Cours d'automatique

1. Commande des Systèmes Linéaires
Continus
Présenté par:
Pr Ahmed MOUTABIR
2020-2021

2. Titre de la leçon:
Analyse des Systèmes Asservis
Linéaires Continus

3. Objectifs du cours
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 3
• La définition d’un système asservi et ses éléments:
- la consigne, le signal de retour, l’écart.
- la chaine directe, la chaine de retour.
• La définition de la boucle ouverte et la boucle fermée d’un
système asservi.
• L’étude de la stabilité d’un système asservi linéaire continu.
• L’étude de la précision d’un système asservi linéaire continu.

4. Notion de système asservi
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 4
Commande du système en boucle ouverte:
Problèmes:
• Aucune information sur les évolutions de la sortie:
- Le modèle du système (G(p)) n’est pas parfait.
- Le système est soumis aux perturbations.

5. Notion de système asservi
Fonction de
transfert du système
𝑮(𝒑)
Fonction de
transfert du capteur
𝑯(𝒑)
+
-
Consigne E(p) Ecart 𝜺(𝒑) Sortie S(p)
Retour R(p)
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 5
Solution: Commande du système en boucle fermée.
Le système est bouclé:
• Mesure de la sortie.
• Comparaison de la sortie à une consigne.
• Le résultat de la comparaison donne l’information
sur l’évolution de la sortie.

6. Notion de système asservi
𝑭𝑩𝑶 𝒑 =
𝑹 𝒑
𝜺 𝒑
= 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑)
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑺 𝒑
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑)
Fonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert en boucle fermée :
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯 𝒑
Expression de l’erreur :
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 6
Caractéristiques du système asservi général :

7. 𝑮(𝒑)
+-
𝑬(𝒑) 𝜺(𝒑) 𝑺(𝒑)
𝑹(𝒑)
Notion de système asservi
𝑭𝑩𝑶 𝒑 =
𝑹 𝒑
𝜺 𝒑
= 𝑮 𝒑
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑺 𝒑
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
Système asservi à retour unitaire :
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 7

8. Notion de système asservi
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 8
Système asservi à retour unitaire de 1er ordre:
𝑭𝑩𝑶 𝒑 = 𝑮 𝒑 =
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝟏 +
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝑲 + 𝝉𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝑲
𝟏 +
𝝉
𝟏 + 𝑲 𝒑
=
𝑲′
𝟏 + 𝝉′𝒑
Fonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert en boucle fermée :

9. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 9
Notion de système asservi
Système asservi à retour unitaire de 1er ordre:

10. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 10
Notion de système asservi
Système asservi à retour unitaire de 2nd ordre:
Fonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert en boucle fermée :
𝑭𝑩𝑶 𝒑 = 𝑮 𝒑 =
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
𝟏 +
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
=
𝑲
𝟏 + 𝑲
𝟏 +
𝟐𝒎
𝟏 + 𝑲
𝒑
𝝎𝒏
+
𝟏
𝟏 + 𝑲
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
=
𝑲′
𝟏 + 𝟐𝒎′
𝒑
𝝎′𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎′𝒏
𝟐

11. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 11
Notion de système asservi
Système asservi à retour unitaire de 2nd ordre:

12. Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Définition de la stabilité:
Un système est stable si après une perturbation il revient
à son état d’équilibre.
Système toujours stable Système stable.
Après perturbation, il revient à son
état d’équilibre (après plusieurs
oscillations)
Système instable
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 12

13. Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Définition de la stabilité:
Un système est stable si les pôles de sa fonction de
transfert en boucle fermée 𝐹𝐵𝐹(𝑝) sont réels négatifs ou
complexes à parties réelles négatives.
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 13

14. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 14
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Discussion de la stabilité selon la position du pôle:

15. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 15
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Etudier la stabilité des systèmes linéaires
continus en utilisant deux méthode:
• La méthode algébrique en étudiant le critère de
Routh.
• La méthode graphique par utilisation du critère
de revers dans les trois diagrammes (Bode,
Black et Nyquist).

16. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 16
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝑫𝑭𝑩𝑭
𝒑 = 𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑) = 𝒂𝒏𝒑𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒑𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒑𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒑 + 𝒂𝟎
𝐩𝐧 𝐚𝐧 𝐚𝐧−𝟐 𝐚𝐧−𝟒 …….. Les coefficients 𝐛𝐢 et 𝐜𝐢 sont
calculés comme suit :
𝐛𝟏 =
𝐚𝐧−𝟏𝐚𝐧−𝟐 − 𝐚𝐧𝐚𝐧−𝟑
𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟐 =
𝐚𝐧−𝟏𝐚𝐧−𝟒 − 𝐚𝐧𝐚𝐧−𝟓
𝐚𝐧−𝟏
𝐜𝟏 =
𝐛𝟏𝐚𝐧−𝟑 − 𝐛𝟐𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟏
𝐜𝟐 =
𝐛𝟏𝐚𝐧−𝟓 − 𝐛𝟑𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟏
𝐩𝐧−𝟏 𝐚𝐧−𝟏 𝐚𝐧−𝟑 𝐚𝐧−𝟓 ……..
𝐩𝐧−𝟐 𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐛𝟑 ……..
𝐩𝐧−𝟑 𝐜𝟏 𝐜𝟐 𝐜𝟑 ……..
𝐩𝟎 𝟎
Critère algébrique de stabilité ⟹ Critère de Routh:

17. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 17
Enoncé du critère de Routh :
• Si tous les termes de la 1ère colonne sont strictement
positifs alors les pôles sont soit réels négatifs ou
complexes à parties réelles négatives c’est-à-dire le
système étudié est stable.
• Si les termes de la 1ère colonne ne sont pas strictement
positifs alors le nombre de changement de signes est
égal au nombre de pôles réels positifs ou complexes à
parties réelles positives c’est-à-dire que le système
étudié est instable.
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus

18. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 18
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝑫𝑭𝑩𝑭
𝒑 = 𝟐𝒑𝟒 + 𝟓𝒑𝟑 + 𝟑𝒑𝟐 + 𝒑 + 𝟏
𝐩𝟒
2 3 1
Les coefficients 𝐛𝐢 et 𝐜𝐢 sont
calculés comme suit :
𝐛𝟏 =
𝟓 ∗ 𝟑 − 𝟐 ∗ 𝟏
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓
𝐛𝟐 =
𝟓 ∗ 𝟏 − 𝟐 ∗ 𝟎
𝟓
= 𝟏
𝐜𝟏 =
𝟐, 𝟔 ∗ 𝟏 − 𝟏 ∗ 𝟓
𝟐, 𝟔
= −
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝒅𝟏 = 𝟏
𝐩𝟑 5 1
𝐩𝟐
𝐛𝟏 =
𝟏𝟑
𝟓
𝐛𝟐 = 𝟏 0
𝒑 𝐜𝟏 = −
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝐜𝟐 = 𝟎
𝐩𝟎 𝒅𝟏 = 𝟏 0
𝐩𝟎 𝟎
Critère algébrique de stabilité ⟹ Critère de Routh (Exemple):

19. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 19
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :
Point critique:
𝑭𝑩𝑭 𝒋𝝎 =
𝑺 𝒋𝝎
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒋𝝎)
𝟏 + 𝑮 𝒋𝝎 𝑯(𝒋𝝎)
𝟏 + 𝑮 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 = 𝟎 ⟹ 𝑮 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 = −𝟏
𝑭𝑩𝑶 𝒋𝝎𝑪 = 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝟏 ⟹
∥ 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 ∥= 𝟏
𝑨𝒓𝒈 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝝅
⟹
𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈 ∥ 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 ∥= 𝟎
𝑨𝒓𝒈 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝝅

20. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 20
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :
Critère de revers dans le plan de Nyquist:

21. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 21
Enoncé du critère du revers dans le plan de
Nyquist:
Un système est stable en boucle fermée si en
parcourant son lieu de Nyquist en boucle
ouverte 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔𝐶 dans le sens des 𝜔
croissants, on laisse le point critique A(-1,0) à
gauche.
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :

22. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 22
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critère de revers dans le plan de Black:
Critères graphiques de stabilité :

23. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 23
Enoncé du critère du revers dans le plan de
Black:
Le système est stable en boucle fermée si en
parcourant le lieu de Black de sa fonction de
transfert en boucle ouverte 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔𝐶 dans le
sens des 𝜔 croissants, on laisse le point critique
A(-180°,0dB) à droite.
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :

24. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 24
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :
Critère de revers dans le plan de Bode:

25. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 25
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :
Enoncé du critère du revers dans la plan de Bode:
Le système en boucle fermée est stable si l’une des conditions
suivantes est satisfaite:
• Le lieu du gain de la fonction en boucle ouverte 𝐺𝑑𝐵 =
20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂(𝑗𝜔) ∥ coupe l’axe 0dB pour un argument
𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔 > −180°.
• L’argument 𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔 = −180° pour un gain inférieur à
0dB.
• Le lieu du gain de la fonction en boucle ouverte
𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂(𝑗𝜔) ∥ coupe l’axe 0dB avec une pente
supérieure à -40dB/dec (ou -2).

26. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 26
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝑀𝐺 = −20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔−𝜋 ∥
𝑀𝜑 = 𝐴𝑟𝑔(𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ) + 𝜋
𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔−𝜋 = −𝜋
∥ 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ∥=1
Marge de gain 𝑴𝑮 :
Marge de phase 𝑴𝝋 :
Marges de stabilité :

27. Nyquist:
Black:
Bode:
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 27
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Marges de stabilité :

28. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 28
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Interprétation des marges de stabilité
 Un système est stable en BF si la marge de phase est positive, ce qui se traduit par :
∥ 𝐴𝑟𝑔(𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ∥< 𝜋
 La marge de gain correspond au gain supplémentaire maximum que l'on peut donner au
système en BO sans risquer de le rendre instable en BF.
 Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité.
 Pour des raisons pratiques on adopte les choix suivants pour les marges de gain et de
phase:
10𝑑𝐵 ≤ 𝑀𝐺 ≤ 15𝑑𝐵
𝜋
4
= 45° ≤ 𝑀𝜑 ≤
𝜋
3
= 60°

29. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 29
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝑮(𝒑)
+ -
𝑬(𝒑) 𝜺(𝒑) 𝑺(𝒑)
𝑺(𝒑)
Par définition, on dira qu’un système est d’autant plus
précis que le signal d’erreur 𝜀 𝑡 est plus faible.
Définition :
𝜺∞ = 𝒍𝒊𝒎
𝒕→+∞
𝜺 𝒕 = 𝟎 , ∀𝒕

30. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 30
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝜀∞ = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝜀 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑝→0
𝑝𝜀 𝑝
On a:
𝜀 𝑝 = 𝐸 𝑝 − 𝑆 𝑝 𝑒𝑡 𝑆 𝑝 = 𝐺 𝑝 𝜀 𝑝
⟹ 𝜀 𝑝 1 + 𝐺 𝑝 = 𝐸(𝑝)
Finalement:
𝜀 𝑝 =
𝐸(𝑝)
1 + 𝐺(𝑝)
=
𝐸(𝑝)
1 + 𝐹𝐵𝑂(𝑝)
En utilisant le théorème de la valeur finale
(propriété de Laplace) l’erreur est définie par:

31. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 31
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
D’après cette expression on remarque que 𝜀 𝑝 dépend :
• de la nature de l’entrée (ou consigne) (présence de E(p) dans
l’expression).
• de la nature du système (présence de la fonction de transfert en
boucle ouverte G(p)).
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑭𝑩𝑶(𝒑)
=
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)

32. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 32
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
La fonction de transfert en boucle ouverte peut être exprimée sous la
forme suivante :
𝐹𝐵𝑂 𝑝 = 𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
Où :
 𝛼 : le nombre d’intégrateurs de la fonction de transfert en boucle
ouverte, c’est la classe du système.
 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 : coefficients positifs.
 𝑛 > 𝑚 : pour des raisons de réalisabilité du système.
 𝐾 : gain statique de 𝐺 𝑝 .

33. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 33
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Exemples:
𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
𝐺1 𝑝 =
3
𝑝
*𝐾 = 3, 𝑏𝑖 = 0, 𝑎𝑖 = 0, 𝛼 = 1
𝐺2 𝑝 =
𝑝 + 1
𝑝(𝑝2 + 3𝑝 + 1)
*𝐾 = 1, 𝑚 = 1, 𝑏𝑚 = 𝑏1 = 1, 𝛼 = 1, 𝑛 = 2, 𝑎2 = 1, 𝑎1 = 3

34. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 34
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝜺∞ = 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 +
𝑲
𝒑𝜶
= 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑𝜶+𝟏
𝒑𝜶 + 𝑲
𝑬(𝒑)
Sachant que: 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒃𝒎𝒑𝒎+𝒃𝒎−𝟏𝒑𝒎−𝟏+⋯+𝒃𝟏𝒑+𝟏
𝒂𝒏𝒑𝒏+𝒂𝒏−𝟏𝒑𝒏−𝟏+⋯+𝒂𝟏𝒑+𝟏
= 𝟏
𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
𝜺∞ = 𝒍𝒊𝒎
𝒕→+∞
𝜺 𝒕 = 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑𝜺 𝒑 = 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)

35. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 35
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
 Types de consigne (entrée) :
L’erreur statique peut être calculée pour n’importe quelle consigne,
mais en pratique l’intérêt est porté pour trois types de consigne :
• L’échelon unitaire : 𝑒 𝑡 = 𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝
.
• La rampe : 𝑒 𝑡 = 𝑡𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝2.
• L’accélération : 𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
2
𝑝3.

36. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 36
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée échelon unitaire :
𝑒 𝑡 = 𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur de position et est
notée 𝜀𝑝.
On remplace de l’expression de 𝜀∞ :
𝜀∞ = 𝜀𝑝 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
1
𝑝
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼
𝑝𝛼 + 𝐾
=
𝛼 = 0 →
1
1 + 𝐾
𝛼 = 1 → 0
𝛼 > 1 → 0

37. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 37
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée rampe :
𝑒 𝑡 = 𝑡𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur de vitesse (ou de
trainage) et est notée 𝜀𝑉.
𝜀∞ = 𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
1
𝑝2
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼−1
𝑝𝛼 + 𝐾
𝛼 = 0 → lim
𝑝→0
1
𝑝(1 + 𝐾)
= +∞
𝛼 = 1 → lim
𝑝→0
1
(𝑝 + 𝐾)
=
1
𝐾
𝛼 > 1 → 0

38. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 38
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée accélération (ou parabole) :
𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur d’accélération et
est notée 𝜀𝑎.
𝜀∞ = 𝜀𝑎 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
2
𝑝3
= lim
𝑝→0
2 𝑝𝛼−2
𝑝𝛼 + 𝐾

39. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 39
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝛂
𝛃-Entrée 𝟎 𝟏 𝟐 ≥ 𝟑
𝛃 = 𝟏 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩
𝛆𝐩 =
𝐀
𝐊𝐩
𝛆𝐩 = 𝟎 𝛆𝐩 = 𝟎 𝛆𝐩 = 𝟎
𝛃 = 𝟐 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩𝟐
𝛆𝐕 = +∞ 𝛆𝐕 =
𝐀
𝐊𝐯
𝛆𝐕 = 𝟎 𝛆𝐕 = 𝟎
𝛃 = 𝟑 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩𝟑
𝛆𝐚 = ∞ 𝛆𝐚 = ∞ 𝛆𝐚 =
𝐀
𝐊𝐚
𝛆𝐚 = 𝟎

40. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 40
Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus

41. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 41
𝑮(𝒑)
+ -
𝑬(𝒑) 𝜺(𝒑) 𝑺(𝒑)
𝑺(𝒑)
𝐺 𝑝 =
𝑝 + 2
𝑝2 + 6𝑝 + 2
=
2(0,5𝑝 + 1)
2(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
=
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
𝐾 = 1; 𝑏1 = 0,5; 𝑎2 = 0,5; 𝑎1 = 3; 𝛼 = 0 ⟹ pas d′intégration
1
𝑝
• L’erreur de position pour une entrée échelon : 𝐸 𝑝 =
1
𝑝
𝜀𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
=
1
2
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Exemple 1:

42. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 42
• L’erreur de vitesse pour une entrée en rampe:𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
𝜀𝑉 = +∞ = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝2
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝(1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= +∞
• L’erreur d’accélération pour une entrée (𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢(𝑡)): 𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
𝜀𝑎 = +∞ = lim
𝑝→0
𝑝
2/𝑝3
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝2(1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= +∞
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus

43. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 43
𝑮(𝒑)
+ -
𝑬(𝒑) 𝜺(𝒑) 𝑺(𝒑)
𝑺(𝒑)
𝐺 𝑝 =
𝑝 + 2
𝑝(𝑝2 + 6𝑝 + 2)
=
2(0,5𝑝 + 1)
2𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
=
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
𝐾 = 1; 𝑏1 = 0,5; 𝑎2 = 0,5; 𝑎1 = 3; 𝛼 = 0 ⟹ il y′
a une intégration
1
𝑝
• L’erreur de position: entrée échelon E(p)=1/p
𝜀𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
= 0
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Exemple 2:

44. Analyse des Systèmes Linéaires Continus 44
• L’erreur de vitesse pour une entrée en rampe: 𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝2
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝(1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
)
⟹ 𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
1
𝑝 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= 1
• L’erreur d’accélération pour une entrée (𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢(𝑡)): 𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
𝜀𝑎 = lim
𝑝→0
𝑝
2/𝑝3
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝2(1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
)
= +∞
Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus