logique flou

1. Séminaire de Recherche Opérationnelle
Le 19 Mars 2019
Présenté par
Yazid BENKANOUN
1/36

2. 2/36

3. 3/36

4. 2.FLOU NE SIGNIFIE PAS IMPRÉCIS OU INCONNU!
X est inconnu si X(t) = 1 pour toute valeur de
t
X est précis
Si X(t)= 1 pour la valeur
donnée
0 autrement
X est imprécis si X(t) = 1 pour t dans [t0,
t1],
0 ailleurs
X est flou si X(t) [0, 1] pour t dans un intervalle
donné
Exemple :
X : taille d’une personne exprimée par une variable t
X(t) : vraisemblance de t par rapport à X
X(t)
{
{
{

5. 4/36
« Le vrai danger , ce n’est pas quand les ordinateurs penseront comme
les hommes ,c’est quand les hommes penseront comme les ordinateurs
» .
Sydney J.Harris.

6. Exemple introductif de la notion de logique
floue
Voici un exemple qui met en évidence le concept de vérité partielle
( proche , loin, faible , élevée…)
le conducteur suit un ensemble de règle de nature floue pour prendre une
décision finale.
Si le feu est rouge et si sa vitesse est élevée...et si le feu est proche...alors le
conducteur freine fort.
Si le feu est rouge et si sa vitesse est faible...et si le feu est loin... alors le conducteur
maintient sa vitesse.
Si le feu est orange et si sa vitesse est moyenne et si le feu est loin...alors le conducteur
5/36
La logique floue est un type de modélisation qui s’intéresse à une variable
catégorielle au sens où elle n’est pas objectivable : (l’individu est « grand », «
moyen » ou « petit ),Ce cadre sort de la statistique classique dans lequel la valeur de
la variable 𝑌 est objectivable « l’individu mesure 176 cm ».
PRINCIPE

7. Soient U: L’univers du discours.
A: un sous-ensemble de
U
Théorie classique des ensembles:
 
 
' '
0
1
A
A
A
Si est la fonction d appartenance de l ensemble A
x U x si x A
x si x A



   
 
Concept d’ensemble flou:
Si = 0,30 : x appartient à l’ensemble flou A avec un degré d’appartenance de 30%
 
A x

   
' '
0;1
A
A
Si est la fonction d appartenance de l ensemble flou A
x U x


  
degré d’appartenance = valeur de vérité.
Un ensemble flou est totalement déterminé par sa fonction d’appartenance
A
U
5’/36

8. 3.SOUS-ENSEMBLES
FLOUS
La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous, qui est une
généralisation de la théorie des ensembles classiques.
La théorie des sous ensembles flous présente au moins deux intérêts :
1: elle permet de modéliser des connaissances imprécises (exprimées en
langage naturel)
exemple: haut, à peu près 4.90 mètres…
2:elle est le seul moyen de traiter dans un même cadre , des
connaissances fournies numériquement par des instruments de mesure et des
connaissances exprimées symboliquement , par un observateur humain.(
fuzzification et défuzzification ).
6/36

9. DEFINITION 1: Soit X un ensemble. Un sous-ensemble flou A de X est caractérisé par une fonction
d'appartenance fa :X→[0,1]. : cette fonction d'appartenance est l'équivalent de la fonction caractéristique d'un
ensemble classique.
l'objectif est de décider du montant du pourboire à donner à la fin d'un repas au restaurant en
fonction de la qualité du service ainsi que de la qualité de la nourriture.
Il nous faudra redéfinir des fonctions d'appartenance pour chaque sous-ensemble flou de chacune
de nos trois variables :
Input 1 : qualité du service. Sous-ensembles : mauvais, bon et excellent.
Input 2 : qualité de la nourriture. Sous-ensembles : exécrable et délicieux.
Output : montant du pourboire. Sous-ensembles : faible, moyen et élevé.
7/36

10. Représentation graphique d'un ensemble classique et d'un ensemble flou
8/36
D’après ce graphique, on peut constater
que pour une valeur  = 17°, le facteur
d’appartenance à l’ensemble « froid »
vaut µ froid = 0,3 et le facteur
d’appartenance à l’ensemble « chaud »
vaut µ chaud = 0,7
Froid Chaud
Fig: lecture sur fonction d'appartenance
1
10° 17° 20° 

11. Comparaison entre fonction caractéristique d'un ensemble classique
et fonction d'appartenance d'un ensemble flou en terme de DEGRE
9/36
Fig: fonction caractéristique et fonction
d'appartenance

12. }
|
))
(
,
{( U
x
x
x
A A 
 
Ensemble flou
Fonction
d’appartenance
(FA)
Univers de
discours
 A est tel que tout x en est membre à un degré entre 0 et 1
 A est entièrement caractérisé par sa fonction d’appartenance
 Concrètement, A est un attribut qualitatif (valeur floue ou linguistique) que l’on
associe avec les valeurs précises d’une variable numérique x
9./36

13. Pour pouvoir définir les caractéristiques des ensembles flous, nous
redéfinissons et étendons les caractéristiques usuelles des ensembles
classiques.
Soit X un ensemble, A un sous-ensemble flou de X et µA(x) la fonction
d'appartenance le caractérisant.
DEFINITION 2:
La hauteur de A, notée h(A), correspond à la borne supérieure de l'ensemble d'arrivée
de sa fonction d'appartenance : h(A)=sup{µA(x)∣x∈X}.
DEFINITION 4:
Le support de A est l'ensemble des éléments de X appartenant au moins un peu à A.
Autrement dit, c'est l'ensemble supp(A)={x∈X∣ µA(x)>0}.
DEFINITION 3:
A est dit normalisé si et seulement si h(A)=1. En pratique, il est extrêmement rare de
travailler sur des ensembles flous non normalisés.
10/36

14. DEFINITION 5:
Le noyau de A est l'ensemble des éléments de X appartenant totalement à A.
Autrement dit, c'est l'ensemble noy⁡
(A)={x∈X∣ µA(x)=1}.
Par construction, noy⁡
(A)⊆supp⁡
(A).
DEFINITION 5:
Une α-coupe de A est le sous-ensemble classique des éléments ayant un degré
d'appartenance supérieur ou égal à α : α-coupe(A)={x∈X∣ µA(x)⩾α}.
11/36

15. Par analogique avec le concept des probabilités
les définitions précédentes seront de la forme :
FORME LOGIQUE FLOUE FORME PROBABILISTE
La hauteur normalisée=1 la probabilité Ω=1
Le support l’intervalle où la probabilité de toutes les variables
est strictement positive (réalisabilité)
Le noyau la valeur appartenant à l’intervalle dont la
=1
(certitude)
Une α-coupe l’intervalle de confiance ou la probabilité est⩾α}
12/36
(𝐴 𝐸𝑇 𝐵)𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑡𝑒 ≤ (𝐴 𝐸𝑇 𝐵)𝑓𝑙𝑜𝑢 ≤ (𝐴 𝑂𝑈 𝐵)𝑓𝑙𝑜𝑢 ≤ (𝐴 𝑂𝑈 𝐵)𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑡𝑒.
Remarque

16. Le concept de fonction d'appartenance va nous permettre de définir des systèmes flous en
langage naturel, la fonction d'appartenance fait le lien entre logique floue et variable
linguistique que nous allons définir à présent.
13/36
Fig: caractéristique d’un ensemble flou (variable
pourboire)
0.5 coupe =[12.5,17.5]
17.5
12.5

17. 4.VARIABLES LINGUISTIQUES
DEFINITION 7 :Une variable linguistique correspond au triplet,(V,X,TV).
Soit V : une variable (qualité du service),
X : la plage de valeurs de la variable
TV: un ensemble fini ou infini de sous-ensembles flous.
14/36
Fig: Variable linguistique ‘qualité de la nourriture’
La valeur de
qualité de
service 2.5
correspond au
même degré
d’appartenance
pour (mauvais
et bon)=0.25 S=[0,10]

18. À partir du zero la
qualité ‘mauvais’
du service prend le
plus grand degré
d’appartenance =1
et décroit jusqu’à la
valeur 5 et s’annule
après la valeur 5
À partir du zéro la qualité ‘
bon’ du service prend la
valeur 0 au degré
d’appartenance croit jusqu’à
la valeur 5 et commence à
décroitre pour laisser …
À partir du zéro , la qualité
‘excellent ‘du service
prend la valeur 0du degré
d’appartenance et ne
commence à croitre que
lorsque la qualité bon
commence à décroitre et
elle atteint son meilleur
degré d’appartenance en
10 .
15/36
Fig: Variable linguistique ‘qualité du service’
S=[0,10]

19. 16/36
Fig: Variable linguistique ‘qualité de la
nourriture’
N=[0,10]

20. ' 17/36
Fig: Variable linguistique ‘montant du
pourboire’
P=[0,30
]

21. 5.OPÉRATEURS
FLOUS
18/36

22. Avec les définitions usuelles des opérateurs flous, nous retrouvons toujours les
propriétés de commutativité, distributivité et associativité des opérateurs classiques.
Cependant, relevons deux exceptions notables :
•En logique floue, le principe du tiers exclu est contredit : A∪A¯≠X, autrement
dit ≠1.
•En logique floue, un élément peut appartenir à A et non A en même temps: A∩A¯≠∅,
autrement dit ≠0.
Dénomination Intersection ET
: μA∩B(x))
Réunion OU : μA∪B(x) Complément: μA¯(x
)
Opérateurs de
Zadeh
MIN(μA(x), μB(x)) MAX(μA(x), μB(x)) 1−μA(x)
Opérateurs
Probabilistes
μA(x)×μB(x) μA (x)+μB (x)−μA (x)×μB
(x)
1− μA(x)
19/36

23. Egalité : A et B sont dits égaux, propriété que l’on note A = B, si leurs valeurs
d’appartenance prennent la même valeur en tout point de X :
Pour tout x ∈X µA(x) = µB(x).
Inclusion : A est dit inclus dans B, propriété que l’on note A B, si tout
élément x de X qui appartient à A appartient aussi à B avec une valeur
d’appartenance au moins aussi grand :
Pour tout x ∈X µA(x) <= µB(x).
Quelques Opérations sur les sous-
ensembles flous
20/36

24. Le complément permet de vérifier de combien un élément n’appartient pas
à un ensemble.
Comme exemple, si on a l’ensemble des températures élevées, le complément
est l’ensemble des températures qui ne sont pas élevées . Si ´ A est l’ensemble
flou, son complément ´ ¬A est : µA(x) = 1 − µA(x)
L’intersection de deux ensembles, en logique flou, est un peu différente des
méthodes classiques. On cherche à savoir de combien un élément est-il dans
les deux ensembles. On ´ utilise alors la valeur minimale d’appartenance
pour calculer l’intersection.
µA∩B(x)= min[µA(x), µB(x)]
En logique floue, l’union est le contraire de l’intersection. On
cherche a savoir de combien un est-il dans l’un des deux ensembles. On
utilise la valeur maximale d’appartenance. µA∪B(x) = max[µA(x), µB(x)]
21/36

25. Résume des opérations de façon graphique sur des
ensembles flous
22/36
Fig: opérations sur des ensembles
flous

26. 6.RAISONNEMENT EN LOGIQUE
FLOUE
Cette expression en logique classique que nous connaissons veut
dire : Si la proposition p est vraie alors forcement la proposition q est
aussi vraie.
Dans le monde de la logique floue, le raisonnement flou, également appelé
raisonnement approximatif, se base sur des règles floues qui sont exprimées en
langage nature.
N’oublions pas qu’une variable linguistique correspond au triplet,(V,X,TV)
En utilisant cette variable linguistiques ,nous avons l’attitude d’énoncer la forme
d’une règle floue sous cette forme :
Si x∈A et y∈B alors z∈C, avec A, B et C des ensembles flous 23/36

27. Un exemple de règle pourra éclaircir la notion de l’implication floue :
‘'Si (la qualité de la nourriture est délicieuse), alors (le pourboire sera
élevé)‘’.
PREMISSE CONCLUSION
On note que La variable 'pourboire' appartient à l'ensemble flou 'élevé'
.(cette appartenance est réalisée à un degré qui dépend lui-même d’un
degré de validité de la prémisse).
le degré de validité de la prémisse =le degré d’appartenance de la
variable ’‘ qualité de la nourriture ‘’ à l’ensemble flou’’ délicieux’’.
l’idée est la suivante; plus le degré d’appartenance(délicieux) est
important , plus le degré de vérité (élevé)du pourboire est aussi
important.
( l’implication floue est ainsi définie) 24/36

28. NOM VALEUR DE VERITE
MAMADANI min (μA (x), μB (x))
LARSEN μA (x) .μB (x)
Comme exemple d’implication floue, MAMADANI propose:
Si (la qualité de la nourriture est délicieuse), alors (le pourboire
sera élevé)' lorsque la qualité de la nourriture est notée 8,31 et
plus.
25/36
L’inférence floue : construction de règles (et de résultats)
basées sur les variables linguistiques, attribution d’une véracité à
chaque règle, puis agrégation des règles pour obtenir un résultat
(linguistique) unique .
Dans la littérature de la logique floue, les deux définitions de
l'implication floue les plus célèbres et couramment utilisées sont
celles de:

29. 8,31
Fig: Implication floue
26/36

30. 1.La définition d'implication floue choisie.
2.La définition de la fonction d'appartenance de l'ensemble flou de la
proposition située en conclusion de la règle floue.
3.Le degré de validité des propositions situées en prémisse.
Les trois facteurs essentiels de
l’application d’une règle floue
27/36

31. L’application des trois règles de la matrice de décision génère trois
ensembles flous pour la variable ‘’POURBOIRE’’ ( faible , moyen ,
élevé).
Les trois règles sont agrégées par l’operateur MAX qui est toujours utilisé dans
ce type de situation ( en logique floue, l’opération UNION fait appel directement à
l’operateur MAX ).
De la même manière que la logique classique , la prémisse d’un
règle floue peut être formée d’une conjonction de propositions
floues. L'ensemble des règles d'un système flou est appelé
la matrice des décisions.
1. Si le service est mauvais ou la nourriture est
exécrable
alors le pourboire est faible.
2. Si le service est bon alors le pourboire est
moyen.
3. Si le service est excellent ou la nourriture est
délicieuse
alors le pourboire est élevé.
28/36

32. Soit la matrice des décisions construite de la manière suivante:
Les règles 1,2 et 3 forment les trois lignes de la matrice.
Les trois variables linguistiques forment les trois colonnes de la
matrice.
29/36
---- PREMISSE---
DESCRIPTIFS…………….
----CONCLUSION-----
SERVICE
Fig: matrice des
décisions
NOURITURE POURBOIRE

33. Nous sommes devant une situation qui nous exige de prendre la
décision finale c’est-à-dire quel pourboire allons nous réellement
donner pour la situation suivante?:
 une qualité de service d’un degré d’appartenance égal à 7,83/10
=0.783
 une qualité de nourriture d’un degré d’appartenance égal 7,32
/10=0.732
Cette étape finale, qui permet de passer de l'ensemble flou issu de
l'agrégation des conclusions à une décision unique, s'appelle
la DÉFUZZIFICATION.
30/36

34. 7.DÉFUZZIFICATION
 Défuzzification est le processus de convertir une valeur floue en
valeur nette.
 Défuzzification est le processus de production d'un résultat
quantifiable en logique croisée, selon les ensembles flous et les
degrés d'appartenance correspondants.
 Défuzzification est le passage d’un résultat linguistique à un résultat
chiffré.
Il existe de nombreuses méthodes de défuzzification notamment:
EQM (extended quality method);
COG (center of gravity);
FCD (fuzzy clustering defuzzification);
 FOM (first of maximum);
GLSD (generalized level set defuzzification);
MeOM (mean of maxima);
MOM (middle of maximum)… 31/36

35. 1.La défuzzification MeOM (mean of maxima) définit la sortie
(décision ) comme étant la moyenne des abscisses des maxima de
l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions,(pourboire). Ie
:(le milieu du grand trapèze)
Nous allons essayer de présenter brièvement les deux principales méthodes de
défuzzification pour les appliquer à notre exemple :
 la Méthode Moyenne des Maxima (MeOM (mean of maxima)
 la Méthode du Centre de Gravité (COG (center of gravity)
32/36
Fig:(mean of
25.1 DA

36. CG=---------------------------
-
2.La défuzzification COG (center of gravity); est plus couramment
utilisée. Elle définit la sortie comme correspondant à l'abscisse du centre
de gravité de la surface de la fonction d'appartenance caractérisant
l'ensemble flou issu de l'agrégation des conclusions,(pourboire).
Ie: l’abscisse du centre du gravité des deux trapèzes considérés
en même temps)
33/36
Fig:(center of
gravity)
21.5 DA

38. 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Volt(v)
 
 
U
U
y y dy
sortie
y dy
U Univers du discours
Toutes les valeurs de sorties considérées


 






C’est l’abscisse du centre de gravité
de la surface sous la courbe résultat
3,5V
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tension de sortie
Volt(v)
   
 
0 0
/
S
S
y U
y dy
sortie
dy
où S y U y SUP y
 



 
 
  
 
 
 


C’est la moyenne des valeurs de sorties
les plus vraisemblables
1,9V
Méthode du centre de gravité (COG) Méthode moyenne des maximums
(MM)

39. Ladéfuzzification COG permet d'éviter les discontinuités qui
pouvaient apparaître dans la défuzzification MeOM, mais elle est
plus complexe et demande des calculs plus importants.
La valeur du pourboire issue la COG est égale à 21.5 DA
alors celle issue de la MeOM est égale à 25.1 DA
La différence entre les deux valeurs du pourboire est sensible
alors le choix de la méthode de La défuzzification à un effet
important sur la décision finale.
.
Constat
34/36

40. INPUT : la qualité du service et la qualité de la nourriture .
 FUZZIFICATION: correspond aux 3 variables linguistiques 'qualité du service', 'qualité de la
nourriture' et 'montant du pourboire' ;
MOTEUR D'INFÉRENCE :est constitué du choix des opérateurs flous ;min/ max .
 BASE DE CONNAISSANCES FLOUES :est l'ensemble des règles floues ;matrice de décision
 DEFUZZIFICATION : le passage d’un résultat linguistique à un résultat chiffré MeOM et COG
OUTPUT correspond à la décision finale : ‘le montant du pourboire .
Récapitulatif
35/36

41. • Aide à la décision, au diagnostic.
(domaine médical, orientation professionnelle…)
• Base de données.
(objets flous et/ou requêtes floues)
• Reconnaissance de forme.
• Agrégation multicritère et optimisation
• Commande floue de systèmes…
•Traitement d’images (e.g. segmentation)
36/36

42. 8.CONCLUSION et
PERSPECTIVES
Au cours de ce qui a été présenté, nous avons vu que le
décideur doit faire un nombre de choix se basant
essentiellement sur les conseils de l'expert ou sur l'analyse
statistique des données passées, en particulier pour définir les
variables linguistiques ,fonctions d'appartenance et la
matrice de décisions. Le concepteur d’un système flou ne peut
éviter la modélisation de certains aspects du langage
naturel. .
Ainsi, toute la puissance de la logique floue est de rendre
possible la mise en place de systèmes d'inférence dont les
décisions sont sans discontinuités, flexibles et non linéaires,
plus proche du comportement humain que ne l'est la logique
classique.
•La logique floue peut s’appliquer dés qu’une problématique
se base sur une modélisation comportementale où on intègre
un raisonnement subjectif ( comme par exemple un niveau de 37
la logique floue ouvre donc la
possibilité à de nombreuses
applications actuarielles
notamment:
La modélisation de décision liées
, en partie, à une intuition : analyse
d’un dossier pour sentiment de
fraude, rachat conjoncturel ,
arbitrage et même dans le domaine
militaire (Opérationnelle).
Enguise de perspectives des
méthodes probabilistes peuvent
être comparées à des techniques
d’agrégation floues, parmi
lesquelles l’intégrale de Choquet
parvient à améliorer les
performances de manière
significative en termes de CER
(taux d'erreur de confiance).

43. [1] Zadeh, L. A. Soft computing and fuzzy logic. IEEE Software, 11(6), pp 48-56, 1994
.
[2] Mamadani, E.H., Assilian, S. An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy
logic controller. Int. J. Man Mach. Studies, 7(1) : 1–13, 1975.
[3] Ostergaad, J.J. Fuzzy logic control of a heat exchange process. in Fuzzy
Automata and Decision Processes, M.M. Gupta, G.N. Saridis, and B.R. Gaines,Eds.,
pages 285–320, 1977.
[4]www.academia.edu.introduction à la logique floue.
[5] , FRANC DERNON COURTContrôle Flou des Processus Biotechnologiques à
Base d’Algorithmes Génétiques .
.
Référence
38
[6]Bernadette Bouchon logique floue .principe , aide à la décision.

44. Nous espérons que le concept de
la logique floue n’est plus flou .
« Ce que les hommes veulent en fait, ce n’est pas la
connaissance, c’est la certitude. »
Bertrand
Russel