fqsv

1. I - Introduction
La lumière est une Onde Electromagnétique (onde transverse)
k
E
.
c
z
.
.
ˆ E
=
.
B =
. .
k ˆ E e
x
B
.
Z
Comme toute onde transverse, la lumière peut
présenter différents états de polarisation
. .
(k , E, B) est un trièdre direct
. .
E ⊥ B à tout instant
1

2. 0 y y
E = E
0
cos(x t – k z – φ
)
E0 x cos(x t – k z – φ
x )
.
avec :φ = φ y –
φx
E = E0 y cos(x t – k z –
φ)
0
E0 x cos(x t – k
z)
. Si on choisi φx
comme origine des
phases
E = E0 ye
0
2
E0 xei(x t –k z )
i(x t –k z –
φ)
.
En représentation
complexe
Onde qui se propage suivant l’axe Z’Z

3. II. Les différents états de polarisation
.
Dans une lumière naturelle (soleil, bougie, lampe, etc.) E peut prendre
aléatoirement toutes les directions du plan ⊥ à k (lumière non
polarisée) Si E prend une direction bien définie en fonction
du temps, alors la lumière est dite polarisée.
.
1. Polarisation rectiligne
.
Si E garde une direction fixe dans le temps,
alors la lumière est dite polarisée rectiligne.
.
.
E = E0 cos(xt – kz) u
.
u = cosα i + sinα j
;
i j xi y j
. .
.
0 x 0
y
= E cos(x t – kz)
.
E cos(x t – kz)
.
= E
.
+ E
.
E = E0 cosα cos(x t – kz) i + E0 sinα cos(x t – kz) j E0 x = E0 cosα
E0 y = E0 sinα
3

4. x
y
E
Ex
E E 0
x
0
y
0
x
=
E0 y
E

E
=
Ey
x
y
E
E
Ex
E 0 y 0
x
0
x
= –
Ey
 E = –
E0 y
E
Direction de polarisation
avec :φ = 0 ou φ =
π
E = Ey = E0 y cos(x t – k z –
φ)
Ez = 0
Ex = E0 x cos(x t – k
z)
.
Ey
Ex
E0 y
E0 x
Ey
Ex
E0 y
E0 x
E E
. .
φ = 0
4
φ =
π

5. Si E tourne dans le temps et son extrémité décrit une ellipse
alors la lumière est dite polarisée elliptique.
2. Polarisation elliptique
.
avec :φ s 0 et φ s
π
y
Ez = 0
0
y
Ex = E0 x cos(x t – k
z)
.
E = E = E cos(x t – k z –
φ)
Ey
Ex
E0 y
E0 x
E
.
cosφ 
0
Ey
Ex
E0 y
E0 x
E
.
cosφ 
0
5

6. Ex
E0 x
Ey
E0 y
= cos(x t – k z – φ) = cos(x t – k z)cosφ + sin(x t – k z)sin
φ
= cos(x t – k
z)

2
+


 – 2


2


(

2
( E
E
cosφ E
E sinφ
E
( E ctgφ 
= 1
 E0 x 
x
E0 y
y
sin 2
φ E0 x
x
0
y
y
 E0 x

 x  +

ctgφ = sin(x t – k
z)
= cos(x t – k
z)
–
Ex
E0 x
Ey
E0 y sinφ
Ex
E0 x
(1)
(2)
(1)2 + (2)2
6

7. 
2
+


 – 2


2


(

2
( E
E
cosφ E
E sinφ
E
( E ctgφ 
= 1
 E0 x 
x
E0 y
y
sin 2
φ E0 x
x
0
y
y
 E0 x

 x  +

1
2
=
1

 – 2

2



(
 +


– 2




2



(

2


y
x
0 y
y
e  x 

x y
= 1
0 y
y
x
E0 y
E
sin 2
φ E0 x
cosφ E
E
( E 
2
(
E0 y
E
sin 2
φ E0 x
cosφ E
E
 E0 x

( E
E sinφ
 E0 x  
sin 2
φ 
E sin
φ
(1 + ctg
φ )
+
Équation d’une ellipse inscrite dans un rectangle de dimensions 2E0x*2E0y

2
7





2
0
y
e  x  +  y  – 2 cosφ x y
= sin 2
φ
E
E0 x E0 y
E
E
( E
 E0 x

( E

8.  E0 y
sinφ
0
x
 E
sinφ

2





2
0
y
 x
 +  y  – 2 cosφ x y
= sin 2
φ
E
E0 x E0 y
E
E
( E
 E0 x

( E
Ey
Ex
E0
y
E0 x
.
E
Cas cosφ 
0
= 0
8
dEy
dEx

9. 2
2
= 0




(

(
 y
0 y
x
2
 0 x

Ex
dEy
E0 x E0 y
dEx
Ey
E0 x E0
y
(E
)
Ey
dE +
2
(E
)
Ex
– 2
cosφ
dE – 2
cosφ
1
2
2
= 0





(
 +

(

x
0 y

 0 x

dEy
dEx
Ex
E0 x E0 y
Ey
E0 x E0 y
dE
(E
)
Ey

dEy
(E
)
Ex
–
cosφ
–
cosφ
1
)
2
2
= 0






L


( 0 x 0
y
+ 
 0 x

x
0 x 0 y  x
0
y
Ey
E E
(
E
E
 dEy (
E E 
dE
E

(E
)
Ey
 –
cosφ
 – cosφ x

1
)2
= 0 e
0 x 0 y
0
x
x E E
Ey
E0 x E0 y
(
E
Ex
dE
dEy
= 0 e
Ex
– cosφ
Ey
= 0
–
cosφ


9
ou cosφ  0 et (Ex et Ey ) de signes
opposés

cosφ  0 et (Ex et Ey )
de même signe

10. 
2





2
0
y
 x  +  y
 – 2 cosφ x y
= sin 2
φ
E
E0 x E0 y
E
E
( E
 E0 x

( E

2





2
0
y
 x  +  y
 – 2 x y
= 0 e x
– y
=
0 E0 x E0 y
E E
E0 x E0 y
E E
E
( E
 E0 x

( E
Pour φ= 0

2





2
0
y
 x  +  y  + 2 x y
= 0 e x
+ y
=
0
E E
E0 x E0 y E0 x E0 y
E E
E
( E
 E0 x

( E
Pour φ=
π
On retrouve les deux cas particuliers de polarisation rectiligne

2





2
0
y
 x
 +  y  =
1
E
( E
 E0 x

( E
2
Pour φ = 
π
Ellipse droite
10

11. E =
E = E cos(x t – k z –
φ)
y 0
y
Ex = E0 x cos(x t – k
z)
.
La polarisation elliptique peut être gauche ou
droite selon le sens de parcours de l’ellipse
cosφ
E0 x
0 y
E(0,0) =
E
.
0
y
0
y
0
x
– φ) = E x
sinφ
x t – k z
– E x
sin(
– E x sin(x t – k z) =
0
E
(0,0) =
6t 
.
6

Si sinφ  0 e φ ϵ]
0,π [
Polarisation elliptique
gauche
Le champ tourne dans le
sens inverse des
aiguilles d’une montre
E(0,0)
.
6

6t

.
E
(0,0) 
0
Cas cosφ 
0
11

12. Si sinφ  0 e φ ϵ]
π ,2π [
Le champ tourne
dans le sens des
aiguilles d’une montre
Polarisation elliptique
droite
3. Polarisation circulaire
E(0,0)
.
.
6

E
(0,0) 
0
6t 
Cas cosφ 
0
Si E tourne dans le temps et son extrémité décrit un cercle alors
la lumière est dite polarisée circulaire.
12
.
C’est le cas particulier d’une ellipse droite avec : E0 x = E0 y

13. 
2





2
0
y
 x
 +  y  – 2 cosφ x y
= sin 2
φ
E
E0 x E0 y
E
E
( E
 E0 x

( E

2





2
0
y
 x  +  y
 =
1
E
( E
 E0 x

( E
2
3
π
π
2
ou φ
=
Pour φ
=
Ellipse droite
0
x
2
= R2
E 2
+ E 2
= E
x y
Si E0 x = E0 y =
R
Cercle de rayon R
2
φ =
π
 sinφ
 0
Ey
Ex
E0 y = E0 x
E0 x
E
.
2
13
φ =
3π
 sinφ
 0
Polarisation
Circulaire gauche
Polarisation
Circulaire droite

14. III. Production d’une lumière polarisée
1. Polarisation par réflexion
(n1)
2
(n )
i = iB
E
E⊥
.
Er
⊥
.
Er =
0
.
1
n
tgiB =
n2
iB est appelé angle
d’incidence de Brewster
L’incidence est dite
Brewstérienne
E : au plan d
'incidence
.
.
E⊥ : ⊥ au plan d
'incidence
.
La lumière réfléchie en incidence
Brewstérienne est polarisée dans
la direction ┴ au plan d’incidence
2

 n1 sin i1 =
n2 sin i2
r 1 2
E = 0
 i + i =
π
14

15. 2. Polarisation par double réfraction
Double réfraction (ou biréfringence) : deux
rayons réfractés pour un rayon incident.
Cas des cristaux anisotropes : un indice de réfraction
pour chacune des 2 directions de polarisations.
Les deux composantes du champs sont alors séparées.
Rayon extraordinaire
(ne suit pas les lois
de Descartes)
Rayon ordinaire (suit
les lois de Descartes)
15

16. IV. Polariseurs et loi de Malus
Polariseur : film dont le coefficient de transmission
pour l’une des directions de polarisation est nul
Un polariseur permet donc d’obtenir une lumière
polarisée rectiligne à partir d’une lumière non polarisée
Polarisation par transmission
Polariseur
Lumière incidente Lumière transmise
Ei
.
Et
16
.

17. Loi de Malus
(
)
2
2 2 2
2 2
2
0
t y y
y
0 y
I
I E 2
E cos
θ
I  E 2
0
y
I  E = E cosθ = E cos
θ
= = cos2
θ
I = I cos
θ
Un polariseur ne laisse passer que la projection
du champ incident sur la direction de polarisation
0
I
I
P1
P2
(Loi de Malus)
17

18. Indices différents
V. Lames anisotropes
Lame anisotrope = Lame d’un cristal anisotrope (nx,ny)
1- lignes neutres d’une lame anisotrope
Axes X’X et Y’Y des deux directions de polarisation de la lame
X’
X
Y’
Y
e
Ei
. Et
.
Vitesses différentes
y
x y
x
n
et v
n
v =
c
=
c
Y’Y : Axe lent (faible vitesse, grand indice)
X’X : Axe rapide (grande vitesse, faible indice)
Z’
18
Z

19. 2- Déphasage entre les ondes transmises
Ф =
2πδ
=
2π (eny – enx )
=
2π e (ny – nx )
=
2π
en λ λ λ λ
3- Action d’une lame anisotrope sur une onde
E =
E = E cos(x t –
φ)
y 0
y
Ex = E0 x cos(x
t )
.
A l’entrée de la lame (z =
0)
A la sortie de la lame (z = e)

19
(




(
e
t –
E =
y
y
x
x
x
λ 
2π
n
λ
E = E cos(x t – φ – k e)= E cosx t – φ – y
e


2π n
E = E cos(x t – k e) = E cos x
0 y
0 y
0
x
0
x
.
n = ny –
nx
Est appelé : biréfringence de la lame

20. 


(

(

(
e

e


e


e
+
= E0 y cos(x t – (φ +
Ф))
λ
2π
n
= E0 y cosx t – φ
–
2π (ny – nx )
λ
E = = E0 y cosx t – φ
–

2π nx
λ
2π ny
λ
Ey = E0 y cosx t – φ
–

Ex = E0 x cos(x
t )
.
Changement de l’origine des phases
20

21. 4- Cas particuliers de lames anisotropes
Lame quart d’onde
Lame demi-onde
2
δ = en =
λ
4
δ = en =
λ
λ 4λ 2
Ф =
2π en
=
2πλ =
π
λ
2λ
Ф =
2π en
=
2πλ =
π
Pour une longueur d’onde λ
donnée :
21
5- Exemple : Effet d’une lame demi onde sur
une lumière polarisée rectiligne

22. y 0
y
= E cos(x
t )
Ex = E0 x cos(x
t )
.
A l’entrée de la lame (z = 0) E =
E
A la sortie de la lame (z =
e)
y 0 y 0 y 0
y
= E cos(x t – Ф) = E cos(x t – π ) = –E cos(x
t )
Ex = E0 x cos(x
t )
E =
E
.
Lumière rectiligne symétrique de la lumière incidente
Ey
Ex
E0 y
E0 x
Onde incidente Ey
Ex
E0 y
E0 x
E E
22
. .
Onde transmise