Numerical Analysis : Experimental comparison of quadrature formulas convergence (Matlab)

1. PROJET ANALYSE NUMÉRIQUE
MATLAB
Comparaison expérimentale de la convergence des
formules de quadrature

2. INTRODUCTION
•
Polynômes de Lagrange
Transformée de Fourrier discrète

3. PLAN DE PRÉSENTATION
I. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

4. A.NEWTON-COTES
•

5. A. NEWTON-COTES
•
Les poids sont calculables à priori

6. A. NEWTON-COTES
Symétrie
Vectorisation

7. B.GAUSS-LEGENDRE
•
Polynômes de Legendre
Trop
coûteux
!!!

8. •
B.GAUSS-LEGENDRE

9. B.GAUSS-LEGENDRE
Vectorisation

10. C.CLENSHAW-CURTIS
•
Difficile
Transformée de Fourrier discrète

11. C.CLENSHAW-CURTIS
Vectorisation

12. COMPARAISON DES CRITERES THEORIQUES
NC GL CC
n/n+1 2n+1 n

13. PLAN DE PRÉSENTATION
I. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

14. A.RÉPARTITION DES NOEUDS

15. A.RÉPARTITION DES NOEUDS

16. B.NEWTON-COTES -
CONVERGENCE EN
FONCTION DE
L’INTÉGRAND F
Continuité ?

17. B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F

18. B.NEWTON-COTES -
CONVERGENCE EN
FONCTION DE
L’INTÉGRAND F
Continuité ?

19. B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F
• Newton-Cotes ne convergent pas en général pour tout intégrand f continu
• Newton-Cotes converge f analytique dans un voisinnage de l’intervalle de
l’intégration assez grand.
Pas d’erreurs d’arrondi
Formules composites, Gauss-Legendre,
• Pour n grand
Clenshaw Curtis…

20. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS

21. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS
Facteur relatif de 2

22. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS

23. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS
Gauss- Clenshaw-
Legendre Curtis

24. C. GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS
CAS DE LA FONCTION 7

25. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS
Gauss- Clenshaw-
Legendre Curtis

26. C.GAUSS-LEGENDRE
VS CLENSHAW-CURTIS

27. D.PREMIERE CONCLUSION
f non
f analytique analytique
GL : vitesse CC : vitesse
Vitesse de
de de
convergence
convergence convergence
Précision GL : CC :
précision précision

28. D.ERREUR
D’INTERPOLATION,
POLYNOME DE
MEILLEUR
APPROXIMATION
Gauss-
Clenshaw -
Legendre
Clenshaw-
Curtis
Curtis

29. PLAN DE PRÉSENTATION
I. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

30. CONCLUSION
f non
f analytique analytique
GL : vitesse CC : vitesse
Vitesse de
de de
convergence
convergence convergence
Précision GL : CC :
précision précision

31. QUESTIONS ?
I. Présentation et implémentation des formules de quadrature
A. Newton-Cotes
B. Gauss-Legendre
C. Clenshaw-Curtis
II. Etude numérique de convergence
A. Répartition des noeuds
B. Newton-Cotes : convergence en fonction de
l’intégrand
C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité,
précision et vitesse de convergence
D. Une première conclusion
E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du
polynôme de meilleur approximation