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Journée Internationale des Mathématiques 2022
Fonctions puissances et racines
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2022
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 1 / 32
Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 2 / 32
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 3 / 32
Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n>1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
(rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n
√
x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
(rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n
√
x.
On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs
particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les
diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
(rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n
√
x.
On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs
particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les
diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions.
Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur
les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions
dénies plus en haut.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
Introduction
Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions :
(pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ;
(rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n
√
x.
On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs
particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les
diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions.
Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur
les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions
dénies plus en haut.
Les graphiques des représentations graphiques des fonctions considérées
précédemment ne seront tracés qu'à la dernière partie. Pour les lecteurs qui
aiment la visualisation, ils pourront s'y référer pendant la lecture des trois
premières sections de l'exposé.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 5 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Un mot sur la fonction z : x 7→ x0
La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle
correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait
cette dernière.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Un mot sur la fonction z : x 7→ x0
La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle
correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait
cette dernière.
En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas
diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Un mot sur la fonction z : x 7→ x0
La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle
correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait
cette dernière.
En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas
diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie.
On peut aussi signaler que la fonction z est égale à la fonction
u : x 7→ 1 dénie sur l'intervalle ]0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions pn
Soit n  1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions pn
Soit n  1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1].
On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] :
p0
n = nxn−1
.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions pn
Soit n  1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1].
On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] :
p0
n = nxn−1
.
Or x ∈ [0; 1] donc xn−1  0 et n  1. On obtient ainsi, p0
n(x)  0
pour tout x ∈ [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions pn
Soit n  1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1].
On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] :
p0
n = nxn−1
.
Or x ∈ [0; 1] donc xn−1  0 et n  1. On obtient ainsi, p0
n(x)  0
pour tout x ∈ [0; 1].
La fonction pn est donc croissante sur [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions rn
Soit n  2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions rn
Soit n  2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].
Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que
rn(x) = n
√
x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en
utilisant la dérivée des fonctions puissances :
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions rn
Soit n  2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].
Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que
rn(x) = n
√
x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en
utilisant la dérivée des fonctions puissances :
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
Or n  2, donc 1 − n 6 0. Ainsi :
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions rn
Soit n  2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].
Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que
rn(x) = n
√
x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en
utilisant la dérivée des fonctions puissances :
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
Or n  2, donc 1 − n 6 0. Ainsi :
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.
Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n  0 et n  2. On obtient ainsi, r0
n(x)  0
pour tout x ∈ [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Sens de variations des fonctions rn
Soit n  2. On considère la fonction rn : x 7→ n
√
x sur l'intervalle [0; 1].
Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que
rn(x) = n
√
x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en
utilisant la dérivée des fonctions puissances :
r0
n =
1
n
x1/n−1
=
1
n
x(1−n)/n
Or n  2, donc 1 − n 6 0. Ainsi :
r0
n =
1
nx(n−1)/n
.
Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n  0 et n  2. On obtient ainsi, r0
n(x)  0
pour tout x ∈ [0; 1].
La fonction rn est donc croissante sur [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Autres caractéristiques des fonctions pn et rn
Les fonctions pn et rm pour n  1 et m  2 ont d'autres caractéristiques
communes :
Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Autres caractéristiques des fonctions pn et rn
Les fonctions pn et rm pour n  1 et m  2 ont d'autres caractéristiques
communes :
Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Autres caractéristiques des fonctions pn et rn
Les fonctions pn et rm pour n  1 et m  2 ont d'autres caractéristiques
communes :
Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1].
Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on
peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn
et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
Sens de variations et autres caractéristiques
Autres caractéristiques des fonctions pn et rn
Les fonctions pn et rm pour n  1 et m  2 ont d'autres caractéristiques
communes :
Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m
√
0 = 0 et
rm(1) = m
√
1;
Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1].
Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on
peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn
et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1].
Réciprocité : Pour tout n  2, on a :
pn(rn(x)) =
n
√
xn = (xn
)1/n
= xn×1/n
= x1
= x
et :
rn(pn(x)) = n
√
x
n
= (x1/n
)n
= x1/n×n
= x1
= x.
Les fonctions pn et rn sont donc réciproques pour tout n  2.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
Positions relatives
Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 10 / 32
Positions relatives
Notations
Pour la suite, on utilisera les notations suivantes :
Pn (n  1) la courbe représentative de la fonction pn ;
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
Positions relatives
Notations
Pour la suite, on utilisera les notations suivantes :
Pn (n  1) la courbe représentative de la fonction pn ;
Rm (m  2) la courbe représentative de la fonction rm.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
Positions relatives
Notations
Pour la suite, on utilisera les notations suivantes :
Pn (n  1) la courbe représentative de la fonction pn ;
Rm (m  2) la courbe représentative de la fonction rm.
Ces notations seront utiles pour l'étude des positions relatives car on parle
de positions relatives de courbes plutôt que de positions relatives de
fonctions.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n  1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n  1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].
Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la
courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x)
sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n  1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].
Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la
courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x)
sur l'intervalle [0; 1].
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n  1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].
Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la
courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x)
sur l'intervalle [0; 1].
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).
Or x ∈ [0; 1], donc xn  0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc
pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn
Soit n  1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1
sur l'intervalle [0; 1].
Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la
courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x)
sur l'intervalle [0; 1].
On a :
Φn(x) = xn+1
− xn
= xn
(x − 1).
Or x ∈ [0; 1], donc xn  0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc
pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1].
La courbe Pn+1 est donc en dessous de la courbe Pn sur l'intervalle
[0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x
Soit n  2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle
[0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par
rapport à la droite (∆) d'équation y = x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x
Soit n  2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle
[0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par
rapport à la droite (∆) d'équation y = x.
La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x
Soit n  2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle
[0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par
rapport à la droite (∆) d'équation y = x.
La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1.
Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2
est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de
P1.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x
Soit n  2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle
[0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par
rapport à la droite (∆) d'équation y = x.
La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1.
Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2
est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de
P1.
La courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x pour n  2 sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des
fonctions :
Réciprocité des fonctions et courbes représentatives
Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques
l'une de l'autre.
Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction
g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des
fonctions :
Réciprocité des fonctions et courbes représentatives
Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques
l'une de l'autre.
Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction
g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n  2, la
courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des
fonctions :
Réciprocité des fonctions et courbes représentatives
Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques
l'une de l'autre.
Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction
g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n  2, la
courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x.
Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est
symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des
fonctions :
Réciprocité des fonctions et courbes représentatives
Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques
l'une de l'autre.
Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction
g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n  2, la
courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x.
Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est
symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x.
Conclusion : la courbe Rn est au-dessus de la droite d'équation y = x sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α  β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
 xβ
.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α  β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
 xβ
.
Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn
(pour n  2) et la droite (∆).
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α  β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
 xβ
.
Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn
(pour n  2) et la droite (∆).
La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la
fonction pn : x 7→ x1.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α  β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
 xβ
.
Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn
(pour n  2) et la droite (∆).
La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la
fonction pn : x 7→ x1.
Or α =
1
n
et β = 1 ainsi α  β (car n  2). D'où x1/n
 x pour tout x ∈ [0 ; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x
L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue
donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la
courbe Rn par rapport à la droite y = x.
Comparaison et puissances
Soit α et β deux nombres réels tels que α  β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a :
xα
 xβ
.
Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn
(pour n  2) et la droite (∆).
La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n
et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la
fonction pn : x 7→ x1.
Or α =
1
n
et β = 1 ainsi α  β (car n  2). D'où x1/n
 x pour tout x ∈ [0 ; 1].
Conclusion : la courbe Rn est au dessus de la droite (∆) sur l'intervalle [0 ; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
Positions relatives
Démonstration de la propriété  Comparaison et
puissances 
La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus
haut.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
Positions relatives
Démonstration de la propriété  Comparaison et
puissances 
La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus
haut.
Démonstration. Comme α  β, on a β − α  0.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
Positions relatives
Démonstration de la propriété  Comparaison et
puissances 
La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus
haut.
Démonstration. Comme α  β, on a β − α  0.
Puis :
xα
− xβ
= xα
− xβ−α+α
= xα
− xα
× xβ−α
= xα
(1 − xβ−α
).
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
Positions relatives
Démonstration de la propriété  Comparaison et
puissances 
La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus
haut.
Démonstration. Comme α  β, on a β − α  0.
Puis :
xα
− xβ
= xα
− xβ−α+α
= xα
− xα
× xβ−α
= xα
(1 − xβ−α
).
Comme x ∈ [0; 1], xβ−α ∈ [0; 1] (voir argument avec le théorème des
valeurs intermédiaires dans la diapo  Autres caractéristiques ). Ainsi
1 − xβ−α  0 et donc xα  xβ. 
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn
On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe
Rn+1 par rapport à Rn (pour n  2).
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn
On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe
Rn+1 par rapport à Rn (pour n  2).
On utilise la propriété  Comparaison et puissances  pour cela. La
courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction
rn+1 : x 7→ n+1
√
x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn
On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe
Rn+1 par rapport à Rn (pour n  2).
On utilise la propriété  Comparaison et puissances  pour cela. La
courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction
rn+1 : x 7→ n+1
√
x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.
Or α =
1
n + 1
et β =
1
n
, donc α  β. D'où x1/(n+1)  x1/n pour tout
x ∈ [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
Positions relatives
Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn
On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe
Rn+1 par rapport à Rn (pour n  2).
On utilise la propriété  Comparaison et puissances  pour cela. La
courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction
rn+1 : x 7→ n+1
√
x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction
rn : x 7→ n
√
x = x1/n.
Or α =
1
n + 1
et β =
1
n
, donc α  β. D'où x1/(n+1)  x1/n pour tout
x ∈ [0; 1].
Conclusion : rn+1(x)  rn(x) pour tout x ∈ [0; 1]. La courbe Rn+1 est
au dessus de la courbe Rn sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
Convergences ou non
Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 18 / 32
Convergences ou non
Convergence simple
Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
Convergences ou non
Convergence simple
Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions.
La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence
dite ...simple.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
Convergences ou non
Convergence simple
Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions.
La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence
dite ...simple.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
Convergences ou non
Convergence simple
Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions.
La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence
dite ...simple.
Convergence simple
Soit (fn) une suite de fonctions dénies sur un intervalle I de R à valeurs
réelles.
La suite (fn) converge simplement vers f sur I si, pour tout x ∈ I :
lim
n→+∞
fn(x) = f (x).
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
Convergences ou non
Convergence simple de la suite (pn) et (rn)
La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur
l'intervalle [0; 1] par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 20 / 32
Convergences ou non
Convergence simple de la suite (pn) et (rn)
La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur
l'intervalle [0; 1] par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
En eet, lim
n→+∞
xn = 0 pour 0 6 x  1 et lim
n→+∞
1n = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 20 / 32
Convergences ou non
Convergence simple de la suite (rn)
De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la
fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par :
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
Convergences ou non
Convergence simple de la suite (rn)
De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la
fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par :
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
On sait que : lim
n→+∞
n
√
0 = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
Convergences ou non
Convergence simple de la suite (rn)
De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la
fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par :
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
On sait que : lim
n→+∞
n
√
0 = 0.
Pour la démonstration sur l'intervalle ]0; 1], on revient à la dénition
de puissance de la racine nième :
lim
n→+∞
n
√
x = lim
n→+∞
x1/n = x0 = 1 car lim
n→+∞
1
n
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme
On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de
fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme
On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de
fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme
On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de
fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme.
Convergence uniforme
Soit (fn)n∈N une série de fonctions dénie sur I, un intervalle de R à
valeurs dans R. On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I s'il
existe un rang N ∈ N tel que pour tout n  N
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.
La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale.
La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans
l'intervalle I, elle a un caractère universel.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.
La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale.
La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans
l'intervalle I, elle a un caractère universel.
La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu  à la
même vitesse  pour tous les points x.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.
La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale.
La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans
l'intervalle I, elle a un caractère universel.
La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu  à la
même vitesse  pour tous les points x.
À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique
la convergence simple.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
Convergences ou non
Diérences entre les convergences
La convergence simple est une convergence vers une fonction limite
point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs,
la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas.
La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale.
La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans
l'intervalle I, elle a un caractère universel.
La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu  à la
même vitesse  pour tous les points x.
À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique
la convergence simple.
On pourra se référer à la vidéo de Oljen :  [UT#54] Convergence
simple/uniforme d'une suite de fonctions  [url]
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme de fonctions continues
La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des
fonctions de la suite vers la fonction limite.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme de fonctions continues
La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des
fonctions de la suite vers la fonction limite.
Continuité et convergence uniforme
Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I,
à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une
fonction f (de I), alors f est continue sur I.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme de fonctions continues
La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des
fonctions de la suite vers la fonction limite.
Continuité et convergence uniforme
Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I,
à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une
fonction f (de I), alors f est continue sur I.
Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante :
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
Convergences ou non
Convergence uniforme de fonctions continues
La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des
fonctions de la suite vers la fonction limite.
Continuité et convergence uniforme
Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I,
à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une
fonction f (de I), alors f est continue sur I.
Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante :
Contraposée
Si f est non continue sur I et (fn)n∈N une suite de fonctions dénies et
continues sur I et de limite simple f alors (fn) ne converge pas
uniformément vers f .
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
Convergences ou non
Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn)
On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes.
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
Convergences ou non
Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn)
On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes.
Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
Convergences ou non
Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn)
On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes.
Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction
p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
Convergences ou non
Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn)
On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes.
Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par :
(
p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[
p(1) = 1.
et
(
r(0) = 0,
r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1].
La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction
p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur
l'intervalle [0; 1].
La suite (rn) converge simplement vers la fonction r mais la fonction r
n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1].
Donc : la suite (rn) ne converge pas uniformément vers r sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
Sommaire
1 Sens de variations et autres caractéristiques
2 Positions relatives
3 Convergences ou non
4 Représentations graphiques (R.graph)
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 26 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
R.graph de la suite (pn) et de la fonction p
0 1
1
P1
P2
P3
P4
... P
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 27 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
R.graph de la suite (rn) et de la fonction r
0 1
1
R2
R3
R4
...
R
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 28 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
Illustration de la convergence simple
0 1
1
P1
P2
P3
P4
... P
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 29 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
Une feuille
0 1
1
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 30 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
De l'ail
0 1
1
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 31 / 32
Représentations graphiques (R.graph)
Un carré
0 1
1
... P
...
R
Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 32 / 32

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  • 1. Journée Internationale des Mathématiques 2022 Fonctions puissances et racines Clément Boulonne (CBMaths) 14 mars 2022 Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 1 / 32
  • 2. Sommaire 1 Sens de variations et autres caractéristiques 2 Positions relatives 3 Convergences ou non 4 Représentations graphiques (R.graph) Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 2 / 32
  • 3. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 3 / 32
  • 4. Introduction Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions : (pn)n>1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ; Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
  • 5. Introduction Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions : (pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ; (rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n √ x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
  • 6. Introduction Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions : (pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ; (rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n √ x. On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
  • 7. Introduction Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions : (pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ; (rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n √ x. On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions. Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions dénies plus en haut. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
  • 8. Introduction Dans cet exposé, on étudie deux suites de fonctions : (pn)n1 dénie sur l'intervalle [0; 1] par pn : x 7→ xn ; (rn)n2 dénie sur l'intervalle [0; 1] par : rn : x 7→ n √ x. On donnera le sens de variations des fonctions, quelques valeurs particulières et la continuité. Puis on étudiera les positions relatives et les diérentes convergences ou non des deux suites de fonctions. Et pour nir en beauté (et aussi, pour coller au thème de cette année sur les formes), on donnera quelques représentations graphiques des fonctions dénies plus en haut. Les graphiques des représentations graphiques des fonctions considérées précédemment ne seront tracés qu'à la dernière partie. Pour les lecteurs qui aiment la visualisation, ils pourront s'y référer pendant la lecture des trois premières sections de l'exposé. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 4 / 32
  • 9. Sens de variations et autres caractéristiques Sommaire 1 Sens de variations et autres caractéristiques 2 Positions relatives 3 Convergences ou non 4 Représentations graphiques (R.graph) Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 5 / 32
  • 10. Sens de variations et autres caractéristiques Un mot sur la fonction z : x 7→ x0 La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait cette dernière. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
  • 11. Sens de variations et autres caractéristiques Un mot sur la fonction z : x 7→ x0 La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait cette dernière. En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
  • 12. Sens de variations et autres caractéristiques Un mot sur la fonction z : x 7→ x0 La fonction z : x 7→ x0 aurait pu être inclus dans notre étude (elle correspondrait au terme p0 de la suite (pn)) mais elle compliquerait cette dernière. En eet, la fonction z n'est pas dénie pour x = 0. On ne peut pas diviser par 0 le nombre 01 pour obtenir 00. 00 n'est donc pas dénie. On peut aussi signaler que la fonction z est égale à la fonction u : x 7→ 1 dénie sur l'intervalle ]0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 6 / 32
  • 13. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions pn Soit n 1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
  • 14. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions pn Soit n 1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] : p0 n = nxn−1 . Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
  • 15. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions pn Soit n 1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] : p0 n = nxn−1 . Or x ∈ [0; 1] donc xn−1 0 et n 1. On obtient ainsi, p0 n(x) 0 pour tout x ∈ [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
  • 16. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions pn Soit n 1. On considère la fonction pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On dérive la fonction pn sur l'intervalle [0; 1] : p0 n = nxn−1 . Or x ∈ [0; 1] donc xn−1 0 et n 1. On obtient ainsi, p0 n(x) 0 pour tout x ∈ [0; 1]. La fonction pn est donc croissante sur [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 7 / 32
  • 17. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions rn Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n √ x sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
  • 18. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions rn Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n √ x sur l'intervalle [0; 1]. Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que rn(x) = n √ x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en utilisant la dérivée des fonctions puissances : r0 n = 1 n x1/n−1 = 1 n x(1−n)/n Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
  • 19. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions rn Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n √ x sur l'intervalle [0; 1]. Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que rn(x) = n √ x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en utilisant la dérivée des fonctions puissances : r0 n = 1 n x1/n−1 = 1 n x(1−n)/n Or n 2, donc 1 − n 6 0. Ainsi : r0 n = 1 nx(n−1)/n . Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
  • 20. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions rn Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n √ x sur l'intervalle [0; 1]. Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que rn(x) = n √ x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en utilisant la dérivée des fonctions puissances : r0 n = 1 n x1/n−1 = 1 n x(1−n)/n Or n 2, donc 1 − n 6 0. Ainsi : r0 n = 1 nx(n−1)/n . Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n 0 et n 2. On obtient ainsi, r0 n(x) 0 pour tout x ∈ [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
  • 21. Sens de variations et autres caractéristiques Sens de variations des fonctions rn Soit n 2. On considère la fonction rn : x 7→ n √ x sur l'intervalle [0; 1]. Pour dériver la fonction rn, on peut remarquer que rn(x) = n √ x = x1/n. On dérive la fonction rn sur l'intervalle [0; 1] en utilisant la dérivée des fonctions puissances : r0 n = 1 n x1/n−1 = 1 n x(1−n)/n Or n 2, donc 1 − n 6 0. Ainsi : r0 n = 1 nx(n−1)/n . Or x ∈ [0; 1] donc x(n−1)/n 0 et n 2. On obtient ainsi, r0 n(x) 0 pour tout x ∈ [0; 1]. La fonction rn est donc croissante sur [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 8 / 32
  • 22. Sens de variations et autres caractéristiques Autres caractéristiques des fonctions pn et rn Les fonctions pn et rm pour n 1 et m 2 ont d'autres caractéristiques communes : Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m √ 0 = 0 et rm(1) = m √ 1; Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
  • 23. Sens de variations et autres caractéristiques Autres caractéristiques des fonctions pn et rn Les fonctions pn et rm pour n 1 et m 2 ont d'autres caractéristiques communes : Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m √ 0 = 0 et rm(1) = m √ 1; Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
  • 24. Sens de variations et autres caractéristiques Autres caractéristiques des fonctions pn et rn Les fonctions pn et rm pour n 1 et m 2 ont d'autres caractéristiques communes : Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m √ 0 = 0 et rm(1) = m √ 1; Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1]. Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
  • 25. Sens de variations et autres caractéristiques Autres caractéristiques des fonctions pn et rn Les fonctions pn et rm pour n 1 et m 2 ont d'autres caractéristiques communes : Valeurs : pn(0) = 0n = 0, pn(1) = 1n = 1 puis rm(0) = m √ 0 = 0 et rm(1) = m √ 1; Continuité : les fonctions pn et rm sont continues sur l'intervalle [0; 1]. Ainsi, si on utilise le théorème des valeurs intermédiaires, on peut montrer que les courbes représentatives des fonctions pn et rm sont incluses dans le carré unité [0; 1] × [0; 1]. Réciprocité : Pour tout n 2, on a : pn(rn(x)) = n √ xn = (xn )1/n = xn×1/n = x1 = x et : rn(pn(x)) = n √ x n = (x1/n )n = x1/n×n = x1 = x. Les fonctions pn et rn sont donc réciproques pour tout n 2. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 9 / 32
  • 26. Positions relatives Sommaire 1 Sens de variations et autres caractéristiques 2 Positions relatives 3 Convergences ou non 4 Représentations graphiques (R.graph) Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 10 / 32
  • 27. Positions relatives Notations Pour la suite, on utilisera les notations suivantes : Pn (n 1) la courbe représentative de la fonction pn ; Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
  • 28. Positions relatives Notations Pour la suite, on utilisera les notations suivantes : Pn (n 1) la courbe représentative de la fonction pn ; Rm (m 2) la courbe représentative de la fonction rm. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
  • 29. Positions relatives Notations Pour la suite, on utilisera les notations suivantes : Pn (n 1) la courbe représentative de la fonction pn ; Rm (m 2) la courbe représentative de la fonction rm. Ces notations seront utiles pour l'étude des positions relatives car on parle de positions relatives de courbes plutôt que de positions relatives de fonctions. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 11 / 32
  • 30. Positions relatives Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1 sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
  • 31. Positions relatives Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1 sur l'intervalle [0; 1]. Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x) sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
  • 32. Positions relatives Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1 sur l'intervalle [0; 1]. Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x) sur l'intervalle [0; 1]. On a : Φn(x) = xn+1 − xn = xn (x − 1). Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
  • 33. Positions relatives Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1 sur l'intervalle [0; 1]. Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x) sur l'intervalle [0; 1]. On a : Φn(x) = xn+1 − xn = xn (x − 1). Or x ∈ [0; 1], donc xn 0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
  • 34. Positions relatives Positions relatives de Pn+1 par rapport à Pn Soit n 1. On considère les fonctions pn : x 7→ xn et pn+1 : x 7→ xn+1 sur l'intervalle [0; 1]. Pour étudier la position relative des courbes Pn+1 par rapport à la courbe Pn, on étudie le signe de la fonction Φn : x 7→ pn+1(x) − pn(x) sur l'intervalle [0; 1]. On a : Φn(x) = xn+1 − xn = xn (x − 1). Or x ∈ [0; 1], donc xn 0 et x − 1 6 0. Ainsi Φn(x) 6 0 et donc pn+1(x) 6 pn(x) pour tout x ∈ [0; 1]. La courbe Pn+1 est donc en dessous de la courbe Pn sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 12 / 32
  • 35. Positions relatives Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x Soit n 2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par rapport à la droite (∆) d'équation y = x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
  • 36. Positions relatives Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x Soit n 2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par rapport à la droite (∆) d'équation y = x. La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
  • 37. Positions relatives Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x Soit n 2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par rapport à la droite (∆) d'équation y = x. La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1. Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2 est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de P1. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
  • 38. Positions relatives Positions relatives de Pn par rapport à la droite y = x Soit n 2. On considère les fonctions pn : x 7→ xn sur l'intervalle [0; 1]. On souhaite étudier la position relative de la courbe Pn par rapport à la droite (∆) d'équation y = x. La droite (∆) correspond à la courbe représentative de la fonction p1. Or, nous avons montrer, à la diapositive précédente, que la courbe P2 est en dessous de P1 et par récurrence, la courbe Pn est en dessous de P1. La courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x pour n 2 sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 13 / 32
  • 39. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des fonctions : Réciprocité des fonctions et courbes représentatives Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques l'une de l'autre. Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
  • 40. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des fonctions : Réciprocité des fonctions et courbes représentatives Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques l'une de l'autre. Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n 2, la courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
  • 41. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des fonctions : Réciprocité des fonctions et courbes représentatives Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques l'une de l'autre. Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n 2, la courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x. Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
  • 42. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x On donne d'abord une interprétation graphique de la réciprocité des fonctions : Réciprocité des fonctions et courbes représentatives Soit f et g deux fonctions dénies sur I (un intervalle de R) réciproques l'une de l'autre. Alors les courbes représentatives Cf (de la fonction f ) et Cg (de la fonction g) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Si on reprend ce que l'on avait montré à la dispo précédente, pour n 2, la courbe Pn est donc en dessous de la droite y = x. Les fonctions pn et rn sont réciproques sur [0; 1] donc la courbe Rn est symétrique à la courbe Pn par rapport à la droite d'équation y = x. Conclusion : la courbe Rn est au-dessus de la droite d'équation y = x sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 14 / 32
  • 43. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la courbe Rn par rapport à la droite y = x. Comparaison et puissances Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a : xα xβ . Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
  • 44. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la courbe Rn par rapport à la droite y = x. Comparaison et puissances Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a : xα xβ . Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn (pour n 2) et la droite (∆). Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
  • 45. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la courbe Rn par rapport à la droite y = x. Comparaison et puissances Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a : xα xβ . Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn (pour n 2) et la droite (∆). La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la fonction pn : x 7→ x1. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
  • 46. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la courbe Rn par rapport à la droite y = x. Comparaison et puissances Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a : xα xβ . Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn (pour n 2) et la droite (∆). La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la fonction pn : x 7→ x1. Or α = 1 n et β = 1 ainsi α β (car n 2). D'où x1/n x pour tout x ∈ [0 ; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
  • 47. Positions relatives Positions relatives de Rn par rapport à la droite y = x L'argument précédent était un argument d'ordre graphique, cela constitue donc une conjecture. On démontre proprement la position relative de la courbe Rn par rapport à la droite y = x. Comparaison et puissances Soit α et β deux nombres réels tels que α β. Pour tout x ∈ [0; 1], on a : xα xβ . Cette propriété nous permet de démontrer la position relative de la courbe Rn (pour n 2) et la droite (∆). La courbe Rn correspond à la courbe représentative de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n et la droite ∆ correspond à la courbe représentative de la fonction pn : x 7→ x1. Or α = 1 n et β = 1 ainsi α β (car n 2). D'où x1/n x pour tout x ∈ [0 ; 1]. Conclusion : la courbe Rn est au dessus de la droite (∆) sur l'intervalle [0 ; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 15 / 32
  • 48. Positions relatives Démonstration de la propriété Comparaison et puissances La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus haut. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
  • 49. Positions relatives Démonstration de la propriété Comparaison et puissances La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus haut. Démonstration. Comme α β, on a β − α 0. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
  • 50. Positions relatives Démonstration de la propriété Comparaison et puissances La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus haut. Démonstration. Comme α β, on a β − α 0. Puis : xα − xβ = xα − xβ−α+α = xα − xα × xβ−α = xα (1 − xβ−α ). Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
  • 51. Positions relatives Démonstration de la propriété Comparaison et puissances La démonstration de cette propriété peut s'inspirer de ce qu'on a fait plus haut. Démonstration. Comme α β, on a β − α 0. Puis : xα − xβ = xα − xβ−α+α = xα − xα × xβ−α = xα (1 − xβ−α ). Comme x ∈ [0; 1], xβ−α ∈ [0; 1] (voir argument avec le théorème des valeurs intermédiaires dans la diapo Autres caractéristiques ). Ainsi 1 − xβ−α 0 et donc xα xβ. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 16 / 32
  • 52. Positions relatives Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe Rn+1 par rapport à Rn (pour n 2). Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
  • 53. Positions relatives Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe Rn+1 par rapport à Rn (pour n 2). On utilise la propriété Comparaison et puissances pour cela. La courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction rn+1 : x 7→ n+1 √ x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
  • 54. Positions relatives Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe Rn+1 par rapport à Rn (pour n 2). On utilise la propriété Comparaison et puissances pour cela. La courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction rn+1 : x 7→ n+1 √ x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n. Or α = 1 n + 1 et β = 1 n , donc α β. D'où x1/(n+1) x1/n pour tout x ∈ [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
  • 55. Positions relatives Positions relatives de Rn+1 par rapport à Rn On termine notre étude des positions relatives par celle de la courbe Rn+1 par rapport à Rn (pour n 2). On utilise la propriété Comparaison et puissances pour cela. La courbe Rn+1 correspond à la courbe représentative de la fonction rn+1 : x 7→ n+1 √ x = x1/(n+1) et Rn à celle de la fonction rn : x 7→ n √ x = x1/n. Or α = 1 n + 1 et β = 1 n , donc α β. D'où x1/(n+1) x1/n pour tout x ∈ [0; 1]. Conclusion : rn+1(x) rn(x) pour tout x ∈ [0; 1]. La courbe Rn+1 est au dessus de la courbe Rn sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 17 / 32
  • 56. Convergences ou non Sommaire 1 Sens de variations et autres caractéristiques 2 Positions relatives 3 Convergences ou non 4 Représentations graphiques (R.graph) Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 18 / 32
  • 57. Convergences ou non Convergence simple Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
  • 58. Convergences ou non Convergence simple Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions. La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence dite ...simple. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
  • 59. Convergences ou non Convergence simple Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions. La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence dite ...simple. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
  • 60. Convergences ou non Convergence simple Il y a diérentes formes de convergence pour une suite de fonctions. La première qu'on peut étudier (et la plus simple) est la convergence dite ...simple. Convergence simple Soit (fn) une suite de fonctions dénies sur un intervalle I de R à valeurs réelles. La suite (fn) converge simplement vers f sur I si, pour tout x ∈ I : lim n→+∞ fn(x) = f (x). Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 19 / 32
  • 61. Convergences ou non Convergence simple de la suite (pn) et (rn) La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur l'intervalle [0; 1] par : ( p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[ p(1) = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 20 / 32
  • 62. Convergences ou non Convergence simple de la suite (pn) et (rn) La suite (pn)n1 converge simplement vers la fonction p dénie sur l'intervalle [0; 1] par : ( p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[ p(1) = 1. En eet, lim n→+∞ xn = 0 pour 0 6 x 1 et lim n→+∞ 1n = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 20 / 32
  • 63. Convergences ou non Convergence simple de la suite (rn) De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par : ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
  • 64. Convergences ou non Convergence simple de la suite (rn) De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par : ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. On sait que : lim n→+∞ n √ 0 = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
  • 65. Convergences ou non Convergence simple de la suite (rn) De même pour la suite (rn)n1 : elle converge simplement vers la fonction r dénie sur l'intervalle [0; 1] par : ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. On sait que : lim n→+∞ n √ 0 = 0. Pour la démonstration sur l'intervalle ]0; 1], on revient à la dénition de puissance de la racine nième : lim n→+∞ n √ x = lim n→+∞ x1/n = x0 = 1 car lim n→+∞ 1 n = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 21 / 32
  • 66. Convergences ou non Convergence uniforme On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
  • 67. Convergences ou non Convergence uniforme On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
  • 68. Convergences ou non Convergence uniforme On étudie une autre forme de convergence pour les deux suites de fonctions (pn) et (rn) : la convergence uniforme. Convergence uniforme Soit (fn)n∈N une série de fonctions dénie sur I, un intervalle de R à valeurs dans R. On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I s'il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n N Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 22 / 32
  • 69. Convergences ou non Diérences entre les convergences La convergence simple est une convergence vers une fonction limite point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs, la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
  • 70. Convergences ou non Diérences entre les convergences La convergence simple est une convergence vers une fonction limite point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs, la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas. La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale. La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans l'intervalle I, elle a un caractère universel. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
  • 71. Convergences ou non Diérences entre les convergences La convergence simple est une convergence vers une fonction limite point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs, la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas. La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale. La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans l'intervalle I, elle a un caractère universel. La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu à la même vitesse pour tous les points x. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
  • 72. Convergences ou non Diérences entre les convergences La convergence simple est une convergence vers une fonction limite point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs, la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas. La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale. La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans l'intervalle I, elle a un caractère universel. La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu à la même vitesse pour tous les points x. À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique la convergence simple. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
  • 73. Convergences ou non Diérences entre les convergences La convergence simple est une convergence vers une fonction limite point par point. On parle aussi de convergence ponctuelle. D'ailleurs, la fonction limite a été construite en distinguant plusieurs cas. La convergence uniforme, quant à elle, est une convergence globale. La constante N ne dépendant pas de l'élément x choisit dans l'intervalle I, elle a un caractère universel. La convergence uniforme signie aussi que la convergence a lieu à la même vitesse pour tous les points x. À noter que la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique la convergence simple. On pourra se référer à la vidéo de Oljen : [UT#54] Convergence simple/uniforme d'une suite de fonctions [url] Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 23 / 32
  • 74. Convergences ou non Convergence uniforme de fonctions continues La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des fonctions de la suite vers la fonction limite. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
  • 75. Convergences ou non Convergence uniforme de fonctions continues La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des fonctions de la suite vers la fonction limite. Continuité et convergence uniforme Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I, à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f (de I), alors f est continue sur I. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
  • 76. Convergences ou non Convergence uniforme de fonctions continues La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des fonctions de la suite vers la fonction limite. Continuité et convergence uniforme Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I, à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f (de I), alors f est continue sur I. Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante : Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
  • 77. Convergences ou non Convergence uniforme de fonctions continues La convergence uniforme transfère des propriétés de continuité des fonctions de la suite vers la fonction limite. Continuité et convergence uniforme Soit I un intervalle de R et (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur I, à valeurs dans R. Si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f (de I), alors f est continue sur I. Ainsi la contraposée de cette proposition s'énonce de la manière suivante : Contraposée Si f est non continue sur I et (fn)n∈N une suite de fonctions dénies et continues sur I et de limite simple f alors (fn) ne converge pas uniformément vers f . Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 24 / 32
  • 78. Convergences ou non Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn) On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
  • 79. Convergences ou non Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn) On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes. Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par : ( p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[ p(1) = 1. et ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
  • 80. Convergences ou non Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn) On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes. Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par : ( p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[ p(1) = 1. et ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1]. Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
  • 81. Convergences ou non Non-convergence uniforme des suites (pn) et (rn) On peut rassembler les résultats des diaporamas précédentes. Soit p et r les fonctions dénies sur l'intervalle I par : ( p(x) = 0, si x ∈ [0; 1[ p(1) = 1. et ( r(0) = 0, r(x) = 1, si x ∈ ]0; 1]. La suite (pn) converge simplement vers la fonction p mais la fonction p n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1]. Donc : la suite (pn) ne converge pas uniformément vers p sur l'intervalle [0; 1]. La suite (rn) converge simplement vers la fonction r mais la fonction r n'est pas continue sur l'intervalle [0; 1]. Donc : la suite (rn) ne converge pas uniformément vers r sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 25 / 32
  • 82. Représentations graphiques (R.graph) Sommaire 1 Sens de variations et autres caractéristiques 2 Positions relatives 3 Convergences ou non 4 Représentations graphiques (R.graph) Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 26 / 32
  • 83. Représentations graphiques (R.graph) R.graph de la suite (pn) et de la fonction p 0 1 1 P1 P2 P3 P4 ... P Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 27 / 32
  • 84. Représentations graphiques (R.graph) R.graph de la suite (rn) et de la fonction r 0 1 1 R2 R3 R4 ... R Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 28 / 32
  • 85. Représentations graphiques (R.graph) Illustration de la convergence simple 0 1 1 P1 P2 P3 P4 ... P Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 29 / 32
  • 86. Représentations graphiques (R.graph) Une feuille 0 1 1 Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 30 / 32
  • 87. Représentations graphiques (R.graph) De l'ail 0 1 1 Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 31 / 32
  • 88. Représentations graphiques (R.graph) Un carré 0 1 1 ... P ... R Clément Boulonne (CBMaths) Puissances et racines 14 mars 2022 32 / 32