1. Université Ziane Achour de Djelfa
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département : Mathématiques et Informatique
Examen de : Analyse Complexe
Durée : 1H et 30 min
2eme
année LMD Mathématiques
Année Universitaire : 2013-2014
Exercice 1 : ( 6 points)
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
X
n 1
1 +
1
n
n2
zn
;
X
n 0
(2n)!
(n!)2 zn
;
X
n 1
2
1
n + 3
1
n
2
!n2
zn
;
X
n 0
Z 1
0
(1 t2
)n
dt zn
Exercice 2 : (10 points)
a) On considère la série entière suivante
X
n 0
anzn
;
où les an sont dé…nis par :
a0 = 1; a1 = 3; et 8n 2; an = 3an 1 2an 2
1) Montrer que le rayon de convergence de cette série est supérieur ou égal à
1
4
:
2) Montrer que 8z 2 C, jzj < R
f (z) =
1
2z2 3z + 1
3) En déduire la valeur de R, ainsi que l’expression an de en fonction de n.
b) Soit U un ouvert connexe de C, g une fonction holomorphe sur U, F 2 C1
(R; R),
telle que
8z 2 U Re(g(z)) = F(Im(g(z))
Que peut-on dire de g ?
Exercice 3 : (4 points)
Soit g la fonction z 7! g (z) = zf (z). Prouver :
g = 2
@f
@x
+ 2i
@f
@y
+ (x + iy) f
Prouver que f est holomorphe sur U si et seulement si à la fois f et g = zf sont des fonctions
harmoniques sur U.
