CH1 MQ : Introduction au monde quantique

INSTITUT PRÉPARATOIRE AUX ÉTUDES D’INGÉNIEUR DE SFAX
MP2 – A.U : 2020/2021
CH1 : INTRODUCTION
AU MONDE QUANTIQUE

CH 1 : INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
Ali BEN MOUSSA
I. DUALITÉ ONDE CORPUSCULE DE LA LUMIÈRE
I.1. Aspect ondulatoire de la lumière
I.1.1. Diffraction de la lumière
Lorsqu’un faisceau de lumière monochromatique passe à travers une fente fine, la lumière
subit un phénomène d’étalement dans la direction perpendiculaire à la fente, avec une
succession de zones lumineuses et de zones sombres (La tâche centrale est plus lumineuse et
deux fois plus large que les autres tâches ).

Ali BEN MOUSSA
Lorsqu’un faisceau de lumière monochromatique passe à travers un trou circulaire de faible
diamètre, l’observation est similaire. La lumière subit un phénomène d’étalement radiale. Il y a
formation d’anneaux brillants et sombres concentriques.

Ali BEN MOUSSA
La lumière subit un phénomène de diffraction dans les deux expériences précédentes.
La diffraction de la lumière peut avoir lieu lorsque les dimensions de l’objet diffractant sont de
l’ordre de la longueur d’onde.
Ce phénomène ne peut être interprété qu’en adoptant une théorie ondulatoire, ce qui affirme
que la lumière présente un caractère ondulatoire.

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I.1.2. Interférences lumineuses
Une source quasi-ponctuelle de lumière monochromatique est placée derrière un écran percé de deux
trous de faibles dimensions (trous d’Young).
La superposition des deux faisceaux lumineux issus des deux
trous, donne sur l’écran d’observation des franges rectilignes
brillantes et obscures d’une façon alternée.
Ce phénomène d’interférence ne peut être interprété qu’à l’aide
d’une théorie ondulatoire.

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I.2. Aspect corpusculaire de la lumière
I.2.1. Effet photoélectrique
Certains phénomènes découverts au 20ème siècle ne peuvent être interprétés que si on
admet l’existence de particules de lumière.
Une surface métallique est le siège d’une émission des
électrons lorsqu’elle est éclairée par un rayonnement
électromagnétique de fréquence assez élevée (UV ou
Visible). Ce phénomène est appelé effet photoélectrique.

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En 1905, Albert Einstein a proposé une interprétation de l’effet photoélectrique. Il a supposé
que le rayonnement est constitué « des grains de lumière » ou quantum d’énergie dont la
valeur est : E = hn.
Einstein suppose qu’un électron de métal ne peut absorber
qu’un seul quantum de lumière. L’électron est alors arraché
du métal si l’énergie est supérieure à une valeur minimale
appelée Energie seuil ou travail d’extraction W = hns.

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L’énergie cinétique d’un électron est alors :
L’effet photoélectrique ne peut avoir lieu que lorsque la fréquence n est supérieure à ns.
 
   n n
c s
E E W h
Pour une fréquence n inférieure à ns, cet effet ne peut pas avoir lieu même si on augmente
l’intensité du faisceau incident.
Cet effet est expliqué par une théorie corpusculaire qui suppose que la lumière est constituée
par des corpuscules (photons) qui transportent des quanta d’énergie hn .

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I.2.2. Effet Compton
En 1922, Arthur Compton a envoyé un faisceau des rayons
X de longueur d’onde l = 0,071 nm sur une feuille mince
de graphite. Il a observé un rayonnement diffusé de
longueur d’onde l’ différente de celle de l’onde incidente.
Ce résultat est en contradiction avec la théorie classique.

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I.2.2. Effet Compton
Pour interpréter ces résultats expérimentaux, Compton a fait
l’hypothèse d’une collision entre les électrons contenus dans
l’échantillon et les particules associées au rayonnement
incident (appelé photon).
La variation de la longueur d’onde qui accompagne l’effet
Compton est donnée par :
 
l l   
'
e
h
1 cos
m c

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I.2.3. Le photon
Max Planck (1900) a montré que les échanges d’énergie entre un rayonnement lumineux et la
matière ne peut se faire que par des quanta.
Albert Einstein, pour expliquer l’effet photoélectrique, attribua un aspect corpusculaire à la
lumière qui se présente alors selon lui comme un ensemble de particules élémentaires sans
masse (quantum d’énergie) appelées photons.

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I.2.3. Le photon
L’énergie et la quantité de mouvement (ou impulsion) d’un photon associé à une lumière de
fréquence n et de longueur d’onde l se propageant dans la direction du vecteur unitaire 𝑢,
sont données par :
 n   
l l
hc h
E h ; p u k
est le vecteur d’onde
 
 
l
2
k u u
c

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I.3. Expérience à photons uniques
Cette expérience a été réalisée au sein du laboratoire de photonique quantique et moléculaire
de l’ENS de Cachan par A. Aspect et F. Grangier en 1986.
Le dispositif expérimental comprend un biprisme de Fresnel et une source à photon unique et
un détecteur constitué par une caméra CCD.

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La source se comporte comme une molécule artificielle piégée dans des nanocristaux de
diamant. Elle permet d’obtenir une émission de photons un par un.
Le détecteur est constitué par une caméra CCD permettant d’observer la figure d’interférence.
La caméra fonctionne en mode de comptage de photons.

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Les images successives acquises par la caméra montrent les lieux
d’impact des photons. Le lieu d’impact d’un photon n’est pas
prédictible.
Lorsque le nombre de photons augmente, on remarque que la
probabilité du lieu d’impact n’est pas uniforme et elle est
proportionnelle à l’éclairement obtenu avec un dispositif classique
du biprisme de Fresnel.

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II. DUALITÉ ONDE-PARTICULE DE LA MATIÈRE
II.1. Longueur d’onde de Louis de de Broglie
En 1924, Louis de Broglie associe à toute particule matérielle un comportement
ondulatoire. Ainsi à une particule de masse m et de vitesse v, on associe une onde de
longueur d’onde λ donnée par la relation de de Broglie :
l  
DB
h h
p mv

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II.2. Diffraction d’un faisceau d’électrons
La première preuve expérimentale directe du comportement
ondulatoire de la matière est apportée par Davisson et
Germer en 1927. L’expérience consiste à faire diffracter un
faisceau d’électrons sur un cristal de Nickel.
le principe de l’expérience où les électrons produits par le
filament sont accélérés puis rencontrent une cible en Nickel
qui les renvoie.

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II.2. Diffraction d’un faisceau d’électrons
Davisson et Germer constatèrent que les électrons étaient
diffractés de la même manière que les rayons X selon la loi
de Bragg

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II.3. Interférences par jet progressif d'électrons
En 1989, Akira Tonomura (physicien japonais) a présenté une expérience d’interférences
avec des électrons, en utilisant un dispositif analogue à celui du biprisme de Fresnel.

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Les observations de Akira Tonomura montrent qu’au début de l’expérience, avec un petit
nombre d'électrons, les points d'impact des électrons semblent répartis complètement au
hasard. Or, pour un grand nombre d’électrons, la répartition est selon une loi statistique de
distribution, liée aux interférences de l'onde associée aux particules.

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II.4. Diffraction de faisceaux de neutrons et d’atomes
La diffraction de neutrons, sur monocristal ou sur échantillon polycristallin (ou poudre), est une technique
très largement utilisée, en science des matériaux comme en biologie, lorsque l'on souhaite déterminer la
structure cristalline d'un composé ou d'une molécule.
En 1999, des chercheurs de l'Université de Vienne montrent que la dualité onde-particule s'applique
également à des macromolécules. Ils ont réalisé des expériences de la diffraction de molécules de
fullerène C60.
C60 Diffraction avec du C60

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III. FONCTION D’ONDE ET ÉQUATION DE SCHRÖDINGER
III.1. Description de l’état d’une particule quantique
La probabilité de présence d’une particule quantique à un instant t dans un volume
élémentaire d3t centré en un point M est donnée par :
       
   t   t
2
3 * 3 3
d P M,t M,t . M,t d M,t d
Pour décrire l’état d’une particule quantique et la propagation des ondes de matière,
Schrödinger a introduit un champ scalaire appelé fonction d’onde, notée Ψ 𝑀, 𝑡 en notation
complexe.

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III.1. Description de l’état d’une particule quantique
Dans le cas d’un problème unidirectionnel où la fonction d’onde ne dépend que d’une seule
variable d’espace x et du temps t, la probabilité de présence de la particule dans un domaine
de l’espace de largeur dx à un instant t est :
   
 
2
dP x,t x,t dx

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III.2. Densité de probabilité de présence
On définit la densité de probabilité de présence de la particule quantique par la
probabilité de présence de la particule par unité de volume :
Dans le cas d’un problème unidirectionnel, la densité de probabilité de présence d’une
particule est donnée par :
 
 
 
   
t
3
2
3
d P M,t
M,t M,t
d
 
 
 
   
2
dP x,t
x,t x,t
dx

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III.2. Densité de probabilité de présence
La probabilité de trouver la particule à un instant t dans tout l’espace est égale à l’unité.
   
  t 
 
3 3
espace espace
d P M,t M,t d 1
Dans le cas d’un problème unidirectionnel, la condition de normalisation s’écrit :
 


 

2
x,t dx 1
 
  t 

2 3
espace
M,t d 1
Condition de normalisation
avec  

 
x
lim x,t 0

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III.2. Équation de Schrödinger
L’équation décrivant l’évolution dans l’espace et dans le temps de la fonction d’onde d’une
particule quantique a été proposée par Erwin Schrödinger.
 
     

    

2
M,t
i M,t V M,t M,t
t 2m
Cette équation est un postulat fondamental de la mécanique quantique. Les résultats
théoriques qu’on en déduit sont validés par l’expérience.
Elle s’écrit sous la forme suivante :
V(M,t) : l’énergie potentielle de la particule

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III.2. Équation de Schrödinger
Dans le cas d’une particule quantique qui évolue dans un potentiel indépendant du temps
V(x) qui ne dépend que de la seule variable d’espace x, l’équation de Schrödinger s’écrit :
   
   
  
   
 
2
2
2
x,t x,t
i V x x,t
t 2m x
soient Ψ1(x,t) et Ψ2 (x,t) deux solutions de l’équation de Schrödinger. Toute combinaison
linéaire de ces deux solutions (a1(x,t) + bΨ2 (x,t)) constitue aussi une solution de cette
équation.

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IV. INÉGALITÉ DE HEISENBERG
IV.1. Indétermination quantique
La mesure d’une grandeur G sur un système quantique, donne a priori un résultat aléatoire.
  
2
2
G G G
L’écart quadratique moyen ΔG nous renseigne sur la dispersion des résultats possibles pour
la mesure de la grandeur G. On l’appelle indétermination quantique de G.

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IV.2. Diffraction d’un faisceau de particules par une fente fine
Soit une particule quantique de quantité de mouvement 𝑝 = 𝑝𝑢𝑧arrivant orthogonalement
sur une fente de largeur a parallèle à (Oy).
L’onde associée à la particule est diffractée par la fente comme une onde lumineuse.
z
2
x
a
𝑝
La demi-largeur angulaire de la tache principale de diffraction
est donnée par :
l
  DB
sin
a

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IV.2. Diffraction d’un faisceau de particules par une fente fine
L’indétermination quantique de la position de la particule juste après la fente est de l’ordre
de a :
Les valeurs possibles de la quantité de mouvement de la particule quantique selon Ox sont
comprises entre –p.sin et p.sin.
z
2
x
a
𝑝
L’indétermination quantique de la quantité de mouvement est
de l’ordre :
x a
l
   
l
DB
x
DB
h h
p psin .
a a
  x
x. p h
d’où :

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IV.2. Inégalité de Heisenberg spatiale
Les mesures de position x et de quantité de mouvement px selon un même axe (Ox)
sont affectées d’indéterminations quantiques Δx et Δpx dont le produit est au moins de
l’ordre de grandeur de la moitié de la constante de Planck réduite :
  
x
x. p
2

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IV.2. Inégalité de Heisenberg temps - énergie
Soit une particule quantique d’énergie E et dont l’évolution est caractérisée par un temps t.
Les indéterminations quantiques du temps et de l’énergie vérifient l’inégalité de Heisenberg
:
t  
. E
2

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III.3. Comportement classique ou quantique d’un système
Tout système caractérisé par une action très grande devant ℏ, possède un comportement
classique.
L’action caractéristique d’un système S est une grandeur fondamentale de la physique
théorique, ayant la dimension d'une énergie multipliée par une durée, ou d'une quantité
de mouvement multipliée par une distance.
Un système physique possède un comportement quantique si l’action qui le caractérise est
de l’ordre de ℏ.

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V. PARTICULE CONFINÉE DANS UN PUITS DE POTENTIEL INFINI
Considérons une particule quantique confinée dans une région limitée de l’espace. Cette
région est limitée par deux murs infranchissables.
 

 


p
0 pour 0 x
E
aileurs
L’énergie potentielle de la particule est modélisée par un puits infini :
x
Ep
0 x
0

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L’onde associé à la particule quantique située dans un puits de potentiel infini, est une onde
stationnaire.
l
 DB
n
2
La largeur du puits est nécessairement un multiple entier de la demi-longueur d’onde .
x
Ep
0 x
0
 l 
DB
2
n
où n est un entier

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L’énergie de la particule est :  
2
c
p
E E
2m
 
2 2
2
n h
E
8m
La quantité de mouvement de la particule est : 
lDB
h
p
l 
DB
2
n
or donc 
h
p n
2
La particule passe d’un niveau d’énergie En2 à un niveau d’énergie En1 en émettant un photon
de fréquence n telle que :
 
  
2 1
2
2 2
n n 2 1 2
h
E E n n
8m

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