Le document traite de la modélisation d'un système composé d'un pendule et d'un chariot, nécessitant une représentation d'état pour contrôler la position et l'angle du pendule. Il aborde les concepts d'observabilité et propose des calculs pour déterminer une fonction de transfert ainsi qu'un correcteur de retour d'état pour stabiliser le système. Les équations différentielles sont fournies pour le comportement dynamique du système, en tenant compte des approximations pour les petits angles.

1. TD SA 11
Repr´esentation d’´etat d’un pendule
TD `a rendre pour le
17 D´ecembre 2004
1 Chariot et pendule
Un pendule est accroch´e `a un chariot. On veut asservir la position du
chariot et r´eguler l’angle du pendule. Ce syst`eme est mis en mouvement
par un moteur pouvant d´eplacer le chariot. Pour simplifier, la commande
sera la force F horizontale appliqu´ee au chariot. Les ´equations m´ecaniques
donnant l’´evolution de la position x du chariot et de l’angle θ du pendule
sont non lin´eaires. Si l’angle du pendule est petit, ces ´equations se lin´earisent
et donnent :
mc ¨x = −mpgθ + F (1)
mclp
¨θ = −(mc + mp)gθ + F (2)
o`u :
– mp = 100g est la masse du pendule
– mc = 200g est la masse du chariot
– g = 10ms−2
est l’acc´el´eration dˆue `a l’attraction terrestre
– lp = 50cm est la demi-longueur du pendule
1.1 Repr´esentation d’´etat
Donner une repr´esentation d’´etat de ce syst`eme qui a une entr´ee : la force
F appliqu´ee au chariot et deux sorties : la position x et l’angle θ. On choisira
d’utiliser les variables physiques. Les deux premi`eres variables d’´etat devront
ˆetre x et θ. Donner l’ordre de ce syst`eme.
1

2. q
F
x
Fig. 1 – Chariot muni d’un pendule
1.2 Observabilit´e
On appelle matrice d’observabilit´e d’un syst`eme la matrice form´ee par les
vecteurs ou matrices C, C.A, C.A2
, . . . , C.An−1
. Le rang de cette matrice
permet de savoir quelles sont les variables d’´etat que l’on pourra calculer `a
partir de la mesure de la sortie. Quel est le rang de la matrice d’observabilit´e
pour notre syst`eme? Et si la sortie est l’angle θ seulement, est-ce que le rang
de la matrice d’observabilit´e change?
1.3 Syst`eme r´eduit
Pour la suite, on ne s’int´eresse `a l’angle θ du syst`eme. On n’utilisera
alors que les variables d’´etat n´ecessaires. Calculer la fonction de transfert
du syst`eme entre la sortie θ et l’entr´ee F `a partir de l’´equation diff´erentielle
(2) du syst`eme. En d´eduire une repr´esentation d’´etat. Quel est l’ordre de ce
syst`eme?
1.4 Retour d’´etat
Proposer un correcteur `a retour d’´etat qui stabilise le syst`eme en choisis-
sant comme fonction de transfert en BF
T(p) =
10
(p + 3)(p + 10)
2