Ce document présente les notions de base liées aux fonctions de plusieurs variables en mathématiques, en particulier leur analyse et leur représentation géométrique. Il traite des concepts tels que les limites, la continuité, les dérivées partielles, ainsi que des outils pour représenter graphiquement les fonctions à deux variables. L'accent est mis sur l'importance de la compréhension géométrique pour une meilleure intuition des principes de l'analyse des fonctions multivariables.

1. ECGE 1230
Math´matiques en ´conomie et gestion
e
e
Paul Henrard et Etienne Loute
Seconde partie
Analyse
ou
Calcul Diff´rentiel
e
des fonctions de plusieurs variables
Ann´e acad´mique 2008/2009
e
e
R´daction : P.Henrard
e

2. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Chapitre 1
Notions de base
Fonctions de plusieurs variables
Repr´sentations g´om´triques
e
e
e
Limites et continuit´
e
1
2.
3.
Nous abordons le d´but de l’analyse des fonctions de plusieurs variables r´elles
e
e
a
` valeurs, soit dans R, soit dans Rp . La plupart des notions que nous verrons
ont d´j` ´t´ ´tudi´es dans le cours Math´matique et Analyse de premi`re ann´e
eaeee
e
e
e
e
dans le cas particulier des fonctions de 2 variables ` valeurs dans R qui reste
a
le support graphique et intuitif du cas g´n´ral. On pourra donc se reporter au
e e
syllabus de ce cours. Nous revoyons ici les outils qui permettent de repr´senter
e
3
une fonction de 2 variables dans l’espace habituel ( R ), ` savoir les sections
a
et, en particulier, les courbes de niveau, outils utilis´s intens´ment par la suite
e
e
pour introduire et illustrer de nombreuses notions th´oriques. Nous revenons
e
ensuite sur les concepts de limites, de continuit´, de d´riv´es partielles et de
e
e e
diff´rentiabilit´.
e
e
La vision des repr´sentations g´om´triques dans R3 n’est pas simple ` acqu´rir.
e
e e
a
e
Si cette maˆtrise n’est pas indispensable ` la compr´hension des mati`res de
ı
a
e
e
l’analyse infinit´simale, elle donne cependant un avantage d´cisif en terme
e
e
d’intuition et de vision globale. Tout effort pour y arriver est donc un investissement qui peut rapporter gros.
1

3. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Les fonctions de plusieurs variables
R´f´rences
ee
• Les fonctions de plusieurs variables
S & B : § 8.1, pp. 173-177
Syll. Math.et An. Chap.3, § 3.1-3.2 pp. 49 ` 51
a
• Repr´sentation des fonctions de deux variables
e
S & B : 8.1, 8.2
Syll. Math.et An. Chap.3, § 4 pp. 51 ` 59
a
• Limites et continuit´
e
S & B : 8.3
Syll. Math.et An. Chap.3, § 5 - 6 - 7 - 8 pp. 59 ` 70
a
Les fonctions de plusieurs variables
1.
Le Calcul matriciel nous a familiaris´ avec les fonctions de Rp dans Rq , mais
e
avec la restriction importante que les fonctions consid´r´es ´taient des applie e e
cations lin´aires. Cette restriction n’est ´videmment plus de mise dans cette
e
e
seconde partie. .
Fonctions et applications
1.1.
1.1.1. Expliquez la phrase suivante (adapt´e du Syllabus de premi`re ann´e)
e
e
e
Une fonction de Rp dans Rq est un m´canisme Input-Output qui associe ` cere
a
tains p-uples (x1 , x2 , . . . , xp ) un q-uple (y1 , y2 , . . . , yq ) qui d´pend enti`rement
e
e
et sans ambigu¨t´ des (x1 , x2 , . . . , xp ).
ıe
Que veulent dire les math´maticiens en disant que ce dispositif a un caract`re
e
e
fonctionnel ?
e
1.1.2. On parlait d’applications lin´aires, et maintenant de fonctions quelconques.
Quelle distinction faut-il faire entre les applications et les fonctions ?
1.1.3. D´finissez le domaine (not´ dom f ), d’une fonction f de Rp dans Rq .
e
e
← D´f.
e
Pourquoi ne se pr´occupait-on pas du domaine des applications (lin´aires) ?
e
e
Illustrations
1.1.a
2+2 = ?
Donnez un exemple concret d’une fonction de R3 dans R2 qui ne
soit pas une application lin´aire.
e
2

4. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Les fonctions de plusieurs variables
Composantes
1.2.
1.2.1. On donne la fonction de R2 dans R3 d´finie par
e
 2

x y − sin(x − y 3 )
.
x5 + 3x3 y 2
f (x, y) = 
2
2
log(x + y )
Que veut-on dire en disant que la donn´e de cette fonction correspond en fait
e
a
` la donn´e de trois fonctions de R2 dans R ? Quelles sont les trois fonctions
e
dont on parle ?
1.2.2. D´finissez ce que sont les composantes d’une fonction de Rp dans Rq .
e
Combien y en a-t-il ?
En passant aux composantes, on obtient une v´ritable diminution de la come
p
plexit´ de l’examen des fonctions de R dans Rq . Presque tous les probl`mes,
e
e
d´finitions, conditions, th´or`mes . . . sur les fonctions de Rp dans Rq peuvent
e
e e
se ramener ` q probl`mes, d´finitions, conditions, th´or`mes . . . correspondants
a
e
e
e e
pour les q composantes de la fonction.
1.2.3. D´montrez que le domaine d’une fonction de Rp dans Rq est l’intersection des
e
q.e.d.
domaines de ses q composantes.
Illustrations
1.2.a
2+2 = ?
On consid`re l’application lin´aire correspondant ` la matrice
e
e
a


1 2 3
 3 2 1 .
4 5 6
Quelles sont ses composantes ?
R´duction de la complexit´
e
e
1.3.
1.3.1. Expliquez l’affirmation suivante faite dans le cours de premi`re ann´e.
e
e
Une fonction de R2 dans R n’est jamais qu’une infinit´ de fonctions
e
de R dans R.
Voyez comment l’on peut retrouver dans une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) des
fonctions de une, deux , trois ou (p − 1) variables.
Ici aussi, on a une r´duction de complexit´ puisque l’on passe d’une fonction
e
e
p
de R dans R ` des (mais une infinit´ de !) fonctions de R dans R. On ne
a
e
s’´tonnera donc pas que cette r´duction soit bien moins efficace puisque l’on
e
e
ne peut pas se permettre de ramener un probl`me, une d´finition, une condition
e
e
3

5. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Repr´sentations g´om´triques
e
e
e
ou un th´or`me ` une infinit´ de probl`mes, d´finitions, conditions, th´or`mes
e e
a
e
e
e
e e
....
Nous essayerons cependant de tirer parti de ce type de r´duction chaque fois
e
que cela sera possible.
Repr´sentations g´om´triques
e
e
e
Sections et courbes de niveau
2.1.1. Reportez-vous au syllabus de Math´matique et Analyse et au livre de r´f´rence
e
ee
(S&B), pp. 177 ` 187. A partir de cette lecture, rappelez les d´finitions de
a
e
– sections iso-x et iso-y, . . . des fonctions de R2 dans R ;
– courbes de niveau des fonctions de R2 dans R.
2.
2.1.
← D´f.
e
← D´f.
e
2.1.2. Les graphes des sections iso-x, des sections iso-y et des courbes de niveau se
repr´sentent naturellement dans un des plans suivants : celui des x, y, celui des
e
x, z ou celui des y, z. Quel graphe dans quel plan ?
2.1.3. Remarquez que les graphes des sections iso-x et des sections iso-y sont des
graphes de fonctions. Pourquoi en est-il ainsi ?
Voyez qu’il n’en est pas n´cessairement de mˆme pour les graphes des courbes
e
e
de niveau. Donnez un exemple de fonction de R2 dans R dont les courbes de
niveau ne sont pas des fonctions.
Illustrations
2.1.a
Pour la fonction z = x + y 2 ,
2+2 = ?
– Dessiner quelques sections iso-x, p.ex. x = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Dessiner sections iso-y, p.ex. y = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Donner une description g´om´trique du graphe de la fonction dans l’espace
e e
et en faire un croquis
– Donner quelques courbes de niveau p.ex. z = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– Dessiner ces courbes de niveau sur le graphe de la fonction et dans le plan
des x, y.
2.1.b
Mˆmes questions pour la fonction z = x2 + y 2 .
e
2+2 = ?
4

6. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Limites et continuit´
e
Limites et continuit´
e
D´finitions
e
3.
3.1.
3.1.1. Reportez-vous au cours de premi`re ann´e.
e
e
Pour une fonction f : Rn −→ R, d´finissez en termes intuitifs
e
– le domaine de f ;
– l’adh´rence de ce domaine ;
e
– la limite de f en un point qui adh`re au domaine de f ;
e
– la continuit´ de f en un point a de son domaine.
e
3.1.2. Expliquez pourquoi la notion de limite est d´finie pour les points qui adh`rent
e
e
au domaine de f .
Pourquoi pas uniquement pour les points du domaine de f ?
Pourquoi pas pour les points qui n’adh`rent pas au domaine de f .
e
3.1.3. Formalisez les notions pr´c´dentes. Donnez des d´finitions pr´cises des concepts
e e
e
e
ci-dessous en termes de distance, boules, ε et δ.
– le point a adh`re au domaine de f ;
e
– b est la limite de la fonction f (x) quand x tend vers a
– f est continue au point a de son domaine.
Donnez ces d´finitions
e
– pour une fonction f de R dans R ;
– pour une fonction f de R2 dans R ;
– pour une fonction f de Rp dans R.
Pr´cisez le contexte de chacune de ces d´finitions et les notations les plus
e
e
fr´quentes.
e
← D´f.
e
← D´f.
e
← D´f.
e
3.1.4. Que faudrait-il faire pour d´montrer que la fonction +, d´finie par +(x, y) =
e
e
x + y, est partout continue ?
Il s’agit bien d’un th´or`me et il en va de mˆme pour les fonctions “diff´rence”
e e
e
e
x
et “produit”. La fonction “quotient”,
, est, elle, continue sur son domaine
y
(y = 0).
Composantes
3.2.
3.2.1. G´n´ralisez les notions pr´c´dentes pour les fonctions de Rp dans Rq .
e e
e e
Donnez, par exemple, la d´finition pr´cise en ε et δ de
e
e
la limite de f (x),
quand x tend vers a , est b
← D´f.
e
pour f une fonction de Rp dans Rq , a ∈ Rp et b ∈ Rq .
5

7. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Limites et continuit´
e
3.2.2. On a d´j` annonc´ que des concepts ` propos des fonctions de Rp dans Rq
ea
e
a
pouvaient souvent se ramener ` des concepts correspondants ` propos de leurs
a
a
composantes. On peut ainsi d´montrer, par exemple, que
e
Une fonction f de Rp dans Rq est continue en un point a de son domaine si
et seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a.
← Th.
3.2.3. Par d´duction, ou simplement par imitation, du th´or`me pr´c´dent, ´noncez
e
e e
e e
e
un th´or`me liant la limite de f en un point a ` la limite de chacune de ses
e e
a
composantes f1 , f2 ,. . . , fq en ce mˆme point.
e
← Th.
Illustrations

3.2.a
2+2 = ?

On donne la fonction f de R dans R3 d´finie par f (x) = 
e
x3 −1
x2 +2
sin x
x
x


.
e
Calculez lim x→0 f (x).
Composition de fonctions
3.3.1. Dans le cas des fonctions de R dans R, on avait un th´or`me qui pouvait
e e
s’´noncer rapidement sous la forme suivante.
e
La compos´e de deux fonctions continues est une fonction continue
e
Ce th´or`me a ´t´ d´j` pr´cis´ et partiellement g´n´ralis´ en premi`re ann´e .
e e
ee ea e e
e e
e
e
e
Pr´cisez et g´n´ralisez ce th´or`me pour le cas de la compos´e g ◦ f de f une
e
e e
e e
e
p
q
q
k
fonction de R dans R et g une fonction de R dans R .
3.3.
← Th.
← Th.
Le cas int´ressant est celui de la compos´e g ◦ f quand f est une fonction de
e
e
Rp dans Rq et g est une fonction de Rq dans R. Pourquoi ?
3.3.2. Donnez un th´or`me correspondant pour les limites de compos´es de deux
e e
e
fonctions.
← Th.
Inspirez vous du th´or`me sur limites et composition ´tudi´ en premi`re ann´e.
e e
e
e
e
e
G´n´ralisez.
e e
3.3.3. Reformulez, en le g´n´ralisant, le th´or`me cit´ dans le syllabus du cours
e e
e e
e
”Math´matique et Analyse” :
e
Les fonctions des variables x1 , x2 , . . . , xp construites en composant des fonctions continues d’une ou plusieurs variables et des
op´rations arithm´tiques, sont des fonctions continues sur tout leur
e
e
domaine.
Illustrez au moyen de quelques exemples.
6

8. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Limites et continuit´
e
Illustrations
3.3.a
2+2 = ?
D´montrez que la fonction f (x, y) = sin(xy) est partout continue.
e
Donnez lim (x,y)→(1,π) f (x, y).
D´montrez que la fonction g(x, y, z) = exy cos(ln(1 + y 2 ) + z) est
e
partout continue.
Donnez lim (x,y,z)→(2,0,π) g(x, y, z).
3.3.b
2+2 = ?
Chemins particuliers
3.4.
3.4.1. Relisez d’abord ce qui a ´t´ ´crit ` ce propos dans le syllabus de premi`re
ee e
a
e
ann´e
e
Soit f une fonction de 2 variables et a = (a, b) ∈ R2 un point qui adh`re au
e
domaine de f .
(1) D´finissez la notion de “chemin particulier passant par le point (a, b)”.
e
(2) Quelle proposition relie la limite de f en (a, b) ` la limite de f au-dessus
a
d’un chemin particulier passant par (a, b) ? Exprimez ce lien en terme
de condition n´cessaire ou suffisante.
e
(3) Quelle est l’utilit´ pratique de cette proposition ? Permet-elle de mone
trer l’existence de certaines limites ?
(4) Permet-elle de montrer la non-existence de certaines limites ? Comment ?
Illustrations
3.4.a
On consid`re la fonction f (x, y) =
e
2+2 = ?
x2
xy
.
+ y2
(1) Quel est le domaine de d´finition de f ?
e
(2) Que peut-on en conclure ` propos de la continuit´ de f ? Pourquoi ?
a
e
(3) Calculez lim (x,y)→(1,0) f (x, y).
(4) Etudiez le comportement de f sur les chemins particuliers y = 0, y = x,
y = 2x,. . . .
Que peut-on en conclure ` propos de lim (x,y)→(0,0) f (x, y) ?
a
(5) La fonction f admet-elle un prolongement continu en (0, 0) ?
7

9. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Limites et continuit´
e
Th´or`me du coin¸age
e e
c
3.5.
3.5.1. Retrouvez d’abord ce th´or`me dans le paragraphe du syllabus de premi`re
e e
e
ann´e consacr´ aux limites par coin¸age des fonctions de deux variables.
e
e
c
Ecrivez le th´or`me du coin¸age pour des fonctions de R2 dans R.
e e
c
G´n´ralisez le th´or`me pour des fonctions de Rp dans R.
e e
e e
← Th.
← Th.
3.5.2. Expliquez pourquoi on ne peut ´crire un th´or`me de coin¸age que pour les
e
e e
c
fonctions de Rp dans R et pas pour les fonctions de Rp dans Rq .
Expliquez aussi pourquoi ce n’est pas gˆnant.
e
Illustrations
3.5.a
Dans le syllabus de premi`re ann´e, on d´montre par coin¸age que
e
e
e
c
xy
lim
= 0.
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
Imitez cette d´monstration pour d´montrer que
e
e
xyz
lim
= 0.
2 + y2 + z2
(x,y,z)→(0,0,0) x
2+2 = ?
8

10. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 1
e
Domaine d’une fonction de Rp dans Rq
Le domaine d’une fonction f de Rp dans Rq – not´ dom(f ) –
e
e
semble des vecteurs x de Rp pour lesquels f (x) est d´fini.
est l’en-
Autrement dit
dom(f ) = {x ∈ Rp | f (x) est d´fini }
e
Sections iso-x et iso-y
Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une fonction iso-x de
f en fixant une valeur de x ( p.ex. x = a) et en consid´rant la fonction
e
z = f (a, y)
qui est une fonction de la seule variable y.
La “section iso-x ” correspondante est le graphe de cette fonction dans le plan
des yz.
Courbe de niveau
Si z = f (x, y) est une fonction de R2 dans R, on obtient une courbe de niveau
de f en fixant une valeur de z ( p.ex. z = c ) et en consid´rant, dans le plan
e
des xy, l’ensemble
{(x, y) | f (x, y) = c} .
En g´n´ral, ces points d´crivent une courbe dans le plan des x, y. Mais cette
e e
e
courbe n’est pas (n´cessairement) le graphe d’une fonction, contrairement aux
e
sections iso-x ou iso-y.
Point adh´rant - Adh´rence
e
e
si A est une partie de Rp , on dit que le point a adh`re `
e a
points de A aussi proche que l’on veut de a.
A s’il existe des
Autrement dit
a adh`re ` A
e a
L’
adh´rence
e
ssi
∀ε > 0 ∃x ∈ A t.q. d(a, x) < ε.
de A est l’ensemble des points qui adh`rent ` A.
e
a
9

11. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
D´finitions
e
Limites
Si f est une fonction de Rp dans Rq , et a un point qui adh`re ` dom(f ), alors
e a
on dit que b est la limite de f (x) quand x tend vers a, et on note
b = lim f (x)
x→a
ssi
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), b) < δ .
Continuit´ d’une fonction en un point
e
Si f est une fonction de Rp dans R, et a un point de dom(f ), alors
on dit que f est continue au point a si f (a) est la limite de f (x) quand x tend
vers a.
Autrement dit
f est continue au point a
ssi
∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.q. ∀x ∈ dom(f ) si d(x, a) < ε alors d(f (x), f (a)) < δ .
Continuit´ d’une fonction
e
Une fonction f est dite continue (ou partout continue) si elle est continue en
tous les points de son domaine.
Chemin particulier
Si f (x, y) est une fonction de R2 dans R, et a = (a, b) un point de dom(f ),
alors un chemin particulier passant par le point a est
une fonction y = φ(x) continue en a et telle que b = φ(a)
ou une fonction x = ψ(y) continue en b et telle que a = ψ(b) .
10

12. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 1
e e
Continuit´ des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´
e
e
e
p
q
Une fonction f de R dans R est continue en un point a de son domaine si et
seulement si chacune de ses composantes f1 , f2 ,. . . , fq est continue en a.
Autrement dit


f1 (x)
 f2 (x) 
f (x) =  .  est continue en a
 . 
.
fq (x)

 f1 (x) est continue en a

 f2 (x) est continue en a
ssi
.
.

.


fq (x) est continue en a
Limite des fonctions de Rp dans Rq : r´duction de complexit´
e
e
Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ).
e a
Alors, b est la limite de f (x) quand x tend vers a
ssi
cela est vrai
composante par composante.
Autrement dit
b = lim f (x)
x→a
ssi

lim
 b1 = x→a f1 (x)


 b = lim f (x)
 2
2
x→a
.
.


.


 bq = lim fq (x)
x→a
Compos´e de fonctions continues
e
La compos´e de deux fonctions continues est une fonction continue.
e
Autrement dit
Soit f une fonction de Rp dans Rq et g une fonction de Rq dans Rn .
Si f est continue en a et si g est continue en b = f (a), alors la compos´e g ◦ f
e
est continue en a.
Limite de compos´e
e
Soit f une fonction de Rp dans Rq et a un point qui adh`re ` dom(f ) tels que
e a
b = lim f (x) ;
x→a
et g une fonction de Rq dans Rn telle que b adh`re ` dom(g) et c = lim f (x).
e a
x→b
Alors c = lim (g ◦ f )(x).
x→a
Autrement dit
11

13. 2008
Analyse
Ch. 1 Notions de base
Principaux th´or`mes
e e
Avec les hypoth`ses d’existence sous-entendues dans les ´critures,
e
e
lim g(y)
lim (g(f (x)) =
x→a
y → lim f (x)
x→a
Limite et chemins particuliers
Soit f une fonction de R2 dans R, et (a, b) un point qui adh`re ` dom(f ).
e a
Si c est la limite de f (x) quand x tend vers (a, b), alors c est la limite de f (x)
quand x tend vers (a, b) sur tous les chemins particuliers passant par (a, b).
Autrement dit
Dans le contexte d´crit,
e
si lim f (x) = c et si y = φ(x) est une fonction continue telle que φ(a) = b
x→(a,b)
(c.`-d. un chemin particulier passant par (a, b) ),
a
alors
lim f (x, φ(x)) = c .
x→a
Th´or`me du coin¸age
e e
c
Soit f , g et h trois fonctions de Rp dans R et a un point qui adh`re au domaine
e
des trois fonctions.
Si la fonction h est coinc´e entre les fonctions f et g,
e
et si les limites de f et g quand x tend vers a existent et prennent la mˆme
e
valeur c,
alors la limite de h quand x tend vers a existe elle aussi et vaut c.
Autrement dit
Avec les conditions d’adh´rence ci-dessus,
e
si
et si
alors
∀x f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ou g(x) ≤ h(x) ≤ f (x)
lim f (x) = lim g(x) = c
x→a
x→a
lim h(x) = c
x→a
12

14. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Chapitre 2
D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
´
D´riv´es partielles - Elasticit´s partielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule)
e
e
ıne
D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
4.
5.
6.
7.
R´f´rences
ee
• D´riv´es partielles
e e
S & B : 9.1, 9.2, 9.3
Syll. Math.et An. Chap.3, § 9 pp. 71 ` 73
a
´
• Elasticit´s partielles
e
Tout bon cours d’´conomie
e
S & B pp.199-200
• Diff´rentielle
e
• Gradient
S & B : 9.4
Syll. Math.et An. Chap.3, § 10 pp. 74 ` 77
a
S & B : pp. 305 et 306
S & B : pp. 608 et 613
Syll. Math.et An. Chap.3, § 4.4, pp. 57 ` 59
a
Syll. Math.et An. Chap.3, § 10.6, pp. 78 et 79
• R`gle de d´rivation en chaˆ (Chain rule)
e
e
ıne
Rappels pour une variable
Fonctions de plusieurs variables
S & B : pp.75-80
S & B : pp.311-313
S & B : pp.211-214
13

15. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
• D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
D´riv´es et ´lasticit´s partielles
e e
e
e
S & B : pp.215-220
S & B : pp.304-305
D´riv´es et ´lasticit´s partielles
e e
e
e
Nombres d´riv´es partielles
e e
4.
4.1.
e
e
e
4.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re ann´e consacr´ aux
d´riv´es partielles des fonctions de deux variables.
e e
La mˆme mati`re est abord´e dans S & B , § 9.1 ` 9.3, pp. 195 ` 202, dans le
e
e
e
a
a
cas des fonctions de n variables.
e
e e
a
4.1.2. D´finissez le “nombre d´riv´e partielle” d’une fonction f (x, y) par rapport ` la
∂f
(a, b).
variable x au point (a, b). Notez ce nombre
∂x
Suggestion : Utilisez la fonction G(x) = f (x, b).
4.1.3. Donnez une interpr´tation g´om´trique de
e
e e
par (a, b).
← D´f.
e
∂f
(a, b) dans le plan iso-y passant
∂x
4.1.4. Faites de mˆme (d´finition et interpr´tation) pour le nombre d´riv´e partielle
e
e
e
e e
par rapport ` y.
a
Illustrations
4.1.a
2+2 = ?
On donne f (x, y) = 4x3 − xy 2 . Calculez
∂f
∂f
(1, 2) et
(1, 2) .
∂x
∂y
4.1.b
Est-ce qu’il y a toujours une d´riv´e partielle par rapport ` x, pour
e e
a
n’importe quelle fonction, et en n’importe quel point ?
Donnez un exemple simple d’une fonction qui n’admet pas de d´riv´e partielle
e e
par rapport ` x en un point.
a
2+2 = ?
4.1.c
Est-ce que les existences d’une d´riv´e partielle par rapport ` x et
e e
a
d’une d´riv´e partielle par rapport ` y sont li´es ?
e e
a
e
Donnez un exemple d’une fonction simple qui, en un point, admet une d´riv´e
e e
partielle par rapport ` une variable et pas par rapport ` l’autre.
a
a
2+2 = ?
14

16. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´riv´es et ´lasticit´s partielles
e e
e
e
Fonctions d´riv´es partielles
e e
4.2.1. Pour une fonction f (x, y) de R2 dans R, d´finissez les deux fonctions d´riv´es
e
e e
∂f
∂f
partielles
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂x
4.2.2. Comment calcule-t-on en pratique les fonctions d´riv´es partielles ?
e e
4.2.
← D´f.
e
4.2.3. Comment calcule-t-on en pratique les nombres d´riv´es partielles ?
e e
4.2.4. G´n´ralisez les notions ci-dessus au cas des fonctions de trois variables ou plus.
e e
– D´finissez les nombres d´riv´es partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois
e
e e
variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables.
← D´f.
e
Ramenez-vous ` des nombres d´riv´es de fonctions d’une variable. Lesa
e e
quelles ?
Pr´cisez bien le contexte, les ´critures, les notations, . . .
e
e
– D´finissez les fonctions d´riv´es partielles d’une fonction f (x, y, z) de trois
e
e e
variables, ou d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables.
← D´f.
e
Combien y a-t-il de fonctions d´riv´es partielles ? Combien chacune a-te e
elle de variables ?
Illustrations
4.2.a
2+2 = ?
Pour la mˆme fonction f (x, y) = 4x3 −xy 2 qu’au paragraphe pr´c´dent,
e
e e
∂f
∂f
calculez
(a, b) et
(a, b) en un point quelconque (a, b) de R2 .
∂x
∂y
Les d´riv´es partielles comme limites
e e
4.3.1. D´finissez le nombre d´riv´e partielle comme une limite.
e
e e
4.3.
← D´f.
e
Rappelez-vous de la d´finition en terme de limite du nombre d´riv´e d’une
e
e e
fonction d’une variable.
De l`, passez aux fonctions de 2, 3 ou p variables.
a
Illustrations
4.3.a
2+2 = ?
On donne la fonction f de R3 dans R d´finie par
e
 4
3
2
 x +y +z
si (x, y, z) = (0, 0, 0)
x2 + y 2 + z 2
f (x, y, z) =

0
si (x, y, z) = (0, 0, 0)
15

17. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´riv´es et ´lasticit´s partielles
e e
e
e
Calculez, si elles existent, les trois d´riv´es partielles de f en (0, 0, 0).
e e
Divers
4.4.
4.4.1. Relevez diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles.
e
e e
e e
4.4.2. Qu’est-ce qui est “partiel ” dans une d´riv´e partielle ?
4.4.3. Les ´conomistes parlent souvent d’´tudier le lien entre des variations de deux
e
e
variables ´conomiques “toutes autres choses restant ´gales” (en latin Ceteris
e
e
paribus sic stantibus ou en abr´g´ Ceteris paribus).
e e
Comment retrouve-t-on ce concept dans le contexte des d´riv´es partielles ?
e e
4.4.4. Quelle diff´rence faut-il faire entre les notations
e
df
∂f
et
?
dx
∂x
4.4.5. Comment reconnait-on sur le graphe des courbes de niveau d’une fonction de
deux variables les grandes ou les petites valeurs de ses d´riv´es partielles ?
e e
Illustrations
4.4.a
Le graphe ci-contre donne des
courbes de niveau d’une fonction f
de R2 dans R.
2+2 = ?
y
0
2
1
2
1. A partir de ce graphe, faites un
croquis du graphe de la fonction
G(x) = f (x, 1).
1
2
3
4
2. A partir ce nouveau graphe, donnez une ´valuation de la valeur de
e
1
3
4
∂f
(1, 1)
∂x
1
2
x
et de ∂f (2, 1). Donnez-en au
∂x
moins le signe et une estimation de
la valeur absolue.
3. Faites un croquis de la fonction G (x) =
4. Donnez aussi une ´valuation de
e
∂f
(1, 1)
∂y
∂f
(x, 1).
∂x
et de
∂f
(1, 2).
∂y
16

18. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
´
Elasticit´s partielles
e
4.5.
e
a
e
e
4.5.1. Consultez un livre d’´conomie ` propos de l’´lasticit´ (pour les fonctions d’une
variable).
Voyez par exemple ce que S & B en disent dans un contexte ´conomique
e
(pp.199-200).
4.5.2. Pour une fonction z = f (x1 , x2 , . . . , xp ) de p variables, interpr´tez le concept
e
de “ l’´lasticit´ de z par rapport ` une des variables” (p.ex. x2 ), toutes autres
e
e
a
choses restant ´gales.
e
e
e
e
a
4.5.3. D´finissez l’´lasticit´ (partielle) de z par rapport ` la variable xi .
← D´f.
e
Illustrations
4.5.a
2+2 = ?
Pour la fonction z = x2 x3 x4 , calculez les ´lasticit´s partielles de z
e
e
1 2 3
par rapport ` chacune des trois variables, au point (1, 2, −1).
a
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
La diff´rentielle
e
5.
5.1.
5.1.1. Relisez d’abord le paragraphe du syllabus de premi`re ann´e consacr´ aux
e
e
e
diff´rentielles des fonctions de deux variables. Lisez le paragraphe 9.4 de S &
e
B (pp. 203-207) intitul´ “Diff´rentielle totale”.
e
e
5.1.2. On consid`re une fonction z = f (x) = f (x, y) et un point a = (a, b) de son
e
domaine.
On cherche ` comprendre comment la variable z s’accroit ou diminue par
a
rapport ` f (a, b), quand x et y varient par rapport ` a et b respectivement.
a
a
On notera h l’accroissement (ou la diminution) de x par rapport ` a. Quelle
a
est l’´quation qui lie x et h ?
e
(Est-ce x + a + h = 0,
x + a = h,
x = a + h ou
x + h = a ?)
On notera k l’accroissement (ou la diminution) de y par rapport ` b. Quelle
a
est l’´quation qui lie y et k ?
e
Exprimez maintenant l’accroissement de z par rapport ` f (a, b) correspondant
a
a
` un accroissement (h, k) de (x, y) par rapport ` (a, b).
a
5.1.3. A partir de ce que vous venez de faire, donnez un sens ` l’expression
a
f (a + h, b + k) − f (a, b)
ou
f (a + h) − f (a)
On pourrait la noter [∆(a,b) z](h, k) ou [∆(a,b) f ] (h, k). Pourquoi ?
17

19. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
5.1.4. D´finissez pr´cis´ment la notion de diff´rentielle d’une fonction f (x, y) au point
e
e e
e
(a, b).
← D´f.
e
5.1.5. Qu’appelle-t-on le quotient diff´rentiel ?
e
5.1.6. Faites un relev´ de quelques notations usuelles pour d´signer la diff´rentielle.
e
e
e
La notation la plus fr´quente, et que nous utiliserons, est d(a,b) f (h, k), ou
e
da f (h).
Mais, en utilisant la mˆme logique que celle qui nous a fait ´crire [∆(a,b) f ](h, k),
e
e
on pourrait plus prudemment ´crire [d(a,b) f ](h, k).
e
O` est est la nuance ? Elle est dans la d´finition et l’ordre des “op´rations”
u
e
e
que l’on effectue.
A partir de la fonction f et du point (a, b) on construit une autre fonction
[d(a,b) f ]. C’est cette nouvelle fonction que l’on applique ensuite ` la variable
a
d’accroissement (h, k).
La notation d(a,b) f (h, k) peut laisser croire que c’est la fonction f qui est appliqu´e ` la variable (h, k) pour donner f (h, k), et qu’ensuite une myst´rieuse
e a
e
op´ration d(a,b) est appliqu´e au r´sultat (un nombre r´el !) pour donner d(a,b) f (h, k) ;
e
e
e
e
ce qui, dans ce cas, serait mieux ´crit d(a,b) [f (h, k)] mais n’a pas de sens.
e
5.1.7. Interpr´tez la diff´rentielle comme approximation lin´aire de la fonction diff´rence.
e
e
e
e
5.1.8. Donnez un sens pr´cis ` l’´criture
e a e
f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + d(a,b) f (h, k).
← Th.
Illustrations
5.1.a
On pose f (x, y) = 3x(y − 2)2 et (a, b) = (2, 3).
2+2 = ?
–
–
–
–
Calculez concr`tement la fonction [∆(a,b) f ](h, k).
e
D´veloppez et ´crivez la sous la forme d’un polynˆme en h et k.
e
e
o
Ce polynˆme n’a pas de terme ind´pendant. Pourquoi ?
o
e
Il y a donc dans ce polynˆme un terme en h, un terme en k, et des termes
o
de degr´ sup´rieur : en hk, en hk 2 , . . . , etc. Pour des valeurs petites de h et
e
e
k, les termes de degr´ deux ou plus deviennent tr`s petits et n´gligeables
e
e
e
par rapport aux termes de degr´ 1.
e
A partir de l`, justifiez l’´criture
a
e
[∆(2,3) z](h, k) ≈ 3h + 12k
– Utilisez cette formule pour donner une valeur approch´e de f (2.03, 2.98).
e
Appliquez cette d´marche pour la fonction z = f (x, y) = 2x2 − y 3
e
pr`s du point (2, 2), afin de construire un polynˆme du premier
e
o
degr´ en h et k qui donne une bonne approximation de [∆(2,2) f ](h, k).
e
5.1.b
2+2 = ?
18

20. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
Ces polynˆmes du premier degr´ qui approchent la fonction “diff´rence” [∆(a,b) f ](h, k)
o
e
e
sont “ la diff´rentielle” de f au point (a, b).
e
La m´thode de calcul utilis´e ci-dessus (pour des fonctions polynomiales) n’est
e
e
pas g´n´ralisable. Mais la notion de ”diff´rentielle” l’est.
e e
e
5.1.c
Sachant que la diff´rentielle de la fonction f (x, y) au point (1, 2)
e
est 3h + 6k, et que f (1, 2) = 6, donnez une approximation de
f (0.9, 2.03).
2+2 = ?
Diff´rentielle et d´riv´es partielles
e
e e
5.2.
5.2.1. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle et les d´riv´es partielles.
e
e e
5.2.2. Ecrivez ce lien sous la forme d’un th´or`me pr´cis, en donnant bien les hye e
e
poth`ses et la th`se.
e
e
← Th.
5.2.3. L’existence des d´riv´es partielles de f en a est-elle une condition n´cessaire,
e e
e
suffisante ou n´cessaire et suffisante de l’existence de la diff´rentielle de f en
e
e
a?
5.2.4. On parle de d´riv´es partielles et de diff´rentielle totale. Pourquoi ?
e e
e
Illustrations
5.2.a
Calculez la diff´rentielle de la fonction 3x3 e(y−2) en (2, 2).
e
2+2 = ?
Plan tangent
5.3.1. Ecrivez sous forme fonctionnelle ( z = t(x, y) ) l’´quation du plan tangent ` la
e
a
surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) en fonction des d´riv´es partielles de
e e
f en (a, b).
5.3.
← Th.
5.3.2. Ecrivez la mˆme ´quation en y faisant apparaˆ la diff´rentielle d(a,b) f .
e
e
ıtre
e
5.3.3. Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est un espace
a
affine.
Quel est son plan directeur ?
Illustrations
5.3.a
2+2 = ?
Donnez l’´quation du plan tangent ` la surface z = x2 + y 3 au point
e
a
(2, −1, 3).
19

21. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
Tangente ` une courbe de niveau - Gradient
a
5.4.
5.4.1. On donne la fonction z = f (x, y) et le point a = (a, b) avec f (a) = c.
– Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point
e
(a, b, c) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y).
– Ecrivez les ´quations des courbes de niveau ` hauteur c de la fonction
e
a
f (x, y) et de la fonction T (x, y).
– Que sont ces deux courbes l’une par rapport ` l’autre ?
a
– T (x, y) = c
est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne
e
e
de son sev directeur.
– Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ?
a
– Comment appelle-t-on ce vecteur ?
5.4.2. Relisez ce qui est dit ` propos du gradient dans le syllabus de premi`re candia
e
dature et dans S & B .
5.4.3. D´finissez le gradient d’une fonction f (x, y) en un point (a, b).
e
5.4.4. Le vecteur gradient de la fonction f (x, y) au point (a, b) est not´
e
f (a, b).
Comment appelle-t-on le signe ? Quelle est l’origine de ce mot ?
← D´f.
e
(a,b) f
ou
5.4.5. Quel est le lien entre le gradient et ce que l’on appelle “la plus grande pente ” ?
O` sont le haut et le bas de cette pente ?
u
5.4.6. Indiquez comment le gradient permet de distinguer la partie du plan o` f (x, y) >
u
c et celle o` f (x, y) < c de part et d’autre de la courbe de niveau f (x, y) = c.
u
Illustrations
On donne la fonction z = f (x, y) = x2 + y 2 et le point a = (2, −1)
avec c = f (a) = 5.
Ecrivez l’´quation du plan tangent au graphe de cette fonction au point
e
(2, −1, 5) sous une forme fonctionnelle z = T (x, y).
Dessinez sur un mˆme graphe les courbes de niveau ` hauteur 5 de la
e
a
fonction f (x, y) et de la fonction T (x, y).
Qu’y a-t-il de remarquable ? Expliquez le ph´nom`ne.
e
e
T (x, y) = 5 est un sous-espace affine. Donnez une ´quation cart´sienne de
e
e
son sev directeur.
Quelle est la direction orthogonale ` ce sev ?
a
5.4.a
2+2 = ?
–
–
–
–
–
On consid`re la fonction f (x, y) = x3 y 2 + exy .
e
On ne voit pas bien comment dessiner le graphe de la courbe de
niveau ` hauteur 1. Pouvez-vous donner une id´e de son comportement pr`s
a
e
e
de (0, 0) ?
5.4.b
2+2 = ?
20

22. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
Les fonctions de p variables
5.5.
5.5.1. G´n´ralisez la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp dans R.
e e
e
– Reprenez les ´critures en utilisant la variable x = (x1 , x2 , . . . , xp ), le point
e
a = (a1 , a2 , . . . , ap ) et l’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
– D´finissez la fonction diff´rence [∆(a) f ](h).
e
e
– D´finissez la fonction diff´rentielle d(a) f (h).
e
e
– D´finissez le quotient diff´rentiel qui mesure la ” proximit´” de [∆(a) f ](a)
e
e
e
et d(a) f (h).
– D´finissez l’expression “la fonction f est diff´rentiable au point a de son
e
e
domaine ”.
← D´f.
e
5.5.2. Donnez le lien entre les coefficients de la diff´rentielle d’une fonction de p vae
riables en un point et les d´riv´es partielles de la fonction en ce point.
e e
Exprimez s’il s’agit d’une condition n´cessaire, suffisante ou n´cessaire et sufe
e
fisante.
← Th.
5.5.3. Pour que la diff´rentielle soit une notion utile, il faut que l’on soit sˆr de son
e
u
existence pour une classe suffisamment large de fonctions et de points.
Donnez une condition suffisante sur les d´riv´es partielles assurant la diff´e e
e
rentiablilit´ d’une fonction en un point.
e
← Th.
5.5.4. Donnez les liens logiques entre les affirmations suivantes. Exprimez-les en terme
de conditions n´cessaires et de conditions suffisantes.
e
– La fonction f est continue en (a, b).
– La fonction f est diff´rentiable en (a, b)
e
– Les nombres d´riv´es partielles de f existent en (a, b)
e e
– Les fonctions d´riv´es partielles de f existent pr`s de (a, b) et sont contie e
e
nues en (a, b).
← Th.
5.5.5. G´n´ralisez la notion de gradient pour les fonctions de Rp dans R.
e e
← D´f.
e
5.5.6. Pour les fonctions de R3 dans R, que sont
– les surfaces de niveau ?
– le sous-espace affine tangent ` une de ces surfaces en un point ?
a
– la direction de plus grande pente ?
– les vecteurs gradients ?
Illustrations
5.5.a
2+2 = ?
2
Calculez la diff´rentielle en (1, 0, −2, 1) de f (x) = x2 cos(x1 x2 )ex3 +2x .
e
1
Tirez-en une valeur approch´e de la fontion en (1.02, −0.03, −2.01, 0.98).
e
21

23. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
Pour la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , repr´sentez la surface de
e
2+2 = ?
niveau ` “hauteur” 14.
a
Donnez le plan tangent ` cette surface en (1, 2, 3). Donnez la direction de “plus
a
grande pente”.
5.5.b
Lignes ou colonnes ?
5.6.
Pour le Calcul Matriciel, nous avions convenu que les vecteurs de Rp , variables


 
x1
1
 x2  ou constants comme a =  2 , se repr´sentaient sous
comme x =
e
x3
3
la forme de vecteurs colonnes .
Par contre, nous venons d’´crire plusieurs fois f (x) pour f (x1 , x2 , . . . , x3 ). Et
e
dans ce cas, ce (x1 , x2 , . . . , x3 ) se pr´sente comme un vecteur ligne.
e
Certains auteurs plus pointilleux recommandent d`s lors d’´crire syst´matiquement
e
e
e
t
x pour (x1 , x2 , . . . , xp ), allant par exemple jusqu’` parler de la diff´rentielle de
a
e
f (xt ) au point at = (1, 2, 3), ou au point a = (1, 2, 3)t .
Mais nous ne les suivrons pas. Ce ne sera pas le seul exemple, tant en langue
naturelle qu’en langage math´matique, o` l’usage consacre des mots ou des
e
u
notations dont le sens varie avec le contexte.
Nous serons donc attentifs ` utiliser avec soin les notations matricielles para
tout o` ces notations se r´f`rent ` un contexte de calcul matriciel. Mais nous
u
ee
a
n’h´siterons pas ` utiliser avec quelque ambigu¨ e la notation usuelle f (x) pour
e
a
ıt´
les fonctions de plusieurs variables, o` encore l’´criture a = (a1 , a2 , . . . , ap )
u
e
pour d´signer un vecteur de Rp .
e
D’ailleurs nous n’avions pas h´sit´, d´j`, ` parler d’une forme quadratique
e e ea a
q(x1 , x2 , . . . , xp ) = q(x) = xt Ax, en utilisant d’un cˆt´ q(x) sans trop se deoe
mander si x y d´signait une ligne ou une colonne, mais de l’autre cˆt´, une
e
oe
notation strictement matricielle xt Ax, o` x devait ˆtre interpr´t´ absolument
u
e
ee
comme une colonne.
Fonctions de Rp dans Rq
5.7.
On cherche ` g´n´raliser la notion de diff´rentielle au cas des fonctions de Rp
a e e
e
dans Rq .
5.7.1. Assurez-vous des notations utilis´es dans ce cas.
e
Bien que nous continuerons ` utiliser l’abus d’´criture f (x), il faudra ˆtre
a
e
e
attentif, pour ´viter des confusions ult´rieures, ` noter en colonne les vecteurs
e
e
a
images.
On aura ainsi
22

24. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
R`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne


f1 (x)
 f (x) 

f (x) =  2
 ... 
fq (x)
5.7.2. Ecrivez la fonction diff´rence pour une fonction de Rp dans Rq .
e
e
5.7.3. Ecrivez le quotient diff´rentiel dans ce contexte Rp dans Rq .
Attention ! La fonction diff´rence et la diff´rentielle sont ici des fonctions vectoe
e
rielles ` valeur dans Rq . Il en va de mˆme pour leur diff´rence et le num´rateur
a
e
e
e
du quotient diff´rentiel est un donc vecteur. Pour exprimer que ce vecteur est
e
petit, on exprime que sa norme est petite. On est ainsi ramen´ ` un num´rateur
ea
e
qui est un nombre r´el.
e
5.7.4. D´finissez l’expression
e
“f (x) est diff´rentiable au point a
e
p
quand f est une fonction de R dans Rq .
5.7.5. La diff´rentielle est dans ce cas une application de Rp dans Rq . Elle est donc
e
elle aussi faite de q composantes.
Quel est le lien entre les composantes de la diff´rentielle de f et les diff´rentielles
e
e
de ses composantes ?
5.7.6. Qu’appelle-t-on “matrice Jacobienne” d’une fonction f en un point a ?
← D´f.
e
← Th.
← D´f.
e
5.7.7. Pouvez-vous interpr´ter la jacobienne (d’une fonction f en un point a) comme
e
matrice repr´sentant une application lin´aire ? Laquelle ?
e
e
Illustrations
5.7.a
2+2 = ?
5.7.b
2+2 = ?
Calculez la diff´rentielle en (1, 2, 1) de la fonction
e


x2 + y 2 z
f (x, y, z) =  sin(x2 y) + 2x 
4xy ln(x, z)
La diff´rentielle est une application lin´aire, donc matricielle.
e
e
Ecrivez la diff´rentielle calcul´e ` l’exercice pr´c´dent sous forme
e
e a
e e
matricielle.
5.7.c
2+2 = ?
Calculez la matrice Jacobienne de la fonction de l’exercice pr´c´dent
e e
en un point (x, y, z)
23

25. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
R`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne
R`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne
Rappel pour les fonctions d’une variable
6.
6.1.
6.1.1. Revoyez le contexte et les r`gles de la d´rivation de fonctions compos´es pour
e
e
e
les fonctions d’une variable.
Illustrations
6.1.a
Ecrivez la fonction f (x) = sin(ln x) comme compos´e de deux fonce
tions.
Calculez la d´riv´e de cette compos´e en x = 1.
e e
e
2+2 = ?
G´n´ralisation au cas de plusieurs variables
e e
6.2.
6.2.1. D´crivez le contexte de la composition de fonctions pour des fonctions de
e
plusieurs variables.
6.2.2. Donnez des exemples concrets de compos´es g ◦ f , pour diff´rents cas. Par
e
e
exemple quand
• f est une fonction de R2 dans R et g une fonction de R dans R.
• f est une fonction de R dans R3 et g une fonction de R3 dans R.
• f est une fonction de R2 dans R2 et g une fonction de R2 dans R.
• f est une fonction de R2 dans R3 et g une fonction de R3 dans R2 .
6.2.3. Reconnaissez-vous une composition de fonctions de ce genre dans l’´criture
e
f (x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v)) ?
Imaginez des ´critures similaires pour chacun des cas de l’exercice pr´c´dent.
e
e e
6.2.4. Pour chacun des cas pr´cit´s, d´crivez le probl`me de la d´rivation partielle
e e
e
e
e
et/ou de la diff´rentiation.
e
– Quelle diff´rentielle ou d´riv´es partielles recherche-t-on ?
e
e e
– En quel point ?
– A partir de quelles diff´rentielles ou d´riv´es partielles va-t-on les calculer ?
e
e e
– En quels points ?
24

26. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
R`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne
Commentaire
Pour la pratique, il sera surtout utile de pouvoir maˆ
ıtriser
les probl`mes de d´rivation en chaˆ dans quelques cas simples. Mais la voie
e
e
ıne
th´orique la plus directe pour y arriver consiste ` ´tudier le probl`me de la
e
a e
e
diff´rentielle dans son contexte le plus g´n´ral. C’est donc par l` que nous
e
e e
a
commen¸ons.
c
6.2.5. On consid`re des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs ; et a un point
e
p
de R .
Faites apparaˆ dans un sch´ma les ´l´ments suivants et les relations entre
ıtre
e
ee
eux.
– f , a, f (a), da f ;
– g, f (a), g(f (a)), df (a) g ;
– g ◦ f , a, g ◦ f (a), da (g ◦ f ).
6.2.6. Dans le contexte de la question pr´c´dente, ´tudiez la signification du th´or`me
e e
e
e e
Si f est diff´rentiable en a et si g est diff´rentiable en f (a), alors g ◦ f est
e
e
diff´rentiable en a.
e
De plus, la diff´rentielle de la compos´e g◦f en a est la compos´e des diff´rentielles
e
e
e
e
de g en f (a) et de f en a.
← Th.
← Th.
Donnez une ´criture symbolique du th´or`me.
e
e e
Compl´tez-le par la description des points en lesquels les diff´rentes diff´rentielles
e
e
e
sont calcul´es.
e
6.2.7. Le th´or`me pr´c´dent implique un lien entre les jacobiennes de f , g et g ◦ f
e e
e e
(en des points bien choisis).
Exprimez ce lien.
Faites-le en d´tail pour une fonction f de R2 dans R3 et g de R3 dans R2 .
e
Commentaire
Pour le calcul concret des d´riv´es partielles des fonctions
e e
compos´es, il suffit de maˆtriser le cas particulier o` f est une fonction de R
e
ı
u
q
q
dans R et g une fonction de R dans R.
6.2.8. f est une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans R.
Explicitez les notations qui permettent d’´crire la compos´e sous la forme
e
e
g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)).
6.2.9. Ecrivez la Jacobienne de f en a et la Jacobienne de g en f (a).
q.e.d.
Effectuez le produit de ces Jacobiennes et d´duisez-en la formule permettant
e
de calculer la d´riv´e par rapport ` t de g(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t)).
e e
a
← Th.
6.2.10. Pour des fonctions f de Rp dans Rq et g de Rq dans Rs , la Jacobienne de g ◦ f
contient les d´riv´es partielles de chacune des s composantes gi ◦ f par rapport
e e
a
` chacune des p variables xj .
Voyez comment chacune de ces s × p d´riv´es partielles peut se calculer en
e e
utilisant la formule vue ci-dessus.
25

27. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
Illustrations
On donne les fonctions G(x, y) = (2x2 − y, −y 3 )
et F (u, v) = (u − v, u2 ) .
Calculez les Jacobiennes de G(x, y) et F (u, v).
Evaluez ces Jacobiennes aux points ad´quats pour pouvoir calculer la
e
Jacobienne de F (G(x, y)) au point (x, y) = (1, 1).
Calculez cette Jacobienne.
∂F1 (G(x, y))
∂F2 (G(x, y))
Tirez-en les valeurs de
et
∂x
∂y
au point (x, y) = (1, 1).
6.2.a
2+2 = ?
(1)
(2)
(3)
(4)
On donne la fonction z = f (x, y) = (2x2 y−y) o` x et y d´pendent
u
e
2
d’une mˆme variable t par x(t) = 1 − t et y(t) = t − 2t2 .
e
d z(t)
.
(1) Utilisez la Chain Rule pour calculer
dt
(2) Effectuez la substitution de x(t) et y(t) dans f (x, y) pour obtenir une
expression explicite de z(t).
6.2.b
2+2 = ?
z(t)
(3) Calculez d dt ` partir de cette expression et comparez avec le r´sultat
a
e
obtenu en 1.
6.2.c
Reprenez l’exercice 6.2.a ci-dessus et calculez la Jacobienne demand´e en calculant toutes les d´riv´es partielles de la fa¸on d´crite
e
e e
c
e
en 6.2.9. et 6.2.10.
2+2 = ?
D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
D´finitions et notations
e
7.
7.1.
7.1.1. Reprenez les concepts de d´riv´es seconde, troisi`me, . . . , pour les fonctions
e e
e
d’une variable.
7.1.2. D´finissez les d´riv´es partielles secondes d’une fonction de Rp dans R.
e
e e
← D´f.
e
7.1.3. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles secondes.
e
e e
Par exemple
∂( ∂f )
∂2f
2
∂x
=
= ∂yx f = fyx = fyx = Dyx f
∂y
∂y∂x
Soyez attentif ` l’ordre des d´rivations indiqu´ par la notation.
a
e
e
7.1.4. Qu’appelle-t-on “d´riv´es partielles secondes crois´es” d’une fonction de deux
e e
e
variables ? Et pour une fonction de p variables ?
← D´f.
e
26

28. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
7.1.5. D´finissez l’expression “f est une fonction de classe C 2 au point a”.
e
Que sont les fonctions de classe C 1 ? Et celles de classe C 0 ?
7.1.6. D´finissez les d´riv´es d’ordre sup´rieur (` 2) d’une fonction f de p variables.
e
e e
e
a
← D´f.
e
7.1.7. Passez en revue les diff´rentes notations pour les d´riv´es partielles d’ordre
e
e e
3,4, . . . .
7.1.8. D´finissez les fonctions de classe C k .
e
← D´f.
e
Illustrations
7.1.a
2+2 = ?
7.1.b
2+2 = ?
Calculez les fonctions d´riv´es successives de ln(x).
e e
Calculez les nombres d´riv´es successives de ln(x) en x = 1.
e e
On donne la fonction f (x, y) = x2 y + y 3 + sin(x2 + y).
Calculez les deux fonctions d´riv´es partielles ∂f (x, y) et
e e
∂x
∂f
(x, y).
∂y
Il s’agit de nouvelles fonctions des deux variables x et y. Calculez les d´riv´es
e e
partielles de ces deux fonctions par rapport ` chacune de leur deux variables.
a
7.1.c
2+2 = ?
7.1.d
2+2 = ?
7.1.e
2+2 = ?
7.1.f
2+2 = ?
Combien de d´riv´es partielles secondes a une fonction de p vae e
riables.
Calculez les 9 fonctions d´riv´es partielles secondes de la fonction
e e
f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
Pour la mˆme fonction f (x, y, z) = xy 2 z 3 que ci-dessus, calculez
e
∂3f
∂3f
(x, y, z) et
(2, 1, −1) .
∂z∂y∂z
∂z∂y∂z
Combien de d´riv´es partielles d’ordre 3 a une fonction de p vae e
riables ? Et ` l’ordre 4, 5, . . . n ?
a
Le th´or`me de Young
e e
7.2.1. Dans l’exemple trait´ au 7.1.d., les d´riv´es secondes crois´es sont ´gales.
e
e e
e
e
Expliquez pourquoi en ´non¸ant le th´or`me de Young.
e
c
e e
7.2.
← Th.
Expliquez la distinction : elles sont ´gales mais pas identiques.
e
7.2.2. D´finissez la “matrice Hessienne” d’une fonction f de p variables en un point
e
a.
Le th´or`me de Young se traduit par une propri´t´ de cette matrice. Laquelle ?
e e
ee
← D´f.
e
27

29. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´riv´es d’ordre sup´rieur
e e
e
7.2.3. G´n´ralisez le th´or`me de Young pour l’interversion de l’ordre des d´rivations
e e
e e
e
partielles jusqu’` l’ordre 3, 4, . . . .
a
← Th.
Illustrations
7.2.a
2+2 = ?
7.2.b
2+2 = ?
Calculez la matrice Hessienne de la fonction de l’exercice 7.1.d.
f (x, y, z) = xy 2 z 3 .
Donnez H(x,y,z) et H(3,2,1) .
L’exemple suivant montre qu’on ne peut pas se passer des hypoth`ses de continuit´ pour le th´or`me de Young.
e
e
e e
(1) On donne la fonction
x3 y
si (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0).


(2) V´rifiez par le calcul que
e
 4
2 3
 x + 3x y si (x, y) = (0, 0)
∂f
(x2 + y 2 )2
(x, y) =

∂x
0
si (x, y) = (0, 0)
(3) V´rifiez par le calcul que
e
 5
3 2
 x − x y si (x, y) = (0, 0)
∂f
(x2 + y 2 )2
et
(x, y) =

∂y
0
si (x, y) = (0, 0).
∂2f
(x, y) = 0
∂y∂x
et
∂2f
(x, y) = 1.
∂x∂y
(4) Commentez.
28

30. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 2
e
Nombre d´riv´e partielle
e e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, et a = (a1 , a2 , . . . , ap ) un
point de dom(f ), alors
le nombre “d´riv´e partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a,
e e
a
e
∂f
not´
e
(a),
∂x1
est, s’il existe, le nombre d´riv´e au point a1 de la fonction d’une variable
e e
F (x1 ) = f (x1 , a2 , . . . , ap ).
Autrement dit
∂f (x1 , x2 , . . . , xp )
d f (x1 , a2 , . . . , ap )
(a1 , a2 , . . . , ap ) =
(a1 )
∂x1
d x1
Autrement dit
∂f (x1 , x2 , . . . , xp )
f (a1 + h1 , a2 , . . . , ap ) − f (a1 , a2 , . . . , ap )
(a1 , a2 , . . . , ap ) = lim
h1 →0
∂x1
h1
On d´finirait de mˆme le nombre d´riv´e partielle de f (x1 , x2 , . . . , xp ) par
e
e
e e
rapport ` chacune de ses variables.
a
On dit que la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ) est d´rivable en un point a si ses p
e
∂f
d´riv´es partielles ∂xi existent en ce point.
e e
Vecteur gradient
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R dont les d´riv´es partielles
e e
existent toutes au point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) de dom(f ), alors
le vecteur gradient de f en a, not´ a f est le vecteur des d´riv´es partielles de
e
e e
f en a.
 ∂f
  ∂f 
(a)
∂x1
∂x1
 ∂f
  ∂f 
 ∂x2 (a)   ∂x2 

=

af = 
.
  . 
.
.
.

  . 
∂f
∂f
(a)
∂xp
∂xp
(a)
Le symbole
se prononce nabla.
29

31. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´finitions
e
Fonction d´riv´e partielle
e e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R, alors
la fonction “d´riv´e partielle” de f par rapport ` sa premi`re variable en a,
e e
a
e
∂f
(x),
not´e
e
∂x1
est la fonction qui ` chaque point x de Rp fait correspondre, s’il existe, le
a
nombre d´riv´e de f par rapport ` sa premi`re variable en ce point.
e e
a
e
C’est donc aussi une fonction de Rp dans R. Elle n’est d´finie que pour les
e
points de dom(f ) en lesquels le nombre d´riv´e partielle est d´fini.
e e
e
Elasticit´ - Elasticit´ partielle
e
e
Si y = f (x) est une fonction de R dans R d´rivable en a, l’´lasticit´ de f par
e
e
e
rapport ` x au point a est le nombre
a
ε(f /x)(a) =
f (a)
·a
f (a)
Si y = f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R d´rivable en a,
e
l’´lasticit´ de f par rapport ` xi au point a est le nombre
e
e
a
∂f
(a)
∂xi
ε(f /xi )(a) =
f (a)
· ai
Matrice Jacobienne
On consid`re une fonction f de Rp dans Rq :
e

f1 (x)
 f2 (x) 
f (x) =  . 
 . 
.

fq (x)
et a un point int´rieur au domaine de f .
e
La matrice Jacobienne, ou plus simplement la Jacobienne, de f au point a est
la matrice q × p des d´riv´es partielles des fi au point a.
e e



J(a) = 


∂f1
(a)
∂x1
∂f2
(a)
∂x1
.
.
.
∂fq
(a)
∂x1
∂f1
(a)
∂x2
∂f2
(a)
∂x2
...
...
.
.
.
.
.
.
∂fq
(a) . . .
∂x2
∂f1
(a)
∂xp
∂f2
(a)
∂xp
.
.
.
∂fq
(a)
∂xp



=


∂fi
(a) .
∂xj
30

32. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
On note souvent, plus simplement,
 ∂f ∂f

∂f
1
1
. . . ∂x1
∂x1
∂x2
p
 ∂f2 ∂f2
∂f 
 ∂x1 ∂x2 . . . ∂x2 
p 
J(a) =  .
.
 .
. ... . 
. 
.
.
 .
∂fq
∂x1
∂fq
∂x2
...
∂fq
∂xp
∂1 f1 ∂2 f1
 ∂1 f2 ∂2 f2
ou  .
.
 .
.
.
.
∂1 fq ∂2 fq

D´finitions
e

. . . ∂p f1
. . . ∂p f2 
. 
. 
...
.
. . . ∂p fq
(a)
(a)
• La Jacobienne d’une fonction de Rp dans R est la matrice ligne des d´riv´es
e e
partielles de la fonction.
Diff´rentielle des fonctions de Rp dans R
e
Si f (x1 , x2 , . . . , xp ) est une fonction de Rp dans R et a un point int´rieur au
e
domaine de f , alors
la diff´rentielle de f , si elle existe, est une application lin´aire en les variables
e
e
h1 , h2 , . . . , hp
G(h) = b1 h1 + b2 h2 + . . . + bp hp
qui approche la fonction diff´rence f (a1 +h1 , a2 +h2 , . . . , ap +hp )−f (a1 , a2 , . . . , ap )
e
en ce sens que
f (a + h) − f (a) − G(h)
= 0.
h→0
h
lim
La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est not´e da f . Dans ce cas, on dit
e
e
aussi que f est diff´rentiable en a.
e
• Si la fonction f est diff´rentiable en a, les coefficients b1 , b2 , . . . , bp de sa diff´rentielle
e
e
sont les d´riv´es partielles de f en a. On peut donc dire que, si la diff´rentielle
e e
e
existe, ce ne peut ˆtre que
e
da f (h) =
∂f
∂f
∂f
(a) · h1 +
(a) · h2 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂x2
∂xp
Diff´rentielle des fonctions de Rp dans Rq
e
Si f est une fonction de Rp dans Rq et a un
f , on dit que
l’ application lin´aire G de Rp dans Rq ,
e

 
G1 (h)
b11 b12 . . .
 G (h)   b21 b22 . . .
 2
 
G(h) = 
= .
.
.
.
. ...
.


.
.
.
bq1 bq2 . . .
Gq (h)
point int´rieur au domaine de
e


b1p
h1
b2p   h2 
.   .  = Bh
.  . 
.
.
bqp
hp
31

33. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´finitions
e
est la diff´rentielle de f au point a ssi :
e
||f (a + h) − f (a) − G(h)||
= 0.
h→0
||h||
lim
e
La diff´rentielle de f en a, si elle existe, est not´e da f .
e
e
• Si f est diff´rentiable en a, alors B est la matrice Jacobienne de f .
da f (h) = J(a) · h
D´riv´es partielles d’ordre sup´rieur
e e
e
Les fonctions d´riv´es partielles de la fonction f (x), ´tant ` leur tour des fonce e
e
a
tions de Rp dans R, sont susceptibles d’ˆtre elles-mˆmes d´riv´es par rapport
e
e
e e
a
` chacune de leurs variables.
On peut ainsi d´finir le nombre d´riv´e partielle seconde, ou d’ordre deux, par
e
e e
rapport ` la variable xj puis xi en un point a
a
∂i2j f (a) = ∂i ∂j f (a) =
∂2f
∂
(a) =
∂xi ∂xj
∂xi
∂f
∂xj
comme la d´riv´e partielle par rapport ` xi de la fonction
e e
a
2
∂ f
On a donc
(a) =
∂xi ∂xj
lim
h→0
∂f
(a1 , . . . , ai−1 , ai
∂xj
+ h, ai+1 , . . . , ap ) −
(a)
∂f
.
∂xj
∂f
(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , ap )
∂xj
h
.
• On peut aussi d´finir des fonctions d´riv´es partielles d’ordre deux, qui sont
e
e e
elles-mˆmes des fonctions de Rp dans R.
e
• On peut d´finir des nombres et des fonctions d´riv´es partielles d’ordre 3,
e
e e
d’ordre 4, et ainsi de suite. On a par exemple,
∂
∂
∂f
∂3f
3
=
∂213 f =
∂x2 ∂x1 ∂x3
∂x2 ∂x1 ∂x3
obtenu en d´rivant f d’abord par rapport ` x3 , puis par rapport ` x1 et enfin
e
a
a
par rapport ` x2 .
a
• Si une fonction f de Rp dans R est d´rivable jusqu’` l’ordre k, elle admet
e
a
2
p d´riv´es partielles premi`res, p d´riv´es partielles d’ordre 2, p3 d´riv´es
e e
e
e e
e e
partielles d’ordre 3, . . . et pk d´riv´es partielles d’ordre k.
e e
• Il faut bien distinguer les d´riv´es partielles obtenues en d´rivant par rapport
e e
e
∂2f
aux mˆmes variables mais dans un ordre diff´rent. Ainsi, ∂x2 ∂x3 est obtenu
e
e
par une op´ration diff´rente de celle permettant de calculer
e
e
d´riv´es partielles sont donc a priori distinctes.
e e
∂2f
.
∂x3 ∂x2
Ces deux
32

34. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
D´finitions
e
Classes de continuit´ : fonction de classe C k
e
Une fonction f de Rp dans R est dite ˆtre de classe C k en un point a
e
ssi
toutes les fonctions d´riv´es partielles de f jusqu’` l’ordre k sont d´finies dans
e e
a
e
un voisinage de a et sont continues en a.
Les fonctions de classe C 0 en a sont les fonctions continues en a.
Une fonction de classe C k est aussi de classe C k−1 , C k−2 , . . . , C 1 et C 0 .
33

35. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 2
e e
Diff´rentielle et d´riv´es partielles : condition n´cessaire
e
e e
e
Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ). Si f est diff´rentiable
e
en a, alors f est d´rivable en a et les coefficients de la diff´rentielle sont les
e
e
d´riv´es partielles de f en a
e e
Autrement dit
Si f est diff´rentiable en a, alors
e
∂f
∂f
∂f
da f (h) =
(a) · h1 +
(a) · h2 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂x2
∂xp
Diff´rentielle et continuit´ : condition n´cessaire
e
e
e
p
Soit f une fonction de R dans R et a un point de dom(f ).
Si f est diff´rentiable en a, alors f est continue en a .
e
Diff´rentielle et d´riv´es partielles : condition suffisante
e
e e
Soit f une fonction de Rp dans R et a un point de dom(f ).
Si
toutes les fonctions d´riv´es partielles de f sont d´finies dans un
e e
e
voisinage de a et sont continues en a,
alors
f est diff´rentiable en a.
e
Equation du plan tangent ` la surface z = f (x, y)
a
Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R diff´rentiable au point a.
e
Le plan tangent ` la surface z = f (x, y) au point (a, b, f (a, b)) est donn´ par
a
e
l’´quation fonctionnelle
e
∂f
∂f
(a, b) · (x − a) +
(a, b) · (y − b)
z = t(x, y) = f (a, b) +
∂x
∂y
On peut y reconnaˆ l’´criture
ıtre e
z = t(x, y) = f (a, b) + d(a,b) f (h, k)
o` d(a,b) f (h, k) est la diff´rentielle de f en (a, b) et h et k sont les accroissements
u
e
h = (x − a) et k = (y − b).
34

36. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Principaux th´or`mes
e e
Diff´rentielle et approximation lin´aire
e
e
Le rˆle de la diff´rentielle est de fournir une bonne approximation lin´aire (et
o
e
e
mˆme la meilleure possible) des valeurs de f pr`s du point a .
e
e
On aura donc que
f (a + h) ≈ f (a) + da f (h)
Ou, plus pr´cis´ment,
e e
∂f
∂f
f (a1 + h1 , . . . , ap + hp ) ≈ f (a1 , . . . , ap ) +
(a) · h1 + . . . +
(a) · hp
∂x1
∂xp
Cette approximation est ´videmment d’autant meilleure que les hi sont petits.
e
Diff´rentielle d’une compos´e de fonctions
e
e
p
Soit f une fonction de R dans Rq et g une fonction de Rq dans Rs .
Si
e
f est diff´rentiable en a et g est diff´rentiable en f (a),
e
alors
la diff´rentielle de la compos´e g◦f en a est la compos´e des diff´rentielles
e
e
e
e
de g en f (a) et de f en a.
da (g ◦ f ) = (df (a) g) ◦ (da f ) .
c.-`-d.
a
Jacobienne d’une compos´e de fonctions
e
Le th´or`me pr´c´dent peut ´videmment se traduire en terme de matrices
e e
e e
e
jacobiennes.
Avec les mˆmes hypoth`ses que dans le t´or`me pr´c´dent, on a que
e
e
e e
e e
la matrice Jacobienne de la compos´e g ◦ f en a est le produit des matrices
e
Jacobiennes de g en f (a) et de f en a.
c.-`-d.
a

∂1 (g1 ◦ f ) ∂2 (g1 ◦ f ) . . . ∂p (g1 ◦ f )
 ∂1 (g2 ◦ f ) ∂2 (g2 ◦ f ) . . . ∂p (g2 ◦ f ) 


.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
∂1 (gs ◦ f ) ∂2 (gs ◦ f ) . . . ∂p (gs ◦ f ) a




∂1 g1 ∂2 g1 . . . ∂q g1
∂1 f1 ∂2 f1 . . . ∂p f1
 ∂1 f2 ∂2 f2 . . . ∂p f2 
 ∂1 g2 ∂2 g2 . . . ∂q g2 
 .
= .
.
.
.
.
.  .
. 
 .
 .
.
.
. 
.
.
. 
.
.
.
.
.
.
.
.
∂1 fq ∂2 fq . . . ∂p fq a
∂1 gs ∂2 gs . . . ∂q gs f (a)

35

37. 2008
Analyse
Ch. 2 D´riv´es et diff´rentielles
e e
e
Principaux th´or`mes
e e
Chain Rule : d´riv´es partielles dans les compos´es de fonctions
e e
e
Les th´or`mes pr´c´dents permettent aussi le calcul des d´riv´es partielles des
e e
e e
e e
fonctions compos´es.
e
Dans la pratique, le cas particulier suivant permet de retrouver les autres.
Soit f une fonction de R dans Rq , et g une fonction de Rq dans R, les deux
fonctions ´tant suppos´es diff´rentiables aux points consid´r´s.
e
e
e
ee


x1 (t)
 x2 (t) 
e
Si on note g(x1 , x2 , . . . , xq ), et f =  . , on peut ´crire
 . 
.
xq (t)
dg(x1 (t), x2 (t), . . . , xq (t))
=
dt
∂g
dx1 (t)
∂g
dx2 (t)
∂g
dxq (t)
(x(t)) ·
+
(x(t)) ·
+ ... +
(x(t)) ·
∂x1
dt
∂x2
dt
∂xq
dt
Th´or`me de Young : interversion de l’ordre de d´rivation
e e
e
Soit f (x, y) une fonction de R2 dans R et a un point de son domaine.
Si
alors
f est de classe C 2 en a,
on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles secondes de f ;
e
∂2f
∂2f
(a) =
(a).
∂y∂x
∂x∂y
c.-`-d.
a
Th´or`me de Young : g´n´ralisation
e e
e e
On peut facilement g´n´raliser le th´or`me pr´c´dent aux cas de fonctions de
e e
e e
e e
plus de deux variables et de d´riv´es d’ordre sup´rieur ` 2.
e e
e
a
On aura, par exemple.
Si
alors
c.-`-d.
a
et
etc.. . .
f (x, y, z) est de classe C 3 en a,
on peut intervertir l’ordre des d´rivations partielles troisi`mes de f ;
e
e
∂3f
∂3f
∂3f
(a) =
(a) =
(a) = . . .
∂x∂y∂z
∂x∂z∂y
∂y∂x∂z
∂3f
∂3f
∂3f
(a) =
(a) =
(a)
∂x2 ∂z
∂x∂z∂x
∂z∂x2
36

38. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
Chapitre 3
Fonctions implicites
R´f´rences
ee
• Fonctions implicites
S & B : Ch. 22
Le th´or`me des fonctions implicites
e e
Vocabulaire
8.
8.1.
8.1.1. V´rifiez que vous comprenez les termes suivants : variables exog`nes, ind´pendantes,
e
e
e
libres ; variables endog`nes, d´pendantes, li´es.
e
e
e
Pr´cisez bien le contexte dans lequel apparaˆ ce vocabulaire.
e
ıt
8.1.2. Utilisez ce vocabulaire dans les situations suivantes :
a.
y = f (x)
b.
z = g(u1 , u2 , u3 )
c.
t1 = t1 (v1 , v2 , v3 )
t2 = t2 (v1 , v2 , v3 )
8.1.3. Que veulent dire les expressions suivantes ?
– y est explicitement fonction de x
– z d´pend fonctionnellement de u1 , u2 , u3 .
e
Donnez des contextes, ou des exemples, o` ces expressions ont un sens.
u
Premier cas : Un lien entre deux variables
8.2.
On consid`re d’abord le cas o` deux variables, x et y par exemple, sont li´es
e
u
e
par une ´quation du type G(x, y) = 0.
e
On cherche ` savoir si cette relation ne d´finit pas “implicitement” une fonca
e
tion, en ce sens qu’elle pourrait s’identifier, au moins localement, ` une ´criture
a
e
qui lierait “explicitement” y et x par une fonction, sous la forme y = φ(x) ou
x = ψ(y).
37

39. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
8.2.1. Reconnaissez que l’ensemble des points (x, y) qui v´rifient la relation
e
G(x, y) = 0 est la courbe de niveau, ` hauteur 0, de la fonction G(x, y). C’est
a
une courbe de l’ensemble des x, y.
8.2.2. D´finissez math´matiquement l’expression
e
e
“L’application y = φ(x) est une explicitation de la relation G(x, y) = 0”.
8.2.3. D´finissez math´matiquement l’expression
e
e
“L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation G(x, y) = 0
pr`s du point (a, b)”.
e
← D´f.
e
8.2.4. Ce sont les explicitations locales qui nous int´resseront.
e
Pourquoi ?
e
8.2.5. Commentez et pr´cisez la remarque suivante
Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme
y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que le graphe de la relation
e
puisse se confondre, dans un voisinage du point, avec celui d’une application.
8.2.6. Commentez et pr´cisez la remarque suivante.
e
Pour que la relation G(x, y) = 0 puisse s’expliciter localement sous la forme
y = φ(x) pr`s du point (a, b), il faut et il suffit que
e
← Th.
← Th.
(1) la variable x puisse varier “librement” pr`s de (a, b)
e
(2) la variable y soit li´e “fonctionnellement” ` la variable x pr`s de (a, b).
e
a
e
c.-`-d. que pour tout x proche de a, il existe un et un seul y pour lequel
a
G(x, y) = 0.
Illustrations
8.2.a
Ecrivez des ´quations du type
e
3
4xy − sin xy = 7 ou 5xy y − yez =
sous la forme G(x, y, . . .) = 0.
2+2 = ?
3x cos yz
x2 +y 2 +z 2
On consid`re la relation 3x + 7y − 27 = 0.
e
Montrez que, pour cette relation, x peut s’expliciter comme fonction
de y, et y comme fonction de x.
8.2.b
2+2 = ?
8.2.c
2+2 = ?
8.2.d
2+2 = ?
Montrez que, pour la relation x2 + y 2 = 1, on ne peut expliciter ni
y en fonction de x, ni x en fonction de y. Expliquez bien pourquoi.
On consid`re la relation x2 + y 2 = 1.
e
Donnez, si c’est possible, une sous la forme y = φ(x) pr`s des points
e
38

40. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
suivants :
a.
b.
c.
d.
e.
(0, 1)√
√
( 22 , 22 )
(1, 1)
(0, −1)
(1, 0)
Les r´ponses sont oui - oui - non - oui - non. Si c’est oui, donnez une
e
explicitation ; si c’est non, expliquez pourquoi.
On consid`re la relation x2 + y 2 = 0.
e
Quel est son graphe ?
Cette relation ne peut pas s’expliciter localement pr`s de (0, 0). Pourquoi ?
e
Si vous ne pouvez r´pondre maintenant, passez aux questions suivantes. La
e
mˆme question reviendra plus tard.
e
8.2.e
2+2 = ?
8.2.f
Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont li´es par la
e
2
relation x − y = 0 , la variable y ne peut pas varier librement
pr`s de (0, 0).
e
2+2 = ?
8.2.g
Expliquez pourquoi, quand les variables x et y sont li´es par la
e
2
2
relation x − y = 0 , la variable y n’est pas li´e fonctionnellement
e
a
` x pr`s de (0, 0).
e
2+2 = ?
8.2.h
2+2 = ?
La figure ci-contre repr´sente la
e
courbe d’´quation G(x, y) = 0
e
Pr`s de quels points de la courbe
e
ne peut-on pas expliciter y en
fonction de x ? Et x en fonction
de y ?
Justifiez chaque fois pourquoi il
n’y a pas explicitation.
y
x
Le th´or`me des fonctions implicites dans R2
e e
8.3.1. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas d’un
e
e e
e e
lien entre deux variables.
Ecrivez le th´or`me pour le cas de l’explicitation de y en fonction de x et pour
e e
le cas de l’explicitation de x en fonction de y.
8.3.
← Th.
8.3.2. Constatez que le th´or`me des fonctions implicites n’est pas un th´or`me
e e
e e
constructif. Il prouve l’existence d’une explicitation, sans la donner concr`tement.
e
Par contre, le th´or`me donne une information pr´cise sur la d´riv´e de l’exe e
e
e e
plicitation.
39

41. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
8.3.3. Constatez que le th´or`me des fonctions implicites donne seulement une condie e
tion suffisante pour l’existence d’une explicitation.
Il peut y avoir des cas o` le th´or`me n’est pas applicable, mais o` il y a quand
u
e e
u
mˆme explicitation. Donnez-en l’un ou l’autre exemple simple.
e
e
8.3.4. Soyez toujours attentif au fait que le probl`me des fonctions implicites et sa
solution n’ont de sens que pr`s d’un point (a, b) qui satisfait la relation ´tudi´e
e
e
e
(c.-`-d. tel que G(a, b) = 0).
a
8.3.5. D´finissez
e
– point singulier
– point r´gulier
e
– courbe r´guli`re.
e
e
← D´f.
e
← D´f.
e
← D´f.
e
8.3.6. Voyez qu’un point r´gulier est un point o` une au moins des explicitations est
e
u
garantie par le th´or`me des fonctions implicites ; et qu’un point singulier est un
e e
point o` le th´or`me des fonctions implicites ne garantit aucune explicitation
u
e e
(mais ne les interdit pas non plus).
← Th.
Illustrations
Examinez les relations y − x2 = 0 et y − x3 = 0 pr`s de (0, 0).
e
Y a-t-il explicitation de y en fonction de x ? de x en fonction de y ?
Que raconte le th´or`me des fonctions implicites ?
e e
8.3.a
2+2 = ?
8.3.b
On donne la relation
G(x, y) = 3xy + 2y − x2 − 5 = 0.
2+2 = ?
(1) V´rifiez que cette relation est satisfaite au point (−1, −6).
e
(2) Dans ce cas particulier, on peut donner de mani`re effective une exe
plicitation y = Y (x) de cette relation. Calculez cette explicitation, sa
fonction d´riv´e Y (x) et la valeur de cette d´riv´e en x = −1.
e e
e e
∂G
∂G
(3) D’autre part, calculez
(x, y) et
(x, y) et leurs valeurs en (−1, −6).
∂x
∂y
(4) Le th´or`me des fonctions implicites garantit-il que la relation G(x, y) =
e e
0 est explicitable sous la forme y = ψ(x) pr`s de (−1, −6) ?
e
dψ
(5) Utilisez le th´or`me des fonctions implicites pour calculer
e e
(−1).
dx
(6) Comparez avec Y (−1).
On consid`re la relation G(x, y) = x2 y 3 − 2x3 y + exy−1 = 0. On
e
ne peut pas dire grand chose, ` premi`re vue, du graphe de cette
a
e
relation qui passe au moins par le point (1, 1).
8.3.c
2+2 = ?
(1) Peut-on expliciter y = φ(x) pr`s de ce point ?
e
(2) Si oui, quelle est la d´riv´e de φ au point ad´quat ?
e e
e
(3) Peut-on expliciter x = ψ(y) pr`s de ce point ?
e
40

42. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
(4) Si oui, quelle est la d´riv´e de ψ au point ad´quat ?
e e
e
(5) Quelle est la tangente au graphe de la relation au point (1, 1) ?
(6) Comparez avec ce que le gradient pouvait vous apprendre sur cette
tangente.
(7) Donnez une valeur approch´e d’un y qui v´rifie la relation G(1.02, y) =
e
e
0.
Deuxi`me cas : Un lien entre plusieurs variables
e
8.4.
Ce cas, o` l’on a une relation du type G(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0, n’est pas fondau
mentalement diff´rent du premier cas. Il faudra ici faire le (bon) choix d’une
e
variable d´pendante (ou endog`ne), et la lier aux p − 1 autres variables supe
e
pos´es donc ind´pendantes ou exog`nes.
e
e
e
Le recours ` l’intuition g´om´trique devient ´videmment moins accessible quand
a
e e
e
il y a plus de deux variables en cause.
8.4.1. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas d’un
e
e e
e e
lien entre p variables.
← Th.
8.4.2. Reprenez le th´or`me pour le cas d’un lien entre 3 variables x, y et z.
e e
Ecrivez le th´or`me pour l’explicitation de x en fonction de y et z, pour l’exe e
plicitation de y en fonction de x et z et pour l’explicitation de z en fonction
de x et y.
Illustrations
On consid`re la relation x3 − x + 2x2 y − 3xyz + 3z = −1 qui est
e
satisfaite au point (1, 1, 2) .
Quelle(s) variable(s) peut-on expliciter en fonction des autres pr`s de ce point ?
e
Sous quelle forme ?
Donnez les d´riv´es (partielles ?) de chacune des explicitations possibles pr`s
e e
e
de ce point.
8.4.a
2+2 = ?
Plusieurs liens entre plusieurs variables
8.5.
C’est ce que S & B appellent syst`me de fonctions implicites.
e
Le premier probl`me consiste ` savoir, dans ce cas, combien de variables poure
a
raient devenir ind´pendantes ou exog`nes et combien de variables d´pendantes
e
e
e
ou endog`nes.
e
Ensuite, il faudra g´n´raliser le th´or`me des fonctions implicites (pour choie e
e e
sir les variables endog`nes) et les formules de d´rivation (liant la variation des
e
e
variables endog`nes ` celle des variables exog`nes.)
e
a
e
41

43. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
8.5.1. Un syst`me
e

 G1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0

 G2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
.
 .
 .

Gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
de q liens entre k variables comprend q ´quations.
e
Pour exprimer la d´pendance de p variables endog`nes par rapport aux k − p
e
e
autres variables, par exemple

 x1 = φ1 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )

 x2 = φ2 (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )
.
 .
 .

xp = φp (xp+1 , xp+2 , . . . , xk )
il faut p ´quations.
e
S’il n’y a pas plus d’informations sur les k variables dans une ´criture que dans
e
l’autre, que peut-on en d´duire ` propos de q et p ?
e
a
8.5.2. Interpr´tez la fable suivante.
e
Au d´but du probl`me, il y avait k variables. Elles furent cr´´es libres et
e
e
ee
ind´pendantes, chacune pouvant varier ` son gr´ sans tenir compte des autres.
e
a
e
On disait que ce monde avait k degr´s de libert´.
e
e
Puis vinrent les lois, au nombre de q. Chacune liait les variables entre elles
par une ´quation de la forme Gi (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0. Chacune de ces lois supe
primait un degr´ de libert´.
e
e
Combien de degr´s de libert´ sont-ils rest´s apr`s la r´v´lation des lois ?
e
e
e
e
e e
Ensuite, le maˆtre du probl`me souhaita s´parer les variables en variables
ı
e
e
exog`nes et en variables endog`nes. Les variables exog`nes seraient enti`rement
e
e
e
e
libres de varier ` leur gr´ (au moins localement) sans tenir compte les unes des
a
e
autres. Elles disposeraient donc, chacune, d’un degr´ complet de libert´. Mais
e
e
les variables endog`nes n’auraient aucune libert´, ´tant soumises aux variables
e
e e
exog`nes auxquelles elles seraient li´es par des liens fonctionnels.
e
e
Quel est le nombre des variables exog`nes ? Quel est le nombre des variables
e
endog`nes ?
e
8.5.3. Retrouvez les notions de degr´ de libert´, de variables exog`nes et endog`nes,
e
e
e
e
dans le cas d’un syst`me lin´aire homog`ne de k ´quations ind´pendantes ` n
e
e
e
e
e
a
inconnues.
8.5.4. Enoncez tr`s pr´cis´ment le th´or`me des fonctions implicites dans le cas
e
e e
e e
g´n´ral de q liens entre k variables.
e e
Suggestion : pour exprimer plus facilement le th´or`me et faire apparaˆ les
e e
ıtre
variables exog`nes et endog`nes, on pose k = p + q et on appelle x1 , x2 , . . . , xp
e
e
les variables qui deviendront exog`nes et y1 , y2 , . . . , yq les variables qui deviene
dront endog`nes.
e
← Th.
42

44. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
8.5.5. Quand on parle d’un syst`me de q fonctions implicites ` k variables, on suppose
e
a
implicitement que p < k. Pourquoi ?
8.5.6. Qu’appelle-t-on point r´gulier d’un syst`me de q ´quations implicites ?
e
e
e
R´f´rez-vous ` l’existence, ou non, d’explicitation garantie par le th´or`me des
ee
a
e e
fonctions implicites.
Illustrations
8.5.a
2+2 = ?
On donne les relations
xz 3 + y 2 v 4 = 2
xz + yvz 2 = 2
entre les variables (x, y, z, v).
Calculez la matrice des d´riv´es partielles au point (1, 1, 1, 1). Pouvez-vous en
e e
extraire une sous matrice 2 × 2 inversible ?
Le th´or`me des fonctions implicites permet-il d’en d´duire l’existence d’exe e
e
plicitation de certaines variables en fonction des autres au voisinage du point
(1, 1, 1, 1) ? Lesquelles ?
Pour une des explicitations possibles, calculez les d´riv´es partielles au point
e e
ad´quat (` pr´ciser).
e
a e
43

45. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 3
e
Explicitation locale : une relation ` deux variables
a
Soient g une fonction de R2 dans R et a un point de R2 .
L’application y = φ(x) est une explicitation locale de la relation g(x, y) = 0 au
voisinage de a
ssi
g(a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V
g(x, y) = 0 ssi y = φ(x) .
Explicitation locale : une relation ` p variables
a
Soient g une fonction de Rp dans R et a un point de Rp .
L’application xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) est une explicitation locale de la relation
g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a
ssi
g(a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que
∀(x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ V g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 ssi xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) .
Explicitation locale : q relations ` p + q variables
a
Soient g1 , g2 , . . . , gq




Les applications



des fonctions de Rp+q dans R et a un point de Rp+q .
y1 = φ1 (x1 , x2 , . . . , xp )
y2 = φ2 (x1 , x2 , . . . , xp )
.
.
.
yq = φq (x1 , x2 , . . . , xp )
sont une explicitation locale au voisinage de a de la relation

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0
.
 .
 .

gq (x1 , x2 , . . . , xp , y1 , y2 , . . . , yq ) = 0
ssi
g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0
et il existe un voisinage V de a tel que ∀(x, y) ∈ V
g1 (x, y) = g2 (x, y) = . . . = gq (x, y) = 0 ssi y1 = φ1 (x) et y2 = φ2 (x) . . . et yq = φq (x) .
44

46. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
D´finitions
e
Point r´gulier d’une relation f (x, y) = 0
e
Un point (a, b) est un point r´gulier de la relation f (x, y) = 0 si c’est un point
e
de la relation en lequel les d´riv´es partielles de f existent et ne sont pas toutes
e e
les deux nulles.
Autrement dit

 f (a, b) = 0
est d´fini
e
(a, b) est un point r´gulier de f (x, y) = 0 ssi
e
(a,b) f

(a,b) f = 0
Point r´gulier d’une relation f (x1 , x2 . . . , xp ) = 0
e
Un point a = (a1 , a2 , . . . , ap ) est un point r´gulier de la relation f (x) = 0 si
e
c’est un point de la relation en lequel f les d´riv´es partielles de f existent et
e e
ne sont pas toutes nulles.
Autrement dit

 f (a) = 0
est d´fini
e
a est un point r´gulier de f (x) = 0 ssi
e
af

af = 0
Point r´gulier : q relations ` k variables
e
a
Soit g une fonction de Rk dans Rq et la relation g(x) = 0 qui peut aussi s’´crire
e

g1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0


 g2 (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
.
 .
 .

gq (x1 , x2 , . . . , xk ) = 0
Le point a est un point r´gulier de g(x) = 0 si c’est un point de la relation
e
en lequel la Jacobienne est d´finie et est de rang complet (= q) .
e
Autrement dit

 g(a) = 0
Ja g est d´finie .
e
a est un point r´gulier de g(x) = 0 ssi
e

r(Ja g) = q
45

47. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 3
e e
Th´or`me des fonctions implicite : une relation ` deux variables
e e
a
Soit g(x, y) une fonction de R2 dans R de classe C 1 au voisinage de a = (a, b),
et telle que g(a) = 0.
Si
∂g
(a)
∂y
alors
il existe une explicitation locale y = φ(x) de la relation g(x, y) = 0
= 0,
au voisinage de a.
et de plus,
φ est d´rivable pr`s de a et
e
e
dφ
(x) = −
dx
∂g
(x, φ(x))
∂x
.
∂g
(x, φ(x))
∂y
Th´or`me des fonctions implicites : une relation ` p variables
e e
a
Soient g une fonction de Rp dans R de classe C 1 au voisinage de a, et telle que
g(a) = 0.
Si
∂g
(a)
∂xp
alors
il existe une explicitation locale xp = φ(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) de la
relation g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0 au voisinage de a.
et de plus,
les d´riv´es partielles de φ existent pr`s de a et
e e
e
∂φ
= −
∂x1
∂g
∂x1
∂g
∂xp
= 0,
∂φ
= −
∂x2
∂g
∂x2
∂g
∂xp
...
∂φ
= −
∂xp−1
∂g
∂xp−1
∂g
∂xp
.
On devrait ´crire plus compl`tement
e
e
∂φ
(x1 , x2 , . . . , xp−1 ) = −
∂x1
∂g
(x1 , x2 , . . . , xp )
∂x1
∂g
(x1 , x2 , . . . , xp )
∂xp
46

48. 2008
Analyse
Ch. 3 Fonctions implicites
Principaux th´or`mes
e e
Th´or`me des fonctions implicites : q relations ` p + q variables
e e
a
Soient g1 , g2 , . . . , gq des fonctions r´elles des p + q variables x1 , x2 , . . . , xp ,
e
y 1 , y2 , . . . , y q .
On suppose que ces fonctions sont de classe C 1 au voisinage de a et telles que
g1 (a) = 0, g2 (a) = 0, . . . , gq (a) = 0.
 ∂g1

∂g
(a) . . . ∂y1 (a)
∂y1
q


.
.
.
∂g
.
.
.
Si
la matrice ( ∂y )(a) = 
 est inversible,
.
.
.
∂gq
(a)
∂y1
...
∂gq
(a)
∂yq
alors
il existe une explicitation locale y1 = φ1 (x) , y2 = φ2 (x) , . . . ,
yq = φq (x) de la relation g1 (x, y) = 0, . . . , gq (x, y) = 0 au
voisinage de a
et de plus,
les d´riv´es partielles des φi existent au voisinage de a et
e e

∂φ1
∂x1
 .
 .
.
∂φq
∂x1
...
.
.
.
...
∂φ1
∂xp


∂g1
∂y1
.  = −  .
. 
 .
.
.
∂φq
∂xp
x
∂gq
∂y1
...
.
.
.
...
∂g1
∂yq
−1 
. 
. 
.
∂gq
∂yq
∂g1
∂x1
 .
 .
.
(x,y)
∂gq
∂x1
...
.
.
.
...
∂g1
∂xp

. 
. 
.
∂gq
∂xp
.
(x,y)
47

49. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Chapitre 4
Polynˆmes de Taylor
o
Optimisation libre
Polynˆmes de Taylor
o
Optimisation libre
9.
10.
R´f´rences
ee
• Polynˆmes de Taylor
o
Rappels pour une variable
S & B : pp.856-861
Syllabus de Math´matique et Analyse, pp. 8-15
e
Fonctions de plusieurs variables
S & B : pp.861-865
• Optimisation libre
Rappels pour une variable
Fonctions de plusieurs variables
S & B : pp.53-61
S & B : Ch. 23-pp.639-648
Polynˆmes de Taylor
o
Rappels pour les fonctions d’une variable
9.
9.1.
9.1.1. Revoyez la th´orie et la pratique des polynˆmes de Taylor pour les fonctions
e
o
d’une variable.
9.1.2. Qu’appelle-t-on le “reste ” d’un polynˆme de Taylor ?
o
Donnez-en une expression.
Voyez que dans certains cas on peut d´terminer le signe de ce reste pour de
e
petites valeurs de l’accroisement h.
9.1.a
2+2 = ?
Calculez le polynˆme de Taylor d’ordre 3, 4, 5 et 6 de f (x) = cos(x)
o
pr`s de 0.
e
48

50. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
Donnez chaque fois l’expression du reste correspondant.
Peut-on d´terminer le signe de ces restes ?
e
Qu’est-ce que cela signifie ?
e
o
e
9.1.3. Quelle est l’utilit´ des polynˆmes de Taylor ? Dans les applications concr`tes ?
Comme outil th´orique ?
e
Retrouvez leur utilisation dans la th´orie des extr´mums de fonctions d’une
e
e
variable.
Illustrations
9.1.b
V´rifiez sur quelques exemples que vous pouvez encore manipuler
e
les polynˆmes de Taylor des fonctions d’une variable.
o
Donnez par exemple les polynˆmes de Taylor d’ordre 5 pr`s de 0 de ex , cos x
o
e
√
et 1 + x.
√
Utilsez-les pour calculer une valeur approch´e de e0.1 et de 1, 21.
e
2+2 = ?
Fonctions de plusieurs variables
9.2.1. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 1 pour une fonction de trois variables
f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ).
e
- explicitement ;
- en utilisant la diff´rentielle.
e
9.2.
← D´f.
e
Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 1 pr`s de
o
e
2 2y+z−1
(−1, 0, 1) de la fonction f (x, y, z) = x e
9.2.2. Donnez une expression du reste (d’ordre 2) de ce polynˆme d’ordre 1. Exprimezo
le comme une forme quadratique en utilisant la Hessienne.
← D´f.
e
Donnez concr`tement ce reste pour l’exemple pr´c´dent.
e
e e
9.2.3. Ecrivez l’approximation de Taylor d’ordre 2 pour une fonction de trois variables f (x1 , x2 , x3 ) pr`s d’un point a = (a1 , a2 , a3 ).
e
- explicitement ;
- en utilisant la diff´rentielle et la Hessienne.
e
Appliquez la formule ci-dessus pour calculer le polynˆme d’ordre 2 pour l’exemple
o
d´j` trait´ plus haut.
ea
e
Illustrations
9.2.a
Calculez le polynˆme d’ordre 2 pr`s de (1, 0) de la fonction xex−y−1 .
o
e
2+2 = ?
49

51. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
Optimisation libre
10.
Le mot optimisation
est utilis´ par les ´conomistes pour parler de la
e
e
recherche d’extr´mums, maximums ou minimums, de fonctions. Pourquoi ?
e
Avez-vous un commentaire ?
Fonctions d’une variable
10.1.
10.1.1. Revoyez la th´orie des extr´mums des fonctions d’une variable.
e
e
e
e
• Donnez des d´finitions pr´cises des notions de minimum, maximum, global ou
local, strict ou non, pour les fonctions d’une variable.
N’oubliez pas de parler du domaine de la fonction, des voisinages du point . . .
• Retrouvez les th´or`mes principaux qui concernent ces notions.
e e
Distinguez bien
• les conditions n´cessaires et les conditions suffisantes ;
e
• les conditions de premier ordre et les conditions de second ordre (ou mˆme
e
sup´rieur) ;
e
• l’int´rieur et les bords du domaine ;
e
• les points o` la d´riv´e existe et les autres ;
u
e e
• les extr´mums locaux et les extr´mums globaux.
e
e
Fonctions de plusieurs variables - Conditions n´cessaires
e
10.2.
10.2.1. D´finissez math´matiquement l’expression
e
e
a d´termine un maximum global de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xn ).
e
← D´f.
e
10.2.2. Faites de mˆme pour maximum local, minimum global et minimum local.
e
Distinguez aussi le cas d’un extremum strict.
← D´f.
e
10.2.3. Pourquoi ne fait-on pas de th´orie des extr´mants pour des fonctions de Rp
e
e
dans Rq ?
10.2.4. Montrez que si a = (a1 , a2 , . . . , an ) d´termine un maximum local de la fonction
e
q.e.d.
f (x1 , x2 , . . . , xn ), alors a1 d´termine un maximum local de la fonction d’une
e
variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , an ).
← Th.
10.2.5. Voyez que l’on peut d´duire de la remarque pr´c´dente le th´or`me suivant.
e
e e
e e
q.e.d.
Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles
e
e e
existent,
et si a d´termine un maximum local de la fonction f ,
e
alors
g1 (a1 ) =
∂f
(a)
∂x1
= 0.
50

52. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
10.2.6. Voyez que le mˆme raisonnement peut s’appliquer aux autres variables pour
e
arriver au th´or`me suivant.
e e
e
e e
Si a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles
existent,
et si a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e
 ∂f
 ∂x1 (a) = 0


 ∂f

(a) = 0
∂x2
alors
.

.


 ∂f .

(a) = 0
∂xn
← Th.
10.2.7. Remarquez que le th´or`me pr´c´dent fournit des “conditions n´cessaires d’exise e
e e
e
tence d’extr´mums”, et qu’il s’agit de “conditions du premier ordre ”.
e
Qu’est-ce que cela veut dire ?
10.2.8. D´finissez les points stationnaires de la fonction f .
e
← D´f.
e
10.2.9. Le th´or`me ci-dessus donne-t-il des informations (lesquelles ?) sur l’existence
e e
d’extr´mums locaux de la fonction f pour les cat´gories de points suivantes ?
e
e
• les points stationnaires
• les points o` les d´riv´es partielles de f ne sont pas toutes d´finies
u
e e
e
• les points du bord du domaine de f
Peut-on trouver des extr´mums en d’autres points que ceux cit´s ci-dessus ?
e
e
10.2.10. Reprenez les informations ci-avant sous la forme d’un th´or`me qui commene e
cerait par
Les extr´mums de f , s’il y en a, doivent ˆtre recherch´s parmi
e
e
e
les points suivants . . .
← Th.
Illustrations
10.2.a
2+2 = ?
Quels sont les points du domaine de la fonction
z = 2x3 − 6xy + 3y 2
qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mants de la fonction ?
a
e
10.2.b
Quels sont les points du domaine de la fonction
2+2 = ?
z = 1−
x2 + y 2
qui sont susceptibles de correspondre ` un extr´mant de la fonction ?
a
e
Faites d’abord un croquis du graphe de la fonction. Pour cela, commencez par
faire un croquis du graphe de la fonction d’une variable
√
z = 1 − x2 = | 1 − | x | |
51

53. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
A quoi correspondent les points qui sont des extr´mants manifestes de cette
e
fonction ?
Variations pour les rus´s - Paragraphe optionnel
e
10.3.
10.3.1. La fonction z = f (x, x2 , . . . , xp ) peut aussi se voir comme ´tablissant une relae
tion G(z, x1 , x2 , . . . , xp ) = f (x1 , x2 , . . . , xp ) − z = 0 entre les variables
z, x1 , x2 ,. . . , xp .
Il est ´vident que cette relation permet d’expliciter z en fonction des autres
e
variables. Comment ?
Cela est confirm´ par le th´or`me des fonctions implicites. Comment ?
e
e e
Peut-on aussi expliciter les (ou une des) variables xi en fonction de z et des
autres xj ? Qu’en dit le th´or`me des fonctions implicites ?
e e
Si le point (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum c = f (a1 , a2 , . . . , ap ), alors
e
la variable z ne peut pas varier librement pr`s de c, puisqu’elle ne peut pas
e
prendre de valeur sup´rieure au maximum c. Pr`s de ce point, z ne peut donc
e
e
pas ˆtre consid´r´ comme une variable ind´pendante. Il faut en conclure que,
e
ee
e
pr`s de ce point, on ne peut expliciter aucune des variables xi en fonction de
e
z et des autres xj .
Comment cela se traduit-il ` travers le th´or`me des fonctions implicites ?
a
e e
Comparez avec les conditions n´cessaires pour que (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine
e
e
un maximum de f .
Adaptez le raisonnement pour un minimum
Fonctions de plusieurs variables - Conditions suffisantes
10.4.
Dans ce qui va suivre, on utilisera la matrice Hessienne d’une fonction en la
traitant comme une forme quadratique, et donc comme une matrice sym´trique.
e
On supposera donc que les d´riv´es partielles secondes existent et qu’elles sont
e e
continues de mani`re ` pouvoir utiliser le th´or`me de Young.
e a
e e
N’oubliez donc pas, dans tous les th´or`mes que vous ´noncerez ci-dessous, de
e e
e
rajouter l’hypoth`se
e
f est une fonction de classe C2 dans un voisinage du point a consid´r´.
ee
10.4.1. Ecrivez la forme g´n´rale du polynˆme de Taylor d’ordre 1 d’une fonction
e e
o
q.e.d.
f (x, y, z) pr`s d’un point (a, b, c), avec le reste d’ordre 2 exprim´ comme une
e
e
forme quadratique au moyen de la matrice Hessienne.
Simplifiez cette ´criture en ajoutant l’hypoth`se que (a, b, c) est un point stae
e
tionnaire de f .
Exprimez f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) ` partir de cette ´criture.
a
e
52

54. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
10.4.2. Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c)
d´termine un maximum global de f ? Et un minimum global ?
e
Quelles conditions faut-il sur f (a + h, b + k, c + l) − f (a, b, c) pour que (a, b, c)
d´termine un maximum local de f ? Et un minimum local ?
e
Que faut-il changer dans le cas d’un extremum strict ?
10.4.3. L’existence d’un extr´mum en (a, b, c) est donc li´e (comment ?), au genre de
e
e
la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c).
Et le genre de la Hessienne de f en un point proche de (a, b, c) est li´, par
e
continuit´, au genre de la Hessienne au point (a, b, c).
e
10.4.4. Pr´cisez le lien cit´ ci-dessus entre le genre de la Hessienne de f en a et le
e
e
genre de f en des points a + h assez proches de a ?
Si Ha est DP alors Ha+h est aussi DP pour des a + h assez proches.
Pourquoi ?
10.4.5. On a un th´or`me analogue pour des Ha de genre DN ou des Ha de genre
e e
IND.
Enoncez le.
´
10.4.6. Enoncez compl`tement le th´or`me donnant des conditions suffisantes de pree
e e
mier et de second ordre pour qu’un point stationnaire d’une fonction f de p
variables d´termine un maximum local strict de f .
e
´
Enoncez le th´or`me analogue pour le minimum.
e e
Et si la Hessienne est ind´finie ?
e
← Th.
← Th.
← Th.
10.4.7. D´finissez les “points de selle ” ou “points de col ”.
e
Quelle est l’origine de ces expressions ?
← D´f.
e
Illustrations
10.4.a
2+2 = ?
Reprenez la fonction z = 2x3 − 6xy + 3y 2 dont on a d´termin´ plus
e
e
haut les points stationnaires (2.2.a).
D´terminez maintenant si ces points donnent lieu ` un maximum, un minimum
e
a
ou un point de selle de la fonction.
Le cas ind´termin´
e
e
10.5.
10.5.1. Par contre, on ne peut rien d´duire ` propos du genre de Ha+h dans le cas o`
e
a
u
Ha est de genre SDP ou SDN.
Pourquoi ?
Comparez avec ce que l’on avait dans le cas des fonctions d’une variable.
On parle alors d’ind´termination ? Pourquoi ?
e
53

55. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Optimisation libre
On entend par l` que le th´or`me ne permet pas de d´terminer la nature du
a
e e
e
point en question, et pas que sa nature est intrins`quement ind´termin´e.
e
e
e
10.5.2. On a dit ci-dessus que l’on ne pouvait rien d´duire sur le genre de Ha+h dans
e
le cas o` Ha est SDP (ou SDN). Ce n’est pas tout ` fait vrai. On a en effet
u
a
Si Ha est SDP, alors Ha+h ne peut ˆtre que IND, SDP ou DP.
e
´
Enoncez le th´or`me analogue pour le cas SDN.
e e
10.5.3. Enoncez compl`tement le th´or`me donnant des conditions n´cessaires (de
e
e e
e
premier et) de second ordre pour qu’un point d’une fonction f de p variables
d´termine un maximum local de f .
e
Et un minimum.
← Th.
10.5.4. On suppose que a est un point stationnaire d’une fonction f de classe C2 `
a
l’int´rieur de son domaine.
e
Reprenez sous forme de tableau ce que l’on peut d´duire, ` propos de la pose
a
sibilit´ d’avoir un extremum en a, ` partir du genre de la matrice sym´trique
e
a
e
Ha .
Illustrations
10.5.a
2+2 = ?
Recherchez les minima, maxima et points de selle de la fonction
x4 + x2 − 6xy + 3y 2
54

56. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 4
e
Matrice Hessienne
Soit f une fonction de Rp dans R d´rivable jusqu’` l’ordre 2 au point a.
e
a
La matrice Hessienne de f en a est la matrice de toutes les d´riv´es partielles
e e
secondes de f en a (dans l’ ordre convenable).
Autrement dit
La matrice Hessienne de f (x) en a est la matrice
 ∂2f
∂2f
(a) . . .
(a)
∂x1 ∂x2
∂x2
1

 ∂2f
∂2f
(a) . . .
 ∂x2 ∂x1 (a)
∂x2
2
Ha f = 
.
.
.

.
.
.

.
.
.

2f
2f
∂
∂
(a) ∂xp ∂x2 (a) . . .
∂xp ∂x1
∂2f
(a)
∂x1 ∂xp

∂2f
(a)
∂x2 ∂xp







.
.
.
∂2f
(a)
∂x2
p
C’est une matrice sym´trique (voir th´or`me de Young).
e
e e
Polynˆmes de Taylor : rappel ` une variable, ordre k
o
a
Pour une fonction f de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage du point
a,
le polynˆme de Taylor d’ordre k pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h
f (a) 2 f (a) 3
f (k) (a) k
Tk (h) = f (a) + f (a) h +
h +
h + ... +
h
2
3!
k!
Le reste ( d’ordre (k+1) ) de ce polynˆme en ce point est l’expression
o
Rk+1 (h) =
hk+1 (k+1)
f
(a + θh)
(k + 1)!
Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 1
o
Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
le polynˆme de Taylor d’ordre 1 pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
∂f
∂f
∂f
(a) h1 +
(a) h2 + . . .
(a) hp
T1 (h) = f (a) + da f (h) = f (a) +
∂x1
∂x2
∂xp
Le reste (d’ordre 2) de ce polynˆme en ce point est l’expression
o
1 t
R2 (h) =
h H(a+θh) f h
2
C’est une forme quadratique.
55

57. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
D´finitions
e
Polynˆmes de Taylor : plusieurs variables et ordre 2
o
Pour une fonction f de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
le polynˆme de Taylor d’ordre 2 pr`s de a est le polynˆme en la variable
o
e
o
d’accroissement h = (h1 , h2 , . . . , hp )
T2 (h) = f (a) + da f (h) +
1 t
h H(a)f h
2
Maximum global d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a
d´termine un maximum (global) de f ssi la valeur de f en a est sup´rieure
e
e
(ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel autre point du domaine.
e
a
Autrement dit
a d´termine un maximum (global) de f
e
ssi
∀x ∈ dom f f (x) ≤ f (a)
On d´finira de mˆme la notion de minimum global .
e
e
Minimum local d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R et a un point de dom f , on dit que a
d´termine un minimum local de f ssi il existe un voisinage de a tel que
e
la valeur de f en a est inf´rieure (ou ´gale) ` la valeur de f en n’importe quel
e
e
a
autre point du voisinage.
Autrement dit
a d´termine un maximum local de f
e
ssi
∃ V voisinage de a t.q. ∀x ∈ (V ∩ dom f ) f (x) ≥ f (a)
On d´finira de mˆme la notion de maximum local .
e
e
Point stationnaire d’une fonction de Rp dans R
Si f est une fonction de Rp dans R d´rivable au point a de dom f , on dit que
e
a est un point stationnaire de f ssi toutes les d´riv´es partielles de f en a
e e
sont nulles.
Autrement dit
a est un point stationnaire de f
ssi
toutes les d´riv´es partielles de f en a existent et sont nulles
e e
ssi
f (a) = 0
56

58. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
D´finitions
e
Point de selle
Un point de selle d’une fonction de Rp dans R est un point stationnaire de f
qui ne d´termine pas un extr´mum de f .
e
e
57

59. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 4
e e
Th´or`me de Taylor : une variable, ordre k
e e
Si f est une fonction de R dans R de classe C (k+1) dans un voisinage de a,
alors, quelque soit l’accroissement h, (tel que a + h reste dans le voisinage
consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel
ee
f (a + h) = Tk (h) + Rk+1 (h)
= f (a) + f (a) h + f
(a)
2
h2 + f
(a)
3!
h3 + . . . + f
(k) (a)
k!
hk +
hk+1 (k+1)
f
(a + θh)
(k+1)!
Si h est petit, et k grand, et si on peut fixer des bornes ` f (k+1) (a + θh),
a
on pourra assurer que le reste (ou l’erreur) est petit et que le polynˆme de
o
Taylor fournit une bonne approximation de f (a + h).
Th´or`me de Taylor : p variables, ordre 1
e e
Si f est une fonction de Rp dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a,
alors, quelque soit le vecteur d’accroissement h (tel que a + h reste dans le
voisinage consid´r´), il existe un nombre θ, 0 < θ < 1, pour lequel
ee
t
f (a + h) = T1 (h) + R2 (h) = f (a) + da f (h) + h H(a+θh) f h
Extr´mum et extr´mum sur les sections
e
e
Soit f une fonction de Rp et R.
a = (a1 , a2 , . . . , ap ) d´termine un maximum (ou un minimum) local
e
Si
de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp ),
alors a1 d´termine un maximum (ou un minimum) local de la fonction d’une
e
variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , ap ).
Extr´mum et d´riv´es partielles
e
e e
Du th´or`me pr´c´dent et avec les mˆmes notations, on peut d´duire que
e e
e e
e
e
Si
et si
a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles
e
e e
existent,
a d´termine un extr´mum local de la fonction f ,
e
e
∂f
alors
g1 (a1 ) = ∂x1 (a) = 0.
Le mˆme raisonnement peut ´videmment s’appliquer aux autres variables.
e
e
Ce qui permet d’arriver au th´or`me suivant.
e e
58

60. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Principaux th´or`mes
e e
Extr´mum libre : Conditions n´cessaires de premier ordre
e
e
Si
a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles
e
e e
existent,
et si
a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e
 ∂f
 ∂x1 (a) = 0


 ∂f

(a) = 0
∂x2
alors
.

.


 ∂f .

(a) = 0
∂xp
Autrement dit
et si
a est un point int´rieur au domaine de f en lequel les d´riv´es partielles
e
e e
existent,
a d´termine un maximum ou un minimum local de la fonction f ,
e
alors
a est un point stationnaire de f .
Si
Extr´mums libres : o` les chercher ?
e
u
On d´duit du th´or`me pr´c´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f de Rp dans R sont
•
les points qui ne sont pas ` l’int´rieur de dom f , c.-`-d. les points de la
a
e
a
fronti`re, ou sur le bord, du domaine ;
e
•
les points o` les d´riv´es partielles de f n’existent pas toutes ;
u
e e
•
les points stationnaires.
Extr´mums libres : Conditions suffisantes de second ordre
e
Soit f une fonction de Rp dans R.
– Si a est un point stationnaire de f
et que la matrice Hessienne de f en a est DP,
alors a d´termine un minimum local de f .
e
– Si a est un point stationnaire de f
et que la matrice Hessienne de f en a est DN,
alors a d´termine un maximum local de f .
e
– Si a est un point stationnaire de f
et que la matrice Hessienne de f en a est IND,
alors a d´termine un point de selle de f .
e
59

61. 2008
Analyse
Ch. 4 Optimisation libre
Principaux th´or`mes
e e
Extr´mums libres : Conditions n´cessaires de second ordre
e
e
p
Soit f une fonction de R dans R de classe C 2 dans un voisinage du point a.
Si a d´termine un maximum local de f ,
e
alors la Hessienne de f en a ne peut ˆtre que DN ou SDN .
e
On en d´duit que si le point a est un point stationnaire en lequel la Hessienne
e
est SDP, il ne peut d´terminer qu’un minimum ou un point de selle de f .
e
On peut ´videmment ´crire un th´or`me dual en changeant maximum en mie
e
e e
nimum, DN en DP, . . . etc.
60

62. 2008
Analyse
Chapitre 5
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Optimisation sous contraintes
d’´galit´
e
e
R´f´rences
ee
• Optimisation sous contraintes d’´quations
e
• Analyse de sensibilit´
e
Signification des multiplicateurs
S & B : Ch. 24 pp.655-668
S & B : Ch. 25 pp.693-698
Extr´m´s sous contrainte d’´quations
e e
e
11.
Comment ¸a s’´crit ? Ce n’est pas par n´gligence qu’il est ´crit d’une part
c
e
e
e
“Optimisation sous contraintes d’´galit´” et un peu plus bas “Extr´m´s sous
e
e
e e
contrainte d’´quations”.
e
Nous avons d´j` attir´ votre attention sur la nuance que l’on devrait sans doute
ea
e
faire (mais les textes ´conomiques ne la font jamais) entre “Optimisation” et
e
“Recherche d’extr´m´s”. Tout extremum n’est pas un optimum, cela est facilee e
ment admis. Mais il est peut-ˆtre plus insidieux de laisser croire que l’optimum,
e
lui, correspond toujours ` un extremum d’une donn´e quantifiable du probl`me !
a
e
e
Egalit´ ou ´quation ? La nuance est encore plus faible. On parlera plutˆt d’´quation
e
e
o e
quand l’´galit´ est une condition ` remplir, quelque chose qui est r´alis´ par
e
e
a
e e
certaines valeurs seulement des variables du probl`me, ce qui serait le cas ici.
e
Mais ces conditions, qui sont ici des “contraintes”, s’expriment ´videmment
e
sous la forme d’ ´galit´s.
e
e
Et o` marquer le pluriel s’il y a plusieurs conditions. On peut d´fendre qu’il
u
e
y a plusieurs contraintes et que chacune d’entre elles a la forme d’une ´quation.
e
Mais on peut tout aussi bien consid´rer que l’on impose une contrainte constitu´e
e
e
de plusieurs ´quations.
e
La multiplicit´ des points de vue est une richesse, pas une mis`re ! ! !
e
e
61

63. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Extr´m´s li´s : deux variables et une contrainte
e e e
Interpr´tation g´om´trique
e
e
e
11.1.
11.1.1. Analysez l’expression “Dominique est la plus grande femme que je connais ” ?
Peut-on en d´duire que Dominique est la plus grande personne que je connais ?
e
Que c’est une femme ? Que Dominique est la plus grande personne du monde ?
Qu’elle est une personne que je connais ?
Que sait-on de Dominique ? Elle est plus grande que qui, finalement ?
11.1.2. Qu’est-ce que cette histoire peut bien avoir ` faire avec l’optimisation sous
a
contrainte ?
11.1.3. f (x, y) et g(x, y) sont des fonctions de R2 dans R.
D´finissez l’expression
e
“a = (a, b) d´termine un maximum global de la fonction
e
f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0.”
← D´f.
e
Adaptez la d´finition pour les cas de maximum local, mimimum global et
e
minimum local.
11.1.4. On se place dans le contexte du probl`me d’optimisation de f (x, y) sous la
e
q.e.d.
contrainte g(x, y) = 0 et on suppose que f et g sont des fonctions de classe C1 .
Donnez une d´monstration g´om´trique intuitive du th´or`me suivant.
e
e e
e e
Si le point (a, b) (tel que f (a, b) = c) d´termine un extremum de f (x, y) sous
e
la contrainte g(x, y) = 0,
et si le point (a, b) est un point r´gulier de la courbe f (x, y) = c et de la courbe
e
g(x, y) = 0,
← Th.
alors les courbes f (x, y) = c et g(x, y) = 0 sont tangentes l’une ` l’autre en
a
(a, b).
Suggestion : Examinez ce qui se passe si les deux courbes ne sont pas tangentes
l’une ` l’autre, et que la premi`re “croise” la seconde.
a
e
11.1.5. Pour tirer parti du th´or`me pr´c´dent, il faut pouvoir caract´riser la tangence
e e
e e
e
q.e.d.
entre deux courbes d´finies chacune par une ´quation implicite.
e
e
Donnez une d´monstration intuitive du th´or`me suivant.
e
e e
Des courbes f (x, y) = 0 et g(x, y) = 0 sont tangentes l’une ` l’autre en un de
a
leurs points communs a = (a, b) ssi leurs gradients en ce point sont parall`les
e
et donc proportionnels.
11.1.6. R´´crivez le th´or`me pr´c´dent en utilisant la notation
ee
e e
e e
q.e.d.
d´signer les gradients de f et g en a.
e
f (a) et
g(a) pour
← Th.
11.1.7. Exprimez ` partir de l` une condition n´cessaire sur les gradients de f et g en
a
a
e
a pour que a, point r´gulier de la courbe g(x) = 0, d´termine un extremum de
e
e
f sous la contrainte g(x) = 0.
← Th.
62

64. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
11.1.8. L’approche d´crite ci-dessus se restreint aux points r´guliers de la courbe.
e
e
Pourquoi ? Ne peut-on avoir d’extremums en des points singuliers ?
Illustrations
11.1.a
Dessinez une colline et un chemin qui serpente le long de ses flancs.
Choisissez un sens de parcours du chemin. Rep´rez les points o`
e
u
ce chemin monte, o` il descend, et ceux o` il passe par un maximum ou un
u
u
minimum local.
2+2 = ?
11.1.b
2+2 = ?
Dessinez le graphe dans R3 d’une fonction z = f (x, y) (p.ex. z =
x2 + y 2 ).
Sur le mˆme graphe, dessinez dans le plan Oxy une courbe de niveau du type
e
g(x, y) = 0 (p.ex. (x − 1)2 + y 2 − 1 = 0).
Projetez cette courbe de niveau sur la surface z = f (x, y) pour obtenir l’ensemble des points {(x, y, f (x, y))|g(x, y) = 0}.
Parmi ces points, rep´rez ceux qui correspondent ` un maximum ou ` un mie
a
a
nimum local de f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0.
11.1.c
2+2 = ?
Le graphe ci-contre repr´sente, en
e
trait fin, les courbes de niveau
d’une fonction f (x, y), et en trait
plus gras la courbe d’´quation
e
g(x, y) = 0.
Parcourez le chemin g(x, y) = 0
dans le sens des aiguilles d’une
montre et rep´rez
e
1
2
5
4
3
y
x
(1) les points o` ce chemin monte
u
(2) les points o` ce chemin descend
u
(3) les points o` il cesse de monter pour commencer ` redescendre
u
a
(4) les points o` il cesse de descendre pour commencer ` remonter
u
a
D´duisez de ce parcours les points qui d´terminent un maximum ou un minie
e
mum local de la fonction f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0.
Remarquez-vous quelquechose de particulier en ces points ?
11.1.d
Illustrez ces th´or`mes dans le probl`me suivant.
e e
e
2+2 = ?
Extr´mer la fonction f (x, y) = xy sous la contrainte x + 4y = 16.
e
(1) Ecrivez la contrainte sous la forme g(x, y) = 0.
63
0

65. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
(2) V´rifiez que cette contrainte n’admet pas de point singulier.
e
(3) Ecrivez la forme g´n´rale,
e e
f (x), du gradient de f en un point x.
(4) Ecrivez la forme g´n´rale,
e e
g(x), du gradient de x en un point x.
(5) Ecrivez les conditions n´cessaires pour que x = (x, y) d´termine un
e
e
a
extremum de f sous la contrainte g(x) = 0, ` savoir
g(x) = 0
f (x) = λ f (x)
x satisfait ` la contrainte.
a
les deux courbes sont tangentes en x.
(6) R´solvez le syst`me de trois ´quations ` trois inconnues (x, y et λ),
e
e
e
a
d´termin´ par ces conditions n´cessaires.
e
e
e
Les solutions de ce syst`me (ici, il n’y en a qu’une) donnent les seuls points
e
r´guliers de la contrainte en lesquels peut se produire un extr´mum de f sous
e
e
la contrainte.
Extr´m´s li´s : deux variables et une contrainte
e e e
Explicitation de la contrainte
11.2.
Une autre approche th´orique du probl`me consiste ` expliciter le lien entre
e
e
a
x et y d´coulant de la contrainte. Le th´or`me des fonctions implicites fournit
e
e e
en effet les ´l´ments utiles pour ce type d’approche.
ee
11.2.1. Reprenez l’exemple d´j` trait´ plus haut :
ea
e
Extr´mer la fonction f (x, y) = xy sous la contrainte x + 4y = 16.
e
(1) Dans la contrainte, explicitez y en fonction de x sous la forme y = φ(x) ;
(2) Introduisez cette expression de y dans la fonction f (x, y) pour obtenir
une fonction F (x) = f (x, φ(x)) de la seule variable x ;
(3) Recherchez les extr´mums libres de cette fonction d’une variable.
e
(4) Comparez avec le r´sultat obtenu pr´c´demment.
e
e e
Les cas o` l’explicitation pourra se faire concr`tement seront ´videmment
u
e
e
rares. Mais le th´or`me des fonctions implicites permet d’utiliser le fait qu’une
e e
explicitation existe, mˆme sans la connaˆ
e
ıtre.
11.2.2. On se place dans le contexte du probl`me d’optimisation de f (x, y) sous la
e
q.e.d.
contrainte g(x, y) = 0 et on suppose que f et g sont des fonctions de classe C 1 .
Si a = (a, b) est un point r´gulier de g(x, y) = 0, on peut expliciter une au moins
e
des deux variables en fonction de l’autre pr`s de a (pourquoi ?). Supposons que
e
l’on puisse expliciter y = φ(x).
(1) Voyez que (a, b) est un extr´mum de f sous la contrainte, ssi a est un
e
extremum de F (x) = f (x, φ(x)).
64

66. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
(2) D´montrez, en utilisant la d´riv´e de F (x) calcul´e par la Chain Rule
e
e e
e
que, pour que a soit un extr´mum de F , il faut que
e
∂f
(a, b)
∂x
∂g
(a, b)
∂x
=
∂f
(a, b)
∂y
∂g
(a, b)
∂y
(3) Notez λ la valeur commune des deux quotients ci-dessus, et voyez que
la condition revient ` 
a
∂g
 ∂f (a, b) = λ ∂x (a, b)
∂x

∂f
(a, b)
∂y
∂g
= λ ∂y (a, b)
(4) Comparez avec les conditions obtenues par l’approche g´om´trique.
e e
11.2.3. L’approche d´crite ci-dessus se restreint aux points r´guliers de la courbe.
e
e
Extr´m´s li´s : deux variables et une contrainte
e e e
Synth`se : le th´or`me du rang
e
e e
11.3.
11.3.1. On se place dans le contexte du probl`me d’optimisation de f (x, y) sous la
e
q.e.d.
contrainte g(x, y) = 0 et on suppose que f et g sont des fonctions de classe C 1 .
Montrez que le th´or`me ci-dessous reprend les deux th´or`mes d´crits plus
e e
e e
e
haut.
e
e
Si a = (a, b) d´termine un extr´mum de la fonction f (x, y) sous la contrainte
g(x, y) = 0, alors
rang
∂f
∂x
∂g
∂x
∂f
∂y
∂g
∂y
← Th.
<2
(a,b)
et
g(a, b) = 0.
11.3.2. Comment peut-on exprimer la condition sur le rang sous la forme d’´quation(s)
e
en x et y ?
11.3.3. Pourquoi ce th´or`me ne traite-t-il plus ` part les points singuliers de la
e e
a
courbe ?
Illustrations
11.3.a
Illustrez cette m´thode en recherchant les candidats extr´mants du
e
e
probl`me suivant.
e
Extr´mer f (x1 , x2 ) = x1 x2 sous la contrainte x1 + x2 = 16.
e
2+2 = ?
65

67. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Extr´m´s li´s : deux variables et une contrainte
e e e
Synth`se : la m´thode de Lagrange
e
e
11.4.
11.4.1. On se place dans le contexte du probl`me d’optimisation de f (x, y) sous la
e
contrainte g(x, y) = 0 et on suppose que f et g sont des fonctions de classe C 1 .
(1) D´finissez le Lagrangien ou Fonction de Lagrange du probl`me.
e
e
← D´f.
e
e
(2) Enoncez les conditions de Lagrange pour que le point a d´termine un
extr´mum de f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0.
e
← Th.
11.4.2. D´montrez qu’il ne s’agit que d’une traduction du th´or`me du rang.
e
e e
q.e.d.
11.4.3. Remarquez que les points singuliers doivent de nouveau ˆtre trait´s ` part.
e
e a
Faites le lien avec les conditions de qualification d´crites par S & B.
e
Illustrations
11.4.a
Illustrez cette m´thode en reprenant l’exercice que vous avez trait´
e
e
plus haut par la m´thode du rang.
e
C’est l’exemple 24.4, p. 661, de S & B .
2+2 = ?
Extr´m´s li´s : p variables et une contrainte
e e e
11.5.
11.5.1. G´n´ralisez le th´or`me du rang pour l’optimisation d’une fonction f (x1 , x2 , . . . , xp )
e e
e e
sous la contrainte g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0.
← Th.
11.5.2. Comment traduire en ´quation la condition sur le rang ?
e
e e
e
11.5.3. G´n´ralisez la m´thode de Lagrange pour l’optimisation d’une fonction
f (x1 , x2 , . . . , xp ) sous la contrainte g(x1 , x2 , . . . , xp ) = 0.
← Th.
Illustrations
11.5.a
Recherchez, par la m´thode du rang, les candidats extr´mants du
e
e
probl`me suivant.
e
Extr´mer f (x1 , x2 , x3 ) = x2 + x2 + x2 sous la contrainte x + y + z = 9.
e
1
2
3
2+2 = ?
11.5.b
Reprenez l’exercice pr´c´dent par la m´thode de Lagrange.
e e
e
2+2 = ?
66

68. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Extr´m´s li´s : p variables et q contraintes
e e e
11.6.1. G´n´ralisez le th´or`me du rang pour l’optimisation d’une fonction
e e
e e
11.6.
← Th.
f (x1 , x2 , . . . , xp )
sous les contraintes

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
.
.

.


gq (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
11.6.2. G´n´ralisez la m´thode de Lagrange pour l’optimisation d’une fonction
e e
e
← Th.
f (x1 , x2 , . . . , xp )
sous les contraintes

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
.
.

.


gq (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
11.6.3. Qu’appelle-t-on condition de qualification non d´g´n´r´e ?
e e e e
Faites le lien avec les points singuliers.
C’est le vocabulaire de S & B
← D´f.
e
Illustrations
11.6.a
Illustrez la m´thode du rang en recherchant les candidats extr´mants
e
e
du probl`me suivant.
e
Extr´mer
e
x2 + y 2 + z 2 + w 2
2+2 = ?
sous les contraintes
11.6.b
3x + y + z + w = 6
x+y+z+w =4
Illustrez la m´thode de Lagrange en reprenant l’exercice pr´c´dent.
e
e e
2+2 = ?
Analyse de la sensibilit´
e
11.7.
En ´conomie, une contrainte est souvent une quantit´ disponible, par exemple
e
e
un budget . On cherche alors ` trouver une solution optimale (dans un sens
a
pr´cis´ par le probl`me) sous cette contrainte de budget. La solution ´tant
e e
e
e
trouv´e, on peut se demander comment elle varierait si la contrainte de budget
e
´tait un peu relˆch´e ou au contraire resserr´e.
e
a e
e
On se place donc, par exemple, dans le contexte de la maximisation d’une
fonction f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0. On suppose que la solution de
Lagrange se trouve en un point (a, b) qui donne ` la fonction la valeur (maxia
mum) f (a, b) = M .
67

69. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
L’analyse de la sensibilit´ consiste ` ´valuer comment se modifierait le maxie
ae
mum recherch´, ici M , si la contrainte g(x, y) = 0 ´tait modifi´e en g(x, y) = ε.
e
e
e
e e
e e
e
11.7.1. Enoncez pr´cis´ment le th´or`me qui exprime le lien entre la sensibilit´ de
l’optimum ` un relˆchement des contraintes et la valeur du multiplicateur de
a
a
Lagrange.
Indiquez soigneusement le contexte et la signification des notations.
← Th.
11.7.2. G´n´ralisez les m´thodes d’analyse de la sensibilit´ au cas g´n´ral de l’optimie e
e
e
e e
sation d’une fonction de p variables sous q contraintes.
← Th.
Illustrations
11.7.a
En cherchant ` r´soudre par la m´thode de Lagrange le probl`me de
a e
e
e
l’optimisation de la fonction f (x, y, z) sous la contrainte g(x, y, z) =
3, on a trouv´ une solution x = 1, y = −1, z = 2 et λ = 2 qui donne ` f une
e
a
valeur maximum ´gale ` 7.
e
a
Donnez une valeur approch´e du nouveau maximum que l’on atteindra si la
e
contrainte est transform´e en g(x, y, z) = 3.2.
e
2+2 = ?
11.7.b
Reprenez l’illustration 11.6.b ci-dessus.
On obtenait un minimum local en x = y = z = w = 1, m = 4,
λ1 = 0 et λ2 = 2.
Etudiez comment se modifie ce minimum si on relˆche la premi`re contrainte,
a
e
la seconde, ou les deux ` la fois.
a
2+2 = ?
68

70. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 5
e
Extr´mum sous contrainte d’´galit´ : deux variables, une contrainte
e
e
e
Soit f une fonction de R2 dans R qu’on appelera “ fonction objectif ”
et g une autre fonction de R2 dans R qui servira ` d´finir la relation g(x, y) = 0
a e
appel´e “contrainte ”.
e
On dit que le point a = (a, b) d´termine un maximum (local) de f sous la
e
contrainte g(x, y) = 0
ssi
a satisfait la contrainte g(x) = 0 et donne ` f une valeur plus grande que tous
a
les points voisins qui satisfont aussi cette contrainte
ssi
g(a) = 0
et
∃ V un voisinage de a tel que ∀x ∈ dom f ∩ V
si g(x) = 0 alors f (x) ≤ f (a)
Extr´mum sous contrainte d’´galit´s : p variables, q contraintes
e
e
e
Soit f une fonction de Rp dans R qu’on appelera “ fonction objectif ”


g1 (x)
 g2 (x) 
et G =  .  une fonction de Rp dans Rq qui servira ` d´finir la relation
a e
 . 
.
gq (x)

 g1 (x) = 0

 g2 (x) = 0
a
G(x) = 0 c.-`-d.
.
.

.


gq (x) = 0
appel´e “contrainte ” (ou “contraintes ”).
e
On dit que le point a d´termine un minimum (local) de f sous les contraintes
e
G(x) = 0
ssi
a satisfait les contraintes G(x) = 0 et donne ` f une valeur plus petite que
a
tous les points voisins qui satisfont aussi ces contraintes
ssi
G(a) = 0 et
∃ V un voisinage de a tel que ∀x ∈ dom f ∩ V
si G(x) = 0 alors f (x) ≥ f (a)
69

71. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
D´finitions
e
Extr´mum sous contrainte : Fonction de Lagrange
e
Soit le probl`me d’optimisation de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp )
e

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
sous les contraintes
.
.

.


gq (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
On appelle “Fonction de Lagrange du probl`me ” la fonction de (p+q) variables
e
L(x1 , x2 , . . . , xp , λ1 , λ2 , . . . , λq ) =
f (x1 , x2 , . . . , xp )−λ1 g1 (x1 , x2 , . . . , xp )−λ2 g2 (x1 , x2 , . . . , xp )−. . .−λq gq (x1 , x2 , . . . , xp ).
Les nouvelles variables λi sont appel´es “ multiplicateurs de Lagrange ” du
e
probl`me.
e
Extr´mum sous contrainte : Point critique
e
Soit le probl`me d’optimisation de la fonction f (x1 , x2 , . . . , xp )
e

 g (x , x , . . . , xp ) = 0
 1 1 2
 g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
sous les contraintes
.
.

.


gq (x1 , x2 , . . . , xp ) = 0
Un “point critique du probl`me ” est un point a qui
e
– satisfait les contraintes ; c.-`-d. tel que g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0 ;
a
– admet un voisinage dans lequel f, g1 , g2 , . . . , gq sont de classe C 1 ;
– et tel que
 ∂f ∂f

∂f
. . . ∂xp
∂x1
∂x2
 ∂g1 ∂g1 . . . ∂g1 
 ∂x1 ∂x2
∂xp 
 ∂g2 ∂g2
∂g2 
<q+1
rang  ∂x1 ∂x2 . . . ∂xp 


.
. 
 .
. ... . 
 .
.
.
.
∂gq
∂gq
∂g
. . . ∂xq
∂x1
∂x2
p
(a)
70

72. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 5
e e
Important
Dans tous les th´or`mes ci-dessous, on suppose que toutes
e e
les fonctions dont on parle sont de classe C1 dans un voisinage des points
consid´r´s.
e e
Condition n´cessaire pour les points r´guliers
e
e
Si a d´termine un extremum local de f sous la contrainte g(x) = 0,
e
et si a est un point r´gulier de la courbe g(x) = 0,
e
alors le gradient de f en a est proportionnel au gradient de g en a.
Autrement dit
Si a d´termine un extremum local de f sous la contrainte g(x) = 0,
e
et si g(a) = 0
alors ∃λ ∈ R t.q. f (a) = λ g(a).
Condition n´cessaire : le th´or`me du rang
e
e e
Soit un point a qui admet un voisinage dans lequel f, g1 , g2 , . . . , gq sont de
classe C 1 ; et qui satisfait les contraintes g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0.
Si
alors
a d´termine un maximum ou un minimum local de f sous les contraintes
e
g1 (x) = g2 (x) = . . . = gq (x) = 0
a est un point critique du probl`me, c.-`-d.
e
a
 ∂f ∂f

∂f
. . . ∂xp
∂x1
∂x2
 ∂g1 ∂g1 . . . ∂g1 
 ∂x1 ∂x2
∂xp 
 ∂g2 ∂g2
∂g2 
rang  ∂x1 ∂x2 . . . ∂xp 
<q+1


.
. 
 .
. ... . 
 .
.
.
.
∂gq
∂gq
∂gq
. . . ∂xp
∂x1
∂x2
(a)
Extr´mums li´s : o` les chercher par le rang ?
e
e
u
On d´duit du th´or`me pr´c´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f sous les contraintes g1 (x) = g2 (x) = . . . = gq (x) = 0 sont
•
les points dans le voisinage des quels les fonctions f, g1 , g2 , . . . , gq ne
sont pas toutes de classe C 1 ;
•
les points critiques du probl`me, c.-`-d. les points qui satisfont les condie
a
tions
71

73. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
et
Principaux th´or`mes
e e
g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0
 ∂f ∂f

∂f
. . . ∂xp
∂x1
∂x2
 ∂g1 ∂g1 . . . ∂g1 
 ∂x1 ∂x2
∂xp 
 ∂g2 ∂g2
∂g2 
rang  ∂x1 ∂x2 . . . ∂xp 
<q+1


.
 .
.
. ... . 
. 
 .
.
.
∂gq
∂gq
∂gq
. . . ∂xp
∂x1
∂x2
(a)
Condition n´cessaire : le th´or`me de Lagrange
e
e e
Soit un point a qui admet un voisinage dans lequel f, g1 , g2 , . . . , gq sont de
classe C 1 .
Si
a est un point r´gulier des contraintes g1 (x) = g2 (x) = . . . = gq (x) = 0
e
c.-`-d. si
a
g1 (a) = g2 (a) = . . . = gq (a) = 0
 ∂g ∂g

∂g
1
1
. . . ∂x1
∂x1
∂x2
p
 ∂g2 ∂g2
∂g 
 ∂x1 ∂x2 . . . ∂x2 
p 
et rang  .
= q
.
 .
. ... . 
. 
.
.
 .
∂gq
∂x1
et si
alors
∂gq
∂x2
...
∂gq
∂xp
(a)
a d´termine un maximum ou un minimum local de f sous les contraintes
e
g1 (x) = g2 (x) = . . . = gq (x) = 0
∃ λ = (λ1 , λ2 , . . . , λq ) tel que
 ∂L
 ∂x1 (a, λ)


 ∂L


 ∂x2 (a, λ)






 ∂L


(a, λ)
∂xp
















= 0
= 0
.
.
.
= 0
∂L
(a, λ)
∂λ1
= g1 (a) = 0
∂L
(a, λ)
∂λ2
= g2 (a) = 0
.
.
.
∂L
(a, λ)
∂λq
= gq (a) = 0
Extr´mums li´s : o` les chercher par le Lagrangien ?
e
e
u
On d´duit du th´or`me pr´c´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f sous les contraintes g1 (x) = g2 (x) = . . . = gq (x) = 0 sont
•
les points dans le voisinage des quels les fonctions f, g1 , g2 , . . . , gq ne
sont pas toutes de classe C 1 ;
72

74. 2008
Analyse
Ch. 5 Optimisation sous contraintes d’´galit´
e
e
Principaux th´or`mes
e e
•
les points (appel´s ‘points critiques r´guliers”) qui satisfont les condie
e
tions de Lagrange , c.-`-d. pour lesquels ∃ λ = (λ1 , λ2 , . . . , λq ) tel que
a
∂L
∂L
∂L
(a, λ) =
(a, λ) = . . . =
(a, λ) = 0
∂x1
∂x2
∂xp
∂L
∂L
∂L
(a, λ) = g1 (a) =
(a, λ) = g2 (a) = . . .
(a, λ) = gq (a) = 0
∂λ1
∂λ2
∂λq
•
les points singuliers des contraintes, c.-`-d. les points pour lesquels
a
 ∂g ∂g

∂g
1
1
. . . ∂x1
∂x1
∂x2
p
 ∂g2 ∂g2
∂g 
 ∂x1 ∂x2 . . . ∂x2 
p 
 .
rang 
< q
.
.
. ... . 
. 
.
.
 .
∂gq
∂x1
∂gq
∂x2
...
∂gq
∂xp
(a)
Analyse de sensibilit´ – interpr´tation des multiplicateurs de Lagrange
e
e
On consid`re un couple (x, λ), solution r´guli`re du probl`me d’optimisation
e
e
e
e

g1 (x) = b1

.
.
de f (x) sous les contraintes :
.

gp (x) = bp
On consid`re les bi comme des param`tres exprimant le niveau des contraintes.
e
e
L’extremum (x, f (x)) d´pend de ces param`tres. On le note (x(b), f (x(b))). De
e
e
mˆme les multiplicateurs de Lagrange associ´s en d´pendent aussi et sont not´s
e
e
e
e
λi (b).
L’analyse de sensibilit´ ´tudie les variations de x(b) et de f (x(b)) en fonction
ee
des variations des bi et permet d’´noncer le th´or`me suivant
e
e e
Si
les fonctions x : Rq −→ Rp et λ : Rq −→ Rq sont d´finies dans un
e
voisinage de b et si les d´riv´es partielles de x existent dans ce voisinage,
e e
∂f (x(b))
= λj0 (b) (j0 = 1, 2, . . . , q).
∂bj0
Les λj0 (b) mesurent donc l’ intensit´ de la variation de la valeur f (x(b))
e
cons´cutive ` une variation de bj0 : si bj0 varie de ∆bj0 , alors f (x(b)) varie
e
a
d’environ λj0 (b)∆bj0 .
alors
73

75. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
Chapitre 6
Optimisation sous contrainte
d’in´galit´s
e
e
R´f´rences
ee
• Optimisation sous contraintes d’in´galit´s
e
e
• Analyse de sensibilit´
e
Signification des multiplicateurs
S & B : Ch. 24 pp.668-692
S & B : Ch. 25 pp. 696-698
Extr´m´s sous contraintes d’in´quations
e e
e
In´galit´s versus ´galit´s
e
e
e
e
12.
12.1.
12.1.1. Dans un probl`me d’extr´m´ sous contraintes d’´galit´s, le nombre de contraintes
e
e e
e
e
doit ˆtre inf´rieur au nombre de variables. Pourquoi ?
e
e
Analysez la situation du point de vue du th´or`me du rang. Regardez aussi les
e e
choses d’un point de vue g´om´trique.
e e
12.1.2. La restriction ci-dessus n’a plus de raison d’ˆtre pour les probl`mes d’extr´m´s
e
e
e e
sous contraintes d’in´galit´s. Pourquoi ? Illustrez cette diff´rence sur quelques
e
e
e
exemples g´om´triques.
e e
• Imaginez un sous-ensemble de la droite r´elle d´limit´ par 2 in´quations et qui
e
e
e
e
ne soit ni vide ni r´duit ` des points isol´s.
e
a
e
• Imaginez un sous-ensemble du plan R2 d´limit´ par 3, 4, 5 ou 10 in´quations
e
e
e
et qui ne soit ni vide ni r´duit ` des points isol´s.
e
a
e
74

76. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
12.1.3. Pour uniformiser notre approche, nous conviendrons d’´crire toutes les in´galit´s
e
e
e
sous la forme f (x) ≤ 0.
Ainsi x2 + y 3 ≤ 3 devra s’´crire x2 + y 3 − 3 ≤ 0, et x2 + y 3 ≥ 3 devra s’´crire
e
e
2
3
−x − y + 3 ≤ 0.
Illustrations
12.1.a
Voyez la diff´rence entre le probl`me d’extr´mum de f (x, y) sous les
e
e
e
containtes d’´galit´s ci-dessous ou sous les contraintes d’in´galit´s
e
e
e
e
correspondantes.
x2 + y 2 ≤ 1
x2 + y 2 = 1
ou
y ≤ x2
y = x2
2+2 = ?
12.1.b
2+2 = ?
R´´crivez les in´quation x3 − y 2 ≥ 5 et x3 + 5y − 2 ≤ x2 + ey
ee
e
sous la forme d’in´quations du type f (x) ≤ 0.
e
Variables d’´cart
e
12.2.1. Les in´quations de la forme f (x) ≤ 0 peuvent se ramener ` des ´quations
e
a
e
grˆce ` l’adjonction de “variables d’´cart ”. De quoi s’agit-il ?
a a
e
12.2.
← D´f.
e
12.2.2. Pourquoi la variable d’´cart apparaˆ
e
ıt-elle au carr´ ?
e
e
e
e
12.2.3. Il faut introduire une nouvelle variable d’´cart pour chacune des in´galit´s du
probl`me. Pourquoi ?
e
12.2.4. Quand dit-on qu’une contrainte g(x) ≤ 0 est “satur´e au point a ” ?
e
← D´f.
e
Comment cette propri´t´ se traduit-elle au niveau de la valeur de la variable
ee
d’´cart associ´e ` la contrainte g(x) ≤ 0 ?
e
e a
Quelle est la traduction g´om´trique de cette propri´t´ ?
e e
ee
12.2.5. Une contrainte satur´e est-elle encore satisfaite ?
e
12.2.6. Pourquoi dit-on qu’une contrainte non satur´e en un point est inop´rante en
e
e
ce point ?
12.2.7. Montrez que par l’introduction de variables d’´cart, on peut transformer
e
q.e.d.
un probl`me d’extr´mum ` p variables (x1 , . . . , xp )
e
e
a
sous q contraintes d’in´galit´s.
e
e
en
un probl`me d’extr´mum ` p + q variables (x1 ,. . . , xp , u1 ,. . . ,uq )
e
e
a
sous q contraintes d’´galit´s.
e
e
75

77. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
Illustrations
12.2.a
R´duisez les probl`mes d’extr´mums sous contrainte d’in´quations
e
e
e
e
des exercices suppl´mentaires 4.1 et 4.2 ` des probl`mes d’extr´mums
e
a
e
e
sous contrainte d’´quations.
e
2+2 = ?
12.2.b
2+2 = ?
12.2.c
1
1
La contrainte x2 +y 2 −1 ≤ 0 est-elle satur´e en (0, 0) ? en ( √2 , √2 ) ?
e
en (1, 0) ? en (3, 3) ?
Pour l’exercice suppl´mentaire 14.1,
e
2+2 = ?
Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = 4x + 3y sous
e
e
2
2
les contraintes x + y ≤ 25
et
(x − 5)2 − 5y ≥ 0
´crivez le probl`me transform´ en probl`me sous contraintes d’´galit´s par l’ade
e
e
e
e
e
jonction des variables d’´cart u1 et u2 .
e
Pour ce nouveau probl`me, ´crivez la condition n´cessaire d´coulant du th´or`me
e
e
e
e
e e
du rang.
Attention, cette condition portera donc sur une matrice ` 3 lignes et 4 coa
lonnes ! Consultez la fiche sur ce sujet.
12.2.d
2+2 = ?
Trouvez les points critiques du probl`me en discutant du rang de
e
la matrice calcul´e ci-dessus. On distinguera les cas suivants.
e
(1) u1 = 0 , u2 = 0
On voit que dans ce cas le rang est toujours 3.
Il n’y a pas de candidat.
(2) u1 = 0 , u2 = 0
Attention ! Dans cette hypoth`se (u1 = 0), la contrainte x2 + y 2 ≤ 25
e
2
2
2
e
ou x + y + u1 = 25 devient donc x2 + y 2 = 25 qui devra donc ˆtre
v´rifi´e par les points candidats en mˆme temps que les conditions de
e e
e
rang.
On trouve les points (4, 3) et (−4, −3).
(3) u1 = 0 , u2 = 0
Ici, c’est la seconde contrainte d’in´galit´ qui se transforme en une
e
e
´galit´ (x − 5)2 − 5y = 0.
e
e
5
On trouve le point ( 3 , 20 ).
9
(4) u1 = 0 , u2 = 0
Sous cette hypoth`se, le rang de la matrice est toujours inf´rieur `
e
e
a
2, puisque les deux derni`res colonnes sont nulles. Les deux conditions
e
d’´galit´s permettent de d´terminer les points v´rifiant cette hypoth`se.
e
e
e
e
e
On trouve les points (5, 0) et (0, 5).
76

78. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
Le th´or`me du rang
e e
12.3.
12.3.1. G´n´ralisez la d´marche ci-dessus.
e e
e
q.e.d.
(1) Ecrivez la forme g´n´rale d’un probl`me d’extr´m´ ` p variables sous
e e
e
e ea
q contraintes d’in´galit´s.
e
e
(2) R´´crivez le comme probl`me d’extr´m´ ` p+q variables sous q contraintes
ee
e
e ea
d’´galit´s par l’introduction de variables d’´cart.
e
e
e
(3) Ecrivez la matrice sur laquelle portera la condition de rang pour ce
probl`me et ´crivez cette condition.
e
e
Quelle est la dimension de cette matrice ? Quelle est la condition sur le
rang ?
(4) Formulez compl`tement le th´or`me du rang pour ce cas.
e
e e
Illustrations
12.3.a
R´solvez l’exercice suppl´mentaire 4.2 par cette m´thode.
e
e
e
2+2 = ?
Point singulier - Condition de qualification d´g´n´r´e
e e e e
12.4.
12.4.1. Reprenez le contexte et les notations du th´or`me du rang ci-dessus
e e
(1) Distinguez dans la matrice, la premi`re ligne qui parle de la fonction `
e
a
extr´mer ; et les q derni`res lignes qui parlent des contraintes.
e
e
(2) Voyez que le rang de la matrice peut-ˆtre incomplet
e
(< q + 1)
soit parce que la premi`re ligne est combinaison lin´aire des q autres,
e
e
soit parce que le rang de la matrice des q derni`res lignes est incomplet
e
(< q).
Dans ce dernier cas, on parle de condition de qualification d´g´n´r´e.
e e e e
Pourquoi ?
← Th.
← D´f.
e
On s’int´resse ici ` ces points pour lesquels ce sont les q derni`res lignes de la
e
a
e
matrice (les lignes correspondant aux contraintes) qui ne sont pas lin´airement
e
ind´pendantes.
e
12.4.2. Ecrivez les q derni`res lignes (les lignes correspondant aux contraintes) de la
e
q.e.d.
matrice du th´or`me du rang apr`s adjonction des variables d’´cart et notez
e e
e
e
B la matrice ainsi constitu´e.
e
(1) Voyez que si aucune des variables d’´cart n’est nulle, la matrice B est
e
de rang complet (= q).
77

79. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
(2) Voyez que si les s premi`res variable d’´cart, et seulement elles, sont
e
e
nulles, mais que les s lignes correspondantes de la matrice sont malgr´
e
tout lin´airement ind´pendantes, alors la matrice B est de rang complet
e
e
(= q).
(3) Voyez que si les s premi`res variable d’´cart, et seulement elles, sont
e
e
nulles, mais que la matrice Jacobienne des contraintes correspondantes
(sans les variables d’´cart) est de rang complet (= s), alors la matrice
e
B est de rang complet (= q).
Les constatations pr´c´dentes permettent de caract´riser les points pour lese e
e
quels la matrice des q derni`res lignes de la matrice du th´or`me du rang est
e
e e
de rang incomplet (< q). Ces points seront donc ` prendre en consid´ration
a
e
comme candidats extr´mants.
e
12.4.3. Dans le contexte de la recherche d’extr´mants sous contraintes d’in´galit´s,
e
e
e
on appelle points singuliers des contraintes un point pour lequel la matrice
jacobienne des contraintes satur´es en ce point est de rang incomplet.
e
Comparez avec la d´finition des fiches et la d´finition de condition de qualifie
e
cation d´g´n´r´e qui se d´duit de la condition de qualification non d´g´n´r´e
e e e e
e
e e e e
des contraintes (dans le th´or`me 24.4, p. 675 dans S & B ).
e e
← D´f.
e
← D´f.
e
Illustrations
12.4.a
2+2 = ?
1.
Quels sont les points singuliers des contraintes

2
 y ≥1−x
y ≤ 2 + 2x

y ≤ 2 − 2x
2. Faites un graphique des contraintes et de la r´gion o` les contraintes sont
e
u
satisfaites.
3. Utilisez ce graphique pour trouver le extr´mants de la fonction z = x + y
e
sous ces contraintes.
Le th´or`me de Kuhn et Tucker
e e
12.5.
Le th´or`me de Kuhn et Tucker applique le formalisme du th´or`me de Lae e
e e
grange au probl`me transform´ par l’introduction de variables d’´cart. Une
e
e
e
fois la technique mise en place, on peut cependant oublier ces variables d’´cart
e
et proposer des conditions qui ne portent que sur la fonction ` extr´mer et les
a
e
contraintes avec leurs variables initiales.
12.5.1. On se replace ` nouveau dans le cas de l’optimisation de la fonction f (x1 , . . . , xp )
a
q.e.d.
78

80. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
sous les contraintes :

 g1 (x1 , . . . , xp ) ≤ 0

 g2 (x1 , . . . , xp ) ≤ 0
.
.

.


gq (x1 , . . . , xp ) ≤ 0
et on transforme ce probl`me en un probl`me d’optimisation sous des contraintes
e
e
d’´galit´s en introduisant les variables d’´cart u1 , u2 , . . . , uq .
e
e
e
Ecrivez la fonction de Lagrange L∗ du probl`me.
e
Il s’agit d’une fonction en les p + q variables x1 , x2 , . . . , xp , u1 , u2 , . . . , uq .
Par contre, on appelera “fonction de Lagrange g´n´ralis´e” ou “Lagrangien
e e
e
g´n´ralis´” du probl`me la fonction
e e
e
e
← D´f.
e
f (x1 , . . . , xp ) − λ1 g1 (x1 , . . . , xp ) − λ2 g2 (x1 , . . . , xp ) − . . . − λq gq (x1 , . . . , xp )
qui ne fait plus apparaitre les variables d’´cart.
e
12.5.2. Dans la situation de la question pr´c´dente, ´crivez les conditions de premier
e e
e
q.e.d.
ordre qui apparaissent dans le th´or`me de Lagrange. Distinguez
e e
(1) Les d´riv´es partielles de L∗ par rapport aux variables xi .
e e
D´montrez que pour ces d´riv´es partielles on a
e
e e
∂L∗
∂L
=
∂xi
∂xi
(2) Les d´riv´es partielles de L∗ par rapport aux variables λj .
e e
D´montrez que les conditions sur ces d´riv´es sont de la forme
e
e e
gj (x1 , . . . , xp ) + u2 = 0
j
contraintes qui peuvent se r´´crire sous leur forme initiale
ee
gj (x1 , . . . , xp ) ≤ 0
(3) Les d´riv´es partielles de L∗ par rapport aux variables uj .
e e
D´montrez que les conditions sur ces d´riv´es partielles sont de la forme
e
e e
2λj uj = 0
Montrez que cette condition revient ` la condition
a
λj gj (x1 , . . . , xp ) = 0
puisque uj = 0 est ´quivalent ` gj (x1 , . . . , xp ) = 0.
e
a
12.5.3. Remettez ensemble tout ce qui a ´t´ fait ci-dessus pour d´montrer et ´noncer
ee
e
e
q.e.d.
le th´or`me de Kuhn-Tucker.
e e
Consultez l’´nonc´ du th´or`me pp. 83-84 et le th´or`me 24.4, p. 675 dans S
e
e
e e
e e
& B . Comparez.
← Th.
79

81. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
12.5.4. Compl´tez le th´or`me par les conditions n´cessaires sur le signe des λj concere
e e
e
nant le cas particulier des maxima et celles concernant les minima.
Soyez attentif au fait qu’il s’agit de conditions n´cessaires, pas suffisantes !
e
← Th.
12.5.5. Que sont les “ relations d’exclusion ” ?
Expliquez ce terme.
← D´f.
e
Illustrations
12.5.a
Travaillez l’exemple 24.9, p. 676 dans S & B .
2+2 = ?
Analyse de la sensibilit´
e
12.6.1. Enoncez pr´cis´ment le th´or`me qui exprime le lien entre la sensibilit´ de
e e
e e
e
l’optimum ` un relˆchement des contraintes et la valeur des multiplicateurs
a
a
obtenu dans le th´or`me de Kuhn et Tucker.
e e
12.6.
← Th.
Voyez l’´nonc´ du th´or`me p. 85 et le th´or`me 25.3, p.696 dans S & B .
e
e
e e
e e
12.6.a
Illustrez ce th´or`me dans l’exemple 25.2 p. 697 dans S & B .
e e
2+2 = ?
80

82. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
D´finitions
e
D´finitions du Chapitre 6
e
Extr´mum sous contrainte d’in´galit´s
e
e
e
Soit f une fonction de Rp dans R qu’on appelera “ fonction objectif ”


g1 (x)
 g2 (x) 
et G =  .  une fonction de Rp dans Rq .
 . 
.
gq (x)
On dit que le point a d´termine un maximum (local) de f
e

 g1 (x) ≤ 0

 g2 (x) ≤ 0
sous les contraintes
.
.

.


gq (x) ≤ 0
ssi
a satisfait les contraintes ( g1 (a) ≤ 0, g2 (a) ≤ 0,. . . , gq (a) ≤ 0 ) et donne
a
` f une valeur plus grande que tous les points voisins qui satisfont aussi ces
contraintes
ssi
g1 (a) ≤ 0, g2 (a) ≤ 0,. . . , gq (a) ≤ 0
et
∃ V un voisinage de a tel que ∀x ∈ dom f ∩ V si G(x) ≤ 0 alors f (x) ≤ f (a)
Adjonction de variables d’´carts
e
Une in´galit´ de la forme g(x) ≤ 0 peut se ramener ` une ´galit´ h(x) =
e
e
a
e
e
2
g(x) + u = 0 o` u est un r´el. On dit que u est une variable d’´cart.
u
e
e
Ainsi, le probl`me ` p variables et q contraintes d’in´galit´
e
a
e
e

 g1 (x1 , x2 , . . . , xp ) ≤ 0

 g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) ≤ 0
Extr´mer f (x1 , x2 , . . . , xp ) sous les contraintes
e
.
.

.


gq (x1 , x2 , . . . , xp ) ≤ 0
81

83. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
D´finitions
e
se r´duit au probl`me ` (p + q) variables et q contraintes d’´galit´.
e
e
a
e
e
Extr´mer f (x1 , x2 , . . . , xn , u1 , u2 , . . . , um )
e

2
 h1 (x1 , x2 , . . . , xp , u1 , u2 , . . . , uq ) = g1 (x1 , x2 , . . . , xp ) + u1 = 0

 h2 (x1 , x2 , . . . , xn , u1 , u2 , . . . , uq ) = g2 (x1 , x2 , . . . , xp ) + u2 = 0
2
sous les contraintes
.
.

 .

hq (x1 , x2 , . . . , xn , u1 , u2 , . . . , uq ) = gq (x1 , x2 , . . . , xp ) + u2 = 0
q
Fonction de Lagrange g´n´ralis´e
e e
e
Comme pour les probl`mes sous contraintes d’´galit´s, on associe au probl`me
e
e
e
e
d’optimisation d´crit ci-dessus la fonction de Lagrange
e
L(x1 , . . . , xn , λ1 , λ2 , . . . , λq ) = f (x) − λ1 g1 (x) − λ2 g2 (x) − . . . − λq gq (x)
o` λ1 , λ2 , . . . , λq sont des variables r´elles.
u
e
Contrainte satur´e
e
Pour un probl`me d’optimisation sous contrainte d’in´galit´s comme d´crit
e
e
e
e
plus haut,
e
la contrainte g(x) ≤ 0 est dite satur´e en a
ssi
g(a) = 0.
Autrement dit
La contrainte g(x) ≤ 0 est satur´e au point a ssi u = 0 , o` u est la variable
e
u
d’´cart associ´e ` la contrainte g(x) ≤ 0.
e
e a
Point singulier des contraintes d’in´galit´s
e
e
Pour un probl`me d’optimisation sous contrainte d’in´galit´s comme d´crit
e
e
e
e
plus haut,
le point a est un point singulier des contraintes
ssi
il sature s contraintes et le rang de la matrice des d´riv´es partielles de ces s
e e
contraintes en a est strictement inf´rieur ` s.
e
a
82

84. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
Principaux th´or`mes
e e
Principaux th´or`mes du Chapitre 6
e e
Condition n´cessaire : le th´or`me du rang
e
e e
On consid`re a un point tel que f, g1 , g2 , . . . , gq sont de classe C 1 dans un
e
voisinage de a et g1 (a) ≤ 0, g2 (a) ≤ 0, . . . , gq (a) ≤ 0.
e
Si a est un extr´mant local de f sous les contraintes g1 (x) ≤ 0, . . . , gq (x) ≤ 0,
on a :
 ∂f

∂f
(a) . . . ∂xp (a) 0
0 ... 0
∂x1
 ∂g1

∂g
 ∂x (a) . . . ∂x1 (a) 2u1 0 . . . 0 
p
 1

 ∂g

∂g
rang  ∂x2 (a) . . . ∂x2 (a) 0 2u2 . . . 0  < q + 1.
p
 1

.
.
.
.
.
.
. 

.
.
.
.
.
.
. 

.
.
.
.
.
.
.
∂gq
∂gq
0 . . . 2uq
(a) . . . ∂xp (a) 0
∂x1
Extr´mums li´s par des in´galit´s : o` les chercher par le rang ?
e
e
e
e
u
On d´duit du th´or`me pr´c´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f sous les contraintes g1 (x) ≤ 0, g2 (x) ≤ 0, . . . , gq (x) ≤ 0 sont
•
les points dans le voisinage des quels les fonctions f, g1 , g2 , . . . , gq ne
sont pas toutes de classe C 1 ;
•
les points critiques du probl`me, c.-`-d. les points qui satisfont les condie
a
tions
g1 (a) ≤ 0, g2 (a) ≤ 0, . . . , gq (a) ≤ 0

 ∂f
∂f
(a) . . . ∂xp (a) 0
0 ... 0
∂x1

 ∂g1
∂g
 ∂x (a) . . . ∂x1 (a) 2u1 0 . . . 0 
p

 1

 ∂g
∂g
et
rang  ∂x2 (a) . . . ∂x2 (a) 0 2u2 . . . 0  < q + 1.
p

 1
.
.
.
.
.
.
. 

.
.
.
.
.
.
. 

.
.
.
.
.
.
.
∂gq
∂gq
0 . . . 2uq
(a) . . . ∂xp (a) 0
∂x1
Condition n´cessaire : le th´or`me de Kuhn et Tucker
e
e e
On consid`re a un point tel que f, g1 , g2 , . . . , gq sont de classe C 1 dans un
e
voisinage de a et g1 (a) ≤ 0, g2 (a) ≤ 0, . . . , gq (a) ≤ 0.
Si
a est un extr´mant local de f sous les contraintes g1 (x) ≤ 0, , . . . , gq (x) ≤ 0
e
et si a est un point r´gulier (c.-`-d. non singulier) des contraintes
e
a
83

85. 2008
Analyse
Principaux th´or`mes
e e
∃ λ = (λ1 , λ2 , . . . , λq ) ∈ Rq tel que l’on ait ` la fois
a
alors
(i)
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e






∂L
(a, λ)
∂x1
= 0
∂L
(a, λ)
∂x2
= 0
.
 .
 .

 ∂L

(a, λ) = 0
∂xp

 g1 (a) ≤ 0

 g2 (a) ≤ 0
(ii) .
 .

 .
gq (a) ≤ 0

 λ1 g1 (a) = 0

 λ2 g2 (a) = 0
(iii)
.
.

.


λq gq (a) = 0
On a de plus que
si a est un maximant local, alors tous les λi ≥ 0.
si a est un minimant local, alors tous les λi ≤ 0.
Les ´galit´s reprises sous iii) sont appel´es “ Conditions d’exclusion”.
e
e
e
Extr´mums li´s par des in´galit´s : o` les chercher par Kuhn - Tucker ?
e
e
e
e
u
On d´duit du th´or`me pr´c´dent que
e
e e
e e
les points qui sont susceptibles de d´terminer un extr´mum local de la fonction
e
e
f sous les contraintes g1 (x) ≤ 0, g2 (x) ≤ 0, . . . , gq (x) ≤ 0 sont
•
les points dans le voisinage des quels les fonctions f, g1 , g2 , . . . , gq ne
sont pas toutes de classe C 1 ;
•
les points critiques r´guliers du probl`me, c.-`-d. les points pour lesquels
e
e
a
∃ λ = (λ1 , λ2 , . . . , λq ) ∈ Rq tel que on ait ` la fois
a
(i)
•






∂L
(a, λ)
∂x1
∂L
(a, λ)
∂x2
= 0
= 0
 .
 .
 .
 ∂L

(a, λ) = 0
∂xp

 g1 (a) ≤ 0

 g2 (a) ≤ 0
(ii) .
 .
 .

gq (a) ≤ 0

 λ1 g1 (a) = 0

 λ2 g2 (a) = 0
(iii)
.
.

.


λq gq (a) = 0
les points singuliers des contraintes.
84

86. 2008
Analyse
Ch. 6 Optimisation sous contrainte d’in´galit´s
e
e
Principaux th´or`mes
e e
Analyse de sensibilit´ – interpr´tation des multiplicateurs
e
e
On consid`re un couple (x, λ), solution r´guli`re du probl`me : d’optimisation
e
e
e
e

 g1 (x) ≤ b1
.
.
de f (x) sous les contraintes
.
.

gq (x) ≤ bq
On consid`re les bi comme des param`tres exprimant le niveau des contraintes.
e
e
L’extremum (x, f (x)) d´pend de ces param`tres. On le note (x(b), f (x(b))). De
e
e
mˆme les multiplicateurs associ´s en d´pendent aussi et sont not´s λi (b).
e
e
e
e
L’analyse de sensibilit´ ´tudie les variations de x(b) et de f (x(b)) en fonction
ee
des variations des bi et permet d’´noncer le th´or`me suivant
e
e e
Si
les fonctions x : Rq −→ Rp et λ : Rq −→ Rq sont d´finies dans un
e
voisinage de b et si les d´riv´es partielles de x existent dans ce voisinage
e e
alors
∂f (x(b))
= λj0 (b) (j0 = 1, 2, . . . , q).
∂bj0
Les λj0 (b) mesurent donc l’ intensit´ de la variation de la valeur f (x(b))
e
cons´cutive ` une variation de bj0 : si bj0 varie de ∆bj0 , alors f (x(b)) varie
e
a
d’environ λj0 (b)∆bj0 .
85

87. 2008
Analyse
Limites et continuit´
e
Exercices
EXERCICES
Repr´sentation des fonctions de deux variables
e
2.
Ex. 2.1. Pour chacune des fonctions ci-dessous, on demande de
– dessiner quelques sections iso-x, ;
– dessiner quelques sections iso-y, ;
– donner une description g´om´trique du graphe de la fonction dans l’espace
e e
et en faire un croquis
– donner quelques courbes de niveau p.ex. z = . . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ;
– dessiner ces courbes de niveau sur le graphe de la fonction et dans le plan
des x, y.
a) z = x − y
b) z = xy
c) z = y/x
d) z = ye−x
e) z =
x2 + y 2
f ) z = max(|x|, |y|)
Limites et continuit´
e
3.
Ex. 3.1. Soit la fonction
f : R2 {(x, y) : x2 = 1} −→ R : (x, y) −→ f (x, y) =
x2
y
−1
a) Tracer quelques courbes de niveau de f ;
b)
lim
f (x, y) existe-t-elle ?
(x,y)→(±1,0)
Justifier ` partir des courbes de niveau.
a
Ex. 3.2. On consid`re la fonction f (x, y) = x2 /y.
e
Dessinez sur un mˆme graphe quelques courbes de niveau z = . . .−2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . .
e
a) Comment voit-on ` partir de ce graphe que
a
lim
f (x, y) n’existe
(x,y)→(0,0)
pas ?
86

88. 2008
Analyse
Limites et continuit´
e
Exercices
b) Montrez par ailleurs que sur n’importe quelle droite de dom f passant
par l’origine, la limite de f (x, y) quand (x, y) tend vers (0, 0) existe et vaut
0.
Ex. 3.3. Montrer que les limites suivantes n’existent pas.
x−y
1)
lim
(x,y)→(0,0) x + y
(xy)2
2)
lim
(x,y)→(0,0) (xy)2 + (x − y)2
x−y−2
3)
lim
(x,y)→(1,−1)
x+y
x2 − y 2
4)
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x−1
5)
lim
(x,y)→(1,1) y 2 − 1
xy 3
sur quelques chemins particuliers.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Que peut-on en d´duire sur l’existence ou la valeur ´ventuelle de cette limite ?
e
e
Prouver que la limite existe en “encadrant” la fonction. Utiliser pour cela les
in´galit´s suivantes, v´rifi´es pour n’importe quels r´els x et y :
e
e
e e
e
Ex. 3.4. Calculer
lim
y 2 ≤ x2 + y 2 ; |x| ≤
Ex. 3.5.
x2 + y 2 ; |y| ≤
x2 + y 2 .
2xy
.
+ y2
Quelle est l’expression de cette fonction au-dessus des droites y = ax ?
Que peut-on en conclure concernant lim
f (x, y) ?
a) On consid`re f (x, y) =
e
x2
(x,y)→(0,0)
´
b) Etudier la continuit´ de la fonction d´finie par :
e
e

 2xy
si (x, y) = (0, 0)
g(x, y) =
x2 + y 2
 0
sinon.
Ex. 3.6. Calculer, si elles existent, les limites suivantes.
1
√
1)
lim
(x,y)→(0,0)
x+y
x2 − y 2
2)
lim
(x,y)→(2,−2) x + y
3)
lim
x cos(1/y)
(x,y)→(0,0)
1
(a ∈ R)
(x,y)→(a,−a)
x+y
5)
lim
x cos(1/y) (a ∈ R)
4)
lim
√
(x,y)→(a,0)
87

89. 2008
Analyse
6)
D´riv´es partielles
e e
lim
(x,y)→(0,0)
Exercices
1
x+y
Ex. 3.7. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
f (x, y) =
a) Calculer
lim
x2 y sin(1/x) si x = 0
0
si x = 0.
f (x, y) sur quelques chemins particuliers. Que peut-
(x,y)→(0,0)
on en conclure ?
b) Prouver la continuit´ de f en (0, a) (a ∈ R) par encadrement.
e
D´riv´es partielles
e e
4.
Ex. 4.1. Calculez les fonctions d´riv´es partielles des fonctions suivantes.
e e
x2
x+y
y
a) xy 2 − 3x3 y 4 − 4y
b) xy
c)
d) e2x−3y
e) ln(xy)
f )x
Calculez aussi les ´lasticit´s (partielles) de ces fonctions au point (1, 2).
e
e
Ex. 4.2. Soit f (x, y) = ex + ey et g(x, y) = (x2 y, xy 2 ).
Calculez les d´riv´es partielles de f , g et f ◦ g.
e e
Ex. 4.3. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
f (x, y) =
y si x ≥ 0
−y si x < 0.
a) Donnez le graphe de f ;
b) Donnez le domaine de continuit´ de f ;
e
c) Donnez les fonctions d´riv´es partielles de f et pr´ciser leur domaine de
e e
e
d´finition.
e
Ex. 4.4. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
 3
 x + xy 2 + y 4
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0).
Calculez
∂f
∂f
(0, 0) et
(0, 0).
∂x
∂y
88

90. 2008
Analyse
D´riv´es partielles
e e
Exercices
Ex. 4.5. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
 3
 x − y4
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0).
a) Calculez l’expression analytique des fonctions d´riv´es partielles de f en
e e
tous les points (x, y) diff´rents de (0, 0) ;
e
b) Calculez, si elles existent, les valeurs des fonctions d´riv´es partielles de
e e
f en (0, 0) ;
´
c) Etudiez la continuit´ des fonctions d´riv´es partielles.
e
e e
2
4
6
8
Ex. 4.6. Pour le plan z = f (x, y) dont les courbes
de niveau sont sugg´r´es ci-contre, donnez
ee
∂f
∂f
f (0, 0),
(0, 0) et
(0, 0).
∂x
∂y
Pouvez-vous retrouver l’´quation du plan `
e
a
partir de ces donn´es ?
e
10
12
1
1
`
Ex. 4.7. A partir des courbes de niveau de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 , d´terminer
e
∂f
les r´gions du plan o` la d´riv´e partielle
e
u
e e
est n´gative, celles o` elle est
e
u
∂x
nulle et celles o` elle est positive. V´rifier alg´briquement.
u
e
e
Ex. 4.8. Voici les courbes de niveau d’une fonction f : R2 → R :
y
1
0
3
2
3
1
2
0
1
x
0
-1
-1
-1
0
1
-2
2
Retrouvez parmi les graphes ci-dessous, ceux qui correspondent aux graphes
des fonctions d’une variable
89

91. 2008
Analyse
∂f
(x, 0);
∂x
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
∂f
(x, 0);
∂y
∂f
(0, y);
∂x
Exercices
∂f
(0, y).
∂y
Donner une repr´sentation sommaire (en 3 dimensions) de la surface z =
e
f (x, y).
Diff´rentielle - Espace tangent - Gradient
e
5.
Ex. 5.1. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
 3
 x + xy 2 + y 4
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0).
∂f
∂f
(0, 0) et
(0, 0).
∂x
∂y
b) Que peut-on d´duire de l’existence et de la valeur de ces d´riv´es partielles
e
e e
concernant la diff´rentiabilit´ de f en (0, 0) ?
e
e
c) La fonction f est-elle diff´rentiable en (0, 0) ?
e
a) Calculer
Ex. 5.2.
´
a) Etudier la continuit´ et la diff´rentiabilit´ en (0, 0) de la fonction
e
e
e
f (x, y) =
x ln
0
x2 + y 2 si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0).
b) Pourquoi sait-on, sans calculer la limite du quotient diff´rentiel, que cette
e
fonction est diff´rentiable en tous les points (a, b) autres que l’origine ?
e
Ex. 5.3. Soit la fonction f : R2 → R d´finie par
e
 3
 x − y4
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0).
a) Calculer l’expression analytique des fonctions d´riv´es partielles de f en
e e
tous les points (x, y) diff´rents de (0, 0) ;
e
b) Calculer, si elles existent, les valeurs des fonctions d´riv´es partielles de
e e
f en (0, 0) ;
c) Montrer que f n’est pas diff´rentiable en (0, 0) en calculant la limite du
e
quotient diff´rentiel sur plusieurs chemins particuliers ;
e
d) La fonction f est-elle diff´rentiable en (1, −1) ? Si oui, calculer sa diff´rentielle ;
e
e
90

92. 2008
Analyse
Chain rule
Exercices
∂f
∂f
(1, −1) et
(1, −1) pour donner une approximation
∂x
∂y
de f (1, 01 ; −1, 05) ;
f) Donner l’´quation du plan tangent au graphe de f au point
e
(1, −1, f (1, −1)). Quel est le lien avec e) ?
e) Utiliser f (1, −1),
Ex. 5.4. Exercice 9.6 p. 207 dans S & B .
Ex. 5.5. Exercice 9.7 p. 207 dans S & B .
Ex. 5.6. Exercice 9.8 p. 207 dans S & B .
Ex. 5.7. Exercice 9.9 p. 207 dans S & B .
Ex. 5.8. Exercice 9.10 p. 207 dans S & B .
Ex. 5.9. On consid`re les fonctions suivantes :
e
1) f (x, y) = y 2
2) g(x, y) = x − y
3) h(x, y) = √− (x2 + y 2 )
2
4) k(x, y) = x.
Pour chacune d’entre elles, donner, au point d’abscisse 1 et d’ordonn´e 1
e
a) la direction de la pente la plus forte ;
b) la direction de la pente la plus faible ;
Ex. 5.10. Exercice 12.42 p. 308 dans S & B .
Ex. 5.11. Exercice 12.43 p. 308 dans S & B .
Ex. 5.12. Exercice 22.12 p. 613 dans S & B .
Ex. 5.13. Exercice 22.13 p. 613 dans S & B .
91

93. 2008
Analyse
Chain rule
Chain rule
Exercices
6.
Ex. 6.1. Soit deux fonctions f, g : R2 → R de classe C 1 . On pose w(x, y) = f (f (x, y), g(x, y)).
∂w
∂w
Calculer
et
en fonction des d´riv´es partielles de f et g.
e e
∂x
∂y
Ex. 6.2. Soit f : R2 → R et g : R → R deux fonctions de classe C 1 . On pose w(x) =
f (x, g(x)). Calculer les d´riv´es d’ordre 1 et d’ordre 2 de w.
e e
Ex. 6.3. Soit F : R3 → R, u : R2 → R et ϕ : R → R trois fonctions de classe C 1 . On
pose w(t) = F (ϕ(t), u(ϕ(t), t), t). Calculer la d´riv´e de w.
e e
Ex. 6.4. Soit f et g deux fonctions de classe C 1 qui v´rifient :
e
g(0, 0) = 1
f (0, 0) = 2
f (1, 0) = 3
f (0, 1) = 4
∂1 g(0, 0) = −1 ∂1 f (0, 0) = −1 ∂1 f (1, 0) = −2 ∂1 f (0, 1) = −3
∂2 g(0, 0) = 3
∂2 f (0, 0) = 7
∂2 f (1, 0) = 8
∂2 f (0, 1) = 9
On pose F (x, y) = f (g(x, y), y). Calculer ∂1 F (0, 0) et ∂2 F (0, 0).
Ex. 6.5. Soit F : R3 → R et f, g : R2 → R des fonctions de classe C 1 . On pose
w(x, y, z) = F (x, f (x, y), g(x, z)). Calculer les d´riv´es partielles de w.
e e
Ex. 6.6. Soit les deux fonctions de classe C 1 suivantes :
f : R2 → R3 : (u, v) −→ (u2 v, u2 + v 2 , uv 2 )
et
g : R3 → R2 : (x, y, z) −→ (x − y 2 + z, y + z 2 ).
Calculer d(1,1,1) (f ◦ g) et d(1,1) (g ◦ f ).
Ex. 6.7. Soit F : R∗ × R → R : (x, y) → xy et f, g : R → R deux fonctions de classe
+
C 1 . On pose ϕ(x) = F (f (x), g(x)). Calculer la d´riv´e de ϕ.
e e
Ex. 6.8. Dans un coin perdu des montagnes . . . (air connu)
Un relief g´ographique montagneux est repr´sent´ par la surface d’´quation
e
e
e
e
z = f (x, y), o` f d´signe une fonction r´elle de deux variables x et y. Celles-ci
u
e
e
repr´sentent les coordonn´es d’un point courant au niveau de la mer (suppos´
e
e
e
plan) tandis que z d´signe l’altitude du relief en ce point. L’axe des x est
e
orient´ vers l’est, l’axe des y vers le nord et l’axe des z vers le haut.
e
Un ´tudiant fatigu´ par une session de janvier ´prouvante se prom`ne dans
e
e
e
e
cette r´gion enneig´e. Il se trouve au temps t0 en un point (x0 , y0 , z0 ) de la
e
e
92

94. 2008
Analyse
Chain rule
Exercices
montagne. A partir de ce moment, tous les d´placements qu’il effectue se font
e
suivant une trajectoire dont l’´quation param´trique est
e
e
(x, y, z) = (ˆ(t), y (t), z (t))
x
ˆ
ˆ
o` x, y , z sont trois fonctions r´elles d’une variable t qui repr´sente le temps.
u ˆ ˆ ˆ
e
e
Il dispose aussi d’une carte, et sa trajectoire sur la carte a, ´videmment, pour
e
´quation param´trique
e
e
(x, y) = (ˆ(t), y (t)).
x
ˆ
Pour fixer les id´es, on d´signera par le terme “direction dans l’espace” prise
e
e
par le promeneur ` l’instant t le vecteur de longueur unitaire tangent ` sa
a
a
trajectoire ` cet instant et orient´ dans le sens de sa marche. De mˆme, sa
a
e
e
“direction sur la carte” sera le vecteur de longueur unitaire tangent ` sa traa
jectoire sur la carte. La pente de la trajectoire en un point est d´finie par
e
rapport ` ces deux directions.
a
(1) En premier lieu, notre ´tudiant avance exactement vers le nord sur la
e
surface de la montagne et cela pendant un certain laps de temps. On
consid`re un instant interm´diaire et on d´signe la position du promee
e
e
neur sur la carte ` cet instant par (x1 , y1 ). On demande quelles sont,
a
a
` cet instant, la direction dans l’espace, la direction sur la carte et la
pente de la trajectoire.
(2) Quelques temps apr`s, le promeneur avance exactement vers l’est sur
e
la surface de la montagne pendant plusieurs minutes. Et plus tard encore, c’est vers le sud ouest qu’il parcourt une certaine distance. On
consid`re des instants interm´diaires ` ces deux intervalles, et les posie
e
a
tions correspondantes sur la carte (x2 , y2 ) et (x3 , y3 ). On pose chaque
fois les mˆmes questions qu’en 1.
e
(3) Notre ´tudiant arrive enfin ` un endroit o` la neige est de bonne qualit´,
e
a
u
e
ce qui le pousse ` chausser imm´diatement ses skis. Malheureusement,
a
e
inexp´riment´, il est vite entraˆ e dans la direction de plus grande pente
e
e
ın´
et poursuit ainsi sa trajectoire sur la montagne de fa¸on acc´l´r´e.
c
ee e
Mˆmes questions qu’en 1 pour une position interm´diaire (x4 , y4 ).
e
e
(4) Apr`s quelques p´rip´ties qui lui ont permis de s’arrˆter, l’´tudiant
e
e e
e
e
d´cide de poursuivre sa route de fa¸on plus calme, sans plus ni monter
e
c
ni descendre sur le flanc de la montagne. Est-ce possible ? Comment
d´terminer ce chemin sur la carte ? Y-a-t-il plusieurs solutions ? On
e
pose aussi les mˆmes questions qu’en 1 pour un point interm´diaire
e
e
(x5 , y5 ) de ce d´placement.
e
(5) Enfin, tr`s fatigu´, l’´tudiant se couche sur le dos en un point (x6 , y6 ).
e
e e
Ayant le soleil en plein dans les yeux, il en conclut que celui-ci se trouve
exactement dans la direction perpendiculaire au plan dans lequel il est
couch´. On demande quelle est cette direction, dans l’espace et sur la
e
carte. Comment trouver g´om´triquement cette direction sur la carte ?
e e
93

95. 2008
Analyse
Fonctions implicites
Exercices
(6) On part maintenant de la donn´e de la trajectoire (ˆ(t), y (t)) du proe
x
ˆ
meneur sur la carte et de la donn´e du relief f (x, y). D´terminer l’exe
e
pression de la composante verticale de la vitesse de l’´tudiant sur base
e
de x, y et f . Pr´senter le r´sultat sous forme matricielle. Pour quels
ˆ ˆ
e
e
points cette vitesse sera-t-elle nulle ? Caract´risez les g´om´triquement.
e
e e
(7) On suppose que la pression atmosph´rique p dans cette r´gion est
e
e
donn´e par un fonction diff´rentiable p = p(z, t) qui ne d´pend que de
e
e
ˆ
e
l’altitude et du temps. Tr`s sensible de la trompe d’Eustache, l’´tudiant
e
e
peut ”sentir” ` tout moment t la variation, p (t) de la pression ata
˜
mosph´rique p(t) ` laquelle il est soumis. Donnez une expression de
e
˜ a
cette fonction p(t) et de sa d´riv´e p (t).
˜
e e ˜
(8) (optionnel) Appliquer la solution de ce probl`me au cas o` f est donn´
e
u
e
par l’expression
f (x, y) = e(
x−y 2
)
a
cos π(y + b)
o` a et b sont des constantes, tandis que p est donn´ par
u
ˆ
e
p(z, t) = ce−d zt
ˆ
o` c et d sont des constantes.
u
Fonctions implicites
8.
Ex. 8.1. Soit f (x, y) = 3x + 2y − 4 et C = {(x, y) : f (x, y) = 0}.
a) Repr´senter la courbe C.
e
b) Donner si possible une explicitation x = ϕ(y) et y = ψ(x) de C. Sur quels
ensembles ϕ et ψ sont-ils d´finis ?
e
c) Que dit le th´or`me des fonctions implicites quant ` ces explicitations ?
e e
a
Ex. 8.2. Mˆmes questions pour f (x, y) = 3x − 4.
e
Ex. 8.3. Soit f (x, y) = x2 + y 2 et C = {(x, y) : f (x, y) = 1}.
a) Repr´senter la courbe C.
e
b) Dire, ` partir du dessin, en quels points de C on peut trouver une explia
citation locale du type y = ϕ(x) et/ou x = ψ(y).
c) Que dit le th´or`me des fonctions implicites ` propos de la possibilit´ de
e e
a
e
telles explicitations ?
Ex. 8.4. Soit f (x, y) = x2 − y 2 . La relation f (x, y) = 1 admet-elle une explicitation
√
locale (de x en fonction de y ou l’inverse) aux points (1, 0), (1, 1) et (2, 3) ?
Ex. 8.5. Traitez l’exercice 22.6 de S & B (p.605).
94

96. 2008
Analyse
Fonctions implicites
Exercices
Ex. 8.6. Traitez l’exercice 22.9 de S & B (p.605).
Ex. 8.7. Soit f : R5 → R2 une application de classe C 1 dont la matrice Jacobienne en
un point a ∈ R5 tel que F (a) = (0, 0) est
0 2 2 0 1
0 1 1 0 2
.
On consid`re la relation F (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (0, 0).
e
a) Le th´or`me des fonctions implicites nous permet-il de conclure qu’on
e e
peut expliciter certaines variables en fonction des autres au voisinage du
point a ? Si oui, lesquelles ?
e
b) Donner les d´riv´es partielles en a d’une des ´ventuelles explicitations
e e
trouv´es en a).
e
Ex. 8.8. On consid`re les relations suivantes dans R3 :
e
x2 + y 2 + z 2 = 1
z = x2 + y 2 .
Calculer en quels points satisfaisant cette relation le th´or`me des fonctions
e e
implicites ne garantit pas l’explicitation de (x, z) en fonction de y.
Ex. 8.9. On consid`re F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 et la relation F (x, y, z) = 1.
e
a) Repr´senter graphiquement cette relation.
e
b) Combien de variables peut-on esp´rer expliciter en fonction des autres ?
e
c) Dire, pour chacun des points satisfaisant la relation, quelles sont les possibilit´s d’explicitations qui sont donn´es par le th´or`me des fonctions
e
e
e e
implicites (pr`s de ce point).
e
d) Ces r´sultats sont-ils confirm´s par l’analyse du graphe de la relation ?
e
e
Ex. 8.10. Pour chacune des fonctions suivantes,
g1 (x, y) = x2 + y 2 , g2 (x, y) = x2 − y 2 , g3 (x, y) = xy, g4 (x, y) = x − y 3 ,
a) Repr´senter graphiquement la relation gi (x, y) = 0.
e
b) Donner, par l’examen du graphe, les points de celui-ci au voisinage desquels
b1) y n’est pas explicitable en fonction de x ;
b2) x n’est pas explicitable en fonction de y.
c) Donner, par calcul, les points du graphe pour lesquels le th´or`me des
e e
fonctions implicites n’assure pas l’existence d’une explicitation locale
c1) de y en fonction de x ;
c2) de x en fonction de y.
d) Comparer les r´sultats de b) et de c).
e
95

97. 2008
Analyse
Polynˆmes de Taylor
o
Exercices
Ex. 8.11. Soit f (x, y) = x2 + y 2 et C = {(x, y) : f (x, y) = 1, x ≥ 0}.
a) Dire, ` partir d’un dessin, en quels points de C on peut trouver une
a
explicitation locale du type y = ϕ(x) et/ou x = ψ(y).
b) Que dit le th´or`me des fonctions implicites ` propos de la possibilit´ de
e e
a
e
telles explicitations ?
Ex. 8.12. En quels points le th´or`me des fonctions implicites assure-t-il l’existence d’une
e e
explicitation locale de la relation
x2 + y 2 + z 2 = 1
z = y2
sous la forme (x, y) = ϕ(z), (x, z) = ψ(y) et/ou (y, z) = χ(x) ?
Ex. 8.13. On consid`re la relation suivante en les variables (x, y, z, w) ∈ R4 :
e
x2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1
1
xy + zw = 4 .
a) Le th´or`me des fonctions implicites permet-il d’expliciter (x, y) comme
e e
une fonction ϕ(z, w) pr`s de la solution particuli`re
e
e
√
1
(0, 2, 1, 1) ? Si oui, donner les d´riv´es partielles de ϕ par rapport ` z
e e
a
2
et w en ce point.
b) Mˆmes questions pour l’explicitation de (z, w) comme une fonction de
e
(x, y).
Ex. 8.14. Traitez l’exercice 22.20 de S & B (p.622)
Ex. 8.15. Traitez l’exercice 22.21 de S & B (p.622)
Ex. 8.16. Traitez l’exercice 22.22 de S & B (p.622)
Polynˆmes de Taylor
o
9.
Ex. 9.1. Soit f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 .
a) Calculer les d´riv´es partielles d’ordre 1 et 2 de f .
e e
b) En d´duire le polynˆme de Taylor de f d’ordre 2 en (0, 0).
e
o
c) Donner la Hessienne de f .
Ex. 9.2. Mˆmes questions pour la fonction f (x, y) = (x + y)ex−y .
e
96

98. 2008
Analyse
Optimisation libre
Exercices
Ex. 9.3. Soit f (x, y) = xey .
a) Calculer le polynˆme de Taylor de f d’ordre 2 pr`s de (0, 0).
o
e
b) Mˆme question en (0, 1) .
e
Ex. 9.4. Soit f : R3 → R une fonction de classe C 4 au
v´rifie :
e
3
f (1, 2, 3) = −
2
∂1 f (1, 2, 3) = −1 ∂2 f (1, 2, 3) = 1
1
1
2
2
∂2 f (1, 2, 3) =
∂1 f (1, 2, 3) =
2
3
∂1 ∂2 f (1, 2, 3) = 2 ∂1 ∂3 f (1, 2, 3) = −3
voisinage de (1, 2, 3) et qui
∂3 f (1, 2, 3) = −2
1
2
∂3 f (1, 2, 3) = −
4
∂2 ∂3 f (1, 2, 3) = 5
´
a) Ecrire le polynˆme de Taylor de f d’ordre 2 au voisinage de (1, 2, 3).
o
b) Utiliser ce polynˆme pour approximer f (1, 1; 2, 3; 3, 2).
o
Optimisation libre
10.
Dans tous les exercices suivants, il s’agit de trouver les extremums (pr´ciser
e
s’il s’agit d’un max ou d’un min, local ou global) et les points de selle de la
fonction f donn´e.
e
Ex. 10.1. f : R2 → R est d´finie par f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y.
e
Ex. 10.2. f : R2 → R est d´finie par f (x, y) = 2x2 − x4 − xy 2 .
e
Ex. 10.3. f : R2 → R est d´finie par f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 .
e
Ex. 10.4. f : R2 → R est d´finie par f (x, y) = x3 + x2 + y 2 .
e
Ex. 10.5. f : R2 → R est d´finie par f (x, y) = 4 − y 2 − (x − 1)2 .
e
Ex. 10.6. f : R3 → R est d´finie par f (x, y, z) = x3 + y 3 + 4 z 3 − x2 − y 2 − 2xz 2 + 6.
e
3
Ex. 10.7. f : R3 → R est d´finie par f (x, y, z) = xy 2 − x2 − z 2 − 4x.
e
Ex. 10.8. f : R3 → R est d´finie par f (x, y, z) = xyz · e−
e
x2 +y 2 +z 2
2
.
Ex. 10.9. f : R3 → R est d´finie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2z.
e
97

99. 2008
Analyse
Optimisation sous contrainte d’´quations
e
Exercices
Ex. 10.10. f : R3 → R est d´finie par f (x, y, z) = x2 − 4xz + y 4 + 4z 2 .
e
Ex. 10.11. Essayez-vous aux exercices (` caract`re ´conomique) 23.4 et 23.6 de S& B.
a
e e
Optimisation sous contrainte d’´quations
e
11.
Remarque
Dans les exercices qui suivent, on cherchera d’abord et surtout
a
` trouver les points susceptibles de fournir un extr´mum (points candidats).
e
On regardera ensuite, sans trop insister, s’il est possible de pr´ciser, enti`rement
e
e
ou partiellement, la vraie nature de ces points.
Les solutions fournissent ces renseignements, mais ceux-ci ne sont pas toujours
accessibles par les m´thodes que vous ˆtes suppos´ maˆ
e
e
e
ıtriser.
Ex. 11.1. Soit f (x, y) = x2 +y 2 . On cherche ` extr´mer f sous la contraine x+y = 1 .
a
e
a.) Tracer sur un mˆme graphe les courbes de niveau de f de hauteurs 0,
e
1, 2, 3 et 4 ainsi que l’ensemble des points satisfaisant la contrainte.
b.) Trouver les candidats-extr´mants par la m´thode du rang.
e
e
c.) Trouver les candidats-extr´mants par la m´thode de Lagrange.
e
e
d.) Pour chacun des candidats, dire s’il s’agit d’un extr´mant et si oui,
e
pr´ciser (max ou min, local ou global, point de selle).
e
Ex. 11.2. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = x2 + y sous la contrainte
e
e
g(x, y) = x3 + y = 0 .
Ex. 11.3. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = (x − 1)2 + y 2 sous la contrainte
e
e
g(x, y) = y 2 − 4x = 0 .
Ex. 11.4. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = (x − 1)2 + y 2 sous la contrainte
e
e
y2 = x .
Ex. 11.5. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = x2 + (y + 1)2 sous la contrainte
e
e
g(x, y) = y(y − x2 ) = 0 .
Ex. 11.6. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sous la contrainte
e
e
x+y+z =1.
Ex. 11.7. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y, z) = x + y + z sous les contraintes
e
e
2
2
x + y = 2 et x + z = 1 .
98

100. 2008
Analyse
Optimisation sous contrainte d’in´quations
e
Exercices
Ex. 11.8. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y, z) = y 2 − 2y sous la contrainte
e
e
x2 − y 3 + z 2 = 0 .
Ex. 11.9. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y, z) = x2 +y 2 +(z−1)2 sous la contrainte
e
e
z = x2 − y 2 .
Ex. 11.10. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sous les contraintes
e
e
x + y + z = 2 et x + 3y + z = −2 .
Optimisation sous contrainte d’in´quations
e
12.
Remarque
Dans les exercices qui suivent, on cherchera d’abord et surtout
a
` trouver les points susceptibles de fournir un extr´mum (points candidats).
e
On regardera ensuite, sans trop insister, s’il est possible de pr´ciser, enti`rement
e
e
ou partiellement, la vraie nature de ces points.
Les solutions fournissent ces renseignements, mais ceux-ci ne sont pas toujours
accessibles par les m´thodes que vous ˆtes suppos´ maˆ
e
e
e
ıtriser.
Ex. 12.1. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
f (x, y) = 4x + 3y
2
2
2
x + y ≤ 25
et
(x − 5) − 5y ≥ 0.
Ex. 12.2. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
2
2
x +y ≥1
et
y ≤ 1.
f (x, y) = y − x2
sous les contraintes
sous les contraintes
Ex. 12.3. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
f (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 1
contraintes
y 2 − x ≤ 0, y − x + 2 ≥ 0 et x ≤ 2.
sous les
Ex. 12.4. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
2
2
x ≥ 1 et (x − 1) + y ≤ 1.
f (x, y) = x2 + y 2
sous les contraintes
Ex. 12.5. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
2
y ≤ −x + 2 et x ≤ y.
f (x, y) = 2x + y
sous les contraintes
Ex. 12.6. Extr´mer la fonction d´finie par f (x, y) = x2 + (y − 1)2 sous les contraintes
e
e
2
2
2
2
x + y ≤ 4 et x + y ≥ 1.
Ex. 12.7. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
2
x − 2 ≤ y et y ≤ 2.
f (x, y) = x + y
sous les contraintes
99

101. 2008
Analyse
Optimisation sous contrainte d’in´quations
e
Ex. 12.8. Extr´mer la fonction d´finie par
e
e
2
2
x + y ≤ 1 et x ≥ 0.
f (x, y) = x − y
Exercices
sous les contraintes
Ex. 12.9. On consid`re le probl`me :
e
e
Extr´mer f (x, y) = x2 + y 2 sous la contrainte x2 + 4y 2 ≤ 4.
e
a) Trouver les candidats-extr´mants ;
e
b) La courbe d’´quation x2 + 4y 2 = 4 est une ellipse centr´e ` l’origine dont
e
e a
le grand axe va de (−2, 0) ` (2, 0) et le petit axe de (0, −1) ` (0, 1).
a
a
– Dessiner le graphe des points satisfaisant la contrainte.
– Apr`s avoir dessin´ sur ce graphe quelques courbes de niveau de f ,
e
e
r´soudre graphiquement le probl`me.
e
e
Ex. 12.10. On consid`re le probl`me :
e
e
Extr´mer
e
f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y
sous les contraintes
x ≤ 0, y ≤ 0 et x + y ≥ −3.
a) Trouver les candidats-extr´mants ;
e
b) Sachant que, sous les contraintes, f poss`de un maximum et un minimum,
e
les d´terminer.
e
Ex. 12.11. Exercice 24.10, p.678 dans S & B .
Ex. 12.12. Exercice 24.11, p.678 dans S & B .
Ex. 12.13. Exercice 24.12, p.678 dans S & B .
Ex. 12.14. Exercice 24.17, p.683 dans S & B .
Ex. 12.15. Exercice 25.4, p.698 dans S & B .
Ex. 12.16. Exercice 24.5, p.698 dans S & B .
100

102. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
SOLUTIONS DE CERTAINS EXERCICES
Limites et continuit´
e
Ex. 3.1.
3.
a) y = c · (x2 − 1) ;
b)
lim
f (x, y) n’existe pas
(x,y)→(±1,0)
Ex. 3.3.
Ex. 3.4.
Ex. 3.5.
Ex. 3.6.
Ex. 3.7.
(prendre des courbes de niveau pour chemins particuliers).
Prendre des chemins particuliers.
xy 3
lim
= 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
2a
a)
lim
f (x, y) n’existe pas car f (x, ax) =
;
(x,y)→(0,0)
1 + a2
b) g est continue partout sauf en (0, 0).
1) +∞
2) 4
3) 0
4) +∞
5) 0 si a = 0 et n’existe pas si a = 0
6) n’existe pas
a) Si la limite existe, elle est nulle ;
b) 0 ≤ |x2 y sin(1/x)| ≤ |x2 y|.
D´riv´es partielles
e e
Ex. 4.1.
4.
a) ∂1 f (x, y) = y 2 − 9x2 y 4 ;
35
ε(z/x)(1, 2) = 13 ;
∂2 f (x, y) = 2xy − 12x3 y 3 ;
48
ε(z/y)(1, 2) = 13 ;
b) ∂1 f (x, y) = y ;
ε(z/x)(1, 2) = 1 ;
101

103. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
∂2 f (x, y) = x ;
ε(z/y)(1, 2) = 1 ;
x(x + 2y)
c) ∂1 f (x, y) =
;
(x + y)2
5
ε(z/x)(1, 2) = 3 ;
−x2
;
(x + y)2
ε(z/y)(1, 2) = −2 ;
3
d) ∂1 f (x, y) = 2e2x−3y ;
ε(z/x)(1, 2) = 2 ;
∂2 f (x, y) =
∂2 f (x, y) = −3e2x−3y ;
ε(z/y)(1, 2) = −6 ;
1
e) ∂1 f (x, y) = x ;
1
ε(z/x)(1, 2) = ln 2 ;
∂2 f (x, y) =
1
y
;
1
ε(z/y)(1, 2) = ln 2 ;
f) ∂1 f (x, y) = y · xy−1 ;
ε(z/x)(1, 2) = 2 ;
Ex. 4.2.
Ex. 4.3.
Ex. 4.4.
Ex. 4.5.
∂2 f (x, y) = xy · ln(x) ;
ε(z/y)(1, 2) = 0 ;
∂1 f (x, y) = ex , ∂1 g(x, y) = (2xy, y 2 ),
2
2
∂1 (f ◦ g)(x, y) = 2xyex y + y 2 ey x ;
∂2 f (x, y) = ey , ∂2 g(x, y) = (x2 , 2xy),
2
2
∂2 (f ◦ g)(x, y) = x2 ex y + 2xyey x ;
b) R2 {(0, a)|a = 0}
∂f
c)
(x, y) = 0 sauf en (0, b) avec
∂x
b = 0, o` elle n’existe pas ;
u
∂f
1 si x ≥ 0
(x, y) =
−1 si x < 0.
∂y
∂1 f (0, 0) = 1 ; ∂2 f (0, 0) = 0.
x4 + 3x2 y 2 + 2xy 4
;
a) ∂1 f (x, y) =
(x2 + y 2 )2
−4x2 y 3 − 2y 5 − 2yx3
∂2 f (x, y) =
;
(x2 + y 2 )2
102

104. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
b) ∂1 f (0, 0) = 1 ; ∂2 f (0, 0) = 0 ;
c) Elles sont continues partout sauf en (0, 0).
Ex. 4.6.
Ex. 4.7.
– f (0, 0) = 6 ; ∂1 f (0, 0) = 2 ; ∂2 f (0, 0) = 1 ;
´
– Equation cart´sienne du plan : z = 6 + 2x + y
e

 < 0 si x < 0
∂1 f (x, y) = 0 si x = 0
 > 0 si x > 0
Diff´rentielles - Espace tangent - Gradient
e
Ex. 5.1.
a) voir Ex. 4.4.
b) Si f est diff´rentiable en (0, 0), alors d(0,0) f (h, k) = h.
e
c) Oui.
Ex. 5.2.
a) Continue mais non diff´rentiable en (0, 0) ;
e
b) En (a, b) = (0, 0), f est produit, compos´e ... de fonctions
e
diff´rentiables.
e
Ex. 5.3.
5.
a) voir Ex. 4.5.
b) voir Ex. 4.5.
Ex. 5.9.
3
d) Oui ; d(1,−1) f (h, k) = h + 2k ;
2
e) f (1, 01 ; −1, 05) ∼ −0, 085 ;
=
3
f) – z = g(x, y) = (x − 1) + 2(y + 1) ;
2
– f (1, 01 ; −1, 05) ∼ g(1, 01 ; −1, 05).
=
1) a) (0, 2)
b) (1, 0)
2) a) (1, −1)
b) (1, 1)
3) a) (−2, −2)
b) (1, −1)
4) a) (1/2, 0)
b) (0, 1)
103

105. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
Chain rule
Ex. 6.1.
6.
∂1 w(x, y) = ∂1 f (f (x, y), g(x, y))·∂1 f (x, y)+∂2 f (f (x, y), g(x, y))·∂1 g(x, y) ;
∂2 w(x, y) = ∂1 f (f (x, y), g(x, y))·∂2 f (x, y)+∂2 f (f (x, y), g(x, y))·∂2 g(x, y).
Ex. 6.2.
w (x) = ∂1 f (x, g(x)) · 1 + ∂2 f (x, g(x)) · g (x) ;
2
w (x) = ∂1 f (x, g(x)) · 1 + ∂2 ∂1 f (x, g(x)) · g (x)
2
+ ∂1 ∂2 f (x, g(x)) · 1 + ∂2 f (x, g(x)) · g (x) · g (x)
+∂2 f (x, g(x)) · g (x).
Ex. 6.3.
w (t) = ∂1 F (ϕ(t), u(ϕ(t), t), t) · ϕ (t)
+∂2 F (ϕ(t), u(ϕ(t), t), t) · ∂1 u(ϕ(t), t) · ϕ (t) + ∂2 u(ϕ(t), t)
+∂3 F (ϕ(t), u(ϕ(t), t), t) · 1.
Ex. 6.4.
∂1 F (0, 0) = 2 et ∂2 F (0, 0) = 2.
Ex. 6.5.
∂1 w(x, y, z) = ∂1 F (x, f (x, y), g(x, z)) · 1
+∂2 F (x, f (x, y), g(x, z)) · ∂1 f (x, y)
+∂3 F (x, f (x, y), g(x, z)) · ∂1 g(x, z);
∂2 w(x, y, z) = ∂2 F (x, f (x, y), g(x, z)) · ∂2 f (x, y) ;
Ex. 6.6.
∂3 w(x, y, z) = ∂3 F (x, f (x, y), g(x, z)) · ∂2 g(x, z).
  

4 −7 6
h
0 10  ·  k  ;
d(1,1,1) (f ◦ g)(h, k, l) =  2
4 −4 12
l
d(1,1) (g ◦ f )(h, k) =
Ex. 6.7.
−5 −5
4
6
·
h
k
.
ϕ (x) = g(x)f (x)g(x)−1 f (x) + f (x)g(x) ln(f (x))g (x).
Fonctions implicites
Ex. 8.1.
Ex. 8.2.
8.
a) C’est la droite passant par (0, 2) et ( 4 , 0).
3
4 − 2y
b) ϕ : R → R : y →
;
3
ψ : R → R : x → 2 − 3 x.
2
c) Le thm dit que y est explicitable partout en fonction de x et
que x est explicitable partout en fonction de y.
4
a) C’est la verticale x = .
3
104

106. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
4
b) ψ n’existe pas ; ϕ : R → R : y → .
3
c) Le thm ne peut conclure pour ψ ; il dit que ϕ existe.
Ex. 8.3.
Ex. 8.4.
a) C’est le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.
b) ϕ existe en tout point de C sauf en (±1, 0) ;
ψ existe en tout point de C sauf en (0, ±1).
c) y est explicitable en fct de x au voisinage de tout point
(a, b) = (±1, 0) ; pour (±1, 0), le
thm ne dit rien.
x est explicitable en fct de y au voisinage de tout point
(a, b) = (0, ±1) ; pour (0, ±1), le thm ne permet pas de
conclure.
√
y est explicitable en fct de x au voisinage de (2, 3)
mais pas au voisinage de (1, 0), ni au
voisinage de (1, 1).
x est explicitable en fct de y au voisinage de (1, 0) et de (2,
au voisinage de (1, 1).
Ex. 8.7.
√
3), pas
a) Oui : (x2 , x5 ) en fct de x1 , x3 , x4 et (x3 , x5 ) en fct de x1 , x2 , x4 .
x2 = ϕ1 (x1 , x3 , x4 )
,
b) Si
x5 = ϕ2 (x1 , x3 , x4 )
alors
∂1 ϕ1 ∂2 ϕ1 ∂3 ϕ1
∂1 ϕ2 ∂2 ϕ2 ∂3 ϕ2
=
0 −1 0
0
0 0
;
=
0 −1 0
0
0 0
.
(a1 ,a3 ,a4 )
x3 = ψ1 (x1 , x2 , x4 )
,
x5 = ψ2 (x1 , x2 , x4 )
Si
∂1 ψ1 ∂2 ψ1 ∂3 ψ1
∂1 ψ2 ∂2 ψ2 ∂3 ψ2
√
√
−1 + 5 −1 + 5
,
.
2
2
alors
(a1 ,a2 ,a4 )
Ex. 8.8.
0, ±
Ex. 8.9.
a) Il s’agit de la sph`re de rayon 1 centr´e ` l’origine.
e
e a
b) Une.
c) – x est explicitable en fct de (y, z) au voisinage de n’importe
quel point (a, b, c) ne v´rifiant pas le syst`me
e
e
a=0
b2 + c 2 = 1 ;
pour les autres points, le thm ne permet pas de conclure.
– Au voisinage des points (a, b, c) de la sph`re o` b = 0, le thm
e
u
montre que y est explicitable en fct de (x, z). En tout point
(a, 0, c) de la sph`re, le thm ne permet pas de conclure.
e
– Au voisinage de tout point (a, b, c) de la sph`re, tel que
e
c = 0, le thm montre que z est explicitable en fct de (x, y) ;
ailleurs, le thm ne permet pas de conclure.
105

107. 2008
Analyse
Ex. 8.10.
Ex. 8.11.
Ex. 8.12.
Ex. 8.13.
Solutions de certains exercices
d) Oui.
– a) g1 est le point (0, 0).
b1) (0, 0)
b2) (0, 0)
c1) (0, 0)
c2) (0, 0)
d) Le thm ne donne aucune conclusion.
– a) g2 est la r´union des bissectrices des axes.
e
b1) (0, 0)
b2) (0, 0)
c1) (0, 0)
c2) (0, 0)
– a) g3 est la r´union des deux axes.
e
b1) Les points du type (0, a)
b2) Les points du type (a, 0)
c1) Les points du type (0, a)
c2) Les points du type (a, 0)
– Pour la cubique g4 ,
b1) Aucun
b2) Aucun
c1) (0, 0)
c2) Aucun
d) Le thm affirme en mˆme temps l’existence et la d´rivabilit´ de
e
e
e
l’explicitation de y en fct de x. Il ne pouvait donc pas
affirmer l’existence de cette explicitation au voisinage de
(0, 0) puisqu’en ce point la tangente est verticale.
a) y est explicitable en fct de x partout sauf en (1, 0) et en
(0, ±1) ; x est explicitable en fct de y partout sauf en
(0, ±1).
b) Le thm ne s’applique pas en (0, ±1). Il ne peut conclure en
(1, 0) pour y en fct de x. Partout ailleurs, il affirme
l’existence d’une explicitation y = ϕ(x) (ou x = ψ(y)).
– ϕ : en tout point v´rifiant le syst`me et diff´rent de
e
e
e
√
√
−1 + 5 −1 + 5
(±1, 0, 0) et de 0, ±
,
;
2
2
√
√
−1 + 5 −1 + 5
– ψ : en tout point v´rifiant le syst`me et diff´rent de 0, ±
e
e
e
,
2
2
– χ : en tout point v´rifiant le syst`me et diff´rent de
e
e
e
(±1, 0, 0).
a) Oui.
√
√
x = ϕ1 (z, w)
∂1 ϕ1 ∂2 ϕ1
2/2 √2/2
Si
alors
=− √
.
y = ϕ2 (z, w),
∂1 ϕ2 ∂2 ϕ2 (1,1)
2/2
2/2
106
;

108. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
b) Le thm ne permet pas de r´pondre.
e
Polynˆmes de Taylor
o
Ex. 9.1.
9.
a) ∂1 f (x, y) = 2x + 2y ; ∂2 f (x, y) = 2x + 2y ;
2
2
∂1 f (x, y) = 2 ; ∂2 f (x, y) = 2 ;
∂1 ∂2 f (x, y) = ∂2 ∂1 f (x, y) = 2.
b) T2,(0,0) (h, k) = h2 + 2hk + k 2 .
2 2
c)
.
2 2
Ex. 9.2.
a) ∂1 f (x, y) = (1 + x + y)ex−y ;
∂2 f (x, y) = (1 − x − y)ex−y ;
2
2
∂1 f (x, y) = (2 + x + y)ex−y ; ∂2 f (x, y) = (−2 + x + y)ex−y ;
∂1 ∂2 f (x, y) = ∂2 ∂1 f (x, y) = (−x − y)ex−y .
b) T2,(0,0) (h, k) = h + k + h2 − k 2 .
(2 + x + y)ex−y (−x − y)ex−y
c)
.
(−x − y)ex−y
(−2 + x + y)ex−y
Ex. 9.3.
a) T3,(0,0) (h, k) = h + hk
b) T3,(0,1) (h, k) = e(h + hk)
Ex. 9.4.
3
a) T2,(1,2,3) (h, k, l) = − 2 −h+k −2l + 1 h2 + 1 k 2 − 1 l2 +2hk −3hl +5kl
4
6
8
b) f (1, 1; 2, 3; 3, 2) ∼ −1, 3875
=
Optimisation libre
Ex. 10.1
(1, 2) et (−1, −2) sont des points de selle ; (2, 1) est un min local ;
(−2, −1) est un max local.
Ex. 10.2
Ex. 10.3
(0, 0) et (−1, 0) sont des points de selle ; (1, 0) est un max local.
√
√
√ √
(0, 0) est un point de selle ; ( 2, − 2) et (− 2, 2) sont des min
(globaux, mais ce n’est pas facile ` voir).
a
Ex. 10.4
2
(0, 0) est un min local ; (− 3 , 0) est un point de selle.
Ex. 10.5
(1, 0) est un max global.
Ex. 10.6
2
(0, 0, 0), (0, 2 , 0), ( 2 , 0, 0), ( 2 , 3 , 0) et (2, 0, 2) sont des points de selle ;
3
3
3
(2, 2 , 2) est un min local.
3
Ex. 10.7
(0, 2, 0) et (0, −2, 0) sont des points de selle ; (−2, 0, 0) est un max local.
Ex. 10.8
10.
(0, 0, α), (0, α, 0) et (α, 0, 0) (avec α ∈ R) sont des points de selle ;
(1, 1, 1), (−1, 1, −1) et (−1, −1, 1) sont des max (ce n’est pas facile de
voir s’ils sont globaux ou pas) ; (−1, 1, 1), (1, −1, −1), (−1, −1, −1),
107

109. 2008
Analyse
Ex. 10.9
Ex. 10.10
Solutions de certains exercices
(1, 1, −1) et (1, −1, 1) sont des min (ce n’est pas facile de voir s’il sont
globaux ou pas).
2
(− 3 , − 1 , 1) est un min.
3
(2α, 0, α), avec α ∈ R, sont des min globaux.
Optimisation sous contrainte d’´quations
e
Ex. 11.1
1
( 1 , 2 ) est un min global.
2
Ex. 11.2
Ex. 11.3
Ex. 11.4
8
(0, 0) est un min local et ( 2 , − 27 ) est un max local.
3
(0, 0) est un min global.
1
1 1
(0, 0) est un max local ; ( 2 , √2 ) et ( 1 , − √2 ) sont des min globaux.
2
Ex. 11.5
Ex. 11.6
11.
(0, 0) est un min global.
1
( 1 , 3 , 1 ) est un min global.
3
√3
√
(0, 2, 1) est un max global et (0, − 2, 1) est un min global.
√
(0, 0, 0) est un max local et (α, 1, ± 1 − α2 ) (avec α ∈ [−1, 1]) sont
des min globaux (libres).
Ex. 11.7
Ex. 11.8
√
Ex. 11.9
Ex. 11.10
1
(± 22 , 0, 2 ) sont des min globaux.
(2, −2, 2) est un min global.
Extr´m´s sous contraintes d’in´quations
e e
e
Ex. 12.1
5
(−4, −3) est un min global ; ( 3 , 20 ) n’est ni min ni max ; (5, 0) est un
9
max global ; (0, 5) est un max local.
Ex. 12.2
12.
1
(0, 1) est un max global ; (0, −1) est un max local ; (± 23 , − 2 ) ne sont
ni min ni max.
√
(1, 0) est un min global ; (0, 0) et (1, −1) sont des max locaux ; (2, 2)
√
3
est un max global ; ( 2 , − 1 ), ( 1 , ± 22 ) et (2, 0) ne sont ni min ni max.
2
2
(2, 0) est un max global ; (1, 0) est un min global ; (1, ±1) ne sont ni
min ni max.
(1, 1) est un max global ; (−1, 1) est un min global ; (−2, 4) n’est ni min
ni max.
(0, −2) est un max global ; (0, 1) est un min global (libre) ; (0, 2) n’est
ni min ni max ; (0, −1) est un max local.
1
(2, 2) est un max global ; (− 2 , − 7 ) est un min global ; (−2, 2) n’est ni
4
min ni max.
√
√
( 22 , − 22 ) est un max global ; (0, 1) est un min global ; (0, −1) n’est ni
min ni max.
√
Ex. 12.3
Ex. 12.4
Ex. 12.5
Ex. 12.6
Ex. 12.7
Ex. 12.8
108

110. 2008
Analyse
Solutions de certains exercices
Ex. 12.9
a) (0, 0), (±2, 0), (0, ±1).
b) (0, 0) est un min global ; (±2, 0) sont des max globaux ; (0, ±1)
ne sont ni min ni max.
Ex. 12.10
3
3
1
a) (−1, −1), (0, −3), (0, − 2 ), (− 2 , − 2 ), (0, 0).
b) Minimum : −1 ; maximum : 6.
109

111. 2008
Analyse
Questionnaire test
QUESTIONNAIRE TEST
1.
On consid`re la surface d’´quation z = f (x, y) = x + y 2 .
e
e
1. Repr´sentez la courbe de niveau z = f (x, y) = 2 dans le plan Oxy.
e
2. Repr´sentez la section z = f (1, y) dans le plan Oyz.
e
2.
Donnez les d´riv´es partielles en (0, 1, 1) de f (x, y, z) = xy − x2 z + z.
e e
3.
Quelques courbes de niveau d’une
fonction z = f (x, y) sont donn´es
e
ci-contre. On donne de plus
f (0, 0) = 0.
y
z = 0 z = 1/4
1
z = 1/2
1
z=1
(1) f (1, 0) =
∂f
(1, 0) est
∂x
∂f
(3)
(1, 1) est
∂y
(2)
x
< 0 = 0 > 0 non d´finie
e
< 0 = 0 > 0 non d´finie
e
4.
Enoncez le th´or`me dit “du coin¸age” pour les fonctions de 2 variables.
e e
c
5.
D´finissez la notion de “nombre d´riv´e partielle d’une fonction f (x, y) par
e
e e
rapport ` la variable x au point (a, b).
a
6.
On donne
f (x, y) =
xy 2
x2 + y 4
(1) Calculez la limite de f (x, y) en (0, 0) sur les chemins particuliers suivants
a. y = x
b. y = x2
c. x = y 2
110

112. 2008
Analyse
Questionnaire test
(2) La limite de f (x, y) en (0, 0) existe-t-elle ? Si oui, calculez-la. Sinon,
justifiez.
7.
Donnez la diff´rentielle en (1, 1, 0) de f (x, y, z) = xy − x2 z + z.
e
d(1,1,0)(h,k,l) =
8.
f est une fonction de R2 dans R3 d´finie par f (x, y) = (x + y 2 , x3 , x + y).
e
La jacobienne de f au point
(0, 1) est
9.
La diff´rentielle, d(0,1) f (h, k),
e
de f au point (0, 1) est
f est une fonction de Rn dans R et a un point de dom f .
On consid`re les trois propri´t´s suivantes :
e
ee
A. f est continue au point a
B. f est diff´rentiable au point a
e
C. Les nombres d´riv´es partielles de f existent au point a
e e
Compl´tez par ⇒, ⇐, ⇔ ou ×.
e
A
B
A
C
B
C
10.
On donne f et g des fonctions de R2 dans R et on d´finit F (x, y) = g(y, f (x, y)).
e
Ecrivez F comme compos´e de deux fonctions.
e
11.
Avec les mˆmes donn´es que dans l’´nonc´ pr´c´dent, on suppose de plus que
e
e
e
e e e
f et g sont diff´rentiables et que
e
f (0, 0) = 1
g(0, 0) = 3
g(0, 1) = 7
∂1 f (0, 0) = −2 ∂1 g(0, 0) = 4
∂1 g(0, 1) = 5
∂2 f (0, 0) = −6 ∂2 g(0, 0) = −7 ∂2 g(0, 1) = −3
Calculez
12.
∂F
(0, 0).
∂y
On donne deux fonctions f et g diff´rentiables et telles que la jacobienne de
e
1 2 −1
g en un point a de son domaine est
, et celle de f en g(a) est
0 1 2
111

113. 2008
Analyse
Questionnaire test


−1 −1
 2
0 .
3
1
1. f ◦ g est une fonction de R
en a. 3. Donnez ∂2 (f2 ◦ g)(a).
4. Donnez da (f1 ◦ g).
dans R
. 2. Donnez la Jacobienne de f ◦ g
13.
D´finissez l’expression “f est une fonction de classe C 2 au point a”.
e
D´crivez bien le contexte dans lequel se situe cette d´finition.
e
e
14.
On consid`re la fonction y = f (x) et les nouvelles variables α = ln x et β = ln y.
e
(1) Exprimez x en fonction de α et transformez l’´galit´ y = f (x) en une
e
e
´galit´ reliant α et β.
e
e
(2) Calculez
dβ
(ln a)
dα
en utilisant la r`gle de d´rivation en chaˆ
e
e
ıne.
dβ
(ln a) est l’´lasticit´ de
e
e
dα
dβ
(ln 3) est −2 et que f (3)
dα
(3) D´duisez-en que
e
(4) Si la valeur de
de f (3.02).
15.
y par rapport ` x en a.
a
= 5, donnez une ´valuation
e
On d´sire calculer une valeur approch´e de
e
e
√
3
8.02 + 7(0, 97)2
(1) Donnez une fonction de plusieurs variables qui vous permettra d’appliquer les techniques du calcul diff´rentiel ` ce probl`me.
e
a
e
(2) Utilisez la diff´rentielle de cette fonction pour calculer cette approxie
mation.
16.
Le th´or`me de Young peut se traduire par une propri´t´ de la matrice Hese e
ee
sienne. Laquelle ?
y
17.
Voici le graphe d’une relation G(x, y) = 0.
D´terminez g´om´triquement s’il est possible
e
e e
d’expliciter cette relation sous la forme y = φ(x)
au voisinage des points suivants.
1
x
1
112

114. 2008
Analyse
Questionnaire test
Explicitation possible
Oui
Non
Justifications
en (0, 0)
en (1, 0)
en (0, 1)
en (2, 0)
18.
On consid`re la relation G(x, y) = (x − 3)2 + y 2 − 4 = 0.
e
Le th´or`me des fonctions implicites permet-il de garantir l’existence d’une
e e
explicitation locale de G(x, y) = 0 sous la forme x = ψ(y) au voisinage des
points suivants ?
Oui Non
(1, 0)
Si oui, on peut aussi calculer ψ (0) =
Oui Non
(3, 2)
Si oui, on peut aussi calculer ψ (2) =
19.
On consid`re la relation G(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x2 + x2 + x2 + x2 + x2 = 0.
e
5
4
3
2
1
Au point e4 = (0, 0, 0, 1, 0), le th´or`me des fonctions implicites garantit l’explie e
citation locale de la (ou des) variable(s)
en fonction de la (ou des) variable(s)
Les variables endog`nes sont alors les variables
e
20.
G1 , G2 , G3 sont des fonctions de 5 variables r´elles ` valeurs dans R.
e
a
On consid`re la relation d´finie par les ´quations G1 (x) = 0, G2 (x) = 0,G3 (x) =
e
e
e
0 et a un point qui satisfait cette relation.
Au voisinage de a on peut esp´rer expliciter
e
tion des
21.
G=
G1 (x, y, z)
G2 (x, y, z)
des variables en fonc-
autres.
est une fonction de classe C1 de R3 dans R2 ; a = (1, 2, 3)
113

115. 2008
Analyse
Questionnaire test
est un point de R3 qui satisfait la relation G(x) = 0.
1 0 −1
La matrice Jacobienne de G en a est
0 2
0
Faites le choix d’une explicitation de certaines variables en fonction d’autres
qui soit garantie par le th´or`me des fonctions implicites dans ce cas particue e
lier. Pour ce choix, compl´tez les phrases ou formules suivantes.
e
(1) Le th´or`me des fonctions implicites garantit l’explicitation locale au
e e
en
voisinage du point a de la (ou des) variable(s)
fonction de la (ou des) variable(s)
. . . = φ... (. . . . . .)
. . . = φ... (. . . . . .)
. . . = φ... (. . . . . .)
sous la forme
Biffez les lignes inutiles
(2) La d´riv´e partielle de la premi`re variable endog`ne par rapport ` la
e e
e
e
a
∂φ...
(. . . . . .) = . . . . . .
premi`re variable exog`ne est
e
e
∂ ...
22.
D´finissez math´matiquement l’expression “L’application y = φ(x) est une
e
e
explicitation locale de la relation G(x, y) = 0 pr`s du point (a, b)”.
e
23.
Soit f une application de R3 dans R2 de classe C 2 au point a et telle que
∂1 f (a) = −3
2
∂11 f (a) = −1
2
∂22 f (a) = −5
f (a) = 5
∂2 f (a) = 2
2
∂12 f (a) = −6
2
∂23 f (a) = −1
∂3 f (a) = 0
2
∂13 f (a) = 3
2
∂33 f (a) = −7
(1) Donnez le polynˆme de Taylor, T (h, k, l), de degr´ 2 de f pr`s de a.
o
e
e
(2) Donnez la matrice Hessienne de f en a.
24.
F (x, y, z) est une fonction de classe C2 partout d´finie. Donnez des condie
tions suffisantes, de premier et de second ordre, pour que le point a = (a, b, c)
d´termine un maximum de la fonction F .
e
Conditions de premier ordre
Si
Conditions de second ordre
et si
114

116. 2008
Analyse
Questionnaire test
e
alors a d´termine un maximum de F .
25.
D´montrez que si a = (a1 , a2 , . . . , an ) d´termine un maximum local de la fonce
e
tion f (x1 , x2 , . . . , xn ), alors a1 d´termine un maximum local de la fonction
e
d’une variable g1 (x) = f (x, a2 , . . . , an ).
26.
On donne la fonction de classe C2
f (x, y, z) = 8xyz − (x2 + y 2 + z 2 − 1)2 et
les points A = (1, 0, 0), B = (0, 0, 0) et C = (2, 0, 0).
(1) Calculez les fonctions d´riv´es partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 de f .
e e
(2) Parmi les points A, B et C, quels sont ceux qui sont des points stationnaires de f ?
(3) Parmi ceux des points A, B et C qui sont des points stationnaires de f ,
quels sont ceux qui d´terminent un maximum local de f ? un minimum
e
local de f ? un point de selle de f ?
y
27.
On consid`re le probl`me d’optimie
e
sation d’une fonction f (x, y) sous la
contrainte g(x, y) = 0.
La figure ci-contre donne le graphe (en
forme de feuille) de la contrainte et
quelques courbes de niveau (les droites)
de la fonction f .
E
D
C
B
x
A
3
0
-3
∗
v´rifie les
e
d´termine
e
d´termine
e
conditions de rang un max. local un min. local
Le point A
Le point B
Le point C
Le point D
Le point E
∗
28.
Par “v´rifier les conditions de rang”, on entend : ”v´rifier les conditions n´cessaires donn´es
e
e
e
e
par le th´or`me du rang”.
e e
On cherche ` extr´mer la fonction f (x, y, z) = z − (x2 + y 2 ) sous la contrainte
a
e
x2 + y 2 + z 2 = 1.
La fonction de Lagrange du probl`me est
e
115

117. 2008
Analyse
Questionnaire test
L(x, y, z, λ) =
Les conditions n´cessaires de Lagrange pour s´lectionner les candidats extr´mums
e
e
e
sont
29.
On consid`re le probl`me d’optimisation de la fonction f (x, y, z) = x2 + y 2 z 3
e
e
z=0
sous les contraintes
z 2 − (y − 1)2 = 0
Les points singuliers des contraintes sont les points qui v´rifient les conditions
e
Les points singuliers sont donc les points
30.
On consid`re le probl`me d’optimisation de la fonction f (x, y, z) = 3x + 4y
e
e
sous la contrainte (x − 5)2 − 5y − z 2 = 0.
Donnez sous forme d’´quations les conditions n´cessaires donn´es par le th´or`me
e
e
e
e e
du rang pour s´lectionner les points qui peuvent ˆtre des solutions.
e
e
31.
D´finissez math´matiquement l’expression “Le point (a, b) d´termine un minie
e
e
mum local de la fonction f (x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0”.
32.
f (x, y) et g(x, y) sont des fonctions de classe C1 partout d´finies.
e
On consid`re les deux courbes de R2 d´finies par des ´quations f (x, y) = 0 et
e
e
e
g(x, y) = 0 et (a, b) un point commun de ces courbes.
116

118. 2008
Analyse
Questionnaire test
Donnez des conditions sur les d´riv´es partielles de f et g en (a, b) pour que
e e
les deux courbes soient tangentes l’une ` l’autre en ce point.
a
33.
On consid`re le probl`me d’optimisation de la fonction f (x, y, z) = x + y + z
e
e
x2 + y 2 = 20
sous les contraintes
x−z =1
(1) Donnez, s’il y en a, tous les points singuliers des contraintes.
(2) D´terminez par la m´thode de Lagrange tous les points susceptibles de
e
e
d´terminer des optimums du probl`me.
e
e
(3) Donnez le maximum global du probl`me sachant qu’il existe un tel
e
maximum global.
(4) Donnez une approximation du nouveau maximum global si la premi`re
e
2
2
contrainte est transform´e en x + y = 19.5.
e
34.
g3 = 0
On consid`re le probl`me
e
e
d’optimisation
d’une
fonction f (x, y) sous les
contraintes g1 (x, y) ≤ 0,
g2 (x, y) ≤ 0, g3 (x, y) ≤ 0.
La figure ci-contre donne
le graphe de l’ensemble
des points satisfaisant les
contraintes (en hachur´),
e
et quelques courbes de
niveau de la fonction f
(en traits plus fins)
E
F
C
g2 = 0
G
D
2
B
y
1
g1 = 0
A
x
3
2
1
0
est singulier est critique au sens
d´termine
e
d´termine
e
des contraintes de Kunh-Tucker un max. local un min. local
Le point A
Le point B
Le point C
Le point D
Le point E
Le point F
Le point G
117

119. 2008
35.
Analyse
Questionnaire test
On consid`re le probl`me d’optimisation de la fonction f (x, y, z) = x2 +(y−1)2
e
e

 x + 2y − 2 ≤ 0
3x2 + y 2 ≤ 4
sous les contraintes
 x−y ≥6
(1) Ecrivez ce probl`me comme un probl`me d’optimisation sous contraintes
e
e
d’´galit´s par l’adjonction de variables d’´cart.
e
e
e
(2) La troisi`me contrainte est-elle satur´e en (2, 4) ?
e
e
36.
On consid`re le probl`me d’optimisation de la fonction f (x, y) = x − 2y sous
e
e
g1 (x, y) = x2 − y ≤ 0
les contraintes
g2 (x, y) = 2x − y − 1 ≤ 0
(1) Ecrivez les conditions de singularit´ des contraintes pour un point situ´
e
e
a
` l’intersection de g1 (x, y) = 0 et g2 (x, y) = 0.
(2) Donnez les points singuliers.
37.
On cherche ` extr´mer la fonction f (x, y) = 2x + y sous les contraintes
a
e
y ≤ −x + 2
x2 ≤ y
(1) Ecrivez la fonction de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) du probl`me .
e
(2) Erivez les conditions n´cessaires de Kuhn-tucker pour s´lectionner les
e
e
candidats extr´mums.
e
1
(3) Le point (1, 1) est un de ces candidats et correspond ` λ1 = 1 et λ2 = 2 .
a
Ce point peut-il d´terminer un minimum ? un maximum ? Ou est-on
e
sˆr qu’il ne d´termine ni l’un ni l’autre ?
u
e
38.
En cherchant ` r´soudre par la m´thode de Kuhn-Tucker le probl`me de l’opa e
e
e
2
timisation de la fonction f (x, y) = 2y − x sous les contraintes

 x2 + y 2 ≤ 1
x≥0

y≥0
on a trouv´ le maximant (0, 1).
e
(1) Quelle est la valeur de λ3 , le multiplicateur associ´ ` la troisi`me
e a
e
contrainte ?
(2) Les autres multiplicateurs en ce point sont λ1 = 2 et λ2 = 1.
Estimez la valeur maximale de f sous les contraintes

 x2 + y 2 ≤ 0.9
x≥0

y≥0
118