaison Cl , d’imp´dance n´gligeable en haute fr´quence, permet d’´viter
e e e e
que l’inductance L ne court-circuite le signal modulant m(t). L’inductance d’arrˆt LA (self
e
de choc), d’imp´dance n´gligeable en basse fr´quence, pr´sente une imp´dance ´levé en
e e e e e e e
haute fr´quence afin de ne pas court-circuiter le signal de l’oscillateur par la source du
e
signal modulant.
La fr´quence de l’oscillateur est ´gale a la fr´quence de r´sonance du circuit LC donc :
e e ` e e
1
f (Vp ) = avec Vp = m(t)
2π L[C + C(Vp )]

En utilisant l’approximation (1 + x)α ≈ 1 + αx pour x 1, avec un signal modulant de
faible amplitude Vp V0 , on a :
−n
C0 Vp nVp
C(Vp ) = Vp n
= C0 1 + ≈ C0 1 −
1+ V0 V0
V0

`
e ISET Rad`s
e

e

donc :
1 1
f (Vp ) ≈ =
2π L C + C0 1 − nVp
V0
2π L C + C0 − nC0
V
V0 p

1
−2
1 1 nC0
= = 1− Vp
2π L(C + C0 ) 1 − nC0
V 2π L(C + C0 ) (C + C0 )V0
(C+C0 )V0 p

1 nC0
≈ 1+ Vp
2π L(C + C0 ) 2(C + C0 )V0

Ainsi :
f (Vp ) ≈ f0 + kf Vp = f0 + kf m(t)

avec :
1
f0 =
2π L(C + C0 )

et
nC0 f0
kf =
2(C + C0 )V0

La fr´quence de l’oscillateur est une fonction lináire du signal modulant m(t). L’oscilla-
e e
teur d´livre donc bien un signal FM. Un tel oscillateur est appel´ oscillateur command´
e e e
en tension ou VCO (Voltage Controlled Oscillator ).
Application : on veut transmettre un signal d’amplitude Am = 10 mV sur une porteuse
de fr´quence f0 = 98 MHz avec une excursion en fr´quence ∆f = 75 kHz. D´terminer les
e e e
valeurs de L et C dans le cas o` une diode varicap BB109A est utilisé.
u e
∆f
On a : ∆f = kf Am , d’o` kf = Am = 75 = 7, 5 kHz/mV. Des expressions de f0 et kf
u 10
trouvés prć´demment, on d´duit :
e e e e

1 2kf V0
L= 2
1− ≈ 74, 4 nH
4π 2 f0 C0 nf0

et
C0
C= ≈ 5, 42 pF
nf0
2kf V0
−1

Avantage de cette m´thode : elle permet d’obtenir des excursions en fr´quence impor-
e e
tantes.
Inconvńient : les caract´ristiques de l’oscillateur varient avec le temps a cause du vieillis-
e e `
sement des composants, des variations de temp´rature . . . d’o` une d´rive de la fr´quence
e u e e
de la porteuse.

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.4. Gń´ration du signal FM
e e 53

3.4.3 Modulateur d’Armstrong
Cette m´thode est basé sur la gń´ration d’un signal FM a faible indice de modulation
e e e e `
β1 tel que β1 1.
Soit un signal FM :
avec :
t
ϕ(t) = 2πkf m(u)du
0

ıdal m(t) = Am cos 2πfm t, on a :

ϕ(t) = β1 sin 2πfm t

Si β1 1, alors :
|ϕ(t)| = |β1 sin 2πfm t| ≤ β1 1
ainsi :
|ϕ(t)| 1
Le signal FM peut s’ćrire :
e

s(t) = A cos 2πf1 t cos ϕ(t) − A sin 2πf1 t sin ϕ(t)

Puisque |ϕ(t)| 1, on peut faire les approximations suivantes :

cos ϕ(t) ≈ 1
sin ϕ(t) ≈ ϕ(t)

d’o` :
u
s(t) ≈ A cos 2πf1 t − Aϕ(t) sin 2πf1 t
On en d´duit le sch´ma fonctionnel d’un modulateur permettant d’obtenir un signal FM
e e
` faible indice de modulation :
a

modulateur de fréquence à faible indice
m(t) ϕ(t) − s(t)
2πkf Σ
intégrateur
A sin 2πf1t +
π
−
2

A cos 2πf1t

`
e ISET Rad`s
e

e

Le signal FM a faible indice gń´r´ par ce modulateur poss`de une fr´quence porteuse
` e ee e e
f1 et une excursion en fr´quence ∆f1 = β1 fm , donc sa fr´quence instantané varie dans
e e e
l’intervalle [f1 − ∆f1 , f1 + ∆f1 ].
Pour obtenir un indice de modulation β donn´, on multiplie la fr´quence du signal FM `
e e a
faible indice par une valeur n. Ainsi, la fr´quence instantané du signal FM est ramené
e e e
dans l’intervalle [nf1 − n∆f1 , nf1 + n∆f1 ] donc son excursion en fr´quence devient ∆f =
e
n∆f1 . L’indice de modulation du signal FM devient alors :
∆f n∆f1
β= = = nβ1
fm fm
La fr´quence porteuse du signal FM ainsi obtenu est nf1 . Pour obtenir un signal FM de
e
fr´quence porteuse f0 donné, on effectue un changement de fr´quence par une modulation
e e e
d’amplitude double bande sans porteuse avec une fr´quence porteuse f2 . Le signal FM
e
obtenu poss`de alors une fr´quence porteuse f0 telle que :
e e
f0 = f2 ± n f1
En effectuant un filtrage passe-bande, on peut conserver l’une des deux composantes
f0 = f2 − nf1 ou f0 = f2 + nf1 .
Ainsi, en choisissant convenablement les valeurs de n et f2 , on peut obtenir un signal
FM de fr´quence porteuse et d’indice de modulation quelconques. Un modulateur FM
e
fonctionnant selon ce principe est appel´ modulateur d’Armstrong.
e
Sch´ma fonctionnel du modulateur d’Armstrong :
e
changement filtrage f0 = f2 + n f1
de fréquence passe bande ou
modulateur de multiplicateur f0 = f2 + n f1 f0 = f2 − n f1
m(t) f1 n f1 −
fréquence de fréquence s(t)
∆f1 n ∆f1 n ∆f1 n ∆f1
à faible indice par n
fréquence
centrale = f0
f1 f2

Application : le modulateur de fr´quence ` faible indice d´livre un signal FM de fr´quence
e a e e
porteuse f1 = 0,5 MHz et d’indice de modulation β1 = 0,1. On veut obtenir un signal FM
de fr´quence porteuse f0 = 98 MHz et d’indice de modulation β = 5. Calcul de n et f2 :
e
β 5
β = nβ1 ⇒ n = = = 50
β1 0,1
98 − 50 × 0,5 = 73 MHz
f0 = f2 ± nf1 ⇒ f2 = f0 ∓ nf1 =
98 + 50 × 0,5 = 123 MHz
On choisit en gń´ral la fr´quence la plus faible, donc on peut prendre f2 = 73 MHz. Le
e e e
filtre passe bande doit avoir une fr´quence centrale fc = f0 = 98 MHz.
e
L’avantage du modulateur d’Armstrong r´side dans le fait que les oscillateurs utilis´s pour
e e
gń´rer les fr´quences porteuses f1 et f2 poss`dent une fr´quence constante, pouvant donc
e e e e e
ˆtre fixé avec une grande prćision en utilisant par exemple un quartz, d’o` une bonne
e e e u
stabilit´ de la fr´quence porteuse du signal FM au cours du temps, contrairement a la
e e `
m´thode par variation de param`tres utilisant une diode varicap.
e e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.5. D´modulation des signaux FM
e 55

3.5 D´modulation des signaux FM
e
3.5.1 Discriminateur
Soit le signal FM :

avec :
t
ϕ(t) = 2πkf m(u)du
0

Si on d´rive le signal s(t), on obtient :
e

ds dϕ
= −A 2πf0 + sin(2πf0 t + ϕ(t))
dt dt

or :
dϕ
= 2πkf m(t)
dt
donc :
ds
= −2πA[f0 + kf m(t)] sin(2πf0 t + ϕ(t))
dt
Le signal ds est un signal FM dont l’enveloppe est une fonction lináire du signal modulant
dt
e
m(t). Une d´tection d’enveloppe permet de rćup´rer m(t). On en d´duit le sch´ma de
e e e e e
principe d’un discriminateur :
ds
s(t) filtre détecteur ^
m(t)
dt
dérivateur d'enveloppe
signal signal
FM démodulé
ds
s(t) ^
m(t)
dt enveloppe signal démodulé
signal FM

t t t

Rálisation pratique du filtre d´rivateur : l’op´ration de d´rivation correspond a une
e e e e `
multiplication par j2πf dans le domaine fr´quentiel. La fonction de transfert d’un filtre
e
d´rivateur est donc :
e
H(f ) = j2πf

`
e ISET Rad`s
e

e

H(f)

f
2π
e=
p ent

f
En pratique, on rálise une approximation lináire autour de la fr´quence f0 en utilisant
e e e
un circuit r´sonnant :
e
H(f)
R
linéarisation
autour de f0

C L
s(t) u(t)

f
f0 fr
fréquence du signal fréquence de résonnance
FM à démoduler du circuit RLC
On choisit les valeurs de R, L et C de mani`re ` avoir la partie lináire de la courbe
e a e
de r´sonance dans l’intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f ], ∆f ´tant l’excursion en fr´quence du
e e e
signal FM a d´moduler. La d´modulation du signal FM se fait sur le flanc de la courbe
` e e
de r´sonance.
e
Pour augmenter la plage de linárit´ du filtre d´rivateur, on peut monter deux circuits
e e e
r´sonnants en tˆte-bˆche :
e e e

H(f)
H1(f) + H2(f)
H1(f)
s(t) ^
m(t)
fr1
f0 fr2
f

H2(f)
circuits détecteurs
résonnants d'enveloppe
Les deux circuits r´sonnants de fr´quences de r´sonance fr1 et fr2 relativement proches
e e e
restent cependant d´licats ` r´gler.
e a e
Inconvńient de la d´modulation FM par le discriminateur : sensibilit´ aux variations
e e e
d’amplitude parasites du signal FM puisque la modulation de fr´quence est transformé
e e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.5. D´modulation des signaux FM
e 57

en modulation d’amplitude avant d’ˆtre d´modulé comme un signal AM par le d´tecteur
e e e e
d’enveloppe. Pour r´soudre ce probl`me, on fait prć´der le discriminateur par un limiteur
e e e e
qui permet d’´liminer les variations d’amplitude parasites sans perturber la modulation :
e

s(t) discriminateur ^
m(t)

limiteur

3.5.2 Boucle ` verrouillage de phase
a
La boucle a verrouillage de phase (BVP ou PLL : Phase Locked Loop) est utilisé lorsque
` e
les conditions de rćeption du signal FM sont trop difficiles, pour lesquelles le discrimina-
e
teur ne se comporte plus de mani`re satisfaisante, par exemple dans le cas des communi-
e
cations par satellites.
Une PLL est un syst`me boucl´ constitu´ d’un comparateur de phase et d’un oscillateur
e e e
command´ en tension (VCO) :
e
s(t)
+ comparateur y(t)
de phase
−

r(t)
VCO

On note :
t
- s(t) = A cos(2πf0 t + ϕ(t)) avec ϕ(t) = 2πkf m(u)du, le signal FM a d´moduler ;
` e
0
- y(t), le signal d´livr´ par le comparateur de phase qui repr´sente la sortie de la PLL ;
e e e
t
- r(t) = B cos(2πf0 t + ψ(t)) avec ψ(t) = 2πk0 y(u)du, le signal de sortie du VCO
0
qui constitue le signal de retour de la PLL.
Le comparateur de phase est un dispositif qui d´livre une tension y(t) proportionnelle au
e
d´phasage entre les signaux d’entré :
e e
y(t) = K · [ϕ(t) − ψ(t)]
o` K est la sensibilit´ du comparateur de phase.
u e
Le VCO est un modulateur FM dont la fr´quence porteuse est f0 , ´gale a la fr´quence
e e ` e
porteuse du signal a d´moduler, et la sensibilit´ est k0 .
` e e
La tension en sortie du comparateur de phase est :
t t
y(t) = K · [ϕ(t) − ψ(t)] = K · 2πkf m(u)du − 2πk0 y(u)du
0 0

`
e ISET Rad`s
e

e

En d´rivant cette expression par rapport au temps, on obtient :
e
dy
= 2πkf Km(t) − 2πk0 Ky(t)
dt
ou encore :
dy
+ 2πk0 Ky(t) = 2πkf Km(t)
dt
C’est une ´quation diff´rentielle lináire du premier ordre. On pose :
e e e
⎧
⎪
⎪ τ = 1
⎪
⎪ : constante de temps de la PLL
⎨ 2πk0 K
⎪
⎪ k
⎪
⎪ G = f : gain de la PLL
⎩
k0
Ainsi, l’´quation de la PLL s’ćrit :
e e
dy
τ + y(t) = Gm(t)
dt
R´ponse indicielle de la PLL :
e
m(t) y(t)

∆m ∆y = G ∆m

t t
τ
En r´gime permanent, c’est-`-dire pour t ≥ 3τ , on a :
e a
dy kf
≈ 0 ⇒ 2πk0 Ky ≈ 2πkf K∆m ⇒ y ≈ ∆m = G ∆m
dt k0
Le signal y(t) en sortie de la PLL pr´sente donc une variation proportionnelle a la variation
e `
∆m du signal modulant. Donc si le signal modulant varie assez lentement pour que la
PLL puisse atteindre son r´gime permanent ` tout instant, on a bien une d´modulation
e a e
du signal FM.
En pratique, on ins`re dans la chaˆ d’action de la PLL un filtre passe-bas qui permet
e ıne
de r´gler ses performances (temps de r´ponse, gain, d´passement, . . .) :
e e e
s(t)
+ comparateur y(t)
de phase
−
filtre
passe-bas

r(t)
VCO

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.6. Les rćepteurs ` changement de fr´quence
e a e 59

3.6 Les rćepteurs ` changement de fr´quence
e a e
La fonction d’un rćepteur radio est de restituer le message transmis a partir du signal
e `
HF (porteuse) re¸u au niveau de l’antenne. Gń´ralement, le rćepteur doit recevoir plu-
c e e e
sieurs ´missions ` des fr´quences porteuses diff´rentes. Or le d´modulateur du rćepteur
e a e e e e
doit fonctionner a la fr´quence de la porteuse. Il faudrait donc autant de d´modulateurs
` e e
que d’´missions ` recevoir : difficile a ráliser en pratique. Deux solutions existent pour
e a ` e
r´soudre ce probl`me.
e e
La premi`re solution consiste ` changer les caract´ristiques du d´modulateur : c’est le
e a e e
cas des rćepteurs a conversion directe. On peut, par exemple, faire varier la fr´quence
e ` e
centrale de la PLL d’un d´modulateur FM :
e
FM
+ comparateur BF
de phase
−

VCO

f0
Cette solution reste cependant d´licate ` mettre en œuvre techniquement.
e a
La deuxi`me solution consiste ` changer la fr´quence du signal re¸u pour l’adapter a un
e a e c `
d´modulateur dont les caract´ristiques restent fixes : c’est le cas d’un rćepteur a chan-
e e e `
gement de fr´quence ou rćepteur superh´t´rodyne dont la fr´quence du d´modulateur,
e e ee e e
appelé fr´quence interm´diaire (FI), reste constante.
e e e
Sch´ma fonctionnel d’un rćepteur superh´t´rodyne :
e e ee

antenne

HF FI BF ampli BF
HF ampli ampli démodulateur
HF FI BF
filtre BF
filtre HF filtre FI
à large bande à bande étroite
étage basse fréquence
étage HF étage à fréquence intermédiaire
oscillateur
local

convertisseur
de fréquence
Fonctionnement : le signal HF est multipli´ par un signal sinuso¨
e ıdal d´livr´ par un os-
e e
cillateur local de fr´quence fOL . On obtient deux signaux aux fr´quences fOL − fHF et
e e
fOL + fHF . Le signal a la fr´quence fOL + fHF est ´limin´ par le filtre FI ` bande ´troite.
` e e e a e
On obtient le signal a fr´quence interm´diaire de fr´quence fI = fOL − fHF .
` e e e

`
e ISET Rad`s
e

e

Pour garder la fr´quence fI constante, on fait varier fOL de mani`re ` avoir fOL = fHF +fI .
e e a
Ainsi, pour choisir l’´mission ` d´moduler, on agit sur la fr´quence de l’oscillateur local.
e a e e
En pratique, on a fI = 10,7 MHz pour la rćeption FM et fI = 455 kHz pour la rćeption
e e
AM.
signal HF

f
fHF

signal FI

filtre FI

f
fI = fOL − fHF fOL fOL + fHF
Exemple de calcul : pour la rćeption d’un signal FM a 96 MHz, on doit avoir fOL =
e `
96 + 10,7 = 106,7 MHz.

3.7 La modulation de phase
3.7.1 Principe
Soit un signal s(t) = A cos(2πf0 t + ϕ(t)). En modulation de phase (PM : Phase Modula-
tion), le d´phasage ϕ(t) est proportionnel au signal modulant :
e
ϕ(t) = kp m(t)
Le signal PM a donc pour expression :
s(t) = A cos(2πf0 t + kp m(t))
Pour gń´rer un signal PM, on peut utiliser un modulateur FM dont le signal d’entré est
e e e
la d´rivé du signal modulant :
e e

dm
m(t) dt modulateur s(t)
dérivateur
FM
En effet :
t dm
s(t) = A cos 2πf0 t + 2πkf du = A cos (2πf0 t + 2πkf m(t))
0 du
C’est un signal PM avec kp = 2πkf .
Les modulations FM et PM sont appelés modulations angulaires.
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.8. Exercices 61

3.7.2 Occupation spectrale du signal PM
ıdal m(t) = Am cos 2πfm t, le signal PM devient :

s(t) = A cos(2πf0 t + kp Am cos 2πfm t)

On note βP M = kp Am l’indice de modulation du signal PM. Celui-ci s’´crit alors :
e

s(t) = A cos(2πf0 t + βP M cos 2πfm t)

D’apr`s la r`gle de Carson, on d´duit l’occupation spectrale d’un signal PM :
e e e

BP M = 2(βP M + 1)fm = 2(kp Am + 1)fm

3.8 Exercices
3.8.1 Mesure de la sensibilit´ d’un modulateur de fr´quence
e e
Soit s(t) un signal FM, de fr´quence centrale f0 , modul´ par une sinuso¨ de fr´quence
e e ıde e
fm = 1 kHz et d’amplitude Am .
1. Tracer le spectre de s(t) lorsque Am = 0.
2. Que devient ce spectre lorsque Am augmente ?
3. Comment varie l’amplitude de la raie a la fr´quence f0 ?
` e
4. On donne les trois premi`res solutions de l’´quation J(x) = 0 : x1 = 2, 4 ; x2 = 5, 5 ;
e e
x3 = 8, 7. En d´duire une m´thode pratique de mesure de la sensibilit´ kf du
e e e
modulateur.
5. On mesure kf = 0, 5 kHz/mV. D´terminer l’occupation spectrale de s(t) pour Am =
e
30 mV.
Correction :
1. Lorsque Am = 0, le modulateur FM d´livre la porteuse non modul´e, c’est-`-dire
e e a
un signal sinuso¨
ıdal pur :
As(f)

A

f
f0

`
e ISET Rad`s
e

e

2. Lorsque Am augmente, les raies lat´rales apparaissent autour de f0 :
e
As(f)

A.J0(β)

... ...
f
f0

3. D’apr`s le spectre du signal FM, la raie ` la fr´quence f0 de la porteuse varie
e a e
proportionnellement a la fonction de Bessel J0 (β) :
`

As (f0 ) = A · J0 (β)

4. Lorsque la raie a la fr´quence f0 de la porteuse s’annule, on a alors :
` e
kf Am fm
J0 (β) = 0 ⇒ β = 2, 4 ⇒ = 2, 4 ⇒ kf = 2, 4 ·
fm Am
Il suffit donc d’injecter ` l’entré du modulateur FM un signal modulant de fr´quence
a e e
fm donné et de faire varier son amplitude Am ` partir de 0 tout en observant le
e a
spectre du signal FM sur un analyseur de spectre. On rel`ve alors la valeur de Am
e
pour laquelle l’amplitude de la raie centrale du spectre s’annule une premi`re fois
e
et on en d´duit la valeur de la sensibilit´ kf du modulateur a partir de la derni`re
e e ` e
´galit´.
e e
5. D’apr`s la r`gle de Carson, on a :
e e

Bs = 2(∆f + fm ) = 2(kf Am + fm ) = 2 × (0, 5 × 30 + 1) = 32 kHz

3.8.2 Modulateur FM ` diode varicap
a
On consid`re le circuit r´sonnant LC suivant, utilis´ dans la rálisation d’un oscillateur :
e e e e

C
LA
L
Cd +
_ Vp

K
La diode varicap se comporte comme un condensateur de capacit´ Cd =
e o` K
u
(V0 + Vp )0,5
et V0 sont des constantes et Vp est la tension de polarisation. Cette diode est utilisé dans
e

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.8. Exercices 63

le circuit r´sonnant o` LA est une self d’arrˆt d’imp´dance n´gligeable en basse fr´quence
e u e e e e
et ´levé ` la fr´quence d’oscillation f0 . On donne : L = 0, 32 µH, C = 10 000 pF,
e e a e
V0 = 0, 36 V. Pour Vp = 0 V, on a Cd = 1 500 pF.
1. Exprimer la fr´quence d’oscillation f0 du circuit et montrer qu’elle se met sous la
e
forme f0 = A B + (D + Vp )0,5 . Donner les valeurs num´riques de A, B et D. Tracer
e
le graphe de f0 en fonction de Vp lorsque Vp varie entre 0 et 12 V (ćhelle : 1 V/cm
e
et 1 MHz/cm). D´terminer la valeur de Vp pour avoir une fr´quence f0 = 15 MHz.
e e
2. La tension Vp est la somme d’une tension continue V = 7 V et d’une tension si-
nuso¨ıdale v(t) d’amplitude Vm = 0, 2 V et de fr´quence fm = 20 kHz. Montrer que
e
l’oscillateur est modul´ sinuso¨
e ıdalement en fr´quence. Donner sa fr´quence de repos
e e
f0 et sa sensibilit´ kf . D´terminer l’indice de modulation β du signal FM obtenu,
e e
ainsi que la bande passante nćessaire pour transmettre ce signal.
e
Correction :
1. La fr´quence d’oscillation du circuit LC est :
e

1 CCd
f0 = avec C´q =
e
2π LC´q
e
C + Cd

1 1 1
1 C + Cd 2 1 C + K(V0 + Vp )−0,5 2
1 C(V0 + Vp )0,5 + K 2
f0 = = =
2π LCCd 2π LCK(V0 + Vp )−0,5 2π LCK
1
1 K 2
= √ (V0 + Vp )0,5 + = A B + (D + Vp )0,5
2π LK C
1 K
avec : A = √ , B= et D = V0
2π LK C
Pour Vp = 0, on a Cd = 1 500 pF ⇒ 1 500 · 10−12 = √K
0,36
⇒ K = 1 500 · 10−12 × 0, 6
= 900 · 10−12 . On a donc :
1
A= √ = 9, 378 · 106
2π × 0, 32 · 10−6 × 900 · 10−12
900 · 10−12
B= = 0, 09
10 000 · 10−12
D = 0, 36
Ainsi :
1

f0 = 9, 378 · 0, 09 + (0, 36 + Vp )0,5 2
(en MHz)
Pour repr´senter f0 en fonction de Vp , on calcule quelques valeurs :
e

Vp (en V) 0 2 4 6 8 10 12
f0 (en MHz) 7,79 11,96 13,84 15,16 16,19 17,06 17,80

`
e ISET Rad`s
e

e

f0 (MHz)
18

16

14

12

10

8

6
0 2 4 6 8 10 12
Vp (V)

Pour avoir f0 = 15 MHz, on peut d´terminer Vp graphiquement ou par le calcul :
e

2 2
1 f0
f0 = A2 B + (D + Vp ) 2 ⇒ Vp =
2
−B −D
A2

2
152
⇒ Vp = − 0, 09 − 0, 36 = 5, 73 V
9, 3782

2. On a Vp = V + v(t) avec V = 7 V et |v(t)|max = Vm = 0, 2 V V . Pour mon-
trer que l’oscillateur est modul´ sinuso¨
e ıdalement en fr´quence, on peut eﬀectuer un
e
d´veloppement limit´ au premier ordre de f0 (Vp ) autour de Vp = 7 V.
e e
Rappel : le d´veloppement limit´ au premier ordre d’une fonction f (x) autour d’un
e e
point x0 s’´crit : f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) (x − x0 ).
e
On a : 1
2
f0 (Vp ) = A B + (D + Vp )0,5
On en d´duit :
e
−0.5 0, 25A
f0 (Vp ) = A×0, 5 B + (D + Vp )0,5 ×0, 5(D+Vp )−0.5 =
B + (D + Vp )0,5 (D + Vp )0.5

0, 25 A2 f0 (Vp )
= car B + (D + Vp )0,5 =
f0 (Vp ) (D + Vp )0,5 A
Ainsi :
0, 25 A2
f0 (Vp ) ≈ f0 (V ) + · (Vp − V )
f0 (V ) (D + Vp )0,5
v(t)

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.8. Exercices 65

Donc :
0, 25 A2
f0 (Vp ) ≈ f0 (V ) + kf v(t) avec kf =
f0 (V ) (D + Vp )0,5
La tension v(t) ´tant sinuso¨
e ıdale, la fr´quence instantané f0 (Vp ) varie sinuso¨
e e ıdale-
ment autour de f0 (V ), donc l’oscillateur est modul´ en fr´quence.
e e
La fr´quence de repos de l’oscillateur est :
e

f0 (V ) = A B + (D + V )0,5 = 9, 378 × 0, 09 + (0, 36 + 7)0,5 = 15, 7 MHz

Sa sensibilit´ est :
e
0, 25 A2 0, 25 × 9, 3782
kf = = √ = 0, 516 MHz/V
f0 (V ) (D + Vp )0,5 15, 7 × 0, 36 + 7

L’indice de modulation du signal FM est :

kf Vm 0, 516 · 106 × 0, 2
β= = = 5, 16
fm 20 · 103
La bande passante nćessaire pour transmettre le signal FM est :
e

Bs = 2(β + 1)fm = 2 × (5, 16 + 1) × 20 = 246, 4 kHz

3.8.3 D´modulateur FM quadratique
e
Soit le d´modulateur FM suivant, appel´ d´modulateur quadratique :
e e e

multiplieur
s(t) v(t) ^
m(t)

filtre passe-bas
u(t)
filtre
déphaseur

s(t) est le signal FM ` d´moduler, donn´ par l’expression s(t) = A cos (2πf0 t + ϕ(t)) avec
a e e
t
ϕ(t) = 2πkf m(θ)dθ. Le filtre d´phaseur est caract´ris´ par une fonction de transfert
e e e
0 ⎧
⎨ |H(f )| = H0 = cste
H(f ) telle que, pour f0 − ∆f ≤ f ≤ f0 + ∆f : ⎩ π ,
H(f ) = − α(f − f0 ) avec α > 0
2
o` ∆f est l’excursion maximale en fr´quence de s(t).
u e
1. Tracer l’allure de |H(f )| et H(f ). Comment peut-on ráliser en pratique un tel
e
filtre ?

`
e ISET Rad`s
e

e

2. Donner l’expression de la phase instantané du signal d´phas´ u(t) et en d´duire
e e e e
l’expression du signal v(t) en sortie du multiplieur.
3. Donner l’expression de m(t) en sortie du filtre passe-bas. En d´duire une condition
ˆ e
sur α pour que m(t) soit proportionnel a m(t).
ˆ `
Correction :
1. Allure de |H(f )| et H(f ) :
H(f) H(f)

H0 pente = −α
π
2

f f
f0 − ∆f f0 f0 + ∆f f0 − ∆f f0 f0 + ∆f
Rálisation pratique d’un tel filtre :
e
R C

L
s(t) u(t)

En posant ω = 2πf , la fonction de transfert de ce filtre s’ćrit :
e

jLω jLω
H(ω) = = 2
R + jLω + 1
jCω R + j LCω −1
Cω

Le d´phasage introduit par ce filtre est :
e

π LCω 2 − 1
H(ω) = − arctan
2 RCω
1
On pose ω = ω0 +∆ω avec ω0 = √LC (fr´quence de r´sonance du filtre) et ∆ω
e e ω0 .
2 2
On a alors, en n´gligeant les termes en ∆ω et sachant que LCω0 = 1 :
e

LCω 2 − 1 LC (ω0 + 2ω0 ∆ω + ∆ω 2 ) − 1
2
LCω0 + 2LCω0 ∆ω − 1
2
2L∆ω
= ≈ =
RCω RC(ω0 + ∆ω) ∆ω
RCω0 1 + ω0 R 1 + ∆ω
ω0

2L∆ω ∆ω 2L∆ω 2L∆ω 2 2L∆ω
≈ 1− = − ≈
R ω0 R Rω0 R
π 2L∆ω π 2L 2L∆ω R
⇒ H(ω) ≈ − arctan ≈ − ∆ω si 1 c.`.d ∆ω
a
2 R 2 R R 2L
π 2L π 4πL
(car arctan x ≈ x pour x 1) ⇒ H(ω) ≈ − (ω − ω0 ) = − (f − f0 )
2 R 2 R
ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.8. Exercices 67

Donc, on a bien :
π 4πL R
H(f ) ≈ − α(f − f0 ) avec α = et ∆f
2 R 4πL
De mˆme, on a :
e

Lω L(ω0 + ∆ω) LCω 2 − 1
|H(ω)| = ≈√ 2 car ≈ 2L∆ω
LCω 2 −1
2 R + 4L2 ∆ω 2 Cω
R2 + Cω

or, on a :
R L Lω0
∆ω ⇒ 4L2 ∆ω 2 R2 ⇒ |H(ω)| ≈ (ω0 + ∆ω) ≈ = |H(ω0 )|
2L R R
car ∆ω ω0 .
Ainsi, on a bien :
R
|H(f )| ≈ |H(f0 )| = H0 = constante, pour ∆f
4πL
On peut donc utiliser un tel filtre RLC en choisissant R, L et C tels que :
1 R
√ = f0 et 4π∆f
2π LC L

2. La phase instantané de s(t) est :
e

Θs (t) = 2πf0 t + ϕ(t)

La phase instantané de u(t) est :
e

Θu (t) = Θs (t) + H(fs (t))

o` fs (t) est la fr´quence instantané de s(t) :
u e e

1 dΘs 1 dϕ
fs (t) = = f0 + = f0 + kf m(t)
2π dt 2π dt
π π
⇒ H(fs (t)) = − α [f0 + kf m(t) − f0 ] = − α kf m(t)
2 2
Ainsi, la phase instantanné du signal d´phas´ u(t) est :
e e e
π
Θu (t) = 2πf0 t + ϕ(t) + − α kf m(t)
2
Le signal u(t) a donc pour expression :
π
u(t) = H0 A cos 2πf0 t + ϕ(t) + − α kf m(t)
2
`
e ISET Rad`s
e

e

Ainsi, le signal v(t) en sortie du multiplieur est :

π
v(t) = s(t) · u(t) = A cos(2πf0 t + ϕ(t)) · H0 A cos 2πf0 t + ϕ(t) + − α kf m(t)
2
⎡ ⎤

H0 A2 ⎢ π π ⎥
⎢ ⎥
= ⎢cos − α kf m(t) + cos 4πf0 t + 2ϕ(t) + − α kf m(t) ⎥
2 ⎣ 2 2 ⎦
composante HF ´liminé par le filtre passe bas
e e

3. Apr`s filtrage passe bas du signal v(t), on obtient :
e

H0 A2 π H0 A2
m(t) =
ˆ cos − α kf m(t) = sin [α kf m(t)]
2 2 2

Le signal d´modul´ m(t) est proportionnel au signal modulant m(t) ` condition
e e ˆ a
que :
α kf |m(t)|max 1 c.`.d α∆f
a 1 car kf |m(t)|max = ∆f
Cette condition est bien v´rifié car on a :
e e
4πL 1
α=
R ∆f

d’apr`s la condition sur le filtre d´phaseur.
e e
On peut ainsi appliquer l’approximation sin x ≈ x pour x 1. On obtient finale-
ment :
H0 A2 α kf
m(t) ≈
ˆ m(t)
2

3.8.4 Synth`se d’une PLL
e
On consid`re la boucle ` verrouillage de phase (PLL) repr´senté par le sch´ma suivant :
e a e e e

s(t)
+ ε(t) u(t)
comparateur
_ de phase
filtre passe-bas

oscillateur
commandé
r(t) en tension
VCO

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

3.8. Exercices 69

t
Cette PLL est utilisé pour d´moduler un signal FM s(t) = A cos 2πf0 t + 2πkf
e e m(θ)dθ ,
0
avec kf = 75 Hz/V. Le comparateur de phase poss`de une sensibilit´ K = 0, 1 V/rad,
e e
le filtre passe-bas est un filtre du premier ordre, caract´ris´ par une fonction de transfert
e e
G
H(f ) = , le VCO poss`de une sensibilit´ k0 = 50 Hz/V. On note ε(t) le signal
e e
1 + j2πf τ
d´livr´ par le comparateur de phase, u(t) le signal de sortie du filtre passe-bas et r(t) le
e e
signal produit par le VCO.
1. Donner les relations entre les signaux ε(t), u(t) et m(t). Montrer que m(t) et u(t)
sont li´s par une ´quation diff´rentielle de la forme :
e e e

1 d2 u 2ξ du
2
+ + u = αm(t)
ω0 dt2 ω0 dt

dont on exprimera les param`tres ω0 , ξ et α en fonction de k0 , kf , K, G et τ . Quelle
e
est la signification physique de ces param`tres ?
e
M = cste > 0 si t ≥ 0
2. Le signal modulant m(t) ´tant donn´ par : m(t) =
e e , tracer
0 si t < 0
l’allure de u(t) pour ξ < 1, ξ = 1 et ξ > 1. Que peut-on dire de u(t) ?
3. D’apr`s ce qui prć`de, prćiser le rˆle du filtre passe-bas et calculer le gain G et la
e e e e o
constante de temps τ de ce filtre afin d’assurer a la PLL un amortissement ξ = 0, 8
`
et une pulsation naturelle ω0 = 100 rad/s.
Correction :
1. On a :
t
s(t) = A cos (2πf0 t + ϕ(t)) avec ϕ(t) = 2πkf m(θ)dθ
0
t
r(t) = B cos (2πf0 t + ψ(t)) avec ψ(t) = 2πk0 u(θ)dθ
0
D’apr`s la fonction de transfert du filtre passe bas :
e

u G du 1 du
H(f ) = = ⇒u+τ = Gε(t) ⇒ ε(t) = u+τ
ε 1 + jωτ dt G dt

D’autre part :
ε(t) = K (ϕ(t) − ψ(t))
t t 1 du
⇒ K 2πkf m(θ)dθ − 2πk0 u(θ)dθ = u+τ
0 0 G dt
En d´rivant cette expression par rapport au temps, on obtient :
e

du d2 u
2πkf KGm(t) − 2πk0 KGu(t) = +τ 2
dt dt
d2 u du
⇒τ + + 2πk0 KGu = 2πkf KGm(t)
dt2 dt
`
e ISET Rad`s
e

e

τ d2 u 1 du kf
⇒ 2
+ + u = m(t)
2πk0 KG dt 2πk0 KG dt k0
2
1 d u 2ξ du
⇒ 2 2 + + u = αm(t)
ω0 dt ω0 dt
2 2πk0 KG 2ξ 1 kf
avec : ω0 = , = et α =
τ ω0 2πk0 KG k0
Les param`tres ω0 , ξ et α sont respectivement la pulsation naturelle, l’amortissement
e
et le gain de la PLL.
2. Pour m(t) tel que :
M = cste > 0 si t ≥ 0
m(t) =
0 si t < 0
on obtient la r´ponse indicielle de la PLL :
e
u(t)
2π
ω 0 1 − ξ2
ξ<1
ξ=1

ξ>1 αΜ

t
Apr`s extinction du r´gime transitoire, on a :
e e

u(t) ≈ αm(t)

Ainsi, si la duré du r´gime transitoire de la PLL est suffisamment faible, celle-ci
e e
permet bien de d´moduler le signal FM.
e
3. Le filtre passe bas permet d’ajuster la r´ponse indicielle de la PLL pour obtenir les
e
performances d´sirés en terme de temps de r´ponse, de d´passement, . . .
e e e e
On a :
2ξ 1 ω0
= ⇒G=
ω0 2πk0 KG 4πk0 Kξ
2πk0 KG 2πk0 KG 2πk0 K ω0 1
2
ω0 = ⇒τ = 2
= 2
=
τ ω0 ω0 4πk0 Kξ 2ξω0
Pour avoir un amortissement ξ = 0, 8 et une pulsation naturelle ω0 = 100 rad/s, on
doit avoir :
100
G= ≈2
4π × 50 × 0, 1 × 0, 8
et
1
τ= = 6, 25 ms
2 × 0, 8 × 100

ISET Rad`s
e `
HAGGEGE, 2003

Bibliographie

[1] P. Clerc et P. Xavier. Principes fondamentaux des t´l´communications. Ellipses,
ee
Paris, 1998.
[2] E. Fernandez et M. Matthieu. Les faiseaux hertziens analogiques et num´riques.
e
Dunod, Paris, 1991.
[3] P. Fraisse, R. Protiere, et D. Marty-Dessus. T´l´communications 1 – Trans-
` ee
mission de l’information. Ellipses, Paris, 1999.
[4] D. Ventre. Communications analogiques. Ellipses, Paris, 1991.

`
e ISET Rad`s
e

Techniques de transmission

Contenu connexe

Tendances

En vedette

Similaire à Techniques de transmission

Dernier

Techniques de transmission