Ce document présente un cours sur la conception de machines digitales, couvrant l'algèbre de Boole, les circuits combinatoires et séquentiels. Il aborde les opérateurs logiques, les lois fondamentales, les logigrammes et les méthodes de simplification des fonctions logiques, notamment la méthode de Karnaugh. Le cours inclut également des exercices pratiques sur l'analyse et la conception de circuits logiques.

1. Université Saad Dahleb de Blida
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
Licence Génie des Systèmes Informatique (GSI)
Semestre 3 (2ème année)
CONCEPTION DE MACHINES DIGITALES
Cours n°1: 10 Octobre 2013
AROUSSI Sana
s_aroussi@esi.dz

2. PRÉAMBULE

Pré-requis: Cours (SM, S2).

UEF: Conception de Circuits et Systèmes Digitaux (CSDI)

Volume horaire hebdomadaire: 3HCours (Dimanche 9H3511H10 et 12H45 à 14H15)

Évaluation: continu + Examen.

Coefficient 1, Crédit 4
2

3. CONTENU DE LA MATIÈRE
I.
Rappel sur l’Algèbre de Boole
II.
Circuits Combinatoires
III.
Circuits Séquentiels
3

4. CHAPITRE I:
RAPPEL SUR L’ALGÈBRE
DE
BOOLE

5. PLAN DU CHAPITRE I
 Introduction
 Définitions
et Conventions
 Opérateurs
Logiques
 Fonctions
 Analyse
Logiques
et Conception d’un Circuit Logique
5

6. INTRODUCTION

Les machines digitales (ou numériques) sont constituées d’un
ensemble de circuits électroniques.

Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée
(addition, comparaison,….).

Pour concevoir et réaliser un tel circuit, on doit avoir le modèle
mathématique de sa fonction réalisée.

Le modèle mathématique utilisé est celui de l’algèbre de Boole
(du nom du mathématicien anglais Georges Boole 1915 - 1864).
6

7. DÉFINITIONS ET CONVENTIONS

Une variable logique (ou booléenne) est une variable qui peut
prendre soit la valeur 0 soit la valeur 1.

Niveau Logique
Niveau de
Logique
Logique
Signification
Tension
Positive
Négative
H (Hight) Haut
1
0
VRAI / OUI
L (Low) Bas
0
1
FAUX / NON
7

8. DÉFINITIONS ET CONVENTIONS
Une porte logique est un circuit électronique élémentaire

permettant de réaliser la fonction d’un opérateur logique.

A
0
0
0
0
1
1
1
1
Fonction Logique
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F(A, B, C)
0
1
0
1
0
1
1
1
Table de Vérité
Expression Logique
F (A, B, C )= AB + C
8

9. OPÉRATEURS LOGIQUES DE BASE

Opérateur NON (Négation)

Opérateur ET (Conjonction)

Opérateur OU (Disjonction)
9

10. LOIS FONDAMENTALES DE L’ALGÈBRE DE BOOLE
NON
1. Fermeture
ET
OU
Si A est une variable
booléenne alors
est une variable
booléenne.
Si A et B sont des variables booléennes alors
A+B, AB sont aussi des variables
booléennes.
2. Involution
3. Commutativité
A*B=B*A
A+B=B+A
4. Associativité
A * (B * C) = (A * B)
*C=A*B*C
A + (B + C) = (A + B)
+C=A+B+C
5. Distributivité
A * (B + C) = A B + A C
A + (B * C) = (A + B) * (A + C)
6. Idempotence
A*A=A
A+A=A
8. Élément Neutre
1*A=A
0+A=A
9. Élément
absorbant
10. Règles de De
Morgan
0*A=0
1+A=1
7.
Complémentarité
A*
A+
=0
=1
10

11. OPÉRATEURS LOGIQUES COMPOSÉS

Opérateur XOR (OU Exclusif)

Opérateur NAND (NON ET)

Opérateur NOR (NON OU)
11

12. FONCTIONS LOGIQUES
LOGIGRAMME

Le logigramme (ou diagramme logique) est la traduction de la
fonction logique en un schéma électronique. Le principe consiste à
remplacer chaque opérateur logique par la porte logique qui lui
correspond.

Exemple:
A
ET
OU
B
C
F2
NOT
ET
12

13. FONCTIONS LOGIQUES
EXTRACTION DE L’EXPRESSION LOGIQUE À PARTIR DE LA TABLE DE
VÉRITÉ
A
B
C
F
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
A .B.C
: min terme
A .B.C
: min terme
A .B.C
: min terme
A .B.C
: min terme
F = somme min termes
13
F ( A, B, C )  A . B . C  A . B . C  A . B . C  A . B . C

14. FONCTIONS LOGIQUES
EXTRACTION DE L’EXPRESSION LOGIQUE À PARTIR DE LA TABLE DE
VÉRITÉ
A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
A  B  C : max terme
A  B  C : max terme
A  B  C : max terme
A  B  C : max terme
F = produit des max termes
14
F(A,B, C)  ( A  B  C) (A  B  C)(A  B  C) (A  B  C)

15. FONCTIONS LOGIQUES
FORMES CANONIQUES

On appelle la forme canonique d’une fonction, la forme où
chaque terme de la fonction comporte toutes les variables:

Première Forme Canonique (Forme Disjonctive) qui est la
somme des mintermes (ou produits) ; Une disjonction de
conjonctions. Cette forme est la forme la plus utilisée.
F ( A, B, C )  A . B . C  A . B . C  A . B . C  A . B . C

Deuxième Forme Canonique (Forme Conjonctive) qui est le
produit des maxtermes (ou sommes) : une conjonction de
disjonctions
15
F(A,B, C)  ( A  B  C) (A  B  C)(A  B  C) (A  B  C)

16. COURS N°2: 13 OCTOBRE 2013
(MATIN)

17. FONCTIONS LOGIQUES
Simplification
Méthode Algébrique
Méthode Graphique
(Propriétés de l’algèbre de
(Tableau du
Boole)
KARNAUGH)
17

18. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

La méthode de KARNAUGH consiste à mettre en
évidence par un tableau tous les termes qui sont
adjacents (qui ne différent que par l’état d’une seule
variable).

La méthode peut s’appliquer aux fonctions logiques de 2,
3, 4, 5 et 6 variables.

Un tableau de KARNAUGH comporte 2n cases (n est le
nombre de variables).
18

19. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Dans un tableau de KARNAUGH, chaque case possède un certain
nombre de cases adjacentes.
Les cases bleues sont des cases adjacentes à la case rouge.
19

20. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Le tableau de KARNAUGH se referme sur lui-même : la colonne la
plus à gauche est voisine de la colonne la plus à droite, idem pour
les lignes du haut et du bas :
20

21. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Cas de cinq variables:
21

22. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Cas de six variables:
22

23. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Remplissage du tableau de KARNAUGH :
AB
C
23

24. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Première Règle de simplification :
1. Regrouper les cases adjacentes qui ont pour valeur 1, jusqu'à ce
qu'il n'y ait plus de cases à 1 :

Les groupes doivent être choisis convenablement afin de
réduire au maximum.

Les groupes de taille maximale, doivent être carrés ou
rectangulaires ;

Le nombre de cases dans un groupe doit être une puissance de
2 : 1, 2, 4, 8 et 16 cases.

Les
mêmes
regroupements
termes
peuvent
participer
à
24
plusieurs

25. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Deuxième Règle de simplification :
2. Réduire l'expression de chaque groupe en prenant le produit des
variables qui n'ont pas changé d'état dans les groupes. Dans
un regroupement :

Qui contient un seul terme, on ne peut pas éliminer de variables.

Qui contient deux termes, on peut éliminer une variable (celle qui
change d’état).

Qui contient 4 termes, on peut éliminer 2 variables.

Qui contient 8 termes, on peut éliminer 3 variables.

Qui contient 16 termes, on peut éliminer 4 variables.
25

26. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Règles de simplification :
1.
Regrouper les cases adjacentes qui ont pour valeur 1, jusqu'à
ce qu'il n'y ait plus de cases à 1.
2.
Réduire l'expression de chaque groupe en prenant le produit
des variables qui n'ont pas changé d'état dans les groupes.
3.
L'expression réduite de la fonction est la somme des différents
termes de chaque groupe.
26

27. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH
AB
C
ABC  ABC  AB
ABC  ABC  AC
ABC  ABC  BC
F ( A, B, C )  AB  AC  BC
27

28. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH
AB
C
F ( A, B, C )  C  AB
28

29. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH
AB
CD
F ( A, B, C, D)  C.D  A.B.C  A.B.C.D
29

30. FONCTIONS LOGIQUES
M
ABÉTHODE DE
CD
KARNAUGH
F ( A, B, C, D)  AB  B D  BCD
30

31. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH
AB
AB
CD
CD
U=0
U= 1
F(A, B, C, D, U)  A B  A.B.D. U  A .C. D.U 
B.D.U
31

32. FONCTIONS LOGIQUES
MÉTHODE DE KARNAUGH

Fonction incomplètement définie:
AB
CD
32
F (A, B, C, D) = AB + CD + BD + AC + BC

33. COURS N°3: 13 OCTOBRE 2013
(APRÈS MIDI)

34. ANALYSE D’UN CIRCUIT LOGIQUE
Logigramme
d’un circuit
logique
Définir la
fonction
logique
Déduire le
rôle du
circuit.
Établir la
table de
vérité
34

35. ANALYSE D’UN CIRCUIT LOGIQUE
A
NOT
E
T
OU
B
NOT
F1
E
T
Test d’Inégalité
35

36. CONCEPTION D’UN CIRCUIT LOGIQUE
Description du
fonctionnement
d’un circuit
Définir les
variables d’entrée
Définir les
variables de
sortie
Réaliser le
logigramme de la
fonction
simplifiée
Effectuer des
simplifications
Établir la table de
vérité
36

37. CONCEPTION D’UN CIRCUIT LOGIQUE
Réaliser un circuit
logique permettant de
Trois variables
d’entrée A, B, C
vérifier si un nombre
binaire à trois chiffres
est pair.
37

38. SOURCES DE CE COURS

Sana Aroussi, Cours Structure Machine, Département Tronc
Commun Math-Informatique, Faculté des Sciences, USDB, 2012.
38