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Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires
Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires
• Variables booléennes et valeurs logiques
• Fonctions booléennes
• Portes logiques
• Tables de vérité
• Simplification d’expressions booléennes
• Analyse d’un circuit combinatoire
• Conception d’un circuit combinatoire
2
Variables booléennes
• La logique booléenne est à la base des systèmes
numériques.
• Dans un système numérique, tous les signaux sont
des variables booléennes.
• Une variable booléenne peut prendre une seule de
deux valeurs: vrai ou faux.
• On peut interpréter ces deux valeurs de
différentes façons selon le contexte.
3
Valeur
logique
Équivalent
numérique
Exemple:
lampe
Exemple:
tension
Exemple:
alarme
Vrai 1 Allumée Élevée Activée
Faux 0 Éteinte Basse Désactivée
Fonctions booléennes de base NON, ET, OU: symboles et tables de vérité
• Il y a trois fonctions booléennes de base
– La négation (NON - not);
– La conjonction (ET logique - and); et,
– La disjonction (OU logique - or).
• On peut réaliser toutes les fonctions logiques à
partir de ces trois fonctions de base.
4
Fonction
Notation
algébrique
Symbole
Négation (NON, not) F = A’
Conjonction (ET, and) F = AB
Disjonction (OU, or) F = A + B
A F
A
B
F
A
B
F
A F = A’
0
1
A B F = A + B
0 0
0 1
1 0
1 1
A B F = AB
0 0
0 1
1 0
1 1
Fonctions booléennes dérivées, symboles et tables de vérité
• Plusieurs fonctions peuvent être dérivées des trois
fonctions de base, comme par exemple:
– le NON-OU (nor);
– le NON-ET (nand);
– le OU-exclusif (xor) et l’équivalence (xnor).
5
X + Y
(OU, OR)
X
Y
XY
(ET, AND)
X
Y
X + Y
(OU-exclusif, différence,
OUX, XOR)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X X
(identité)
X
(X + Y)’
(NON-OU, NOR)
(XY)’
(NON-ET, NAND)
(X + Y)’
(coïncidence,
équivalence)
X’
(inversion, NON, NOT)
XY
Y
X
Y
X
F
G
XY
Y
X
Y
X
F









'
'
'
'
'
X Y F = X xor Y
0 0
0 1
1 0
1 1
X Y F = X xnor Y
0 0
0 1
1 0
1 1
X Y F = (X + Y)’
0 0
0 1
1 0
1 1
X Y F = (XY)’
0 0
0 1
1 0
1 1
Différentes portes logiques
6
X’ + Y
X
Y
X’ + Y’
X
Y
X
Y
X
Y
(X’Y)’
(X’Y’)’
A
B
ABCD
C
D
A
B A+B+C
C
A
B (A+B+C)'
C
A
B (ABC)'
C
• On peut ajouter une bulle aux entrées et aux
sorties de portes logiques.
• Une bulle sur un port d’entrée ou de sortie signifie
la négation du signal correspondant, comme si on
ajoutait une porte NON.
• Toutes les portes logiques sauf la négation et
l’identité peuvent avoir plus de deux entrées.
Tables de vérité
• Une table de vérité (truth table) énumère toutes
les combinaisons d’entrées d’une fonction et
donne la valeur de la fonction pour chacune des
entrées.
• Une fonction à n entrées a une table de vérité
comportant 2n rangées.
• Par convention, on place les combinaisons
d’entrées dans un ordre binaire croissant.
• Une table de vérité peut avoir plusieurs colonnes
pour des fonctions de sortie.
7
A F(A)
0 1
1 1
A B C G(A, B, C)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
A B H(A, B)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Remplir une table de vérité à partir d’une équation booléenne
• Remplir une table de vérité à partir d’une équation
booléenne revient à identifier pour quelles
combinaisons d’entrée la valeur de la sortie est
vraie (1) ou fausse (0).
• Le processus dépend de la formulation de
l’équation booléenne:
– Si l’équation est formulée en sommes de produits,
chaque produit correspond à un cas où la fonction
peut être vraie.
– Si l’équation est formulée en produits de sommes,
chaque somme correspond à un cas où la fonction
peut être fausse.
– Pour les formulations hybrides, il faut se
débrouiller!
8
A B C F
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Somme de produits
F = A’ + AC’ + BC + AB
A B C G
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Produits de sommes
G = (A + B’)(B + C)(A + C’)
Donner une équation booléenne correspondant à une table de vérité
• Il est relativement facile de lire une équation
booléenne non réduite à partir d’une table de
vérité.
• Pour obtenir la somme de produits:
– On énumère les termes de la fonction qui
correspondent à une valeur de 1 de celle-ci.
– Chaque terme est composé d’un produit (ET
logique) de chaque variable de la fonction.
– Une variable ayant la valeur 0 dans la rangée
correspondante est complémentée.
• L’expansion en produit de sommes est similaire.
9
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
Somme de produits
F = A’B’C’+A’B’C+ABC’
Simplification d’expressions booléennes
10
La simplification d’une expression booléenne a pour
but d’éliminer la redondance qu’elle renferme.
Les trois méthodes les plus usitées sont:
1. L’application de règles et théorèmes
d’algèbre booléenne.
2. L’utilisation de tables de Karnaugh.
3. L’utilisation de la méthode tabulaire
de Quine-McCLuskey.
1
A
B 0 1
0
1
0 2
1 3
F(A, B)
1
1
0
F = B’ + A
F = A’B’ + AB’ + AB
= A’B’ + AB’ + AB’ + AB
= (A’ + A)B’ + A(B’ + B)
= B’ + A
Analyse d’un circuit logique combinatoire
11
Étant donné un circuit combinatoire, donner la
fonction logique et la table de vérité de ses sorties.
Étapes d’analyse
1. Identifier les entrées et les sorties.
2. Identifier les signaux intermédiaires.
3. Écrire les équations booléennes des signaux
intermédiaires et des sorties.
4. Dresser et remplir la table de vérité.
X
Y
Cin
S
Cout
T1
T2
T3
X Y Cin T1 T2 T3 S Cout
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Conception d’un circuit logique combinatoire
12
Étant donné la spécification d’un système
combinatoire, donner un circuit logique
correspondant.
Étapes de conception
1. Identifier les entrées et les sorties
2. Composer la table de vérité
3. Écrire les équations booléennes des sorties
4. (Réduire les équations booléennes)
5. Donner le circuit correspondant
Exemple
Une lampe doit s’allumer quand la clé est dans le
contact et que la ceinture de sécurité n’est pas
attachée.
1. Entrées: clé, ceinture. Sortie: Lampe.
2. clé ceinture lampe
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
3. Lampe = clé ET ceinture’
Exemple de conception: le problème du vote
Un comité composé de quatre personnes a besoin
d’un mécanisme de vote secret pour les
amendements sur la constitution du comité.
Un amendement est approuvé si au moins 3
personnes votent pour.
Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées
représentant les votes. La sortie du circuit doit
indiquer si l’amendement est accepté.
Étapes de design
1. Identifier les entrées et les sorties
2. Composer la table de vérité
3. Écrire les équations booléennes des sorties
4. (Réduire les équations booléennes)
5. Donner le circuit correspondant
13
Exemple de conception : le problème du vote
Un comité composé de quatre personnes a besoin
d’un mécanisme de vote secret pour les
amendements sur la constitution du comité.
Un amendement est approuvé si au moins 3
personnes votent pour.
Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées
représentant les votes. La sortie du circuit doit
indiquer si l’amendement est accepté.
Étapes de design
1. Identifier les entrées et les sorties
14
Choisissons
A, B, C, D pour les entrées
F pour la sortie
Exemple de conception : le problème du vote
Un comité composé de quatre personnes a besoin
d’un mécanisme de vote secret pour les
amendements sur la constitution du comité.
Un amendement est approuvé si au moins 3
personnes votent pour.
Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées
représentant les votes. La sortie du circuit doit
indiquer si l’amendement est accepté.
Étapes de design
2. Composer la table de vérité
15
A B C D F
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Exemple de conception : le problème du vote
Un comité composé de quatre personnes a besoin
d’un mécanisme de vote secret pour les
amendements sur la constitution du comité.
Un amendement est approuvé si au moins 3
personnes votent pour.
Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées
représentant les votes. La sortie du circuit doit
indiquer si l’amendement est accepté.
Étapes de design
3. Écrire les équations booléennes des sorties
16
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
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0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
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1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Exemple de conception : le problème du vote
Un comité composé de quatre personnes a besoin
d’un mécanisme de vote secret pour les
amendements sur la constitution du comité.
Un amendement est approuvé si au moins 3
personnes votent pour.
Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées
représentant les votes. La sortie du circuit doit
indiquer si l’amendement est accepté.
Étapes de design
4. Réduire les équations booléennes
5. Donner le circuit correspondant
17
ABC
ABD
ACD
BCD
ABC
ABD
ACD
BCD
D
D
ABC
C
C
ABD
B
B
ACD
A
A
BCD
ABCD
ABCD
ABCD
D
ABC
ABCD
CD
AB
ABCD
BCD
A
ABCD
ABCD
D
ABC
CD
AB
BCD
A
F





























)
1
(
)
1
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)
1
(
)
1
(
)
'
(
)
'
(
)
'
(
)
'
(
'
'
'
'
'
'
'
'
Équivalence entre la table de vérité, l’équation booléenne et le circuit logique
18
ABC
ABD
ACD
BCD
ABC
ABD
ACD
BCD
D
D
ABC
C
C
ABD
B
B
ACD
A
A
BCD
ABCD
ABCD
ABCD
D
ABC
ABCD
CD
AB
ABCD
BCD
A
ABCD
ABCD
D
ABC
CD
AB
BCD
A
F





























)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
'
(
)
'
(
)
'
(
)
'
(
'
'
'
'
'
'
'
'
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires
• Variables booléennes et valeurs logiques
• Fonctions booléennes
• Portes logiques
• Tables de vérité
• Analyse d’un circuit combinatoire
• Conception d’un circuit combinatoire
19
Exercices d’analyse d’un circuit logique combinatoire
20
Donner la table de vérité et l’équation booléenne
correspondant aux circuits suivants.
A
B
C
D
F3
A
B
C
D
F9
E
A
B
C
D
F5
A
B
C
F1

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  • 1. Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires
  • 2. Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires • Variables booléennes et valeurs logiques • Fonctions booléennes • Portes logiques • Tables de vérité • Simplification d’expressions booléennes • Analyse d’un circuit combinatoire • Conception d’un circuit combinatoire 2
  • 3. Variables booléennes • La logique booléenne est à la base des systèmes numériques. • Dans un système numérique, tous les signaux sont des variables booléennes. • Une variable booléenne peut prendre une seule de deux valeurs: vrai ou faux. • On peut interpréter ces deux valeurs de différentes façons selon le contexte. 3 Valeur logique Équivalent numérique Exemple: lampe Exemple: tension Exemple: alarme Vrai 1 Allumée Élevée Activée Faux 0 Éteinte Basse Désactivée
  • 4. Fonctions booléennes de base NON, ET, OU: symboles et tables de vérité • Il y a trois fonctions booléennes de base – La négation (NON - not); – La conjonction (ET logique - and); et, – La disjonction (OU logique - or). • On peut réaliser toutes les fonctions logiques à partir de ces trois fonctions de base. 4 Fonction Notation algébrique Symbole Négation (NON, not) F = A’ Conjonction (ET, and) F = AB Disjonction (OU, or) F = A + B A F A B F A B F A F = A’ 0 1 A B F = A + B 0 0 0 1 1 0 1 1 A B F = AB 0 0 0 1 1 0 1 1
  • 5. Fonctions booléennes dérivées, symboles et tables de vérité • Plusieurs fonctions peuvent être dérivées des trois fonctions de base, comme par exemple: – le NON-OU (nor); – le NON-ET (nand); – le OU-exclusif (xor) et l’équivalence (xnor). 5 X + Y (OU, OR) X Y XY (ET, AND) X Y X + Y (OU-exclusif, différence, OUX, XOR) X Y X Y X Y X Y X X (identité) X (X + Y)’ (NON-OU, NOR) (XY)’ (NON-ET, NAND) (X + Y)’ (coïncidence, équivalence) X’ (inversion, NON, NOT) XY Y X Y X F G XY Y X Y X F          ' ' ' ' ' X Y F = X xor Y 0 0 0 1 1 0 1 1 X Y F = X xnor Y 0 0 0 1 1 0 1 1 X Y F = (X + Y)’ 0 0 0 1 1 0 1 1 X Y F = (XY)’ 0 0 0 1 1 0 1 1
  • 6. Différentes portes logiques 6 X’ + Y X Y X’ + Y’ X Y X Y X Y (X’Y)’ (X’Y’)’ A B ABCD C D A B A+B+C C A B (A+B+C)' C A B (ABC)' C • On peut ajouter une bulle aux entrées et aux sorties de portes logiques. • Une bulle sur un port d’entrée ou de sortie signifie la négation du signal correspondant, comme si on ajoutait une porte NON. • Toutes les portes logiques sauf la négation et l’identité peuvent avoir plus de deux entrées.
  • 7. Tables de vérité • Une table de vérité (truth table) énumère toutes les combinaisons d’entrées d’une fonction et donne la valeur de la fonction pour chacune des entrées. • Une fonction à n entrées a une table de vérité comportant 2n rangées. • Par convention, on place les combinaisons d’entrées dans un ordre binaire croissant. • Une table de vérité peut avoir plusieurs colonnes pour des fonctions de sortie. 7 A F(A) 0 1 1 1 A B C G(A, B, C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 A B H(A, B) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
  • 8. Remplir une table de vérité à partir d’une équation booléenne • Remplir une table de vérité à partir d’une équation booléenne revient à identifier pour quelles combinaisons d’entrée la valeur de la sortie est vraie (1) ou fausse (0). • Le processus dépend de la formulation de l’équation booléenne: – Si l’équation est formulée en sommes de produits, chaque produit correspond à un cas où la fonction peut être vraie. – Si l’équation est formulée en produits de sommes, chaque somme correspond à un cas où la fonction peut être fausse. – Pour les formulations hybrides, il faut se débrouiller! 8 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Somme de produits F = A’ + AC’ + BC + AB A B C G 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Produits de sommes G = (A + B’)(B + C)(A + C’)
  • 9. Donner une équation booléenne correspondant à une table de vérité • Il est relativement facile de lire une équation booléenne non réduite à partir d’une table de vérité. • Pour obtenir la somme de produits: – On énumère les termes de la fonction qui correspondent à une valeur de 1 de celle-ci. – Chaque terme est composé d’un produit (ET logique) de chaque variable de la fonction. – Une variable ayant la valeur 0 dans la rangée correspondante est complémentée. • L’expansion en produit de sommes est similaire. 9 A B C F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Somme de produits F = A’B’C’+A’B’C+ABC’
  • 10. Simplification d’expressions booléennes 10 La simplification d’une expression booléenne a pour but d’éliminer la redondance qu’elle renferme. Les trois méthodes les plus usitées sont: 1. L’application de règles et théorèmes d’algèbre booléenne. 2. L’utilisation de tables de Karnaugh. 3. L’utilisation de la méthode tabulaire de Quine-McCLuskey. 1 A B 0 1 0 1 0 2 1 3 F(A, B) 1 1 0 F = B’ + A F = A’B’ + AB’ + AB = A’B’ + AB’ + AB’ + AB = (A’ + A)B’ + A(B’ + B) = B’ + A
  • 11. Analyse d’un circuit logique combinatoire 11 Étant donné un circuit combinatoire, donner la fonction logique et la table de vérité de ses sorties. Étapes d’analyse 1. Identifier les entrées et les sorties. 2. Identifier les signaux intermédiaires. 3. Écrire les équations booléennes des signaux intermédiaires et des sorties. 4. Dresser et remplir la table de vérité. X Y Cin S Cout T1 T2 T3 X Y Cin T1 T2 T3 S Cout 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  • 12. Conception d’un circuit logique combinatoire 12 Étant donné la spécification d’un système combinatoire, donner un circuit logique correspondant. Étapes de conception 1. Identifier les entrées et les sorties 2. Composer la table de vérité 3. Écrire les équations booléennes des sorties 4. (Réduire les équations booléennes) 5. Donner le circuit correspondant Exemple Une lampe doit s’allumer quand la clé est dans le contact et que la ceinture de sécurité n’est pas attachée. 1. Entrées: clé, ceinture. Sortie: Lampe. 2. clé ceinture lampe 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 3. Lampe = clé ET ceinture’
  • 13. Exemple de conception: le problème du vote Un comité composé de quatre personnes a besoin d’un mécanisme de vote secret pour les amendements sur la constitution du comité. Un amendement est approuvé si au moins 3 personnes votent pour. Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées représentant les votes. La sortie du circuit doit indiquer si l’amendement est accepté. Étapes de design 1. Identifier les entrées et les sorties 2. Composer la table de vérité 3. Écrire les équations booléennes des sorties 4. (Réduire les équations booléennes) 5. Donner le circuit correspondant 13
  • 14. Exemple de conception : le problème du vote Un comité composé de quatre personnes a besoin d’un mécanisme de vote secret pour les amendements sur la constitution du comité. Un amendement est approuvé si au moins 3 personnes votent pour. Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées représentant les votes. La sortie du circuit doit indiquer si l’amendement est accepté. Étapes de design 1. Identifier les entrées et les sorties 14 Choisissons A, B, C, D pour les entrées F pour la sortie
  • 15. Exemple de conception : le problème du vote Un comité composé de quatre personnes a besoin d’un mécanisme de vote secret pour les amendements sur la constitution du comité. Un amendement est approuvé si au moins 3 personnes votent pour. Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées représentant les votes. La sortie du circuit doit indiquer si l’amendement est accepté. Étapes de design 2. Composer la table de vérité 15 A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
  • 16. Exemple de conception : le problème du vote Un comité composé de quatre personnes a besoin d’un mécanisme de vote secret pour les amendements sur la constitution du comité. Un amendement est approuvé si au moins 3 personnes votent pour. Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées représentant les votes. La sortie du circuit doit indiquer si l’amendement est accepté. Étapes de design 3. Écrire les équations booléennes des sorties 16 A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
  • 17. Exemple de conception : le problème du vote Un comité composé de quatre personnes a besoin d’un mécanisme de vote secret pour les amendements sur la constitution du comité. Un amendement est approuvé si au moins 3 personnes votent pour. Concevoir un circuit logique qui accepte 4 entrées représentant les votes. La sortie du circuit doit indiquer si l’amendement est accepté. Étapes de design 4. Réduire les équations booléennes 5. Donner le circuit correspondant 17 ABC ABD ACD BCD ABC ABD ACD BCD D D ABC C C ABD B B ACD A A BCD ABCD ABCD ABCD D ABC ABCD CD AB ABCD BCD A ABCD ABCD D ABC CD AB BCD A F                              ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ' ' ' ' ' ' '
  • 18. Équivalence entre la table de vérité, l’équation booléenne et le circuit logique 18 ABC ABD ACD BCD ABC ABD ACD BCD D D ABC C C ABD B B ACD A A BCD ABCD ABCD ABCD D ABC ABCD CD AB ABCD BCD A ABCD ABCD D ABC CD AB BCD A F                              ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ' ' ' ' ' ' ' ' A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
  • 19. Rappel - analyse et synthèse de fonctions combinatoires • Variables booléennes et valeurs logiques • Fonctions booléennes • Portes logiques • Tables de vérité • Analyse d’un circuit combinatoire • Conception d’un circuit combinatoire 19
  • 20. Exercices d’analyse d’un circuit logique combinatoire 20 Donner la table de vérité et l’équation booléenne correspondant aux circuits suivants. A B C D F3 A B C D F9 E A B C D F5 A B C F1