Séminaire GRIMM/SMASH, Université Toulouse 2 (Le Mirail), France October 22nd, 2004

1. Une introduction aux SVM :Une introduction aux SVM :
travail sur des donntravail sur des donnééeses
fonctionnellesfonctionnelles
Nathalie Villa (GRIMM - SMASH)
Université Toulouse Le Mirail
Séminaire SMASH
8 octobre 2004

2. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Présentation du ProblèmePrésentation du Problème

3. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Discrimination
Y ∈ {-1;1}
Régression
Y réelX ∈ ℑ
X ∈ ℑ
f
f

4. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
On dispose de N observations :
Y1,…, YN
X1,…, XN ∈ ℑ
et on cherche à trouver fα la plus proche possible de f
parmi les fonctions d’un ensemble
Λ = {fα : ℑ → R ou {-1;1}}α

5. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Théorie de l’ApprentissageThéorie de l’Apprentissage
Une présentation rapide

6. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Le risque
Fonction de perte : L : R ×ℑ → [0;1]
exemples : L(y,fα(x)) = (y-fα(x))²
L(y,fα(x)) = 1{y = fα(x)}
Risque : R(α) = E (L(Y,fα(X)))
exemples : EQM
Probabilité d’erreur
Risque empirique : Remp(α) =
exemples : Erreur quadratique de prédiction
Nombre d’erreurs dans l’échantillon
∑=
N
i
ii
XfYL
N 1
))(,(
1

7. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Théorème (Vapnik 95)
Avec une probabilité supérieure à 1 - η, on a
N
h
RR emp
f
)4/ln(
)()(sup
η
αα
α
−
≤−
Λ∈
où h est la VC-dimension de Λ.
Pour le risque associé à la probabilité d’erreur

8. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
VC-dimension ?
Exemple : Λ = {1H : H hyperplan de R²}
Λ sépare de toutes les manières
possibles trois points du plan
non alignés :
Λ ne peut séparer de toutes les
manières possibles 4 points du
plan.
VC-dimension = 3

9. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
SVM pour ClassificationSVM pour Classification
et pour les données fonctionnelles… ?

10. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Idée
Φ (non linéaire)
X1,…, XN ∈ ℑ
Espace image
(grande dimension)
Z1,…, ZN

11. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Discrimination
par hyperplans
Les hyperplans d’un espace vectoriel ont pour équation
<z,w> + b = 0
Λ = {fw,b : z → sign(<z,w>+b), ||w|| ≤ A}
Théorème : Soit R le rayon de la plus petite boule
contenant toutes les observations Z1,…,ZN. Alors, Λ a
pour VC dimension h tel que
h < R²A² + 1

12. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Hyperplans
optimaux
Reformulation du problème : on cherche à minimiser
2
w
2
1
sous la contrainte N...1i,1bw,ZY
ii
=∀≥





+><
Par la méthode des multiplicateurs de Lagrange, cela
revient à maximiser (en λ) :
∑∑ ==
><−=
N
1i
jiji
ji
N
1i
i
Z,ZYY)(W λλλλ

13. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Solution :
∑=
=
N
1i
ii*
i
*
ZYw λ
où seuls un certain nombre de λi sont non nuls (les Zi
correspondants sont appelés vecteurs supports)
Espace image
(grande dimension)
Z1,…, ZN
Vecteurs
supports
(participent à la
construction de la
frontière de
décision)

14. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Construction de
l’espace image
Définition : on appelle noyau de type positif une fonction
K : ℑ×ℑ→R telle que :
)x,...,x(),,...,(,1n
n1n1
∀∀≥∀ λλ
0)x,x(K
n
1j,i
jiji
≥∑=
λλ

15. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Théorème (de Moore-Aronszajn) : Il
existe un unique espace de Hilbert F de
fonctions définies sur ℑ dont K est un
noyau reproduisant ie :
où Kx = K(.,x) = Φ(x).
)'x,x(KK,K,)'x,x( F'xx
2
=><ℑ∈∀
Dans l’espace image, le
produit scalaire s’écrit
simplement à l’aide du
noyau K : <z,z’> = K(x,x’).
X Φ
Z

16. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Exemples de
noyaux
Noyau gaussien :
σ
2
'xx
e)'x,x(K
−
=
Noyau polynomial :
d
)1'x,x()'x,x(K +><=
Remarque : Il existe des conditions (dans R)
pour savoir si un noyau est de type positif
(noyaux de Mercer, noyaux de la forme F(||.||²),
etc)
QUID POUR LES ESPACES DE
DIMENSION INFINIE ?

17. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Autres idées de
noyaux :
))'x,x(()'x,x(K δℵ=
où ℵ est un noyau sur R et δ est une semi-distance
(basée sur l’ACP ou sur des dérivées).
A QUELLE(S) CONDITION(S) K
EST-IL UN NOYAU POSITIF ?

18. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Un mot sur le
choix du paramètre
1) Fixer une liste possible de paramètres à tester ;
2) Pour chaque paramètre :
a. Déterminer l'hyperplan optimal de paramètre w*
correspondant ;
b. Evaluer la VC-dimension h associé à cet hyperplan
par la procédure décrite plus loin ;
c. Evaluer l'erreur totale commise : (Remp + g( ))
3) Choisir le paramètre à plus faible erreur.
2
*
w
h

19. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Evaluation de la
VC-dimension
Théorème (de Moore-Aronszajn) : Soit R le rayon de la
plus petite boule contenant toutes les observations {Zi}i.
Alors l’ensemble des hyperplans discriminants tel que
||w||≤ A a pour VC-dimension h tel que
h < R²A² + 1
On évalue A en calculant la norme de w
On évalue R en minimisant R² sous la
contrainte : ||Zi – z*||² ≤ R² (par la méthode du
multiplicateur de Lagrange).

20. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Un autre point de vueUn autre point de vue
FIR

21. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Idée Φ(non linéaire)
Noyau classique
Espace image
(grande dimension)
Z
X ∈ ℑ
SIR
<X,a1>,…, <X,aq>

22. Séminaire SMASH
23 octobre 2004
Merci de votre attentionMerci de votre attention