Le document présente un cours sur l'architecture des ordinateurs, axé sur les circuits logiques et l'algèbre de Boole. Il aborde les concepts fondamentaux tels que les fonctions logiques, les tables de vérité, les priorités des opérateurs, ainsi que les lois de l'algèbre de Boole, tout en illustrant ces notions par des exemples concrets. De plus, il traite des opérateurs universels NAND et NOR et de l'étude de fonctions logiques à travers des formes canoniques.

1. Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2
Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
1

2. Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2
Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
2

3. Plan
• Algèbre de Boole
• Portes Logiques
3

4. Algèbre de Boole
4

5. L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, ou calcul booléen,
est la partie des mathématiques, de la
logique et de l'électronique qui s'intéresse
aux opérations et aux fonctions sur les
variables logiques.
5

6. Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole
6

7. 1. Introduction
• Les machines numériques sont constituées d’un ensemble
de circuits électroniques.
• Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée (
addition, comparaison ,….).
A
Circuit
F(A,B)
B
La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le
résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction
7

8. • Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir
un modèle mathématique de la fonction réalisée
par ce circuit .
• Ce modèle doit prendre en considération le
système binaire.
• Le modèle mathématique utilisé est celui de
Boole.
8

9. 3.3. Fonction logique
• C’est une fonction qui relie N variables logiques avec
un ensemble d’opérateurs logiques de base.
• Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de
base : NON , ET , OU.
• La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0
selon les valeurs des variables logiques.
• Si une fonction logique possède N variables logiques
 2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans une table
qui s’appelle table de vérité ( TV ).
9

10. Fonction logique
V1
V2
V3
V4
V5
...
F(V1,V2,…..Vn)
Vrai
Faut
10

11. Exemple d’une fonction logique
F ( A, B, C ) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
La fonction possède 3 variables  23 combinaisons
F
C B
A
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
Une table de vérité
0
1
1
1
11

12. Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
‫أولوية العوامل‬
12

13. F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
13

14. Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
Calculer F(0,1,1)
14

15. Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
15

16. Table de vérité
• Tracer la table de vérité de F(A,B,C)
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
16

17. Solution
•Pour trouver la table de vérité , il faut trouver la valeur de la fonction F
pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C
•3 variables  2 3 = 8 combinaisons
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
F
C
B
A
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
F(1,1,0) = ( 1. 1) .(0 + 1) + 1 . 1 .0 = 0
0
0
1
1
F(1,1,1) = ( 1. 1) .(1 + 1) + 1 . 1 .1 = 0
0
1
1
1
F(0,0,0) = ( 0. 0) .(0 + 0) + 0 . 0 .0 = 0
F(0,0,1) = ( 0. 0) .(1 + 0) + 0 . 0 .1 = 1
F(0,1,0) = ( 0. 1) .(0 + 1) + 0 . 1 .0 = 1
F(0,1,1) = ( 0. 1) .(1 + 1) + 0 . 1 .1 = 1
F(1,0,0) = ( 1. 0) .(0 + 0) + 1 . 0 .0 = 0
F(1,0,1) = ( 1. 0) .(1 + 0) + 1 . 0 .1 = 1
17

18. 4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole
•L’opérateur NON
A= A
A+ A = 1
A. A = 0
18

19. •L’opérateur ET
( A.B ).C = A.( B.C ) = A.B.C
Associativité
A.B = B. A
Commutativité
A. A = A
A.1 = A
Idempotence
Elément neutre
A.0 = 0
Elément absorbant
19

20. • L’opérateur OU
( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C
A+ B = B + A
A+ A = A
Associativité
Commutativité
Idempotence
A+ 0 = A
A+ 1= 1
Elément neutre
Elément absorbant
20

21. •Distributivité
A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A . C ) Distributivité du ET sur le OU
A + ( B . C ) = (A + B).(A + C) Distributivité du OU sur le ET
•Autres relations utiles
A + ( A.B) = A
A. ( A + B) = A
(A + B) . (A + B) = A
A + A.B= A + B
21

22. 5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
• Exemple :
A + 1= 1 →
A.0 = 0
A + A = 1→
A.A = 0
‫التقابل‬
22

23. Théorème de DE-MORGANE
23

24. 6. Théorème de DE-MORGANE
•La somme logique complimentée de deux variables est
égale au produit des compléments des deux variables.
A+ B = A . B
• Le produit logique complimenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments des deux
variables.
A.B = A + B
24

25. 6.1 Généralisation du Théorème DEMORGANE à N variables
A.B.C...... = A + B + C + ..........
A + B + C + ........... = A.B.C......
‫مجوم الجتام = مجووع الوجووع‬
‫مجوم الوجووع = متام الوجووع‬
25

26. Autres opérateurs logiques
26

27. OU exclusif ( XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B
A ⊕ B = A.B + A.B
27

28. NAND ( NON ET )
F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B
28

29. NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B
29

30. 7.4 NAND et NOR sont des opérateurs
universels
• En utilisant les NAND et les NOR on peut
exprimer n’importe qu’elle expression ( fonction )
logique.
• Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de
base ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des
NOR.
30

31. 7.4.1 Réalisation des opérateurs de base
avec des NOR
A = A+ A = A↓ A
A + B = A + B = A ↓ B = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B)
A.B = A.B = A + B = A ↓ B = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B)
31

32. Exercice
• Exprimer le NON , ET , OU en utilisant
des NAND ?
32

33. 7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et
NOR
A↑ 0= 1
A↓ 0= A
A↑ 1= A
A↓ 1= 0
A↑ B = B↑ A
A↓ B = B↓ A
( A ↑ B) ↑ C ≠ A ↑ ( B ↑ C ) ( A ↓ B) ↓ C ≠ A ↓ ( B ↓ C )
33

34. Étude d’une fonction logique
34

35. Étude d’une fonction logique
•
•
•
•
•
Définition textuelle d’une fonction logique
Les entrées et les sorties
‫دراسة دالة منطقية‬
Table de vérité
،‫ تعريف‬Formes algébriques
‫ الوتاخل والوخعرج‬Simplification:
،‫- متول الحقيقة‬
– Algébrique
– Table de Karnaugh
،‫- شكل مبري‬
• Logigramme
،‫ تبسيط‬35
‫- رسم الوخطط‬

36. 1. Définition textuelle d’une fonction logique
• Généralement la définition du fonctionnement d’un
système est donnée sous un format textuelle .
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on
doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de
la description textuelle.
36

37. Exemple : définition textuelle du fonctionnement
d’un système
• Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés.
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont
utilisées.
– La serrure reste fermée dans les autres cas .
Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler
l’ouverture de la serrure ?
37

38. Si on reprend l’exemple de la serrure :
– Le système possède trois entrées : chaque entrée
représente une clé.
– On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé
1  A , la clé 2  B , la clé 3  C
• Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0
• Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0
• Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0
– Le système possède une seule sortie qui correspond à
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
– On va correspondre une variable S pour designer la sortie :
• S=1 si la serrure est ouverte ,
• S=0 si elle est fermée
38

39. S=F(A,B,C)
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
A
B
Circuit
S=F(A,B,C)
C
Remarque :
Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail
( logique positive ou négative ).
39

40. 2. Table de vérité ( Rappel )
• Si une fonction logique possède N variables
logiques  2n combinaisons  la fonction
possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans
une table qui s’appelle table de vérité.
40

41. 2. Table de vérité ( Exemple )
S
C
B
A
0
0
0
0
A + B + C : max terme
0
1
0
0
A + B + C : max terme
0
0
1
0
A + B + C : max terme
1
1
1
0
A .B.C
0
0
0
1
A + B + C : max terme
1
1
0
1
A .B.C
: min terme
1
0
1
1
1
1
1
1
A .B.C
A .B.C
: min terme
: min terme
: min terme
41

42. 2.3 Extraction de la fonction logique à partir
de la T.V
• F = somme min termes
F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
• F = produit des max termes
F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)
42

43. 3. Forme canonique d’une fonction
logique
• On appel forme canonique d’une fonction la forme ou
chaque terme de la fonction comportent toutes les
variables.
• Exemple :
F(A, B, C) = ABC + A CB + ABC
43

44. 3.1 Première forme canonique
• Première forme canonique (forme disjonctive) :
somme de produits
• C’est la somme des min termes.
F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
•Cette forme est la forme la plus utilisée.
44

45. 3.2 Deuxième forme canonique
• Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de
sommes
• Le produit des max termes
F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)
45

46. • 1ère Forme  2ème forme
46

47. Remarque 1
• On peut toujours ramener n’importe qu’elle fonction
logique à l’une des formes canoniques.
• Cela revient à rajouter les variables manquants dans les
termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les
termes non canoniques ).
• Cela est possible en utilisant les règles de l’algèbre de
Boole :
– Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1
– Additionner à un terme avec une expression qui vaut 0
– Par la suite faire la distribution
47

48. Exemple :
1. F(A, B) = A + B
= A (B + B) + B( A + A)
= AB + A B + AB + AB
= AB + A B + AB
2. F(A, B, C) = AB + C
= AB(C + C) + C( A + A)
= ABC + ABC + AC + AC
= ABC + ABC + AC(B + B) + AC (B + B)
= ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + A BC
= ABC + ABC + A BC + A B C + A B C
48

49. Remarque 2
• Il existe une autre représentation des formes canoniques
d’une fonction , cette représentation est appelée forme
numérique.
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
Exemple : si on prend une fonction avec 3 variables
R( 2,4,6) =
∑
P(0,1,3,5,7) =
(2,4,6) = R( 010,100,110) = ABC + A BC + ABC
∏
(0,1,3,5,7) = P(000,001,011,101,111)
= (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C ) (A + B + C ) (A + B + C)
49

50. Remarque 3 : déterminer F
F
C
B FA
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
F = A.B.C + A.B.C + A.B.C + 50 .B.C
A

51. Exercice 1
• Déterminer la première , la deuxième forme canonique et
la fonction inverse à partir de la TV suivante ? Tracer le
logigramme de la fonction ?
F
0
1
1
0
B
0
1
0
1
A
0
0
1
1
51

52. Exercice 2
• Faire le même travail avec la T.V suivante :
S
C
B
A
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
52

53. Simplification des fonctions logiques
53

54. 4. Simplification des fonctions logiques
• L’objectif de la simplification des fonctions
logiques est de :
– réduire le nombre de termes dans une
fonction
– et de réduire le nombre de variables dans
un terme
54

55. 4. Simplification des fonctions logiques
• Cela afin de réduire le nombre de portes
logiques utilisées  réduire le coût du circuit
• Plusieurs méthodes existent pour la
simplification :
– La Méthode algébrique
– Les Méthodes graphiques : ( ex : table de
karnaugh )
– Les méthodes programmables
55

56. 5. Méthode algébrique
• Le principe consiste à appliquer les règles de l’algèbre de
Boole afin d’éliminer des variables ou des termes.
• Mais il n’y a pas une démarche bien spécifique.
• Voici quelques règles les plus utilisées :
A.B+ A.B= B
A + A.B= A
A + A.B= A + B
( A + B) ( A + B) = A
A . ( A + B) = A
A . ( A + B) = A . B
56

57. 5.1 Règles de simplification
• Règles 1 : regrouper des termes à l’aide
des règles précédentes
• Exemple
ABC + ABC + A BCD = AB (C + C) + A BCD
= AB + A BCD
= A ( B + B (CD))
= A ( B + CD)
= AB + ACD
57

58. • Règles 2 : Rajouter un terme déjà existant à
une expression
• Exemple :
A B C + ABC + A BC + ABC =
ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + ABC =
BC +
AC
+ AB
58

59. • Règles 3 : il est possible de supprimer un
terme superflu ( un terme en plus ), c’est-àdire déjà inclus dans la réunion des autres
termes.
Exemple 1 :
F(A, B, C) = A B + BC + AC = AB + BC + AC ( B + B)
= AB + BC + ACB + A BC
= AB ( 1 + C) + BC (1 + A)
= AB + BC
59

60. Exemple 2 : il
existe aussi la forme conjonctive du terme
superflu
F(A, B, C) = (A + B) . (B + C) . (A + C)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B.B)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B) .(A + C + B)
= (A + B) . (A + C + B) . (B + C) .(A + C + B)
= (A + B) . (B + C)
60

61. • Règles 4 : il est préférable de simplifier la forme
canonique ayant le nombre de termes minimum.
• Exemple :
F ( A, B, C ) = R ( 2,3,4,5,6,7)
F(A, B, C) = R( 0,1) = A . B . C + A . B . C
= A . B (C + C)
= A.B= A + B
F(A, B, C) = F(A, B, C) = A + B = A + B
61

62. Exercice
Démontrer la proposition suivante :
A.B + B.C + A.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B + C
Donner la forme simplifiée de la fonction suivante :
F ( A, B, C , D) = ABCD + A BCD + ABC D + ABC D + ABCD
62

63. Simplification par la table
de Karnaugh
63

64. Les termes adjacents
•Examinons l’expression suivante :
A.B+ A.B
AB + A B = A( B + B ) = A
•Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬
‫حدود‬
64

65. Exemple de termes adjacents
Ces termes sont adjacents
A.B + A.B = B
A.B.C + A.B.C = A.C
A.B.C.D + A.B.C.D = A.B.D
Ces termes ne sont pas adjacents
A.B + A.B
A.B.C + A.B.C
A.B.C.D + A.B.C.D
65

66. Table de karnaugh
•La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente.
• Méthode graphique pour detecter tous les termes
adjacents
66

67. A
B 1
AB
C 10
0
11
01
00
0
0
1
1
Tableau à 2 variables
Tableaux à 3 variables
67

68. Tableau à 4 variables
AB
CD
10
11
01
00
00
01
11
10
68

69. Tableau à 5 variables
AB
CD
10
11
01
AB
CD
10
00
11
01
00
00
01
01
11
11
10
U=0
00
10
U= 1
69

70. TV => Karnaugh
S
C
B
A
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
AB
C 10
11
01
00
0
1
1
1
1
1
70

71. Exemple 1 : 3 variables
AB
C 10
11
01
00
0
1
1
1
1
1
1
F ( A, B, C ) = C + AB
71

72. Exemple 2 : 4 variables
AB
CD
10
11
01
00
00
1
1
1
1
1
01
11
1
10
F ( A, B, C , D ) = C.D + A.B.C + A.B.C.D
72

73. Exemple 3 : 4 variables
AB
CD
10
11
01
1
1
00
1
1
01
1
11
1
1
00
1
10
F ( A, B, C , D) = A B + B D + BC D
73

74. Exemple 4 : 5 variables
AB
CD
10
11
01
AB
CD
10
00
1
1
01
1
1
11
1
10
01
00
1
11
U=0
00
1
00
1
1
01
1
1
11
1
10
1
U= 1
F(A, B, C, D, U) = A B + A.B.D.U + A.C.D.U + A.B.D.U
74

75. Exercice
Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des
deux tableaux ?
AB
CD
10
AB
C 10
11
01
1
1
1
1
1
00
1
11
01
1
00
1
0
1
00
01
1
11
1
1
1
75
1
10

76. Fonction non totalement définie
‫دالة تعريفها ناقص‬
76

77. 6.5 Cas d’une fonction non totalement définie
• Examinons l’exemple suivant :
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C
D. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C,D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C,D)= 0 sinon
Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.
•On remarque que si la clé A et D sont utilisées en même temps
l’état du système n’est pas déterminé.
•Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites  comment
représenter ces cas dans la table de vérité ?.
77

78. S
D
C
B
A
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
•Les cas impossibles sont représentées
0
0
1
0
0
aussi par des X dans la table de karnaugh
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
X
1
0
0
1
1
0
1
0
1
X
1
1
0
1
1
0
0
1
1
X
1
0
1
1
1
0
1
1
1
X
1
1
78
1
1
•Pour les cas impossibles ou interdites
il faut mettre un X dans la T.V .
AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
1
X
X
1
01
1
1
1
1
11
10

79. • Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :
– Soit les prendre comme étant des 1
– Ou les prendre comme étant des 0
• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X
AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB
79

80. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD
80

81. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
1
01
1
1
11
10
AB + CD + BD
81

82. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD + BD + AC
82

83. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD + BD + AC + BC
83

84. Exercice 1
Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table
suivante ?
AB
CD
10
11
01
X
1
1
X
00
00
1
01
1
X
1
11
X
1
X
10
84

85. Circuits de Base
85

86. Inverseur (NON)
86

87. Conjonction ET (AND)
87

88. Disjonction (OU) (OR)
88

89. Circuits combinés
89

90. 7.3 NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B
90

91. Non-OU (NAND)
91

92. 7.2 NAND ( NON ET )
F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B
92

93. NON-ET (Nand)
93

94. OU exclusif (XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B
A ⊕ B = A.B + A.B
94

95. OU exclusif (XOR)
95

96. Exercice 1
• Donner le logigramme des fonctions suivantes :
F(A, B) = A.B + A.B
F(A, B, C) = (A + B).(A + C).(B + C)
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
96

97. Exercice 2 : Donner l’équation de F ?
97