Presoutenance

Estimations ensemblistes des états
et application à la détection
Jun XIONG
Sous la direction de Carine Jauberthie et Louise Travé-Massuyès
LAAS-CNRS, Groupe DIagnostic Supervision et COnduite
12 Septembre 2013

Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Cadre général
Estimation→Détection→Diagnostique→Reconﬁguration
2 / 39

Cadre général
...mais n’oublions pas, il y a aussi des...
Incertitudes
Que connaissons-nous sur le système dynamique ?
2 / 39

Cadre général
Incertitudes
Bruits de mesure et sur la dynamique
incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi
de probabilité connue à priori, gaussienne e.g.
Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une
moyenne nul dans une longue periode
2 / 39

Cadre général
Incertitudes
Bruits de mesure et sur la dynamique
incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi
de probabilité connue à priori, gaussienne e.g.
Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une
moyenne nul dans une longue periode
Tolérances paramétriques
tolérances sur les valeurs de paramètres et les mesures, modélisées
par des incertitudes bornées
Example :La valeur de tension fonctionnelle peut etre conﬁgurée entre
2 volts et 4 volts
2 / 39

Sommaire
1 Contexte et problématique
Contexte de travail
Point départ de la thèse
2 Calcul par intervalles
Analyse par intervalle
Optimisation de solution
3 Estimation ensembliste des états et détection
Espérance et variance ensembliste
Méthode existant et son problème
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Application à la détection
4 Exemples numériques
Estimation des états d’un cas d’étude
Détection de faute d’un cas d’étude
5 Conclusion et perspectives
3 / 39

Estimations ensemblistes des états et application à la détection
1ère
partie
Contexte et problématique
4 / 39

Contexte de travail
Origines des incertitudes
Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement !
5 / 39

Contexte de travail
Origines des incertitudes
Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement !
Connaissance d’expert
Un expert donne une valeur pragmatique
Example :Un boulanger croit que le temps de
fermentation des pâtes est supérieur a 1
heure mais inférieur a 2 heures
Tolérance outillage
Un outillage de mesure donne une valeur
arrondie
Example :Un règle de longeur enlève un
mesure avec une précision de ± 1 mm
Limitation de modélisation
Un modèle ne peut pas inclure tout
possibilités
Example :Un modeleur de système n’a pas
pris en compte tout les conﬁgurations
possibles
Fait physique
Les bruits sont statistiquement distribués
Example :Les mesures de capteur électrique
sont bruités mais le bruit est moyennment nul
sur longue terme
5 / 39

Contexte de travail
Approximation des incertitudes
L’approche stochastique
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de
probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . .
6 / 39

Contexte de travail
Exigence de connaissance de
caractéristique statistique en avance,
Fusion des lois distributions (multiple
capteurs) dégrade le taux de croyance.
6 / 39

Contexte de travail
L’approche ensembliste
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes,
zonotopes, polytopes, unions de pavés. . .
6 / 39

Contexte de travail
L’approche ensembliste
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes,
zonotopes, polytopes, unions de pavés. . .
Exigence de temps et de puissance de
calcul,
Pessimisme de résultat par sur-estimation,
moins precise dans certain cas d’utilisation.
6 / 39

Contexte de travail
Détection de faute : modélisation
Actuators
Residuals
input output
Residual generation tools
System
dynamics
Sensors
Actuators
faults
Component
fault
Disturbances
Sensor
fault
Noise
Controller
Un résidus r(t) dépend un modèle,
un vecteur d’entrée u(t) et un
vecteur de mesure y(t) :
r(t) = g(u(t), y(t)),
Pour concrètement, cela peut etre
simpliﬁée à :
r(t) = ym(t) − ˆy(t).
7 / 39

Contexte de travail
Détection de faute : modélisation
Actuators
Residuals
input output
Residual generation tools
System
dynamics
Sensors
Actuators
faults
Component
fault
Disturbances
Sensor
fault
Noise
Controller
Un résidus r(t) dépend un modèle,
un vecteur d’entrée u(t) et un
vecteur de mesure y(t) :
r(t) = g(u(t), y(t)),
Pour concrètement, cela peut etre
simpliﬁée à :
r(t) = ym(t) − ˆy(t).
Approche d’observateur
Estimer les états a partir
d’un modèle.
Méthode paramétrique
Estimer les parametres
a partir d’un modèle.
Redondance analytique
Analyser des relations
parités.
7 / 39

Tous uni ensemble !
Méthode d’estimation
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Système non-linéaire
Filtrage particulaire
Kalman étendu
...
8 / 39

Tous uni ensemble !
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Kalman étendu
...
+
Modèle d’incertitude
Ensembliste
Ellipsoïde
Polytope
Zonotope
Intervalle(Pavé)
...
Stockastique
Normal distribution
Uniforme
Loi de poisson
...
8 / 39

Tous uni ensemble !
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Kalman étendu
...
+
Modèle d’incertitude
Ensembliste
Ellipsoïde
Polytope
Zonotope
Intervalle(Pavé)
...
Stockastique
Normal distribution
Uniforme
Loi de poisson
...
+
Diagnostique
Observateur
Paramétrique
Parité
8 / 39

Uncertain stochastic system
Motivés par les observations ci-dessus, nous traitons le problème de
l’intégration d’incertitudes statistiques et à erreurs bornées pour les
systèmes linéaires à temps discret.
Formulation du système



xk+1 = Axk + Buk + wk, A ∈ A, B ∈ B,
yk = Cxk + Duk + vk, C ∈ C, D ∈ D,
A ∈ IRn×n
, B ∈ IRn×p
, C ∈ IRm×n
, D ∈ IRm×p
, k = 0, 1, 2, ...
E{wk, wl} = Qδkl, E{vk, vl} = Rδkl,
E{wk, vl} = E{wk, x0} = E{vk, x0} = 0,
∀k, l = 0, 1, 2, ...
Système Stochastique Incertain (USS)
Paramètres bornées + bruit statistique
Example :Satellite avec signal bruité + tolérance de changment de
masse etc
9 / 39

Objectif général
Etape 1
Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant
en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique,
Etape 2
Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat,
Etape 3
Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de
fautes et au diagnostic,
10 / 39

2ème
partie
Calcul par intervalles
11 / 39

Analyse par intervalle : la base
Deﬁnition (Interval)
An interval x in R is a closed set of connected real values noted by
x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound.
12 / 39

x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
Deﬁnition (Opérateurs)
the interval width : w(x) = x − x,
the interval center : mid(x) = (x + x)/2,
the interval radius : rad(x) = (x − x)/2.
the interval bounds : sup/inf (x) = x/x.
12 / 39

x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
Deﬁnition (Natural arithmetic)
x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}.
12 / 39

x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
Deﬁnition (Natural arithmetic)
x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}.
Deﬁnition (Fonction d’inclusion)
The interval function f of IRn
in IR is called inclusion function of f if and only if :
∀x ∈ IRn
, f (x) ⊆ f (x).
12 / 39

Analyse par intervalle : la base, suite...
Deﬁnition (Interval vector)
An interval vector noted by :
x = (x1, x2, ..., xn)T
,
is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn
which is the ensemble of interval
variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x.
13 / 39

x = (x1, x2, ..., xn)T
,
Deﬁnition (Interval box)
An interval box x in IRn
is the Cartesian product of n intervals :
x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn.
13 / 39

x = (x1, x2, ..., xn)T
,
Deﬁnition (Interval box)
An interval box x in IRn
is the Cartesian product of n intervals :
x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn.
Deﬁnition (Bisection)
The bisection is an operation that partitions an interval box x into two other interval boxes
L(x) and R(x) which are :
L(x) [x1, x1] × ... × xj,
xj + xj
2
× ... × [xn, xn],
R(x) [x1, x1] × ... ×
xj + xj
2
, xj × ... × [xn, xn],
where the jth component of x is bisected.
13 / 39

Analyse par intervalle : pessimisme
Pessimisme : Dépendance
Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there
exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more
compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost.
14 / 39

Pessimisme : Effet enveloppe
Example : Consider successive rotations of a
dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a
rotation matrix :
M =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
.
x2
x1
f(x(0))
f(x(0))
f(f(x(0)))
f(f(x(0)))
x(0)
14 / 39

Pessimisme : Effet enveloppe
Example : Consider successive rotations of a
dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a
rotation matrix :
M =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
.
x2
x1
f(x(0))
f(x(0))
f(f(x(0)))
f(f(x(0)))
x(0)
Conséquence
Pas de zero, perte de contraintes entre variable, calcul lente, résultat divergeant...
14 / 39

Inversion des intervalles par méthode récursive
Outil de l’inversion
Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA)
Find the solution set S :
S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U
15 / 39

Inversion des intervalles par méthode récursive
Outil de l’inversion
Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA)
Find the solution set S :
S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U
If ϕ([u]) ⊆ [y], then [u] is a feasible box and added to S (inner
enclosure).
If ϕ([u]) ∩ [y] = ∅, then box [u] is unfeasible and disregarded.
Else, no conclusion can be reached so [u] is said to be
undetermined. It is bisected in two sub-boxes.
Termination criterion : size of [u] lower than > 0.
SIVIA est utilisé pour trouver la solution plus compacte et
exacte et pour optimiser le resultat garanti !
15 / 39

Calcul par contraintes
Deﬁnition (Constraint Satisfaction Problem, CSP)
A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is deﬁned by :
- a set of variables X = {x1, ..., xn},
- a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to
the variable xi,
- a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X.
Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented
as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B)
16 / 39

Calcul par contraintes
Definition (Constraint Satisfaction Problem, CSP)
A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is defined by :
- a set of variables X = {x1, ..., xn},
- a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to
the variable xi,
- a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X.
Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented
as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B)
Definition (Contracteur)
A contractor R for a CSP H1 = (X, D1, C) is an operator that can shrink the
defined domain D1 into a domain D2, such that :
D2 ⊂ D1.
The new CSP H2 is equivalent to H1.
Il y a des contracteurs a choisir selon les criteres differents :
propagation avant/arrière, Gausse, Newton, Krawczyk... !
16 / 39

Inversion des matrice des intervalles
Deﬁnition (regularity of interval matrix)
An interval matrix A ∈ IRn×n
is called regular if and only if it satisﬁes :∀A ∈ A,
det A = 0, otherwise it is called singular.
17 / 39

Methode de Rohn
Calculer A−1
par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou
A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 .
17 / 39

Methode de Rohn
Calculer A−1
par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou
A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 .
Proposition (Inversion de la matrice des intervalles par SIVIA)
Given an interval matrix A ∈ IRn×n
and B ∈ IRn×m
, for a linear system like AX = B, if
the solution of X exists, it must satisfy the following constraints and each constraint can be
solved by SIVIA algorithm :
Ci,j :
n
p=1
ai,pxp,j = bi,j, i = {1, · · · , n}, j = {1, · · · , m}.
Inversion des matrice des intervalles par SIVIA est plus ﬂexible pour
balancer la vitesse et la précision !
17 / 39

3ème
partie
Estimation ensembliste
des états et détection
18 / 39

xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
19 / 39

xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
1200
µ ∈ [0, 2], σ ﬁxed
19 / 39

xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
1200
µ ∈ [0, 2], σ ﬁxed
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
µ ﬁxed, σ ∈ [1, 3]
19 / 39

xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
1200
µ ∈ [0, 2], σ ﬁxed
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
µ ﬁxed, σ ∈ [1, 3]
−15 −10 −5 0 5 10 15 20
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
µ ∈ [0, 2], σ ∈ [1, 3]
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Esperance et variance ensembliste, suite
Theorem
Giving x a random continuous variable characterised by the density function :
f (x; µ, σ2
) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, ∀x ∈ R.
it has an mean E(x) = µ and variance V(x) = σ2.
Theorem
Giving x a random continuous variable x in one dimension with normal distribution
characterised by x ∼ N(mx, V(x)),the variable y evaluated from the linear
combination :
y = Ax + b = g(x),
is also a random continuous variable with normal distribution characterised by
y ∼ N(Amx + b, AV(x)AT
).
if and only if A is invertible.
20 / 39

Algorithme IKF
Initialisation :
ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prédiction :
+ Q,
k = 0, 1, ...
Correction :
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
,
ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k ,
k = 0, 1, ...
sens classique,
linéaire.
Mais...
Nécessite revoir la deduction,
Manque de contrôle de
pessimisme,
Conséquence : Fausse alarme
dans la détection de faute,
21 / 39

Algorithme IKF
Initialisation :
ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prédiction :
+ Q,
k = 0, 1, ...
Correction :
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
,
ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k ,
k = 0, 1, ...
Détournement sub-optimal (sIKF)
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
× sup C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
.
sens classique,
linéaire.
Mais...
Nécessite revoir la deduction,
Manque de contrôle de
pessimisme,
Conséquence : Fausse alarme
dans la détection de faute,
Perte de solution en
remplaçant la matrice des
intervalles par son borne
supérieur
21 / 39

Méthodes de l’amélioration
Proposition (Obtention de gain de ﬁltre de Kalman par SIVIA)
Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
22 / 39

Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
We deﬁne Sk+1 = C ˆPk+1|kCT
+ R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT
,
Kk+1Sk+1 = Tk+1.
where Kk+1 ∈ IRn×m
, Sk+1 ∈ IRm×m
, Tk+1 ∈ IRn×m
.
22 / 39

Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
We deﬁne Sk+1 = C ˆPk+1|kCT
+ R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT
,
Kk+1Sk+1 = Tk+1.
where Kk+1 ∈ IRn×m
, Sk+1 ∈ IRm×m
, Tk+1 ∈ IRn×m
.
Every component in matrix K is considered
separately and the search space is the
Cartesian product of each component :
K
(1,1)
k+1 × K
(1,2)
k+1 × ... × K
(n,m)
k+1 .
This search space is then bisected and tested
under SIVIA properly adapted to matrix
operations.
22 / 39

Proposition (Propagation par contrainte)
Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une
séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de
contrainte, aﬁn de compacter la zone de recherche des valeurs
23 / 39

Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2)
n
i=1
Mi (
n−1
i=1
Mi) · Mn ∩ M1 · (
n−1
i=1
Mi+1) .
23 / 39

Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2)
n
i=1
Mi (
n−1
i=1
Mi) · Mn ∩ M1 · (
n−1
i=1
Mi+1) .
Proposition (Calibration adaptative)
ˆxk Ck, Pk = P0, si w(x(i)k+1|k+1) w(x(i)∗
k+1), i = 1, ..., n,
23 / 39

Application à la détection : Seuil adaptative
Seuil dans le context conventionel
The conﬁdence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used
for fault detection thresholding :
Ii
ˆy,k+1|k = [µi
k+1 − q × σi
k+1, µi
k+1 + q × σi
k+1],
where the µi
k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi
k+1 is the
standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a conﬁdence interval at 99.7%).
25 / 39

Application à la détection : Seuil adaptative
Seuil dans le context conventionel
The conﬁdence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used
for fault detection thresholding :
Ii
ˆy,k+1|k = [µi
k+1 − q × σi
k+1, µi
k+1 + q × σi
k+1],
where the µi
k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi
k+1 is the
standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a conﬁdence interval at 99.7%).
Il peut etre etendu au contexte ensembliste :
Proposition (Seuil adaptative)
Ii
ˆy,k+1|k is given, for i = 1, ..., n, by :
Ii
ˆy,k+1|k = ˆyi
k+1|k − q × σi
k+1 , ˆyi
k+1|k + q × σi
k+1 ,
where ˆyi
k+1|k is the ith component of ˆyk+1|k and σi
k+1 represents the standard deviation
of ˆyi
k+1|k, which is approximated by the a priori measurement error standard deviation.
25 / 39

Application à la détection : Indicateur de faute
Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection)
A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that Ii
y,m,k+1 ∩ Ii
ˆy,k+1|k = ∅,
0 otherwise.
where Ii
y,m,k+1 represents the ith component of the conﬁdence interval (at 99,7%) of the
measured output yi
m,k+1.
26 / 39

Application à la détection : Indicateur de faute
Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection)
A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that Ii
y,m,k+1 ∩ Ii
ˆy,k+1|k = ∅,
0 otherwise.
where Ii
y,m,k+1 represents the ith component of the conﬁdence interval (at 99,7%) of the
measured output yi
m,k+1.
Proposition (Indicateur de faute par tester l’existence de zero)
the tolerated interval I∗
ˆy,k+1|k is used in this approach and compared directly with
measured output :
rk+1 = I∗
ˆy,k+1|k − ym,k+1,
We denote ri
k+1 the ith component of the vector rk. The τk+1 deﬁned previously now
becomes :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that 0 ∈ ri
k+1
0 otherwise.
26 / 39

4ème
partie
Exemples numériques
27 / 39

Contexte d’exemple 1
Example (Systeme de tracking simple)
xk+1 = Axk + wk,
yk = Cxk + vk, k = 0, 1, 2, ...
Système dispose 2 états, 2 entrées et 1 sortis de mesure
Donnée initiale
A =
0.4 0.1
−0.1 0.2
, C = 0 1 , Q =
10 0
0 10
, R = 1.
A =
[−0.1, 0.1] [−0.15, 0.15]
0 [−0.25, 0.25]
, C = 0 [−0.1, 0.1] ,
Q =
[−2, 2] 0
0 [−2, 2]
, R = [−0.9, 1.1],
E{x0} =
x01
x02
=
1
1
, Cov{x0} =
P00 P01
P10 P11
=
0.5 0.0
0.0 0.5
.
28 / 39

Indices for comparison
N : number of calibration times,
O : number of times that the estimate
envelope does not contain real state,
D : criterion describing the characteristic of
the estimate envelope.
D =
K
k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk)
K
k=1 x2
k
,
d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk).
p : number of iteration steps,
: predeﬁned precision for bisection in SIVIA
t : execution time
29 / 39

Banc d’essai
IKF
Chen
sIKF
Chen
iIKF
= 0.5
iIKF
= 0.2
iIKF
= 0.05
Indices for comparison
N : number of calibration times,
O : number of times that the estimate
envelope does not contain real state,
D : criterion describing the characteristic of
the estimate envelope.
D =
K
k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk)
K
k=1 x2
k
,
d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk).
p : number of iteration steps,
: predeﬁned precision for bisection in SIVIA
t : execution time
29 / 39

Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
sIKF
30 / 39

sIKF
iIKF
30 / 39

Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
31 / 39

Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original IKF :
Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval
operation. IKF is highly limited to the singularity problem.
31 / 39

Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original sIKF :
Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and
optimal solution from conventional Kalman ﬁlter are entirely contained. While
sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty.
31 / 39

Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to itself when changes
The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes.
31 / 39

Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to itself when changes
The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes.
Kalman gain obtained from SIVIA is “smaller”.
31 / 39

Contexte d’exemple 2
Example (Attitude Control System (ACS))



˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + w,
y(t) = Cx(t) + D + v,
w ∼ N(0, 0.01), v ∼ N(0, 0.01).
Système dispose 6 états, 3 entrées et 3 sortis de mesure
Système retenu après discretisation et simpliﬁcation
xk+1 = A∗
dxk + wk,
yk = C∗
d xk + vk, k = 0, 1, 2, ...
A∗
d =


1 0 −0.0041
0 1 0
0.0041 0 1

 , C∗
d =


0 0 1
0 1 0
1 0 0

 , Q = R =


0.001 0 0
0 0.001 0
0 0 0.001

 ,
A = A∗
d + A, A =


0 0 [−0.0001, 0.0001]
0 0 0
[−0.0001, 0.0001] 0 0

 .
32 / 39

Détection de faute de cas d’étude, résultat
Example :Une faute additive de capteur sur tout les chaines de sortie
ym(k) = ym(k)∗
+ fa, ∀k ∈ [50, 80]
33 / 39

Détection de faute de cas d’étude, résultat
ym(k) = ym(k) + fa, ∀k ∈ [50, 80]
33 / 39

5ème
partie
Conclusion et perspectives
34 / 39

Objectif général : rappel
Etape 1
Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant
en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique
Etape 2
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat
Etape 3
fautes et au diagnostic
35 / 39

Conclusion
V Etape 1
Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique
unifié,
Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire,
Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP,
Etape 2
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat
Etape 3
35 / 39

Conclusion
V Etape 1
unifié,
V Etape 2
Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation,
Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA,
Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les
paramètres bornées,
Etape 3
35 / 39

Conclusion
V Etape 1
unifié,
V Etape 2
Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation,
Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA,
Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les
paramètres bornées,
V Etape 3
Implémentation de estimation ensembliste a la détection de faute.
35 / 39

Perspectives
Améliorer l’efﬁcacité et la vitesse de l’algorithme iIKF,
Optimiser profondément le résultat par introduire nouvelle contrainte,
Estimation ensembliste pour système non linéaire stochastique
incertain.
36 / 39

Merci de votre attention
37 / 39

Bibliographie
Guanrong Chen, Jianrong Wang, and Leang S. Shieh. Interval
kalman ﬁltering. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic
Systems, 33(1) :250–259, 1997.
Luc Jaulin, Michel Kieffer, O Didrit, and Eric Walter. Applied interval
analysis. Springer-Verlag, January 2001.
Ramon E. Moore. Interval analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
January 1966.
J Rohn. Inverse interval matrix. SIAM Journal on Numerical
Analysis, 30(3) :864–870, 1993.
38 / 39

Publication
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Set-membership estimation for
linear system with bounded parameters and statistical noises.Small Workshop on
Interval Methods, Oldenburg, Germany, 2012
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. New computation aspects for
existing Interval Kalman Filtering and application.15th Workshop on Control
Applications of Optimization, Rimini, Italy, 2012
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Improvements in computational
aspects of Interval Kalman Filtering by using constraint propagation.11th International
Workshop IEEE ECMSM, Toulouse, France, 2013
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Fault Detection using Interval
Kalman Filtering enhanced by Constraint Propagation.52nd IEEE Conference on
Decision and Control, Florence, Italy, 2013
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