Le document traite de la synthèse de correcteurs pour les systèmes asservis, abordant différents types de correcteurs tels que PI, PID, retards de phase et techniques d'anticipation. Il présente des exemples de réglage, des méthodes empiriques comme celle de Ziegler-Nichols et des schémas d'asservissement pour améliorer la performance du système. Des réponses fréquentielles et temporelles des systèmes corrigés sont également discutées, mettant en avant l'importance du réglage adéquat des correcteurs.

1. 1Automatique
Correction des systèmes linéaires
continus asservis (2)
UV Automatique
ASI 3
Cours 7

2. 2Automatique
Contenu
q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine
fréquentiel
u Correcteur PI et retard de phase
u Correcteur à avance de phase
u Correcteur PID
q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs
u Méthode de Ziegler-Nichols
u Méthode de Broïda
q Techniques de correction parallèle et par anticipation

3. 3Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Système asservi
q Cahier de charges
q Eléments de réglage
H(s) yyc
+-
ε
C(s) ( )2
1
)(
Ts
K
sH
+
=
?)( =sC
1=T
§ Erreur statique nulle
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un
intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI
Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4

4. 4Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponses fréquentielles
Le correcteur PI
est placé de façon
à ne pas modifier
sensiblement le
réglage de la
marge de phase
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50
PI
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60°PI
HBONC
Réglage de PI
10
1 0c
iT
ω
≤

5. 5Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse fréquentielle du système corrigé
§ Le correcteur PI a
modifié légèrement
le réglage de la
marge de phase
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50
HBOC
HBONC
Amplitude (dB)
§Le diagramme de gain
de HBOC a une pente de
–1 aux basses
fréquence ⇒ annulation
erreur statique
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC

6. 6Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur PI a annulé l'erreur statique
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
§ La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne.
Pour y remédier, on baisse Ti mais cela modifiera le réglage
de la marge de phase

7. 7Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase
q Cahier des charges
q Réglage du correcteur à retard de phase
Reprenons l'exemple précédent
§ Erreur statique de 5%
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
§ Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
§ Erreur statique pour K=4 : %20
1
1
=
+
=
K
pε
§ FT du correcteur :
sbT
sT
bsC
c
c
+
+
=
1
1
)(
2)1)(1(
1
TssbT
sT
KbH
c
c
BOC
++
+
=⇒
75.4%5
1
1
=⇒=
+
=⇒ b
Kb
pε

8. 8Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponses fréquentielles
Le correcteur à RP
est placé de façon
à ne pas modifier
le réglage de la
marge de phase
Réglage du RP
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-80
-60
-40
-20
0
20
RP
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60°RP
HBONC
10
1 0c
cT
ω
≤

9. 9Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse fréquentielle du système corrigé
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-80
-60
-40
-20
0
20
40
HBOC
HBONC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC
§ Légère modification
de la marge de phase
§Le diagramme de gain
de HBOC a subi, aux
basses fréquences, une
translation de 20log10b
par rapport à celui de
HBONC

10. 10Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique
§La réponse est un peu lente pour atteindre la
valeur de consigne
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
εpc

11. 11Automatique
Correcteur à avance de phase
)1(
)(
ss
K
sHBONC
τ+
=
Ts
aTs
KsC c
+
+
=
1
1
)( )()()( sCsHsH BONCBOC =
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
0cω
HBONC
C
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
2
10
3
-200
-150
-100
-50
0
50
0cω
Phase (°)
mϕ
ϕc,max
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-100
-50
0
50
100
HBOC
Amplitude (dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-160
-140
-120
-100
-80
mϕ
Phase (°)

12. 12Automatique
Exemple : correcteur PID
q Système asservi
q Cahier de charges
q Analyse du système à asservir
H(s) yyc
+-
ε
C(s) 22 2
)(
nnss
K
sH
ωξω ++
=
300,rad/s3,2.0 === Knωξ
§ Erreur statique nulle
§ Dépassement de 10%
§ Temps de montée de 0.277s
%532.0 % =⇒= Dξ
Le système à asservir a un comportement très oscillatoire

13. 13Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponse fréquentielle du système à asservir
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);
Bode Diagrams
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude(dB)
Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite

14. 14Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sT
sTsT
KsC
i
di
c '
''
' )1)(1(
)(
++
=
Formules d'approximation
§ Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle,
dépassement de 10%) et des caractéristiques du système
(D=53%), on utilise un PID
§ FT du correcteur
§ Traduction du cahier de charges
rad/s1077.26.0 ,, =⇒=⇒= BFnmBFnBF t ωωξ
6.0%10% =⇒= BFBFD ξ
⇒





++= sT
sT
KsC d
i
c
1
1)(
°=⇒= 60100 ϕϕ ξ mm BF rad/s10,0 == BFnc ωω

15. 15Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sT
sTsT
ss
K
KsHsCsH
i
di
nn
cBOC '
''
22
' )1)(1(
2
)()()(
++
++
==
ωξω
§ FT du système corrigé en BO
2.01)()( '
00 =⇒= c
KjHjC cc ωω
s1
10
1 '0
'
=⇒≤ i
c
i
T
T
ω
3
)()arctan()arctan(
2
0
'
0
'
0
π
ωϕωω
π
πϕ =+++−= cBONCdcic TTm
s19.0' =dT
§ Paramètres du correcteur

16. 16Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé
-40
-20
0
20
40
60
80
Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);
Bode Diagrams
Magnitude(dB)
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

17. 17Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Principe
q Approche 1 : système stable en boucle ouverte
Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée
à un système sans connaissance précise de la FT du système
Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on
caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous
Tangente au
point d’inflexion
Tr
α
L
E0
M
sTre
s
a
sH −=)(
Intégrateur avec retard
)tan(α=a
Tr et a s'obtiennent à partir
du tracé de la tangente au
point d'inflexion M

18. 18Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Approche 2 : système instable en boucle ouverte
On étudie le comportement du système en boucle fermé avec un
correcteur proportionnel de gain k.
On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues :
c'est le phénomène de pompage
Processus yE
+-
ε
k
Tosc
Phénomène de pompageSchéma d'asservissement
Le phénomène de pompage est
caractérisé par le gain limite kosc et
la période des oscillations Tosc.

19. 19Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Réglage des paramètres des correcteurs
A partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols
ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50%
de la réponse indicielle du système en BF
Essai de pompage (kosc,
Tosc)
Essai indiciel en BO
(a, Tr)
Correcteurs C(s)
cK
sT
sT
K
i
i
c
+1






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
PI
PID
P r
c
aT
K
1
=
oscc kK 5.0=
r
c
aT
K
9.0
= ri TT 3.3=
oscc kK 45.0=
osci TT 83.0=
oscc kK 6.0=
osci TT 5.0=
oscd TT 125.0=
r
c
aT
K
2.1
=
ri TT 2= rd TT 5.0=

20. 20Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système intégrateur avec retard srT
e
s
a
sH −
=)(
PID mixtePID sériePIP
Correcteur
Paramètres
cK
iT
dT
raT
8.0
raT
8.0
raT
85.0
raT
9.0
rT5 rT8.4
rT4.0
rT2.5
rT4.0
§ PID série § PID mixte






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
( )( )
sT
sTsT
K
i
di
c
++ 11

21. 21Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retard
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, on
identifie un modèle du système sous la forme d'un 1er ordre avec retard
Méthode de Broïda
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
y∞
E∞
0.28y∞
0.4y∞
t1 t2
∞
∞
=
E
y
a
Paramètres du modèle
( )125.5 tt −=τ
21 8.18.2 ttTr −=

22. 22Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retard
PID mixtePID sériePIP
Correcteur
Paramètres
cK
iT
dT
raT
τ8.0
raT
τ85.0






+ 4.0
2.1
1
rTa
τ
τ τ
rT4.0 τ
τ
5.2+r
r
T
T
§ PID série § PID mixte






++ sT
sT
K d
i
c
1
1
( )( )
sT
sTsT
K
i
di
c
++ 11
s
ae
sH
sTr
τ+
=
−
1
)(
raT
τ8.0
rT4.0+τ

23. 23Automatique
Correction série : imbrication des correcteurs
q Intérêts et réglage
H1(s) ys
uyc +-
ε
d
-+C1(s) C2(s) H2(s)
G1(s)
d
G2(s)
Boucle
secondaire
Boucle primaire
Correcteur
secondaire
Correcteur
primaire
§ Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles
§ Variables internes du processus bien asservies
§ Elimination rapide des perturbations internes
§ Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante)
§ Réglage de la boucle externe ensuite

24. 24Automatique
Imbrication des correcteurs : exemples
q Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu
q Régulation de position (table traçante, enregistreur, …)
u
ωc +-
ε
-+Régulateur
de vitesse
MCC
Dynamo
tachymétrique
Régulateur
de courant
I ω
Saturation
u
θc +-
ε
-+
Régulateur
de vitesse
MCC
Dynamo
tachymétriqu
e
Régulateur
de courant
I ω
Saturation
Régulateur
de position+-
Potentiomètre
k/s
θ

25. 25Automatique
Correction parallèle
q Schéma de l'asservissement
H3(s)
G(s)
H2(s) ys
yc
+-
ε
d
++-+
C(s)
H1(s)
)()(
)()(1
)(
)()( 3
2
2
1 sGsH
sHsC
sH
sHsHBOC
+
=
Boucle interne Boucle ouverte corrigée
)()(1
)(
2
2
sHsC
sH
+
Intérêt
§ rendre la boucle interne plus rapide et donc le
système corrigé plus rapide

26. 26Automatique
Correction parallèle : exemple
q Correction par retour tachymétrique
yyc
+-
ε
-+
λ
Kc
sT
K
m
m
+1
ω θ
Génératrice tachymétrique
s
µ
Moteur
Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la
génératrice et fonction de la vitesse de rotation
Asservissement de position par un moteur à courant continu
Boucle interne :
Boucle ouverte corrigée :
sT
K
m
m
'
'
1+
m
m
m
K
K
K
λ+
=
1
'
m
m
m
K
T
T
λ+
=
1
'avec et
En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne
µ
)1(
)( '
'
sTs
K
KsH
m
m
cBOC
+
=

27. 27Automatique
Correction parallèle : exemple
q Application numérique
Le système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de
phase °= 45ϕm
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50 Am plitude (dB)
ωc0
ωc0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
λ=0
Phase (°)
λ=1
λ=5
mϕ=45°
Pour λ>0 le système
corrigé présente une
marge de supérieure
à 45°.
Si on veut conserver
la valeur de 45°, on
joue sur Kc.
La bande passante
est alors élargie ⇒
système plus rapide
en BF

28. 28Automatique
Correction par anticipation
q Schéma de l'asservissement
q Expression de la sortie du système asservi
H(s)
G(s)
Ha(s) ys
uyc +-
ε
y
d
++
F(s)
+
Wc(s)
H1(s)
Wd (s)
− −
avec
)(
)()()(1
)()()(
)(
)()()(1
)()()()(
)(
21
2
21
221
sD
sGsHsH
sHsWsF
sY
sGsHsH
sHsWsHsH
sY d
c
c
s
+
−
+
+
−
=
)()()(2 sHsHsH a=

29. 29Automatique
Correction par anticipation
q Compensation de la perturbation
q Anticipation de la consigne
Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée
en choisissant le correcteur Wd tel que
⇒=− 0)()()( 2 sHsWsF d
)(
)(
)(
2 sH
sF
sWd =
Le but de l'asservissement est que la sortie ys(t) suive la
consigne yc(t) c'est-à-dire ys(t) = ys(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a :
)()(
1
)(
2 sGsH
sWc −=
⇒= )()( sYsY cs



=−
=
1)()()()(
0)()()(
221
21
sHsWsHsH
sGsHsH
c
)(
)()()(1
)()()(
)(
)()()(1
)()()()(
)(
21
2
21
221
sD
sGsHsH
sHsWsF
sY
sGsHsH
sHsWsHsH
sY d
c
c
s
+
−
+
+
−
=

30. 30Automatique
Correction par anticipation
q Remarques
u Les correcteurs Wd et Wc ne sont pas en général réalisables
physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On
réalise alors une approximation en ajoutant des pôles
u Une correction par anticipation réalisable physiquement
n'affecte pas la stabilité du système
u Le modèle du système doit être précis pour une bonne
correction par anticipation
u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la
difficulté de la compenser