L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.
Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique)
Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante :
http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.
Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique)
Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante :
http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf
Sublime Émilie - Insights into science and art through Kaija Saariaho’s opera.
Kaija Saariaho’s monodrama received its Finnish premiere April 2nd, 2015 at the Finnish National Opera. The title character Émilie du Châtelet (1706–1749) was a significant French Enlightenment mathematician, physicist and philosopher whose love of knowledge and science was equally matched by a passion for men, jewellery and gambling. Marquise du Châtelet is known as the first woman in the history of science to achieve significant results in mathematics and physics.
The scientific community and general audiences had a chance to learn about Émilie’s unique life and work on the eve of the premiere of the opera. A group of international researchers and artists who share an interest in her story came together for a series of lectures, discussions and music performances in Helsinki on 1–2 April 2015.
The event was prepared by the AvaraOpera collective, operating at University of the Arts Helsinki, and it is produced in collaboration with the Finnish National Opera. The event is jointly funded by University of the Arts and the Finnish Cultural Foundation.
http://bit.ly/sublimeemilie
On Mesh Intersection: exact computation and efficiencyBruno Levy
A new algorithm to compute intersections between meshes, using arbitrary-precision numbers, constrained Delaunay triangulation and auxiliary combinatorial data structures.
This document summarizes Bruno Lévy's talk on Monge-Ampère gravity. It discusses several mysteries in cosmology like dark matter and dark energy. It then provides an overview of 1) Newton-Poisson gravity, 2) Brenier-Monge-Ampère gravity, 3) optimal transport and its relation to Monge-Ampère, 4) discrete optimal transport, 5) the large deviation principle, and 6) the path bundle method for cosmological simulations. Results from a 300 million particle simulation show differences from ΛCDM including more filaments, fewer small halos, and faster spinning halos. Future work is discussed around exploring the shape of the universe at different scales.
SGP 2023 graduate school - A quick journey into geometry processingBruno Levy
This course is a gentle introduction to the set of notions useful in geometry processing that I consider as the “minimal toolbox”. I will illustrate the different notions with tips and tricks on how to efficiently implement them in a computer.
Code and demos related to the notions that I’ll present is available in Geogram (https://github.com/BrunoLevy/geogram) and Graphite (https://github.com/BrunoLevy/GraphiteThree)
Syllabus:
1. The hitch hacker’s guide to geometry processing (introduction)
2. Packing your luggage (data structures)
3. Finding your way (geometric search data structures)
4. Connecting with friends (Delaunay and Voronoi)
5. Into darkness (geometric predicates)
6. Planning your next trip (how Geometry Processing can help other scientific disciplines)
The document discusses spectral mesh processing techniques. It introduces the concepts of manifold harmonics, which are the eigenfunctions of the Laplacian operator on meshes. It describes how the discrete exterior calculus formulation can be used to discretize the Laplacian. It explains how spectral filtering of meshes works by applying transfer functions to the manifold harmonics. It outlines numerical approaches for computing the eigenfunctions of the Laplacian, including using a band-by-band algorithm with shift-invert spectral transformations to compute partial eigen-decompositions.
This document discusses spectral mesh processing techniques. It covers 1D surface parameterization using the Fiedler vector to minimize the Rayleigh quotient, surface quadrangulation using eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator, discrete conformal surface parameterization by minimizing a quadratic form, and surface characterization using the Green's function and heat kernel to solve PDEs on meshes. The summary provides high-level information on these spectral mesh processing topics in under 3 sentences.
Three sentences:
The document summarizes techniques for meshing and re-meshing used in computer graphics. It discusses using Voronoi diagrams and Delaunay triangulations to reconstruct meshes from point clouds, and using centroidal Voronoi tessellations to improve existing meshes through re-meshing by minimizing quantization noise. The document outlines methods for reconstruction, re-meshing scanned meshes, and converting meshes to subdivision surfaces.
Centroidal Voronoi Tessellations for Graphs (Eurographics 2012)Bruno Levy
The document presents a method for generalizing centroidal Voronoi tessellation (CVT) to sample shapes using arbitrary primitives like line segments, graphs, and deformable patches. It discusses using CVT to distribute points, extending it to optimize additional variables through tricks like change of variables. Applications like cellular texture generation, skeleton fitting, and surface reconstruction are demonstrated.
This document summarizes a course on numerical optimal transport given by Bruno Lévy. It discusses the goals and motivations behind optimal transport, providing an elementary introduction. Specifically, it covers:
1) Monge's formulation of optimal transport as finding a map that transports one distribution into another while minimizing movement.
2) Kantorovich's relaxation of this to finding a transport plan between distributions rather than a map.
3) The use of duality to solve the optimal transport problem via a minimization-maximization approach rather than directly solving the Monge or Kantorovich problems.
The joy of computer graphics programmingBruno Levy
- The document discusses software design principles for geometry processing libraries Geogram and Graphite.
- It advocates for simplicity in design through minimizing classes, lines of code, and complexity while maximizing speed.
- A case study examines mesh data structures, arguing that a simple array-based approach without custom data structures can be preferable to more complex designs in some cases. Simplicity, memory efficiency, and ease of parallelization are benefits.
Sublime Émilie - Insights into science and art through Kaija Saariaho’s opera.
Kaija Saariaho’s monodrama received its Finnish premiere April 2nd, 2015 at the Finnish National Opera. The title character Émilie du Châtelet (1706–1749) was a significant French Enlightenment mathematician, physicist and philosopher whose love of knowledge and science was equally matched by a passion for men, jewellery and gambling. Marquise du Châtelet is known as the first woman in the history of science to achieve significant results in mathematics and physics.
The scientific community and general audiences had a chance to learn about Émilie’s unique life and work on the eve of the premiere of the opera. A group of international researchers and artists who share an interest in her story came together for a series of lectures, discussions and music performances in Helsinki on 1–2 April 2015.
The event was prepared by the AvaraOpera collective, operating at University of the Arts Helsinki, and it is produced in collaboration with the Finnish National Opera. The event is jointly funded by University of the Arts and the Finnish Cultural Foundation.
http://bit.ly/sublimeemilie
On Mesh Intersection: exact computation and efficiencyBruno Levy
A new algorithm to compute intersections between meshes, using arbitrary-precision numbers, constrained Delaunay triangulation and auxiliary combinatorial data structures.
This document summarizes Bruno Lévy's talk on Monge-Ampère gravity. It discusses several mysteries in cosmology like dark matter and dark energy. It then provides an overview of 1) Newton-Poisson gravity, 2) Brenier-Monge-Ampère gravity, 3) optimal transport and its relation to Monge-Ampère, 4) discrete optimal transport, 5) the large deviation principle, and 6) the path bundle method for cosmological simulations. Results from a 300 million particle simulation show differences from ΛCDM including more filaments, fewer small halos, and faster spinning halos. Future work is discussed around exploring the shape of the universe at different scales.
SGP 2023 graduate school - A quick journey into geometry processingBruno Levy
This course is a gentle introduction to the set of notions useful in geometry processing that I consider as the “minimal toolbox”. I will illustrate the different notions with tips and tricks on how to efficiently implement them in a computer.
Code and demos related to the notions that I’ll present is available in Geogram (https://github.com/BrunoLevy/geogram) and Graphite (https://github.com/BrunoLevy/GraphiteThree)
Syllabus:
1. The hitch hacker’s guide to geometry processing (introduction)
2. Packing your luggage (data structures)
3. Finding your way (geometric search data structures)
4. Connecting with friends (Delaunay and Voronoi)
5. Into darkness (geometric predicates)
6. Planning your next trip (how Geometry Processing can help other scientific disciplines)
The document discusses spectral mesh processing techniques. It introduces the concepts of manifold harmonics, which are the eigenfunctions of the Laplacian operator on meshes. It describes how the discrete exterior calculus formulation can be used to discretize the Laplacian. It explains how spectral filtering of meshes works by applying transfer functions to the manifold harmonics. It outlines numerical approaches for computing the eigenfunctions of the Laplacian, including using a band-by-band algorithm with shift-invert spectral transformations to compute partial eigen-decompositions.
This document discusses spectral mesh processing techniques. It covers 1D surface parameterization using the Fiedler vector to minimize the Rayleigh quotient, surface quadrangulation using eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator, discrete conformal surface parameterization by minimizing a quadratic form, and surface characterization using the Green's function and heat kernel to solve PDEs on meshes. The summary provides high-level information on these spectral mesh processing topics in under 3 sentences.
Three sentences:
The document summarizes techniques for meshing and re-meshing used in computer graphics. It discusses using Voronoi diagrams and Delaunay triangulations to reconstruct meshes from point clouds, and using centroidal Voronoi tessellations to improve existing meshes through re-meshing by minimizing quantization noise. The document outlines methods for reconstruction, re-meshing scanned meshes, and converting meshes to subdivision surfaces.
Centroidal Voronoi Tessellations for Graphs (Eurographics 2012)Bruno Levy
The document presents a method for generalizing centroidal Voronoi tessellation (CVT) to sample shapes using arbitrary primitives like line segments, graphs, and deformable patches. It discusses using CVT to distribute points, extending it to optimize additional variables through tricks like change of variables. Applications like cellular texture generation, skeleton fitting, and surface reconstruction are demonstrated.
This document summarizes a course on numerical optimal transport given by Bruno Lévy. It discusses the goals and motivations behind optimal transport, providing an elementary introduction. Specifically, it covers:
1) Monge's formulation of optimal transport as finding a map that transports one distribution into another while minimizing movement.
2) Kantorovich's relaxation of this to finding a transport plan between distributions rather than a map.
3) The use of duality to solve the optimal transport problem via a minimization-maximization approach rather than directly solving the Monge or Kantorovich problems.
The joy of computer graphics programmingBruno Levy
- The document discusses software design principles for geometry processing libraries Geogram and Graphite.
- It advocates for simplicity in design through minimizing classes, lines of code, and complexity while maximizing speed.
- A case study examines mesh data structures, arguing that a simple array-based approach without custom data structures can be preferable to more complex designs in some cases. Simplicity, memory efficiency, and ease of parallelization are benefits.
Optimal Transport for a Computer Programmer's Point of ViewBruno Levy
This document summarizes optimal transport and provides an elementary introduction. It describes the optimal transport problem of finding a transport map that moves mass from one distribution to another while minimizing costs. This is relaxed using the Kantorovich formulation, which finds a transport plan rather than a map. Duality is also introduced, showing the equivalence between the primal problem of minimizing costs and the dual problem of maximizing a function. The relationship is explained using a discrete version of the transport problem.
Optimal Transport for a Computer Programmer's Point of View
Igrv2017
1. Bruno Lévy
Programmeur Mathématique
ALICE Géométrie & Lumière
CENTRE INRIA Nancy Grand-Est
Simuler la physique avec un ordinateur
Mécanique des fluides
Bruno Lévy – Inria – équipe NEWPOINT (ALICE 2.0)
12. Ut queant laxi,
Resonare fibris,
Mira gestorum,
Famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum.
Afin que tes serviteurs
Puissent chanter
à gorge déployée
Tes accomplissements merveilleux
Ote le péché
De leurs lèvres souillées
Saint Jean.
13. La musique: un langage pour parler
- du temps
- du rythme
- de la hauteur des sons
- delaforcedessons…
22. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
23. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En l absence de forces, le mouvement s effectue en ligne droite à vitesse constante
24. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En l absence de forces, le mouvement s effectue en ligne droite à vitesse constante
x position
25. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En l absence de forces, le mouvement s effectue en ligne droite à vitesse constante
x position
x vitesse
26. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(1) Inertie
En l absence de forces, le mouvement s effectue en ligne droite à vitesse constante
x position
x vitesse
x = constante
31. x position
x vitesse
x = cte = 1mm/s
Comment simuler ce comportement sur un ordinateur ?
A chaque seconde
Décaler le rond vert
d’1m m vers la droite
32. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
33. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
34. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force
35. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(2) Principe fondamental de la dynamique
Le changement de la vitesse (acceleration) est proportionels aux forces
x position
x vitesse
x accélération
F = m x
Force
Masse
61. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = gComment simuler ce comportement
sur un ordinateur ?
A chaque seconde
soustraire 9.81 m/s de la
composante verticale de la vitesse
déplacer le point vert suivant
la vitesse
62. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision
63. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision
On peut augmenter cette précision
64. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
On fait les calculs avec une certaine précision
On peut augmenter cette précision
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
65. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées f’(x )
df(t)
dt
df(x)
dx
66. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées f’(x )
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps
67. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées f’(x )
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps
Variation de quelquechose
par rapport à l espace
68. Gravité
F = m g = m x
9.81 m / s / s
x = g
Peut-on inventer un langage pour parler de ce
qui se passerait avec une précision infinie ?
Les dérivées – Le calcul différentiel
“fantômes de quantités disparues”
Newton et Leibniz
Les dérivées f’(x )
df(t)
dt
df(x)
dx
Variation de quelquechose
par rapport au temps
Variation de quelquechose
par rapport à l espace
69. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d’intensité égale
mais de sens opposé.
70. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d intensité égale
mais de sens opposé.
F = -FAB BA
71. Isaac Newton
1623-1727
1687
Principia Mathematica
Un langage mathématique pour
parler de la physique:
Le calcul différentiel
Les principes de Newton
(1) Inertie
(2) Principe fondamental de la dynamique
(3) Action réciproque
(3) Action réciproque
Deux corps qui agissent l un sur l autre le font avec une force d intensité égale
mais de sens opposé.
F = -F = -G mA mBAB BA
d2
Gravitation
72. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
73. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps
74. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
75. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
D Alembert
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
76. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
77. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
78. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx)
79. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx) ω cos(ωx)
∂
∂x
80. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx) ω cos(ωx) -ω2 sin(ωx)
∂
∂x
∂
∂x
81. Des cordes qui vibrent et des ondes
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
F = m x
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C: vitesse de l onde (célérité)
Corde fixée à ses deux extremités –
onde stationnaire
∂2A
∂x2
= constante x A
A : amplitude
sin(ωx) ω cos(ωx) -ω2 sin(ωx)
∂
∂x
∂
∂x
84. Euler Lagrange
∫t1
t2
L(x,x,t) dtLe Principe de Moindre Action
Hamilton, Legendre, Maupertuis
Lois de la nature = minimiser l Action = de l énergie X du temps
86. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Le principe de moindre action
Axiome 1: Il existe une fonction L(x,x,t) Qui décrit l’é ta t
du système
Axiome 2: Le mouvement du
système minimise l intégrale suivante
Sources:
Cours de physique théorique – Volume 1 – mécanique Landau & Lifschitz
Emmy Noether s Wonderful Theorem – Dwight E. Neuenschwander
87. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Le principe de moindre action
Axiome 1: Il existe une fonction L(x,x,t) Qui décrit l’é ta t
du système
Axiome 2: Le mouvement du
système minimise l intégrale suivante
t=0
t=1
88. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Le principe de moindre action
Axiome 1: Il existe une fonction L(x,x,t) Qui décrit l’é ta t
du système
Axiome 2: Le mouvement du
système minimise l intégrale suivante
Théorème 1: (équation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
t=0
t=1
89. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
90. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
91. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l énergie
92. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
93. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire
94. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Théorème 1: (Equation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire
Quantités conservées:
“Intégrales du mouvement”
Théorème de Noeter
95. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l’énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire
Particule libre:
Theorem 3: v = cte (1ère loi de Newton)
Expression du Lagrangien:
L = ½ m v2
96. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l’énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire
97. ∫t1
t2
L(x,x,t) dt
Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise
Axiome 3:
Invariance par rapport à chgt de
repère Gallilléen + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Le principe de moindre action
Théorème 2:
∂L
∂x
x - L = cte
Homogénéité dutem ps→
Conservation de l’énergie
Homogénéité de l espace →
Conservation de la quantité de mvt
Isotropie de l espace →
Conservation du moment cinétique angulaire
98. Axiom 1: There exists L
Axiom 2: The movement minimizes ∫ L
Theorem 1: (Lagrange equation):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiom 3:
Invariance w.r.t. change of
Gallileo frame + hom. + isotrop. :
x’
t’ =
x+vt
t
Particule libre:
Théorème 3: v = cte (N ew to n ’s la w I)
Expression du Lagrangian:
L = ½ m v2
Expression de l’E n e rg ie:
E = ½ m v2
Le principe de moindre action
Particule dans un champ:
Expression du Lagrangian:
L = ½ m v2 – U(x)
Expression de l’E n e rg ie:
E = ½ m v2 + U(x)
Théorème 4:
mx = - U (2ème loi de Newton)
99. Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise ∫ L
Théorème 1: (équation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à un changement
de repère de Lorentz
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
Le principe de moindre action
en mécanique relativiste
100. Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise ∫ L
Théorème 1: (équation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à un changement
de repère de Lorentz
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
Le principe de moindre action
en mécanique relativiste
Théorème 5:
E = ½ γ m v2 + mc2
101. Axiome 1: Il existe L
Axiome 2: Le mouvement minimise ∫ L
Théorème 1: (équation de Lagrange):
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂x
=
Axiome 3:
Invariance par rapport à un changement
de repère de Lorentz
x’
t’ =
(x-vt) x γ
(t – vx/c2) x γ
γ = 1 / ( 1 – v2 / c2)
Le principe de moindre action
en mécanique relativiste
Théorème 5:
E = ½ γ m v2 + mc2
E0 = mc2
105. Fluides
Partons des coordonnées de Lagrange:
“trajectoires des particules”: X(t,x)
Charactéristiques
Au temps t:
où est la particule qui était
en x à t=0
106. Fluides
Partons des coordonnées de Lagrange:
“trajectoires des particules”: X(t,x)
Minimiser
l Action:
∫t1
t2
1/2
∫Ω
∂X (t,x)
∂t
dxdt
(ρ = cte)
2
Charactéristiques
Au temps t:
où est la particule qui était
en x à t=0
107. Fluides
Partons des coordonnées de Lagrange:
“trajectoires des particules”: X(t,x)
Minimiser
l Action:
∫t1
t2
1/2
∫Ω
∂X (t,x)
∂t
dxdt
(ρ = cte)
sous la contrainte que X soit incompressible
2
Charactéristiques
Au temps t:
où est la particule qui était
en x à t=0
112. Gaspard Monge - 1784
ANR TOMMI Workshop
Fluides & Transport Optimal
113. Cédric Villani
Optimal Transport Old & New
Topics on Optimal Transport
Yann Brenier
The polar factorization theorem
(Brenier Transport)
Le Transport Optimal – De Monge a Villani
115. Une application T est une application de transport entre μ et
ν si :
μ(T-1(B)) = ν(B) pour tout ss-ens. mesurable B de Y
(X;μ) (Y;ν)
Fluides & Transport Optimal
116. B
(X;μ) (Y;ν)
Fluides & Transport Optimal
Une application T est une application de transport entre μ et
ν si :
μ(T-1(B)) = ν(B) pour tout ss-ens. mesurable B de Y
117. B
T-1(B)
(X;μ) (Y;ν)
Fluides & Transport Optimal
Une application T est une application de transport entre μ et
ν si :
μ(T-1(B)) = ν(B) pour tout ss-ens. mesurable B de Y
132. Ampère, l électro-aimant et le bonhomme
André-Marie Ampère
1775 - 1836
Expériences…
La physique (2)
133. Maxwell et le champ éléctromagnétique
James Clerk Maxell
1831 - 1879
La physique (2)
134. Maxwell et le champ éléctromagnétique
x E =
∂H
∂t
μ-
Champ électrique
135. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
x E =
∂H
∂t
μ-
136. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur “tourbillon” (rotationnel)
x E =
∂H
∂t
μ-
137. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur “tourbillon” (rotationnel)
E
x E =
∂H
∂t
μ-
138. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Champ électrique
Variations en temps
du champ magnétique
Opérateur “tourbillon” (rotationnel)
E
var. temp.
de H
x E =
∂H
∂t
μ-
139. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Hx H =
∂E
∂t
ε
var. temp.
de H
x E =
∂H
∂t
μ-
140. Maxwell et le champ éléctromagnétique
.E = 0
.H = 0
Dans tout patatoide élémentaire,
ce qui rentre est égal à ce qui sort
(valable pour Electricité et Magnétisme)
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
141. Maxwell et le champ éléctromagnétique
∂2E
∂t2
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
= 2E1
με
Constantes – unités relatives utilisées en
éléctricité et en magnétisme
142. Maxwell et le champ éléctromagnétique
∂2E
∂t2
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
= 2E= 2E1
με
c2
Leur produit vaut 1/c2
(c: vitesse de la lumière)
143. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
144. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
C est l équation d ondes !!!∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
145. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
∂2E
∂t2
=c2 2E
∂2H
∂t2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
C est l équation d ondes !!!
146. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
Vitesse de propagation: c
∂2E
∂t2
=c2 2E
∂2H
∂t2
=c2 2H
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
C est l équation d ondes !!!
147. Maxwell et le champ éléctromagnétique
Dérivée seconde
en temps
Dérivée seconde
en espace
Vitesse de propagation: c
La lumière est une onde
électromagnétique !!!!!
∂2E
∂t2
=c2 2E
.E = 0
.H = 0
x E =
∂H
∂t
μ-
x H =
∂E
∂t
ε
C est l équation d ondes !!!
149. L espace courbe – La relativité
Anselme Lanturlu – Jean-Pierre Petit - http://www.savoir-sans-frontieres.com/
Le Geometricon / Le Topologicon / Le trou noir / Tout est relatif
151. René Descartes - 1663
Des tourbillon dans l éther ?
(pas tout à fait, il n y a pas d éther)
Le“ fluide” cosmique
Vers l infini et au delà …
152. Reconstruction de l univers primordial
Les données – Fond de rayonnement cosmologique
COBE 1992
Vers l infini et au delà …
153. Reconstruction de l univers primordial
Les données – Fond de rayonnement cosmologique
WMAP 2003
2006
2008
2010
Vers l infini et au delà …
154. Reconstruction de l univers primordial
Les données – campagnes d’acquisition red-shift
Vers l infini et au delà …
155. The millenium simulation project, Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
Vers l infini et au delà …
156. Reconstruction de l état primordial de l univers
La piscine universelle
Vers l infini et au delà …
157. Inverser les équations de Newton / Einstein pour remonter
le temps de 14 milliards d années
The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 light years)
Vers l infini et au delà …
158. The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points
Vers l infini et au delà …
159. The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points
Il serait déraisonnable de faire le
calcul avec plus de 100 000 points
Vers l infini et au delà …
160. The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points
Peut-on faire le calcul avec
1 000 000 points ?
Il serait déraisonnable de faire le
calcul avec plus de 100 000 points
Vers l infini et au delà …
161. The millenium simulation project,
Max Planck Institute fur Astrophysik
pc/h : parsec (= 3.2 années lumières)
En 2002: 5 heures de calcul
sur un super-ordinateur / 5000 points
Peut-on faire le calcul avec
1 000 000 points ?
Oui si on attend (4500 ans !!)
Il serait déraisonnable de faire le
calcul avec plus de 100 000 points
Vers l infini et au delà …
174. Il y a quelques années(2002), 5 heures de calcul sur un super-ordinateur
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 2 secondes sur un PC !
Expériences numériques: performances
Calcul pour 5000 points (5000 amas de galaxies)
Vers l infini et au delà …
175. Prendrait 4500 ans (même sur un ordinateur actuel), algorithme en O(n3)
Maintenant,avec le nouvel algorithme, moins de 5 min. sur un PC portable !
Expériences numériques: performances
Calcul pour 1000000 points
Vers l infini et au delà …
176. Expériences numériques: Early Universe Reconstruction
Coopération avec
- Roya Mohayaee, Jean-Michel Alimi (Institut Astrophysique de Paris)
- Quentin Mérigot, Yann Brenier, Jean-David Benamou (Inria MOKAPLAN)
Vers l infini et au delà …
177.
178. Ressources
Des liens sur ma page web (google-chercher “bruno levy inria”)
Sur la physique:
Ian Stewart, 17 equations qui ont changé le monde
Landau & Lifschitz, physique théorique, volume 1 (mécanique)
le cours et la thèse de Feynman
la thèse de Hawking & the large-scale structure of space-time
Emmy Noethers Wondeful Theorem, D.E. Neuenschwander
Sur le transport:
Les deux bouquins de Villani et celui de Filippo Santambrogio
Yann Brenier, le théorème de factorisation polaire
Christian Lenoard – ponts browniens & régularisation entropique
Mon cours gdr-im, notre article (sur arXiv)
Code:
geogram (google-chercher “inria geogram”)
Remerciements
IGRV
Inria EXPLORAGRAM, ANR MAGA
Q. Mérigot, J.-D. Benamou, Y. Brenier
R. Mohayaee, J.-M. Alimi