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Synthèse de correcteur par méthodes empiriques
dans le domaine temporel
Les méthodes empiriques sont de deux types :
Une première classe considère la synthèse dans le
domaine fréquentiel.
Une seconde classe la considère dans le domaine
temporel.
Cette dernière classe, qui nous intéresse ici, se base sur la
réponse indicielle du système soit en boucle ouverte, lorsque
c’est possible, soit en boucle fermée lorsqu’on ne peut pas
ouvrir la boucle. Ces méthodes sont très pratique lorsque le
modèle analytique du système n’est pas disponible.
S6 : Option Automatique Correction des Systèmes Asservis Continus

Ces méthodes sont employées pour ajuster les paramètres
des correcteurs de types P
, PI et PID. Le correcteur est donné
par la fonction de transfert suivante :
1
Ti
p d
C(p) = K (1 + p + T p)
La minimisation du critère IAE (Integrated Absolute Error) est à
la base de ces méthodes :
J = ∫ |e(t)| dt
pour différents modèles de systèmes physiques. Nous
présentons ici les résultats des travaux de
Ziegler-Nichols.

Essai indiciel
Dans le cas où le système est stable en boucle ouverte, ne
possède pas de pôles à l’origine, ni de pôles complexes
dominants, alors la réponse du système à une excitation en
échelon est apériodique et a la forme en intégrale :

Remarque
Cette forme de la réponse indicielle permet de donner un
modèle réduit de la fonction de transfert G(p) du
système. L’expression de G(p) est donnée par :
e−τ p
G(p) = k
Tp + 1
où k est le gain statique introduit par le système, τ et T sont
illustrés sur la figure.

A partir de cette forme, nous pouvons déduire les paramètres
K , T et τ qui servent à déterminer les paramètres des
correcteurs d’après le tableau suivant suggéré par Ziegler-
Nichols :
Transmit du régulateur paramètres
K
τ
P Kp Kp
= T
PI Kp(1 +
pTi
1 ) K
τ
Kp = 0.9 T
, Ti = 3.3 τ
1
pTi
PID Kp (1 + + pTd ) K
τ
Kp = 1.2 T
, Ti = 2τ, Td = 0.5τ

Lorsque les paramètres de ce tableau sont choisi le régulateur
PID utilisé sera donné par (k = 1) : Cas du PI :
C(p) = 0.9 T
( 1 + 1
τ 3.3τ
p
)
= 0.9 T (τ p + 0.3)
τ 2 p
Le correcteur PI introduit alors un pôle à l’origine et un zéro à -
0.3 .
τ
Cas du PID :
C(p) = 1.2 T (1 + 1
2 τ p + 0.5 τ p)
= 0.6 T
(
τ
(p + 1 )2
p )
le correcteur PID introduit un pôle à l’origine et un zéro double
1
τ
à − .

Exemple
Cas d’un système stable en boucle ouverte :
Nous considérons le système dont la réponse indicielle
est donnée par :

De cette figure, on déduit les paramètres k , τ et T tels que :
k = 1.1 gain statique du système
τ = 0.4
s T = 2
s
la fonction de transfert du système en boucle ouverte
suggérée par ces paramètres est donnée par
e−0.4p
F (p) = 1.1
2p + 1

si nous voulons introduire un PID pour cette correction les
paramètres du correcteur seront donnés par :
Kp = 1.2T
= 5.45
K τ
Ti = 2τ = 0.8 s
Td = 0.5τ = 0.2
s
la fonction de transfert du système en boucle fermée est
alors donnée par
G(p) =
F (p)C(p)
1 + F
(p)C(p)

Limite de pompage :
En pratique, il existe des systèmes qui ne peuvent pas
opérer en boucle ouverte à cause de leur instabilité
naturelle.
La méthode de l’essai indiciel ne s’applique plus.
Toutefois, Ziegler -Nichols ont proposé une seconde méthode
qui consiste à utiliser la boucle fermé.
A partir du phénomène de pompage on détermine deux
paramètres qu’on utilise pour l’ajustement des paramètres
des correcteurs.

Nous disons qu’il y a pompage dans un système de
régulation lorsque il y a des oscillations périodiques
entretenues généralement indésirables.
La méthode est la suivante : Nous plaçons un correcteur PID
et nous n’utilisons que la partie proportionnelle i.e.,
Ti = ,
∞ Td = 0.

Nous augmentons le gain Kp jusqu’à apparition d’oscillations
périodiques entretenues c’est le pompage. Nous notons
alors la valeur du gain critique Kc et la période des
oscillations Tc la limite de pompage nous fournit la réponse
suivante :

dans ce cas les paramètres du régulateur PID sont choisi
dans le tableau suivant :
régulateur
P
Kp
PI
Kp (1 +
pTi
1 )
PID Kp (1 + 1
pTi
+ pTd )
paramètres
Kp = 0.5 Kc
Kp = 0.45 Kc , Ti = 0.83 Tc
Kp = 0.6Kc , Ti = 0.5Tc , Td = 0.125Tc

De même, lorsque les paramètres du PID sont choisis dans
ce tableau les régulateurs sont donnés par :
Cas du PI :
C(p) = 0.45Kc (1 + 1
0.83Tc p
)
=
Tc
p
0.45 Kc
1 ( Tc p + 1.2
)
Le correcteur PI itroduit alors un pôle à l’origine et un zéro à
− Tc
1.2
--------

Cas du PID :
C(p) = 0.6 Kc (1 +
1
0.5 Tc + p 0.125 Tc )
= 0.075 Kc Tc ( Tc
4
)2
(p +
p )
double à
−
Le correcteur PID introduit alors un pôle à l’origine et un
zéro
4
Tc

Exemple
Système instable en boucle ouverte
soit la fonction de transfert suivante :
1
F (p) =
p(p + 1)(0.1p + 1)
On utilise la limite de pompage dans ce cas, soit donc à
déterminer le gain critique Kc et la période des oscillations Tc .
Ces valeurs sont Kc = 11 et Tc = 1.99

Exemple
1 +
Notons ici que ces valeurs peuvent être déterminées de
manière analytique en utilisant l’équation caractéristique. En
effet, le gain Kc est celui qui porte le système en BF à la limite
de stabilité, alors que Tc correspond à la période des
oscillations. Pour ce système, l’équation caractéristique est
donnée par :
K
p (p + 1) (0.1 p +
1)
en utilisant le tableau de Routh :
0.1
1.1
1.1− 0.1K
p3
p2
p
p0
1.1
K
1
K
0
0

Exemple
la limite de stabilité est donnée pour un gain
0.1
K = Kc = 1.1
= 11. Pour ce gain (Kc ), les oscillations
correspondantes sont données par les racines du
polynôme
√
auxiliaire 1.1 p2 + 11 soit ±j 10 et donc la période des
c
2Π
√
10
oscillations est donée par T = = 1.99. Finalement les
paramètres du PID à utiliser sont donnés par
Kp = 0.6 Kc = 6.6
Ti = 0.5s Tc = 0.99s
Td = 0.125Tc = 0.25s

Remarque
Dans le cas général, ces deux méthodes (essai indiciel et
limite de pompage) ne donnent qu’un réglage grossier des
paramètres.
Un ajustement de tous ces paramètres sera nécessaire une
fois le correcteur est mis en place en vérifiant si les
performances désirées sont atteintes ou non.

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