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Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2

Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com

1
Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2

Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com

2
Plan
• Algèbre de Boole
• Portes Logiques

3
Algèbre de Boole

4
L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, ou calcul booléen,
est la partie des mathématiques, de la
logique et de l'électronique qui s'intéresse
aux opérations et aux fonctions sur les
variables logiques.

5
Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole

6
1. Introduction
• Les machines numériques sont constituées d’un ensemble
de circuits électroniques.
• Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée (
addition, comparaison ,….).
A
Circuit

F(A,B)

B

La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le
résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction
7
• Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir
un modèle mathématique de la fonction réalisée
par ce circuit .
• Ce modèle doit prendre en considération le
système binaire.
• Le modèle mathématique utilisé est celui de
Boole.
8
3.3. Fonction logique
• C’est une fonction qui relie N variables logiques avec
un ensemble d’opérateurs logiques de base.
• Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de
base : NON , ET , OU.
• La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0
selon les valeurs des variables logiques.
• Si une fonction logique possède N variables logiques
 2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans une table
qui s’appelle table de vérité ( TV ).
9
Fonction logique
V1
V2
V3
V4
V5
...

F(V1,V2,…..Vn)
Vrai
Faut

10
Exemple d’une fonction logique

F ( A, B, C ) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
La fonction possède 3 variables  23 combinaisons
F
C B
A
0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

Une table de vérité

0

1

1

1

11
Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :

()
NON
ET
OU
‫أولوية العوامل‬
12
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
13
Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
Calculer F(0,1,1)

14
Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
15
Table de vérité
• Tracer la table de vérité de F(A,B,C)

F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C

16
Solution
•Pour trouver la table de vérité , il faut trouver la valeur de la fonction F
pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C
•3 variables  2 3 = 8 combinaisons

F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C

F

C

B

A

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

F(1,1,0) = ( 1. 1) .(0 + 1) + 1 . 1 .0 = 0

0

0

1

1

F(1,1,1) = ( 1. 1) .(1 + 1) + 1 . 1 .1 = 0

0

1

1

1

F(0,0,0) = ( 0. 0) .(0 + 0) + 0 . 0 .0 = 0
F(0,0,1) = ( 0. 0) .(1 + 0) + 0 . 0 .1 = 1
F(0,1,0) = ( 0. 1) .(0 + 1) + 0 . 1 .0 = 1
F(0,1,1) = ( 0. 1) .(1 + 1) + 0 . 1 .1 = 1
F(1,0,0) = ( 1. 0) .(0 + 0) + 1 . 0 .0 = 0
F(1,0,1) = ( 1. 0) .(1 + 0) + 1 . 0 .1 = 1

17
4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole
•L’opérateur NON

A= A
A+ A = 1
A. A = 0
18
•L’opérateur ET

( A.B ).C = A.( B.C ) = A.B.C

Associativité

A.B = B. A

Commutativité

A. A = A
A.1 = A

Idempotence
Elément neutre

A.0 = 0

Elément absorbant

19
• L’opérateur OU

( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C
A+ B = B + A
A+ A = A

Associativité
Commutativité
Idempotence

A+ 0 = A
A+ 1= 1

Elément neutre
Elément absorbant

20
•Distributivité
A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A . C ) Distributivité du ET sur le OU
A + ( B . C ) = (A + B).(A + C) Distributivité du OU sur le ET

•Autres relations utiles
A + ( A.B) = A
A. ( A + B) = A
(A + B) . (A + B) = A
A + A.B= A + B
21
5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
• Exemple :

A + 1= 1 →

A.0 = 0

A + A = 1→

A.A = 0
‫التقابل‬
22
Théorème de DE-MORGANE

23
6. Théorème de DE-MORGANE
•La somme logique complimentée de deux variables est
égale au produit des compléments des deux variables.

A+ B = A . B
• Le produit logique complimenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments des deux
variables.

A.B = A + B

24
6.1 Généralisation du Théorème DEMORGANE à N variables

A.B.C...... = A + B + C + ..........
A + B + C + ........... = A.B.C......
‫مجوم الجتام = مجووع الوجووع‬
‫مجوم الوجووع = متام الوجووع‬
25
Autres opérateurs logiques

26
OU exclusif ( XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B

A ⊕ B = A.B + A.B

27
NAND ( NON ET )

F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B

28
NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B

29
7.4 NAND et NOR sont des opérateurs
universels
• En utilisant les NAND et les NOR on peut
exprimer n’importe qu’elle expression ( fonction )
logique.
• Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de
base ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des
NOR.

30
7.4.1 Réalisation des opérateurs de base
avec des NOR

A = A+ A = A↓ A
A + B = A + B = A ↓ B = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B)
A.B = A.B = A + B = A ↓ B = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B)

31
Exercice
• Exprimer le NON , ET , OU en utilisant
des NAND ?

32
7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et
NOR
A↑ 0= 1

A↓ 0= A

A↑ 1= A

A↓ 1= 0

A↑ B = B↑ A

A↓ B = B↓ A

( A ↑ B) ↑ C ≠ A ↑ ( B ↑ C ) ( A ↓ B) ↓ C ≠ A ↓ ( B ↓ C )

33
Étude d’une fonction logique

34
Étude d’une fonction logique
•
•
•
•
•

Définition textuelle d’une fonction logique
Les entrées et les sorties
‫دراسة دالة منطقية‬
Table de vérité
،‫ تعريف‬Formes algébriques
‫ الوتاخل والوخعرج‬Simplification:
،‫- متول الحقيقة‬

– Algébrique
– Table de Karnaugh

،‫- شكل مبري‬

• Logigramme

،‫ تبسيط‬35

‫- رسم الوخطط‬
1. Définition textuelle d’une fonction logique
• Généralement la définition du fonctionnement d’un
système est donnée sous un format textuelle .
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on
doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de
la description textuelle.

36
Exemple : définition textuelle du fonctionnement
d’un système
• Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés.
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont
utilisées.
– La serrure reste fermée dans les autres cas .

Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler
l’ouverture de la serrure ?
37
Si on reprend l’exemple de la serrure :

– Le système possède trois entrées : chaque entrée
représente une clé.
– On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé
1  A , la clé 2  B , la clé 3  C
• Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0
• Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0
• Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0

– Le système possède une seule sortie qui correspond à
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
– On va correspondre une variable S pour designer la sortie :
• S=1 si la serrure est ouverte ,
• S=0 si elle est fermée

38
S=F(A,B,C)
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
A
B

Circuit

S=F(A,B,C)

C

Remarque :
Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail
( logique positive ou négative ).
39
2. Table de vérité ( Rappel )
• Si une fonction logique possède N variables
logiques  2n combinaisons  la fonction
possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans
une table qui s’appelle table de vérité.

40
2. Table de vérité ( Exemple )
S

C

B

A

0

0

0

0

A + B + C : max terme

0

1

0

0

A + B + C : max terme

0

0

1

0

A + B + C : max terme

1

1

1

0

A .B.C

0

0

0

1

A + B + C : max terme

1

1

0

1

A .B.C

: min terme

1

0

1

1

1

1

1

1

A .B.C
A .B.C

: min terme
: min terme

: min terme

41
2.3 Extraction de la fonction logique à partir
de la T.V
• F = somme min termes

F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
• F = produit des max termes
F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)
42
3. Forme canonique d’une fonction
logique
• On appel forme canonique d’une fonction la forme ou
chaque terme de la fonction comportent toutes les
variables.

• Exemple :

F(A, B, C) = ABC + A CB + ABC

43
3.1 Première forme canonique
• Première forme canonique (forme disjonctive) :
somme de produits
• C’est la somme des min termes.

F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
•Cette forme est la forme la plus utilisée.
44
3.2 Deuxième forme canonique

• Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de
sommes
• Le produit des max termes

F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)

45
• 1ère Forme  2ème forme

46
Remarque 1
• On peut toujours ramener n’importe qu’elle fonction
logique à l’une des formes canoniques.
• Cela revient à rajouter les variables manquants dans les
termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les
termes non canoniques ).
• Cela est possible en utilisant les règles de l’algèbre de
Boole :
– Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1
– Additionner à un terme avec une expression qui vaut 0
– Par la suite faire la distribution

47
Exemple :
1. F(A, B) = A + B
= A (B + B) + B( A + A)
= AB + A B + AB + AB
= AB + A B + AB

2. F(A, B, C) = AB + C
= AB(C + C) + C( A + A)
= ABC + ABC + AC + AC
= ABC + ABC + AC(B + B) + AC (B + B)
= ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + A BC
= ABC + ABC + A BC + A B C + A B C
48
Remarque 2
• Il existe une autre représentation des formes canoniques
d’une fonction , cette représentation est appelée forme
numérique.
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
Exemple : si on prend une fonction avec 3 variables

R( 2,4,6) =

∑

P(0,1,3,5,7) =

(2,4,6) = R( 010,100,110) = ABC + A BC + ABC

∏

(0,1,3,5,7) = P(000,001,011,101,111)

= (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C ) (A + B + C ) (A + B + C)
49
Remarque 3 : déterminer F
F

C

B FA

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

F = A.B.C + A.B.C + A.B.C + 50 .B.C
A
Exercice 1
• Déterminer la première , la deuxième forme canonique et
la fonction inverse à partir de la TV suivante ? Tracer le
logigramme de la fonction ?

F
0
1
1
0

B
0
1
0
1

A
0
0
1
1

51
Exercice 2
• Faire le même travail avec la T.V suivante :
S

C

B

A

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1
52
Simplification des fonctions logiques

53
4. Simplification des fonctions logiques
• L’objectif de la simplification des fonctions
logiques est de :
– réduire le nombre de termes dans une
fonction
– et de réduire le nombre de variables dans
un terme

54
4. Simplification des fonctions logiques
• Cela afin de réduire le nombre de portes
logiques utilisées  réduire le coût du circuit
• Plusieurs méthodes existent pour la
simplification :
– La Méthode algébrique
– Les Méthodes graphiques : ( ex : table de
karnaugh )
– Les méthodes programmables
55
5. Méthode algébrique
• Le principe consiste à appliquer les règles de l’algèbre de
Boole afin d’éliminer des variables ou des termes.
• Mais il n’y a pas une démarche bien spécifique.
• Voici quelques règles les plus utilisées :

A.B+ A.B= B
A + A.B= A
A + A.B= A + B
( A + B) ( A + B) = A
A . ( A + B) = A
A . ( A + B) = A . B

56
5.1 Règles de simplification
• Règles 1 : regrouper des termes à l’aide
des règles précédentes
• Exemple

ABC + ABC + A BCD = AB (C + C) + A BCD
= AB + A BCD
= A ( B + B (CD))
= A ( B + CD)
= AB + ACD
57
• Règles 2 : Rajouter un terme déjà existant à
une expression
• Exemple :
A B C + ABC + A BC + ABC =
ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + ABC =
BC +
AC
+ AB

58
• Règles 3 : il est possible de supprimer un

terme superflu ( un terme en plus ), c’est-àdire déjà inclus dans la réunion des autres
termes.
Exemple 1 :
F(A, B, C) = A B + BC + AC = AB + BC + AC ( B + B)
= AB + BC + ACB + A BC
= AB ( 1 + C) + BC (1 + A)
= AB + BC

59
Exemple 2 : il

existe aussi la forme conjonctive du terme

superflu

F(A, B, C) = (A + B) . (B + C) . (A + C)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B.B)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B) .(A + C + B)
= (A + B) . (A + C + B) . (B + C) .(A + C + B)
= (A + B) . (B + C)

60
• Règles 4 : il est préférable de simplifier la forme
canonique ayant le nombre de termes minimum.
• Exemple :

F ( A, B, C ) = R ( 2,3,4,5,6,7)
F(A, B, C) = R( 0,1) = A . B . C + A . B . C
= A . B (C + C)
= A.B= A + B
F(A, B, C) = F(A, B, C) = A + B = A + B

61
Exercice
Démontrer la proposition suivante :

A.B + B.C + A.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B + C
Donner la forme simplifiée de la fonction suivante :
F ( A, B, C , D) = ABCD + A BCD + ABC D + ABC D + ABCD

62
Simplification par la table
de Karnaugh

63
Les termes adjacents
•Examinons l’expression suivante :

A.B+ A.B

AB + A B = A( B + B ) = A

•Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬

‫حدود‬
64
Exemple de termes adjacents
Ces termes sont adjacents
A.B + A.B = B
A.B.C + A.B.C = A.C
A.B.C.D + A.B.C.D = A.B.D
Ces termes ne sont pas adjacents
A.B + A.B
A.B.C + A.B.C
A.B.C.D + A.B.C.D
65
Table de karnaugh
•La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente.
• Méthode graphique pour detecter tous les termes
adjacents

66
A
B 1

AB
C 10

0

11

01

00

0

0

1

1

Tableau à 2 variables

Tableaux à 3 variables

67
Tableau à 4 variables
AB
CD
10

11

01

00
00
01
11
10

68
Tableau à 5 variables

AB
CD
10

11

01

AB
CD
10

00

11

01

00

00
01

01

11

11

10

U=0

00

10

U= 1
69
TV => Karnaugh
S

C

B

A

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

AB
C 10

11

01

00
0

1
1

1

1

1

70
Exemple 1 : 3 variables

AB
C 10

11

01

00
0

1
1

1

1

1

1

F ( A, B, C ) = C + AB
71
Exemple 2 : 4 variables
AB
CD
10

11

01

00
00

1
1

1

1

1

01
11

1

10

F ( A, B, C , D ) = C.D + A.B.C + A.B.C.D
72
Exemple 3 : 4 variables
AB
CD
10

11

01

1
1

00

1
1

01

1

11

1
1

00

1

10

F ( A, B, C , D) = A B + B D + BC D
73
Exemple 4 : 5 variables
AB
CD
10

11

01

AB
CD
10

00

1
1

01

1

1

11

1

10

01

00

1

11

U=0

00

1

00

1

1

01

1

1

11

1

10

1
U= 1

F(A, B, C, D, U) = A B + A.B.D.U + A.C.D.U + A.B.D.U
74
Exercice
Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des
deux tableaux ?

AB
CD
10

AB
C 10

11

01

1

1

1

1

1

00

1

11

01

1

00

1

0

1

00
01

1

11

1

1

1
75

1

10
Fonction non totalement définie
‫دالة تعريفها ناقص‬

76
6.5 Cas d’une fonction non totalement définie
• Examinons l’exemple suivant :
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C
D. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C,D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C,D)= 0 sinon
Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.
•On remarque que si la clé A et D sont utilisées en même temps
l’état du système n’est pas déterminé.
•Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites  comment
représenter ces cas dans la table de vérité ?.
77
S

D

C

B

A

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

•Les cas impossibles sont représentées

0

0

1

0

0

aussi par des X dans la table de karnaugh

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

X

1

0

0

1

1

0

1

0

1

X

1

1

0

1

1

0

0

1

1

X

1

0

1

1

1

0

1

1

1

X

1

1
78

1

1

•Pour les cas impossibles ou interdites
il faut mettre un X dans la T.V .

AB
CD
10

11

01

00
00

1
X
X
1

X
X
1

01

1
1
1

1

11
10
• Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :
– Soit les prendre comme étant des 1
– Ou les prendre comme étant des 0
• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X
AB
CD

10

11

01

00
00

1
X

X

X

X

1

1

1

01

1

1

1

11
10

AB

79
AB
CD

10

11

01

00
00

1
X

X

X

X

1

1

1

01

1

1

1

11
10

AB + CD
80
AB
CD

10

11

01

00
00

1
X

X

X

X

1

1

1

1

01

1
1

11
10

AB + CD + BD
81
AB
CD

10

11

01

00
00

1
X

X

X

X

1

1

1

01

1

1

1

11
10

AB + CD + BD + AC
82
AB
CD

10

11

01

00
00

1
X

X

X

X

1

1

1

01

1

1

1

11
10

AB + CD + BD + AC + BC
83
Exercice 1
Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table
suivante ?
AB
CD
10

11

01

X

1

1

X

00
00

1

01

1

X

1

11

X

1

X

10
84
Circuits de Base

85
Inverseur (NON)

86
Conjonction ET (AND)

87
Disjonction (OU) (OR)

88
Circuits combinés

89
7.3 NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B

90
Non-OU (NAND)

91
7.2 NAND ( NON ET )

F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B

92
NON-ET (Nand)

93
OU exclusif (XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B

A ⊕ B = A.B + A.B

94
OU exclusif (XOR)

95
Exercice 1
• Donner le logigramme des fonctions suivantes :

F(A, B) = A.B + A.B
F(A, B, C) = (A + B).(A + C).(B + C)
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C

96
Exercice 2 : Donner l’équation de F ?

97

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Algèbre de boole

  • 1. Module: Architecture des ordinateurs 1ère MI S2 Circuits Logiques ‫الدارات النطقية‬ Taha Zerrouki Taha.zerrouki@gmail.com 1
  • 2. Module: Architecture des ordinateurs 1ère MI S2 Circuits Logiques ‫الدارات النطقية‬ Taha Zerrouki Taha.zerrouki@gmail.com 2
  • 3. Plan • Algèbre de Boole • Portes Logiques 3
  • 5. L'algèbre de Boole • L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. 5
  • 6. Boole • Elle fut initiée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole 6
  • 7. 1. Introduction • Les machines numériques sont constituées d’un ensemble de circuits électroniques. • Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée ( addition, comparaison ,….). A Circuit F(A,B) B La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction 7
  • 8. • Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonction réalisée par ce circuit . • Ce modèle doit prendre en considération le système binaire. • Le modèle mathématique utilisé est celui de Boole. 8
  • 9. 3.3. Fonction logique • C’est une fonction qui relie N variables logiques avec un ensemble d’opérateurs logiques de base. • Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de base : NON , ET , OU. • La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0 selon les valeurs des variables logiques. • Si une fonction logique possède N variables logiques  2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs. • Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité ( TV ). 9
  • 11. Exemple d’une fonction logique F ( A, B, C ) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C La fonction possède 3 variables  23 combinaisons F C B A 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Une table de vérité 0 1 1 1 11
  • 12. Priorité des opérateurs • Pour évaluer une expression logique : () NON ET OU ‫أولوية العوامل‬ 12
  • 13. F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C si on veut calculer F(0,1,1) alors : F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1 F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1 F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1 F(0,1,1) = 1 + 0 F(0,1,1) = 1 13
  • 14. Priorité des opérateurs F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C Calculer F(0,1,1) 14
  • 15. Priorité des opérateurs F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C si on veut calculer F(0,1,1) alors : F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1 F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1 F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1 F(0,1,1) = 1 + 0 F(0,1,1) = 1 15
  • 16. Table de vérité • Tracer la table de vérité de F(A,B,C) F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C 16
  • 17. Solution •Pour trouver la table de vérité , il faut trouver la valeur de la fonction F pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C •3 variables  2 3 = 8 combinaisons F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C F C B A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 F(1,1,0) = ( 1. 1) .(0 + 1) + 1 . 1 .0 = 0 0 0 1 1 F(1,1,1) = ( 1. 1) .(1 + 1) + 1 . 1 .1 = 0 0 1 1 1 F(0,0,0) = ( 0. 0) .(0 + 0) + 0 . 0 .0 = 0 F(0,0,1) = ( 0. 0) .(1 + 0) + 0 . 0 .1 = 1 F(0,1,0) = ( 0. 1) .(0 + 1) + 0 . 1 .0 = 1 F(0,1,1) = ( 0. 1) .(1 + 1) + 0 . 1 .1 = 1 F(1,0,0) = ( 1. 0) .(0 + 0) + 1 . 0 .0 = 0 F(1,0,1) = ( 1. 0) .(1 + 0) + 1 . 0 .1 = 1 17
  • 18. 4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole •L’opérateur NON A= A A+ A = 1 A. A = 0 18
  • 19. •L’opérateur ET ( A.B ).C = A.( B.C ) = A.B.C Associativité A.B = B. A Commutativité A. A = A A.1 = A Idempotence Elément neutre A.0 = 0 Elément absorbant 19
  • 20. • L’opérateur OU ( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C A+ B = B + A A+ A = A Associativité Commutativité Idempotence A+ 0 = A A+ 1= 1 Elément neutre Elément absorbant 20
  • 21. •Distributivité A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A . C ) Distributivité du ET sur le OU A + ( B . C ) = (A + B).(A + C) Distributivité du OU sur le ET •Autres relations utiles A + ( A.B) = A A. ( A + B) = A (A + B) . (A + B) = A A + A.B= A + B 21
  • 22. 5. Dualité de l’algèbre de Boole • Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1. • Exemple : A + 1= 1 → A.0 = 0 A + A = 1→ A.A = 0 ‫التقابل‬ 22
  • 24. 6. Théorème de DE-MORGANE •La somme logique complimentée de deux variables est égale au produit des compléments des deux variables. A+ B = A . B • Le produit logique complimenté de deux variables est égale au somme logique des compléments des deux variables. A.B = A + B 24
  • 25. 6.1 Généralisation du Théorème DEMORGANE à N variables A.B.C...... = A + B + C + .......... A + B + C + ........... = A.B.C...... ‫مجوم الجتام = مجووع الوجووع‬ ‫مجوم الوجووع = متام الوجووع‬ 25
  • 27. OU exclusif ( XOR) F ( A, B) = A ⊕ B A ⊕ B = A.B + A.B 27
  • 28. NAND ( NON ET ) F(A, B) = A . B F ( A, B ) = A ↑ B 28
  • 29. NOR ( NON OU ) F(A, B) = A + B F ( A, B ) = A ↓ B 29
  • 30. 7.4 NAND et NOR sont des opérateurs universels • En utilisant les NAND et les NOR on peut exprimer n’importe qu’elle expression ( fonction ) logique. • Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de base ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des NOR. 30
  • 31. 7.4.1 Réalisation des opérateurs de base avec des NOR A = A+ A = A↓ A A + B = A + B = A ↓ B = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B) A.B = A.B = A + B = A ↓ B = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B) 31
  • 32. Exercice • Exprimer le NON , ET , OU en utilisant des NAND ? 32
  • 33. 7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et NOR A↑ 0= 1 A↓ 0= A A↑ 1= A A↓ 1= 0 A↑ B = B↑ A A↓ B = B↓ A ( A ↑ B) ↑ C ≠ A ↑ ( B ↑ C ) ( A ↓ B) ↓ C ≠ A ↓ ( B ↓ C ) 33
  • 35. Étude d’une fonction logique • • • • • Définition textuelle d’une fonction logique Les entrées et les sorties ‫دراسة دالة منطقية‬ Table de vérité ،‫ تعريف‬Formes algébriques ‫ الوتاخل والوخعرج‬Simplification: ،‫- متول الحقيقة‬ – Algébrique – Table de Karnaugh ،‫- شكل مبري‬ • Logigramme ،‫ تبسيط‬35 ‫- رسم الوخطط‬
  • 36. 1. Définition textuelle d’une fonction logique • Généralement la définition du fonctionnement d’un système est donnée sous un format textuelle . • Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique). • Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle. 36
  • 37. Exemple : définition textuelle du fonctionnement d’un système • Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite : – La serrure est ouverte si au moins deux clés sont utilisées. – La serrure reste fermée dans les autres cas . Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler l’ouverture de la serrure ? 37
  • 38. Si on reprend l’exemple de la serrure : – Le système possède trois entrées : chaque entrée représente une clé. – On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé 1  A , la clé 2  B , la clé 3  C • Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0 • Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0 • Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0 – Le système possède une seule sortie qui correspond à l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ). – On va correspondre une variable S pour designer la sortie : • S=1 si la serrure est ouverte , • S=0 si elle est fermée 38
  • 39. S=F(A,B,C) F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites F(A,B,C)=0 si non . A B Circuit S=F(A,B,C) C Remarque : Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail ( logique positive ou négative ). 39
  • 40. 2. Table de vérité ( Rappel ) • Si une fonction logique possède N variables logiques  2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs. • Les 2n combinaisons sont représentées dans une table qui s’appelle table de vérité. 40
  • 41. 2. Table de vérité ( Exemple ) S C B A 0 0 0 0 A + B + C : max terme 0 1 0 0 A + B + C : max terme 0 0 1 0 A + B + C : max terme 1 1 1 0 A .B.C 0 0 0 1 A + B + C : max terme 1 1 0 1 A .B.C : min terme 1 0 1 1 1 1 1 1 A .B.C A .B.C : min terme : min terme : min terme 41
  • 42. 2.3 Extraction de la fonction logique à partir de la T.V • F = somme min termes F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C • F = produit des max termes F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C) 42
  • 43. 3. Forme canonique d’une fonction logique • On appel forme canonique d’une fonction la forme ou chaque terme de la fonction comportent toutes les variables. • Exemple : F(A, B, C) = ABC + A CB + ABC 43
  • 44. 3.1 Première forme canonique • Première forme canonique (forme disjonctive) : somme de produits • C’est la somme des min termes. F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C •Cette forme est la forme la plus utilisée. 44
  • 45. 3.2 Deuxième forme canonique • Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes • Le produit des max termes F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C) 45
  • 46. • 1ère Forme  2ème forme 46
  • 47. Remarque 1 • On peut toujours ramener n’importe qu’elle fonction logique à l’une des formes canoniques. • Cela revient à rajouter les variables manquants dans les termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les termes non canoniques ). • Cela est possible en utilisant les règles de l’algèbre de Boole : – Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1 – Additionner à un terme avec une expression qui vaut 0 – Par la suite faire la distribution 47
  • 48. Exemple : 1. F(A, B) = A + B = A (B + B) + B( A + A) = AB + A B + AB + AB = AB + A B + AB 2. F(A, B, C) = AB + C = AB(C + C) + C( A + A) = ABC + ABC + AC + AC = ABC + ABC + AC(B + B) + AC (B + B) = ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + A BC = ABC + ABC + A BC + A B C + A B C 48
  • 49. Remarque 2 • Il existe une autre représentation des formes canoniques d’une fonction , cette représentation est appelée forme numérique. • R : pour indiquer la forme disjonctive • P : pour indiquer la forme conjonctive. Exemple : si on prend une fonction avec 3 variables R( 2,4,6) = ∑ P(0,1,3,5,7) = (2,4,6) = R( 010,100,110) = ABC + A BC + ABC ∏ (0,1,3,5,7) = P(000,001,011,101,111) = (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C ) (A + B + C ) (A + B + C) 49
  • 50. Remarque 3 : déterminer F F C B FA 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 F = A.B.C + A.B.C + A.B.C + 50 .B.C A
  • 51. Exercice 1 • Déterminer la première , la deuxième forme canonique et la fonction inverse à partir de la TV suivante ? Tracer le logigramme de la fonction ? F 0 1 1 0 B 0 1 0 1 A 0 0 1 1 51
  • 52. Exercice 2 • Faire le même travail avec la T.V suivante : S C B A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 52
  • 54. 4. Simplification des fonctions logiques • L’objectif de la simplification des fonctions logiques est de : – réduire le nombre de termes dans une fonction – et de réduire le nombre de variables dans un terme 54
  • 55. 4. Simplification des fonctions logiques • Cela afin de réduire le nombre de portes logiques utilisées  réduire le coût du circuit • Plusieurs méthodes existent pour la simplification : – La Méthode algébrique – Les Méthodes graphiques : ( ex : table de karnaugh ) – Les méthodes programmables 55
  • 56. 5. Méthode algébrique • Le principe consiste à appliquer les règles de l’algèbre de Boole afin d’éliminer des variables ou des termes. • Mais il n’y a pas une démarche bien spécifique. • Voici quelques règles les plus utilisées : A.B+ A.B= B A + A.B= A A + A.B= A + B ( A + B) ( A + B) = A A . ( A + B) = A A . ( A + B) = A . B 56
  • 57. 5.1 Règles de simplification • Règles 1 : regrouper des termes à l’aide des règles précédentes • Exemple ABC + ABC + A BCD = AB (C + C) + A BCD = AB + A BCD = A ( B + B (CD)) = A ( B + CD) = AB + ACD 57
  • 58. • Règles 2 : Rajouter un terme déjà existant à une expression • Exemple : A B C + ABC + A BC + ABC = ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + ABC = BC + AC + AB 58
  • 59. • Règles 3 : il est possible de supprimer un terme superflu ( un terme en plus ), c’est-àdire déjà inclus dans la réunion des autres termes. Exemple 1 : F(A, B, C) = A B + BC + AC = AB + BC + AC ( B + B) = AB + BC + ACB + A BC = AB ( 1 + C) + BC (1 + A) = AB + BC 59
  • 60. Exemple 2 : il existe aussi la forme conjonctive du terme superflu F(A, B, C) = (A + B) . (B + C) . (A + C) = (A + B) . (B + C) . (A + C + B.B) = (A + B) . (B + C) . (A + C + B) .(A + C + B) = (A + B) . (A + C + B) . (B + C) .(A + C + B) = (A + B) . (B + C) 60
  • 61. • Règles 4 : il est préférable de simplifier la forme canonique ayant le nombre de termes minimum. • Exemple : F ( A, B, C ) = R ( 2,3,4,5,6,7) F(A, B, C) = R( 0,1) = A . B . C + A . B . C = A . B (C + C) = A.B= A + B F(A, B, C) = F(A, B, C) = A + B = A + B 61
  • 62. Exercice Démontrer la proposition suivante : A.B + B.C + A.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B + C Donner la forme simplifiée de la fonction suivante : F ( A, B, C , D) = ABCD + A BCD + ABC D + ABC D + ABCD 62
  • 63. Simplification par la table de Karnaugh 63
  • 64. Les termes adjacents •Examinons l’expression suivante : A.B+ A.B AB + A B = A( B + B ) = A •Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬ ‫حدود‬ 64
  • 65. Exemple de termes adjacents Ces termes sont adjacents A.B + A.B = B A.B.C + A.B.C = A.C A.B.C.D + A.B.C.D = A.B.D Ces termes ne sont pas adjacents A.B + A.B A.B.C + A.B.C A.B.C.D + A.B.C.D 65
  • 66. Table de karnaugh •La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente. • Méthode graphique pour detecter tous les termes adjacents 66
  • 67. A B 1 AB C 10 0 11 01 00 0 0 1 1 Tableau à 2 variables Tableaux à 3 variables 67
  • 68. Tableau à 4 variables AB CD 10 11 01 00 00 01 11 10 68
  • 69. Tableau à 5 variables AB CD 10 11 01 AB CD 10 00 11 01 00 00 01 01 11 11 10 U=0 00 10 U= 1 69
  • 71. Exemple 1 : 3 variables AB C 10 11 01 00 0 1 1 1 1 1 1 F ( A, B, C ) = C + AB 71
  • 72. Exemple 2 : 4 variables AB CD 10 11 01 00 00 1 1 1 1 1 01 11 1 10 F ( A, B, C , D ) = C.D + A.B.C + A.B.C.D 72
  • 73. Exemple 3 : 4 variables AB CD 10 11 01 1 1 00 1 1 01 1 11 1 1 00 1 10 F ( A, B, C , D) = A B + B D + BC D 73
  • 74. Exemple 4 : 5 variables AB CD 10 11 01 AB CD 10 00 1 1 01 1 1 11 1 10 01 00 1 11 U=0 00 1 00 1 1 01 1 1 11 1 10 1 U= 1 F(A, B, C, D, U) = A B + A.B.D.U + A.C.D.U + A.B.D.U 74
  • 75. Exercice Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des deux tableaux ? AB CD 10 AB C 10 11 01 1 1 1 1 1 00 1 11 01 1 00 1 0 1 00 01 1 11 1 1 1 75 1 10
  • 76. Fonction non totalement définie ‫دالة تعريفها ناقص‬ 76
  • 77. 6.5 Cas d’une fonction non totalement définie • Examinons l’exemple suivant : Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C D. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite : S(A,B,C,D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées S(A,B,C,D)= 0 sinon Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps. •On remarque que si la clé A et D sont utilisées en même temps l’état du système n’est pas déterminé. •Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites  comment représenter ces cas dans la table de vérité ?. 77
  • 78. S D C B A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 •Les cas impossibles sont représentées 0 0 1 0 0 aussi par des X dans la table de karnaugh 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 X 1 0 0 1 1 0 1 0 1 X 1 1 0 1 1 0 0 1 1 X 1 0 1 1 1 0 1 1 1 X 1 1 78 1 1 •Pour les cas impossibles ou interdites il faut mettre un X dans la T.V . AB CD 10 11 01 00 00 1 X X 1 X X 1 01 1 1 1 1 11 10
  • 79. • Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements : – Soit les prendre comme étant des 1 – Ou les prendre comme étant des 0 • Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X AB CD 10 11 01 00 00 1 X X X X 1 1 1 01 1 1 1 11 10 AB 79
  • 84. Exercice 1 Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table suivante ? AB CD 10 11 01 X 1 1 X 00 00 1 01 1 X 1 11 X 1 X 10 84
  • 90. 7.3 NOR ( NON OU ) F(A, B) = A + B F ( A, B ) = A ↓ B 90
  • 92. 7.2 NAND ( NON ET ) F(A, B) = A . B F ( A, B ) = A ↑ B 92
  • 94. OU exclusif (XOR) F ( A, B) = A ⊕ B A ⊕ B = A.B + A.B 94
  • 96. Exercice 1 • Donner le logigramme des fonctions suivantes : F(A, B) = A.B + A.B F(A, B, C) = (A + B).(A + C).(B + C) F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C 96
  • 97. Exercice 2 : Donner l’équation de F ? 97