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Automatique
Etude de Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI)
Mouhamadou Falilou NDIAYE
ÉCÔLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE DE DAKAR
7 novembre 2022
Mouhamadou Falilou NDIAYE (ÉCÔLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE DE DAKAR)
Automatique 7 novembre 2022 1 / 70

CONTENU
1 Objectifs
2 Système et commande
3 Laplace
4 Signaux
5 Système asservi
6 Stabilité
7 Condition sur la fonction de transfert
8 Robustesse de la stabilité
9 Correcteur

Objectifs
Comprendre le concept de système commandé
Savoir évaluer les performances d’un système : stabilité, rapidité, précision

Notions de base sur les systèmes
Etude de systèmes Linéaires Continus Invariants
Analyse de systèmes asservis linéaires Continus
Correction des systèmes asservis linéaires Continus

Système et commande
Système
Un système est un ensemble d’éléments exerçant collectivement une ou plusieurs
fonctions déterminées.
SYSTÉME
Péturbations
Sorties
Entrées
Figure – Système
Caractéristiques
1 Signaux d’entrée : les commandes (entrées d’action choisi)
2 Perturbations : Une perturbation est une cause contrôlée agissant sur le
système.
3 Signaux de sortie : les réponses du système aux signaux d’entrée
Remarques : Bruits et perturbations

Système linéaire continu invariant
Définition : Un système linéaire continu invariant (SLCI) est un système qui
satisfait au principe de superposition, et dont les caractéristiques ne varient pas au
cours du temps.

Commande
Commande boucle ouverte
Un système est en boucle ouverte (BO) lorsqu’il n’y a pas de contrôle sur la
manière dont la commande est exécutée.
SYSTEME
Commande Sortie
Commande boucle fermée
Un système est en boucle fermée (BF) si une mesure de la sortie est réalisée afin
de la comparer à la consigne et d’agir en conséquence.

Modélisation
Équation différentielle à coefficient constant n ≥ m
a0s(t) +
i=n
X
i=1
an
dn
s(t)
dtn
= b0e(t) +
i=m
X
i=1
bm
dm
e(t)
dtm
n :ordre du système
Fonction de transfert
H(p) =
S(p)
E(p)
Fonction de transfert isomorphe ou transmittance
p opérateur de Laplace
H(p) =
S(jω)
E(jω)
Fonction de transfert isochrone ω la pulsation.
Shéma bloc

Bloc : S(p) = H(p).E(p)
Sommateur
Z(p) = X(p)−Y (p)+W (p)
Comparateur
Z(p) = X(p) − Y (p)

série ou cascade
en parallèle
Réaction
Superposition

Transformé de Laplace
Définition
Soit f(t) un signal causal (c-a-d f(t) = 0 pour t < 0).
Sa transformée de Laplace est définie par :
F(p) =
Z ∞
0
f (t) · e−pt
dt
p est une variable complexe

Transformé de Laplace
Table usuelle de Laplace

Propriétés fondamentales
Linéarité
L [af (t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
Dérivée
L

df (t)
dt

= pF(p) − f (0)
Intégral
L
hR t
0
f (t)dt
i
=
F(p)
p
Retard temporel
L [f (t − τ) = e−τp
F(p)]
Translation de la transformée
L [e−σt
f (t) = F(p + σ)]

Propriétés fondamentales
Suite
Convolution
L [f (t) ∗ g(t)] = F(p) · G(p)
Théorème de la valeur initiale
lim
p→∞
pF(p) = lim
t→0+
f (t)
Théorème de la valeur finale
lim
p→0
pF(p) = lim
t→∞
f (t)
Périodification
L
k=∞
X
k=0
f (t − kT) · ε(t − kT) =
F(p)
1 − epT

Transformée inverse
La transformée de Laplace inverse unilatérale f(t) d’une fonction F(p) est définie
par :
f (t) = L−1
[F(p)]
=
1
2πj
Z ∞
−∞
F(p) · e−p
dp

Développement d’Heaviside.
Pôles simples
F(p) =
A
p − pi
⇒ f (t) = Aepi t
Exemple :
F(p) =
4
p2 + 6p + 8
=
4
(p + 2)(p + 4)
=
2
p + 2
+
−2
p + 4
f (t) = 2 e−2t
− e−4t

· ε(t)
Pôles doubles
F(p) =
A
(p − pi )2
⇒ f (t) = A · t · epi t
· ε(t) d° ≥ 1
F(p) = K0 ⇒ f (t) = K0σ(t)
F(Ki · pi
) i ≥ 1 ⇒ f (t) = Ki σ
(i−1)
(t)

Cas le plus général
d°(N(p)) ≥ d°(D(p)).
Procéder à la division du polynôme N(p) par D(p) :
F(p) =
N(p)
D(p)
=
Q(p)D(p) + R(p)
D(p)
= Q(p) +
R(p)
D(p)

Exercice I
Résoudre si e(t) = 6 avec s
′
(0) = 1 et s(0) = 2
d2
s(t)
dt2
+ 5 ×
ds(t)
dt
+ 6 × s(t) = e(t) (1)
Exercice II
Donner la transformée inverse
3 × (p + 1)
p × (1 + 0, 3 × p)2 × (1 + 0, 1 × p)
(2)

Signaux
Signaux de commande usuel
1 Impulsion de Dirac
2 Echelon
3 Rampe
4 Sinusoïdale

Signaux
Analyse temporelle
Étude du comportement en fonction du temps.
1 Réponse impulsionnelle : réponse à une impulsion de Dirac.
2 Réponse indicielle : réponse à un échelon.
3 Rampe

Signaux
Analyse harmonique
C’est l’étude du comportement d’un système pour une excitation sinusoïdale de
fréquence variable.
1 Diagramme de Bode : C’est la réponse fréquentielle. Il est représenter par
deux courbe :
le gain G (ou amplitude) en décibels (dB). G = −20log|H(p)|
la phase φ = argH(p) en degré.
2 Diagramme de Black. C’est la courbe G(dB) = g(φ) paramétré par ω
3 Diagramme de Nyquist. C’est la courbe Im|H(jω)| = f (Re|H(jω)|) paramétré
par ω

Système asservi
Structure
Figure – Structure système asservi
Capteur : convertit la grandeur de sortie en un signal de retour
Comparateur : élabore en permanence le signal d’erreur
Correcteur : élabore le signal de commande

Système asservi
Structure
Régulateur analogique : Le signal de sortie est analogique.
Système asservi linéaire continu.
Régulateur numérique : Le signal de sortie est numérique.
Système asservi linéaire échantillonné.
Régulateur TOR(tout ou rien).

Système asservi
Types d’asservissement
Dans tout système asservi, la grandeur de sortie doit recopier le mieux possible la
grandeur d’entrée quelles que soient les perturbations.
Système suiveur : L’entrée de référence évolue.
Régulation L’entrée de référence est constante. Cette entrée est appelée
consigne.

Objectifs
Comprendre le concept de système commandé
Savoir évaluer les performances d’un système : stabilité, rapidité, précision

Généralités
Forme canonique d’une FT
H(p) =
K
pα
1 + b1 · p + · · · + bm · p
1 + a1 · p + · · · + am · p
Gain statique : Ks = lim
p→0
H(p)
Classe du système : α
zéros du système Valeurs de p qui annulent le numérateur
Pôles du système Valeurs de p qui annulent le dénominateur

Généralités
Fonctions de transferts particulières
Intégrateur H(p) =
1
p
Dérivateur H(p) = p
Retard H(p) = e−pθ
La signal d’entrée de l’instant est reproduit en sortie à l’instant t + θ

Temps de réponse à 5% : temps au bout duquel s(t) atteint s(∞) ± 5%
Temps de montée : temps au bout duquel s(t) passe de 10% de sa valeur finale
à 90% de celle-ci.
Pulsation de cassure : pulsation de rencontre de deux asymptotes.
Pulsation de coupure : pulsation pour laquelle le gain a diminué de 3 dB par
rapport à sa valeur maximale.
Bande passante : intervalle de pulsations pour lequel le gain ne diminue pas de
plus de 3 dB par rapport à sa valeur maximale.

Système du 1er ordre
Description
Systèmes régis par une fonction de transfert
H(p) =
K
1 + τ · p
H(jω) =
K
1 + j
ω
ωn
avec ωn =
1
τ
τ : Constante de temps
ωn : pulsation propre
K : gain statique

Diagramme asymptotique

Réponse indicielle
e(t) = E0 ⇒ E(p) =
E0
p
s(t) = K · E0(1 − e
−t
τ ) ⇒ S(p) =
K · E0
p · (1 + τ · p)
s(∞) = K · E0
s(τ) = 0, 63K · E0
s(3τ) = 0, 95K · E0
tr = 3τ
tm ≈ 2, 2τ
Figure – Réponse indicielle

Système du 2nd ordre
Réponse indicielle
H(p) =
K
1 +
2z
ωn
· p +
1
ω2
n
· p2
K : gain statique
z : coefficient d’amortissement 0
ωn : pulsation propre non amortie

Système du 2nd ordre
Réponse indicielle
Réponse apériodique (z ≥ 1) La sortie tend vers KE0 sans jamais la dépasser

Réponse pseudo-périodique ou oscillatoire (z 1 ) La sortie tend vers KE0 en
oscillant autour de cette valeur
D : dépassement indiciel D% =
D
KE0

Système du 2ème ordre
Cas 1 : z 1
H(jω) =
K
(1 + jωτ1)(1 + jωτ2)

Cas 2 : z ⩽ 1
H(jω) =
K
1 + 2zj
ω
ωn
+

ω
ωn
2
Résonance
ωr = ωn
√
1 − 2z2 si z
√
2
2 Q =
H(ωr )
H(0)
=
1
2z
√
1 − z2

Stabilité
La stabilité est une condition obligatoire pour un système asservi.
Définition :
Un système est stable si et seulement si à tout signal borné en entrée, correspond
un signal borné en sortie.
Proposition :
Un système linéaire est stable lorsque sa réponse à
un échelon prend une valeur finie en régime permanent
une impulsion tend vers 0,
à une sinusoïde est une sinusoïde d’ amplitude finie

Condition sur la fonction de transfert
Condition sur la fonction de transfert :
Un système linéaire est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de
transfert sont à parties réelles strictement négatives.
Un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est H(p) sera stable
en boucle fermée si les racines de l’équation 1 + H(p) sont toutes à parties réelles
négatives.
Remarque :
Un système peut être stable en BO et instable en BF
Un système peut être instable en BO et stable en BF

Critères de stabilité
Critère de Routh
Évaluation de la stabilité en régime sinusoïdal
Critère du revers dans le plan de Black
Critère du revers dans le plan de Nyquis
Règle du revers dans le plan de Bode

Critère de ROUTH ( Routh-Hurwitz)
Un système est stable en BF si et seulement si
Tous les coefficients de la 1ère colonne du tableau de
Routh calculé à partir du dénominateur.
Conditions nécessaires de stabilité
1
Les coefficient ai sont de même signe
2
Pas de degré manquant

1ère ligne coefficients pn−2k
. 2ème ligne coefficients pn−1−2k
.
Lignes suivantes coefficient bn−i etcn−i :
bn−i =
−1
an−1
an an−i
an−1 an−i−1
cn−i =
−1
bn−2
an−1 an−i
bn−2 bn−i−1

Exemple 1 :
D1(p) = p3
+ 6p2
+ 12p + 8
L1 1 12 0
L2 6 8 0
L3
L4
D1(p) est stable
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Step Response
Time (sec)
Amplitude

Exemple 2 :
D2(p) = p3
+ p2
+ 3p + 10
L1 1 3 0
L2 1 10 0
L3
L4
D2(p) est instable
0 20 40 60 80 100 120
−4
−2
0
2
4
6
8
x 10
24 Step Response
Time (sec)
Amplitude

Critère de Nyquist
Un système en boucle fermée F est stable si et seulement si le diagramme de
Nyquist complet de sa fonction de transfert en boucle fermée effectue autour du
point (-1,0) un nombre de tours T égal au nombre P de pôles instables de sa
fonction de transfert en boucle ouverte.
Exemple 1
H1(p) =
5
(1 + p)(1 + 0, 5p)
Pas de pôle instable P = 0
−1 0 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0 dB
−10 dB
−6 dB
−4 dB
−2 dB
10 dB
6 dB
4 dB
2 dB
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary
Axis
T = P = 0 Système stable

Critère de Nyquist
Exemple 2 :
H2(p) =
20
(p − 1)(p2 + 5p + 25)
−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 dB
−20 dB
−10 dB
−6 dB
−4 dB
−2 dB
20 dB
10 dB
6 dB 4 dB 2 dB
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary
Axis
P = 1 T = 0
Système instable en boucle fermée

Critère du revers
Énoncé :
Un système stable en BO est stable en boucle fermé si et seulement si, en
parcourant le lieu de Nyquist en boucle ouverte dans le sens des pulsations
croissantes, le point critique (-1,0) est à gauche.

Marges de stabilité
Les marges de stabilité permettent d’estimer la proximité du point critique.
Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité
Pour une bonne stabilité, on considère satisfaisant les valeurs minimales suivantes :
Mφ = 45° MG = 10dB

Robustesse de la stabilité
Détermination algébrique
Marge de phase :
Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)| = 1
La marge de phase du système est :
Mφ =



180° + φc
π + φc
avec φc = arg [HBO(jωc0)]
Marge de gain :
Soit ωπ la pulsation telle que arg[HBO(jωpi )] = −π
La marge de gain du système est : Mg = −20log|HBO(jωpi |

Robustesse de la stabilité
Détermination géométrique

Notion de correction
Rôle
Exigences : Stabilité, précision, rapidité, sensibilité aux perturbations
Correction : Comportement fixé par un cahier des charges.
Remarque : Correction série.

Notion de correction
Types d’action
Action proportionnelle :
Signal de commande proportionnel à l’erreur.
u(t) = K · ε(t)
Action intégrale :
Signal de commande proportionnel à l’intégrale de l’erreur.
u(t) =
1
Ti
R
ε(t)dt
Action dérivée :
Signal de commande proportionnel à la dérivée de l’erreur.
u(t) = Td
dε(t)
dt

Correcteurs usuels
Type de Correcteur :
Proportionnel (P.) :
C(p) = Kc
Proportionnel Intégral (P.I.) :
C(p) = Kc +
Kc
Ti · p
= Kc
1 + Ti · p
Ti · p
Proportionnel Déridé (P.D.) :
C(p) = Kc (1 + Td · p)

Correcteur Proportionnel (P)
Fonction de transfert : C(p) = Kc
Exemple
Kc = 1 +
R2
R1

Correcteur Proportionnel Intégral(PI)
Fonction de transfert : C(p) = Kc +
Kc
Ti p
= Kc
1 + Ti p
Ti p
Exemple
Kc =
R2
R1
Ti = RC

Correcteur à retard de phase
1 + Tp
1 + bTp
= b 1
Exemple
Kc =
R2
R1
b =
R2C2
R1C1
T = R1C1

Correcteur à avance de phase
1 + aTp
1 + Tp
= a 1
Exemple
Kc =
R2
R1
b =
R1C1
R2C2
T = R2C2

Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé(PID)
Fonction de transfert :
C(p) = Kc

1 +
1
Ti p
+ Td p

= K1 +
K2
p
+ K3p
Exemple
K1 =
R2
R1
+
C1
C2
K2 =
1
R1C2
K3 = R2C1
C(p) = Kc

1 +
1
Ti p
+
Td p
1 + τp

= K1 +
K2
p
+
K3p
1 + τp

Choix des correcteurs
Effets des correcteurs

Synthèse des correcteurs

Correcteur P :
1 Exprimer le critère de performance ciblé du système en fonction de Kc .
2 Calculer Kc afin de respecter les exigences du cahier des charges.

Correcteur PI
1 Méthode de compensation
Fixer Ti pour éliminer le pôle dominant de la FT en BO.
Exprimer le critère de performance ciblé du système en fonction de Kc.
Déterminer Kc afin de respecter les exigences du cahier des charges.
2 Méthode de placement (si Mφ pas importante)
Choisir Ti = 10/ωc0
Exprimer le critère de performance ciblé du système en fonction de Kc.
Déterminer Kc afin de respecter les exigences du cahier des charges.

Correcteur avance de phase
1 déterminer la marge de phase du système non corrigé
2 Calculer la différence φm = M
′
φ − Mφ
3 Déduire a =
1 + sinφm
1 − sinφm
(rappel :
arctan(A) − arctan(B) = arctan

A − B
1 + A × B

4 Calculer de la constante de temps T =
1
ωc0
√
a
ωc0 pulsation de gain nul en BO du système non corrigé
5 Calculer Kc pour avoir |C(jωc0)| = 1 Kc =
1
√
a

Correcteur PID - Méthode de compensation
C(p) = K
(p + a)(p + b)
p
Compenser un pôle de la FT du système
Déterminer les autres paramètres afin de respecter les exigences du cahier des
charges

Correcteur PID - Méthode empirique de Ziegler et Nichols
Insérer un correcteur P
Déterminer Kosc le gain de la juste oscillation et Tosc la période de cette
oscillation.
K 0, Kosc
Ti 0, 125Tosc
Td 0, 5Tosc

Type de contrôle Kp Ti Td
P 0,5 Kosc - -
PI 0,45 Kosc Tosc / 1.2 -
PD 0,8 Kosc - Tosc / 8
PID 0,6 Kosc Tosc / 2 Tosc / 8
PIR 0,7 Kosc Tosc / 2.5 3Tosc / 20

Correcteur PID - Méthode empirique de Ziegler et Nichols
Régles Paramètres
Classic Ziegler-Nichols Kp = 0,6 Kosc Ti = 0,5 Tosc Td = 0,125 Tosc
Pessen Integral Rule Kp = 0,7 Kosc Ti = 0,4 Tosc Td = 0,15 Tosc
Some Overshoot Kp = 0,33 Kosc Ti = 0,5 Tosc Td = 0,33 Tosc
No Overshoot Kp = 0,2 Kosc Ti = 0,5 Tosc Td = 0,33 Tosc
u(t) = Kp ×

e(t) +
1
Ti
×
Z t
0
e(τ) dτ + Td
de(t)
dt

(3)

Calcul Kosc et Tosc
Soit la fonction de transfert H(p) =
Num
Den
Kosc et Tosc son obtenus par résolution de l’équation :
Kosc × Num + Den = 0
Application :
H1(p) =
0, 4
p × (p + 1) × (2p + 1)
H2(p) =
4
(0, 1p + 1) × (0, 2p + 1) × (0, 3p + 1)

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