Diapos du cours du 3ème chapitre de Mécanique quantique "Evolution d'une particule quantique dans un potentiel" pour les étudiants des classes préparatoires aux concours d'entrée aux cycles de formation d'ingénieurs - Tunisie.
CH3 MQ : EVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
1. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE
QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX
MP2 – A.U : 2020/2021
2. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
I. INTRODUCTION
2
2
2
x,t x,t
V x x,t i
2m x t
On envisage étudier dans ce chapitre, l’évolution d’une particule quantique en interaction
avec un système physique. Nous supposons que cette interaction est modélisée par une
énergie potentielle indépendante du temps V(x).
L’évolution de la fonction d’onde de la particule est régie par l’équation de Schrödinger :
3. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
I. INTRODUCTION
2
2 2
d x 2m
E V x x
dx
Nous cherchons des états stationnaires sous la forme d’ondes planes progressives
harmoniques :
i t
x,t x e
où
E
L’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit :
4. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
0
0 pour x 0 (région I)
V x
V pour x 0 (région II)
Le système est supposé en interaction modélisée par une barrière de potentiel dont le profil
est représenté sur le schéma ci-dessous :
x
0
V0
V(x)
Région I Région II
5. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
II.1. Premier cas : E > V0
2
2
1 1
2
2
0
2
2 2
2
d x 2mE
k x 0 (région I) ;k
dx
2m E V
d x
k x 0 (région II) ;k
dx
L’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit comme suit :
Les solutions des équations différentielles s’écrivent dans les deux régions comme suit :
1 1
2 2
ik x ik x
1 1
ik x ik x
2 2
x A e B e (région I)
x A e B e (région II)
II.1.1. Fonctions d’ondes
6. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
La fonction d’onde dans la région I est la superposition d’une onde plane progressant dans le
sens des x positifs et d’une onde plane progressant dans le sens des x négatifs.
Dans la région II, la fonction d’onde est la superposition d’une onde incidente et d’une onde
réfléchie. Or l’absence d’une source de particules dans la région II, impose B2 = 0.
Par continuité de la fonction d’onde et de sa
dérivée en x=0, on obtient :
1 2
1 1
1 1 2 1 2
1 1 1 2 2 1
2 1
1 2
k k
B A
A B A k k
k A B k A 2k
A A
k k
II.1.1. Fonctions d’ondes
II.1. Premier cas : E > V0
7. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
La fonction d’onde s’écrit dans chaque région comme suit :
1 1
2
i k x t i k x t
1 2
1
1 2
i k x t
1
1
1 2
k k
x,t A e e (région I)
k k
2k
x,t A e (région II)
k k
II.1.1. Fonctions d’ondes
II.1. Premier cas : E > V0
8. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
Les densités de courant de probabilités des ondes incidente, réfléchie et transmise sont :
2 1
i 1
2
2 2
1 1
1 2
r 1 1
1 2
2
2 2
2 2
1
t 2 1
1 2
k
j A
m
k k
k k
j B A
m k k m
k
k k
j A 4 A
m k k m
II.1.2. Probabilité de réflexion et de transmission
II.1. Premier cas : E > V0
9. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
La probabilité de réflexion est définie :
2
0
2
r
1 2
1 2 0
i
V
1 1
j k k E
R
k k V
j
1 1
E
La probabilité de transmission est définie :
0
2
t
1 2 1 2
2 2
1 2 1
i 1 2 0
V
4 1
j 2k k 4k k E
T
k k k
j k k V
1 1
E
On remarque que R + T = 1
II.1. Premier cas : E > V0
II.1.2. Probabilité de réflexion et de transmission
10. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
Les probabilités de présence de la particule dans les régions I et II :
2
1 1
2
2
1
x A 1 R 2 Rcos 2k x (région I)
x A 1 R (régionII)
II.1. Premier cas : E > V0
II.1.3. Densité de probabilité de présence
11. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
2
2
2
2
0
2
2
d x 2mE
k x 0 (région I) ;k
dx
2m V E
d x
x 0 (région II) ;
dx
L’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit comme suit :
L’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit dans chacune des deux régions comme suit :
ikx ikx
1 1
x x
2 2
x A e B e (région I)
x A e B e (région II)
II.2.1. Fonctions d’ondes
II.2. Deuxième cas : E < V0
II. MARCHE DE POTENTIEL
12. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II. MARCHE DE POTENTIEL
Si A2 ≠ 0, la fonction d’onde diverge à l’infini donc nécessairement A2 = 0.
1 1 2
1 1 2
A B B
ik A B B
Par continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée en x = 0, on obtient :
1 1
2 1
k i
B A
k i
2k
B A
k i
II.2. Deuxième cas : E < V0
II.2.1. Fonctions d’ondes
13. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
La fonction d’onde s’écrit dans chaque région comme suit :
i kx t i kx t
1
x i t
1
k i
x,t A e e (région I)
k i
2k
x,t A e e (région II)
k i
II.2. Deuxième cas : E < V0
II.2.1. Fonctions d’ondes
II. MARCHE DE POTENTIEL
14. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II.2. Deuxième cas : E < V0
II.2.1. Fonctions d’ondes
or
k i
1
k i
donc
i
k i
e
k i
avec 2 2
2k
tan
k
i kx t i kx t
1
x i t
1
x,t A e e (région I)
2k
x,t A e e (région II)
k i
d’où
II. MARCHE DE POTENTIEL
15. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
2
1
2
2 2 x
1 2 2
x 2 A 1 cos 2kx (région I)
4k
x A e (région II)
k
II.2. Deuxième cas : E < V0
II.2.2. Densité de probabilité de présence
La densité de probabilité de présence dans chacune des deux régions :
2
2 i kx
ikx
1
2
2 2 x
1
x A e e (région I)
2k
x A e (région II)
k i
(x)
x
0
II. MARCHE DE POTENTIEL
16. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
II.2. Deuxième cas : E < V0
II.2.2. Densité de probabilité de présence
La profondeur de pénétration de la particule quantique d’énergie E < V0 dans la région
interdite par la mécanique classique est :
(x)
x
0
0
1
2m V E
II. MARCHE DE POTENTIEL
17. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
Le système est supposé en interaction modélisée par une barrière de potentiel dont le profil
est représenté sur le schéma ci-dessous :
Le potentiel correspondant est donné par : 0
V pour 0 x a
V(x)
0 ailleurs
x
0
V0
V(x)
Région I Région III
a
Région II
L’équation de Schrödinger indépendante du temps
s’écrit :
2
0
2 2
2
2 2
d x 2m E V
x pour 0 x a
dx
d x 2mE
x ailleurs
dx
18. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.1. Fonctions d’onde
La solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps est de la forme :
1 1
2 2
3 3
x A exp ikx B exp ikx pour x 0
x A exp x B exp x pour 0 x a
x A exp ikx B exp ikx pour x a
où
0
2mE
k
2m V E
L’état de la particule est décrit par une fonction d’onde qui se propage dans le sens des x
positifs donc B3 = 0.
19. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.1. Fonctions d’onde
La continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée en x = 0 et en x = a impose :
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 3
2 2 3
A B A B
ik A B A B
A exp a B exp a A exp ika
A exp a B exp a ikA exp ika
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 3
2 2 3
A B A B
A B i A B
k
A exp a B exp a A exp ika
k
A exp a B exp a i A exp ika
20. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.1. Fonctions d’onde
3 1
1 1
exp ika
A A
i k
ch a sh a
2 k
i k
sh a
2 k
B A
i k
ch a sh a
2 k
21. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.1. Fonctions d’onde
Les fonctions d’ondes incidente, réfléchie et transmise s’écrivent comme suit :
x
i 1
x
r 1
x
t 3
x,t A exp i kx t u onde incidente
x,t B exp i kx t u onde réfléchie
x,t A exp i kx t u onde transmise
22. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.2. Probabilités de réflexion et de transmission
Les densités de courants de probabilités des ondes incidente, réfléchie et transmise sont
données par :
2 2
i i 1
2 2
r r 1
2 2
t t 3
k k
J A onde incidente
m m
k k
J B onde réfléchie
m m
k k
J A onde transmise
m m
23. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
2
t
3
2
2 2
2
0
i 2 2
1
0
2
2
2
0
2
2
r 0
1
2
2 2
2
0
i 2 2
1
0
1
J A 1 T
T V
A 1 k
J 1 sh a
ch a sh a 4E V E
4 k
V
1 k sh a
sh a 4E V E
J B 4 k R
R V
A 1 k
J 1 sh a
ch a sh a 4E V E
4 k
III.1.2. Probabilités de réflexion et de transmission
Les probabilités de réflexion et de transmission sont données par :
24. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
0
2
0
16E V E 2a
T exp
V
III.1.2. Probabilités de réflexion et de transmission
Pour une barrière épaisse : , la probabilité de transmission s’écrit
sous la forme simplifiée :
0
1
a
2m V E
où est la profondeur de pénétration de l’onde
dans la barrière
1
Une particule quantique a donc toujours la possibilité de traverser la barrière de potentiel.
Cet effet, porte le nom d’effet tunnel.
25. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.1. Premier cas : E < V0 Effet Tunnel
III.1.3. Densité de probabilité de présence
0 a
(x)
x
1 1
2 2
3
x A exp ikx B exp ikx pour x 0
x A exp x B exp x pour 0 x a
x A exp ikx pour x a
La densité de probabilité de présence est définie par :
2 2
x x,t x
avec
26. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.1. Fonctions d’onde
La solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps est de la forme :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 3 1
x A exp ik x B exp ik x pour x 0
x A exp ik x B exp ik x pour 0 x a
x A exp ik x B exp ik x pour x a
où
1
0
2
2mE
k
2m E V
k
L’état de la particule est décrit par une fonction d’onde qui se propage dans le sens des x
positifs donc B3 = 0.
27. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.1. Fonctions d’onde
La continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée en x = 0 et en x = a impose :
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 3 1
2 2 2 2 2 1 3 1
A B A B
ik A B ik A B
A exp ik a B exp ik a A exp ik a
ik A exp ik a B exp ik a ik A exp ik a
28. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.1. Fonctions d’onde
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 3 1
2 2 2 2 2 1 3 1
A B A B
ik A B ik A B
A exp ik a B exp ik a A exp ik a
ik A exp ik a B exp ik a ik A exp ik a
1 2
1 2 2 1 3
2 1
1 2
1 2 1 3
2 1
k k
i
A cos k a sin k a exp ik a A
2 k k
k k
i
B sin k a exp ik a A
2 k k
29. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.1. Fonctions d’onde
x
i 1 1
x
r 1 1
x
t 3 1
x,t A exp i k x t u onde incidente
x,t B exp i k x t u onde réfléchie
x,t A exp i k x t u onde transmise
Les fonctions d’ondes incidente, réfléchie et transmise s’écrivent comme suit :
30. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.2. Probabilités de transmission et de réflexion
2 2
i i 1
2 2
r r 1
2 2
t t 3
k k
J A onde incidente
m m
k k
J B onde réfléchie
m m
k k
J A onde transmise
m m
Les densités de courants de probabilités des ondes incidente, réfléchie et transmise sont
données par :
31. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.2. Deuxième cas : E > V0
III.2.2. Probabilités de transmission et de réflexion
2
t
3
2 2
2
i 0
1
2
0
2
2
0
2 2
r
0
1
2 2
2
i 0
1
2
0
J A 1
T
V
A
J 1 sin k a
4E E V
V
sin k a
J 4E E V
B
R
V
A
J 1 sin k a
4E E V
Les densités de courants de probabilités des ondes incidente, réfléchie et transmise sont
données par :
La probabilités de réflexion est non nulle, effet
inexplicable par la mécanique classique.
32. CH3 : ÉVOLUTION D’UNE PARTICULE QUANTIQUE DANS UN POTENTIEL
Ali BEN MOUSSA
III. BARRIÈRE DE POTENTIEL
III.3. Microscope à Effet tunnel
Inventé par les chercheurs d’IBM, le microscope à effet tunnel est un microscope en
champ proche utilisé pour déterminer la morphologie et densité d’états électroniques de
surfaces conductrices ou semi-conductrices avec résolution spatiale de l’ordre des
dimensions de l’atome,
Microscope à effet tunnel utilisé pour observer des
couches minces.
(H. Raguet, Photothèque CNRS)
