Optimisation

Optimisation de la fiabilité des produits et des systèmes industriels:
Approche probabiliste
nciblotfi@hotmail.com
Lotfi Ncib
Sous la direction de
Hédi Hassis & Nabil Gmati
ENIT le 06/06/2018

Optimisation de la fiabilité des produits et des systèmes
industriels: Approche probabiliste
Plan de l’exposé :
Introduction1
Généralité d’un problème de fiabilité probabiliste2
Approche proposée (RMP)3
Implémentation de l ’approche proposée4
Conclusion et perspectives5
2

3Optimisation de la fiabilité des produits et des systèmes industriels: Approche probabiliste
Depuis une trentaine d’années, l’industrie a développé des processus et des codes de calcul parfois très lourds pour
modéliser des phénomènes complexes !
La plupart des ingénieurs sont amenés à manipuler ces codes et processus
✓ Il est nécessaire d’optimiser leur utilisation pour prendre des décisions !
➢ développement de modèles réduits
✓ La validation de leurs résultats est un problème crucial lorsqu’ils sont utilisés dans des cycles industriels
➢ Gestion des incertitudes, calculs fiabilistes.
Commission Electronique Internationale (CEI) «L’aptitude d’un dispositif à accomplir une fonction requise
dans des conditions données et pour une durée déterminée».
Qu'est-ce que l'Analyse de Fiabilité ?
Introduction

L’analyse de la fiabilité présente plusieurs avantages et intérêts, elle:
✓ un traitement réaliste des incertitudes.
✓ une aide à la décision conduisant à une conception plus économique et mieux équilibrée.
✓ une répartition optimale des paramètres.
✓ incorporer l’expérience acquise dans la conception.
✓ maitrise de la connaissance des incertitudes sur la réponse des structures.
Intérêts de l’analyse de fiabilité :
Introduction

Introduction
Méthodes
d’analyse de la
fiabilité
Méthode
Déterministe
Méthode
Possibiliste
Méthode
Probabiliste
✓ Tous caractérisé par des
valeurs constantes,
✓ trop couteuse d’un point de
vue économique
✓ une analyse plus réaliste de la fiabilité
✓ Fonctions de densités
✓ Probabilité de défaillance
✓ Analyse de sensibilités
✓ Tous caractérisé par des valeurs
minimales et maximales.
✓ On travaille avec des intervalles
Méthodes d’analyse de fiabilité :

Formulation du problème de fiabilité
Sortie Y:
Déplacements
Efforts
Contraintes
Modèle analytique
Eléments finis,
Différences finies…
Entrée X:
Géométrie
Caractéristiques matériaux
Chargement…..
Modèle probabiliste
Lois marginales
Dépendances
Corrélation...
Résultats probabilistes
Probabilités d’évènements
Lois de distributions.
Généralité d’un problème de fiabilité probabiliste

𝑫 𝒇 = 𝑿, 𝑮(𝑿) < 𝟎 Domaine de défaillance
𝑫 𝒔 = 𝑿, 𝐆(𝑿) > 𝟎
𝚺 = 𝑿, 𝑮(𝑿) = 𝟎
Domaine de sécurité
Surface de l’état limite
Formulation du problème d’analyse de fiabilité
𝑋 𝜔 = 𝑋1 𝜔 , … 𝑋 𝑛 𝜔 ≔ 𝑋 = 𝑋1 … 𝑋 𝑛 : Vecteur de base
Ω = Ω1 × ⋯ × Ω 𝑛
Fonction de performance associée à un scénario de défaillance
𝐺: Ω1 × ⋯ × Ω 𝑛 → ℝ
(𝑋1, … 𝑋 𝑛) ⟼ 𝐺(𝑋1, … 𝑋 𝑛)
La fonction 𝐺 nous permet de définir trois sous-domaines :
Domaine
de défaillance
𝑿 𝟏
𝑿 𝟐
𝑂
𝐺 𝑋1, 𝑋2 = 0
Domaine
de sécurité

✓ Un calcul direct de la probabilité de défaillance ne peut s’effectuer que dans des cas très simples:
➢ La surface d’état limite est facile à déterminer(cas d’une fonction linéaire),
➢ les lois sont indépendantes.
Les principales méthodes utilisées pour calculer cette intégrale sont:
➢ les méthodes d’intégration directe ou numérique,
➢ les méthodes de simulations de Monte-Carlo,
➢ les méthodes d’approximation de la surface d’état-limite.
La probabilité de défaillance: 𝑷 𝒇= 𝑷 𝑮 𝑿 ≤ 𝟎 = න
𝑮 𝑿 ≤𝟎
𝒇 𝑿 𝒙 𝟏, … … . , 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝟐 … … 𝒅𝒙 𝒏
Formulation du problème d’analyse de fiabilité
𝐹( 𝑋1,…..,𝑋 𝑛 )(𝑥1, … . . , 𝑥 𝑛 ) et 𝑓 𝑋1,…..,𝑋 𝑛
𝑥1, … . . , 𝑥 𝑛 sont connues.

𝑃𝑓 = 𝑃( 𝐺 𝑋 ≤ 0) = E 1 𝐺 𝑋 ≤ 0 = 𝐸 )𝜑(𝑋
Oû 𝜑 𝑋 = 1 𝐺 𝑋 ≤ 0
1
𝑁
෍
𝐼=1
𝑁
𝜑(𝑥𝑖 ) →
𝑝𝑠
𝐸 )𝜑(𝑋 𝑒𝑡 𝐸 )𝜑(𝑋 < +∞.
𝜃 𝑁 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
1 𝐺 𝑥 𝑖 ≤ 0
𝜎 𝑁
2
=
1
𝑁 − 1
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝜑2
𝑥𝑖 − 𝜃 𝑁
2
Méthode de simulation Monte Carlo
Tirage d’importance
Monte-Carlo (MC)

Méthode de simulation Monte Carlo
La mise en œuvre de la méthode de simulation MC peut être résumée en six étapes:
1. Définition du problème en termes de variables aléatoires ;
2. Modélisation des variables en fonction de leurs fonctions de probabilité ;
3. Génération de n échantillons des variables aléatoires ;
4. Évaluation du taux de défaillance en utilisant la fonction de performance pour chaque ensemble de
valeurs produites de toutes les variables aléatoires ;
5. Extraction des informations probabilistes à partir du nombre d’évaluations effectuées ;
6. Détermination de la précision et efficacité de la simulation.

Point de conception
𝛽
𝑃∗
Domaine
de défaillance
Indice de fiabilité
𝒖 𝟏
𝒖 𝟐
𝒖 𝟏
∗
𝒖 𝟐
∗
hyperplan tangent
cercle tangent
𝑂
𝐻 𝑢𝑖 = 0
transformation
iso-probabiliste
espace normé Gaussien
𝑻
𝛽
𝑃∗
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
𝒙 𝟏
∗
𝒙 𝟐
∗
𝐺 𝑥𝑖 = 0
Espace physique
𝑃𝑓 = Φ(−𝛽)
Approximation de 𝐏𝐟
Simulation
Les étapes du calcul sont:
- 1 - transformation T de
l’espace physique
vers l’espace normé.
- 2 - recherche de
la distance de l’origine à
l’état limite.
- 3 - approximation de la
probabilité de défaillance.
Méthodes d’approximation: FORM/SORM

- 1- Transformation iso-probabiliste
1. simplifier la fonction densité
conjointe qui intervient dans
l’intégrale de la probabilité de
défaillance.
2. associer les variables de base X dans
l’espace physique à des variables
gaussiennes centrées réduites et
indépendantes U dans un espace dit
standard
( 𝑋1, … . . , 𝑋 𝑛 ) →
𝑇
( 𝑈1, … . . , 𝑈 𝑛 )
T :
𝑈1 = Φ−1
( 𝐹𝑋1
𝑥1 )
𝑈2 = Φ−1
( 𝐹𝑋2
𝑥2 )
.
.
.
𝑈 𝑛 = Φ−1
( 𝐹𝑋 𝑛
𝑥 𝑛 )
T:
ቁ𝑈1 = Φ−1( 𝐹𝑋1
𝑥1
ቁ𝑈2 = Φ−1( 𝐹𝑋2
𝑥2𝑥1
.
.
.
ቁ𝑈 𝑛 = Φ−1
( 𝐹𝑋 𝑛
𝑥 𝑛 𝑥1, … , 𝑥 𝑛−1
𝐹( 𝑋1,…..,𝑋 𝑛 )(𝑥1, … . . , 𝑥 𝑛 ) et 𝑓 𝑋1,…..,𝑋 𝑛
𝑥1, … . . , 𝑥 𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢𝑒𝑠
Variables indépendantes:
Transformation Analytique
Variables dépendantes:
Transformation Rosanblatt
𝑃𝑓 = න
𝐺 𝑋 ≤0
𝑓𝑋 𝑥1, … … . , 𝑥 𝑛 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 … … 𝑑𝑥 𝑛
𝜙: fonction de répartition d'une variable gaussienne centrée réduite

- 2 - Recherche point de conception et indice de fiabilité
Point de conception
𝛽
𝑃∗
Domaine
de défaillance
Indice de fiabilité
𝒖 𝟏
𝒖 𝟐
𝒖 𝟏
∗
𝒖 𝟐
∗
hyperplan tangent
cercle tangent
𝑂
𝐻 𝑢𝑖 = 0
Résolution de problème d’optimisation dans
l’espace standard suivant:
𝑢∗
= 𝑚𝑖𝑛 𝑢 sous la contrainte 𝐻(𝑢) ≤ 0
𝑢∗ 2
= 𝑚𝑖𝑛 𝑢 2
sous contrainte 𝐻 𝑢 = 0
En générale on utilise la méthode des multiplicateurs
de Lagrange
Le point 𝑷∗ est le point de maximum de densité de
probabilité dans le domaine de définition, c’est la
réalisation la plus probable conduisant à la
défaillance. Il est pris comme point de conception.
Coordonnées de point 𝑷∗
: 𝒖 𝟏
∗
, 𝒖 𝟐
∗
𝑻−𝟏
(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)
𝜷 mesure la distance entre le point médian de
fonctionnement 𝑶 et le point de conception
𝜷 est appelé indice de fiabilité

- 3 - Calcul de la probabilité de défaillance
𝛽
𝑃∗
Domaine
de défaillance
𝒖 𝟏
𝒖 𝟐
𝒖 𝟏
∗
𝒖 𝟐
∗
hyperplan tangent
𝑂
𝐻 𝑢𝑖 = 0
𝛽
𝑃∗
Domaine
de défaillance
𝒖 𝟏
𝒖 𝟐
𝒖 𝟏
∗
𝒖 𝟐
∗
cercle tangent
𝑂
𝐻 𝑢𝑖 = 0
)𝑃𝐹𝑂𝑅𝑀 = 𝜙 (−𝛽
𝑃𝑆𝑂𝑅𝑀 = 𝜙 (−𝛽) 𝐽
1
2
𝐹𝑂𝑅𝑀
𝑆𝑂𝑅𝑀
Attention tout cela suppose de bonnes propriétés à vérifier par la fonction de performance.
où 𝜙 est la fonction de répartition gaussienne centrée réduite
𝐽 quantité dépendante des dérivées
premières et secondes de 𝐺 au point 𝑃∗

𝑿 = σ𝒋=𝟏
𝒏 𝒑
𝜣𝒋(𝑷𝒋)𝑿𝒋
𝑲 𝒙𝒊 𝑷𝒊 . σ𝒋=𝟏
𝒏 𝒑
𝚯𝒋(𝑷𝒋)𝑿𝒋 = 𝑭 (3)
‫׬‬0
1
. . ‫׬‬0
1
𝐾 𝑥𝑖 𝑃𝑖 . σ 𝑗=1
𝒏 𝒑
Θ𝑗 𝑃𝑗 𝑋𝑗 = 𝐹 𝑥𝑖 𝑃𝑖 . Θ 𝑘 𝑃𝑘 𝑑𝑃1. . 𝑑𝑃 𝒏 𝒑
(4)
𝐾: matrice de rigidité issue de la discrétisation de l'espace et qui contient certains paramètres probabilistes
En utilisant la méthode de séparation des variables et par une décomposition sur une base de fonctions de
probabilité:
Les inconnues sont les 𝑿𝒋
𝑲. 𝑋 = 𝐹Matrice de rigidité
Vecteur déplacement nodaux
Vecteur forces nodales
𝑲 𝒙𝒊 𝑷𝒊 . 𝑿 𝒙𝒊 𝑷𝒊 = 𝑭 ; 𝒊 = 𝟏 … 𝒏 𝒑 (1)
(2)
Approche proposée (RMP)
Mise en œuvre de l’approche RMP

Après une intégration numérique, 𝑛 𝑝 problèmes liés sont écrits et exprimés par :
σ 𝑗=1
𝑛 𝑝
ഥ𝐾𝑘𝑗 𝑋𝑗 = ത𝐹; 𝑘 = 1 à 𝑛 𝑝 (5)
Les 𝑛 𝑝 problèmes définis par (5) sont écrits comme suit:
Avec ഥ𝐾𝑘𝑗 = ‫׬‬0
1
… ‫׬‬0
1
𝐾 𝜐𝑖 𝑃𝑖 Θ𝑗 𝑃𝑗 Θ 𝑘 𝑃𝑘 Θ 𝑘 𝑃𝑘 𝑑𝑃1 … 𝑑𝑃𝑛 𝑝
(7)
ത𝐹𝑘 = ‫׬‬0
1
… ‫׬‬0
1
𝐹. Θ 𝑘 𝑃𝑘 𝑑𝑃1 … 𝑑𝑃𝑛 𝑝
(8)
⋮
⋮
ഥ𝐾𝑘1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
ഥ𝐾𝑘𝑗
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
ഥ𝐾𝑘𝑛 𝑝
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
𝑋1
⋮
𝑋𝑗
⋮
⋮
𝑋 𝑛 𝑝
=
ത𝐹1
⋮
ത𝐹𝑘
⋮
⋮
ത𝐹𝑛 𝑝

𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
𝑋1
𝑋2
=
𝑓1
𝑓2
𝜙1 𝑃1 =
𝜇 𝑘1
𝑘1 𝑃1
𝜙2 𝑃2 =
)𝜇(𝑘2
)𝑘2(𝑃2
X =
𝑋1
𝑋2
=
𝜶 𝟏
𝜷 𝟏
ϕ1 +
𝛼2
𝛽2
ϕ2
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
𝛼1 𝜙1 + 𝛼2 𝜙2
𝛽1 𝜙1 + 𝛽2 𝜙2
=
𝑓1
𝑓2
Exemple illustratif
൫𝑘1 + 𝑘2)𝜙1 −𝑘2 𝜙1
−𝑘2 𝜙1 𝑘2 𝜙1
𝛼1
𝛽1
+
( 𝑘1 + 𝑘2)𝜙2 −𝑘2 𝜙2
−𝑘2 𝜙2 𝑘2 𝜙2
𝛼2
𝛽2
=
𝑓1
𝑓2

Exemple illustratif
𝐾1,1=
ඵ
0
1
൯((𝑘1
+ 𝑘2)𝜙1(𝑝1))𝜙1(𝑝1 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙1(𝑝1 𝜙1(𝑝1)𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙1(𝑝1 𝜙1(𝑝1)𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)𝑘2 𝜙1(𝑝1)𝜙1(𝑝1 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
𝐾1,2= 𝐾2,1 =
ඵ
0
1
൯((𝑘1
+ 𝑘2)𝜙2(𝑝2))𝜙1(𝑝1 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙2(𝑝2 𝜙1(𝑝1)𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙2(𝑝2)𝜙1(𝑝1 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)𝑘2 𝜙2(𝑝2 𝜙1(𝑝1)𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
𝐾2,2 =
ඵ
0
1
൯((𝑘1
+ 𝑘2)𝜙2(𝑝2))𝜙2(𝑝2 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙2(𝑝2)𝜙2(𝑝2 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
ඵ
0
1
)−𝑘2 𝜙2(𝑝2)𝜙2(𝑝2 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2 ඵ
0
1
)𝑘2 𝜙2(𝑝2 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
𝐾1,1 𝐾1,2
𝐾2,1 𝐾2,2
𝛼1
𝛽1
𝛼2
𝛽2
=
ඵ
0
1
)𝑓1 𝜙1(𝑝1 𝑑𝑝1 𝑑𝑝2
ඵ
0
1
ඵ
0
1
ඵ
0
1

Exemple illustratif
𝒇𝟏 = 𝒇𝟐 = 𝟑. 𝟓𝑬𝟕𝑵𝝁𝒌𝟏 = 𝟐𝑬𝟏𝟎𝑵/𝒎 𝝈𝒌𝟏 = 𝟒𝑬𝟗𝑵/𝒎 𝝁𝒌𝟐 = 𝟏𝑬𝟏𝟎𝑵/𝒎 𝝈𝒌𝟐 = 𝟑𝑬𝟗𝑵/𝒎
Les deux fonctions de
représentation choisies
Densité de probabilité des
rigidités k1 et k2
Fonction de répartition cumulative
des rigidités k1 et k2

Déplacement X1 approché Déplacement X1 exacte
L’erreur relative entre X1 approché et X1 exacte
Résultats

-Un élément finis poutre est un élément dont le comportement est 3D.
-Cadre de la théorie linéaire: Superposition de trois modèles
mathématiques:
• traction
• torsion
• flexion
-Un élément à 2 nœuds .
Pour une poutre plane, chaque nœud possède 3 d.d.l:
• 2 déplacements
• une rotation.
6 inconnues par élément
Elément poutre dans le plan avec 6 d.d.l.
Poutre à section rectangulaire en flexion simple
Elément fini poutre en 2D
Implémentation de l’approche

Exemple de validation
Trois cas traités:
- 2 v.a : E et a
- 2 v.a : E et b
- 3 v.a : E, a et b
La structure est modélisée sous
Matlab:
• 5 nœuds
• 4 éléments
• 3 ddl par nœud Maillage et conditions aux limites
structure analysée

𝒃 = 𝟎. 𝟑𝟓 𝒎
• La fonction de base adoptée pour cet exemple est :
• Une seule fonction de base par élément !
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡 − 𝑡𝑦𝑝𝑒
𝐸 (N/m2
) 2E11 2E10(10%)
𝑎 (𝑚) 0.035 0.0035(10%)
Variables aléatoires
Cas 1: deux variables aléatoires E et a
)()(
),(
aE
aE
aE
PaPE
PP

=
Evolution de la flèche en B en fonction des fonctions de
répartitions cumulatives de E et a

Résultats de simulation Monte Carlo(1000 pts)
Vérification du critère de la flèche en B en
fonction des fonctions de répartitions cumulatives
de E et a.
wmax=-0.3m: un seuil flèche maximale.
G )P(E), P(a = W )P(E), P(a − wmax fonction
de performance.
൯Pf(G )P(E), P(a = W )P(E), P(a − wmax < 0
La courbe représente le résultat explicite par
l’approche.
Les losanges et les étoiles représentent les
simulations de MC.

𝑷𝒇 𝑹𝑴𝑷
= 𝟎. 𝟖𝟎𝟖
𝐈𝐧𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟖𝟎𝟕 𝟎. 𝟖𝟏𝟎]
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑔𝑒𝑠 PfMC 𝐼𝑛𝑡_𝑐𝑜𝑛𝑓
100 0.810 [0.642 0.977]
1000 0.821 [0.767 0.874]
10000 0.814 [0.797 0.831]
100000 0.810 [0.805 0.815]
100 0.010 [−0.019 0.039]
1000 0.005 [−0.004 0.014]
10000 0.0073 [0.0042 0.010]
100000 0.0065 [0.0055 0.007]
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟒
𝐈𝐧𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟎 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕]
wmax=-0.3m
wmax=-0.5m
Probabilité de défaillance pour 𝒘 𝒎𝒂𝒙=-0.3 m

𝑎 = 0.035 𝑚
-Deux fonctions de base pour chaque élément:
𝐸 (N/m2) 2E11 2E10 (10%)
𝑏 (𝑚) 0.35 0.035(10%)
Cas 2: deux variables aléatoires E et b
)()(
),(1
bE
bE
bE
PbPE
PP

=
( )
)()(
),( 3
3
2
bE
bE
bE
PbPE
PP

=
Evolution de la flèche en B en fonction des fonctions de
répartitions cumulatives de E et b

Vérification du critère de la flèche en B en
fonction des fonctions de répartitions
cumulatives de E et b.
wmax=-0.3m: un seuil de flèche maximale.
G )P(E), P(𝑏 = W )P(E), P(𝑏 − wmax
fonction de performance.
La courbe représente le résultat explicite par
l’approche.
simulation de MC.

100 0.010 [−0.075 0.095]
1000 0.005 [−0.022 0.032]
10000 0.0087 [00 0.017]
100000 0.0079 [0.0051 0.010]
100 0.670 [0.517 0.822]
1000 0.645 [0.600 0.689]
10000 0.651 [0.637 0.665]
100000 0.650 [0.646 0.655]
= 𝟎. 𝟔𝟓𝟐
𝑰𝒏𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟔𝟓𝟎𝟕 𝟎. 𝟔𝟓𝟑𝟓]
wmax=-0.3m
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟖
𝐈𝐧𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟗 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟕]
wmax=-0.8m

-Deux fonctions de base pour chaque élément:
𝐸 (N/m2
) 2E11 2E10(10%)
a (𝑚) 0.035 0.0035(10%)
b (𝑚) 0.35 0.035(10%)
Cas 3: deux variables aléatoires E, a et b
)()()(
),,(1
baE
baE
baE
PbPaPE
PPP

=
( )
)()()(
),,(
3
3
2
baE
baE
baE
PbPaPE
PPP

=

wmax=-0.3m: un seuil de flèche maximale.
G )P E , P a , P(𝑏 = W )P E , P a , P(𝑏 − wmax
fonction de performance.
La surface représente le résultat explicite par
l’approche.
simulation de MC.

100 0.680 [0.529 0.830]
1000 0.663 [0.616 0.709]
10000 0.649 [0.635 0.664]
100000 0,651 [0.647 0.656]
100 0.010 [−0.0754 0.095]
1000 0.012 [−0.0158 0.039]
10000 0.0096 [00 0.0183]
100000 0.0093 [0.0066 0.0121]
= 𝟎. 𝟔𝟓𝟏
𝐈𝐧𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟔𝟓𝟎𝟏 𝟎. 𝟔𝟓𝟑𝟎]
wmax=-0.3m
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟎:
𝐈𝐧𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒇 = [𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟑 𝟎. 𝟎𝟏𝟏]
wmax=-0.8m

𝐾−1 =
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
+
1
𝑘2
𝐾 =
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
𝑲 =
𝒌 𝟏 + 𝒌 𝟐 −𝒌 𝟐 𝟎
−𝒌 𝟐 𝒌 𝟐 + 𝒌 𝟑 −𝒌 𝟑
𝟎 −𝒌 𝟑 𝒌 𝟑
𝐾−1 =
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
1
𝑘1
+
1
𝑘2
1
𝑘1
1
𝑘1
+
1
𝑘2
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+
1
𝑘3
1
𝑘1
,
1
𝑘2
1
𝑘1
,
1
𝑘2
,
1
𝑘3
Système discret
Deux masses deux ressorts
Trois masses trois ressorts
Méthode empirique pour le choix des fonctions de représentation
Deux fonctions représentatives
Trois fonctions représentatives
Les rigidités
Les rigidités

𝐸𝑎𝑏
𝑙
0 0
0
𝐸𝑎𝑏3
𝑙3
𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
0
𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
3𝑙
−𝐸𝑎𝑏
𝑙
0 0
0
−𝐸𝑎𝑏3
𝑙3
𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
0
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
6𝑙
−𝐸𝑎𝑏
𝑙
0 0
0
−𝐸𝑎𝑏3
𝑙3
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
0
𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
6𝑙
𝐸𝑎𝑏
𝑙
0 0
0
𝐸𝑎𝑏3
𝑙3
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
0
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
3𝑙
𝐴 =
𝑬𝒂𝒃
𝑙
0 0
0
𝐸𝑎𝑏3
𝑙3
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
0
−𝐸𝑎𝑏3
2𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
3𝑙
𝐴−1 =
𝑙
𝑬𝒂𝒃
0 0
0
4𝑙3
𝐸𝑎𝑏3
6𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
0
6𝑙2
𝐸𝑎𝑏3
12𝑙
𝑬𝒂𝒃 𝟑
𝟏
൯𝑬(𝑷 𝑬 ) ∗ 𝒂(𝑷 𝒂 ) ∗ 𝒃(𝑷 𝒃
𝟏
𝑬(𝑷 𝑬 ) ∗ 𝒂(𝑷 𝒂 ) ∗ ൯𝒃(𝑷 𝒃
𝟑
Elément fini poutre en 2D
Matrice élémentaire d’un élément fini poutre en 2D
Module de Young
largeur hauteur
Fonctions de répartitions inversées

𝜎11
𝜎22
𝜎12
=
𝐸
1 − 𝜈2
𝜈𝐸
1 − 𝜈2
0
𝜈𝐸
1 − 𝜈2
𝐸
1 − 𝜈2
0
0 0
𝐸
)2(1 + 𝜈
.
𝜀11
𝜀22
𝜀12
𝜀11
𝜀22
𝜀12
=
1
𝐸
−
𝜈
𝐸
0
−
𝜈
𝐸
1
𝐸
0
0 0
)2(1 + 𝜈
𝐸
.
𝜎11
𝜎22
𝜎12
Contraintes planes en 2D
1
𝐸
,
𝜈
𝐸
Les deux fonctions représentatives

Conclusion
† Formulations et les fondements théoriques (démonstrations mathématiques) qui sont à la
base de cette approche.
† Illustration et validations de l’approche proposée RMP par des cas académiques simples
(modèles analytiques).
† Détermination des hypothèses physiques et des circonstances d’utilisation qui permettent son
application à des cas réels.
† Validation de l’approche RMP par des exemples réels.
† Implémentation de l’approche RMP sur un logiciel de calcul numérique (Matlab).
Conclusion & perspectives

Conclusion & perspectives
Perspectives
‡ Possibilité d’améliorer le temps de calcul de l’approche RMP proposée.
‡ Validation de l’approche RMP pour des cas industriels.
‡ Développement d’une nouvelle approche basée sur le même principe.
‡ Généralisation de l’approche RMP au comportement non linéaire.
‡ Reprendre le travail en utilisant la nouvelle technologie d’Intelligence Artificielle (IA),
notamment les réseaux de neurones.

Merci beaucoup pour votre
attention

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