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La complexité des 
algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique 
Hajer TRABELSI 
Master de recherche MR1-IMD/ISAMM 
Juin 2014 
1
Contexte 
 Aujourd'hui la complexité est devenue un élément important 
2 
dans plusieurs domaine. 
 Géométrie algorithmique est un domaine relativement récent né 
autour des années 70s, dont le but est d'étudier les propriétés 
des objets géométriques. 
 Elle joue un rôle fondamental dans un grand nombre de 
domaines tels que le robotique, conception assistée par 
ordinateur, " design" industriel, image de synthèse, jeux vidéo... 
 Cela explique l’importance algorithmique des problèmes 
géométriques. 
 Nous nous intéressons de la complexité des algorithmes 
dans ce domaine. 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Plan 
 Géométrie algorithmique 
 Enveloppe convexe 
 Algorithmes 
3 
 Diviser pour régner (Divide-and-conquer) 
 Recherche Binaire (Binary search) 
 Théorèmes générales 
 Conclusion 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Géométrie algorithmique 
 C’est le domaine qui traite des algorithmes manipulant 
des concepts géométriques. 
 « C’est l'art d'accommoder ensemble les objets 
géométriques élémentaires pour en faire des objets plus 
élaborés. » - Olivier Devillers - [10] 
 L'exemple le plus cité étant celui de l'enveloppe 
convexe : on a au départ des points dans le plan, et on 
cherche à organiser ces points, en l'occurrence à trouver 
le plus petit polygone qui contienne tous les points, et 
soit convexe. 
4 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Géométrie algorithmique 
Historique : 
 Vers les 70s: Premiers algorithmes pour résoudre les 
problèmes géométriques. 
 1976: Première thèse de doctorat en géométrie 
algorithmique (Michael Shamos) 
 1985: First Annual ACM Symposium on Computational 
Geometry. 
 1996: CGAL: 1ère implémentation des algorithmes 
efficaces. 
 1997: Le premier « handbook on computational 
geometry » voit le jour (le second en 2000). [5] 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique 
5
Enveloppe convexe 
 L'enveloppe convexe (convex hull) 
d'un ensemble S est le plus petit 
ensemble CH(S) convexe, 
contenant S. 
 C'est aussi l'intersection de tous 
les ensembles convexes contenant 
S. 
 Un ensemble S est convexe si pour 
toute paire de points a, b Є S, le 
segment ab Ϲ S. 
X 
✔ 
6 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Enveloppe convexe 
 Soit P un ensemble de n 
points du plan. 
 On souhaite calculer 
l'enveloppe convexe de 
cet ensemble. 
 C'est le polygone (fermé) 
dont les sommets 
appartiennent à P et qui 
contient tous les points 
de P. 
7 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Enveloppe convexe 
 Il peut être utilisée dans plusieurs cas. 
 Exemple: si on a une antenne radio qui doit couvrir un 
certain nombre de points, on va chercher la meilleure 
place pour positionner cette antenne. 
 Cela revient à trouver la plus petite ellipse contenant 
les points. Comme cette ellipse est convexe, il est clair 
que seuls les points de l'enveloppe convexe vont jouer 
un rôle. 
8 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Algorithmes… 
 Pour parvenir au résultat recherché, il faut maintenant 
expliquer à la machine la recette. 
 l'algorithme. 
 Plusieurs algorithmes et techniques s’interviennent… 
9 
Entrée = ensemble de points P 
p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 , 
p9 , p10 , p11 
Sortie = enveloppe convexe CH(P) 
p7 , p2 , p3 , p8 , p6 , p10 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Diviser pour régner (Divide-and- 
conquer) 
 Idée: 
 Diviser l’ensemble des éléments en deux groupes. 
 Déterminer pour chaque ensemble l’enveloppe convexe 
selon une méthode récursive. 
 Fusionner les deux enveloppes. 
 Fusion de l’enveloppe: 
 Trouver les tangentes reliant les enveloppes 
10 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Diviser pour régner (Divide-and- 
conquer) 
6 2 1 7 0 4 5 3 
6 2 1 7 0 4 5 3 
11 
6 2 1 7 0 4 5 3 
6 2 1 7 0 4 5 3 
N=8 
N=4 
N=2 
N=1 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Diviser pour régner (Divide-and- 
conquer) 
0 1 2 3 4 5 6 7 
1 2 6 7 0 3 4 5 
2 6 1 7 0 4 3 5 
12 
6 2 1 7 0 4 5 3 
6 2 1 7 0 4 5 3 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Diviser pour régner (Divide-and- 
conquer) 
 Le problème se divise en 
deux sous-problèmes de 
taille approximative n/2. 
 2 T(n/2) 
 La division et la fusion sont 
effectués en un temps D(n) 
et C(n). 
 O (n). 
 Par conséquent, le temps 
d'exécution de l'algorithme 
est en  O(n log n). 
13 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Recherche Binaire (Binary 
search) 
 Elle peut être vue comme une divide-and-conquer 
méthode. 
 Chaque itération élimine la moitié des possibilités 
restantes. 
 Cela rend les recherches binaires très efficace. 
 Elle nécessite une collecte sélective. 
 Cela signifie la collecte doit être triés avant de chercher. 
14 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Recherche Binaire (Binary 
search) 
Chercher l’élément x=14 
15 
✔ 
111 222 555 777 888 111111 111222 111444 111777 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Recherche Binaire (Binary 
search) 
Principe dichotomie : 
 À chaque étape d’itération, 
l’intervalle de recherche doit 
être divisé par deux. 
 T(n/2) 
 Le test est en  O(1). 
 Le temps d’exécution est en 
 O(log n). 
16 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Autres… 
 Brute Force 
 Algorithme de la ficelle (Jarvis) 
 Gift Wrapping 
 Quickhull 
 … 
17 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Théorèmes générales 
 n : la taille du problème 
 a : le nombre des sous 
problèmes dans la 
récursivité. 
 n/b : la taille de chaque 
sous-problème. 
 f : le coût des traitement 
que l'algorithme fait en 
dehors des appels 
récursifs. 
 Si a≥1 , b>1 alors 
T(n) = aT(n/b) + f(n) 
18 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Théorèmes générales 
(Démonstration: voir [1]) 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique 
19
Théorèmes générales 
La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique 
20
Conclusion 
 La géométrie algorithmique est un domaine vague 
contenant plusieurs algorithmes qui traitent des 
concepts géométriques. 
 Parmi ces algorithmes, il y’a ceux qui traitent l’enveloppe 
convexe. 
 Ils permettent d’organiser des points/ des éléments dans 
un plan. 
 Des techniques sont utilisées par ces algorithmes. 
 Nous avons cité le « divide-and-conquer » et le « binary 
search ». 
 Pour calculer la complexité des algorithmes, il y’a des 
théorèmes qui peuvent s’appliquer dans le domaine de la 
géométrie algorithmique. 
21 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Merci pour votre attention 
 
22 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique
Bibliographie 
[1]: Complexity of recursive algorithms, Computational Geometry, Vera 
Sacristan 
[2]: Computational Geometry: from Theory to Applications (2013/14) - 
Luca Castelli Aleardi et Steve Oudot 
[3]: Computational Geometry: Algorithms and Applications, Third Edition 
(March 2008), Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark 
Overmars, published by Springer-Verlag 
[4]: https://interstices.info/algorithme-geometrique 
[5]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman 
[6]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman 
[7]: Computational Geometry:Convex Hulls 
[8]: http://www.youtube.com/watch?v=NQMUQpmurFI 
[9]: Master Theorem: Practice Problems and Solutions 
[10]: Un joli algorithme géométrique et ses vilains problèmes numériques, 
Olivier Devillers, 2006 
23 La complexité des algorithmes récursives 
Géométrie algorithmique

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La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique

  • 1. La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique Hajer TRABELSI Master de recherche MR1-IMD/ISAMM Juin 2014 1
  • 2. Contexte  Aujourd'hui la complexité est devenue un élément important 2 dans plusieurs domaine.  Géométrie algorithmique est un domaine relativement récent né autour des années 70s, dont le but est d'étudier les propriétés des objets géométriques.  Elle joue un rôle fondamental dans un grand nombre de domaines tels que le robotique, conception assistée par ordinateur, " design" industriel, image de synthèse, jeux vidéo...  Cela explique l’importance algorithmique des problèmes géométriques.  Nous nous intéressons de la complexité des algorithmes dans ce domaine. La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 3. Plan  Géométrie algorithmique  Enveloppe convexe  Algorithmes 3  Diviser pour régner (Divide-and-conquer)  Recherche Binaire (Binary search)  Théorèmes générales  Conclusion La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 4. Géométrie algorithmique  C’est le domaine qui traite des algorithmes manipulant des concepts géométriques.  « C’est l'art d'accommoder ensemble les objets géométriques élémentaires pour en faire des objets plus élaborés. » - Olivier Devillers - [10]  L'exemple le plus cité étant celui de l'enveloppe convexe : on a au départ des points dans le plan, et on cherche à organiser ces points, en l'occurrence à trouver le plus petit polygone qui contienne tous les points, et soit convexe. 4 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 5. Géométrie algorithmique Historique :  Vers les 70s: Premiers algorithmes pour résoudre les problèmes géométriques.  1976: Première thèse de doctorat en géométrie algorithmique (Michael Shamos)  1985: First Annual ACM Symposium on Computational Geometry.  1996: CGAL: 1ère implémentation des algorithmes efficaces.  1997: Le premier « handbook on computational geometry » voit le jour (le second en 2000). [5] La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique 5
  • 6. Enveloppe convexe  L'enveloppe convexe (convex hull) d'un ensemble S est le plus petit ensemble CH(S) convexe, contenant S.  C'est aussi l'intersection de tous les ensembles convexes contenant S.  Un ensemble S est convexe si pour toute paire de points a, b Є S, le segment ab Ϲ S. X ✔ 6 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 7. Enveloppe convexe  Soit P un ensemble de n points du plan.  On souhaite calculer l'enveloppe convexe de cet ensemble.  C'est le polygone (fermé) dont les sommets appartiennent à P et qui contient tous les points de P. 7 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 8. Enveloppe convexe  Il peut être utilisée dans plusieurs cas.  Exemple: si on a une antenne radio qui doit couvrir un certain nombre de points, on va chercher la meilleure place pour positionner cette antenne.  Cela revient à trouver la plus petite ellipse contenant les points. Comme cette ellipse est convexe, il est clair que seuls les points de l'enveloppe convexe vont jouer un rôle. 8 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 9. Algorithmes…  Pour parvenir au résultat recherché, il faut maintenant expliquer à la machine la recette.  l'algorithme.  Plusieurs algorithmes et techniques s’interviennent… 9 Entrée = ensemble de points P p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 , p10 , p11 Sortie = enveloppe convexe CH(P) p7 , p2 , p3 , p8 , p6 , p10 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 10. Diviser pour régner (Divide-and- conquer)  Idée:  Diviser l’ensemble des éléments en deux groupes.  Déterminer pour chaque ensemble l’enveloppe convexe selon une méthode récursive.  Fusionner les deux enveloppes.  Fusion de l’enveloppe:  Trouver les tangentes reliant les enveloppes 10 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 11. Diviser pour régner (Divide-and- conquer) 6 2 1 7 0 4 5 3 6 2 1 7 0 4 5 3 11 6 2 1 7 0 4 5 3 6 2 1 7 0 4 5 3 N=8 N=4 N=2 N=1 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 12. Diviser pour régner (Divide-and- conquer) 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 6 7 0 3 4 5 2 6 1 7 0 4 3 5 12 6 2 1 7 0 4 5 3 6 2 1 7 0 4 5 3 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 13. Diviser pour régner (Divide-and- conquer)  Le problème se divise en deux sous-problèmes de taille approximative n/2.  2 T(n/2)  La division et la fusion sont effectués en un temps D(n) et C(n).  O (n).  Par conséquent, le temps d'exécution de l'algorithme est en  O(n log n). 13 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 14. Recherche Binaire (Binary search)  Elle peut être vue comme une divide-and-conquer méthode.  Chaque itération élimine la moitié des possibilités restantes.  Cela rend les recherches binaires très efficace.  Elle nécessite une collecte sélective.  Cela signifie la collecte doit être triés avant de chercher. 14 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 15. Recherche Binaire (Binary search) Chercher l’élément x=14 15 ✔ 111 222 555 777 888 111111 111222 111444 111777 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 16. Recherche Binaire (Binary search) Principe dichotomie :  À chaque étape d’itération, l’intervalle de recherche doit être divisé par deux.  T(n/2)  Le test est en  O(1).  Le temps d’exécution est en  O(log n). 16 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 17. Autres…  Brute Force  Algorithme de la ficelle (Jarvis)  Gift Wrapping  Quickhull  … 17 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 18. Théorèmes générales  n : la taille du problème  a : le nombre des sous problèmes dans la récursivité.  n/b : la taille de chaque sous-problème.  f : le coût des traitement que l'algorithme fait en dehors des appels récursifs.  Si a≥1 , b>1 alors T(n) = aT(n/b) + f(n) 18 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 19. Théorèmes générales (Démonstration: voir [1]) La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique 19
  • 20. Théorèmes générales La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique 20
  • 21. Conclusion  La géométrie algorithmique est un domaine vague contenant plusieurs algorithmes qui traitent des concepts géométriques.  Parmi ces algorithmes, il y’a ceux qui traitent l’enveloppe convexe.  Ils permettent d’organiser des points/ des éléments dans un plan.  Des techniques sont utilisées par ces algorithmes.  Nous avons cité le « divide-and-conquer » et le « binary search ».  Pour calculer la complexité des algorithmes, il y’a des théorèmes qui peuvent s’appliquer dans le domaine de la géométrie algorithmique. 21 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 22. Merci pour votre attention  22 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique
  • 23. Bibliographie [1]: Complexity of recursive algorithms, Computational Geometry, Vera Sacristan [2]: Computational Geometry: from Theory to Applications (2013/14) - Luca Castelli Aleardi et Steve Oudot [3]: Computational Geometry: Algorithms and Applications, Third Edition (March 2008), Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars, published by Springer-Verlag [4]: https://interstices.info/algorithme-geometrique [5]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman [6]: Les enveloppes convexes en géométrie algorithmique, Achraf Othman [7]: Computational Geometry:Convex Hulls [8]: http://www.youtube.com/watch?v=NQMUQpmurFI [9]: Master Theorem: Practice Problems and Solutions [10]: Un joli algorithme géométrique et ses vilains problèmes numériques, Olivier Devillers, 2006 23 La complexité des algorithmes récursives Géométrie algorithmique