Ce document décrit un travail pratique visant à analyser un système continu et échantillonné à travers des réponses indicielle et impulsionnelle, en utilisant des outils MATLAB et Simulink. Il couvre l'analyse de la stabilité des systèmes et la conception d'un correcteur proportionnel pour le contrôle numérique. Les résultats obtenus montrent que tous les systèmes examinés sont stables, et l'impact du gain sur l'erreur statique est également discuté.

1. 1
But :
Ce TP a pour objectif d’identifier expérimentalement les différentes réponses
indicielles et impulsionnelles du système continu et celui échantillonné à l’aide d’un
bloqueur d’ordre 0, d’étudier la stabilité et réaliser l’asservissement numérique à
l’aide d’un correcteur proportionnel.
Enoncé :
1) Exprimer dans le cas général, la transformée en Z du système G(z).
2) Exprimer la transformée en Z du système échantillonné avec bloqueur
d’ordre0 : BoG(z).
3) Vérifier le résultat deBoG(z) à l’aide du Matlab pour Te=3s.
4) Remplir le tableau suivant :
Réponse indicielle Valeur initiale VI Valeur finale VF
Y(z)=G(z).U(z)
Y(z)= BoG(z).U(z)
5) Pour Te=3s, vérifier les résultats obtenus à l’aide de Simulink.
6) Remplir le tableau suivant :
Te(s) G(z) BoG(z). Pôles Zéros
1
0.5
0.25
7) Placer dans le plan complexe, les pôles et les zéros des différents systèmes.
8) Conclure sur la stabilité de ces systèmes.
9) Réaliser le schéma Simulink ci-dessous, simuler les réponses indicielles et
impulsionnelles des différents systèmes et comparer les résultats obtenus.

2. 2
10) Refaire le même travail sur Matlab (utiliser la fonction « subplot »).
11) On se propose d’asservir numériquement le système G(p).On prend Te=0.2s.
Le correcteur proportionnel est décrit par C(z)=k. Réaliser le schéma simulink
ci-dessous et discuter la stabilité du système échantillonné en boucle fermée
selon les valeurs de k.
12) Pour k=3, on applique un échelon unitaire au système échantillonné. Calculer
et tracer l’allure de Y(z).
13) Déterminer l’erreur statique correspondante 휀(푧) et conclure sur l’action de
correction C(z).
Réponses :
1)
2)
G(z) =
BoG(z) = (1-z-1).Z[
푮(풔)
푺
=
1
(푧−푒−푇 )
푠(푠+1)
푧 (1−푒−푇 )
(푧−1)(푧−푒−푇 )
푧
Ainsi BoG(z) = (1-z-1). 푧(1−푒−푇 )
(푧−1)(푧−푒−푇 )
= (푧−1)(1−푒−푇 )
(푧−1)(푧−푒−푇 )
3) Fonction Matlab:
퐺(푠)
푠
]
BoG(z) = (1−푒−푇)
(푧−푒−푇 )

3. 3
4)
(푌(푧)) VF= lim
Pour Y(z)=G(z).U(z) :
VI= lim
푧→∞
(
푧
(푧−푒−푇)
.
푧
(푧−1)
) = lim
푧→∞
(
푧²
푧²−푧(푒−푇+1)+푒−푇 ) = lim
푧→∞
(
푧²
푧²
) = 1
VF= lim
푧→1
((푧 − 1).
푧
(푧−푒−푇)
.
푧
(푧−1)
) =lim
푧→1
(
푧²
(푧−푒−푇)
) =(
1
1−푒−푇 )=1.0524
Pour Y(z)= Y(z)= 퐁퐨퐆(z).U(z) :
VI=lim
푧 →∞
(
(1−푒−푇)
(푧−푒−푇)
.
푧
(푧−1)
) = lim
푧→∞
(
푧(1−푒−푇)
푧²−푧(푒−푇+1)+푒−푇 ) = lim
푧→∞
(
푧(1−푒−푇)
푧²
) = 0
VF= lim
푧→1
((푧 − 1).
(1−푒−푇)
(푧−푒−푇)
.
푧
) =lim
(푧−1)
푧→1
(
푧(1−푒−푇)
(푧−푒−푇)
) =1
Réponse indicielle Valeur initiale VI Valeur finale VF
Y(z)=G(z).U(z) 1 1.0524
Y(z)= BoG(z).U(z) 0 1
5)
VI= lim
푧→∞
푧→1
((푧 − 1)푌(푧))

4. 4
6)
Pour Te=1s
Pour Te=0.5s

5. 5
Pour Te=0.25s
Te(s) G(z) BoG(z). Pôles Zéros
1 푧
푧 − 0.3679
0.6321
푧 − 0.3679
0.3679 0
0.5 푧
푧 − 0.6065
0.3935
푧 − 0.6065
0.6065 0
0.25 푧
푧 − 0.7788
0.2212
푧 − 0.7788
0.7788 0
7)

6. 6
8) Tous les pôles de ces systèmes sont réels et leurs modules sont inférieurs à 1
donc ce sont des systèmes stables. En effet :
|G1(z)|=
1
√1²+0.3679²
= 0.9385 <1 |G2(z)|=
1
√1²+0.6065²
= 0.855 <1
|G3(z)|=
1
√1²+0.7788²
= 0.7889 <1 |BoG1(z)|=
0.6321
√1²+0.3679²
= 0.5932 <1
|BoG2(z)|=
0.3935
√1²+0.6065²
= 0.3364 <1 |BoG3(z)|=
0.2212
√1²+0.7788²
= 0.1745 <1
9)
Réponse indicielle :

7. 7
Réponse impulsionnelle :

8. 8
D’après sa réponse indicielle et impulsionnelle, le système G(s) est un
système de premier ordre.
A chaque fois qu’on augmente la période d’échantillonnage la réponse du
système s’éloigne de sa forme en continue donc plus le temps d’échantillonnage est
élevé plus la précision est faible d’où la performance du système est faible.
Plus Te est élevé, plus le système est déformé et cela peu engendrer des
informations erronées.
10)

9. 9
11)
En boucle fermée, la fonction de transfert s’écrit :
G(z) =
퐶 (푧).푇(푧)
1+퐶(푧) .푇(푧)
=
푘.푧
(푧−0.8187)(1+푘.
푧
)
푧−0.8187
=
푘.푧
푘.푧+푧−0.8187
G(z) stable |G(z)| < 1
푘
G(z) =
√((푘+1)2 +0.81872)
< 1
푘²
(푘+1)2 +0.81872
< 1
푘² < (푘 + 1)2 + 0.81872
푘² < 푘² + 2푘 + 1 + 0.67
2푘 + 1.67 > 0
12) Pour k=3, on a
G(z) =
3푧
4푧−0.8187
; E(z) = U(z) =
푧
푧−1
Y(z) = E(z).G(z)
=
3푧²
(4푧−0.8187)(푧−1)
푘 .푧
푧 (푘+1)−0.8187
|k|> 0.835
Y(z) =
3푧²
4푧²−4,8187푧+0,8187

10. 10
13)
Ordre de l’entrée = 0 (échelon)
Classe du système = 0
(G(z) est calculé en boucle ouverte)
GBO(z) = C(z).T(z)
= 3푧
휀(푧) =
푧−0.8187
H =
3
0.8187
= 3.664
휀(푧) =
1
1+3.664
= 0.214
1
1+퐻
On calcule maintenant cette erreur sans considérer le correcteur proportionnel:
GBO(z) =T(z)
= 푧
푧−0.8187
H =
1
0.8181
= 1.221
휀(푧) =
1
1+1.221
= 0.45
On déduit alors que le correcteur proportionnel a diminué l’erreur statique du
systéme.(si k(la valeur du gain) augmente alors cette erreur diminue donc il faut
choisir la plus grande valeur possible du gain).