TV_Soutenance_2012

Développement d’outils de calcul et de logiciels pour la réalisation et
l’implantation de stratégies de commande non linéaires échantillonnées
Thèse de Doctorat
Valentin TANAS ˘A
Thèse en cotutelle:
Université Paris-Sud 11, L2S-CNRS, dr. Dorothée NORMAND-CYROT
Université Politehnica de Bucarest, prof. dr. ing. Dumitru POPESCU
2 décembre 2012
Thèse de doctorat 1 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA

Introduction
Introduction
23 Novembre 2012

Introduction Contexte
Contexte
• La plupart des systèmes de commande automatisés exigent une
interaction entre le processus modélisé en temps continu et un
contrôleur numérique.
• Se pose le problème d’une synthèse de commande qui prend en
compte toutes les particularités : les non linéarités, les mesures
échantillonnées, les caractéristiques des dispositifs de mesure et
d’actionnement.
23 Novembre 2012

Introduction Contexte
Systèmes échantillonnés
Un système échantillonné est un système qui fonctionne en temps
continu et dont les signaux d’entrée et de sortie (capteurs,
actionneurs) sont échantillonnés à des instants différents.

x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps discret
Schéma échantillonné
23 Novembre 2012

Introduction Méthodologies de conception
Conception en temps continu
Contrôler en
temps continu
y
x(t)

x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps continu
• La méthode la plus courante - l’émulation d’un contrôleur en temps continu.
L’inconvénient majeur : les performances du contrôleur conçu en temps
continu ne sont pas maintenues.
• Pour compenser les effets d’échantillonnage - “redesign” du contrôleur
continu : procédure de discrétisation de la loi de commande, implémentation
avec de bloqeur d’ordre supérieur, à échelles de temps multiples
[Owen et al., 1990], [Keller and Anderson, 1992], [Clarke et al., 1997],
[Franklin et al., 1998], [Di Giamberardino et al., 1996a],
[Djemai et al., 1999], [Hu and Michel, 1999].
23 Novembre 2012

Conception en temps discret
Contrôler en
temps continu
y
x(t)

x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
• la conception oublie le comportement entre les instants d’échantillonnage ;
• dans le cas non linéaire le calcul exact de modèles équivalents en temps
discret devient vite très difﬁcile ;
• les propriétés du temps continu sont généralement perdues (linéarisation,
contrôlabilité, observabilité, passivité, stabilisation, etc. [Grizzle, 1986],
[Byrnes and Lin, 1994], [Barbot et al., 1996],
[Monaco and Normand-Cyrot, 2001]
23 Novembre 2012

Conception échantillonnée

x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Si la synthèse est basée sur les objectifs fixés en temps continu ou discret :
• Conception directe - objectifs discrets [Di Giamberardino et al., 1996b], [Gennaro, 2002]
• Conception indirecte - objectifs définis en temps continu ;
Selon le modèle échantillonné :
• Conception approchée - basée sur un modèle approché
([Nešić and Teel, 2004],[Nešić and Grüne, 2005])
• Conception exacte - basée sur le modèle échantillonné complet (D. Normand-Cyrot et S.
Monaco)
23 Novembre 2012

Introduction Boîtes à outils
Boîtes à outils
• Dynamiques linéaires - plusieurs solutions disponibles, basées sur
algorithmes numériques et couvrent le plupart des stratégies de commande :
commande optimale, robuste, adaptive ou prédictive.
• Dynamiques non linéaires -en temps continu et discrète. Les solutions
proposées sont basées sur des algorithmes symboliques : MACSYMA,
CONDENS, NonLinCon de Bram de Jager, NelinSys de Martin Ondera, etc.
• Systèmes échantillonnés - quelques boîtes à outils développées pour des
dynamiques linéaires (DirectSD, SDC de Fujioka ,¸ etc). Pour le cas non
linéaire - SimNLSys .
23 Novembre 2012

Plan
Systèmes
NL
Systémes
Échantillonnée
Commande
numérique
Travail de
DoctoratMéthodologies
Logiciel
Applications
23 Novembre 2012

Plan
Plan de l’exposé
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples (académique et expérimental)
4 Conclusions et travaux futurs
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Le problème
Le problème
࢛࢑ = ࢛ࢉሺ࢚ሻ, ݇ߜ ≤ ‫ݐ‬ ≤ ሺ݇ + 1ሻߜ
Schéma en temps continu
ሺ࢞ሻ
Schéma échantillonnée
uc(t) V (x)Contrôleur en
temps continu
(CT)
࢞ሶ = ࢌሺ࢞ሻ + ࢍሺ࢞ሻ࢛ࢉ
δδδδ
ሺ࢞෥ሻ
uk ࢂሺ࢞෥ሻContrôleur
numérique
(DT)
࢞෥ሶ = ࢌሺ࢞෥ሻ + ࢍሺ࢞෥ሻ࢛࢑BOZ
δδδδ
On suppose l’existence d’une commande
stabilisante uc(x(t)) et d’une fonction
Lyapunov V > 0, V(0) = 0 :
˙Vuc
(x(t)) < 0
⇓
(k+1)δ
kδ
˙Vuc
(x(t))dt =
(k+1)δ
kδ
˙Vuk
(˜x(t))d
aux instants d’échantillonnage t = kδ :
Vuk
(˜xk+1) − V(˜xk) < (?)0
Problème : Trouver uk telle que
Vuk
(˜xk+1) − V(˜xk) < 0
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Le problème
Contexte du problème
Stabilisation en temps continu au sens de Lyapunov : très utilisé dans
différents contextes : procédure “backstepping” [Krstic et al., 1992],
commande robuste et adaptive, Lyapunov design, passivité,
optimalité, etc.
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique La mèthodologie
La reproduction entrée/Lyapunov aux
instants d’échantillonnage
La commande uk est calculée pour satisfaire à chaque t = kδ :
Vuk
(xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(uc(x(t)))dt (1)
avec xc(t) = xk, et
Vuk
(xk+1) = eδ(f+ukg)
V|xk
⇒
La loi de commande a la forme :
uk(xk) = uδ
d(xk) = ud0(xk) +
i≥1
δi
(i + 1)!
udi(xk) (2)
Remarque
On reproduit l’évolution de la fonction de Lyapunov et non l’évolution de la
commande ou des états ⇒ préservation de la stabilité
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Des outils mathématiques
Les outils fonctionnels
Etant donné un système Σc
˙x(t) = f(x(t)) + uc(x(t))g(x(t))
uk = uc(x(t)), t ∈ [kδ, (k + 1)δ)
⇒ xk+1 = Fδ
(xk, uk)
où Fδ
(xk, uk) - le modèle discret équivalent avec :
Fδ
(X, uk) = eδ(f+ukg)
(X) = X + δ(Lf + ukLg)(X) +
i≥2
δi
i!
Li
f+ukLg
(X)
• L’opérateur linéaire de Lie : Lf =
n
i=1 fi(·) ∂
∂xi
• Lf h(x) = ∂h
∂x f(x) = dh|xf(x), h une fonction analytique
• composition Lg ◦ Lf (h)|x = Lg(Lf (h))|x
• crochet de Lie [Lf Lg] = Lf ◦ Lg − Lg ◦ Lf = L[f,g] = Ladf
g
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Classe des systèmes
La classe de systèmes “strict-feedback”
La classe de systèmes non linéaires sous la forme :
˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ1(t)
˙ξ1(t) = a1(z(t), ξ1(t)) + b1(z(t), ξ1(t))ξ2(t)
...
˙ξm−1(t) = am−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t)) + bm−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t))ξm(t)
˙ξm(t) = am(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t)) + bm(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t))uc(t)
(3)
z ∈ Rn
et ξi ∈ R, bi(·) sont inversibles pour (z, ξ1, . . . , ξm) ∈ Rn+m
.
Remarque
Le degré relatif entre uc et z est égal à m + 1.
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Classe des systèmes
Cas d’une seule connexion
La classe de systèmes non linéaires sous la forme “strict-feedback” :
˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ(t) (4)
˙ξ(t) = a(z(t), ξ(t)) + b(z(t), ξ(t))uc(t) (5)
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Backstepping en temps continu
Backstepping en temps continu (Rappel)
Théorème
Backstepping en temps continu - Soit le système (4)-(5), on suppose l’existence
d’une fonction φ(z) avec φ(0) = 0 et d’une fonction de Lyapunov W(z) tel que
∂W
∂z
(f(z) + g(z)φ(z)) < 0, ∀z ∈ Rn
/0. (6)
Si b−1
(z, ξ) existe pour tout (z, ξ), la commande par retour d’état
uc(x(t)) = b(z, ξ)−1 ∂φ
∂z
(f(z) + g(z)ξ) −
∂W
∂z
g(z) − a(z, ξ) + v (7)
avec y = ξ − φ(z) et v = −Kyy stabilise asymptotiquement l’origine de (4)-(5),
avec
V(z, y) = W(z) +
1
2
y2
(8)
comme fonction de Lyapunov.
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR
Synthèse “backstepping” numérique-SR
Soit xT
= [zT
y]T
, le système continu transformé, réécrit comme :
˙x(t) = fc(x) + gc(x)uc
avec :
fc =
f(z) + g(z)(φ(z) + y)
a(z, y + φ(z)) − ∂φ(z)
∂z ˙z
gc =
0
b(z, y + φ(z))
. (9)
La solution uk satisfait la reproduction entrée/Lyapunov :
Vuk (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(xc(t))dt (10)
où xk = xc(t = kδ)
On considére le critère d’erreur LME (Lyapunov Matching Error) :
EV(xk) = Vuk
(xk+1) − V(xc|t=(k+1))
23 Novembre 2012

Théorème ([Tiefensee and Tanasa, 2011])
Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur de type backstepping,
alors il existe T∗ > 0 tel que ∀δ < T∗, il existe une loi de commande échantillonnée uk = uδ
d
uk = uδ
d = ud0 +
j≥1
δj
(j + 1)!
udj. (11)
qui reproduit V(x(t)) aux instants d’échantillonnage et la stabilisation asymptotique de l’origine.
La stabilisation Lyapunov du système échantillonné est assurée par (Lf + ucLg)V < 0 et uδ
d satisfait la
condition LME = 0 :
Vuk (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
(Lf(·) + uc(·)Lg(·))V(x(t))dt < 0
Les premiers termes de uδ
k sont :
ud0(zk, yk) = uc(z, y)|t=kδ commande continue (12)
ud1(zk, yk) = ˙uc(z, y)|t=kδ premier terme correcteur (dérivée)
ud2(zk, yk) = ¨uc(z, y)|t=kδ +
ud1(zk, yk)
2b(z, y + φ(z))y
ad[fc,gc]V|t=kδ.deuxième correcteur (13)
23 Novembre 2012

Stabilité du contrôleur d’ordre P
Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 :
EV (xk) =
δP+2
(P + 2)!
˜R(xk)
Proposition (conditions de bornitudes)
Si on suppose les mêmes conditions que Théorème 2, le système échantillonné avec un contrôleur
approché d’ordre P satisfait :
ρV1(||xk||) + O(δP+1
) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1
) (14)
V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2
). (15)
pour ∀δ < T∗, avec ρV1, ρV2, ρV4 ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui
dépendent de l’état.
Le désavantage :(dynamique interne)
ρW1(||xk||) + O(δ2
) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δ2
) (16)
W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δ3
). (17)
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR
Synthèse “backstepping” numérique-MR
La solution : trouver u1k et u2k tels que
• u1k actif pour t ∈ [kδ, kδ + δ
2 ),
• u2k actif pour t ∈ [kδ + δ
2 , (k + 1)δ).
en appliquant la stratégie de reproduction entrée/Lyapunov sur V et W :
Vu1k,u2k (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(xc(τ))dτ (18)
Wu1k,u2k
(xk+1) − W(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙W(xc(τ))dτ (19)
oú xk = xc(t = kδ) et
xk+1 = eBCH2 δ
2 (fc+u1kgc), δ
2 (fc+u2kgc)
xk,
BCH : Baker Campbell Hausdorf exposant.
23 Novembre 2012

Théorème ([Tanasa et al., ])
Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur
en temps continu uc(x(t)) de type backstepping, alors il existe T∗
> 0 et il existe
une loi de commande échantillonnée à 2 échelles de temps uik = u
δ/2
id qui reproduit
les évolutions de Lyapunov V, W aux instant d’échantillonnage et assure la
stabilisation asymptotique de l’origine, pour ∀δ < T∗
, avec la commande :
uik = u
δ/2
id = udi0 +
j≥1
δj
2j(j + 1)!
udij, i = 1, 2 (20)
Les premiers termes de u
δ/2
ik sont :
(ud10, ud20) = ( uc|xk
, uc|xk
) (21)
(ud11, ud21) = (
2
3
˙uc
xk
,
10
3
˙uc
xk
) (22)
ud12 =
4
3
˙uc 4ucL2
gc
Lfc + Lgc L2
fc
W · (Lgc Lfc W)−1
− 6˙ucucLgc V · (Lgc V)−1
|xk
ud22 = 8˙uc + 12˙ucucLgc V · (Lgc V)−1
− ud12|xk .
23 Novembre 2012

Stabilité du contrôleur 2-rate d’ordre P
Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 pour V respectivement en δP+3 pour W.
Proposition (conditions des bornitudes)
Supposant les conditions du Théorème 2, le systéme échantillonné avec un contrôleur 2-rate, approché
d’ordre P satisfait :
ρV1(||xk||) + O(δP+1
) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1
) (23)
V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2
). (24)
respectivement
ρW1(||xk||) + O(δP+2
) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δP+2
) (25)
W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δP+3
). (26)
pour ∀δ < T∗, avec ∀ρ· ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui dépendent de
l’état.
Cette solution peut être comparée à la solution avec bloqueur d’ordre supérieur [Barbot et al., 1996]
23 Novembre 2012

Contributions méthodologique Extensions
Extension I
La fonction de Lyapunov peut être remplacée par une fonction d’énergie pour
caractériser la passivité ou le façonnement de l’énergie : IDA-PBC 1
.
Application - la synthèse échantillonnée IDA-PBC, Pile à Combustible avec
Supercondensateurs (Chapitre 10 Thèse)
˙xc(t) = (J − R) H + g1(xc)u1(t) + g2(xc)u2(t)
xc =


vB
vSC
iL

 , J =



0 0 − 1
LLC
0 0 0
1
LLC
0 0


 , R =



0 0 0
0 0 0
0 0
RL
L2
L


 , g1 =


1
C
vFC
vB
0
0

 , g2 =



1
C
vSC
vB
− 1
Csc
0


 ;
H =
1
2
xT
c Qxc, avec Q =


C 0 0
0 CSC 0
0 0 LL

 ;
Reproduction aux instants d’échantillonnage de l’Hamiltonian en BF.
1. R. Ortega, A. van der Schaft, B.M. et Escobar, G. (2002). Interconnection and damping assign-
ment passivity based control of port-controlled hamiltonian systems, Automatica, 38(4)
23 Novembre 2012

Extension - II - Stabilité et optimalité
J(x) =
∞
0
l(x) + uT
R(x)u dt
On considère en parallèle le critère d’optimalité et la stabilisation, avec
l’Hamiltoniene H :
Hc(x, u) :=
∂V(x)
∂x
˙x + l(x) + uT
R(x)u (27)
Se pose le problème de trouver le contrôleur échantillonné qui préserve les deux
propriétes : optimalité et stabilisation
Une première solution [Tanasa et al., 2012] 2
représente une version non linéaire du
résultat [Halanay and R˘asvan, 1977] 3
.
2. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, C. Nonlinear optimal stabilizing control under sam-
pling 51th Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, 2012
3. Halanay, A. & Rãsvan, V. General theory of linear hybrid control Int. Journal of Control, 1977,
26, 621-634
23 Novembre 2012

Extension - III - Système avec retards
Par exemple, le système avec m connexions en cascade :



zk+1 = f(zk) + g(zk)ξ1 k
ξ1 k+1 = ξ2 k
...
ξm k+1 = uk
zk+1 = f(zk) + g(zk)uk−m
Pour assurer la stabilisation :
ξ1 k = γ(zk)
avec la commande
uk = γ(zk+m).
Application le robot mobile, Chapitre 9. 4
4. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, D. Digital stabilization of ﬁnite sampled nonlinear
dynamics with delays : the unicycle example 13th European Control Conference (ECC), Zürich, 2013
23 Novembre 2012

Extension - IV
L’étude sur la “robustesse” de la solution échantillonnée vis à vis des erreurs de
quantiﬁcation (Chapitre 11) 5
:
˙x = f(x) + (uk( ˜xk) + uk
) g(x) (28)
• ˜xk- erreurs à cause du convertisseur analoque-numérique.
• uk - erreurs à cause des calculs.
Différentes approches : systèmes avec des perturbations bornées, “quantized
feedback” [Liberzon, 2001].
5. Tanasa V., Normand-Cyrot D., Popescu D. -" Quantization errors in sampled-
data systems with backstepping controllers", UPB Scientiﬁc Buletin, Series A (sou-
mis)
23 Novembre 2012

Logiciel
Plan de l’exposé
3 Exemples
23 Novembre 2012

Logiciel Les solutions fournis
SimNLSys
Σc
˙x(t) = f(x) + g(x) · u(t)
y(t) = h(x)
• système non linéaire MIMO
• syntaxe acceptée par Matlab
Solutions fournies
• conception assistée pour la commande échantillonnée
• simulations des systèmes en boucle ouverte/fermée dans le cas continu et échantillonné
• simulations complexes (pour intervalles de δ)
• options pour visualiser/ comparer/ enregistrer les résultats.
23 Novembre 2012

Logiciel Les solutions fournis
Critères de performance
Erreur de reproduction cumulée :
1 :=
N
k=1 |h(xc(t))|t=kδ − h(xk)|
h(xc(0))
Décalage maximum :
2 := max
k=1:N
|h(xc(t))|t=kδ − h(xk)|
Énergie du contrôleur- Eu :
Eu =
Tf
0
u2
(t) dt
Norme du signal x(t)
Ex =
Tf
0
||x(t)|| dt
23 Novembre 2012

Exemples
Plan
3 Exemples
23 Novembre 2012

Exemples
Plan
3 Exemples
• Exemple academique-cas d’étude de la litterature
• Expérimental (suspension électromagnétique)
23 Novembre 2012

Exemples Système avec un seul intégrateur
Système avec un seul intégrateur
Soit l’exemple suivant :
˙x1(t) = x2
1(t) + x2(t) (29)
˙x2(t) = u(t) (30)
La solution de commande backstepping en temps continu :
uc(x(t)) = −2(x2(t) + x1(t) + x2(t)x1(t) + x2
1(t) + x3
1(t))
avec
W(x1(t)) = x2
1(t)/2
et
V(x1(t), x2(t)) = W(x1(t)) +
1
2
(x1(t) + x2(t) + x2
1(t))2
comme fonction de Lyapunov.
23 Novembre 2012

La solution “backstepping”
échantillonnée - SR
La commande (BksSR) du deuxième ordre (LME en O(δ4
)) :
uδ2
d = ud0 +
δ
2!
ud1 +
δ2
3!
ud2 (31)
avec les termes :
ud0 = uc|t=kδ (32)
ud1 = −2((x2
1 + x2)2
− 2x3
1 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 − x2)|t=kδ (33)
ud2 = (2x7
1 + 11x6
1 + (6x2 + 10)x5
1 + (35x2 − 17)x4
1 + (6x2
2 + 28x2 − 24)x3
1
+ (37x2
2 − 14x2 − 8)x2
1 + (2x3
2 + 18x2
2 − 8x2)x1 + 13x3
2 − x2
2)/(x2
1
+ x1 + x2)|t=kδ (34)
23 Novembre 2012

La solution “backstepping”
échantillonnée, MR
La commande (BksMR) du deuxième ordre :
uδ2
di = udi0 +
δ
4
udi1 +
δ2
24
udi2 (35)
avec i = 1, 2, et les termes suivants :
(ud10, ud20) = (uc|t=kδ , uc|t=kδ) (36)
ud11 = −4(x4
1 − 2x3
1 + 2x2
1x2 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 + x2
2 − x2)/3 (37)
ud12 = −20(x4
1 − 2x3
1 + 2x2
1x2 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 + x2
2 − x2)/3 (38)
ud21 = 0 (39)
ud22 = 96(x2
1 + x1 + x2)2
− 128x1x2 − 32x1 − 160x2
1 − 128x3
1. (40)
23 Novembre 2012

23 Novembre 2012
0 5 10
−4
−2
0
2
time (s)
u
u, δ =0.05
−0.2 0 0.2 0.4 0.6
−2
−1
0
x1
x2
Phase portrait, δ =0.05
Con, Eu= 2.585
Emu, Eu= 2.643
SR1, Eu= 2.530
SR2, Eu= 2.534
MR1, Eu= 2.567
MR2, Eu= 2.568
Con, Ex= 1.520
Emu, Ex= 1.461
SR1, Ex= 1.523
SR2, Ex= 1.521
MR1, Ex= 1.521
MR2, Ex= 1.520

23 Novembre 2012
0 0.5 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V , K =0.10
0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
δ (s)
V
V , K =0.10
Emul
BksSR1
BksSR2
BksMR1
BksMR2
Emul
BksSR1
BksSR2
BksMR1
BksMR2

Exemples Étude comparative
Étude comparative
BksNe1
Contrôleur approché d’ordre 1 [Neši´c and Teel, 2006] - synthèse directe sur
l’approximation Euler du modèle continu.
BksNe2
Contrôleur approché d’ordre 2 [Neši´c and Grüne, 2005] -“redesign” Lyapunov ; la
solution minimise le critère LME. Le contrôleur approché d’ordre 1 coïncide avec
la solution BksSR1.
BksBu1,BksBu2
Contrôleurs approchés d’ordre 1 et 2 [Burlion et al., 2006] - synthèse sur une
approximation d’ordre supérieur du modèle continu.
23 Novembre 2012

Exemples Étude comparative
23 Novembre 2012
0 5 10
−4
−2
0
2
time (s)
u
u, δ =0.05
−0.2 0 0.2 0.4 0.6
−2
−1
0
x1
x2
Phase portrait, δ =0.05
Con, Eu= 2.585
MR1, Eu= 2.567
Ne1, Eu= 2.636
Ne2, Eu= 2.532
Bu1, Eu= 2.623
Bu2, Eu= 2.622
Con, Ex= 1.520
MR1, Ex= 1.521
Ne1, Ex= 1.459
Ne2, Ex= 1.522
Bu1, Ex= 1.479
Bu2, Ex= 1.479

Exemples Systèm avec un double intégrateur
Si on ajoute un deuxième intégrateur sur l’entrée ?
˙x1(t) = x2
1(t) + x2(t)
˙x2(t) = x3(t)
˙x3(t) = u(t)
23 Novembre 2012

Exemples Système avec un double intégrateur
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
(a) 1 intégrateur
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
(b) 2 intégrateurs
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
W
W
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
W
W
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
23 Novembre 2012

Exemples Système avec un double intégrateur
Plan de l’exposé
3 Exemples
• Exemple academique
• Expérimental (suspension électromagnétique)
23 Novembre 2012

Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
La suspension électromagnétique
Le modèle du banc expérimental
(Service Auto, P. Boucher) :
˙x1 = x2
˙x2 =
c·K2
v
m
v2
(x0−x1)2 − g
(41)
La fonction de Lyapunov :
V(x1, x2) =
1
2
2
β2
+ (x2 + Kφ
β
)2
(42)
où = yref − βx1
La commande en temps continu
uc(x1, x2) =
m
K2
v c
(x0 − x1)2
g − (Kφ + Ky)x2 +
KφKy
β
. (43)
La sortie : h(x) = βx1
23 Novembre 2012

Conception échantillonnée
La commande échantillonnée uδ
d = ud0 + δ
2 ud1 + δ2
6 ud2 + O(δ3
)
ud0 = uc|t=kδ
ud1 = −
m
cK2
v
(x0 − x1) 2x2(g + ˙x2) +
(x0 − x1) KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 |t=kδ
ud2 = −
ud1
x0 − x1
x2 −
m
cK2
v
(x0 − x1) 2˙x2(g + ˙x2) + 2x2¨x2 −
−x2 KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 + (x0 − x1) KφKy ˙x2 +
+(Kφ + Ky)¨x2 +
ud1
2
(Kφ +
z
Kφz + ξ
−
2ξ
x0 − z
) |t=kδ (44)
avec
˙x2 = −(Kφ + Ky)x2 +
KφKy
β
( )
¨x2 = −(Kφ + Ky)˙x2 − KφKyx2
23 Novembre 2012

Simulations 3D
Emulated Control
δ
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
Sampled Data Control
1st
order
K
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
Sampled Data Control
2nd
order
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
2
4
6
8
10
12
14
16
23 Novembre 2012

Expérimental - δ = 3ms
−5
0
5
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
x1
Traiectories δ =0.003
x2
x3
emulated
order 1
order 2
(a) Trajectoires
−4
−2
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.6
0.8
1
1.2
x1
Full time trajectories for δ = 0.003 s
x2x3
emulated
order 1
order 2
(b) Trajectoires -temps complet
23 Novembre 2012

Expérimental - δ = 7ms
−5
0
5
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
x1
Traiectories δ =0.007
x2
x3
emulated
order 2
(c) Trajectoires
−2
−1
0
1
2
x 10
−3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
Full time trajectories for δ = 0.007 s
x2
x3
emulated
order 2
(d) Trajectoires -temps complet
23 Novembre 2012

Conclusions Conclusions
Conclusions et perspectives
23 Novembre 2012

Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série inﬁnie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries ﬁnies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
23 Novembre 2012

• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
23 Novembre 2012

Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
23 Novembre 2012

Conclusions Perspectives
Merçi de votre attention !
23 Novembre 2012

Contributions
CONFERENCE - WITH PEER REVIEW
[C11] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. -Digital stabilization of finite sampled nonlinear dynamics with delays : the unicycle
example, 13th European Control Conference (ECC), Zürich, July 17-19, 2013 (submitted).
[C10] Monaco S., Normand-Cyrot D. and Tanasa V. - Digital stabilization of delayed-input strict-feedforward dynamics, 51th
Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012.
[C09] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. - Nonlinear optimal stabilizing control under sampling, 51th Conference on Decision
and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012.
[C08] Hilairet M.,Tanasa V., Bethoux O., Normand-Cyrot D. -A passivity-based controller with charge estimation for coordination of
converters in a fuel cell System ; experimental results. 8th PPPSC (Power Plant and Power Systems Control) symposium,
Toulouse, France, September 3-5, 2012.
[C07] Udrea A., Ticlea A.,Tanasa V., Flutur C. - Necessary conditions for solving the nonlinear MIMO output regulation problem,
20th Mediterranean Conference on Control and Automation, Barcelona, Spain, 2012.
[C06] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - "Sur la gestion échantillonée de lénergie d’un système - pile à combustible-super
condensateurs"- Septième Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Grenoble, 4-7 July, France, page(s) :
727-732, 2012.
[C05] Tanasa V. and Calofir V. - "A sampled-data level control of nonlinear coupled-tanks"- AQTR, May 24-27, Cluj, Romania, 2012,
ISBN 978-1-4673-0703-1.
[C04] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - Experimental digital control of a magnetic suspension. American Control Conference
(ACC), Montréal, Canada, pages : 3956-3961, 2012, ISBN 978-1-4577-1094-0.
[C03] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - "A computer aided software for nonlinear digital control", Post-proceedings of 13th
International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, page(s) : 52-62, 2011,
ISBN 978-0-7695-4630-8.
[C02] Tiefensee F. and Tanasa V. - "Digital implementation of backstepping controllers via input/Lyapunov matching", In :
Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milano,Vol. 18, page(s) : 3421-3426, 2011, ISBN : 978-3-902661-93-7.
[C01] Tanasa V. and Tiefensee F.- "Un logiciel de commande non linéaire échantillonnée", In : Proceedings of 6ème Conférence
Internationale Francophone d’ Automatique, Nancy, France, 2010.
JOURNAL
[S1] Tanasa V., Normand-Cyrot D., Monaco S. - "Sampled-data backstepping via Lyapunov matching" , full paper, IEEE TAC
(submitted).
[S2] Tanasa V., Normand-Cyrot D., Popescu D. -" Quantization errors in sampled-data systems with backstepping controllers", UPB
Scientific Buletin, Series A(submitted)
[S3] Udrea A., Ticlea A.,Tanasa V., Flutur C. - "On the nonlinear output regulation problem - Part 1 - MIMO nonlinear systems
normal forms and a discussion on the necessary conditions for solving the control problem"’, UPB Scientific Buletin, Series A,
Nr. 4, 2012.
23 Novembre 2012

Bibliographie
Barbot, J., Djemai, M., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996).
Analysis and control of nonlinear singularly perturbed systems under sampling.
In Leondes, C. T., editor, Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques, volume 79 of Control and
Dynamic Systems, pages 203 – 246. Academic Press.
Burlion, L., Ahmed-Ali, T., and Lamnabhi-Lagarrigue, F. (2006).
On the stabilization of sampled-data non-linear systems by using backstepping on the higher order approximate models.
International Journal of Control, 79 :1087 – 1095.
Byrnes, C. and Lin, W. (1994).
Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems.
Automatic Control, IEEE Transactions on, 39(1) :83 –98.
Clarke, F., Ledyaev, Y., Sontag, E., and Subbotin, A. (1997).
Asymptotic controllability implies feedback stabilization.
Automatic Control, IEEE Transactions on, 42(10) :1394 –1407.
Di Giamberardino, P., Grassini, F., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996a).
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In Decision and Control, 1996., Proceedings of the 35th IEEE, volume 3, pages 3564 –3569 vol.3.
Di Giamberardino, P., Grassini, F., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996b).
Piecewise continuous control for a car-like robot : implementation and experimental results.
In Decision and Control, 1996., Proceedings of the 35th IEEE, volume 3, pages 3564 –3569 vol.3.
Djemai, M., Barbot, J.-P., and Khalil, H. (1999).
Digital multi-rate control for a class of nonlinear singularly perturbed systems.
Int. Journal of Control, 72(10) :851–865.
Franklin, G., Powell, J., and Workman, M. (1998).
Digital control of dynamic systems.
Addison-Wesley world student series. Addison-Wesley.
Gennaro, S. D. (2002).
Output attitude tracking for ﬂexible spacecraft.
Automatica, 38(10) :1719 – 1726.Thèse de doctorat 52 / 52
23 Novembre 2012

TV_Soutenance_2012

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