CH2 MQ : EVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE LIBRE

CH2 : EVOLUTION D’UNE PARTICULE
QUANTIQUE LIBRE
INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX
MP2 – A.U : 2020/2021

Ali BEN MOUSSA
CH 2 : EVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE LIBRE
I. EQUATION DE SCHRÖDINGER POUR UNE PARTICULE QUANTIQUE LIBRE
On appelle particule quantique libre toute particule qui évolue sans interaction avec le milieu
extérieur.
L’énergie potentielle d’une particule quantique libre est nulle (V = 0). par conséquent, son
énergie mécanique se réduit à son énergie cinétique.
L’évolution de la fonction d’onde d’une particule quantique libre est donnée par l’équation de
Schrödinger où V(x) = 0 :
   
  
 
 
2
2
2
x,t x,t
i
t 2m x

Ali BEN MOUSSA
II. ÉQUATION DE SCHRÖDINGER INDÉPENDANTE DU TEMPS
II.1. Définition d’un état stationnaire
Un système quantique se trouve dans un état stationnaire si et seulement si la fonction d’onde
qui le décrit peut se mettre sous la forme d’un produit de deux fonctions à variables
indépendantes x et t :
     
f
  
x,t x . t où  et f sont à priori complexe

Ali BEN MOUSSA
II.2. Fonction d’onde associée à un état stationnaire
Soit une particule quantique dans un état stationnaire. La fonction d’onde qui décrit
l’évolution de cette particule est :
     
f
  
x,t x . t
D’après la condition de normalisation :
   
f


  

2 2
t x dx 1
 


 

2
x,t dx 1

Ali BEN MOUSSA
II.2. Fonction d’onde associée à un état stationnaire
 𝑓 𝑡 est une constante indépendante du temps
   
f


 

2 2
t x dx 1
on peut choisir 𝑓 𝑡 =1    
f

 
i t
t e où (t) est une fonction du temps
   
  
2 2
x,t x
 


 

2
x dx 1
d’où      

  
i t
x,t x e avec
La densité de probabilité de présence de la particule indépendante du temps
La densité de probabilité de présence associée à un état stationnaire est indépendante du
temps

Ali BEN MOUSSA
II.3. Équation de Schrödinger stationnaire
L’équation de Schrödinger pour une particule quantique dans un état stationnaire s’écrit :
   
     
       
 

 
  
    
 
i t
2 2
i t i t
2
x e
i x e V x x e
t 2m x
 
       
     
  
 
      
2
2
i t i t i t
2
d t d x
x e e V x x e
dt 2m dx
 
 
 
 
 
    

2
2
2
d t d x
1
V x
dt 2m x dx

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en posant
 
 
 
   
 
    

2
2
2
d t d x
1
V x x,t
dt 2m x dx
 

 
d t
dt
 
 
 
 
   
 
 


 

  
 

2
2
2
d t
cte I
dt
d x
1
V x cte II
2m x dx
 
E Possède la dimension d’une énergie
 
     0
t t on choisit 0 = 0;  
  
t t
 
 

   
d t
I
dt

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 
 
     

     
2
2
2
d x
II V x x E x
2m dx Équation de Schrödinger indépendante du temps
(ou stationnaire)
L’équation de Schrödinger pour une particule libre (V = 0) s’écrit :
 
 

  
2
2
2
d x
E x
2m dx

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II.4. Propriétés de la fonction (x)
• (x) ne peut prendre qu’une seule valeur à l’abscisse x
• (x) est normalisée  


 

2
x dx 1
• (x) est continue
 

d x
dx
• est continue en effet est une fonction bornée
 

2
2
d x
dx

Ali BEN MOUSSA
III. ÉTATS STATIONNAIRES D’UNE PARTICULE QUANTIQUE LIBRE
III.1. Onde plane progressive harmonique
La fonction d’onde d’une particule quantique libre qui décrit un état stationnaire, s’écrit :
     
 
  
    
i t i t
x,t x e x e
Où (x) est une solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps.
 
 

  
2
2
2
d x
x
2m dx
 
 
 
   
2
2
d x 2m
x
dx

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• 1er cas :  < 0 ; la solution générale de cette équation est de la forme :
  kx kx
x Ae Be
  
 
 
 
  
2
2
d x 2m
x
dx
où A et B sont des constantes complexes et

 
2m
k
La densité de probabilité de présence 𝜑 𝑥 2
diverge en .
On a donc nécessairement A = B = 0, ce qui correspond à une solution nulle non
acceptable physiquement.

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• 2ème cas :  = 0 ; la solution générale de cette équation est de la forme :
 
  
x Ax B
 
 
 
  
2
2
d x 2m
x
dx
où A et B sont des constantes complexes
La normalisation de la fonction d’onde impose A = B = 0, ce qui correspond à une
solution non acceptable physiquement..

Ali BEN MOUSSA
• 3ème cas :  > 0 ; la solution générale de cette équation est de la forme :
  
  
ikx ikx
x Ae Be
 
 
 
  
2
2
d x 2m
x
dx
où A et B sont des constantes complexes et


2m
k
La fonction d’onde s’écrit alors :
Cette solution correspond à la superposition de deux ondes planes progressives
harmoniques de même pulsation qui se propagent selon (Ox) mais dans des sens opposés.
     
  
  
i kx t i kx t
x,t Ae Be

Ali BEN MOUSSA
III.2. Relation de dispersion et vitesse de phase
On a montré par résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps que la
pulsation d’une OPPH est liée au nombre d’onde par la relation suivante :


2m
k Relation de dispersion
La vitesse de Phase est définie par : 


v
k
  
2
k
2m

 
k
v
2m
La vitesse de phase dépend du nombre d’onde, il en résulte que la propagation de l’onde
associée à une particule libre est dispersive.

Ali BEN MOUSSA
III. SUPERPOSITIONS DE DEUX ÉTATS STATIONNAIRES
Considérons une particule quantique libre à laquelle sont associées deux fonctions d’ondes
de deux états stationnaires :
Toute combinaison linéaire de ces deux fonctions d’onde est une fonction d’onde associée à
un état quantique de la particule.
     
     

 

 

    


    

1
1
2
2
E
i t
i t
1 1 1
E
i t
i t
2 2 2
x,t x e x e
x,t x e x e
     
      
1 1 2 2
x,t x,t x,t      
 
       
1 2
E E
i t i t
1 1 2 2
x,t x e x e

Ali BEN MOUSSA
La densité de probabilité associée à cet état est :
       
     
2 *
x,t x,t x,t . x,t
             
2 1 2 1
E E E E
i t i t
2 2
2 2 * * * *
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x,t x x x x e x x e
 

                 
         
2 1
E E
i t
2 2
2 2 * *
1 1 2 2 1 2 1 2
x,t x x 2Re x x e

 
            
 
 
On pose :      
 
    
i x
* *
1 2 1 2
x x g(x)e
Donc :      
 
2 1
E E
i t x
2 2
2 2
1 1 2 2
x,t x x 2Re g(x)e

 

 
 
 
         
 
 
où g(x) et (x) sont deux fonctions réelles de x

Ali BEN MOUSSA
La densité de probabilité varie sinusoïdalement en fonction du temps.
     
 
2 1
E E
i t x
2 2
2 2
1 1 2 2
x,t x x 2Re g(x)e

 

 
 
 
         
 
 
       
2 2
2 2 2 1
1 1 2 2
E E
x,t x x 2g(x)cos t x

 
         
 
 
La superposition de deux états stationnaires n’est pas forcément un état stationnaire.

Ali BEN MOUSSA
IV.1. Insuffisance de la représentation d’une particule quantique par une OPPH
Les états stationnaires d’une particule quantique libre sont représentés par des fonctions d’ondes planes
progressives et homogènes (OPPH).
IV. REPRÉSENTATION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE PAR UN PAQUET D’ONDES
Une OPPH de la forme Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 , correspond à une probabilité de présence uniforme
𝐴 2
dans tout l’espace.
Une fonction d’onde harmonique ne vérifie pas la condition de normalisation. Elle n’a donc, en toute
rigueur, pas de réalité physique.
On peut construire par superposition d’états stationnaires, une fonction d’onde, sous la forme d’un
paquet d’ondes, qui permettra de représenter une particule quantique.

Ali BEN MOUSSA
IV.1. Paquet d’ondes quasi-monochromatique
On envisage représenter une particule quantique libre par un paquet d’onde quasi-
monochromatique constitué par une infinité d’ondes planes monochromatiques de vecteurs
d’ondes 𝑘 et de pulsation  vérifiant l’équation de dispersion 𝜔 =
ℏ𝑘2
2𝑚
.
Le nombre d’onde k appartient à l’intervalle 𝑘1, 𝑘2 tel que Δ𝑘 = 𝑘2 − 𝑘1 ≪ 𝑘0 =
𝑘1+𝑘2
2
La fonction d’onde s’écrit alors :      
2
1
k i kx t
k
x,t g k e dk

  

Ali BEN MOUSSA
On pose dk = k – k0 et d =  – 0
     
2
1
k i kx t
k
x,t g k e dk

  
       
   
2 0 0 0 0
1
k i k k x t i k x t
k
x,t g k e dk e
   
 
  
 
 

       
2
0 0
1
k i k x t
i kx t
k
x,t g k e dk e

d d
 
 
 
 


Ali BEN MOUSSA
La densité de probabilité de présence de la particule est :
         
2
1
2
k
2 i kx t
*
k
x,t x,t . x,t g k e dk
d d
     
     
2 2 k0
1 1
2
2
i k x t
i k x t
k k
2 k
k
k k
x,t g k e dk g k e dk
 
d
 
d
  d 
 
 
d 
   
d
 
d
   
    
Ψ 𝑥, 𝑡 est constante si et seulement si 𝑥 −
𝛿𝜔
𝛿𝑘 𝑘0
𝑡 = 𝑐𝑡𝑒 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝛿𝜔
𝛿𝑘 𝑘0
𝑣𝑔 =
𝛿𝜔
𝛿𝑘 𝑘0
est la vitesse avec laquelle se propage la densité de probabilité de présence de
la particule. Elle est appelée vitesse de groupe.

Ali BEN MOUSSA
     
2 g
1
2
k
2 i k x t
k
x,t g k e dk
d 
  
v

Ali BEN MOUSSA
IV.2. Relations onde particule
or
0
g
k
v
k
d
 
  
d
 
• La vitesse de groupe est donnée par :
2
k
2m
 
0
g
DB
k h p
v v
m m m
    

La vitesse de groupe est égale à la vitesse de la particule
Relation de dispersion
La quantité de mouvement de la particule est :
0
p mv k
 

Ali BEN MOUSSA
IV.2. Relations onde particule
2 2
2
0
c 0
k
p
E E
2m 2m
    
• L’énergie de la particule s’écrit sous la forme suivante :
0 0
P k ; E
  
On peut donc représenter une particule quantique par un paquet d’ondes quasi-
monochromatique de vecteur d’onde moyen 𝑘0 et de pulsation moyenne 0
La quantité de mouvement et l’énergie de la particule sont données par les relations :

Ali BEN MOUSSA
V. DENSITÉ DE COURANT DE PROBABILITÉ
Soit une particule quantique représentée par un paquet d’ondes quasi-monochromatique de
vecteur d’onde moyen 𝑘0 et de pulsation moyenne 0.
La probabilité de présence de la particule entre x et x + dx est :  
2
dP x,t dx
 
Le paquet d’onde se déplace à la vitesse 𝑣𝑔 =
ℏ𝑘0
𝑚
donc 𝑑𝑥 = 𝑣𝑔𝑑𝑡 =
ℏ𝑘0
𝑚
𝑑𝑡 :
Ainsi :  
2
0
k
dP x,t dt
m
 
On définit le vecteur densité de courant de probabilité comme un débit de probabilité de
présence de la particule, soit :
   
2 0
x
dP k
j x,t u x,t
dt m
  

Ali BEN MOUSSA
V. DENSITÉ DE COURANT DE PROBABILITÉ
Soit un système constitué par N particules quantiques identiques représentées par un paquet
d’ondes quasi-monochromatique de vecteur d’onde moyen 𝑘0 et de pulsation moyenne 0.
Le nombre de particules passant par le point d’abscisse x pendant dt est
 
N
dN N.dP j x,t dt
     
2
N x x
dN NdP k
j x,t u u N x,t
dt dt m
    
Pour un système de N particules quantiques identiques, la densité de courant de particules
représente le nombre de particules passant par le point d’abscisse x par unité de temps.

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