JIM-2022 3 Puissances et racines

Journée Internationale des Mathématiques 2022
Fonctions puissances et racines
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2022
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 1 / 32

Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)

Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n>1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;

Introduction
(pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
(rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n
√
x.

Introduction
√
x.
On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs
particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les
diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions.

Introduction
√
x.
Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur
les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions
dénies plus en haut.

Introduction
√
x.
Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur
les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions
dénies plus en haut.
Les graphiques des représentations graphiques des fonctions considérées
précédemment ne seront tracés qu'à la dernière partie. Pour les lecteurs qui
aiment la visualisation, ils pourront s'y référer pendant la lecture des trois
premières sections de l'exposé.

Sens de variations et autres caractéristiques
Sommaire

Un mot sur la fonction z : x 7→ x0
La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle
correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait
cette dernière.

cette dernière.
En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas
diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie.

cette dernière.
En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas
diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie.
On peut aussi signaler que la fonction z est égale à la fonction
u : x 7→ 1 dénie sur l'intervalle ]0; 1].

Sens de variations des fonctions pn
Soit n 1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1].

On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] :
p0
n = nxn−1
.

p0
n = nxn−1
.
Or x ∈ [0; 1] donc xn−1 0 et n 1. On obtient ainsi, p0
n(x) 0
pour tout x ∈ [0; 1].

p0
n = nxn−1
.
Or x ∈ [0; 1] donc xn−1 0 et n 1. On obtient ainsi, p0
n(x) 0
La fonction pn est donc croissante sur [0; 1].

Sens de variations des fonctions rn
Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].

√
Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que
rn(x) = n
√
x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en
utilisant la dérivée des fonctions puissances :
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n

√
rn(x) = n
√
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
Or n 2, donc 1 − n 6 0. Ainsi :
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.

√
rn(x) = n
√
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.
Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n 0 et n 2. On obtient ainsi, r0
n(x) 0

√
rn(x) = n
√
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.
Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n 0 et n 2. On obtient ainsi, r0
n(x) 0
La fonction rn est donc croissante sur [0; 1].

Autres caractéristiques des fonctions pn et rn
Les fonctions pn et rm pour n 1 et m 2 ont d'autres caractéristiques
communes :
Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;

communes :
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1].

communes :
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on
peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn
et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1].

communes :
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on
peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn
et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1].
Réciprocité : Pour tout n 2, on a :
pn(rn(x)) =
n
√
xn = (xn
)1/n
= xn×1/n
= x1
= x
et :
rn(pn(x)) = n
√
x
n
= (x1/n
)n
= x1/n×n
= x1
= x.
Les fonctions pn et rn sont donc réciproques pour tout n 2.

Positions relatives
Sommaire

Positions relatives
Notations
Pour la suite, on utilisera les notations suivantes :
Pn (n 1) la courbe représentative de la fonction pn ;

Positions relatives
Notations
Rm (m 2) la courbe représentative de la fonction rm.

Positions relatives
Notations
Rm (m 2) la courbe représentative de la fonction rm.
Ces notations seront utiles pour l'étude des positions relatives car on parle
de positions relatives de courbes plutôt que de positions relatives de
fonctions.

Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].

Positions relatives
Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la
courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x)

Positions relatives
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).

Positions relatives
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).
Or x ∈ [0; 1], donc xn 0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc
pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1].

Positions relatives
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).
Or x ∈ [0; 1], donc xn 0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc
pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1].
La courbe Pn+1 est donc en dessous de la courbe Pn sur l'intervalle
[0; 1].

Positions relatives
Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x
Soit n 2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle
[0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par
rapport à la droite (∆) d'équation y = x.

Positions relatives
La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1.

Positions relatives
Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2
est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de
P1.

Positions relatives
Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2
est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de
P1.
La courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x pour n 2 sur
l'intervalle [0; 1].

Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des
fonctions :
Réciprocité des fonctions et courbes représentatives
Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques
l'une de l'autre.
Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction
g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Positions relatives
fonctions :
l'une de l'autre.
Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n 2, la
courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x.

Positions relatives
fonctions :
l'une de l'autre.
Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est
symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x.

Positions relatives
fonctions :
l'une de l'autre.
Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est
symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x.
Conclusion : la courbe Rn est au-dessus de la droite d'équation y = x sur

Positions relatives
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
xβ
.

Positions relatives
xα
xβ
.
Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn
(pour n 2) et la droite (∆).

Positions relatives
xα
xβ
.
La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la
fonction pn : x 7→ x1.

Positions relatives
xα
xβ
.
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
Or α =
1
n
et β = 1 ainsi α β (car n 2). D'où x1/n
x pour tout x ∈ [0 ; 1].

Positions relatives
xα
xβ
.
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
Or α =
1
n
et β = 1 ainsi α β (car n 2). D'où x1/n
x pour tout x ∈ [0 ; 1].
Conclusion : la courbe Rn est au dessus de la droite (∆) sur l'intervalle [0 ; 1].

Positions relatives
Démonstration de la propriété Comparaison et
puissances
La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus
haut.

Positions relatives
puissances
haut.
Démonstration. Comme α β, on a β − α 0.

Positions relatives
puissances
haut.
Puis :
xα
− xβ
= xα
− xβ−α+α
= xα
− xα
× xβ−α
= xα
(1 − xβ−α
).

Positions relatives
puissances
haut.
Puis :
xα
− xβ
= xα
− xβ−α+α
= xα
− xα
× xβ−α
= xα
(1 − xβ−α
).
Comme x ∈ [0; 1], xβ−α ∈ [0; 1] (voir argument avec le théorème des
valeurs intermédiaires dans la diapo Autres caractéristiques ). Ainsi
1 − xβ−α 0 et donc xα xβ.

Positions relatives
Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn
On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe
Rn+1 par rapport à Rn (pour n 2).

Positions relatives
On utilise la propriété Comparaison et puissances pour cela. La
courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction
rn+1 : x 7→ n+1
√
x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.

Positions relatives
rn+1 : x 7→ n+1
√
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.
Or α =
1
n + 1
et β =
1
n
, donc α β. D'où x1/(n+1) x1/n pour tout
x ∈ [0; 1].

Positions relatives
rn+1 : x 7→ n+1
√
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.
Or α =
1
n + 1
et β =
1
n
, donc α β. D'où x1/(n+1) x1/n pour tout
x ∈ [0; 1].
Conclusion : rn+1(x) rn(x) pour tout x ∈ [0; 1]. La courbe Rn+1 est
au dessus de la courbe Rn sur l'intervalle [0; 1].

Convergences ou non
Sommaire

Convergences ou non
Convergence simple
Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions.

Convergences ou non
Convergence simple
La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence
dite ...simple.

Convergences ou non
Convergence simple
La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence
dite ...simple.
Convergence simple
Soit (fn) une suite de fonctions dénies sur un intervalle I de R à valeurs
réelles.
La suite (fn) converge simplement vers f sur I si, pour tout x ∈ I :
lim
n→+∞
fn(x) = f (x).

Convergences ou non
Convergence simple de la suite (pn) et (rn)
La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur
l'intervalle [0; 1] par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.

Convergences ou non
Convergence simple de la suite (pn) et (rn)
La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur
l'intervalle [0; 1] par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
En eet, lim
n→+∞
xn = 0 pour 0 6 x 1 et lim
n→+∞
1n = 1.

Convergences ou non
Convergence simple de la suite (rn)
De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la
fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par :
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].

Convergences ou non
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
On sait que : lim
n→+∞
n
√
0 = 0.

Convergences ou non
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
On sait que : lim
n→+∞
n
√
0 = 0.
Pour la démonstration sur l'intervalle ]0; 1], on revient à la dénition
de puissance de la racine nième :
lim
n→+∞
n
√
x = lim
n→+∞
x1/n = x0 = 1 car lim
n→+∞
1
n
= 0.

Convergences ou non
Convergence uniforme
On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de
fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme.

Convergences ou non
On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de
fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme.
Soit (fn)n∈N une série de fonctions dénie sur I, un intervalle de R à
valeurs dans R. On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I s'il
existe un rang N ∈ N tel que pour tout n N

Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.

Convergences ou non
La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale.
La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans
l'intervalle I, elle a un caractère universel.

Convergences ou non
La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu à la
même vitesse pour tous les points x.

Convergences ou non
À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique
la convergence simple.

Convergences ou non
À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique
la convergence simple.
On pourra se référer à la vidéo de Oljen : [UT#54] Convergence
simple/uniforme d'une suite de fonctions [url]

Convergences ou non
Convergence uniforme de fonctions continues
La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des
fonctions de la suite vers la fonction limite.

Convergences ou non
Continuité et convergence uniforme
Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I,
à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une
fonction f (de I), alors f est continue sur I.

Convergences ou non
Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante :

Convergences ou non
Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante :
Contraposée
Si f est non continue sur I et (fn)n∈N une suite de fonctions dénies et
continues sur I et de limite simple f alors (fn) ne converge pas
uniformément vers f .

Convergences ou non
Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn)
On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes.

Convergences ou non
Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].

Convergences ou non
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction
p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur

Convergences ou non
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction
p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur
La suite (rn) converge simplement vers la fonction r mais la fonction r
n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (rn) ne converge pas uniformément vers r sur

Représentations graphiques (R.graph)
Sommaire

R.graph de la suite (pn) et de la fonction p
0 1
1
P1
P2
P3
P4
... P

R.graph de la suite (rn) et de la fonction r
0 1
1
R2
R3
R4
...
R

Illustration de la convergence simple
0 1
1
P1
P2
P3
P4
... P

Une feuille
0 1
1

De l'ail
0 1
1

Un carré
0 1
1
... P
...
R

JIM-2022 3 Puissances et racines

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à JIM-2022 3 Puissances et racines

Similaire à JIM-2022 3 Puissances et racines (20)

Plus de Clément Boulonne

Plus de Clément Boulonne (20)

Dernier

Dernier (15)

JIM-2022 3 Puissances et racines