Travaux d'Intiative Personelle Encadrés (TIPE) CNC 2016 -MP
Etude Dynamique d'une Structure de batiment : Cas d'effet Sismique
Fait par : El Bahlouli Moad
Travaux d'Intiative Personelle Encadrés (TIPE) CNC 2016 -MP
1. Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE)
Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la
Formation des Cadres
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Réalisé par :
EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP
Encadré par :
Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)
2. Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Structures : Organisation, Complexité, Dynamique
EffortsDynamiqueslatérales?
DegrésdeLibertés?
8. Introduction et mise en situation
8
L’augmentation d’une unité correspond à une énergie sismique multipliée par 10
Echelle de Richter
Il s’agit d’une échelle ouverte qui, à ce jour, ne comprend que 9 degrés.
MAGNITUDE SUR
L’ÉCHELLE DE RICHTER
EFFETS DU TREMBLEMENT DE TERRE
Moins de 3,5 Le séisme est non ressenti, mais enregistré par les sismographes.
De 3,5 à 5,4 Il est souvent ressenti, mais sans dommage.
De 5,4 à 6
Légers dommages aux bâtiments bien construits, mais peut causer
des dommages majeurs à d’autres bâtisses.
De 6,1 à 6,9 Peut être destructeur dans une zone de 100 km à la ronde.
De 7 à 7,9
Tremblement de terre majeur. Il peut causer de sérieux dommages
sur une large surface.
Au-dessus de 8
C’est un très grand séisme pouvant causer de très grands
dommages dans des zones de plusieurs centaines de kilomètres.
9. Introduction et mise en situation
9
Tremblement de Terre « El Centro », Californie, Etats-Unis, 1940
Magnitude : 6,3
Echelle Mercalli : X (extrême)
Profondeur : 16 km
Dommages matériels : 6 M$
(80% des bâtiments détruits)
Dommages humains : 9 morts
20 blessés
10. Introduction et mise en situation
10
Tremblement de Terre Al Hoceima, Maroc, 2004
11. Introduction et mise en situation
11
Déformation
horizontale
Force d’inertie
sismique
résultante
Déformation
horizontale
Force sismique
principale
12. Problématique
12
Détermination du
Comportement Dynamique
Etude Physique et
Mathématique
Structure de
Bâtiment face à une
charge sismique
Système à
plusieurs degrés
de libertés
Formulation
mathématique
Résolution d’une
équation complexe
Enseignements
à tirer
Programmation
Numérique Excel
TIPE
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s (t)
13. Objectifs visés et démarche adoptée
2-
Catalyseur
historique
Avoir survécu un
évènement sismique
de Rabat en 2001
(3,1 Mw)
3-
Programmation
Appliquée InG.
Outils de calcul / de
simulation par
Excel
1-
Enrichissement
Technique
Tendance pour la
compréhension de
la résistance
parasismique des
bâtiments
Motivations
13
14. AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Equation de
Mouvement
Valeurs Propres Intégrale de Duhamel[⍂] ∫
15. AXE 1 : REPONSE
DYNAMIQUE SISMIQUE
D’UN BATIMENT
Equation de
Mouvement
Valeurs Propres Intégrale de Duhamel[⍂] ∫
17. Equation de Mouvement
y2
y1
c2
c1
c2
c1
s2 (t)
s1 (t)
k2/2 k2/2
k1/2 k1/2
s2 (t)
s1 (t)
fI2
fI1
f(i)e2/2f(i)e2/2
f(i)d2/2
f(i)e1/2f(i)e1/2
f(i)d1/2
f(s)e1/2f(s)e1/2
f(s)d1/2
17
Equation de Mouvement Couplée ?
2
1
2
1
I .
0
0
.f
y
y
m
m
YM
)(fff edI tSEquation Matricielle
2
1
22
221
d ..f
y
y
cc
ccc
YC
2
1
22
221
e ..f
y
y
kk
kkk
YK
avec :
)(... tSYKYCYM
)(
)(
S(t)
2
1
ts
ts
[⍂] ∫
s (t)
18. Equation de Mouvement
18
Accélérogramme du Séisme
)(.)( tyMtS g
Historique de l’accélération
du sol due au tremblement
de terre
)(.
)(.
)(
)(
S(t)
2
1
2
1
tym
tym
ts
ts
g
g
[⍂] ∫
19. Valeurs Propres [⍂] ∫
19
Pulsations propres et Modes propres : K.ϕ = λ.ϕ
Les structures sont considérées comme soumises à un faible taux d'amortissement.
► De ce fait, l'on peut obtenir les pulsations propres ωj par l'équation caractéristique :
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
0.. YKYM Equation de Mouvement Matriciel devient :
.. 2
MK j
0det 2
MK j
)(.)( tfty
0..2
jj MK Pour chaque mode propre j :
Pulsations propres de vibration
Modes propres de vibration
20. Valeurs Propres[⍂]
20
Vers des Equations de Mouvement Découplées !
► Changement de variable :
)(.)(.)(.2)( 2
ty
m
tututu g
i
i
iiiiii
)(.)( tUtY
Equations découplées
)(.... tyMYKYCYM g
T
)(.... tyMUKUCUM g
TTTT
M C K
i
T
ii Mm
)(.)(. tytyMs gig
T
ii
MT
ii .
Avec :
où :
► Masse et chargement généralisés
relatifs à chaque mode
► Réponse modale pour les systèmes
peu amortis
dteytD i
t
t
g
i
i
ii
).(sin.
1
)( ).(.
0
)(.)( tD
m
tu i
i
i
i
avec :
► Réponse dynamique totale de la
structure (vecteur des déplacements) )(..)(.)( tD
m
tuty i
i
i
iiii
)(..)(.)( tD
m
tUtY i
i
i
et :
∫
21. Intégrale de Duhamel [⍂] ∫
21
Résolution Numérique par la méthode des Trapèzes
)(tp
)(tD
ttBttAtD
dtep
m
tD
DD
D
t
t
D
cos)(sin)()(
).(sin.
1
)( ).(.
0
► Force de Réponse Impulsionnelle (FRI) ► Intégrale de Duhamel
dep
m
tB D
t
t
D
.sin.
1
)( ).(.
0
dep
m
tA D
t
t
D
.cos.
1
)( ).(.
0
► Evaluation Numérique incrémentale
nn
D
nn pep
m
eAA
..
1
..
1 .
2
.
nDnn tpp cos.
nn
D
nn pep
m
eBB
..
1
..
1 .
2
.
nDnn tpp sin.
22. AXE 2 : Etude de Cas Pratique
Bâtiment à 2 étages avec une
accélération sismique d’El Centro
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel
23. AXE 2 : Etude de Cas Pratique
Bâtiment à 2 étages avec une
accélération sismique d’El Centro
Calcul Matriciel Manuel
d’un Bâtiment à 2 étages
Simulation Numérique
par Excel
24. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Données
tkgm 2000020 * Masse de chaque étage :
mNk /10.18 6
* Rigidité latérale totale par étage :
%2c* Amortissement totale par étage :
Etape 1 : Modélisation de la structure
Etape 2 : Mise en Equation Matricielle
Modèle de masse concentrée et rigidités équivalente des poteaux
y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
m
mNk
kk
kkk
K /
11
12
10.18
11
12
. 6
22
221
* Matrice de masse :
* Matrice de rigidité :
kg
m
m
M
10
01
10.20
0
0 3
2
1
11
12
10.2
11
12
. 2
22
221
c
cc
ccc
C* Matrice d’amortissement :
s (t)
24
25. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
mEtape 3 : Détermination des pulsations propres de vibration
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
)(... tSYKYCYM
)(
)(
.
11
12
10.18.
11
12
10.2.
10
01
10.20
2
1
2
16
2
12
2
13
ts
ts
y
y
y
y
y
y
* Equation de Mouvement Matriciel :
0.. YKYM Equation de Mouvement Matriciel devient :
.. 2
MK
0
10.18
10.20
11
1
10.18
10.20
2
10.18det
2
6
3
2
6
3
62
MK
> Déterminant de l’équation caractéristique pour la détermination des valeurs propres / naturelles
900/:
013
2
2
xavec
xx
srad
srad
/54,48
/54,18
2
1
s (t)
25
26. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
0.. YKYM Equation de Mouvement Matriciel devient :
0..2
jj MK
> Pour chaque valeur propre naturelle de fréquence :
;/76941,343: 2
1 sradpour
Pour chaque mode propre j :
:1: 21 fixantenet
0
1
.
38197,011
138197,02 11
61803,011
;/23059,2356: 2
2 sradpourmêmede :1: 22 fixantenet
0
1
.
61803,211
161803,22 12
61803,112
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
26
27. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
Etape 4 : Détermination des modes propres de vibration
s (t)
≡ Cas d’une structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
618,011
000,121
1er mode propre
de vibration
618,112
000,122
2ème mode propre
de vibration
00000,100000,1
61803,161803,0
21
y2
27
28. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
000,1000,1
618,1618,0
21
7,723600
03,27639
MM
T
Hypothèses pour conditions initiales : smyetmy /
0
0
)0(
02,0
02,0
)0(
Valeurs modales associés aux conditions initiales : ;/0)0( smui
i
T
i
i
m
yM
uet
)0(..
)0(
mudonc 023416,0
3,27639
02,0
02,0
.
200000
020000
.000,1618,0
)0(1
muet 003416,0
7,72360
02,0
02,0
.
200000
020000
.000,1618,1
)0(2
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
28
29. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
Réponse dynamique d’un système en un seul degré de liberté :
tut
u
tu iii
i
i
i
cos).0(sin.
)0(
)(
mm
t
t
tu
tu
2
1
2
1
cos.416,3
cos.416,23
)(
)(
Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
)(.)( tutY
mm
tt
tt
t
t
tY
i
i
21
21
cos.416,3cos.416,23
cos.527,5cos.471,14
cos.416,3
cos.416,23
.
000,1000,1
618,1618,0
)(
srad
srad
avec
/54,48
/54,18
:
2
1
29
30. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 1er Cas : Structure de bâtiment non amortie sous régime libre de vibration
Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
mm
tt
tt
tY
21
21
cos.416,3cos.416,23
cos.527,5cos.471,14
)(
srad
srad
avec
/54,48
/54,18
:
2
1
mmty 20)0(2
mmty 20)0(1
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
Déplacementyi(mm)
Temps t(s)
Réponse dynamique de chaque étage de la structure
y1 (mm)
y2 (mm)
30
31. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Accélérogramme du séisme d’El Centro :
gyg .348,0max
)(.)( tyMtS g
Historique de l’accélération du sol due
au tremblement de terre d’El Centro
31
32. Calcul Matriciel Manuel d’un Bâtiment à 2 étages
y1
c
c
s2 (t)
s1 (t)
k/2 k/2
k/2 k/2
m
s (t)
y2
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Utilisation de la méthode de la superposition modale :
Facteurs de participation modale :
95,45
64,194
10
01
10.20
37175,060150,0
60150,037175,0
10ˆ 32
2
1
M
T
mtDtDtD
ty
ty
)(.
17076,1
72357,0
)(.64,194
60150,0
37175,0
10)(..ˆ
)(
)(
11
2
111
21
11
Mode 1 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
mtDtDtD
ty
ty
)(.
17082,0
27639,0
)(.95,45
37175,0
60150,0
10)(..ˆ
)(
)(
22
2
222
22
12
Mode 2 : Déplacements des degré de liberté 1 et 2
Réponse dynamique de notre système à plusieurs degrés de liberté :
)(.)( tyMtS g
32
33. Simulation Numérique par Excel
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
Calcul de l’Intégrale de Duhamel :
dteytD i
t
t
g
i
i
ii
).(sin.
1
)( ).(.
0
Evaluation numérique par la
méthode des Trapèzes
33
-6.000E-03
-4.000E-03
-2.000E-03
0.000E+00
2.000E-03
4.000E-03
6.000E-03
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
D1(T)
TEMPS T(S)
MODE 1 : INTÉGRALE DE DUHAMEL
D1(T)
D1(t)
34. Simulation Numérique par Excel
Etape 5 : Détermination de la réponse dynamique totale de la structure
> 2ème Cas : Structure de bâtiment amortie sous régime forcé de vibration
-6.000E-06
-4.000E-06
-2.000E-06
0.000E+00
2.000E-06
4.000E-06
6.000E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacementstotaux(mm)
Temps t(s)
Mode 1 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y11(t)
y21(t)
-1.500E-06
-1.000E-06
-5.000E-07
0.000E+00
5.000E-07
1.000E-06
1.500E-06
0
0.075
0.15
0.225
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
0.75
0.825
0.9
0.975
1.05
1.125
1.2
1.275
1.35
1.425
1.5
1.575
1.65
1.725
1.8
1.875
1.95
Déplacementstotaux(mm)
Temps t(s)
Mode 2 : Réponse Dynamique Totale de la Structure
y12(t)
y22(t)
34
36. Travaux d’Initiative Personnelle Encadrés (TIPE)
Thème : Structures – Organisation, Complexité, Dynamique
ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de la
Formation des Cadres
Etude Dynamique d’une Structure de Bâtiment :
Cas d’Effet Sismique
Réalisé par :
EL BAHLOULI Moad Etudiant en 2ème Année CPGE - MP
Encadré par :
Pr. BOUSTANI Lhoussaine Professeur de Physique-Chimie (CPGE)
