JIM2021-3 - Etude d'une population de tortues

Journée Internationale des Mathématiques 2021
Étude d'une population de tortues
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Population de tortues 14 mars 2021 1 / 31

Sommaire
1 Quelques rappels sur les SGTP
2 Déclin d'une population de tortues
3 Espèce en voie de disparition
4 Protocoles de réintroduction

Introduction
On s'intéresse à une population de
tortues qui décline et on étudie
mathématiquement la possibilité de
réintroduction sous certaines
conditions.
Pour cela, on va faire l'étude de
suites géométriques à termes positifs
(que l'on va abrégé en SGTP).

Quelques rappels sur les SGTP
Sommaire

Dénition d'une SGTP
Suites géométriques à termes positifs
On dit qu'une suite (un) est une suite géométrique à termes positifs de
raison q ∈ R et de premier terme u0 (abrégé SGTP) si pour tout n ∈ N,
un 0 et un+1 = qun.

un 0 et un+1 = qun.
Propriété
Une suite (un) est une SMTP de raison q si et seulement si u0 0 et
q 0.

un 0 et un+1 = qun.
Propriété
Une suite (un) est une SMTP de raison q si et seulement si u0 0 et
q 0.
Le sens direct de l'équivalence est triviale. Pour l'autre sens, on peut faire
une démonstration par récurrence.

Sens de variations d'une SGTP
Propriété sur la multiplication
Soit a et b deux réels positifs.

Si 0 b 1 alors a × b a.

Si b = 1 alors a × b = a.

Si b 1 alors a × b a.

Une idée de démonstration est de dire que si b 1 alors il existe un réel
r 0 tel que b = 1 + r et développer a × (1 + r).
Soit (un) une SGTP de raison q.

Si q 1 alors la suite (un) est croissante.

Si q = 1 alors la suite (un) est constante.

Si q = 1 alors la suite (un) est constante.
Si 0 q 1 alors la suite (un) est décroissante.

Limite d'une SGTP
Pour avoir des informations sur la modélisation à long terme, on a besoin
de connaître la limite de la suite qui élabore le phénomène.
Limite d'une SGTP

Limite d'une SGTP
Limite d'une SGTP
Si q 1 alors lim
n→+∞
un = +∞.

Limite d'une SGTP
Limite d'une SGTP
Si q 1 alors lim
n→+∞
un = +∞.
Si q = 1 alors lim
n→+∞
un = u0.

Limite d'une SGTP
Limite d'une SGTP
Si q 1 alors lim
n→+∞
un = +∞.
Si q = 1 alors lim
n→+∞
un = u0.
Si 0 q 1 alors lim
n→+∞
un = 0.

Déclin d'une population de tortues
Sommaire

Situation
On considère une réserve naturelle qui contient au début de l'étude 500
tortues au début de l'année 2020.
Cette espèce de tortue étant en proie au braconnage, le nombre de
naissances chaque année est inférieur au nombre de morts si bien que
chaque année, le nombre de tortues baisse de 10%.
On note un le nombre de tortues au début de l'année 2020 + n (arrondi à
l'entier inférieur).

Questions
1 Justier que la suite (un) est dénie pour tout n ∈ N par :
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.

Questions
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?

Questions
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
3 Exprimer un en fonction de n.

Questions
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
4 Quel est le sens de variation de la suite (un) ?

Questions
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
5 Quels éléments permettent de dire que sur le long terme, l'espèce de
tortues étudiée va s'éteindre?

Modélisation du déclin
(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.

(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
En 2020, il y avait 500 tortues donc u0 = 500.

(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
Puis, il y a une diminution de 10 % de la population. Ainsi si un est la
population à l'année 2020 + n, la population l'année suivante est :
un+1 = un −
10
100
un =

1 −
10
100

un = 0,9un.

(
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.
Puis, il y a une diminution de 10 % de la population. Ainsi si un est la
population à l'année 2020 + n, la population l'année suivante est :
un+1 = un −
10
100
un =

1 −
10
100

un = 0,9un.
Ainsi : (
u0 = 500
un+1 = 0,9 × un.

D'après la dénition que l'on a rappelé en début d'exposé, la suite
(un) est une suite géométrique de raison 0,9. C'est même une SGTP
car u0 0 et q 0.

car u0 0 et q 0.

car u0 0 et q 0.
De proche en proche, on a :
un = 500 × 0,9n
.

On utilise les propriétés sur le sens de variations des SGTP pour dire
que la suite (un) est décroissante car 0 q 1.

Comme la raison de la SGTP qui modélise l'évolution de la population
des tortues est comprise entre 0 et 1, la population de tortues décroît
et va tendre vers 0 sur le long terme (voir les propriétés en première
partie de l'exposé).

Espèce en voie de disparition
Sommaire

Espèce en voie d'extinction
Des biologistes estiment que
l'espèce de tortues est en voie
d'extinction si sa population est
inférieure à 30.
Dans un premier temps, on va
déterminer l'année où l'espèce de
tortues est considérée en voie
d'extinction .

inférieure à 30.
d'extinction .
Pour cela, on peut créer un programme en Python.

inférieure à 30.
d'extinction .
Pour cela, on peut créer un programme en Python.
u=500
n=2020
while u30:
u=0.9*u
n=n+1
print (Année : ,n)
Année : 2047

Détermination de l'année de voie d'extinction
On vérie algébriquement le résultat donné par le programme.

Cela revient à résoudre l'inéquation 500 × 0,9n 6 30 :

500 × 0,9n
6 30 ⇔ 0,9n
6
30
500
⇔ 0,9n
6
3
50
.

500 × 0,9n
6 30 ⇔ 0,9n
6
30
500
⇔ 0,9n
6
3
50
.
On utilise la fonction logarithme népérien et la propriété
ln(an) = n ln(a).

500 × 0,9n
6 30 ⇔ 0,9n
6
30
500
⇔ 0,9n
6
3
50
.
ln(an) = n ln(a).
500 × 0,9n
6 30 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) = ln

3
50


500 × 0,9n
6 30 ⇔ 0,9n
6
30
500
⇔ 0,9n
6
3
50
.
ln(an) = n ln(a).
500 × 0,9n
6 30 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) = ln

3
50

⇔ n ln(0,9) 6 ln(0,06) ⇔ n
ln(0,06)
ln(0,9)
⇔ n 26,7.

500 × 0,9n
6 30 ⇔ 0,9n
6
30
500
⇔ 0,9n
6
3
50
.
ln(an) = n ln(a).
500 × 0,9n
6 30 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) = ln

3
50

⇔ n ln(0,9) 6 ln(0,06) ⇔ n
ln(0,06)
ln(0,9)
⇔ n 26,7.
Eectivement, au début de l'année 2047, l'espèce de tortues sera
déclarée en voie d'extinction .

Protocoles de réintroduction
Sommaire

Réintroduction
À partir de l'année 2047, les
biologistes vont réintroduire, chaque
année, dans le parc naturel des
tortues de la même espèce pour
combler le décit de naissances.
Ils émettent trois protocoles pour la réintroduction :
1 l'année suivante, la population de tortues doit être égale à 30;

Réintroduction
2 les biologistes réintroduisent un nombre xe de tortues d'année en
année;

Réintroduction
année;
3 les biologistes réintroduisent un nombre susant de tortues pour que
la population augmente de 10% par an.

Réintroduction
année;
3 les biologistes réintroduisent un nombre susant de tortues pour que
la population augmente de 10% par an.
On notera v0 la population de tortues au début de l'année 2047.

Premier protocole : v0 ↔ v1
On veut que l'année suivante, la population de tortues soit égale à 30.

On a : v0 = u47,

On a : v0 = u47,
et : u48 = 30 × 0,9 = 27.

On a : v0 = u47,
et : u48 = 30 × 0,9 = 27.
Ainsi : v1 = 27 + 3 = u48 + 3 = u47 = 30.

On a : v0 = u47,
et : u48 = 30 × 0,9 = 27.
Ainsi : v1 = 27 + 3 = u48 + 3 = u47 = 30.
Il faut donc réintroduire 3 tortues chaque année pour que la
population de tortues soit constante égale à 30.

On a : v0 = u47,
et : u48 = 30 × 0,9 = 27.
Ainsi : v1 = 27 + 3 = u48 + 3 = u47 = 30.
Il faut donc réintroduire 3 tortues chaque année pour que la
population de tortues soit constante égale à 30.
Sur ce modèle, on a alors, pour tout n ∈ N :
(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + 3
.

Deuxième protocole : réintroduction en nombre xe
Soit r 3 le nombre de tortues réintroduites chaque année dans le
milieu naturel. On va étudier la suite (vn) dénie pour tout n ∈ N par :
(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + r.
c'est-à-dire, on va déterminer l'entier n (le plus petit possible) tel que
vn 500.

Dans un premier temps, on a calculé les 50 premiers termes de la suite (vn)
pour des petites valeurs de r (indiqués à droite du graphique).
On constate que pour r 6 50, la suite (vn) n'atteindra jamais la valeur de
u0.

Ensuite, pour r 51, on détermine le nombre minimal n tel que
vn 500.

vn 500.
Pour cela, on fait un programme en Python :
for r in range (51 ,500):
v=30
n=0
while v500:
v=0.9*v+r
n=n+1
print(r,n)

vn 500.
Pour cela, on fait un programme en Python :
for r in range (51 ,500):
v=30
n=0
while v500:
v=0.9*v+r
n=n+1
print(r,n)
et on consigne les résultats dans un graphique (axe des abscisses :
valeur de r, axe des ordonnées : valeur minimal de n tel que vn 500).

On peut faire une étude analytique du problème. On considère un réel
r 51 et la suite (vn) dénie pour tout n ∈ N par :
(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + r.

(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + r.
La suite (vn) est une suite dite arithmético-géométrique. On peut donc
utiliser le résultat suivant :

(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + r.
La suite (vn) est une suite dite arithmético-géométrique. On peut donc
utiliser le résultat suivant :
Transformation de suites AG en suite géométrique
Soit a et b deux nombres réels et (un) une suite dénie, pour tout n ∈ N
par u0 ∈ R et un+1 = aun + b. On peut exprimer un en fonction de n :
∀n ∈ N, un = an

u0 −
b
1 − a

+
b
1 − a
.

On applique le résultat pour u0 = 30, a = 0,9 et b = r. On a alors,
pour tout n ∈ N :
un = 0,9n

30 −
r
1 − 0,9

+
r
1 − 0,9
= 0,9n

30 −
r
0,1

+
r
0,1
.

pour tout n ∈ N :
un = 0,9n

30 −
r
1 − 0,9

+
r
1 − 0,9
= 0,9n

30 −
r
0,1

+
r
0,1
.
Or, diviser une quantité par 0,1 revient à multiplier cette quantité par
10. On obtient une expression de un plus agréable à écrire :
un = 0,9n
(30 − 10r) + 10r.

pour tout n ∈ N :
un = 0,9n

30 −
r
1 − 0,9

+
r
1 − 0,9
= 0,9n

30 −
r
0,1

+
r
0,1
.
un = 0,9n
(30 − 10r) + 10r.
On résout l'équation un 500 :
un 500 ⇔ (30 − 10r) × 0,9n
+ 10r 500 ⇔ 0,9n
6
500 − 10r
30 − 10r
,

pour tout n ∈ N :
un = 0,9n

30 −
r
1 − 0,9

+
r
1 − 0,9
= 0,9n

30 −
r
0,1

+
r
0,1
.
un = 0,9n
(30 − 10r) + 10r.
On résout l'équation un 500 :
un 500 ⇔ (30 − 10r) × 0,9n
+ 10r 500 ⇔ 0,9n
6
500 − 10r
30 − 10r
,
on change le signe de l'inéquation car r 51 ⇔ 30 − 10r 6 0 :
un 500 ⇔ · · · ⇔ 0,9n
6
50 − r
3 − r
.

un 500 ⇔ · · · ⇔ 0,9n
6
50 − r
3 − r
.

un 500 ⇔ · · · ⇔ 0,9n
6
50 − r
3 − r
.
On utilise les propriétés de la fonction logarithme népérien :
un 500 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) 6 ln

50 − r
3 − r

⇔ n ln(0,9) 6 ln

50 − r
3 − r


un 500 ⇔ · · · ⇔ 0,9n
6
50 − r
3 − r
.
un 500 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) 6 ln

50 − r
3 − r

⇔ n ln(0,9) 6 ln

50 − r
3 − r

Ainsi :
n
ln

50−r
3−r

ln(0,9)
.

un 500 ⇔ · · · ⇔ 0,9n
6
50 − r
3 − r
.
un 500 ⇔ · · · ⇔ ln(0,9n
) 6 ln

50 − r
3 − r

⇔ n ln(0,9) 6 ln

50 − r
3 − r

Ainsi :
n
ln

50−r
3−r

ln(0,9)
.
On peut donc tracer la fonction n : r 7→
ln

50−r
3−r

ln(0,9)
sur l'intervalle
[51; 500].

On constate une forte similitude avec la courbe tracée précédemment.

Troisième protocole : objectif 10 %
On considère la suite (On) qu'on appelera suite objectif dénie pour
tout n ∈ N par : (
O0 = 30
On+1 = 1,1On.

On considère la suite (On) qu'on appelera suite objectif dénie pour
tout n ∈ N par : (
O0 = 30
On+1 = 1,1On.
On va construire une suite (vn) dénie pour tout n ∈ N par :
(
v0 = 30
vn+1 = 0,9vn + rn.
où (rn) est une suite de nombres entiers tel que 0,9vn + rn On+1.

On programme la suite (rn) avec Python :
o=30
R=[]
v=30
while o500:
o=1.1*o
v=0.9*v
r=0
while vo:
r=r+1
v=v+1
R.insert(len(R),r)
print(R)

On programme la suite (rn) avec Python :
o=30
R=[]
v=30
while o500:
o=1.1*o
v=0.9*v
r=0
while vo:
r=r+1
v=v+1
R.insert(len(R),r)
print(R)
On obtient la liste R suivante :
[6,7,7,8,9,10,11,11,13,14,16,17,19,21,23,25,27,
31,33,37,40,45,49,53,60,65,71,79,87,95]

Comparaison deuxième VS troisième protocole
1 Il faut réintroduire 53 tortues par an selon le deuxième protocole (27
ans) pour arriver à un résultat similaire de repeuplement du milieu
naturel selon le troisième protocole (30 ans).

2 Il faut réintroduire un total de 53 × 27 = 1431 tortues selon le
deuxième protocole contre
P
R = 989 tortues selon le troisième
protocole.

2 Il faut réintroduire un total de 53 × 27 = 1431 tortues selon le
deuxième protocole contre
P
R = 989 tortues selon le troisième
protocole.
3 Mais si on résout l'inéquation r ×
ln

50−r
3−r

ln(0,9)
6 989, on trouve r 60.
Donc à partir de 61 tortues introduites par an, le deuxième protocole
est plus ecace que le troisième (moins de tortues à réintroduire sur
moins de temps).

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