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![9 L’approche standard 89
9.1 La r´glementation prudentielle . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Les pond´rations . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Les notations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4 Les proc´dures de r´duction des risques . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.1 Les sˆret´s ou collat´raux . . . . . . .
u e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.1.1 L’approche compl`te . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.4.1.2 L’approche simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4.2 Les garanties et les d´riv´s de cr´dit .
e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4.3 Autres consid´rations . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.3.1 Compensation de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.3.2 Le d´calage des maturit´s . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.3.3 L’asym´trie des devises . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.4.1 Collateralised transactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.4.2 On-balance sheet netting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4.4.3 Guarantees/credit derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10 La m´thode IRB
e 105
10.1 Les principes g´n´raux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.1.1 Le sch´ma simplifi´e de l’approche IRB . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.1.2 D´finition de la d´faillance . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.1.3 La notation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.2 L’exemple de la m´thode IRB pour les entreprises . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.2.1 Formulation des pond´rations de risque . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2.1.1 Dans l’approche IRB simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2.1.2 Dans l’approche IRB avanc´e . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.2.2 Justification de la m´thode IRB . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2.3 Param`tres de la fonction de pond´ration . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.3.1 La probabilit´ de d´faillance . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.3.2 La perte en cas de d´faillance . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.3.3 La maturit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.3.4 L’exposition en cas de d´faillance . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.4 Les exigences minimales d’´ligibilit´ . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.3 Prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.1 Risque retail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.2 Risque souverain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.3 Risque banque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.4 Risque financement de projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3.5 Risque equity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.4 Granularit´ du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.4.1 La m´thodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.4.3 D´rivation du coefficient d’ajustement de granularit´ .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.4.3.1 La d´termination du coefficient β . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.4.3.2 Du coefficient β ` l’ajustement de granularit´
a e du Comit´ de Bˆle
e a . . . . . 129
10.5 Les modifications du 5 novembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
IV Les mod`les de risque de cr´dit
e e 137
11 Introduction 139
12 Le mod`le de la firme
e 141
12.1 Le mod`le de Merton [1974] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
e
12.2 Extensions du mod`le de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
e
12.2.1 G´n´ralisation de la notion de d´faut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
e e e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-5-320.jpg)
![12.2.2 Introduction de sauts dans le processus de valorisation des actifs . . . . . . . . . . 145
12.3 M´thodologie mise en place par K.M.V. Corporation . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 146
12.3.1 Une mesure du risque de d´faut : la distance au d´faut . . . . . .
e e . . . . . . . . . . 146
12.3.2 Estimation de la distance au d´faut . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 147
12.3.3 Calcul de l’EDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.4 Une application : le mod`le CreditMetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . 151
13 L’approche actuarielle de CreditRisk+ 153
13.1 La d´marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
13.2 Mod´lisation ` taux de d´faut fixes . . . . . . . . .
e a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.2.1 Occurrence de d´fauts . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.2.2 Pertes de d´faut . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
13.2.2.1 Proc´dure de calcul et distribution
e des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . 156
13.2.2.2 Application au cas multi-annuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
13.3 Passage ` des taux de d´faut al´atoires . . . . . . .
a e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.3.1 Incertitude des taux de d´faut . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.3.2 Analyse par secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13.3.3 Occurrence de d´fauts . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.3.4 Distribution des pertes de d´faut . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
13.3.4.1 Pertes de d´faut . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
13.3.4.2 Relation de r´currence . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
13.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14 L’approche Intensit´ : une approche sous forme r´duite
e e 163
14.1 Cadre de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.1.1 D´finition de l’intensit´ de survie . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . 164
14.1.2 Une autre approche de l’intensit´ de d´faut . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . 165
14.2 Les diff´rentes repr´sentations du prix de la dette risqu´e . . . . . . .
e e e . . . . . . . . . . . 165
14.2.1 Premi`res repr´sentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . 165
14.2.2 Th´or`me de repr´sentation du prix de la dette risqu´e . . . . .
e e e e . . . . . . . . . . . 166
14.3 Un exemple d’application : le mod`le de Jarrow et Turnbull [1995]
e . . . . . . . . . . . 166
V Le risque op´rationnel
e 169
15 La r´glementation prudentielle
e 171
15.1 La d´finition du risque op´rationnel . . . . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.2 Les approches forfaitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.2.1 Basic Indicator Approach (BIA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.2.2 Standardised Approach (SA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.3 Annexe : composition du Risk Management Group (RMG) of the Basel Committee on
Banking Supervision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
16 Les m´thodes AMA
e 177
16.1 L’approche IMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 L’approche LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.2.1 Pr´sentation de la m´thode statistique
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.2.2 Robustesse de l’approche LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.3 Le mapping IMA/LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.4 L’approche Scorecard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Conclusion g´n´rale
e e 185](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-6-320.jpg)
![9.1 Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de la sˆret´ ajust´e CA (E = 100) . . .
e e u e e 95
9.2 Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de l’exposition E (CA = 50) . . . . . .
e e 96
10.1 Fonction de r´f´rence BRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ee 108
10.2 D´riv´e premi`re de la fonction de r´f´rence BRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e e ee 109
1−PD
10.3 Ajustement de la maturit´ 1 + 0.470 × PD0.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 109
10.4 Repr´sentation graphique de la fonction b (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 114
10.5 Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (ρ = 20%) . . . . .
e e 117
10.6 Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des valeurs
e e
donn´es de pi (ρ = 20%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 117
10.7 Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (α = 99.5%)
e e e 118
10.8 Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des
e e e
valeurs donn´es de pi (α = 99.5%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 118
10.9 Fonction de r´f´rence BRW (ajustement de maturit´/formule exacte) . . . . . . . . . . . .
ee e 120
10.10Impact des param`tres sur le coefficient β (valeurs par d´faut : LGD = 50%, α = 99.5%,
e e
ρ = 20% et σ [X] = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.11Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (I) . . . . . .
e 135
10.12Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (II) . . . . . .
e 135
10.13Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les corr´lations ρ (PD) . . . . . . . . . .
e 136
12.1 Effet de levier (d > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.2 Effet de levier (d < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.3 Volatilit´ des actifs, secteur d’activit´ et taille
e e de l’entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4 Expected default frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.5 EDF de Bangkok Metropolitan Bank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.6 EDF de Burns Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.7 Valeur de march´ de Burns Philip . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.1 Organigramme de la d´marche suivie par CreditRisk+
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
16.1 Distribution agr´g´e avec ζ (i, j) ∼ LN (8, 2.2) et N (i, j) ∼ P (50) . . . . . . . . . . . . . 180
e e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-8-320.jpg)
![Liste des documents distribu´s en cours
e
1. Comit´ de Bˆle sur le Contrˆle Bancaire, Vue d’ensemble du Nouvel Accord de Bˆle sur les fonds
e a o a
propres, Document soumis ` consultation, Janvier 2001
a
2. Punjabi, S. [1998], Many happy returns, Risk Magazine, June, 71-76
3. Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 2000, Commission
e e e
Bancaire, Secr´tariat G´n´ral, Service des Affaires Internationales, 31 Janvier 2001
e e e
4. Derman, E. [2001], Markets and model, Risk Magazine, 14, July, 48-50
5. Rebonato, R. [2001], Model risk : new challenges, new solutions, Risk Magazine, 14, March, 87-90
6. Turc, J. [1999], Pr´sentation du march´ du risque de cr´dit, CDC March´s, S´minaire INRIA du
e e e e e
8 juin 1999
7. Basel Committee on Banking Supervision, Credit Ratings and Complementary Sources of Credit
Quality Information, Working Paper, 3, August 2000
8. Koyluoglu, H.U. et A. Hickman [1998], Reconcilable differences, Risk Magazine, 11, October,
56-62
9. Finger, C.C. [1999], Conditional approaches for CreditMetrics portfolio distributions, CreditMe-
trics Monitor, April, 14-33
10. Wilson, T. [2001], IRB approach explained, Risk Magazine, 14, May, 87-90
11. Wilson, T. [2001], Probing granularity, Risk Magazine, 14, August, 103-106
12. Basel Committee on Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Opera-
tional Risk, Working Paper, 8, September 2001
13. Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational
risk, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper
e e
14. Pennequin, M. [2001], Risques op´rationnels : comment se pr´parer ` la r´forme de Bˆle, Club
e e a e a
Banque, F´d´ration des Banques Fran¸aises, 27 septembre 2001
e e c](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-9-320.jpg)
![Avant-Propos
Ceci est le support ´crit qui accompagne le cours “Introduction ` la Gestion des Risques”.
e a
L’expos´ oral du cours sera sensiblement diff´rent de ces notes. Celui-ci portera plus sur
e e
la culture financi`re du risque que sur les m´thodes.
e e
Les m´thodes seront abord´es de fa¸on plus approfondie dans deux autres cours : “La
e e c
Th´orie des Extrˆmes et la Gestion des Risques de March´” et ”La Gestion des Risques
e e e
Multiples”. C’est dans ces deux cours que nous verrons la mise en œuvre pratique des
m´thodes avec le logiciel GAUSS. A titre indicatif, le premier cours portera sur la VaR et le
e
stress-testing. Et nous aborderons les copulas, le risque de cr´dit et le risque op´rationnel
e e
dans le second cours.
Les propositions de Bˆle pour le nouvel Accord ´voluent rapidement. Par
a e
exemple, la publication le 28 septembre 2001 d’un nouveau document
consultatif sur le risque op´rationnel modifie sensiblement les proposi-
e
tions du 16 janvier 2001. Dans l’expos´ oral, je pr´senterai les derniers
e e
travaux. Certains paragraphes du pr´sent document peuvent donc ˆtre
e e
(partiellement) obsol`tes.
e
La r´daction de ce document a ´t´ faite ` partir de diff´rents travaux et articles qui ont ´t´ r´alis´s au
e ee a e ee e e
Groupe de Recherche Op´rationnelle du Cr´dit Lyonnais.
e e
1. Les chapitres de la partie “Le risque de march´” reprennent la note [HRR] que j’ai r´dig´e en
e e e
collaboration avec Sakda Hoeung et Ga¨l Riboulet.
e
2. Les chapitres sur le mod`le de Merton et l’approche Intensit´ sont extraits du rapport de stage long
e e
de Nicolas Baud.
3. Le chapitre sur CreditRisk+ est extrait du document [R] ´crit par Ga¨l Riboulet.
e e
4. La partie sur le risque op´rationnel s’inspire tr`s largement des diff´rents travaux que j’ai men´s
e e e e
avec Antoine Frachot et Pierre Georges.
Vous pouvez t´l´charger les documents originaux ` l’adresse internet du GRO : http ://gro.creditlyonnais.fr.
ee a
[B ] Baud, N. [2000], La mesure du risque de cr´dit, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit
e e e
Lyonnais, Rapport de Stage
[BFIMR] Baud, N., A. Frachot, P. Igigabel, P. Martineu et T. Roncalli [1999], An analysis framework
for bank capital allocation, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper
e e
(document disponible sur le site web du GRO)
[BN] Bezat, A. et A. Nikeghbali [2000], La th´orie des extrˆmes et la gestion des risques de march´,
e e e
GT ENSAE (document disponible sur le site web du GRO)
´
[BDNRR] Bouye, E., V. Durrleman, A. Nikeghbali, G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Copulas for
finance : a reading guide and some applications, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyon-
e e
nais, Working Paper (document disponible sur le site web du GRO)
[C] Costinot, A. [2000], La construction d’un programme de simulation de crise, Groupe de Recherche
Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Rapport de Stage
e e
[CRR] Costinot, A., G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Stress-testing et th´orie des valeurs extrˆmes :
e e
une vision quantifi´e du risque extrˆme, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais,
e e e e
Working Paper (document disponible sur le site web du GRO)
[FGR] Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational
risk, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper (document disponible
e e
sur le site web du GRO)
[HRR ] Hoeung, S., G. Riboulet et T. Roncalli [1999], Les risques de march´ — R´glementations,
e e
mesures et pratiques, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, document interne
e e
[R ] Riboulet, G. [2000], Mesure du risque de cr´dit d’un portefeuille, Groupe de Recherche Op´rationnelle,
e e
Cr´dit Lyonnais, document interne
e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-11-320.jpg)
![CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE
que les probl`mes de tarification. L’Accord de Bˆle de 1988 impose aussi une nouvelle vision du risque,
e a
beaucoup plus r´glementaire. La publication en 1994 de la m´thodologie RiskMetrics par JP Morgan
e e
permet une diffusion tr`s large des m´thodes Value-at-Risk (VaR ou valeur en risque) aussi bien aupr`s
e e e
des professionnels que des acad´miques.
e
1.2 Le d´veloppement des produits financiers
e
Il existe plusieurs types de risque (voir le chapitre suivant). Les deux principaux sont le risque de cr´dit
e
(credit risk) et le risque de march´ (market risk) — en fait, le risque op´rationnel (operational risk)
e e
est consid´r´ comme plus important que le risque de march´. Pour une premi`re d´finition, nous pouvons
ee e e e
assimiler le risque de march´ ` un risque de volatilit´ des prix des actifs et le risque de cr´dit au risque
ea e e
de d´faillance. L’Accord de Bˆle de 1988 traite de ces deux risques — pour ˆtre pr´cis, seul le risque de
e a e e
cr´dit ´tait concern´, le risque de march´ a ´t´ pris en compte plus tard. N´anmoins, il est vite apparu
e e e e ee e
que le traitement r´glementaire (capital forfaitaire) du risque de march´ ´tait mal adapt´. Les autorit´s
e ee e e
r´glementaires ont donc autoris´ les banques ` utiliser des mod`les internes pour mesurer ce risque. Cela
e e a e
n’est pas le cas du risque de cr´dit, car le march´ du cr´dit n’avait pas (et n’a toujours pas) la maturit´
e e e e
suffisante pour mesurer le risque de fa¸on rationnelle et coh´rente. Cela explique la part particuli`re
c e e
de ce cours consacr´e au risque de march´. Cependant, afin de bien cerner le risque de march´, il est
e e e
indispensable de connaˆ les diff´rents produits.
ıtre e
L’historique suivant est extrait de Jorion [2001] (voir la section 1.2.2) et de Crouhy, Galai et Mark
[2001] (section 2 du chapitre 1).
– Foreign currency futures (1972)
– Equity options (1973)
– Over-the-counter currency options (1979)
– Currency swaps (1980)
– Interest rate swaps (1981)
– Equity index options (1983)
– Interest rate caps/floors (1983)
– Swaptions (1985)
– Path-dependent options (Asian, lookback, etc.) (1987)
– CAT options (1992)
– Captions/Floortions (1993)
– Credit default options (1994)
– Weather derivatives (1997)
L’innovation financi`re a surtout concern´ dans un premier temps le march´ des changes (FX market).
e e e
Cela s’explique par la crise p´troli`re de 1973. Cette innovation s’est rapidement transmise aux march´s
e e e
d’actions (Equity market) et de taux d’int´rˆt (Bond market ou Interest Rate market), et dans
ee
une moindre mesure au march´ des mati`res premi`res (Commodity market). Il faut noter que celle-ci
e e e
s’est faite en dehors des march´s organis´s (centralized exchanges). Ce sont donc g´n´ralement des
e e e e
produits trait´s sur des march´s de gr´ ` gr´ (over-the-counter markets ou OTC markets).
e e ea e
Voyons quelques d´finitions (tr`s simplifi´es) des principaux produits.
e e e
– Un contrat ` terme (futures) fixe les caract´ristiques d’une transaction future : la maturit´ du
a e e
contrat, le cours ` terme (forward), etc.
a
– Une option est un contrat entre deux parties par lequel l’une accorde ` l’autre le droit, mais non
a
l’obligation, de lui acheter (option d’achat) ou de lui vendre (option de vente) l’actif support selon
certaines conditions. L’option est un exemple d’actif conditionnel ou d’actif contingent. Voici
quelques caract´ristiques qui permettent de d´finir le contrat :
e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 6](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-16-320.jpg)
![CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE
1. Le support du contrat est appel´ le sous-jacent de l’option.
e
2. Le prix convenu ` l’avance auquel peut avoir lieu la transaction est le prix d’exercice (strike).
a
3. Si la maturit´ de l’option n’est pas pr´cis´e, l’option est dite perp´tuelle.
e e e e
4. L’acheteur de l’option paye une prime (premium) au vendeur de l’option pour le droit d’exer-
cer l’option.
5. Une option d’achat est un call et une option de vente est un put.
6. Si la date d’exercice correspond ` l’´ch´ance de l’option, l’option est dite Europ´enne. Si
a e e e
l’acheteur peut exercer ` tout moment avant la maturit´ de l’option, nous avons une option
a e
Am´ricaine. Ces deux types d’option d´finissent les options Vanilles (Vanilla options).
e e
Lorsqu’il existe plusieurs dates discr`tes d’exercice, on les appelle des options Bermuda
e
La caract´risation math´matique de l’option correspond ` la d´finition de la fonction payoff :
e e a e
+
European Call (S (T ) − K)
+
European Put (K − S (T ))
Asian (Floating Strike) ¯ +
S (T ) − S
+
Asian (Fixed Strike) K −S ¯
+
Lookback (S (T ) − mint0 ≤t≤T S (t))
+
Barrier (DOC) 1[mint ≤t≤T S(t)≥L] · (S (T ) − K)
0
+
Spread (S1 (T ) − S2 (T ) − K)
+
Basket (S1 (T ) + S2 (T ) − K)
– Un swap est un ´change de deux ´ch´anciers de flux futurs. Par exemple, un swap de taux fixe/variable
e e e
(fixed/floating) est l’´change d’un taux fixe contre un taux variable (Euribor, etc.).
e
– Un cap est un contrat qui permet ` l’acheteur de se garantir contre une hausse des taux en fixant
a
un taux plafond.
1.3 L’histoire r´cente des crises financi`res
e e
La r´glementation prudentielle en mati`re de contrˆle des risques financiers est une cons´quence des
e e o e
diff´rentes crises financi`res et de leur impact sur la solvabilit´ des ´tablissements financiers. Le chapitre
e e e e
2 de Jorion [2001] pr´sente un historique assez complet des “d´sastres” financiers r´cents. Voici quelques
e e e
points de rep`re :
e
1974 Herstatt Bank — FX trading — $4.8 Mds.
1994 Orange County — Reverse repos — $1.81 Mds.
1994 Metallgesellschaft — Oil futures — $1.34 Mds.
1994 Procter & Gamble — Swaps — $0.16 Mds.
1995 Barings — Index Nikkei 225 futures — $1.33 Mds.
1997 Natwest — Swaptions — $0.13 Mds.
1998 LTCM — Liquidity crisis — $2 Mds.
Pourquoi mettre en place des m´canismes de surveillance des ´tablissements financiers par des autorit´s
e e e
de tutelle ? Lors de crises financi`res importantes (crise mexicaine, crise russe, crise asiatique, etc.), la
e
mise en place d’un prˆteur en dernier ressort s’av`re tr`s couteuse pour ´viter une crise syst´mique.
e e e e e
De mˆme, la d´faillance d’un seul ´tablissement financier peut conduire ` une contagion aux autres
e e e a
´tablissements financiers ` cause de la panique financi`re (Diamond et Dybvig [1983]). La mise en
e a e
place d’une r´glementation en mati`re des risques vise donc dans un premier temps ` limiter le risque
e e a
syst´mique, et dans un deuxi`me temps ` ´viter les d´faillances individuelles des ´tablissements financiers.
e e ae e e
´ `
1.3. L’HISTOIRE RECENTE DES CRISES FINANCIERES 7](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-17-320.jpg)
![1.4 L’´volution de la r´glementation
e e
La r´glementation prudentielle a consid´rablement ´volu´ ces vingt derni`res ann´es sous l’impulsion
e e e e e e
des travaux du Comit´ de Bˆle. Mˆme si celui-ci n’a aucun pouvoir d´cisionnel, ses recommandations
e a e e
sont reprises par les diff´rentes autorit´s de tutelle des diff´rents pays industrialis´s. Bien sˆr, il existe de
e e e e u
petites diff´rences entre les textes de Bˆle et les textes officiels.
e a
En Europe, c’est la Commission Europ´enne qui est charg´e de d´finir la CAD (Capital Adequacy
e e e
Directive). Mais la mise en œuvre revient aux diff´rentes autorit´s de tutuelle nationales. En France,
e e
c’est la Commission Bancaire (qui est rattach´e ` la Banque de France) qui contrˆle l’application de la
e a o
CAD (en fait, une version fran¸aise adapt´e ` la l´gislation fran¸aise par le Comit´ de la R´glementation
c e a e c e e
Bancaire et Financi`re — CRBF).
e
Les principales dates de l’´volution de la r´glementation sont les suivantes :
e e
1988 The Basle Capital Accord
1993 Capital Adequacy Directive
1996 Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks
1999 A new capital adequacy framework
2001 The New Basel Capital Accord
2004 (2005 ?) Basle II
Bibliographie
[1] Amendment to the capital accord to incorporate market risks, Basle Committee on Banking Supervi-
sion, January 1996, N◦ 24
[2] Bernstein, P.L. [1995], Des Id´es Capitales, Presses Universitaires de France, Paris
e
[3] Crouhy, M., D. Galai et R. Mark [2001], Risk Management, McGraw-Hill
[4] Diamond, D.W. et P.H. Dybvig [1983] Bank runs, deposit insurance and liquidity, Journal of Political
Economy, 91(3), 401-419
[5] Jorion, P. [2001], Value at Risk : The new Benchmark for Controlling Market Risks, deuxi`me
e
´dition, McGraw-Hill
e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-19-320.jpg)
![´
CHAPITRE 2. DEFINITION DU RISQUE
GRAPHIQUE 2.1. Les diff´rents types de risque
e
le mod`le de s´lection de portefeuille de Markowitz, l’agent maximise son esp´rance de gain pour un
e e e
niveau de risque donn´, qui est mesur´ par l’´cart-type.
e e e
Cette vision du risque n’est coh´rente que dans un monde gaussien. Cependant, nous savons depuis
e
fort longtemps que l’hypoth`se de normalit´ des rendements des actifs financiers n’est pas v´rifi´e. Ac-
e e e e
tuellement, la mesure de risque qui est la plus r´pandue est la valeur en risque (Value-at-Risk ou VaR).
e
Statistiquement, ce n’est rien d’autre que le quantile α de la perte potentielle pour un horizon donn´. e
Soit ϑ la variable al´atoire repr´sentant la perte potentielle. Notons F la distribution de probabilit´ de
e e e
ϑ. Nous avons
VaR = F−1 (α) (2.1)
Deux ´l´ments sont donc d´terminants pour calculer la valeur en risque : la distribution de probabilit´
ee e e
et le seuil de confiance.
Rating R´glementaire (march´)
e e BBB A AA AAA
α 99% 99.75% 99.9% 99.95% 99.97%
Temps de retour 100 jours 400 jours 4 ann´es
e 8 ann´es
e 13 ann´es
e
Φ−1 (α) 2.33 2.81 3.09 3.29 3.43
t−1 (α)
4 3.75 5.60 7.17 8.61 9.83
La perte moyenne E [ϑ] est d´sign´e par le terme expected loss. Dans le risque de march´, le capital
e e e
en risque (Capital-at-Risk ou CaR) correspond ` la valeur en risque. Dans le risque de cr´dit, il est ´gal
a e e
a
` la diff´rence entre le quantile et la perte moyenne — cette diff´rence est appel´e la perte exceptionelle
e e e
(unexpected loss). Dans ce dernier cas, on suppose que les marges (et les provisions) couvrent la perte
moyenne. Enfin, il nous faut d´finir aussi la charge en capital (capital charge) qui est fonction du
e
capital en risque. Cette charge en capital correspond au montant effectif de fonds propres immobilis´s e
pour assurer l’op´ration.
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 12](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-22-320.jpg)
![´
CHAPITRE 2. DEFINITION DU RISQUE
GRAPHIQUE 2.2. Repr´sentation graphique de la valeur en risque
e
2.3 L’optimisation du couple rentabilit´/risque
e
Il est difficile de finir ce chapitre consacr´ au risque sans ´voquer la rentabilit´. Car le but d’une banque,
e e e
ce n’est pas de prendre le moins de risque possible, mais d’atteindre une rentabilit´ maximale pour un
e
risque donn´.e
La mesure des risques va permettre de calculer les fonds propres n´cessaires pour assurer chaque
e
op´ration financi`re. C’est donc un outil qui a plusieurs vocations. Il permet bien sˆr de dimensionner les
e e u
risques encourus en fonction du montant de ces fonds propres. Mais c’est aussi un outil indispensable pour
calculer des mesures de performances. Au niveau global, la mesure de performance la plus utilis´e est le
e
rendement des fonds propres (Return on Equity ou ROE). A des niveaux beaucoup plus fins (jusqu’au
niveau transactionel), les banques utilisent des mesures de performance ajust´e du risque (risk-adjusted
e
performance measure ou RAPM). Par exemple, le rapport du rendement esp´r´ sur le capital en risque
ee
est une mesure RAPM.
Il est donc important de consid´rer la mesure des risques non pas uniquement comme un outil r´glementaire,
e e
mais comme un outil strat´gique de d´cision pour la banque, car
e e
[...] la gestion d’une banque consiste en une gestion globale et coordonn´e, sous
e
contraintes internes et externes, de la rentabilit´ et des risques li´s aux activit´s de
e e e
´
l’´tablissement (Augros et Queruel [2000]).
e
Bibliographie
[1] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1997], Thinking coherently, Risk magazine, 10,
November, 68-71
[2] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1999], Coherent measures of risk, Mathematical
Finance, 9, 203-228
´
[3] Augros, J-C. et M. Queruel [2000], Risque de Taux d’Int´rˆt et Gestion Bancaire, Economica,
ee
Paris
´
2.3. L’OPTIMISATION DU COUPLE RENTABILITE/RISQUE 13](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-23-320.jpg)
![[4] Guldimann, Til. [1994], RiskMetricsT M Technical Document, 2nd edition, J.P. Morgan, New York
[5] Markowitz, H.M. [1987], Mean-Variance Analyses in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil
Blackwell, Oxford](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-24-320.jpg)
![3
Le nouvel Accord de Bˆle et le ratio McDonough
a
3.1 Les fonds propres
Voici le bilan simplifi´ d’une banque
e
ACTIF PASSIF
Actifs immobilis´s
e Fonds propres
Cr´dits et prˆts
e e Dette
titres (portfeuilles de n´gociation, de placement et d’investissement)
e D´pˆts
e o
Tr´sorerie
e
Les fonds propres (ou le capital) sont un ´l´ments du passif d’une banque. Ils regroupent :
ee
– Les actions ordinaires et les certificats d’investissement,
– les r´serves,
e
– le r´sultat non distribu´,
e e
– etc.
Les autres ´l´ments du passif d’une banque sont les d´pˆts, l’´pargne des m´nages, ainsi que les dettes.
ee e o e e
A l’actif, nous trouvons les cr´dits et les prˆts aux m´nages et aux entreprises, les services, le portefeuille
e e e
de titres, etc.
Le rˆle des fonds propres est triple (Dubernet [1997]) :
o
1. Les fonds propres sont n´cessaires ` la croissance.
e a
Les fonds propres sont le moteur de l’activit´ de la banque. A cause des contraintes externes
e
(par exemple, la r´glementation) et internes (impos´es par exemple par les actionnaires), ces fonds
e e
propres dimensionnent le risque de la banque, et donc l’activit´ de la banque. La croissance de
e
l’´tablissement financier d´pend donc de l’´volution de son capital.
e e e
2. Les fonds propres sont une garantie vis-`-vis des cr´anciers.
a e
Ils servent ` garantir l’activit´ de la banque. En particulier, ils doivent permettre d’absorber les
a e
fortes pertes dues ` des ´l´ments ´xog`nes et/ou inattendus :
a ee e e
– Crise russe (risque pays — d´faut de paiement),
e
– Crise asiatique (implosion des syst`mes bancaires),
e
– Crise immobili`re (krach sp´culatif),
e e
– etc.](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-25-320.jpg)
![ˆ
CHAPITRE 3. LE NOUVEL ACCORD DE BALE ET LE RATIO MCDONOUGH
Ainsi plus leur niveau est ´lev´, plus la banque pr´sente des gages de solidit´ (` activit´ bancaire
e e e e a e
constante). Ces fonds propres sont un des ´l´ments de notation de la banque (rating), note qui
ee
conditionne le coˆt des ressources (de tr´sorerie et de long terme).
u e
3. Les fonds propres sont les ressources les plus ch`res (exigence de rentabilit´).
e e
Puisque les fonds propres permettent de couvrir les risques, ils sont r´mun´r´s. Le taux de r´mun´ration
e ee e e
est appel´ Return on Equity ou ROE. L’objectif de la banque est donc d’offrir le ROE le plus
e
´lev´ ` ses actionnaires (prendre le moins de risque et d´gager la plus de r´sultat net). Actuellement,
e ea e e
celui-ci varie fortement d’un ´tablissement financier ` un autre avec une moyenne autour de 15%.
e a
Notons que celui-ci a une influence tr`s importante sur la valeur de march´ de la banque (Market
e e
Value Added ou MVA) et conditionne (partiellement) la croissance externe (OPA, OPE, fusion,
etc.) de l’´tablissement financier.
e
3.2 Le ratio Cooke
En 1988, le Comit´ de Bˆle propose un ratio international de solvabilit´ qui doit permettre
e a e
– une meilleure ad´quation des fonds propres par rapport aux risques
e
– de renforcer la solidit´ et la stabilit´ du syst`me bancaire,
e e e
– et d’att´nuer les in´galit´s concurrentielles entre les banques.
e e e
C’est le fameux ratio Cooke (du nom du pr´sident du Comit´ de Bˆle de l’´poque) qui correspond au
e e a e
rapport entre le montant des fonds propres et celui des encours (pond´r´s) EPC de cr´dit. Plusieurs
ee e
niveaux de fonds propres sont d´finis :
e
1. Les fonds propres de base FP1 ou “noyau dur” (TIER 1).
2. Les fonds propres compl´mentaires FP2 (TIER 2).
e
3. Les fonds propres surcompl´mentaires FP3 (TIER 3).
e
Les fonds propres de base correspondent au capital et aux r´serves. Les fonds propres compl´mentaires
e e
sont plus difficiles ` d´finir, mais sont principalement constitu´s par des emprunts subordonn´s. Selon
a e e e
l’Accord de Bˆle (Basle Accord), les ´tablissements financiers doivent respecter les contraintes sui-
a e
vantes :
FP2 ≤ FP1
FP1 / EPC ≥ 4%
(FP1 + FP2 ) / EPC ≥ 8% (ratio Cooke)
Les encours pond´r´s de cr´dit concerne le bilan et le hors bilan et les pond´rations sont les suivantes
ee e e
(Bessis [1995]) :
– 0% pour les cr´ances sur des Etats de l’OCDE,
e
– 20% pour les cr´ances sur les banques et les collectivit´s locales d’Etats de l’OCDE ;
e e
– 50% pour les cr´ances garanties par une hypoth`que ou cr´dit bail immobilier ;
e e e
– 100% pour tous les autres ´l´ments d’actifs, dont les cr´dits ` la client`le.
ee e a e
L’Accord de Bˆle a ´t´ adopt´ par le Parlement Europ´en en 1993. La r´glementation a ´volu´e progressi-
a ee e e e e e
vement pour prendre en compte les risques de march´. Contrairement au risque de cr´dit, deux approches
e e
existent pour calculer les risques de march´. La premi`re approche est une m´thode forfaitaire, alors
e e e
que la seconde approche autorise les banques ` utiliser un mod`le interne. L’id´e principale est d’inciter
a e e
les banques ` construire des mod`les robustes pour calculer les risques de march´ et donc d’obtenir des
a e e
exigences en fonds propres beaucoup plus r´alistes.
e
Remarque 1 Le site internet de la Reserve Bank of New Zeland contient un exemple complet de calcul
des ratios TIER 1 et TIER 2. Le lien direct est
http ://www.rbnz.govt.nz/banking/regulation/0091769.html
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 16](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-26-320.jpg)
![ˆ
CHAPITRE 3. LE NOUVEL ACCORD DE BALE ET LE RATIO MCDONOUGH
3.3 Bˆle II et le nouveau ratio de solvabilit´
a e
Le Comit´ de Bˆle a publi´ le 16 janvier 2001 le second document consultatif pour une r´forme (en
e a e e
profondeur) de la r´glementation prudentielle. Celui-ci fait suite ` la publication en juin 1999 d’un premier
e a
document consultatif et aux diverses r´actions de la profession. Dans le calendrier original de la r´forme,
e e
une seconde p´riode consultative devait avoir lieu jusqu’au 31 mai 2001 pour permettre la r´daction finale
e e
du nouvel Accord pour fin 2001. L’impl´mentation de celui-ci ´tait pr´vu pour janvier 2004.
e e e
Le calendrier original est actuellement retard´, et l’impl´mentation n’est d´sormais pr´vue qu’en 2005
e e e e
pour plusieurs raisons :
– Le Comit´ de Bˆle n’est pas satisfait des r´ponses fournies par les banques aux questionnaires QIS
e a e
(Quantitative Impact Study).
– La calibration aux donn´es s’av`re difficile.
e e
– Il existe des d´saccords importants entre le Comit´ de Bˆle et les associations de banques (par
e e a
exemple, sur la part du risque op´rationnel).
e
– Enfin, plusieurs questions m´thodologiques ne sont pas r´solues.
e e
Les motivations du nouvel Accord sont multiples. La premi`re d’entre elle est la modification de l’as-
e
siette des risques :
FP1 + FP2
≥ 8%
risque de cr´dit + risque op´rationnel + risque de march´
e e e
L’assiette des risques int´gre d´sormais le risque op´rationnel. Dans la version de janvier 2001,
e e e
le Comit´ de Bˆle proposait la r´partition suivante de la charge en fonds propres
e a e
Type de risque Exigence en FP R´partition
e
Cr´dit
e 6% 75%
March´ e 0.4% 5%
Op´rationnel
e 1.6% 20%
Total 8% 100%
La seconde motivation de l’Accord est de rapprocher la r´glementation des pratiques en vigueur dans
e
l’industrie pour le pilotage des risques, afin que l’exigence en fonds propres sont plus sensible au risque r´el
e
(more risk sensitive) de la banque. A terme, l’id´e est d’autoriser les banques, sous certaines conditions,
e
d’utiliser les mod`les internes pour mesurer le risque de cr´dit et le risque op´rationnel, comme cela se
e e e
fait d´j` pour le risque de march´.
ea e
[...] Le renforcement de l’´galit´ des conditions de concurrence et le meilleur alignement des
e e
exigences de fonds propres sur les risques sous-jacents sont [...] deux finalit´s importantes du
e
futur dispositif. [...] Le nouveau ratio permettra non seulement de faire converger le capital
r´glementaire — souci des autorit´s de contrˆle — et le capital ´conomique — souci des
e e o e
´tablissements — mais aussi, au-del` des exigences de fonds propres, de poser un v´ritable
e a e
cadre prudentiel pour le contrˆle bancaire des prochaines ann´es (Pujal [2001]).
o e
Le nouveau dispositif se d´compose en trois piliers :
e
1. First Pillar : Minimum Capital Requirement
2. Second Pillar : Supervisory Review Process
3. Third Pillar : Market Discipline
Le premier pilier concerne l’exigence minimale en fonds propres. Le traitement du risque de march´ e
reste inchang´. Le traitement du risque de cr´dit est revu en profondeur. Trois m´thodes sont d´sormais
e e e e
possibles pour mesurer le risque de cr´dit :
e
– L’approche standardis´e est une version actualis´e de l’approche r´glementaire actuelle. En parti-
e e e
culier, la classification est beaucoup plus fine et la notation externe (rating) est prise en compte.
ˆ ´
3.3. BALE II ET LE NOUVEAU RATIO DE SOLVABILITE 17](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-27-320.jpg)
![Depuis la publication du second document consultatif, la position du Comit´ de Bˆle a ´volu´ :
e a e e
– Les risques op´rationnels pourraient repr´senter moins de 20% de l’exigence en fonds propres.
e e
– L’approche IMA est remplac´e par l’approche AMA (Advanced Measurement Approach)
e
qui pourrait ˆtre compos´e de plusieurs m´thodes (IMA, ScoreCard, LDA, etc.). Il n’est donc
e e e
pas exclu que le Comit´ de Bˆle autorise l’utilisation des mod`les internes LDA.
e a e
Le second pilier concerne le processus de surveillance. Les autorit´s de contrˆle (la Commission Bancaire
e o
en France) disposeront d’un pouvoir beaucoup plus important. Enfin, le troisi`me pilier vise ` promouvoir
e a
une discipline de march´ plus efficace (communication publique de la structure du capital, de l’allocation
e
de fonds propres, de l’exposition aux risques et des pertes).
Bibliographie
[1] International convergence of capital measurement and capital standards, Basle Committee on Banking
Supervision, July 1988, N◦ 4
[2] Capital Adequacy Directive (CAD), directive 93/6/CEE du CONSEIL du 15 mars 1993 sur
l’ad´quation des fonds propres des entreprises d’investissement et des ´tablissements de cr´dit, Journal
e e e
Officiel des Communaut´s Europ´ennes, N◦ L 141/1-26
e e
[3] Amendment to the capital accord to incorporate market risks, Basle Committee on Banking Supervi-
sion, January 1996, N◦ 24
[4] A new capital adequacy framework, Basle Committee on Banking Supervision, June 1999, N◦ 50
[5] The New Basel Capital Accord — Consultative Document, Basle Committee on Banking Supervision,
January 2001
[6] Overview of The New Basel Capital Accord — Consultative Document, Basle Committee on Banking
Supervision, January 2001
[7] The New Basel Capital Accord : an explanatory note — Consultative Document, Basle Committee
on Banking Supervision, January 2001
[8] Basel part one : the new Accord, Risk Magazine, 14, February, 24-29
[9] The new Accord delayed, Risk Magazine, 14, July, 29-31
[10] Bessis, J. [1995], Gestion des Risques et Gestion Actif-Passif des Banques, Dalloz, Paris
[11] Dubernet, M. [1997], Gestion Actif-Passif et Tarification des Services Bancaires, Economica, Paris
[12] Pujal, A. [2001], Un nouveau ratio de solvabilit´ en 2004, Banque Magazine, 622, F´vrier, 36-39
e e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-29-320.jpg)
![CHAPITRE 4. LA NOTION DE CAPITAL ECONOMIQUE ET L’ALLOCATION DE FONDS PROPRES
Plusieurs questions se posent alors :
– Comment d´cider la r´alisation ou non d’une op´ration ?
e e e
– Comment choisir entre deux op´rations ?
e
– Que faire lorsque l’enveloppe allou´e est enti`rement consomm´e ?
e e e
Nous voyons bien que dans ce contexte le principe de “premier arriv´, premier servi” ne
e
tient plus.
Une premi`re approche consid`re le principe d’Euler. Soit un portefeuille avec un vecteur de strat´gie
e e e
u. Notons R la mesure de risque et K le vecteur de capital ´conomique. Nous pouvons alors d´finir une
e e
mesure de performance raisonnable par (Tasche [1999], th´or`me 4.4) :
e e
a (u) = ∂u R (u) (4.1)
Le capital ´conomique est alors d´fini par K = (Ki (u)) avec
e e
ui
Ki (u) ≡ ai (u)
R (u)
ui
= ∂u R (u) (4.2)
R (u)
Dans le cas d’une mesure de risque de type Value-at-Risk gaussienne, nous retrouvons le principe de
covariance. Une deuxi`me approche consid`re l’´galisation des mesures de performance ajust´e du risque
e e e e
(RAPM) :
1. Roc (return on regulatory capital)
2. Rorac (return on risk-adjusted capital)
3. Raroc (risk-adjusted return on regulatory capital)
4. Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital)
Par exemple, la mesure RORAC est d´finie par
e
Revenu net
RORAC = (4.3)
Capital ´conomique
e
L’id´e sous-jacente est alors de comparer cette mesure ` une cible, et seuls les projets qui pr´sentent des
e a e
performances sup´rieures ` cette cible seront retenus.
e a
Consid´rons M activit´s relativement ind´pendantes. Notons Km le capital ´conomique allou´ ` la m-
e e e e ea
i`me activit´. Soit ϕ (K) la fonction qui relie le capital ´conomique et le RORAC. C repr´sente le capital
e e e e
de la banque. Nous pouvons alors formaliser le probl`me d’allocation de la fa¸on suivante :
e c
K1 + . . . + KM ≤ C
(4.4)
ϕm (Km ) = ϕm (Km )
A moins de consid´rer l’ind´pendance entre les diff´rentes activit´s (ou de faire des hypoth`ses simplifi-
e e e e e
catrices), l’approche bottom-up est difficile ` utiliser pour faire un v´ritable exercice d’allocation de fonds
a e
propres. En fait, cette approche est beaucoup plus appropri´e pour suivre la consommation de fonds
e
propres, et ` posteriori pour mesurer la v´ritable rentabilit´ de chaque activit´.
a e e e
4.3.2 L’approche top-down
Contrairement ` l’approche bottom-up qui consiste ` consolider le risque du portefeuille bancaire depuis
a a
le niveau ´l´mentaire (la transaction) jusqu’` l’unit´ d’allocation (la ligne de m´tier), l’approche top-
ee a e e
down consiste ` d´sagr´ger une information mesur´e sur l’ensemble du portefeuille bancaire, celle-ci ´tant
a e e e e
utilis´e comme un proxy pour la mesure de risque.
e
Concr`tement, selon la m´thodologie EaR (Earnings-at-Risk) usuellement mise en œuvre dans ce
e e
contexte, le risque d’une activit´ est directement reli´ ` la volatilit´ de son r´sultat. De ce point de vue,
e ea e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 22](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-32-320.jpg)
![la volatilit´ est per¸ue comme un int´grateur de l’ensemble des risques associ´s ` cette activit´.
e c e e a e
Cette d´marche est une ´tape pr´liminaire naturelle de l’allocation puisqu’elle adopte le point de vue
e e e
de l’actionnaire qui investit son capital dans diff´rentes activit´s bancaires assimil´es ` autant d’actifs
e e e a
financiers. C’est donc une m´thode proche de la th´orie du portefeuille, mais avec des particularit´s li´es
e e e e
a
` l’activit´ bancaire.
e
Remarque 2 Vous trouverez un exemple de m´thode top-down dans l’article de Baud, Frachot, Igi-
e
gabel, Martineu et Roncalli [1999].
Bibliographie
[1] Baud, N., A. Frachot, P. Igigabel, P. Martineu et T. Roncalli [1999], An Analysis Framework
for Bank Capital Allocation, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper
e e
[2] Denault, M. [1999], Coherent allocation of risk capital, Swiss Federal Institute of Technology, Wor-
king Paper
[3] Froot, K.A. et J.C. Stein [1998], Risk management, capital budgeting, and capital structure policy
for financial institutions : an integrated approach, Journal of Financial Economics, 47, 55-82
[4] Punjabi, S. [1998], Many happy returns, Risk, June, 71-76
[5] Tasche, D. [1999], Risk contributions and performance measurement, Zentrum Mathematik, TU
M¨nchen, Working Paper
u](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-33-320.jpg)
![5
La r´glementation prudentielle
e
Le d´veloppement des march´s financiers dans les ann´es 80 et surtout dans les ann´es 90, a conduit
e e e e
les autorit´s de contrˆle bancaire et les autorit´s de march´ ` prendre un certain nombre de d´cisions
e o e e a e
pour r´guler ces march´s. En particulier, ces d´cisions ont concern´ fortement les risques de march´.
e e e e e
Actuellement, ils existent plusieurs textes r´glementaires relatifs ` ce sujet. Nous pouvons citer par
e a
exemple celui de la Commission Bancaire dat´ du 3 Novembre 1997 et celui de la CAD [1]. Ces textes
e
r´glementaires ont eu pour effet de pousser les ´tablissements financiers ` d´velopper des mod`les internes
e e a e e
de mesure de risque.
Avant de situer les enjeux pour une banque, nous devons pr´ciser dans un premier temps la notion de
e
risque de march´. Celui-ci est pr´sent´ de la mani`re suivante dans le texte de la Commission Bancaire
e e e e
(r´f´rence [3], section 1) :
ee
Le risque de march´, d´fini comme le risque de pertes sur les positions du bilan et du hors-
e e
bilan ` la suite de variations des prix de march´, recouvre :
a e
– Les risques relatifs aux instruments li´s aux taux d’int´rˆt et titres de propri´t´ du porte-
e ee ee
feuille de n´gociation ;
e
– Le risque de change et le risque sur produits de base encourus pour l’ensemble de l’activit´
e
de bilan et hors-bilan.
Nous remarquons tout de suite le caract`re potentiel de la perte induit par cette d´finition. Et nous
e e
voyons aussi que le p´rim`tre consid´r´ est relativement large. Nous devons noter tout de mˆme que cette
e e ee e
perte doit ˆtre li´e ` des possibles variations de prix de march´.
e e a e
De la mˆme mani`re que pour le risque de cr´dit, les exigences de fonds propres relatives aux risques
e e e
de march´ s’appliquent sur une base consolid´e. Pour les mesurer, les ´tablissements ont le choix entre
e e e
deux types d’approches :](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-37-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
1. l’approche standard pr´sent´e dans les diff´rentes annexes du document [3]. Celles-ci concernent les
e e e
cat´gories suivantes de risques et sont additionn´es de mani`re arithm´tique ;
e e e e
Cat´gorie de risque
e P´rim`tre de calcul
e e
Risque de Taux Portefeuille de n´gociation
e
(risque g´n´ral et risque sp´cifique)
e e e
Risque sur Titres de Propri´t´
ee Portefeuille de n´gociation
e
(risque g´n´ral et risque sp´cifique)
e e e
Risque de Change Ensemble des op´rations qu’elles appartiennent
e
au portefeuille de n´gociation ou non
e
Risque sur mati`res premi`res
e e Ensemble des op´rations qu’elles appartiennent
e
au portefeuille de n´gociation ou non
e
Risques optionnels Options associ´es ` chacune des cat´gories de
e a e
risques pr´c´dentes
e e
2. ou l’approche mod`les internes. L’utilisation de cette m´thode, subordonn´e ` la r´alisation de
e e e a e
certaines conditions, est soumise ` l’approbation explicite du Secr´tariat G´n´ral de la
a e e e
Commission Bancaire .
Le probl`me de l’utilisation conjointe des mod`les internes et de la m´thodologie standardis´e fait l’objet
e e e e
d’un paragraphe dans l’annexe 7 du document [3]. La position de la Commission Bancaire sur ce point
est donc la suivante :
Ainsi, un ´tablissement commen¸ant ` utiliser des mod`les pour une ou plusieurs cat´gories
e c a e e
de facteurs de risque doit en principe ´tendre progressivement ce syst`me ` tous ses risques
e e a
de march´ et ne peut plus, pour les risques ´valu´s, revenir ` la m´thodologie standardis´e (`
e e e a e e a
moins que la Commission Bancaire ne lui ait retir´ son agr´ment pour ses mod`les).
e e e
La Commission Bancaire tol`re donc l’utilisation combin´e des mod`les internes et de la m´thode standar-
e e e e
dis´e. Mais elle prˆte une attention particuli`re ` la permanence des m´thodes, ainsi qu’` leur ´volution
e e e a e a e
afin de s’orienter vers un mod`le global qui tient compte de l’ensemble des risques de march´.
e e
Pour la banque, en plus de fournir une mesure plus juste des risques de march´, la construction d’un
e
mod`le interne est un projet qui permet aussi d’assainir son syst`me d’information, notamment sur le
e e
stockage et la qualit´ des donn´es. Mais le v´ritable enjeu concerne l’exigence en fonds propres. Nous
e e e
pouvons penser qu’une mesure plus r´fl´chie permet de mieux mesurer la consommation en fonds propres
e e
des activit´s de march´. Un mod`le interne est donc un ´l´ment de r´ponse dans le cadre d’un mod`le
e e e ee e e
d’allocation de fonds propres, comme peuvent l’ˆtre les outils RAROC.
e
La lecture des textes r´glementaires est int´ressante ` plusieurs titres. Elle permet de d´gager les
e e a e
crit`res d´finissant un bon mod`le selon les autorit´s r´glementaires, c’est-`-dire de d´finir les normes
e e e e e a e
de validation. Elle permet aussi de s’interroger sur les aspects m´thodologiques et le choix d’un mod`le.
e e
Elle permet enfin de repositionner les pratiques actuelles en mati`re de gestion du risque de march´ par
e e
rapport aux exigences r´glementaires.
e
5.1 Les textes officiels
Il existe plusieurs textes officiels relatifs ` la r´glementation des risques de march´. En ce qui nous
a e e
concerne, nous nous int´ressons principalement ` celui de la Commission Bancaire et celui de la CAD.
e a
Ce sont les deux textes (l’un provenant d’une autorit´ de r´glementation fran¸aise, l’autre d’une autorit´
e e c e
europ´enne) qui s’appliquent aux ´tablissements financiers fran¸ais.
e e c
La r´glementation de la Commission Bancaire a fait l’objet de plusieurs r´visions importantes qui
e e
sont pr´sent´es dans l’article [2] de la Revue d’Economie Financi`re. Dans les ann´es 80, suite ` la
e e e e a
d´r´glementation et la lib´ralisation des mouvements de capitaux, les op´rations de march´ ont connu
ee e e e
un essor consid´rable. Jusque l`, les risques de march´ ´taient relativement peu contrˆl´s. Une des
e a e e oe
cons´quences de la crise d’octobre 1987 a ´t´ la signature d’un premier accord international (l’Accord de
e ee
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 28](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-38-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
Bˆle) sur le risque bancaire, mais celui-ci concernait plus sp´cifiquement le risque de cr´dit, c’est-`-dire
a e e a
le risque de d´faillance de la contrepartie . Ce n’est qu’en 1993 que des m´thodes standardis´es pour
e e e
mesurer les risques de march´ ont commenc´ ` ˆtre propos´es dans le cadre du Comit´ de Bˆle, sans
e e a e e e a
encore faire l’objet d’application en termes de contrˆle . Sous la pression de certains ´v`nements mar-
o e e
quants du d´but des ann´es 1990 (en particulier, la faillite de la banque Barings), de nouveaux travaux
e e
ont vu le jour, notamment l’amendement ` l’Accord sur les fonds propres de 1988 concernant les risques
a
de march´ du comit´ de Bˆle en janvier 1996. C’est sur ce texte, ainsi que sur la directive 93/6/CEE
e e a
du Conseil de l’Union Europ´enne du 15 mars 1993, que s’appuie tr`s fortement la r´glementation de la
e e e
Commission Bancaire.
Les institutions financi`res ont la possibilit´ d’utiliser leurs propres mod`les internes de mesure de
e e e
risques de march´ ` la place des m´thodes standardis´es. Ces mod`les internes doivent cependant ˆtre
ea e e e e
valid´s par l’autorit´ de tutelle, c’est-`-dire qu’ils doivent respecter des normes qualitatives et des crit`res
e e a e
qualitatifs et quantitatifs. Nous d´veloppons ceux-ci dans les paragraphes qui suivent.
e
5.2 Les normes g´n´rales
e e
Les mod`les internes doivent remplir les conditions minimales suivantes (section 1 de l’annexe 7 du
e
document [3]) :
– le syst`me de gestion des risques de l’´tablissement repose sur des principes sains et mis en œuvre
e e
de mani`re int`gre ;
e e
– l’´tablissement poss`de en nombre suffisant de personnel qualifi´ pour l’utilisation de mod`les
e e e e
´labor´s non seulement dans le domaine de la n´gociation, mais aussi dans ceux du contrˆle des
e e e o
risques, de l’audit interne et, du postmarch´ ;
e
– les mod`les de l’´tablissement ont fait la preuve sur une dur´e significative qu’ils mesurent les risques
e e e
avec une pr´cision raisonnable ;
e
– l’´tablissement effectue r´guli`rement des simulations de crise selon les modalit´s pr´cis´es ` la
e e e e e e a
section 5.5.3.
Dans la mˆme section, la Commission Bancaire pr´cise la proc´dure de soumission du mod`le et les
e e e e
modalit´s d’utilisation :
e
L’utilisation des mod`les internes pour le calcul de l’exigence prudentielle en fonds propres
e
est soumise ` l’approbation pr´alable de la Commission Bancaire, apr`s une p´riode
a e e e
de suivi et de test en situation r´elle.
e
5.3 Les crit`res qualitatifs
e
Les syst`mes de gestion des risques de march´ doivent respecter certains crit`res qualitatifs. Les
e e e
cons´quences sont relativement importantes, puisque le degr´ de conformit´ ` ces crit`res peut condi-
e e ea e
tionner le niveau du multiplicateur. Seuls les ´tablissements les respectant int´gralement pourront
e e
pr´tendre au multiplicateur minimal. Ce multiplicateur (qui correspond au (3 + ξ) de la formule 5.1
e
page 31) intervient dans le calcul de l’exigence de fonds propres et doit ˆtre consid´r´ comme un pa-
e ee
ram`tre de p´nalisation.
e e
L’ensemble des crit`res qualitatifs est pr´sent´ dans le paragraphe 2 de l’annexe 7 du document [3].
e e e
Nous pr´sentons ici un r´sum´ de ces diff´rents crit`res :
e e e e e
a. L’´tablissement financier doit disposer d’une unit´ de contrˆle des risques, responsable de la
e e o
configuration et de l’exploitation du syst`me de gestion des risques, ind´pendante des unit´s de
e e e
n´gociation. Elle doit ´tablir et analyser des rapports quotidiens sur les r´sultats produits
e e e
par les mod`les ainsi qu’une ´valuation de l’utilisation des limites de n´gociation et rend compte
e e e
directement ` l’organe ex´cutif de l’´tablissement.
a e e
b. Cette unit´ doit effectuer r´guli`rement ( au moins trimestriellement ) des contrˆles ex-post.
e e e o
´ ´
5.2. LES NORMES GENERALES 29](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-39-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
c. L’organe d´lib´rant et l’organe ex´cutif doivent ˆtre activement associ´s au processus de contrˆles
e e e e e o
des risques et le consid´rer comme un aspect essentiel de l’activit´ de l’´tablissement.
e e e
d. Les rapports quotidiens doivent ˆtre revus par des responsables disposant de l’expertise et de
e
l’autorit´ suffisantes pour exiger au besoin une r´duction des positions prises par un op´rateur
e e e
voire une diminution du degr´ d’exposition global de la banque.
e
e. Les mod`les internes doivent ˆtre ´troitement int´gr´s ` la gestion journali`re des risques.
e e e e e a e
f. Le syst`me de mesure des risques doit ˆtre utilis´ conjointement avec les limites op´rationnelles.
e e e e
g. Un programme rigoureux de simulations de crise doit r´guli`rement compl´ter l’analyse des
e e e
risques fond´e sur les r´sultats quotidiens des mod`les internes. Lorsque ses conclusions font ap-
e e e
paraˆıtre une vuln´rabilit´ particuli`re ` un ensemble donn´ de circonstances, des mesures appro-
e e e a e
pri´es doivent ˆtre prises rapidement pour r´duire ces risques.
e e e
h. Les ´tablissements doivent disposer d’un programme de v´rification du respect des r`gles
e e e
et proc´dures internes relatives au fonctionnement du syst`me de mesure des risques. Ce syst`me
e e e
fait l’objet d’une documentation d´crivant les principes de base et le d´tail des techniques de
e e
mesure utilis´es.
e
i. Une analyse ind´pendante du syst`me de mesure des risques doit ˆtre effectu´e r´guli`rement
e e e e e e
dans le cadre du processus d’un audit interne de l’´tablissement. Elle doit porter ` la fois sur les
e a
activit´s des unit´s de n´gociation et sur celles de l’unit´ ind´pendante de contrˆle des
e e e e e o
risques. R´alis´e ` intervalles r´guliers, si possible annuellement, elle doit couvrir au minimum :
e e a e
– le caract`re ad´quat de la documentation concernant le syst`me et les processus de mesure des
e e e
risques ;
– l’organisation de l’unit´ de contrˆle des risques ;
e o
– l’int´gration des mesures des risques de march´ dans la gestion journali`re des risques ;
e e e
– les proc´dures d’agr´ment des mod`les et syst`mes de valorisation ;
e e e e
– la validation de toute modification significative du processus de mesure des risques ;
– la couverture par le mod`le des diff´rents risques de march´ ;
e e e
– la fiabilit´ et l’int´grit´ du syst`me d’information et des tableaux de bord destin´s aux respon-
e e e e e
sables ;
– la pr´cision et l’exhaustivit´ des donn´es relatives aux positions ;
e e e
– le contrˆle de la coh´rence, de la mise ` jour et de la fiabilit´ des donn´es utilis´es dans les
o e a e e e
mod`les internes ainsi que de l’ind´pendance des sources ;
e e
– l’exactitude et la pertinence des hypoth`ses en mati`re de volatilit´ et corr´lations ;
e e e e
– la v´rification de la pr´cision des mod`les par le biais d’analyses ex-post fr´quentes.
e e e e
Plusieurs commentaires peuvent ˆtre faits sur ces crit`res qualitatifs. Tout d’abord, la Commission
e e
Bancaire insiste fortement sur l’organisation du syst`me des risques et notamment sur l’unit´ de contrˆle.
e e o
Sans fournir la structure d´sir´e du syst`me, elle indique des signaux forts pour l’unit´ de contrˆle
e e e e o
concernant son ind´pendance, son pouvoir et sa comp´tence. La Commission Bancaire insiste aussi
e e
sur la transparence des mod`les. Ils doivent notamment faire l’objet d’une description ´crite d´taill´e et
e e e e
doivent ˆtre aliment´s par des bases de donn´es fiables.
e e e
5.4 Les crit`res quantitatifs
e
Le choix des mod`les est laiss´ aux ´tablissements financiers. Mais ils doivent respecter un certain
e e e
nombre de r`gles, qui sont d´crites dans le paragraphe 5 de l’annexe 7 du document [3] :
e e
1. La perte potentielle est calcul´e quotidiennement.
e
2. Le niveau de confiance unilat´ral requis est de 99%.
e
3. Il est appliqu´ un choc instantan´ sur les prix ´quivalent ` une variation sur dix jours correspondant
e e e a
a
` une p´riode de d´tention de dix jours ouvr´s.
e e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 30](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-40-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
la Commission Bancaire est assez impr´cise concernant le cinqui`me point. Elle ne pr´cise pas ce qui est
e e e
consid´r´ comme un accroissement notable de la volatilit´. L’appr´ciation est laiss´e ` la discr´tion de
ee e e e a e
l’unit´ de contrˆle.
e o
5.5 Autres consid´rations
e
Dans ce paragraphe, nous pr´sentons des points particuliers relatifs aux facteurs de march´, au risque
e e
sp´cifique et aux simulations de crise.
e
5.5.1 D´finition des facteurs de risque de march´
e e
D’une mani`re g´n´rale, les grandes cat´gories de facteurs concernent :
e e e e
Les taux d’int´rˆt ;
ee
Les cours de change ;
Les prix des titres de propri´t´ et de produits de base1 ;
ee
La volatilit´ des options correspondantes.
e
Plus pr´cis´ment, la commission Bancaire propose de d´finir les facteurs de risque comme les param`tres
e e e e
de march´ qui affectent la valeur des positions de n´gociation de l’´tablissement et propose un certain
e e e
nombre de recommandations :
1. Pour les taux d’int´rˆt, un ensemble de facteurs de risque doit exister pour chaque monnaie.
ee
– La mod´lisation de la courbe des taux doit faire intervenir plusieurs bandes de maturit´,
e e
afin d’appr´hender la variation de la volatilit´ des taux tout au long de l’´ch´ancier ; ` chaque
e e e e a
bande correspond au moins un facteur de risque.
– Le syst`me de mesure doit inclure des facteurs distincts destin´s ` saisir le risque li´ aux
e e a e
´carts de taux entre types d’instruments et/ou cat´gories d’´metteurs.
e e e
2. Pour les cours de change, on doit pr´voir
e des facteurs correspondant au cours contre monnaie
nationale de chaque devise.
3. Les facteurs de risque doivent exister pour chacun des march´s de titres de propri´t´. Au minimum,
e ee
un facteur de risque doit appr´hender les fluctuations des prix d’un march´ donn´ (indice de march´).
e e e e
Une m´thode plus d´taill´e consiste ` d´finir des facteurs de risque correspondant aux diff´rents
e e e a e e
secteurs du march´. L’approche la plus compl`te consiste ` retenir comme facteurs de risque les
e e a
titres sp´cifiques.
e
4. Pour les produits de base, un facteur de risque unique peut ˆtre admis lorsque les positions sont
e
faibles. En cas d’activit´ plus importante, les mod`les doivent tenir compte des diff´rences entre
e e e
qualit´s du mˆme produit et maturit´s.
e e e
5. Pour les options, on doit tenir compte de facteurs de risque appr´hendant la volatilit´ des taux/prix/-
e e
cours sous-jacents. Lorsque les positions sont importantes ou lorsque l’actif conditionnel est com-
plexe, on doit utiliser des volatilit´s diff´renci´es en fonction des ´ch´ances et le cas ´ch´ant des
e e e e e e e
prix d’exercice.
Ce dernier point est important, puisque la Commission Bancaire pr´cise comment doit ˆtre pris en
e e
compte le risque de volatilit´. D’une mani`re g´n´rale, l’aspect volatility skew 2 doit ˆtre int´gr´ dans
e e e e e e e
1 Les risques de march´ concernent aussi les produits sur mati`res premi`res. Cela apparaˆ clairement dans l’actualisation
e e e ıt
du 31 d´cembre 1998 (r´f´rence [4]) :
e ee
Enfin, par instruments sur produits de base, il faut comprendre tous contrats ` terme ou d’´change,
a e
toutes options achet´es ou tous produits d´riv´s similaires ayant pour sous-jacents des contrats sur produits
e e e
´nerg´tiques, productions agricoles ou m´taux non ferreux (par exemple aluminium, cuivre et zinc), ainsi que
e e e
les autres m´taux non pr´cieux.
e e
2 La notion de volatility skew (ou volatility smile) correspond au fait que la volatilit´ implicite des options de mˆme
e e
maturit´ n’est pas constante et qu’elle d´pend des prix d’exercice. Si nous repr´sentons sur un graphe la volatilit´ en
e e e e
fonction du prix d’exercice, nous obtenons une courbe qui ressemble souvent ` un sourire.
a
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 32](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-42-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
le mod`le. Il est aussi int´ressant de remarquer la construction du troisi`me point. A sa lecture, la
e e e
meilleure m´thode consisterait ` prendre en compte la totalit´ des prix de titres pour d´finir les facteurs
e a e e
de risque. Cependant, ce type d’approche pose des probl`mes statistiques importants li´s ` la th´orie de
e e a e
convergence des estimateurs, de telle sorte que, concr`tement, une application ` la lettre du point 3 peut
e a
ˆtre dangereuse.
e
5.5.2 Traitement du risque sp´cifique
e
Nous rappelons que le risque sp´cifique vise ` tenir compte du risque de contrepartie li´ ` l’´metteur
e a ea e
de l’instrument (document [2], page 9). Les mod`les internes, qui prennent en compte ce risque sp´cifique,
e e
doivent satisfaire les crit`res suivants :
e
– Le mod`le est apte ` expliquer ex ante les variations historiques des valeurs du portefeuille,
e a
– il fournit la preuve de sa sensibilit´ au risque de concentration dans la composition du portefeuille,
e
– sa fiabilit´ de fonctionnement demeure bonne dans un environnement adverse,
e
– la qualit´ de ses performances est justifi´e par un contrˆle ex-post (backtesting),
e e o
– la m´thodologie sous-jacente doit ˆtre en mesure de prendre en compte le risque d’´v´nements
e e e e
impr´visibles (OPA, OPE, etc.) ainsi que le risque de d´faillance de l’´metteur.
e e e
La cons´quence imm´diate de la non prise en compte du risque sp´cifique dans le mod`le est que
e e e e
... les exigences de fonds propres pour la couverture du risque sp´cifique feront l’objet
e
d’une surcharge en capital.
Le mode de calcul de l’exigence de fonds propres est relativement peu clair dans ce cas (voir page 53 du
document [3]). N´anmoins, la Commission bancaire fournit la formule suivante :
e
– soit 3×(VaR globale) + (VaR risque sp´cifique du portefeuille global),
e
– soit 3×(VaR globale) + (VaR des sous-portefeuilles contenant du risque sp´cifique).
e
Il est difficile de faire le lien entre cette formule et la formule (5.1). Dans l’actualisation du 31 d´cembre
e
1998 (r´f´rence [4]), la Commission Bancaire est encore moins pr´cise sur le risque sp´cifique puisque le
ee e e
paragraphe traitant de ce sujet se r´duit ` “une peau de chagrin”. N´anmoins, nous pouvons penser que
e a e
le coefficient 3 est en fait le coefficient multiplicatif 3 + ξ. En notant VaR sp la VaR du risque sp´cifique
e
(c’est-`-dire la VaR risque sp´cifique du portefeuille global ou la VaR des sous-portefeuilles contenant du
a e
risque sp´cifique), il est possible que la vraie formulation soit
e
60 60
1 1
FP (t) = max P (t − 1) + VaR sp (t − 1) , (3 + ξ) × P (t − i) + VaR sp (t − i) (5.2)
60 i=1
60 i=1
Il est int´ressant de noter que la Commission Bancaire fait explicitement r´f´rence ` la VaR (Value-at-
e ee a
Risk) que nous pouvons traduire sous le terme de “valeur en risque”. Mˆme si cela n’est pas affirm´
e e
parfaitement, la m´thode interne de r´f´rence est clairement la VaR.
e ee
5.5.3 Simulations de crise
Nous rappelons que les simulations de crise font partie des normes g´n´rales d’acceptation de la m´thode
e e e
interne. C’est donc un point important dans la mise en place d’un mod`le interne. Celles-ci font d’ailleurs
e
l’objet d’un paragraphe dans le texte de la Commission Bancaire. 7 points sont alors ´voqu´s :
e e
1. Les ´tablissements... doivent se doter d’un programme de simulations de crise ` la fois ri-
e a
goureux et complet. Ces simulations, qui permettent d’identifier les ´v`nements susceptibles d’avoir
e e
une forte incidence, constituent un ´l´ment-cl´ de l’´valuation du niveau des risques.
ee e e
2. Elles doivent couvrir toute la gamme des facteurs, y compris les ´v´nements ` probabilit´ r´duite.
e e a e e
Elles doivent aussi rendre compte de l’impact de ces ´v´nements sur les produits lin´aires et non
e e e
lin´aires.
e
3. Les simulations de crise doivent revˆtir un caract`re quantitatif et qualitatif. En outre, l’´tablissement
e e e
doit dresser l’inventaire des mesures ` prendre pour r´duire ses risques et pr´server son capital. Leurs
a e e
conclusions doivent ˆtre communiqu´es syst´matiquement ` la direction g´n´rale, et p´riodiquement,
e e e a e e e
au conseil d’administration.
´
5.5. AUTRES CONSIDERATIONS 33](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-43-320.jpg)
![´
CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
4. L’exercice prudentiel consiste ` tester sur le portefeuille courant des situations pass´es de pertuba-
a e
tions majeures, en tenant compte des fortes variations de prix et de la vive r´duction de la liquidit´
e e
associ´es ` ces ´v´nements et/ou ` ´valuer la sensibilit´ des positions de march´ aux modifications
e a e e ae e e
des hypoth`ses de volatilit´ et corr´lations, ce qui n´cessite une mesure des marges de fluctuations
e e e e
de ces valeurs dans le pass´ et un calcul sur la base des chiffres extrˆmes.
e e
5. Ces sc´narios doivent notamment comprendre les situations que l’´tablissement identifie comme
e e
´tant les plus d´favorables, sur la base des caract´ristiques de son portefeuille.
e e e
6. La Commission Bancaire peut demander ` l’´tablissement d’´valuer l’impact de sc´narios qu’elle a
a e e e
d´finis et de lui communiquer l’ensemble des conclusions.
e
7. Les r´sultats doivent ˆtre revus ` intervalles r´gulier par la Direction G´n´rale et ˆtre pris en
e e a e e e e
compte dans la d´finition des limites et strat´gies fix´es. En outre, si la simulation fait apparaˆ
e e e ıtre
une vuln´rabilit´ particuli`re ` un ensemble donn´ de circonstances, l’´tablissement doit prendre
e e e a e e
rapidement les mesures n´cessaires ` une gestion ad´quate de ces risques.
e a e
Nous voyons ici l’importance de la direction g´n´rale dans le syst`me de gestion des risques. Celle-ci
e e e
doit ˆtre continuellement inform´e. Il est int´ressant de noter que le cœur du mod`le interne doit ˆtre
e e e e e
bas´ sur les ´v´nements extrˆmes. Le mod`le doit donc bien mesurer une perte potentielle, un risque
e e e e e
extrˆme. Enfin, nous devons aussi remarquer l’importance de la Commission Bancaire qui, si elle le
e
d´sire, peut intervenir et demander ` l’´tablissement de chiffrer des sc´narios.
e a e e
5.6 Dispositif prudentiel de contrˆle ex post li´ ` l’utilisation des
o ea
mod`les internes
e
Les contrˆles ex post visent ` s’assurer que le degr´ de couverture observ´ correspond
o a e e
bien au niveau de confiance de 99%. Voici quelques ´l´ments pour mener ` bien ces contrˆles :
ee a o
1. Ils sont r´alis´s ` partir des r´sultats r´els et/ou hypoth´tiques.
e e a e e e
2. Ils sont r´alis´s au moins trimestriellement et les donn´es des douze derniers mois glissants doivent
e e e
ˆtre utilis´es.
e e
Ces contrˆles permettent notamment de calculer les exceptions. Une exception correspond ` une date o`
o a u
la perte d´passe le risque calcul´ par le mod`le. La Commission Bancaire utilise le nombre d’exceptions
e e e
pour valider le mod`le et pour d´terminer le coefficient multiplicateur (3 + ξ). Elle d´finie le concept de
e e e
probabilit´ cumul´e des exceptions comme la probabilit´ d’obtenir au maximum le nombre d’exceptions
e e e
indiqu´ avec un taux de couverture effectif de 99%. Voyons de fa¸on concr`te comment le calcul est
e c e
effectu´. Si κ d´signe la variable qui prend la valeur 1 dans le cas d’une exception, alors κ est une variable
e e
1
al´atoire de Bernoulli de param`tre p = 100 (nous avons une chance sur 100 pour que κ corresponde ` une
e e a
exception lorsque le taux effectif de couverture est de 99%). Si on consid´re une p´riode [t1 , t2 ] comprenant
e e
N jours ouvr´s. Pendant cette p´riode, et sous l’hypoth`se que les ´v´nements sont ind´pendants, la
e e e e e e
probabilit´ d’avoir n exceptions est ´gale `
e e a
N −n
Pr (X = n) = CN pn (1 − p)
n
avec X la variable al´atoire correspondant au nombre d’exceptions pour la p´riode [t1 , t2 ]. X correspond
e e
N
bien sˆr ` une variable al´atoire Binomiale Bp . La probabilit´ cumul´e d’avoir n exceptions a donc pour
u a e e e
expression
n
N −i
Pr (X ≤ n) = CN pi (1 − p)
i
i=1
La Commission Bancaire d´finit alors trois zones pour ´valuer les r´sultats des contrˆles ex post et pour
e e e o
appliquer le compl´ment ´ventuel au coefficient multiplicateur 3 :
e e
Zone D´finition de la zone
e Valeur de ξ
Verte Pr (X ≤ n) < 95% 0
Orange Pr (X ≤ n) < 99.99% 0–1
Rouge Pr (X ≤ n) ≥ 99.99% 1
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 34](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-44-320.jpg)
![crit`res peut conditionner le niveau de multiplicateur. Ici, nous avons l’impression que ce niveau est
e
presque enti`rement d´termin´ par la proc´dure de backtesting.
e e e e
L’actualisation du 31 d´cembre 1998 permet de pr´ciser et de modifier certains points. En premier
e e
lieu, le backtesting porte sur la Valeur en Risque sur un jour, et non sur la Valeur en Risque pour
une p´riode de d´tention de 10 jours. Ensuite, les contrˆles doivent porter sur les 250 derniers jours
e e o
ouvrables. Cela est important, car si nous supposons que les “douze derniers mois” correspondent ` 260
a
jours, les zones sont d´finies diff´rement ` cause du caract`re escalier de la loi Binomiale :
e e a e
Zone N = 250 N = 260
Verte moins de 5 exceptions moins de 6 exceptions
Orange entre 5 et 9 exceptions entre 6 et 10 exceptions
Rouge plus de 10 exceptions plus de 11 exceptions
Enfin, les exceptions doivent ˆtre communiqu´es ` la Commission Bancaire :
e e a
Afin de permettre ` la Commission Bancaire de v´rifier en permanence l’ad´quation du facteur
a e e
compl´mentaire, l’´tablissement informe sans d´lai et, en tout ´tat de cause, dans les cinq
e e e e
jours ouvrables, le Secr´tariat G´n´ral de la Commission Bancaire, des d´passements r´v´l´s
e e e e e ee
par leur programme de contrˆle ex-post qui, en fonction du tableau ci-dessus, impliqueraient
o
un rel`vement du facteur compl´mentaire.
e e
Bibliographie
[1] Capital Adequacy Directive (CAD), directive 93/6/CEE du CONSEIL du 15 mars 1993 sur
l’ad´quation des fonds propres des entreprises d’investissement et des ´tablissements de cr´dit, Journal
e e e
Officiel des Communaut´s Europ´ennes, N◦ L 141/1-26
e e
[2] La surveillance prudentielle des risques de march´ support´s par les ´tablissements de cr´dit, Com-
e e e e
mission Bancaire, Service des ´tudes bancaires, article pour la Revue d’Economie Financi`re, 26 juin
e e
1996
[3] Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 1997, Commission
e e e
Bancaire, Cellule de contrˆle des Risques de march´, 3 novembre 1997
o e
[4] Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 1998, Commission
e e e
Bancaire, Secr´tariat G´n´ral, Service des Affaires Internationales, 30 d´cembre 1998
e e e e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-46-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
montre comment ´volue la probabilit´ d’estimer un quantile avec une erreur de plus ou moins 10%. Le
e e
probl`me est le mˆme que celui consid´r´ pr´c´demment. Nous voyons bien que cette probabilit´ “de
e e ee e e e
confiance” croˆ avec le nombre d’observations. Et il est int´ressant de remarquer la diff´rence entre le
ıt e e
seuil de confiance de 99% et les autres seuils de confiance.
Remarque 5 Si les autorit´s de r´gulation d´cident d’augmenter le seuil de confiance, cela aura un im-
e e e
pact tr`s important sur la gestion des bases de donn´es, qui devront ˆtre plus longues. A titre d’illustration,
e e e
il n’est pas possible d’estimer une VaR historique ` 99.9% avec moins de 1000 observations.
a
6.1.3 La VaR Monte-Carlo
La VaR Monte-Carlo est bas´e sur la simulation des facteurs de march´ F (t) dont on se donne une
e e
loi de distribution a priori, de pr´f´rence admissible avec l’historique. Nous pouvons alors valoriser le
ee
portefeuille avec les facteurs simul´s. Si nous utilisons N simulations, nous pouvons alors d´terminer N
e e
variations simul´es du portefeuille, que nous assimilons ` N pertes potentielles. Il suffit ensuite de calculer
e a
le quantile correspondant tout comme pour la m´thode de la VaR historique. Les deux m´thodes sont
e e
donc tr`s semblables. La seule diff´rence est que l’une des m´thodes utilise les facteurs pass´s, alors que
e e e e
l’autre utilise des facteurs simul´s. Une autre diff´rence concerne la taille N de l’´chantillon pour la calcul
e e e
du quantile, qui n’est pas contraint dans le cas de la VaR Monte-Carlo.
A titre d’illustration, le sch´ma 6.2 montre les diff´rentes ´tapes de l’algorithme lorsque les facteurs
e e e
de march´ correspondent aux variations des prix des actifs. Cette m´thode est tr`s int´ressante, puisque
e e e e
nous pouvons calculer directement la VaR pour une p´riode de d´tention de T jours mˆme si les facteurs
e e e
de march´ correspondent ` une p´riode de 1 jour.
e a e
Il faut cependant noter que cette m´thode n´cessite un ordinateur tr`s performant car elle est coˆteuse
e e e u
en temps de calcul (elle convient difficilement au calcul journalier d’une VaR pour un nombre trop
grand d’actifs). De plus, elle demande un effort important de mod´lisation puisque celle-ci d´terminera
e e
enti`rement les trajectoires des facteurs de march´ que l’on utilise pour le calcul de la VaR.
e e
6.1.4 Pertinence des mesures VaRs
Nous avons vu que la VaR param´trique ne convenait pas pour les portefeuilles d’options. Toutes les
e
mesures ne sont donc pas pertinentes pour n’importe quel type de portefeuille. Le tableau suivant montre
le p´rim`tre d’utilisation des VaRs en fonction de la normalit´ des facteurs de march´ et de la lin´arit´
e e e e e e
du portefeuille :
Normalit´ des facteurs
e
Instruments lin´aires
e Oui Non
Param´trique
e
Oui Monte-Carlo Historique
Historique
Monte-Carlo
Non Historique
Historique
source : Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu [1997]
A noter que nous pouvons aussi utiliser la m´thode de Monte Carlo lorsque les facteurs ne sont pas
e
normaux, mais dans ce cas, elle peut ˆtre extrˆmement difficile ` mettre en place si elle pr´sente des
e e a e
sp´cificit´s importantes.
e e
´
6.1. DEFINITION 41](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-51-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
pouvons par exemple consid´rer que les niveaux de confiance 98.5% et 99.5% sont tr`s proches du fait de
e e
leur faible ´cart absolu, ou au contraire les consid´rer tr`s diff´rents, car la VaR ` 99.5% a 3 fois moins
e e e e a
de chance d’ˆtre d´pass´e que la VaR ` 98.5%.
e e e a
6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ)
Les mod`les internes de risques de march´ sont majoritairement bas´s sur les m´thodes VaR. Or, ces
e e e e
m´thodes ne donnent qu’une approximation de la vraie distribution pour mod´liser la variation des prix.
e e
C’est pourquoi il est n´cessaire de corriger l’estimation du quantile par un facteur de prudence. Celui-
e
ci correspond implicitement au facteur multiplicatif. Comme Stahl [1997] le montre, ce facteur, souvent
pr´sent´ comme arbitraire, a des fondements th´oriques rigoureux (dans le cadre d’une VaR gaussienne).
e e e
Le probl`me est le suivant : ´tant donn´ une variable al´atoire X de loi quelconque dont nous connais-
e e e e
sons les deux premiers moments µ et σ 2 , ` quelle distance relative par rapport ` l’´cart-type se situe le
a a e
quantile α ? Pour cela, nous utilisons l’in´galit´ de Bienaym´-Tchebyshev :
e e e
1
Pr (|X − µ| > kσ) ≤ (6.9)
k2
Si la loi est sym´trique, nous avons
e
1
Pr (X ≤ µ + kσ) ≥ 1 − (6.10)
2k 2
Or cette probabilit´ n’est rien d’autre que la fonction de r´partition F :
e e
1
F (µ + kσ) ≥ 1 − (6.11)
2k 2
Au seuil de confiance de α et si nous d´signons par F −1 la fonction inverse de r´partition (qui n’est rien
e e
d’autre que la fonction de quantile), nous en d´duisons que
e
1
X ≤ µ + kσ ⇐⇒ F −1 1 − =α (6.12)
2k 2
et donc
1
k≤
2 − 2α
En n´gligeant la tendance µ et en assimilant X ` la perte potentielle, celle-ci se situe donc ` k ´carts-types.
e a a e
Or la VaR telle qu’elle est calcul´e se situe ` c = Φ−1 (α) ´carts-types. Le ratio k est le coefficient de
e a e c
multiplication qui permet d’ˆtre sˆr que la VaR correspond bien ` un quantile au moins ´gal ` α lorsque
e u a e a
nous utilisons une approximation gaussienne et ceci quelle que soit la vraie fonction de distribution.
Remarque 6 Il est facile de montrer que lorsque la fonction de distribution est asym´trique, une borne
e
−1
sup´rieure de k est (1 − α) .
e
Le tableau suivant contient les valeurs du ratio pour diff´rentes valeurs de α.
e
sym´trique
e asym´trique
e
α c k k/ c k k/ c
90.00 1.28 2.24 1.74 3.16 2.47
95.00 1.64 3.16 1.92 4.47 2.72
99.00 2.33 7.07 3.04 10.00 4.30
99.25 2.43 8.16 3.36 11.55 4.75
99.50 2.58 10.00 3.88 14.14 5.49
99.75 2.81 14.14 5.04 20.00 7.12
99.99 3.72 70.71 19.01 100.00 26.89
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 44](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-54-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
Nous remarquons qu’effectivement lorsque le seuil de confiance est ´gal ` 99%, ce ratio est proche de 3
e a
(lorsque la fonction de densit´ est sym´trique). Supposons que les autorit´s r´glementaires fixent le seuil
e e e e
de confiance ` 99.5%, dans ce cas le ratio est proche de 4. Si les autorit´s r´glementaires prenaient alors
a e e
cette valeur pour fixer le coefficient multiplicateur, cette mesure aurait pour incidence d’augmenter les
fonds propres de 41.4% par rapport ` la situation actuelle.
a
Il y a une remarque int´ressante ` faire concernant l’analyse pr´c´dente. Dans cette pr´sentation, la
e a e e e
VaR correspond ` c · σ, mais nous consid´rons que la borne sup´rieure de la vraie VaR est en fait k · σ.
a e e
L’exigence en fonds propres correspond donc ` cette valeur k · σ. Or les exceptions sont d´termin´es en
a e e
fonction de la VaR c · σ, et non en fonction de la VaR k · σ. Si nous poussons l’analyse jusqu’au bout, il
aurait ´t´ plus logique de d´terminer les exceptions en fonction de k ·σ. Donc, ce coefficient multiplicateur
ee e
trouve bien une justification, mais les autorit´s r´glementaires ont fait preuve de beaucoup de prudence,
e e
puisque la probabilit´ que la perte potentielle d´passe le montant des fonds propres est bien inf´rieure `
e e e a
1%.
6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´
e
Ce choix est primordial dans le calcul des VaRs param´trique et de Monte-Carlo. G´n´ralement, nous
e e e
utiliserons une loi normale ou log-normale pour mod´liser les facteurs F (t). Cela implique que la distri-
e
bution de F (t) est enti`rement d´termin´e par les deux premiers moments µ et Σ. L’utilisation en finance
e e e
de la normalit´ repose sur des arguments de facilit´ d’utilisation. Mais nous savons depuis fort longtemps
e e
que les s´ries financi`res ne sont ni normales ni log-normales. En revanche, il est facile de calculer la
e e
variance d’une combinaison des composantes d’un vecteur gaussien. De mˆme, la simulation de nombres
e
al´atoires normaux est tr`s ais´e ` partir d’un g´n´rateur de nombres al´atoires uniformes pour le cas
e e e a e e e
a
` une dimension, ou d’une d´composition de Cholesky ou en valeurs singuli`res pour le cas ` plusieurs
e e a
dimensions.
Certains auteurs ont tent´ de justifier le recours ` la loi normale par le th´or`me central-limite qui
e a e e
´tablit la convergence vers la loi normale sous des hypoth`ses peu contraignantes. Soit (Xn ) une suite de
e e
variables al´atoires ind´pendantes et identiquement distribu´es, alors
e e e
n
Xi − E (Xi ) L
√ −→ N (0, 1) (6.13)
i=1
σ (Xi ) n
Cependant, la convergence en loi n’est rien d’autre qu’une convergence des fonctions de r´partition. Cette
e
convergence est beaucoup plus rapide dans les r´gions proches de la moyenne. Feller [1968] a d’ailleurs
e
3
montrer que l’approximation n’est valable qu’autour de n 4 ´carts-types de la moyenne. Nous pouvons
e
alors facilement construire des exemples qui illustrent le probl`me du th´or`me central-limite dans la
e e e
m´thodologie VaR param´trique. L’exemple suivant est propos´ par Boulier, Brabant, Dalaud et
e e e
Dieu [1997]. Les auteurs consid`rent un mod`le macro-´conomique de type APT o` les rentabilit´s sont
e e e u e
d´crites par l’´volution al´atoire d’une trentaine de facteurs ´conomiques, qu’ils supposent ind´pendants et
e e e e e
3
de mˆme loi. L’approximation n’est alors valable qu’autour de 30 4
e √ 12.819 ´carts-types de la moyenne.
e
Or l’´cart-type de la loi normale r´sultante est 30
e e 5.477 fois plus grande que l’´cart-type initial.
e
Cela implique que l’approximation n’est plus valable au del` de la probabilit´ de 99.04%. Pour cet
a e
exemple, les VaRs au-del` de 99% ne font plus partie du domaine de validit´ de l’approximation par
a e
la loi normale. Dans le cas des portefeuilles de taux d’int´rˆt, il est recommand´ d’utiliser au moins 13
ee e
facteurs. En utilisant le mˆme raisonnement, cela voudrait dire que les VaRs au-del` de 97.12% sont en
e a
dehors du domaine de validit´ d´fini par Feller5 . Cette analyse peut ˆtre une nouvelle explication
e e e
de l’utilisation d’un facteur multiplicatif.
Comme nous l’avons d´j` signal´, la variable al´atoire X de loi normale N (µ, σ) est enti`rement
ea e e e
2
caract´ris´e par ces deux premiers moments µ = E (X) et σ 2 = E (X − µ) . Nous rappelons que
e e
cette fonction de distribution est utilis´ en finance car elle est facilement manipulable, mais il existe de
e
nombreux travaux qui pr´sentent des arguments contredisant l’id´e que les variations des prix des actifs
e e
sont normaux. Cela vient notamment du fait que les moments d’ordre 3 et 4 d’une s´rie financi`re sont
e e
1
5 La valeur de la probabilit´ qui d´finit le domaine de validit´ est Φ n 4 .
e e e
´
6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 45](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-55-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
tr`s diff´rents de ceux de la loi normale. La skewness υ (ou moment centr´ d’ordre 3) est un coefficient
e e e
d’asym´trie de la fonction de densit´, alors que la kurtosis κ (ou moment centr´ d’ordre 4) est une mesure
e e e
d’aplatissement. Nous avons
3
E (X − µ)
υ =
σ3
4
E (X − µ)
κ =
σ4
Pour la loi normale, υ et κ valent respectivement 0 et 3. Si υ 0 (resp. υ 0), on dit que la distribution
est asym´trique ` droite (resp. ` gauche). Lorsque κ est sup´rieur ` 3, la distribution pr´sente des queues
e a a e a e
´paisses (elle est lepto-kurtique). Le graphique (6.3) pr´sente diff´rentes fonctions de densit´6 . Lorsque
e e e e
les distributions pr´sentent des queues de distribution ´paisses, le quantile α est alors bien au del` (en
e e a
valeur absolue) du quantile gaussien correspondant. Prenons par exemple la figure en bas ` gauche. Celle-
a
ci contient le graphe des fonctions de r´partition pour le segment x ∈ [−3, −2]. Pour la loi gaussienne,
e
nous v´rifions bien que le quantile ` 1% est −2.33. Or pour cette valeur, la quatri`me distribution
e a e
pr´sente une valeur de 5% pour la fonction de r´partition. Le quantile ` 1% est en fait bien au-del` de
e e a a
−2.33. Le graphique (6.4) correspond ` l’´volution du cours du titre Barclays depuis 1994. Nous avons
a e
estim´ la fonction de densit´ des variations du cours en utilisant la m´thode non param´trique du noyau
e e e e
d’Epanechnikov et compar´ celle-ci avec la fonction de densit´ gaussienne estim´e par la m´thode des
e e e e
moments. L’estimation classique bas´e sur les deux premiers moments ne permet donc pas de prendre en
e
compte les queues ´paisses.
e
L’´volution du titre Barclays nous interpelle sur le probl`me de la stationnarit´ du processus. Nous
e e e
pouvons penser qu’une approximation gaussienne ne peut ˆtre valide que localement. Cela pose alors le
e
probl`me de la longueur de l’historique utilis´ pour la VaR param´trique. Les instance r´glementaires
e e e e
exigent un historique d’au moins 1 an. Contrairement ` l’id´e fort r´pandue que plus l’historique
a e e
est long, meilleure sera la mesure des risques, l’utilisation d’un historique trop long peut
avoir des cons´quences n´fastes sur la VaR param´trique. Car, dans ce cas l`, il est parfaitement
e e e a
clair que les propri´t´s d’ergodicit´ et de stationnarit´ ne sont pas respect´es. L’utilisation d’un historique
ee e e e
long doit ˆtre plutˆt r´serv´ ` la VaR historique.
e o e ea
L’utilisation de la loi normale pour la VaR param´trique n’en demeure pas moins incontournable. Il
e
convient donc d’apporter une attention particuli`re ` l’estimation de la matrice de covariance.
e a
6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance
Nous notons F (t0 ; N ) la matrice des facteurs observ´s pour t = t0 − 1, . . . , t0 − N avec
e
F (t0 − 1)
.
.
.
F (t0 ; N ) = F (t0 − n) (6.14)
.
.
.
F (t0 − N )
Consid´rons une matrice diagonale Λ de dimension N × N avec 1 diag (Λ) = 1. Λ est appel´e la matrice
e e
e ˆ ˆ
des poids des observations. Nous d´finissons µ et Σ par
µ = F (t0 ; N ) Λ 1
ˆ (6.15)
6 Nous avons g´n´r´ celles-ci en utilisant la fonction de densit´ d’Edgeworth (Rubinstein [1998]) :
e e e e
υ 3 κ−3 4 υ2 5
f (x) = b (x) 1 + x − 3x + x − 6x2 + 3 + x − 10x3 + 15x
6 24 72
avec b la fonction de densit´ Binomiale.
e
´
6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 47](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-57-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
Voyons un exemple montrant la diff´rence entre les deux exemples. Nous consid´rons une position
e e
longue sur le titre BARCLAYS. Le graphique (6.7) pr´sente l’´volution de la VaR avec deux types de
e e
r´actualisation. La taille de l’´chantillon est fix´ ` 250 jours de trading. En p´riode de crise, la VaR
e e e a e
RiskMetrics est plus grande que la VaR avec les poids constants. Ce ph´nom`ne s’inverse lors des p´riodes
e e e
calmes (ou apr`s les p´riodes de crises). Cela se comprend ais´ment ` cause de la forme des poids. Si nous
e e e a
consid´rons le nombre d’exceptions (pour information, le nombre de jours de trading est ´gal ` 1136),
e e a
la VaR avec poids constants est la plus performante pour cet exemple. Cela tient au fait que la VaR
RiskMetrics sous-estime le risque pour les p´riodes calmes, ce qui implique que d`s qu’il y a une variation
e e
plus importante, nous obtenons une exception. Cela se voit tr`s bien si nous consid´rons la localisation
e e
des exceptions. Celles-ci ont des positions diff´rentes selon la m´thodologie. Enfin, nous remarquons que
e e
la fr´quence de r´actualisation a une influence non n´gligeable sur la qualit´ de la VaR.
e e e e
Si nous calculons le temps de retour moyen empirique pour l’exemple pr´c´dent, nous constatons qu’il
e e
est l´g`rement inf´rieur au temps de retour moyen th´orique. Cela veut dire que nos mesures VaR ont
e e e e
sous-estim´ la perte potentielle. Hendricks [1996] remarque ce mˆme ph´nom`ne. Il compare douze
e e e e
m´thodologies diff´rentes et constate que
e e
Virtually all of the approaches produce accurate 95th percentile risk measures. The 99th
percentile risk measures, however, are somewhat less reliable and generally cover only between
98.2 percent and 98.5 percent of the outcomes. On the one hand, these deficiencies are small
when considered on the basis of the percentage of outcomes missclassified. On the other hand,
the risk measures would generally need to be increased across the board by 10 percent or
more to cover precisely 99 percent of outcomes.
6.2.4.1 Un exercice de backtesting
Ce paragraphe s’attache ` d´terminer la mani`re optimale de calculer la matrice de covariance. Notre
a e e
approche se base sur le calcul du nombre d’exceptions observ´es sur un historique des cours d’´tablissements
e e
financiers depuis 1994.
Nous nous pla¸ons dans le cadre d’une VaR analytique sous l’hypoth`se de rendements gaussiens. Nous
c e
sommes donc en mesure de d´terminer un intervalle de confiance ` une certaine probabilit´ ` partir
e a e a
des deux premiers moments. Nous comparons ici de mani`re qualitative la validit´ de ces intervalles de
e e
confiance selon la m´thode choisie pour l’estimation des deux premiers moments. Les r´sultats qui suivent
e e
permettent de visualiser de mani`re dynamique les caract´ristiques sur la VaR associ´es ` ces m´thodes.
e e e a e
Les estimateurs retenus pour le calcul des rendements moyens et des volatilit´s sont les m´thodes de
e e
poids constants et de poids exponentiels (λ = 0.94). L’enjeu inh´rent au choix de la m´thode d’estimation
e e
de ces param`tres est capital ; il s’agit d’obtenir une r´activit´ optimale aux variations du march´, tout
e e e e
en conservant une inertie suffisante pour ne pas trop sur ou sous-estimer les variations possibles. A priori,
une m´thode reposant sur des poids constants accusera un petit peu de retard pour r´hausser son niveau
e e
dans une p´riode ` forte volatilit´. De mˆme, la m´thode reposant sur des poids exponentiels risque de
e a e e e
largement sur-estimer la VaR apr`s une courte p´riode d’agitation.
e e
Afin d’illustrer ce ph´nom`ne, nous proposons par la suite d’´tudier le nombre d’exceptions observ´es
e e e e
sur le cours de certains ´tablissements financiers par p´riode. Une exception est d´finie comme une valeur
e e e
du titre en dehors de l’intervalle de confiance pr´vu. Nous consid´rons les cas de positions longues et
e e
courtes sur un titre, ce qui nous am`ne ` d´finir des bornes sup´rieures et inf´rieures de notre intervalle.
e a e e e
Nous nous sommes attach´s ` respecter les crit`res quantitatifs de la Commission Bancaire pour le calcul
e a e
de la VaR. Ainsi avons nous retenu un niveau de confiance de 1% sur une p´riode de d´tention de 1 jour.
e e
De mˆme, l’estimation des moments des distributions des rendements quotidiens ont ´t´ calcul´s sur un
e ee e
historique d’un an renouvel´ tous les trois mois. Tout ceci nous a permis de d´terminer les s´ries des deux
e e e
bornes Lu et Ld de notre intervalle pour les rendements journaliers :
Lu
t = µt − Φ−1 (0.5%) × σ t
Ld
t = µt + Φ−1 (0.5%) × σ t
o` Φ−1 (0.5%) est le quantile ` 0.5% de la loi normale centr´e r´duite (Φ−1 (0.5%)
u a e e 2.575). µt et σ t sont
respectivement la moyenne et l’´cart-type estim´s du rendement ` l’instant t.
e e a
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 50](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-60-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
l’´tude des s´ries des cours sur les ´tablissements financiers pousse ` choisir un coefficient λ favorisant
e e e a
une m´moire plus longue, c’est–`-dire une inertie plus importante. Il semble, de mani`re qualitative,
e a e
que la valeur optimale de ce coefficient dans ce cas l` soit de l’ordre de 0.96.
a
Nous notons, toutefois, que la valeur optimale de λ est susceptible de varier selon les
march´s8 . Aussi, le coefficient obtenu ne peut ˆtre adapt´ pour l’ensemble des s´ries fi-
e e e e
nanci`res. Nous conseillons plutˆt une ´tude du march´ ` consid´rer au pr´alable, qui
e o e e a e e
permettrait de d´terminer le λ optimal.
e
GRAPHIQUE 6.9. D´termination de la valeur optimale pour λ
e
6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la matrice de covariance
Les approches pr´c´dentes de l’estimation la matrice de covariance reposent sur l’hypoth`se que Σ est
e e e
une matrice constante au cours du temps. Cette hypoth`se a ´t´ vivement critiqu´e par de nombreux
e ee e
´conom`tres (voir les survey [1], [6] et [29]). Afin de prendre en compte les effets h´t´rosc´dastiques,
e e ee e
Engle [1982] introduit une nouvelle classe de processus connus sous le nom de mod`les ARCH. A la suite
e
de cet article, de nombreux travaux dans le domaine de la mod´lisation de la variance conditionnelle ont
e
vu le jour et plusieurs formes de g´n´ralisation ont ´t´ introduites. Dans un premier temps, Bollerslev
e e ee
[1986] propose d’introduire un effet “autor´gressif” dans l’´quation de variance conditionnelle (mod`les
e e e
GARCH). Ensuite, plusieurs formes d’extension au cas multidimensionnel sont apparues.
Le cas unidimensionnel
Soit le processus unidimensionnel {yt } en temps discret d´fini par
e
yt = µ + εt (6.17)
8 Cette ´tude a d´j` ´t´ men´e par RiskMetrics, et met en ´vidence des diff´rences notables de λ selon les march´s (places
e eae e e e e e
financi`res et produits) et la p´riode de d´tention. λ = 0.94 est une valeur moyenne bas´e sur un crit`re de moindres carr´s
e e e e e e
de la variance quotidienne des rendements. Dans le cadre de la VaR, nous pensons que ce crit`re n’est pas le plus appropri´
e e
et qu’il est pr´f´rable de consid´rer un crit`re de minimisation du nombre d’exceptions.
ee e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 52](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-62-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
GRAPHIQUE 6.10. Valeur optimale de λ pour diff´rents titres
e
avec εt un processus stochastique. Sous l’hypoth`se de normalit´ et de constance de la variance, nous
e e
avons
εt | It−1 ∼ N 0, σ 2 (6.18)
o` It−1 repr´sente l’information pass´e. Lorsque nous estimons la variance avec la m´thode pr´sent´e
u e e e e e
pr´c´demment, nous faisons l’hypoth`se implicite que le processus est celui ci-dessus. Comme nous savons
e e e
que ce n’est pas la bonne repr´sentation, les estimations sont refaites r´guli`rement pour tenir compte
e e e
que la variance change au cours du temps. En revanche, les mod`les de type ARCH supposent que
e
εt | It−1 ∼ N 0, h2
t (6.19)
Conditionnellement ` l’information pass´, εt n’est plus un bruit blanc. Selon la sp´cification de h2 , nous
a e e t
d´finissons plusieurs types de mod`les. Par exemple, yt est un processus ARCH(p) si
e e
p
h2 = α 0 +
t α i ε2
t−i (6.20)
i=1
Dans le cas d’un processus GARCH(p,q), nous avons
p q
h2 = α 0 +
t α i h2 +
t−i β i ε2
t−i (6.21)
i=1 i=1
A titre illustratif, nous avons repr´sent´ sur le graphique (6.11) la variance conditionnelle du rendement
e e
du titre BARCLAYS estim´e ` partir d’un mod`le GARCH(1,1). A partir des estimations, il est alors
e a e
possible de construire des pr´visions de la variance conditionnelle Et h2 . Dans le cas des m´thodes
e t+h e
pr´sent´es au paragraphe pr´c´dent, la seule pr´vision possible de la variance en t+h est en fait la variance
e e e e e
e e a e ´
observ´e en t, ce qui n’est pas le cas des mod`les ` variances conditionnelles. L’´tude de Dave et Stahl
[1998] montre bien que d’un point de vue dynamique, les approches traditionnelles d’estimation de la
matrice de covariance pr´sentent un biais lorsque les s´ries ne sont pas stationnaires. Les auteurs ont fait
e e
une ´tude exhaustive sur le march´ des changes en consid´rant 5 m´thodes : la m´thode historique, la VaR
e e e e e
analytique avec des poids constants, la VaR RiskMetrics et les mod`le GARCH(1,1) et Tail GARCH(1,1).
e
´
6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 53](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-63-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
1
des innovations. Ce coefficient ´tant d´termin´, nous appliquons la T α rule, qui consiste ` passer
e e e a
1
de la VaR 1 jour ` la VaR T jours en multipliant par T α .
a
– La derni`re m´thode consiste tout simplement ` d´terminer la matrice de variance-covariance des
e e a e
rendements ` T jours. Cette approche n´cessite un historique assez long des donn´es et ne peut
a e e
pas ˆtre appliqu´e ` tous les horizons. Toutefois, elle permet d’obtenir la v´ritable matrice de
e e a e
variance-covariance historique. Reste alors le probl`me de l’ad´quation du mod`le ` cette maturit´.
e e e a e
Les articles rencontr´s dans la litt´rature s’attachent plus particuli`rement ` tester la validit´ de la
e e e a e
premi`re approche et ` d´velopper la deuxi`me m´thodologie au travers de mod`les semi-param´triques.
e a e e e e e
il n’y a pas de consensus arrˆt´ sur la question. Diebold et al. [15], [10] testent la proc´dure de scaling
ee e
sur des actifs soumis ` une dynamique de type GARCH. Leur argumentation repose sur la formule de
a
Drost-Nijman qui permet de corriger la volatilit´ ` T jours ` partir de celle obtenue ` 1 jour, sous certaines
ea a a
conditions de r´gularit´ et pour des horizons suffisamment longs. Leurs deux principales conclusions sont
e e
les suivantes :
– pour un horizon sup´rieur ` 10-15 jours, la volatilit´ n’est pas pr´visible. Autrement dit, les mod`les
e a e e e
a
` volatilit´ conditionnelle ne sont plus valables pour T 10 ;
e
– dans tous les cas, le scaling amplifie les fluctuations de la volatilit´. Mˆme si en moyenne le coefficient
√ e e
T peut sembler conservateur, le v´ritable rapport entre les deux volatilit´s est souvent bien au-
√ e e
dessous ou bien au-dessus de T .
Danielsson et De Vries [11], [12] proposent une autre approche fond´e sur des r´sultats de la
e e
th´orie des valeurs extrˆmes. Ils ´mettent quelques r´serves sur l’application de la m´thode propos´e
e e e e e e
par RiskMetrics pour un horizon de 10 jours, mˆme si les conclusions ne s’appliquent pas uniquement
e
au passage de la VaR 1 jour ` la VaR 10 jours. C’est plus la m´thode fond´e sur l’unique estimation
a e e
de la matrice de variance-covariance qui est remise en cause. Les tests et simulations qu’ils ont effectu´s
e
aboutissent aux conclusions suivantes :
– RiskMetrics sous-estime la VaR ` 1 jour par rapport ` une m´thode fond´e sur la th´orie des
a a e e e
extrˆmes surtout pour la mesure des risques rares (i.e. 0.05% et 0.005%). Nous notons ici que les
e
r´sultats obtenus pour une VaR ` 1% sont comparables pour les deux m´thodes.
e a e
– Pour des pr´visions ` 10 jours, la m´thode de RiskMetrics bas´e sur le scaling sur-estime la VaR
e a e e
1
obtenue par la T α rule (en moyenne, le coefficient α obtenu vaut 4.6).
√
Ces diff´rents r´sultats ne font ressortir aucun consensus quant ` l’application du coefficient T . Les
e e a
seules conclusions tir´es soulignent que dans une approche purement RiskMetrics, le scaling n’est pas
e
forc´ment conservateur (amplification des fluctuations) et qu’en le comparant ` des m´thodes plus fines,
e a e
il peut s’av´rer trop conservateur.
e
6.2.5.2 Un exercice de simulation
Pour illustrer les id´es ´nonc´es ci-dessus, nous avons effectuer quelques simulations de rendements de
e e e
diff´rents actifs. Nous avons consid´r´ successivement une dynamique de type GARCH, puis un mod`le `
e ee e a
volatilit´ stochastique (Hull-White). Dans ces deux cas, nous simulons des trajectoires du cours, dont nous
e
calculons les vraies √
volatilit´s ` 1 jour et ` 10 jours, puis nous comparons le rapport de ces deux volatilit´s
e a a e
avec le coefficient 10. Cette approche a seulement le m´rite de tester la validit´ de l’approximation
√ e e
effectu´e par la T rule, mais ne nous apporte aucune information quant ` la pertinence d’une VaR
e a
analytique de type RiskMetrics qui ne d´pend que de la matrice de variance-covariance.
e
Mod`le GARCH
e
Nous supposons ici que le rendement 1 jour d’un actif peut ˆtre mod´lis´ par un GARCH(1,1). Cette
e e e
hypoth`se n’est pas tr`s restrictive et semble cadrer avec la dynamique observ´e sur les march´s de
e e e e
certains titres. Nous simulons donc un processus yt tel que :
yt = σ t εt
σ2
t = w + αyt−1 + βσ 2
2
t−1
εt ∼ N ID(0, 1)
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 56](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-66-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
VaR 1 jour VaR 1 jour
(RiskMetrics) (th. des extrˆmes)
e
-
√
VaR 10 jours VaR 1 jour × 10 VaR 10 jours
(th. des extrˆmes)
e (RiskMetrics) (RiskMetrics)
-
ou
√
VaR 10 jours VaR 10 jours VaR 1 jour × 10
(th. des extrˆmes)
e (RiskMetrics) (RiskMetrics)
-
GRAPHIQUE 6.17. Positions relatives des VaRs
avec b le cost-of-carry et Φ la fonction de r´partition de la loi normale centr´e et r´duite,
e e e
1 S 1 √ √
d1 = √ ln 0 + bτ + σ τ et d2 = d1 − σ τ (6.25)
σ τ K 2
Consid´rons un portefeuille avec une position longue sur cette option, la variation du portefeuille entre t0
e
et t0 +h est ´gale ` C (t + h, S (t + h))−C (t0 , S0 ). Nous ne pouvons pas assimiler le risque du portefeuille
e a
a
` une distribution normale ou log-normale, car le prix de l’option BS est une fonction non-lin´aire du prix
e
du sous-jacent S (t) qui correspond ` une distribution log-normale dans le mod`le de Black et Scholes.
a e
Notons fS la fonction de densit´ de S (t) et C (S) la fonction de la prime d’achat. Comme la fonction C
e
est bijective, nous avons alors
fS C −1 (C)
fC (C) = (6.26)
∂S C (C −1 (C))
Puisque ∂S C (S) n’est pas une fonction affine de S, le distribution du prix de l’option n’est pas log-
normale. Il n’est donc pas possible d’utiliser une m´thode de type matrice de covariance pour calculer la
e
VaR d’une option.
6.3.2 Les solutions
Plusieurs auteurs ont alors propos´ des m´thodes de types analytique ou Monte Carlo pour calculer
e e
la mesure de risque des produits non lin´aires. Les m´thodes analytiques sont g´n´ralement bas´e sur
e e e e e
des approximations de Taylor. Par exemple, Britten-Jones et Schaefer [1997] proposent d’utiliser
´
une expansion partielle ` l’ordre 2 afin de tenir compte du Gamma de l’option. Cardenas, Fruchard,
a
Koehler, Michel et Thomazeau [1997] int`grent dans leur analyse le risque de volatilit´ en consid´rant
e e e
le Vega de l’option. G´n´ralement, ces m´thodes sont assez lourdes ` mettre en place d’un point de vue
e e e a
technique, surtout dans le cas multidimensionnel. D’un autre cˆt´, les m´thodes de Monte Carlo sont
oe e
beaucoup moins complexes, mais pr´sentent parfois des temps de calcul prohibitifs.
e
Finalement, la m´thode historique (parfois coupl´e avec une m´thode Monte Carlo) semble ˆtre une
e e e e
m´thode de compromis int´ressante. Cependant, elle n´cessite une gestion tr`s efficace des bases de
e e e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 60](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-70-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
donn´es. En effet, celles-ci doivent contenir beaucoup plus d’information (par exemple, les surfaces de
e
volatilit´) que celles des actifs lin´aires. Nous devons aussi mentionner le fait que dans l’esprit des textes
e e
r´glementaires, la m´thode doit prendre en compte les risques de volatilit´. Implicitement, cela suppose
e e e
donc que les pricers utilis´s pour le calcul de la VaR soient des pricers int´grant le smile. Cela pose
e e
quelques difficult´s, car il n’existe pas de “paradigme dominant” de type Black et Scholes comme dans
e
le cas du pricing sans smile. Plusieurs mod`les existent, mais tous ne sont pas de mˆme robustesse. De
e e
plus, la qualit´ d’un pricer avec smile d´pend de l’impl´mentation. Il existe ainsi plusieurs logiciels de
e e e
valorisation d’options de change bas´e sur la m´thode de Dupire, mais tous donnent un prix diff´rent,
e e e
car les m´thodes d’interpolation du smile sont diff´rentes, les donn´es utilis´es sont diff´rentes, certains
e e e e e
utilisent des artifices num´riques pour assurer la convergence, etc. Il convient donc d’ˆtre tr`s prudent
e e e
lors du choix de la m´thodologie d’une VaR sur des produits non lin´aires.
e e
Remarque 7 La m´thode historique est largement utilis´e par les banques pour calculer les VaRs op-
e e
tionnelles. Cependant, il semble que la Commission Bancaire demande de plus en plus d’´viter cette
e
m´thodologie au profit de m´thodes plus robustes.
e e
6.3.3 La gestion du risque des produits optionnels
Les produits optionnels sont parmi les actifs les plus risqu´s dans l’activit´ d’une salle de march´. Ils
e e e
font donc l’objet d’une surveillance quotidienne importante. La Commission Bancaire insiste fortement
sur le contrˆle des risques des activit´s de d´riv´s :
o e e e
– d´riv´s actions ;
e e
– produits structur´s (options sur plusieurs sous-jacents) ;
e
– exotiques de taux ;
– options de change (FX) ;
– d´riv´s de cr´dit ;
e e e
– etc.
En particulier, la Commission Bancaire demande que les pricers soient valid´s par une unit´ quantitative
e e
ind´pendante du Front Office. Derni`rement, elle a aussi propos´ de calculer des r´factions pour “risque
e e e e
de mod`le” et “risque de param`tres”.
e e
Voici une liste (non-exhaustive) des diff´rents risques li´s aux actifs contingents :
e e
1. Le risque de mod`le ou risque de mispricing
e
2. Le risque d’impl´mentation
e
3. Le risque de param`tres
e
4. Le risque de volatilit´ ou risque de smile
e
5. Le risque de convexit´
e
6. Le risque de corr´lation
e
Afin de ne pas alourdir le cours, nous verrons des exemples tr`s simples sans entrer dans les d´tails
e e
math´matiques. Pour cela, nous utiliserons les r´flexions men´es par Rebonato [2001] et Derman [2001].
e e e
6.4 Conclusion
Comme nous avons pu le voir, les mod`les de mesure des risques de march´ demandent beaucoup de
e e
savoir-faire. Celui-ci ne doit pas seulement concerner les instruments de march´ ou les aspects financiers,
e
mais aussi les outils statistiques et la gestion des bases de donn´es. Cependant, pour reprendre l’expression
e
de Boulier et al. [1997], mesurer n’est pas g´rer. La gestion des risques de march´ ne consiste pas
e e
seulement ` mesurer son risque. Elle cherche surtout ` l’analyser, ` le comprendre. En d´finitive, elle
a a a e
passe par la compr´hension de la micro-structure de son risque de march´.
e e
Toutefois, il est difficile de finir cette section sans ´voquer les pol´miques autour la VaR. Cette mesure
e e
ea e ´
– nous l’avons d´j` vu – pose de nombreux probl`mes statistiques. Aux Etats-Unis, cela a conduit ` des
a
6.4. CONCLUSION 61](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-71-320.jpg)
![CHAPITRE 6. LA VALEUR EN RISQUE
attaques assez violentes de la part des ´conom`tres et des statisticiens. D’autres critiques plus th´oriques
e e e
ont ´t´ faites. En premier lieu, elles concernent l’impossibilit´ de mod´lisation du futur par le pass´ (voir
ee e e e
la controverse entre Nassim Taleb et Phillipe Jorion — r´f´rences [21], [27] et [28]). En second lieu, elles
ee
portent sur la coh´rence de la VaR en tant que mesure des risques. D’apr`s l’axiomatique d´velopp´e
e e e e
par Artzner, Delbaen, Eber et Heath [1998], la VaR ne v´rifie pas la propri´t´ fondamentale de
e ee
sous-additivit´9 . Deux types de mesures coh´rentes du risque ont alors ´t´ propos´s. Soit X la variable
e e ee e
e e ¨
al´atoire d´crivant la position nette du portefeuille, Embrechts, Kluppelberg et Milkosh [1997]
d´finissent de la fa¸on suivante :
e c
= E −X| X ≤ x− (6.27)
Dans ce cas, n’est plus un quantile (comme pour la VaR), mais l’esp´rance de perte au del` d’un certain
e a
quantile (qui pourrait ˆtre ´ventuellement le niveau de la VaR). Artzner, Delbaen, Eber et Heath
e e
[1997] ont sugg´r´e une deuxi`me mesure de risque proche de la pr´c´dente :
ee e e e
= sup E −X| X ≤ x− , P = p p ∈ ℘ (6.28)
avec ℘ l’ensemble des distributions de probabilit´s des ´tats de la nature. ℘ est aussi appel´ l’ensemble
e e e
des “sc´narios g´n´ralis´s”. Dans ce cas, pour chaque sc´nario appartenant ` ℘, on calcule l’esp´rance
e e e e e a e
de perte (x− = 0) ou l’esp´rance de perte au del` d’un certain quantile (x− 0), puis on d´termine la
e a e
plus grande valeur parmi tous les sc´narios de ℘. Comme le font remarquer les auteurs, cela exige une
e
r´flexion approfondie pour d´finir ℘ :
e e
The generalized scenarios method is the universal coherent risk measurement method : it
requires thinking before calculating, which can only improve risk management.
Bibliographie
[1] Andersen, T.G. [1994], Stochastic autoregressive volatility : a framework for volatility modeling,
Mathematical Finance, 4, 75-102
[2] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1997], Thinking coherently, Risk magazine, 10,
November, 68-71
[3] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1998], Coherent measures of risk, Eidgen¨ssische
o
Technische Hochschule, Z¨rick, Working Paper
u
[4] Baker, M., J. Tattersall et R. Wilson [1996], Cad and beyond, Risk Magazine, 9-2, February
[5] Bollerslev, T. [1986], Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econo-
metrics, 50, 987-1008
[6] Bollerslev, T., R.F. Engle et D.B. Nelson [1993], ARCH models, in The Handbook of Econo-
metrics, Volume 4, chapter 11
[7] Boulier, J-F., A. Brabant, R. Dalaud et A-L. Dieu [1997]. Risques de march´ : Vue de Profil,
e
Direction de la Recherche et de l’Innovation, Cr´dit Commercial de France, Quants, 28
e
[8] Britten-Jones, M. et S.M. Schaefer [1997], Non-linear Value at Risk, London Business School,
Working Paper
´
[9] Cardenas, J., E. Fruchard, E. Koehler, C. Michel et I. Thomazeau [1997], VaR : One step
beyond, Risk magazine, 10, October, 72-75
[10] Christoffersen, P.F., F.X. Diebold et T. Schuermann [1998], Horizon Problems and Extreme
Events in Financial Risk Management, FRBNY Economic Policy Review
[11] Danielsson, J. et C.G. de Vries [1997a], Value-at-Risk and Extreme Returns, Tinbergen Institute
Rotterdam, Mimeo
[12] Danielsson, J. et C.G. de Vries [1997b], Beyond the Sample : Extreme Quantile and Probability
Estimation, Tinbergen Institute Rotterdam, Mimeo
9 Cela veut dire que la VaR globale de deux portefeuilles peut ˆtre sup´rieure ` la somme des VaRs individuelles des
e e a
deux portefeuilles !
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 62](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-72-320.jpg)
![´
[13] Dave, R.D. et G Stahl [1999], On the accuracy of VaR estimates based on the variance-covariance
approach, Olsen Associates, Z¨rich, Working Paper
u
[14] Derman, E. [2001], Markets and model, Risk Magazine, 14, July, 48-50
[15] Diebold, F.X., A. Hickman, A. Inoue et T. Schuermann [1997], Converting 1-Day Volatility to h-
√
Day volatility : Scaling by h is worse than you think, The Wharton School, University of Pennsylvania,
97-34
[16] Engle, R.F. [1982], Autoregressive conditional Heteroskedasticity with estimates of the variance of
the U.K. inflation, Econometrica, 50, 987-1008
¨
[17] Embrechts, P., Kluppelberg, C. et T. Mikosch [1997], Modelling Extremal Events for Insurance
and Finance, Springer-Verlag, Berlin
[18] Feller, W. [1968], An introduction to probability theory and its applications, volume 1, trois`me
e
´dition, John Wiley Sons, New York
e
[19] Guldimann, Til. [1994], RiskMetricsT M Technical Document, 2nd edition, J.P. Morgan, New York
[20] Hendricks, D. [1996], Evaluation of Value-at-Risk models using historical data, Federal Reserve
Board of New York, FRBNY Economic Policy Review, April, 39-69
[21] Jorion, P. [1997], In defense of VaR, Derivatives Strategy
[22] Lopez, J. [1998], Methods for evaluating Value-at-Risk estimates, Federal Reserve Bank of New
York
[23] Rebonato, R. [2001], Model risk : new challenges, new solutions, Risk Magazine, 14, March, 87-90
[24] Rouvinez, C. [1997], Going greek with VaR, Risk Magazine, 10, February
[25] Rubinstein, M. [1998], Edgeworth binomial trees, Journal of Derivatives, spring, 20-27
[26] Stahl, G. [1997], Three cheers, Risk Magazine, 10, May
[27] Taleb, N. [1997a], The world according to Nassim Taleb, interview by editor Joe Kolman, Derivatives
Strategy, December/January
[28] Taleb, N. [1997b], Against Value-at-Risk : Nassim Taleb replies to Phillipe Jorion, document non
publi´
e
[29] Taylor, S.J. [1994], Modeling stochastic volatility : a review and comparative study, Mathematical
Finance, 4, 183-204](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-73-320.jpg)
![7
Les programmes de stress-testing
Comme le pr´conisent les autorit´s r´glementaires, les ´tablissements financiers doivent effectuer
e e e e
r´guli`rement des simulations de crise afin de connaˆ
e e ıtre le montant des pertes potentielles en cas de
fluctuations dangereuses et importantes du march´. Il faut tout de suite pr´ciser que malgr´ le caract`re
e e e e
obligatoire, ces simulations de crises ne sont en aucun cas utilis´s pour calculer l’exigence en fonds propres.
e
Cependant, l’utilisation de simulations de crises est l’un des quatre principes de base d´finis e
par la Commission Bancaire pour qu’un mod`le interne soit valid´. Le but de ces simulations
e e
est alors de compl´ter le dispositif de mesure des risques, et notamment les mesures de VaR 1 .
e
Ces simulations de crises, parfois appel´es sc´narios de stress, et plus connu sous le terme anaglais stress
e e
testing, doivent ˆtre des outils pour appr´hender l’exposition de la banque ` une crise grave. Contrairement
e e a
a
` la VaR, elles doivent permettre de r´pondre ` la question suivante :
e a
Quel est le montant de perte auquel la banque doit faire
face lors de la prochaine crise si le portefeuille de
n´gociation ne change pas ?
e
La notion de probabilit´ disparaˆ Statistiquement, les stress testing font donc r´f´rence ` un maximum,
e ıt. ee a
et non ` un quantile. C’est une vision du risque extrˆme. Le point de vue est donc assez diff´rent de celui
a e e
de la VaR, puisque le r´gulateur est beaucoup moins concern´ par cette mesure (mˆme si la m´thodologie
e e e e
doit lui ˆtre communiqu´e). Les mesures fournies par les stress testing sont avant tout destin´es au risk
e e e
management et ` la direction g´n´rale. Celles-ci doivent faire l’objet d’une analyse d´taill´e afin de
a e e e e
bien comprendre l’exposition de la banque et afin de bien v´rifier que ce risque extrˆme est ` un
e e a
niveau supportable :
The art of stress testing should give the institution a deeper understanding of the specific
portfolios that could be put in jeopardy given a certain situation. The question then would be :
“Would this be enough to bring down the firm ?” That way, each institution can know exactly
what scenario it is they do not want to engage in (Michael Ong, ABN Amro, in Dunbar et
Irving [1998]).
Deux grandes familles de stress testing existent : les m´thodes objectives et les m´thodes dites subjec-
e e
tives. Le premier type utilise les faits historiques (des faits qui se sont r´ellement pass´s) pour construire
e e
les sc´narios, alors que la seconde famille est bas´e sur des hypoth`ses de travail. Pour ˆtre plus pr´cis,
e e e e e
nous pouvons classer les stress testing selon trois approches (Dunbar et Irving [1998]) :
1 Une´tude men´e par Tucker et Lawrence [1998] sur le risk management aupr`s de 679 institutions de 25 pays montre
e e e
que 93% des risk managers consid`rent qu’une mesure VaR est insuffisante comme mesure de risque.
e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-75-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
1. La premi`re est la plus simple : elle consiste ` utiliser les donn´es des crises pass´es et ` employer la
e a e e a
m´thode de simulation historique sur ces p´riodes troubl´es pour calculer une perte potentielle
e e e
maximale (et non une VaR). L’´tablissement financier a alors une estimation de ce que causerait
e
la survenance de ces mˆmes crises avec le portefeuille de n´gociation actuel.
e e
2. La deuxi`me approche est une analyse structur´e des sc´narios. Les ´v`nements historiques sont
e e e e e
utilis´s en les appliquant aux conditions actuelles de march´. Par exemple, nous pouvons analyser
e e
l’incidence de la hausse des taux de 1994 par la Federal Reserve Bank si elle survenait aujourd’hui.
Contrairement ` la premi`re m´thode qui utilisent les donn´es historiques, cette m´thode va donc
a e e e e
utiliser des donn´es simul´es ` partir des donn´es actuelles et des ´v`nements pass´s.
e e a e e e e
3. La troisi`me approche est une analyse de sc´narios sp´cifiques. Pour cela, il convient d’identifier une
e e e
situation qui risque de menacer l’´tablissement financier. Cette m´thode ne fait donc pas r´f´rence
e e ee
aux ´v`nements pass´s, mais utilisent des hypoth`ses sur les crises potentielles futures.
e e e e
Les stress testing sont donc des suites de questions que doit se poser l’´tablissement financier sur son
e
risque :
In essence, a comprehensive stress-testing programme asks a series of “what if” questions
that force risks managers to try to predict what risk banks could face next time disaster strikes
(Dunbar et Irving [1998]).
Par exemple, voici le genre de questions que peut se poser la banque :
– Quel est l’impact d’une hausse des taux directeurs de 100 points de base ?
– Que se passe-t-il si la courbe des taux s’inverse ?
– Quelles sont les r´percussions d’une d´valuation ?
e e
– Que se passe-t-il en l’absence de liquidit´ ?
e
– Quel est l’impact d’une hausse des prix de l’immobilier ?
– etc.
Il est tout d’abord important de noter qu’il n’existe pas aujourd’hui de standard plus pr´cis pour
e
l’´laboration des sc´narios de crise. On se contentera donc dans un premier temps d’avoir ` l’esprit la
e e a
probl´matique suivante : un programme de simulation de crise doit ˆtre en mesure de r´pondre ` ces trois
e e e a
questions :
– Quelles seront les pertes si le sc´nario X se produit ?
e
– Quels sont les pires sc´narios pour l’institution ?
e
– Que pouvons-nous faire pour limiter les pertes dans ce cas ?
Sachant par ailleurs que l’int´rˆt de la Commission Bancaire est que ces simulations puissent influencer
ee
directement les choix de la direction en mati`re de gestion du risque, il faut avoir en tˆte deux autres
e e
exigences :
– la cr´dibilit´ du sc´nario aux yeux de la direction g´n´rale ;
e e e e e
– la bonne lisibilit´ pour cette derni`re de l’exposition du portefeuille aux diff´rents facteurs de risque
e e e
pr´alablement d´finis.
e e
7.1 Directions m´thodologiques choisies par les institutions bancaires
e
Nous fournissons ici les r´sultats d’une enquˆte men´e par Deloitte Touche en 1999 aupr`s de 200
e e e e
banques dans le monde sur le Risk Management et publi´e en mai 2000 dans la revue Banque Magazine :
e
L’utilisation du stress testing (en % des ´tablissements interrog´s)
e e
Actuels Envisag´se
1 Sc´narios reposant sur la politique et l’´conomie
e e 40% 45%
2 Sc´narios chocs march´s
e e 70% 55%
3 Chocs historiques 65% 58%
4 Stress testing global 30% 50%
5 Micro-stress testing 44% 29%
6 Th´orie des valeurs extrˆmes
e e 5% 24%
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 66](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-76-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
– d’impliquer dans sa construction un grand nombre de personnes aux comp´tences vari´es et jusqu’`
e e a
des niveaux de responsabilit´ tr`s ´lev´s ;
e e e e
– de cr´er r´guli`rement de nouveaux sc´narios adapt´s aux changements politiques et ´conomiques.
e e e e e e
Exemple 1 Herv´ Goulletquer, Senoir Economist au Cr´dit Lyonnais, nous a fourni un exemple de
e e
sc´nario de crise concernant une baisse de Wall Street difficilement g´rable (voir Costinot, Riboulet and
e e
Roncalli [2000]). Aux Etats-Unis, sous le double effet d’une activit´ qui ralentit et d’une inflation qui
e
devient moins sage, le march´ des actions se retourne assez brutalement (−8% sur un mois pour l’indice
e
Dow Jones). La R´serve f´d´rale est incapable de r´pondre de suite ` cette baisse brutale des cours. Les
e e e e a
taux courts restent en l’´tat tout au long du mois concern´. Le dollar subit la pression baissi`re li´e
e e e e
aux rapatriements de capitaux vers l’Europe et le Japon. L’Euro s’appr´cierait de 3 cents par rapport
e
au Dollar (toujours en un mois). La hausse de la Livre serait un peu plus forte (6 cents). Dans ce
contexte de sortie de capitaux du pays, et aussi dans un environnement qui dans un premier temps reste
marqu´ par la crainte de plus d’inflation, le march´ obligataire est mal orient´. Le rendement ` 10 ans
e e e a
d’une obligation du Tr´sor am´ricain se tend assez nettement (+55 bp). En Europe, la hausse de l’Euro
e e
freine la remont´e des taux longs (+20 bp en un mois). Dans ces conditions, la baisse du CAC40 peut
e
difficilement se comparer ` celle de Wall Street. Elle n’atteint que 5%. Et la BCE ne juge pas utile de
a
revoir son r´glage mon´taire.
e e
7.4 La m´thode WCS
e
Boudoukh, Richardson et Whitelaw [1995] d´finisse l’analyse “worst-case scenario” (ou WCS) de
e
la fa¸on suivante :
c
WCS asks the following question : what is the worst that can happen to the value of the
firm’s trading portfolio over a given period (eg, 20 trading days) ?
Comme l’explique Bahar, Gold, Kitto et Polizu [1997], l’utilisation de l’analyse WCS est motiv´e
e
par les pr´occupations r´elles des risk managers :
e e
...VaR has been criticised at a more fundamental level — that it asks the wrong question...
VaR requires a probability that loss shocks, over a short horizon, will not exceed a certain
figure. This is often interpreted as expressing the number of times a loss shock in excess of the
subjective threshold would occur over a long time horizon. But managers are more likely be
concerned with the probability of realising a specific loss shock, rather than the probability
of landing in a region of large loss shocks.
L’analyse WCS consiste ` diviser une p´riode de r´f´rence T en N sous-intervalles de mˆme longueur. Soit
a e ee e
Xn la variable al´atoire d´crivant la position nette du portefeuille pour le n-i`me sous-intervalle. Dans ce
e e e
contexte, nous pouvons d´finir la mesure de VaR ` partir du nombre de sous-intervalles qui pr´sentent
e a e
une perte sup´rieure ` une valeur donn´e x− :
e a e
N
1[Xn ≤x− ]
n=1
=1−α (7.1)
N
avec α le seuil de confiance. Pr´sent´ de cette fa¸on, x− n’est rien d’autre que la mesure VaR. En
e e c
revanche, l’analyse WCS consid`re la distribution de la perte maximale (ou la fonction de distribution
e
du pire) parmi les sous-intervalles. On cherche donc ` caract´riser la fonction de distribution GN de
a e
χ− = min (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ). Si nous supposons que les variables al´atoires Xn sont ind´pendantes
N e e
et de mˆme loi de distribution F, nous avons
e
GN (x) = Pr χ− ≤ x
N
= 1 − Pr (X1 x, . . . , Xn x, . . . , XN x)
N
= 1 − [1 − F (x)] (7.2)
Notons gN et f les fonctions de densit´ correspondantes, nous pouvons montrer facilement que
e
N −1
gN (x) = N × [1 − F (x)] f (x) (7.3)
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 68](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-78-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
Lorsque l’horizon consid´r´ est un jour de trading et pour α ´gal ` 1%, la mesure de risque est bien ´gale
ee e a e
a
` 2.33, la Valeur en Risque. Lorsque nous prenons 5 jours de trading, la mesure de risque passe ` 2.88.
a
Nous voyons bien que le risque d´pend alors du nombre de jours de trading consid´r´. La coubure de la
e ee
fonction G−1 (α) en fonction de N nous donne une certaine vision “dynamique” du risque3 . A partir
N
de la fonction de distribution du pire, nous pouvons construire d’autres mesures de risque. Par exemple,
nous pouvons consid´r´ l’esp´rance du pire η (N ) d´finie par
ee e e
η (N ) = −E [χN ]
N −1
≡ −N × [1 − F (x)] f (x) x dx (7.5)
Comme le montre le graphique (7.2), cette esp´rance du pire d´pend fortement de la fonction de densit´
e e e
et notamment de la queue gauche de celle-ci. Nous voyons clairement que dans le cas o` la fonction de
u
distribution des pertes potentielles est leptokurtique (cas de la Student T1 ), la diff´rence de risque entre
e
cette distribution et la distribution gaussienne estim´e peut croˆ tr`s fortement avec N .
e ıtre e
GRAPHIQUE 7.2. L’influence de la queue de distribution sur η (N )
On associe g´n´ralement l’analyse WCS aux simulations de crises, car elles sont toutes les deux li´es `
e e e a
la notion de temps de retour. En g´n´ral, une m´thodologie VaR a du mal ` appr´hender les crises. En
e e e a e
effet, les temps de retour bas´s sur les VaRs manquent g´n´ralement de r´alisme. L’analyse WCS ou la
e e e e
th´orie des extrˆmes, qui fait l’objet de la prochaine section, sont des outils plus adapt´s dans ces cas-l`
e e e a
(Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu [1997]) :
On remarque d’abord le r´alisme des r´sultats obtenus par la m´thode statistique des
e e e
extrˆmes. Ainsi, lors du krach d’octobre 1987, la variation quotidienne la plus forte de l’indice
e
MSCI France fut de 8.4%. Cette chute correspond ` une dur´e de retour estim´e ` treize ans
a e e a
par la m´thode des extrˆmes, alors que l’approche par la loi normale fournit une dur´e de
e e e
retour de l’ordre de dix milliards d’ann´es. Ici la m´thode param´trique est mise en d´faut
e e e e
parce que le quantile consid´r´ (99.97%) a trait ` un ´v´nement tr`s rare.
ee a e e e
3 Cependant, comme les variables al´atoires Xn sont ind´pendantes, cette dynamique ne tient pas compte des effets de
e e
contagion.
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 70](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-80-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
puisque de nombreuses r´alisations sont dans des domaines qui pr´sentent des occurences tr`s faibles (qui
e e e
sont ´gales num´riquement ` z´ro).
e e a e
GRAPHIQUE 7.4. Distribution jointe des rendements des titres BARCLAYS et LLOYDS/TSB
Il faut bien comprendre que la th´orie des valeurs extrˆmes, mˆme si elle est li´e aux recherches dans
e e e e
le domaine des queues ´paisses, n’est pas un outil de mod´lisation du caract`re leptokurtique
e e e
d’une distribution. En fait, elle permet de caract´riser la loi des extrema. Dans la section pr´c´dente,
e e e
nous d´terminions la distribution des minima ` partir de la fonction de densit´ qui les engendrent. La
e a e
th´orie des valeurs extrˆmes va nous permettre, en particulier, d’estimer directement la distribution `
e e a
partir des donn´es. L’id´e est donc la suivante :
e e
Que pouvons nous dire de la distribution limite lim GN (x)
N −→∞
sans faire d’hypoth`ses sur la distribution F ?
e
Comme l’explique McNeil [1998a], nous ne pouvons affirmer que la th´orie des valeurs extrˆmes permet
e e
de pr´dire le futur avec certitude. Mais le pass´ contient assez d’information (qui n’est pas forc´ment
e e e
observable) sur les extrema pour pouvoir mod´liser G∞ (x), sans pour autant vouloir connaˆ la fonction
e ıtre
F. Et cela est possible, car sous certaines conditions, G∞ (x) ne peut ˆtre d´cliner qu’en un nombre
e e
tr`s limit´ de lois de distribution (voir l’annexe 7.5.6.1 pour une d´monstration intuitive).
e e e
7.5.2 La th´orie classique
e
7.5.2.1 Pr´sentation des 3 lois d’extrˆmes
e e
Nous reprenons les notations introduites pour d´finir la distribution du pire. Nous consid´rons N varia-
e e
bles al´atoires X1 , . . . , Xn , . . . , XN ind´pendantes et de mˆme loi de distribution F dont nous cherchons `
e e e a
´tudier le comportement des extrˆmes χ− = min (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ) et χ+ = max (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ).
e e N N
Pour cela, nous pouvons utiliser la statistique d’ordre Y sur X, c’est-`-dire que nous avons
a
χ− = Y1 ≤ · · · ≤ Yn ≤ · · · ≤ YN = χ+
N N (7.6)
k(N )
Consid´rons alors la variable al´atoire Λ =
e e (Yn ). Embrechts, Resnick et Samorodnitsky
n=1
[1997] donnent diff´rents exemples d’utilisation de Λ en finance :
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 72](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-82-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
1
– Si (y) = k(N ) × y, Λ correspond ` la moyenne des k (N )-i`mes pertes les plus importantes ;
a e
– Si (y) = (y − − y)+ et k (N ) = N , Λ repr´sente la somme des pertes plus grandes qu’un seuil ;
e
– Si (y) = y et k (N ) = αN , Λ est le quantile α de X.
Avec la th´orie des extrˆmes, nous nous int´ressons directement ` Λ = Y1 et Λ = YN . Pour cela, nous
e e e a
avons besoin du th´or`me de Fisher-Tippet qui permet de caract´riser la loi de distribution des extrˆmes :
e e e e
Th´or`me 1 (Th. 3.2.3 de Embrechts, Kl¨ ppelberg et Mikosch (1997)) Supposons N variables
e e u
al´atoires X1 , . . . , Xn , . . . , XN ind´pendantes et de mˆme loi de distribution F. S’il existe des constantes
e e e
aN et bN et une distribution limite non d´g´n´r´e G telles que
e e e e
χ+ − bN
N
lim Pr ≤x = G (x) ∀x ∈ R (7.7)
N −→∞ aN
alors G appartient ` l’un des trois types suivants de distribution :
a
0 x≤0 0
Type I (Frechet) G (x) = g (x) =
exp (−x−α ) x0 αx−(1+α) exp (−x−α )
α α−1 α
exp (− (−x) ) x≤0 α (−x) exp (− (−x) )
Type II (Weibull) G (x) = g (x) =
1 x0 0
Type III (Gumbel) G (x) = exp (−e−x ) x∈R g (x) = exp (−x − e−x )
C’est l’un des r´sultats les plus importants de la th´orie des extrˆmes : sous certaines conditions, la loi
e e e
de distribution des extrˆmes est l’une des trois lois param´triques pr´c´dentes. En fait, nous pouvons
e e e e
caract´riser ces trois types de distribution par une distribution unique (Coles et Tawn [1999]) :
e
1
−ξ
x−µ
G (x) = exp − 1 + ξ (7.8)
σ
d´fini sur le support ∆ = x : 1 + ξ x−µ 0 et que nous notons G (µ, σ, ξ). Cette fonction de distribu-
e σ
tion correspond ` la loi de probabilit´ de Von Mises, mais elle est plus connue sous le nom de “Generalized
a e
Extreme Value distribution” (GEV). Nous avons alors les correspondances suivantes :
Frechet ξ = α−1 0
Weibul ξ = −α−1 0
Gumbel ξ −→ 0
Remarquons que les param`tres µ et σ sont en fait les limites de bN et aN . A titre d’illustration, voyons
e
quelques exemples de distribution GEV. Pour cela, nous pouvons facilement montrer que la fonction de
densit´ correspondante est
e
−( 1+ξ ) 1
−ξ
1 x−µ ξ
x−µ
g (x) = 1+ξ exp − 1 + ξ (7.9)
σ σ σ
Les graphiques (7.5) et (7.6) pr´sentent des fonctions de densit´ et de r´partition pour diff´rentes valeurs
e e e e
de param`tre. Lorsque µ varie, nous remarquons une translation des fonctions. µ est donc un param`tre
e e
de localisation. σ joue le rˆle d’une variance, c’est pourquoi nous le consid´rons comme un param`tre
o e e
de dispersion. Enfin, le param`tre ξ est li´ au caract`re leptokurtique de la fonction de distribution F.
e e e
C’est pourquoi on lui donne g´n´ralement le nom d’indice de queue ou d’indice de valeur extrˆme (Drees
e e e
[1997]).
´ ˆ
7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 73](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-83-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
7.5.2.2 Quelques remarques sur les lois d’extrˆmes
e
L’´tude des lois d’extrˆme est tr`s int´ressante. C’est un domaine de recherche prolifique. Dans ce
e e e e
paragraphe, nous pr´sentons quelques r´sultats remarquables.
e e
Remarque 9 Reprenons l’analyse WCS et appliquons celle-ci au maximum χ+ . Nous avons alors
N
N
GN (x) = F (x)
N −1
gN (x) = N × F (x) f (x) (7.10)
et
lim GN (x) = G (x) (7.11)
N →∞
Il est alors int´ressant d’´tudier la vitesse de convergence qui permet d’avoir une id´e de la p´riode de
e e e e
r´f´rence de l’analyse WCS pour que celle-ci soit “´quivalente” ` la th´orie des extrˆmes.
ee e a e e
Voyons un exemple. Nous consid´rons la distribution gaussienne standard. Nous savons que la loi des
e
extrˆmes correspondante est une Gumbel. Sur le graphique (7.7), nous remarquons que l’approximation
e
de G1 (x) par une loi de Gumbel est moins bonne que celle de G10000 (x). Nous consid´rons mainte-
e
GRAPHIQUE 7.7. Convergence de GN vers la distribution de Gumbel lorsque F est gaussienne
nant plusieurs distributions : la loi gaussienne, la loi exponentielle, la loi de Student T4 et la loi α-stable
sym´trique5 S0.7 (1, 0, 0). Pour mesurer la convergence, Coles et Tawn [1999] proposent d’´tudier gra-
e e
x−bN
phiquement le comportement de − ln − ln GN aN en fonction de N et de le comparer celui-ci
de la loi limite. Pour les lois gaussienne et exponentielle, la loi limite est la distribution de Gumbel.
Pour les deux autres, c’est la distribution de Fr´chet. Le probl`me est de construire les suites (aN ) et
e e
χ+ −b
(bN ). Pour la loi exponentielle, nous pouvons montrer que si aN = 1 et bN = − ln (N ), NaN N converge
bien en loi vers la famille de type III. Pour les autres lois, la connaissance des suites (aN ) et (bN ) n’est
5 voir Nolan [1999].
´ ˆ
7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 75](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-85-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
GRAPHIQUE 7.8. Convergence de certaines distributions vers la distribution de Fr´chet
e
pas toujours v´rifi´e6 . Dans ce cas, nous pouvons construire les suites num´riquement en adoptant un
e e e
crit`re de bonne ad´quation7 entre GN x−bN et la loi limite G (x). Les r´sultats sont pr´sent´s sur le
e e aN e e e
graphique (7.8). Nous voyons ainsi que la convergence de la loi exponentielle est bien plus rapide que celle
de la loi gaussienne. Et les distributions qui ont des queues leptokurtiques (c’est le cas des distributions
T4 et S0.7 (1, 0, 0)) pr´sentent des vitesses de convergence plus faibles.
e
Remarque 10 Le quantile G−1 (α) d’ordre α pour la distribution GEV est donn´ par la formule suivante :
e
σ −ξ
G−1 (α) = µ − 1 − (− ln α) (7.12)
ξ
Ce quantile est donc fortement influenc´8 par les deux param`tres σ et ξ. A titre d’illustration, le graphique
e e
(7.9) pr´sente diff´rentes courbes de quantiles en fonction de ξ. Intuitivement, nous comprenons que plus
e e
la distribution F poss`de de la variance et plus elle est leptokurtique, plus ce quantile sera ´l´v´.
e ee e
Remarque 11 Nous pouvons montrer que le mode de la distribution GEV est atteint pour la valeur
ξ
µ+σ (1 − ξ) . Quant ` la moyenne E χ+ , nous pouvons la calculer facilement en utilisant une proc´dure
a N e
d’int´gration num´rique de type Gauss-Legendre ou Gauss-Hermite.
e e
Nous avons maintenant presque tous les ´l´ments pour appliquer la th´orie des valeurs extrˆmes ` la
ee e e a
gestion du risque. Soit P la perte potentielle d’un portefeuille. Mesurer le risque revient alors ` analyser
a
6 Coles et Tawn [1999] fournissent deux expressions pour (a ) et (b ) pour la loi gaussienne, mais celles-ci s’av`rent
e
N N
num´riquement non ad´quates, notamment pour des faibles valeurs de N . C’est pourquoi nous avons aussi pr´f´r´ utiliser
e e ee e
la m´thode num´rique de construction des suites pour la loi gaussienne.
e e
7 Nous avons utilis´ une norme
e 2 pour le crit`re d’ad´quation.
e e
8 En effet, nous avons
σ
∂α G−1 (α) = (7.13)
α (− ln α)1+ξ
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 76](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-86-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
GRAPHIQUE 7.9. Quantile de la distribution GEV
la loi du maximum de −P, c’est-`-dire la distribution du pire. A partir de celle-ci, nous pouvons calculer
a
les quantiles du pire, l’esp´rance ou le mode du pire, les temps de retour, etc. Avant de voir quelques
e
applications, il reste cependant ` d´velopper l’inf´rence statistique et les m´thodes d’estimation d’une
a e e e
distribution GEV.
7.5.2.3 Estimation des param`tres de la distribution GEV
e
Il existe plusieurs m´thodes pour estimer les param`tres de la distribution GEV. Nous pouvons par
e e
exemple citer les m´thodes d’estimation de l’indice de queue (de type Hill ou Pickands — voir Drees,
e
De Haan et Resnick [1998]), la m´thode des moments ou encore les m´thodes de seuil (bas´e par
e e e
exemple sur la distribution de Pareto g´n´ralis´e). Mais celle qui reste la plus populaire et qui sous
e e e
certaines conditions est la plus efficace est la m´thode du Maximum de Vraisemblance9 .
e
Soit θ le vecteur des param`tres. Nous avons
e
µ
θ= σ
ξ
Nous consid´rons un ´chantillon de donn´es {Xt } de dimension T = ϕN avec ϕ ∈ R. Nous divisons cet
e e e
´chantillon en N blocs et nous d´finissons χ+ de la fa¸on suivante
e e n c
χ+ = max
n X1+n(t−1) , t = 1, . . . , ϕ (7.14)
L’expression de la vraisemblance de l’observation n est donc
−( 1+ξ ) 1
−ξ
1 χ+ − µ
n
ξ
χ+ − µ
n
L χ+ ; θ
n = 1+ξ exp − 1 + ξ (7.15)
σ σ σ
9 Nous utilisons ici les notations et la terminologie de Davidson et MacKinnon [1993], ouvrage de r´f´rence sur la
ee
question du maximum de vraisemblance.
´ ˆ
7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 77](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-87-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
Nous en d´duisons l’expression suivante pour la log-vraisemblance :
e
1
−ξ
1+ξ χ+ − µ
n χ+ − µ
n
χ+ ; θ = − ln σ −
n ln 1 + ξ − 1+ξ (7.16)
ξ σ σ
L’estimateur du maximum de vraisemblance correspond alors `
a
N
ˆML = arg max
θ χ+ ; θ (7.17)
n
θ∈Θ n=1
avec Θ l’espace des param`tres. L’estimation de l’expression (7.17) est relativement ais´e ` condition de
e e a
prendre quelques pr´cautions, notamment pour la sp´cification de Θ (` cause de la singularit´ au point
e e a e
ξ = 0). Pour les applications, nous avons utilis´ l’algorithme de Bryoden-Flectcher-Goldfarb-Shanno en
e
utilisant un jacobien analytique (voir l’annexe 7.5.6.2).
7.5.3 Le concept de temps de retour
Pour appliquer la th´orie des extrˆmes ` la finance, il est n´cessaire d’introduire la notion de temps de
e e a e
retour. Consid´rons un ´v´nement E ayant une probabilit´ d’occurence ´gale ` α. La loi d’apparition de
e e e e e a
cet ´v´nement est alors une variable al´atoire g´om´trique de probabilit´ α. Son esp´rance math´matique
e e e e e e e e
est
1
τ= (7.18)
α
τ est le temps de retour de E.
Exemple 2 Consid´rons une VaR 99%. Le temps de retour associ´ ` l’´v´nement “d´passement de la
e e a e e e
VaR” est
1
τ= = 100 (7.19)
1 − 0.99
Si la p´riode de d´tention est de 1 jour, le temps de retour de la VaR 99% est 100 jours. Cela veut dire
e e
qu’on d´passe la VaR journali`re en moyenne tous les 100 jours.
e e
−1
D´finition 1 Soit α = Pr {χ+ ≤ x}. Le temps de retour de l’´v´nement Pr {χ+ x} est ´gal ` (1 − α)
e n e e n e a
p´riodes de r´f´rence. Le temps de retour en jours est donc
e ee
1
τ =ϕ (7.20)
1−α
Remarque 12 Nous pouvons comparer les r´sultats entre une V aR traditionnelle et une V aR GEV `
e a
partir de la relation suivante :
αGEV = 1 − ϕ (1 − αVAR ) (7.21)
7.5.4 Applications
´
Nous reportons les r´sultats obtenus par Bezat et Nikeghbali [2000] et Bouye, Durrleman, Ni-
e
keghbali, Riboulet et Roncalli [2000] avec la base de donn´es LME (les cours consid´r´s sont celui
e ee
de l’aluminium AL, du forward 15 mois de l’aluminium AL-15 et du cuivre CU).
Nous ´laborons des sc´narios de crise de la mani`re suivante. On se donne des temps de retour ´lev´s
e e e e e
de l’ordre de 5 ans, 10 ans, 25 ans, 50 ans, 75 ans et 100 ans et on utilise la formule (7.20) pour calculer
la variation maximale n´gative des cours sur une journ´e. Les r´sultats obtenus sont10 :
e e e
10 Pour information, la valeurs des param`tres estim´s sont
e e
Param`tres
e AL AL-15 CU
µ 0.022 0.018 0.028
σ 0.007 0.006 0.013
ξ 0.344 0.275 0.095
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 78](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-88-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
Echelles de Risque (en variation journali`re)
e
pour des positions longues (en %)
Temps de Retour AL AL-15 CU
5 -6.74 -4.82 -8.03
10 -8.57 -5.90 -9.35
25 -11.75 -7.68 -11.23
50 -14.91 -9.36 -12.76
75 -17.14 -10.49 -13.70
100 -18.92 -11.38 -14.39
Echelles de Risque (en variation journali`re)
e
pour des positions courtes (en %)
Temps de Retour AL AL-15 CU
5 6.96 5.79 7.53
10 8.35 7.10 8.82
25 10.46 9.20 10.73
50 12.32 11.12 12.34
75 13.52 12.39 13.36
100 14.43 13.38 14.12
Nous avons report´ en outre sur les figures (7.10) et (7.11) la densit´ des lois d’extrˆmes estim´es ainsi
e e e e
que la relation entre l’´chelle de risque et le temps de retour dans le cas des positions longues.
e
Notons qu’il existe d’autres alternatives ` l’utilisation de la GEV. Costinot, Riboulet et Roncalli
a
[2000] utilisent une approche dite semi-param´trique en s’appuyant sur le fait que les s´ries financi`res
e e e
appartiennent au domaine d’attraction de la distribution de Fr´chet. Les quantiles extrˆmes se d´duisent
e e e
des quantiles empiriques ` partir d’une simple homoth´tie param´tr´e par l’indice de queue (voir aussi
a e e e
les travaux de Straetmans [1999,2000]). Dans cette approche, l’indice de queue est alors donn´ pare
l’estimateur de Hill.
GRAPHIQUE 7.10. Estimation des densit´ des lois des extrˆmes
e e
´ ˆ
7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 79](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-89-320.jpg)
![CHAPITRE 7. LES PROGRAMMES DE STRESS-TESTING
GRAPHIQUE 7.11. Relation entre l’´chelle de risque et le temps de retour
e
7.5.5 Le cas multidimensionnel
Cette partie fera l’objet d’un d´veloppement dans le cours “Gestion des risques multiples”. Pour une
e
´
premi`re approche, vous pouvez consulter Bezat et Nikeghbali [2000] et Bouye, Durrleman, Ni-
e
keghbali, Riboulet et Roncalli [2000].
7.5.6 Annexes
7.5.6.1 Forme g´n´rale d’une loi d’extrˆmes
e e e
Nous pouvons montrer que la forme g´n´rale d’une loi d’extrˆmes est exp (h (x)). Nous avons GN (x) =
e e e
N
F (x) et
N N −1
dGN (x) = F (x) ln F (x) dN + N F (x) f (x) dx (7.22)
Nous en d´duisons que
e
f (x)
d ln GN (x) = ln F (x) dN + N dx := hN (x) (7.23)
F (x)
Il est alors facile de montrer que sous certaines conditions de r´gularit´, hN (x) = h (x) lorsque N −→ ∞
e e
et F (x) −→ 1− . En introduisant une contrainte de stabilit´ (la distribution des extrema d’un sous-
e
´chantillon doit ˆtre la mˆme que celle de l’´chantillon original), Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu
e e e e
[1997] montrent que h est la solution d’une ´quation fonctionnelle qui ne poss`de que trois solutions.
e e
7.5.6.2 Jacobien analytique de la fonction de log-vraisemblance
Nous avons
1
1 + ξ − ω− ξ
∂µ χ+ ; θ
n =
σω
1
(1 + ξ) − ω − ξ (χ+ − µ) − σω
n
∂σ χ+ ; θ
n =
σ2 ω
1 1 (χ+ − µ) (χ+ − µ)
∂ξ χ+ ; θ
n = 1 − ω− ξ 2 ln ω −
n
− n
(7.24)
ξ ξσω σω
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 80](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-90-320.jpg)
![avec
χ+ − µ
n
ω =1+ξ (7.25)
σ
Bibliographie
[1] Bahar, R., M. Gold, T. Kitto et C. Polizu [1997], Making the best of the worst, Risk Magazine,
10, August
[2] Bezat, A. et A. Nikeghbali [2000], La th´orie des extrˆmes et la gestion des risques de march´, GT
e e e
ENSAE
[3] Boudoukh, J., M. Richardson et R. Whitelaw [1995], Expect the worst, Risk Magazine, 8,
September
[4] Boulier, J-F., A. Brabant, R. Dalaud et A-L. Dieu [1997]. Risques de march´ : Vue de Profil,
e
Direction de la Recherche et de l’Innovation, Cr´dit Commercial de France, Quants, 28
e
´
[5] Bouye, E., V. Durrleman, A. Nikeghbali, G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Copulas for
finance : a reading guide and some applications, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais,
e e
Working Paper
[6] Coles, S. [1998], Extreme value theory and applications, A course presented at the 44th Reuni˜o
a
Annual de RBRAS, S˜o Paulo, 26-30 July
a
[7] Coles, S. et J. Tawn [1999], Statistical methods for extreme values, A course presented at the 1988
RSS conference, Strathclyde, September 1998
[8] Costinot, A., G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Stress-testing et th´orie des valeurs extrˆmes :
e e
une vision quantifi´e du risque extrˆme, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working
e e e e
Paper
[9] Davidson, R. et J. MacKinnon [1993], Estimation and Inference in Econometrics, Oxford University
Press, Oxford
[10] Drees, H. [1997], Optimal rates of convergence for estimates of the extreme value index, University
of Cologne, Technical report
[11] Drees, H., L. De Haan et S. Resnick [1998], How to make a Hill plot, University of Cologne,
Technical report
[12] Dunbar, N. et R. Irving [1998], This is the way the world ends, Risk Magazine, 11, December
¨
[13] Embrechts, P., Kluppelberg, C. et T. Mikosch [1997], Modelling Extremal Events for Insurance
and Finance, Springer-Verlag, Berlin
[14] Embrechts, P., Resnick, S.I. et G. Samorodnitsky [1997], Extreme value theory as a risk ma-
nagement tool, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint
u
[15] Embrechts, P., Resnick, S.I. et G. Samorodnitsky [1998], Living on the edge, Risk Magazine,
11, January
[16] McNeil, A.J. [1997a], On extremes and crashes, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint
u
[17] McNeil, A.J. [1997b], Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory,
ASTIN Bulletin, 27, 117-137
[18] McNeil, A.J. [1998a], History repeating, Risk Magazine, 11, January
[19] McNeil, A.J. [1998b], Calculating quantile risk measures for financial return series using extreme
value theory, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint
u
[20] McNeil, A.J. [1999], Extreme value theory for risk managers, Departement Mathematik, ETHZ,
Z¨rich, Preprint
u
[21] Tucker, T et A. Lawrence [1998], Chain reaction, FOW, November, 25-28](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-91-320.jpg)
![´ ´ ´ ´
CHAPITRE 8. PRESENTATION GENERALE DU RISQUE DE CREDIT
– La d´gradation de la qualit´ du cr´dit constitue la troisi`me source de risque portant sur une dette.
e e e e
Si la perception de la qualit´ de l’emprunteur se d´t´riore, la prime de risque accord´e par les
e ee e
march´s financiers s’accroˆ en cons´quence. De plus, si l’emprunteur b´n´ficie d’une note de la part
e ıt e e e
d’une agence de notation, celle-ci est susceptible de se d´grader suite ` la perception n´gative des
e a e
march´s.
e
Notons que les risques de d´faut et de d´gradation sont fortement corr´l´s dans la mesure o` la d´gradation
e e ee u e
de la qualit´ de la contrepartie peut ˆtre pr´curseur d’un d´faut. Ce sont n´anmoins deux risques bien
e e e e e
distincts. Le risque de d´gradation se traduit par une possible d´valorisation de la dette au cours sa
e e
p´riode de vie. Les pertes li´es ` la d´gradation de la qualit´ de la contrepartie se r´alisent donc en cas
e e a e e e
de vente anticip´e de la dette sans qu’un d´faut se soit pour autant produit.
e e
8.2 Le march´ du risque de cr´dit
e e
C’est un march´ tr`s h´t´rog`ne puisque le risque de cr´dit prend diff´rentes formes. On distingue
e e ee e e e
n´anmoins deux grandes cat´gories. La premi`re correspond aux prˆts bancaires (et plus g´n´ralement
e e e e e e
aux diff´rentes facilit´s de cr´dit telles que les lignes de cr´dit confirm´es ou non confirm´es). Dans ce
e e e e e e
cas l`, l’´v´nement de cr´dit (credit event) est un risque de d´faillance (ou de contrepartie). La seconde
a e e e e
cat´gorie correspond aux obligations risqu´es. Cela explique en partie que les banques utilisent des outils
e e
diff´rents pour mesurer et g´rer le risque de cr´dit selon le portfeuille consid´r´. La principale diff´rence
e e e ee e
tient au choix de l’horizon temporel (default mode (DM) paradigm et Mark-to-market (MTM)
paradigm).
8.2.1 Le march´ des prˆts bancaires
e e
Ce n’est pas un march´ au sens ´conomique du terme. Le risque de cr´dit provient d’une asym´trie
e e e e
d’information entre la banque et son client.
– Prˆts court terme et long terme ;
e
– Lignes de cr´dit confirm´es et non confirm´es ;
e e e
– Financement structur´s ;
e
– etc.
8.2.2 Le march´ des obligations risqu´es
e e
En ce qui concerne le march´ des obligations risqu´es (risky bond), Turc [1999] consid´re que la
e e e
probl´matique du risque de cr´dit est triple :
e e
D’une part, l’´mission des obligations implique une probl´matique de la demande de cr´dit : pourquoi
e e e
se financer par obligation ? D’autre part elle est achet´e, ´chang´e, agr´ment´e de d´riv´s en tout genre,
e e e e e e e
sujette ` sp´culation d’o` une probl´matique de trading, ou d’interm´diation financi`re : comment prendre
a e u e e e
en compte le risque de d´faut dans le prix d’un produit d´riv´ ? Enfin, l’obligation est partie int´grante du
e e e e
portefeuille d’un investisseur, ce qui engendre un probl´matique de gestion : comment g´rer un portfeuille
e e
avec risque de cr´dit, comment estimer le risque globalement encouru par le d´tenteur de ce portefeuille ?
e e
L’investisseur en obligations risqu´es cherche un placement plus rentable que celui des obligations d’´tat
e e
(sovereign debt). La diff´rence entre la rentabilit´ d’une obligation risqu´e et d’une obligation sˆre est
e e e u
appel´e le spread de taux. Deux composantes expliquent ce spread de taux : le spread de cr´dit (risque
e e
de d´pr´ciation de la qualit´ de signature de l’emprunteur) et la liquidit´ (profondeur du carnet d’ordre).
e e e e
8.2.3 Les d´riv´s de cr´dit
e e e
Contrairement aux prˆts bancaires et aux obligations risqu´es qui sont une source de risque de cr´dit,
e e e
les d´riv´s du cr´dit sont des instruments financiers hors bilan qui permettent de transf´rer le risque de
e e e e
l’actif ` une contrepartie sans c´der cet actif.
a e
1. Premi`re g´n´ration de d´riv´s de cr´dit
e e e e e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 86](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-96-320.jpg)
![– Credit Guarantees
– Revolving Credit
– Repo Market
– Asset Swaps
– Structured Notes
2. Deuxi`me g´n´ration de d´riv´s de cr´dit
e e e e e e
– Credit default swaps (CDS)
– Default digital put
– Total return swaps
– Credit linked notes
– Spread Options
3. Troisi`me g´n´ration de d´riv´s de cr´dit
e e e e e e
– First-to-defaults (F2D)
– First losses
– Collateralized bond obligations (CBO)
– Collateralized loan obligations (CLO)
– Collateralized debt obligations (CDO)
– Basket credit derivatives
Bibliographie
[1] Credit risk modelling : current practices and applications, Basle Committee on Banking Supervision,
April 1999, N◦ 49
[2] Legras, J. et L. Bonnat [2001], Le Cooke est mort, vive le Cooke, Cr´dit Commercial de France,
e
Quants, 38
[3] Turc, J. [1999], Pr´sentation du march´ du risque de cr´dit, CDC March´s, S´minaire INRIA du 8
e e e e e
juin 1999](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-97-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
5. The Inter-American Development Bank (IADB)
6. The European Investment Bank (EIB)
7. The Nordic Investment Bank (NIB)
8. The Caribbean Development Bank (CDB)
9. The Council of Europe Development Bank (CEDB)
Pour les banques, les autorit´s r´glementaires ont le choix entre deux options. Dans la premi`re
e e e
option, la pond´ration d´pend de la notation du pays et non de la banque. Par exemple, la
e e
pond´ration 20% est applicable aux banques dont le si`ge social est dans un ´tat not´ AAA ` AA-. Dans
e e e e a
la seconde option, la pond´ration d´pend de la notation de la banque et de la maturit´ de
e e e
la cr´ance. Ainsi, une pond´ration plus favorable est appliqu´e aux cr´ances d’une dur´e inf´rieure ou
e e e e e e
´gale ` 3 mois. Afin de bien comprendre les deux options, voici quelques exemples :
e a
Caract´ristiques de la cr´ance
e e Pond´ration
e
Rating du pays Rating de la banque Maturit´ e Option 1 Option 2
1 AAA BBB 1 mois 20% 20%
2 AAA BBB 10 ans 20% 50%
3 BB+ AA 3 mois 100% 20%
4 BB+ AA 1 an 100% 20%
5 non not´e A 4 mois 100% 50%
6 A non not´e 4 mois 50% 50%
Pour les entreprises d’investissement (securities firms), les pond´rations sont les mˆmes que celles
e e
des banques.
Les pond´rations pour les entreprises (corporates) s’appliquent aussi aux compagnies d’assurance
e
(insurance companies). Contrairement aux banques, il n’y a qu’une seule option et seule la notation
de l’entreprise est prise en compte. N´anmoins, le d´coupage des classes de rating est diff´rent de celui
e e e
des emprunteurs souverains. Concernant les entreprises non not´es, le Comit´ de Bˆle consid`re que leurs
e e a e
cr´ances ne sont pas g´n´ralement de qualit´ faible (signal low credit quality) et qu’une pond´ration
e e e e e
de 150% serait trop p´nalisante.
e
Enfin, les cr´ances garanties par des biens immobiliers r´sidentiels (claims secured by residential
e e
property) et par des biens immobiliers commerciaux (claims secured on commercial real estate) sont
pond´r´es respectivement ` 50% et 100%. Concernant les actifs de la banque de r´seau (retail assets),
ee a e
aucune m´thodologie n’a encore ´t´ propos´e.
e ee e
9.3 Les notations externes
Le cœur de l’approche standard (Standardized Approach ou SA) est bien sˆr les notations externes.
u
Celles-ci sont faites par des organismes externes d’´valuation de cr´dit (External Credit Assessment
e e
Institution ou ECAI). Nous pouvons citer par exemple les agences de rating les plus c´l`bres Standard
ee
Poor’s, Moody’s, Fitch IBCA et DCR. La Banque de France fournit aussi une notation appel´e “code BdF”.
e
Nous pouvons aussi mentionner que la COFACE produit des notes pays. Les autorit´s r´glementaires
e e
auront donc ` valider les ECAI que pourront utiliser les banques. Pour cela, une ECAI devra v´rifier
a e
diff´rents crit`res d’´ligibilit´ (voir les paragraphes 53 ` 62 du document [1]) :
e e e e a
– Objectivit´ (m´thodologie rigoureuse et valid´e par un backtesting)
e e e
– Ind´pendance (pas de pressions politiques ou ´conomiques susceptibles d’influencer la notation)
e e
– Acc`s international et transparence
e
– Information (publication des m´thodologies d’´valuation)
e e
– Ressources
9.3. LES NOTATIONS EXTERNES 91](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-101-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
– Cr´dibilit´
e e
La principale difficult´ va ˆtre le mapping des diff´rentes notations. Le 30 avril 2001, le Comit´ de Bˆle
e e e e a
proposait la correspondance suivante entre les deux grandes agences internationales de notation :
Prime High Grade Upper Lower
Maximum Safety High Quality Medium Grade Medium Grade
SP AAA AA+ AA AA- A+ A A- BBB+ BBB BBB-
Moody’s Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3
Non Investment Speculative Highly Substantial In Poor
Grade Speculative Risk Standing
SP BB+ BB BB- B+ B B- CCC+ CCC CCC-
Moody’s Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1 Caa2 Caa3
Extremely May be Default
Speculative in Default
SP CC C D
Moody’s Ca C
Des travaux sont en cours pour obtenir un mapping plus exhaustif. A titre d’exemple, Bardos [2001]
propose le rapprochement suivant entre les cotations Banque de France et les ratings SP pour les risques
pond´r´s Corporate :
ee
Notation AAA ` AA-
a A+ ` A-
a BBB+ ` BB-
a BB- ` C
a non not´
e
Cote BdF A37 Autres A37 47 57, 67, 58, 59, 68 et 69
Pond´ration
e 20% 50% 100% 150% 100%
A titre d’exemples, voici quelques notations que nous pouvons trouver sur le site de SP :
http ://www.standardandpoors.com/RatingsActions/index.html
– Extrait de Sovereign Ratings List (October 11, 2001) :
Local Currency Foreign Currency
Long- Short- Long- Short-
Sovereign term Outlook term term Outlook term
rating rating rating rating
Argentina CCC+ Negative C CCC+ Negative C
Belgium AA+ Stable A-1+ AA+ Stable A-1+
Canada AAA Stable A-1+ AA+ Stable A-1+
Colombia BBB Negative A-3 BB Negative B
Denmark AAA Stable A-1+ AAA Stable A-1+
France AAA Stable A-1+ AAA Stable A-1+
Suriname B Watch Neg B- Watch Neg
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 92](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-102-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
GRAPHIQUE 9.2. Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de l’exposition E (CA = 50)
e e
avec HE la d´cote li´e ` la volatilit´ de l’exposition, HC la d´cote li´e ` la volatilit´ de la sˆret´ et HF X
e e a e e e a e u e
la d´cote li´e au risque de change. Pour calculer ces d´cotes, nous avons deux possibilit´s :
e e e e
– utiliser des d´cotes prudentielles standard donn´es par le Comit´ de Bˆle,
e e e a
– ou les estimer statistiquement.
L’annexe 3 du document [1] pr´sente les estimations des d´cotes prudentielles standard (en %) lorsque
e e
la p´riode de d´tention est 10 jours et la valorisation et la reconstitution des marges sont journali`res
e e e
(10-business day haircuts assuming daily mark-to-market and daily remargining) :
Notation Maturit´ r´siduelle
e e Emprunteurs souverains Banques/Entreprises
0 ` 1 an
a 0.5 1
AAA ` AA
a 1` 5 ans
a 2 4
+5 ans 4 8
0 ` 1 an
a 1 2
A ` BBB
a 1` 5 ans
a 3 6
+5 ans 6 12
BB 20
Esp`ces
e 0
Or 15
Actions d’un indice principal 20
Actions d’une bourse “internationale” 30
Risque FX 8
Consid´rons une sˆret´ de de $100 sur une obligation du tr´sor AAA. Si la maturit´ r´siduelle de l’obli-
e u e e e e
gation est 10 ans et si la sˆret´ est en esp`ces dans la devise de l’obligation, alors nous avons
u e e
100
CA = = $96.153
1 + 0.04 + 0 + 0
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 96](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-106-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
Si la devise de l’obligation et la devise des esp`ces sont diff´rentes, il y a un risque de change et nous
e e
obtenons
100
CA = = $89.285
1 + 0.04 + 0 + 0.08
Supposons maintenant que la sˆret´ correspond ` de l’or, nous avons
u e a
100
CA = = $84.033
1 + 0.04 + 0.15 + 0
Consid´rons maintenant une obligation d’´tat BB, une sˆret´ constitu´e par des actions d’une bourse
e e u e e
“internationale” (mais qui ne sont pas dans un indice principal) libell´es dans une devise ´trang`re. La
e e e
valeur ajust´e de la sˆret´ devient
e u e
100
CA = = $63.291
1 + 0.20 + 0.30 + 0.08
Si nous appliquons le risque r´siduel, nous obtenons (1 − 15%) × $63, 291 = $53, 797. Dans ce dernier cas,
e
la valeur ajust´e du colat´ral apr`s prise en compte du risque r´siduel ne repr´sente que la moiti´ de la
e e e e e e
valeur nominale de la protection.
Dans le cadre d’une estimation interne des d´cotes, celle-ci doit v´rifier les mˆmes crit`res quantitatifs
e e e e
que ceux pour le risque de march´. En particulier, la p´riode de d´tention est fix´e ` 10 jours et le seuil
e e e e a
de confiance est 99%.
Quelque soit l’approche retenue pour calculer les d´cotes (standard ou mod`le interne), les valeurs de
e e
celles-ci doivent ˆtre modifi´es
e e
– si la p´riode N de reconstitution des marges pour les op´rations de march´ est sup´rieure ` la
e e e e a
journ´e
e
N +9
H = H10 (9.8)
10
– ou si la p´riode N de revalorisation pour les op´rations de prˆts garantis est sup´rieure ` la journ´e2
e e e e a e
N + 19
H = H10 (9.9)
10
H10 repr´sente ici la d´cote ` 10 jours.
e e a
9.4.1.2 L’approche simple
Dans cette approche, la pond´ration applicable ` la partie non couverte (E − C) est celle de la contre-
e a
partie ou de l’emprunteur et la pond´ration applicable ` la sˆret´ C est celle de l’instrument de couverture
e a u e
(avec un plancher de 20%).
9.4.2 Les garanties et les d´riv´s de cr´dit
e e e
Pour tenir compte de garanties (et des d´riv´s de cr´dit), certaines conditions doivent ˆtre remplies
e e e e
(voir les articles 183 ` 199 du document [1]) :
a
– la garantie est directe, explicite, irr´vocable et inconditionnelle ;
e
– information publique ;
– etc.
2 Dans ce cas, la p´riode de d´tention standard est 20 jours ouvr´s et non 10 jours ouvr´s.
e e e e
´ ´
9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 97](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-107-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
Dans le cas d’une couverture proportionnelle, on calcule les risques pond´r´s de la fa¸on suivante
ee c
r × E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA (9.10)
avec GA le montant de la garantie ajust´ du risque de change et g la pond´ration du risque de la garantie.
e e
Nous remarquons que dans le cas d’une protection totale (E = GA ), cette expression devient
r = (r × w) + g (1 − w) (9.11)
et r = g si w est ´gal ` z´ro. La m´thode de calcul est proche de celle issue de l’approche simple pour
e a e e
les sˆret´s. En effet, si nous posons w ´gal ` z´ro, nous avons
u e e a e
r × E = r × (E − GA ) + g × GA (9.12)
Dans le cas d’une couverture par tranches (senior et junior), nous distinguons deux cas :
1. Le risque de cr´dit sur la tranche junior GJ est transf´r´ et le risque de cr´dit sur la tranche senior
e ee e
GS est conserv´ :
e
r × E = r × GS + [(r × w) + g (1 − w)] GJ (9.13)
Cela revient donc ` une couverture proportionelle avec GA = GJ = E − GS .
a
2. Le risque de cr´dit sur la tranche junior GJ est conserv´ et le risque de cr´dit sur la tranche senior
e e e
GS est transf´r´ :
ee
r × E = [(r × w) + g (1 − w)] GS
On consid`re dans ce cas que le risque sur la tranche junior (qui est un risque de premi`re perte)
e e
doit ˆtre d´duit du montant des fonds propres.
e e
Concernant les risques r´siduels, voici les valeurs de w calcul´e par le Comit´ de Bˆle :
e e e a
w Garantie
0 Garantie souveraine
0.15 Autres garanties
0.15 D´riv´s de cr´dit
e e e
9.4.3 Autres consid´rations
e
9.4.3.1 Compensation de bilan
Le Comit´ de Bˆle reconnait les accords de compensation de bilan dans le portefeuille bancaire des
e a
prˆts et d´pˆts. N´anmoins, la contrepartie doit satisfaire certains crit`res. Dans ce cas, le facteur de
e e o e e
pond´ration du risque r´siduel w est ´gal ` 0.
e e e a
9.4.3.2 Le d´calage des maturit´s
e e
Un d´calage de maturit´ intervient losque la maturit´ r´siduelle de la couverture est plus faible que
e e e e
celle de l’exposition sous-jacente. Dans ce cas, la pond´ration corrig´e r est
e e
r si TCRM ≤ 1 an
r = TCRM TCRM
1− TE r+ TE r si 1 an ≤ TCRM ≤ TE
avec r la pond´ration de l’exposition, r la pond´ration ajust´e de l’exposition, TE la maturit´ de l’ex-
e e e e
position et TCRM la maturit´ de la couverture CRM.
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 98](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-108-320.jpg)
![CHAPITRE 9. L’APPROCHE STANDARD
9.4.3.3 L’asym´trie des devises
e
Nous rappelons que la valeur ajust´e du collat´ral CA est
e e
C
CA = (9.14)
1 + HE + HC + HF X
Dans le cadre d’une compensation de bilan, la valeur ajust´e du d´pˆt re¸u D est
e e o c
D
DA = (9.15)
1 + HF X
Concernant les garanties et les d´riv´s de cr´dit, une formule analogue existe
e e e
G
GA =
1 + HF X
9.4.4 Quelques exemples
Nous reproduisons ici les exemples donnn´s par le Comit´ de Bˆle (annexe 4 du document [1]).
e e a
9.4.4.1 Collateralised transactions
Flat repo with a bank counterparty, not satisfying the conditions for zero w
Bank A repos out $1,000-worth of 10-year AAA-rated sovereign securities to Bank B (risk weighted
at 20%) and receives $1,000 in cash collateral. Revaluation and remargining are conducted daily. There
is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is applied to the sovereign
securities lent out while there is no haircut for the collateral received, since it is cash. Then the adjusted
value of the collateral, CA , is
C
CA =
1 + HE + HC + HF X
$1000
=
1 + 0.04 + 0 + 0
= $962
In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w =
0.15), and the risk weight of counterparty (r = 0.2) are inserted into the equation below. Note that the
exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($962).
r ×E = r × max ((E − (1 − w) CA ) , w × E)
= 0.2 × (1000 − 0.85 × 962)
= $36.50
So, the risk weighted assets will be $36.50 (r = 20% and r = 3.65%).
Flat reverse repo with a bank counterparty
This is the opposite side of the transaction in Example above. Bank B takes in $1,000 worth of 10-year
AAA-rated sovereign securities (from this banks perspective these securities are the collateral received)
and provides $1,000 in cash to Bank A (counterparty risk weight 50%). Revaluation and remargining are
conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is
applied to the sovereign securities reverse repoed in (i.e. taken as collateral) while there is no haircut for
the cash posted. Then the adjusted value of the collateral, CA , is
$1000
CA =
1 + 0 + 0.04 + 0
= $962
´ ´
9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 99](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-109-320.jpg)
![9.4.4.3 Guarantees/credit derivatives
Loan to an unrated corporate fully guaranteed by a third-party corporate eligible for a 20% risk weight
A bank has lent $1000 to an unrated corporate and has obtained a guarantee for the full amount from
a third-party corporate (20% counterparty risk weight). The formula is
r × E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA
Here E = GA = $1000, r = 100%, g = 20%, w = 0.15 and so the risk-weighted assets are
r ×E = [(100% × 15%) + 20% (1 − 15%)] × $1000
= $320
Loan to an unrated corporate fully protected by a guarantee with a third-party bank eligible for a 20%
risk weight
A bank has lent $1000 to an unrated corporate and has obtained a guarantee for the full amount from
a third-party bank (20% counterparty risk weight). Since the guarantor is a bank, a zero w applies. So,
the risk weighted assets will be
r ×E = [(100% × 0%) + 20% (1 − 0%)] × $1000
= $200
Note that this result is equivalent to the present substitution approach.
Pro rata guarantee from bank
Bank A has an exposure of $1000 with a three-year residual maturity, and has obtained a pro rata
guarantee of $500 of this exposure, also with a three-year residual maturity. The formula for r is
r ×E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA
= 100% × ($1000 − $500) + [(100% × 0%) + 20% × (1 − 0%)] × $500
= $600
Bibliographie
[1] Basel Committee on Banking Supervision, The Standardized Approach to Credit Risk — Consultative
Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001
[2] Bardos [2001], Statistiques de d´faillance selon les cotations, Banque de France, Secretariat G´n´ral,
e e e
Direction des Entreprises, Observatoire des Entreprises](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-113-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
1. Le risque porte sur une ou des personnes individuelles.
2. Le risque porte sur certains produits (cartes de cr´dits, prˆts aux particuliers, cr´dit bail, d´couverts,
e e e e
cr´dits aux logements, etc.).
e
3. L’exposition est d’un montant relativement faible.
4. L’exposition est “comprise” parmi un grand nombre d’expositions comparables (notion de granu-
larit´ du portefeuille).
e
Comme nous l’avons vu, les composantes de risque sont la probabilit´ de d´faillance, la perte en cas
e e
de d´faillance et l’exposition en cas de d´faillance. Une quatri`me composante concerne la maturit´
e e e e
M. Quelle que soit la m´thode (simple ou avanc´e), les probabilit´s de d´faillance sont estim´es par la
e e e e e
banque et doivent correspondre ` une moyenne conservatrice des probabilit´s de d´faillance sur le long
a e e
terme (conservative view of a long-run average PD). Bien sˆr, ces probabilit´s de d´faillance sont li´es
u e e e
a
` la construction des notations internes. Dans l’approche simple, les valeurs de LGD sont fournies par
les autorit´s de r´gulation. Le document consultatif de Janvier 2001 propose une valeur de 50% pour la
e e
plupart des transactions (dettes seniors) et 75% pour les dettes subordonn´es. Dans la m´thode avanc´e,
e e e
c’est la banque elle-mˆme qui fournit la valeur. En r`gle g´n´rale, l’exposition en cas de d´faillance sera
e e e e e
´gale au montant nominal du cr´dit. Le calcul des risques pond´r´s RWA correspond alors
e e ee
RWA = r × EAD (10.1)
avec r la pond´ration “interne” calcul´e ` partir de PD, LGD, M et la fonction de risques pond´r´s.
e e a ee
La banque peut alors calculer la valeur totale des risques pond´r´s par portefeuille (c’est-`-dire pour
ee a
chaque classe d’exposition) en faisant une simple somme. Finalement, un facteur d’ajustement qui refl`te
e
la granularit´ du portefeuille est appliqu´ pour obtenir la valeur finale des risques pond´r´s.
e e ee
10.1.2 D´finition de la d´faillance
e e
On remarque que la notion cl´ dans cette approche est donc la d´faillance. Dans les paragraphes 139
e e
a
` 151 du document [3], celle-ci est d´finie de la fa¸on suivante :
e c
La d´faillance d’une contrepartie donn´e est suppos´e ˆtre survenue si l’un des quatres ´v´nements
e e e e e e
a eu lieu
1. L’emprunteur ne peut plus honorer ses obligations de remboursement (principal, int´rˆts ou com-
ee
mission) en totalit´.
e
2. Il est survenu un ´v´nement de cr´dit (par exemple, une provision sp´cifique).
e e e e
3. L’emprunteur est en d´faut de paiement depuis 90 jours sur l’un de ses cr´dits.
e e
4. L’emprunteur est en faillite juridique.
On voit donc que cette d´finition recouvre deux types de cr´ances : les cr´ances contentieuses (le risque
e e e
de perte est constat´) et les cr´ances douteuses (le risque de perte est potentiel). Le Comit´ de Bˆle
e e e a
est conscient que cela peut poser des probl`mes de p´rim`tre. C’est pourquoi des travaux sont en cours
e e e
concernant le mapping d’estimations bas´es sur d’autres d´finitions.
e e
10.1.3 La notation interne
Celle-ci est au cœur de la m´thode IRB. La table 10.1 est un exemple de syst`me de notation interne. En
e e
g´n´ral, c’est un syst`me avec diff´rents niveaux (grade) et ` chaque niveau est associ´e une probabilit´
e e e e a e e
de d´faillance. Ce syst`me de notation fera l’objet d’une validation par les autorit´s de r´glementation et
e e e e
la banque devra d´montrer qu’il est conforme aux exigences minimum depuis au moins trois ans.
e
10.2 L’exemple de la m´thode IRB pour les entreprises
e
Nous reprenons ici les grandes lignes du chapitre 2 du document [3]. Le Comit´ de Bˆle remarque que
e a
les banques utilisent un syst`me de notation interne bas´ sur 10 notes en moyenne.
e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 106](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-116-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Rating Degree of risk Definition Borrower category
by self-assessment
1 No essential risk Extremely high degree of certainty of repayment
2 Negligible risk High degree of certainty of repayment
3 Some risk Sufficient certainty of repayment
A Better There is certainty of repayment, but substential changes in
4 B than the environment in the future may have some impact on
C average this incertainty Normal
A There are no problems foreseeable in the future, but a strong
5 B Average likelihood of impact from changes in the environment
C
A There are no problems foreseeable in the future, but the future
6 B Tolerable cannot be considered entirely safe.
C
7 Lower than There are no problems at the current time but the financial position
average of the borrower is relatively weak
A Needs There are problems with lending terms or fulfilment, or the borrower’s Needs
8 preventive business conditions are poor or unstable, or there are other factors attention
B management requiring careful management
9 Needs There is a high likelihood of bankruptcy in the future In danger of bankruptcy
10 I serious The borrower is in serious financial straits and “effectively bankrupt” Effectively bankrupt
II management The borrower is bankrupt Bankrupt
TABLE 10.1. Exemple de syst`me de notation interne (Ieda, Marumo et Yoshiba [2000])
e
10.2.1 Formulation des pond´rations de risque
e
Les pond´rations de risque (risk weights) sont obtenues ` partir d’une fonction sp´cifique continue (risk
e a e
weight function). Nous avons
r = RW (PD, LGD, M) (10.2)
et
RWA = r × EAD
= RW (PD, LGD, M) × EAD (10.3)
Les valeurs de PD, LGD, M et EAD sont exprim´es en chiffres r´els (par exemple, 100% correspond `
e e a
une valeur de 100).
Dans l’approche IRB simple, la maturit´ n’est pas prise en compte. Dans ce cas, la maturit´ moyenne
e e
des expositions est suppos´e ´gale ` 3 ans. Nous avons
e e a
LGD
r = RW = min × BRW (PD) , 12.5 × LGD (10.4)
50
RW repr´sente la pond´ration associ´e ` des valeurs donn´es des composantes de risques et BRW est la
e e e a e
fonction dite benchmark calibr´e pour une perte en cas de d´faillance ´gale ` 50%. Dans la m´thode IRB
e e e a e
avanc´e, la maturit´ est prise en compte. Nous avons alors
e e
LGD
RW = min × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (P D)] , 12.5 × LGD
50
Si la maturit´ M est ´gale ` 3 ans, nous retrouvons la formule de l’approche IRB simple. Le terme
e e a
1 + (M − 3) b (P D) est un facteur d’´chelle multiplicatif lin´aire en M . b (P D) est ici une fonction de la
e e
probabilit´ de d´faillance.
e e
10.2.1.1 Dans l’approche IRB simple
Le Comit´ de Bˆle d´finit la fonction BRW de la fa¸on suivante :
e a e c
1 − PD
BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × (10.5)
PD0.44
Dans cette formule, PD est exprim´e en valeur d´cimale (par exemple, 1% correspond ` 0.01). Le Comit´
e e a e
de Bˆle indique que cette fonction de r´f´rence (Benchmark Risk Weight function) est la r´sultante du
a ee e
produit de trois facteurs s´par´s :
e e
´
10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 107](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-117-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
– Le terme Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 repr´sente la somme des pertes esp´r´es et non esp´r´es
e ee ee
associ´e ` un portefeuille infiniment granulaire de prˆts de maturit´ 1 an et de perte en cas de
e a e e
d´faillance ´gale ` 100%. La calibration a ´t´ faite ` partir d’un mod`le de risque de cr´dit ` la
e e a ee a e e a
Merton avec un seul facteur de risque syst´matique. Le seuil de confiance et la corr´lation moyenne
e e
des actifs ont ´t´ fix´s respectivement ` 99.5% et 20%.
ee e a
1−PD
– Le terme 1 + 0.470 × PD0.44 est un coefficient d’ajustement qui refl`te une maturit´ moyenne ´gale
e e e
a
` 3 ans.
– Le facteur d’´chelle 976.50 a ´t´ calibr´ pour des valeurs PD et LGD par d´faut ´gales ` 0.7% et
e ee e e e a
50%. Dans ce cas, la fonction BRW (PD) prend la valeur 100%.
Sur le graphique 10.1, nous avons repr´sent´ la fonction de r´f´rence BRW (PD) en fonction de la proba-
e e ee
bilit´ de d´faillance. Nous remarquons que celle-ci croˆ tr`s vite — voir le graphique 10.2 repr´sentant
e e ıt e e
la d´riv´e premi`re ∂ BRW (PD) /∂ PD. Afin de bien mesurer l’impact de l’ajustement de maturit´
e e e e
1−PD
1 + 0.470 × PD0.44 — c’est-`-dire la passage d’une maturit´ un an ` une maturit´ trois ans, le gra-
a e a e
phique 10.3 montre le coefficient d’ajustement dans la formule BRW (PD). Enfin, nous avons report´ e
les valeurs des pond´rations (en %) des actifs risqu´s dans les tables 10.2 ` 10.4. Nous v´rifions que la
e e a e
fonction de r´f´rence a bien ´t´ calibr´e afin que la pond´ration soit approximativement 100% pour une
ee ee e e
probabilit´ de d´faillance ´gale ` 0.7% et une perte en cas de d´faillance ´gale ` 50%.
e e e a e e a
GRAPHIQUE 10.1. Fonction de r´f´rence BRW
ee
Nous pouvons comparer la m´thode SA avec la m´thode IRB simple. La table 10.5 pr´sente les valeurs
e e e
implicites de PD et LGD pour une valeur RW donn´e. La relation est bien sˆr lin´aire par rapport ` la
e u e a
variable LGD.
10.2.1.2 Dans l’approche IRB avanc´e
e
Cette approche diff`re sensiblement de la m´thode simple. En effet, les valeurs de perte en cas de
e e
d´faillance ne sont plus fix´es par le r´gulateur (50% et 75%), mais sont estim´es par la banque. Ensuite,
e e e e
la maturit´ est explicitement prise en compte (elle peut l’ˆtre aussi dans la m´thode simple). Dans ce
e e e
cas, la valeur de la pond´ration devient
e
LGD
RW = min × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (PD)] , 12.5 × LGD (10.6)
50
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 108](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-118-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
RW
PD (en %) 20% 50% 100% 150%
0.025 79.08
0.05 52.25
0.075 40.82
0.10 34.19 85.46
0.25 19.26 48.15 96.30
0.50 12.41 31.02 62.04 93.06
0.75 9.59 23.98 47.97 71.95
1.00 8.00 20.00 40.00 60.00
2.50 4.54 11.34 22.68 34.02
5.00 3.02 7.54 15.09 22.63
7.50 2.41 6.03 12.05 18.08
10.00 2.07 5.18 10.37 15.55
25.00 1.60 4.00 8.00 12.00
50.00 1.60 4.00 8.00 12.00
TABLE 10.5. Relation implicite entre la probabilit´ de d´faillance et la perte en cas de d´faut pour une valeur
e e e
RW donn´e
e
La fonction de r´f´rence ne change pas. Le terme 1 + (M − 3) b (PD) intervient ici comme un facteur de
ee
diminution (M 3) ou d’augmentation (M 3) de la pond´ration.
e
La fonction b (PD) repr´sente la sensibilit´ de la pond´ration par rapport ` la maturit´. Par exemple, si
e e e a e
b (PD) est ´gal ` z´ro, la maturit´ M n’a pas d’influence sur la pond´ration. Notons que pour des raisons
e a e e e
´videntes, nous devons v´rifier que
e e
1 + (M − 3) b (PD) 0 (10.7)
ou encore pour M 3
1
b (PD) (10.8)
3−M
Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle n’a pas fix´ d´finitivement la fonction b (PD). Les premiers travaux
e a e e
montrent que cette fonction d´pend de l’approche consid´r´e pour traiter le risque de cr´dit : approche
e ee e
Mark-to-Market ou approche Default Mode. Dans la premi`re approche (MtM), la calibration du
e
Comit´ de Bˆle sugg`re cette fonction
e a e
0.0235 × (1 − PD)
b (PD) = 0.44 (10.9)
PD +0.470 × (1 − PD)
Dans ce cas, la valeur de la pond´ration devient
e
LGD
RW = × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (PD)]
50
LGD 1 − PD
= × 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × ×
50 PD0.44
0.0235 × (1 − PD)
1 + (M − 3) 0.44
PD +0.470 × (1 − PD)
LGD
= × 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 ×
50
1 − PD 1 − PD
1 + 0.470 × + 0.0235 × (M − 3) × (10.10)
PD0.44 PD0.44
Cela revient ` d´finir une nouvelle fonction de r´f´rence :
a e ee
1 − PD 1 − PD
BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × + 0.0235 × (M − 3) ×
PD0.44 PD0.44
(10.11)
Nous remarquons que le coefficient d’ajustement de la maturit´ est maintenant plus complexe puisqu’il
e
comprend deux termes :
´
10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 111](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-121-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
β (PD, M )
PD (en %) β (PD) M = 0.5 M =1 M =3 M =5 M =7
0.025 2.81 0.55 1.00 2.81 4.61 6.42
0.05 2.33 0.67 1.00 2.33 3.66 4.99
0.075 2.11 0.72 1.00 2.11 3.23 4.34
0.10 1.98 0.75 1.00 1.98 2.96 3.94
0.25 1.65 0.84 1.00 1.65 2.31 2.96
0.50 1.48 0.88 1.00 1.48 1.96 2.44
0.75 1.40 0.90 1.00 1.40 1.80 2.20
1.00 1.35 0.91 1.00 1.35 1.71 2.06
2.50 1.23 0.94 1.00 1.23 1.46 1.70
5.00 1.17 0.96 1.00 1.17 1.33 1.50
7.50 1.14 0.97 1.00 1.14 1.27 1.41
10.00 1.12 0.97 1.00 1.12 1.23 1.35
25.00 1.06 0.98 1.00 1.06 1.13 1.19
50.00 1.03 0.99 1.00 1.03 1.06 1.10
TABLE 10.6. Facteur d’ajustement de la maturit´
e
1−PD
1. Le premier terme 1 + 0.470 × PD0.44 est le terme de correction pour passer d’une maturit´ 1 an
e
a
` une maturit´ moyenne 3 ans. Il est strictement sup´rieur ` 1 si la probabilit´ de d´faillance est
e e a e e
inf´rieure ` 100%.
e a
1−PD
2. Le second terme 0.0235 × (M − 3) × PD0.44 est le terme de correction qui prend en compte de fa¸on
c
explicite la maturit´. Il peut ˆtre positif ou n´gatif.
e e e
Nous remarquons que si la maturit´ est ´gale ` un an (M = 1), nous avons
e e a
BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 (10.12)
Nous retrouvons bien la fonction de r´f´rence qui a ´t´ calibr´e pour une maturit´ ´gale ` un an. Si la
ee ee e ee a
maturit´ vaut trois ans, alors nous obtenons l’´galit´ BRW (PD) = BRW (PD). La table 10.6 pr´sente
e e e e
les valeurs des facteurs d’ajustement de maturit´e
1 − PD
β (PD) = 1 + 0.470 × (10.13)
PD0.44
et
1 − PD 1 − PD
β (PD, M ) = 1 + 0.470 × 0.44 + 0.0235 × (M − 3) × (10.14)
PD PD0.44
L’incidence sur la valeur de la pond´ration est pr´sent´e dans la table 10.7.
e e e
Dans l’approche DM, la calibration du Comit´ de Bˆle sugg`re une fonction polynomiale
e a e
+
b (PD) = 7.6752 × PD2 −1.9211 × PD +0.0774 (10.15)
Dans ce cas, b (PD) prend syst´matiquement la valeur z´ro si la probabilit´ de d´faillance est sup´rieure
e e e e e
a
` 5%. A titre de comparaison, l’incidence sur la pond´ration est pr´sent´e dans la table 10.8. Nous
e e e
remarquons que la sensibilit´ de la pond´ration ` la maturit´ est beaucoup moins forte dans l’approche
e e a e
DM que dans l’approche MtM (voir le graphique 10.4).
10.2.2 Justification de la m´thode IRB
e
Dans ce paragraphe, nous suivons l’expos´ de Wilson [2001a]. Consid´rons un portefeuille Π de I
e e
cr´dits. Notons LGDi la perte nominale en cas de d´faillance. LGDi est une variable al´atoire de moyenne
e e e
Ei et d’´cart-type Ei · σ i . Nous supposons que la probabilit´ de d´faillance du i-i`me cr´dit d´pend d’un
e e e e e e
mod`le factoriel :
e
Pi = Pi (X1 , . . . , Xn ) (10.16)
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 112](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-122-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
GRAPHIQUE 10.4. Repr´sentation graphique de la fonction b (PD)
e
Le d´faut Di est alors une variable al´atoire dont la distribution est une loi de Bernoulli de param`tre
e e e
Pi . Nous avons donc E [Di ] = Pi et σ 2 [Di ] = Pi (1 − Pi ). La perte du portefeuille L est al´atoire
e
I
L= Di · LGDi (10.17)
i=1
Nous pouvons calculer les deux premiers moments sous l’hypoth`se que les d´fauts et les pertes nominales
e e
sont ind´pendantes. Nous avons
e
I
E [L] = E Di · LGDi
i=1
I
= E [Di · LGDi ]
i=1
I
= E [Di ] E [LGDi ]
i=1
I
= Ei · Pi (10.18)
i=1
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 114](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-124-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
et
I
σ 2 [L] = σ2 Di · LGDi
i=1
I
= σ 2 [Di · LGDi ]
i=1
I
2
= E (Di · LGDi −E [Di · LGDi ])
i=1
I
= E Di E LGD2 − E2 [Di ] E2 [LGDi ]
2
i
i=1
I
= σ 2 [Di ] + E2 [Di ] σ 2 [LGDi ] + E2 [LGDi ] − E2 [Di ] E2 [LGDi ]
i=1
I
= Pi (1 − Pi ) + Pi2 Ei σ 2 + Ei − Pi2 Ei
2
i
2 2
i=1
I
= Ei Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi
2
i (10.19)
i=1
Notons que cette moyenne et cet ´cart-type sont des variables conditionnelles aux r´alisations des facteurs
e e
X1 , . . . , Xn . Dans ce cadre d’analyse, Wilson [2001a] consid´r`re un portefeuille ΠM “´quivalent” au
ee e
portfeuille original Π. Ce nouveau portefeuille est construit en rempla¸ant chaque cr´dit par M cr´dits
c e e
ind´pendants d’exposition Ei /M et de mˆme probabilit´ de d´faillance Pi (X1 , . . . , Xn ). Lorsque M tend
e e e e
vers l’infini, nous obtenons un portefeuille not´ Π∞ . C’est le portefeuille infiniment granulaire du Comit´
e e
de Bˆle (infinitely fine-grained portfolio). Notons L∞ la perte de ce portefeuille. Nous avons
a
I M
1
E [LM ] = Ei · Pi
i=1 m=1
M
I
= Ei · Pi
i=1
= E [L] (10.20)
et
I M
1 2
σ 2 [LM ] = E Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi
i=1 m=1
M2 i i
I
1
= Ei Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi
2
i
M i=1
1 2
= σ [L] (10.21)
M
Nous en d´duisons que E [L∞ ] = E [L] et σ 2 [L∞ ] = 0. Conditionnellement aux r´alisations des facteurs,
e e
la distribution de perte L∞ est une variable al´atoire sˆre qui prend la valeur E [L] :
e u
Pr {L∞ = E [L]} = 1 (10.22)
L’al´a du portefeuille infiniment granulaire ne porte donc plus que sur les facteurs X1 , . . . , Xn . Si nous
e
supposons un seul facteur X de distribution H et si Pi est une fonction croissante du facteur, l’inverse
de la distribution de la perte est donc
I
F−1 (α) :=
∞ Ei · Pi H−1 (α) (10.23)
i=1
´
10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 115](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-125-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
La contribution du cr´dit i est donc SRCi = Ei · Pi H−1 (α) .
e
Dans le paragraphe 172 du document [3], le Comit´ de Bˆle explique que la formule de la fonction de
e a
r´f´rence BRW a ´t´ calibr´e en utilisant un mod`le ` la Merton avec un seul facteur. Pour retrouver son
ee ee e e a
expression, nous utilisons les r´sultats de Finger [1999]. Soit Zi la valeur de l’actif normalis´e. Dans
e e
le mod`le de Merton, la d´faillance intervient si Zi passe en dessous d’une barri`re Bi :
e e e
Di = 1 ⇔ Zi Bi (10.24)
ou encore
Φ (Zi ) Pi (10.25)
La valeur normalis´e de l’actif est mod´lis´e de la fa¸on suivante
e e e c
√
Zi = ρX + 1 − ρεi (10.26)
avec X le facteur de risque syst´matique et εi le facteur de risque individuel. Les variables al´atoires Zi ,
e e
Z et εi sont ind´pendantes de distribution N (0, 1). Pour interpr´ter le param`tre ρ, nous calculons
e e e
E [Zi Zj ] = E ρX 2 + (1 − ρ) εi εj + X ρ (1 − ρ) (εi+ εj )
= ρ (10.27)
ρ est donc la corr´lation (constante) des valeurs des actifs. Nous pouvons maintenant caract´riser la
e e
probabilit´ de d´faillance conditionnelle
e e
Pi = Pr {Di = 1 | X}
= Pr {Zi Bi | X}
√
= Pr ρX + 1 − ρεi Bi
√
Bi − ρX
= Pr εi √
1−ρ
√
Bi − ρX
= Φ √ (10.28)
1−ρ
Notons pi la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle. Nous remarquons que
e e
pi = Pr {Zi Bi } = Φ (Bi ) (10.29)
Nous en d´duisons que
e
√
Φ−1 (pi ) − ρX
Pi = Φ √ (10.30)
1−ρ
Une couverture au seuil de confiance α implique donc une contribution individuelle ´gale `1
e a
√
Φ−1 (pi ) − ρΦ−1 (1 − α)
SRCi = Ei · Pi = Ei · Φ √ (10.31)
1−ρ
Pour α = 99.5% et ρ = 20% (valeurs pr´sent´es dans le paragraphe 172 du document [3]), nous obtenons
e e
SRCi = Ei · Φ 1.118Φ−1 (pi ) + 1.288 (10.32)
Nous pouvons noter que la probabilit´ conditionnelle Pi est extrˆmement sensible au seuil de confiance
e e
α et ` la corr´lation ρ (voir les graphiques 10.5 ` 10.8).
a e a
1 car la relation entre la probabilit´ de d´faillance conditionnelle et le facteur X est d´croissante.
e e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 116](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-126-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
10.2.3 Param`tres de la fonction de pond´ration
e e
10.2.3.1 La probabilit´ de d´faillance
e e
Si le cr´dit n’est pas prot´g´ par une technique CRM, la probabilit´ de d´faillance est celle associ´e `
e e e e e e a
la note interne ` laquelle l’emprunteur est affect´ pour un horizon d’un an. Dans le cas d’une protection,
a e
nous devons distingu´ l’approche IRB simple de l’approche IRB avanc´e :
e e
– Dans la premi`re approche, la probabilit´ de d´faillance ajust´e PD (qui est applicable uniquement
e e e e
a
` la partie couverte de l’exposition) est
PD = w × PD + (1 − w) × PDG (10.45)
o` PDG est la probabilit´ de d´faillance de la garantie et w est le facteur de risque r´siduel (0 ou
u e e e
15%).
– Dans la deuxi`me approche, la probabilit´ de d´faillance ajust´e PD est celle de la garantie.
e e e e
10.2.3.2 La perte en cas de d´faillance
e
Nous rappelons que les pertes en cas de d´faillance sont r´glementaires (50% ou 75%) dans l’approche
e e
simple. Dans le cas d’existence de suret´s, la perte en cas de d´faillance ajust´e LGD est
e e e
CA
LGD = max 1 − (1 − w) × × LGD, w × LGD (10.46)
E
o` E est l’exposition et CA la valeur ajust´e des suret´s. Si le colat´ral est physique (une r´sidence par
u e e e e
exemple), alors la perte en cas de d´faillance ajust´e LGD est donn´e par le tableau suivant
e e e
Condition LGD
C
E ≤ 30% 50%
C
E 140% 40%
C
30% E ≤ 140% 1− 1 ×
7
C
E × 50%
Dans l’approche avanc´e, les banques pourraient utiliser leurs propres estimations.
e
10.2.3.3 La maturit´
e
Celle-ci n’intervient explicitement que dans le cas de l’approche avanc´e. La maturit´ correspond ` la
e e a
dur´e r´siduelle maximum avec un plancher ´gal ` un an.
e e e a
10.2.3.4 L’exposition en cas de d´faillance
e
C’est l’encours nominal du cr´dit.
e
10.2.4 Les exigences minimales d’´ligibilit´
e e
Celles-ci sont nombreuses (voir les paragraphes 189 ` 261 du document [3]). Elles concernent
a
– la notation,
– l’audit interne et externe,
– la surveillance du risque de cr´dit,
e
– la qualification du personnel,
– l’estimation des param`tres,
e
– le mapping vers des donn´es externes,
e
– etc.
Prenons par exemple les normes minimales pour l’estimation de la probabilit´ de d´faillance. Dans ce
e e
cas, la banque doit la calculer sur un an pour toutes ses cat´gories de notation interne. La probabilit´ de
e e
d´faillance doit ˆtre une mesure prudente de la probabilit´ de d´faillance moyenne ` long terme et une
e e e e a
mesure prospective. La longueur des s´ries historiques doit ˆtre d’au moins cinq ans. La fr´quence
e e e
des estimations est annuelle...
D’autres informations concernant la gestion du risque de cr´dit sont disponibles dans les documents
e
[1] et [2].
´
10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 121](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-131-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
10.4.3 D´rivation du coefficient d’ajustement de granularit´
e e
Celle-ci est expliqu´e en d´tail dans l’article de Gordy [2001]. Une formalisation plus accessible est
e e
pr´sent´e dans Wilson [2001a,2001b]. Afin de bien comprendre comment l’ajustement est obtenu, nous
e e
reprenons les principaux points de ces articles.
10.4.3.1 La d´termination du coefficient β
e
Notons D la variable al´atoire de Bernoulli repr´sentant la d´faillance, LGD la perte (relative) en cas
e e e
de d´faillance et EAD l’exposition en cas de d´faillance. Consid´rons un portefeuille Πn compos´ de n
e e e e
lignes de cr´dit. La perte Ln du portefeuille Πn est donc
e
n
Ln = Di · LGDi · EADi (10.61)
i=1
Gordy [2001] d´finit Ln comme le ratio de la perte du portefeuille sur le total des expositions :
e
n
i=1 Di · LGDi · EADi
Ln = n (10.62)
i=1 EADi
Nous rappelons que pour un portefeuille infiniment granulaire ou asymptotique, la perte du portefeuille
Π∞ est la perte syst´matique
e
Pr {L∞ = E [L∞ ]} = 1 (10.63)
Afin de clarifier les notations, nous ´crivons la perte esp´r´e conditionnelle de la fa¸on suivante :
e ee c
E [Ln ] := E [Ln | X] (10.64)
avec X le facteur de risque syst´matique. Notons ψ (X; α) le quantile α de la variable al´atoire X.
e e
Michael Gordy donne une autre interpr´tation statistique de la notion de portefeuille infiniment granulaire
e
(Proposition 5 de Gordy [2001]) :
lim Pr {Ln ≤ E [Ln | ψ (X; α)]} = α (10.65)
n→∞
Cela veut dire que la valeur en risque d’un portefeuille infiniment granulaire VaR [L∞ ; α] est bien la perte
esp´r´e conditionnelle E [L∞ | ψ (X; α)] :
ee
VaR [L∞ ; α] := E [L∞ | ψ (X; α)]
ou qu’une charge en capital ´gale ` E [L∞ | ψ (X; α)] correspond bien ` une probabilit´ de solvabilit´
e a a e e
´gale ` α :
e a
[...] for an infinetely fine-grained portfolio, the proposed portfolio-invariant capital rule
provides a solvency probability of exactly α (Gordy [2001]).
Cela implique qu’une charge en capital ´gale ` E [Ln | ψ (X; α)] ne permet pas n´cessairement de couvrir
e a e
le risque au seuil de confiance α dans le cas non asymtotique :
VaR [Ln ; α] = E [Ln | ψ (X; α)] (10.66)
C’est pourquoi nous devons ajuster la perte esp´r´e conditionnelle afin d’obtenir le bon degr´ de couver-
ee e
ture :
VaR [Ln ; α] = E [Ln | ψ (X; α)] + ∆Ln (10.67)
L’ajustement de granularit´ correspond tout simplement ` ∆Ln .
e a
La question principale est alors de caract´riser cet ajustement ∆Ln . Pour cela, Gordy [2001] montre
e
la proposition suivante :
´
10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 125](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-135-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Proposition 1 (Gordy [2001, Proposition 6, p. 12]) If the portfolio is statistically homogeneous,
the function µ (x) := E [Ln | X = x] is continous, arbitrarily differentiable, and increasing, and the syste-
matic risk factor X is drawn from an arbitrary differentiable continuous distribution, then VaR converges
to its asymptotic limit at rate 1/n, that is,
VaR [Ln ; α] = µ (ψ (X; α)) + O n−1 (10.68)
L’interpr´tation de cette proposition est simple :
e
[...] it says that the difference between the VaR for a given homogeneous portfolio and
its asymtotic approximation E [Ln | ψ (X; α)] is proportional to 1/n. This suggests that the
accuracy of the asymptotic capital rule can be improved by introducing a “granularity add-on
charge” that is inversely proportional to the number of obligors in the portfolio. To calibrate
such add-on charge for a homogeneous portfolio, we need to find a constant of proportionality
β such that E [Ln | ψ (X; α)] + β/n is a good approximation to VaR [Ln ; α] (Gordy [2001]).
Nous en d´duisons que
e
∆Ln β/n (10.69)
Voyons maintenant comment d´terminer le coefficient β. Pour cela, nous utilisons les r´sultats de
e e
Wilson [2001b]. Michael Gordy d´rive l’ajustement (10.69) sous l’hypoth`se que le portefeuille est sta-
e e
tistiquement homog`ne. Cela veut dire que les lignes de cr´dit ont la mˆme exposition en cas de
e e e
d´faillance et la mˆme perte esp´r´e conditionnelle — ce qui implique la mˆme probabilit´ de d´faillance
e e ee e e e
non conditionnelle et la mˆme distribution de perte en cas de d´faillance. Les portfeuilles Πn de Gordy
e e
et ΠM de Wilson sont donc diff´rents, mais nous pouvons construire le portefeuille Πn ` partir du por-
e a
tefeuille ΠM . Pour cela, il suffit de poser I = 1 et M = n — voir le paragraphe 10.2.2. Reprenons les
notations de ce mˆme paragraphe. La perte du portfeuille (qui se r´duit ` la perte de la ligne de cr´dit
e e a e
puisque I est ´gal ` 1) est not´e L. Les deux premiers moments de la perte conditionnelle sont E [L | X]
e a e
et σ 2 [L | X] — dans le paragraphe 10.2.2, nous avions utilis´ l’´criture E [L] et σ 2 [L] puisque le condi-
e e
tionnement ´tait parfaitement explicite. Nous introduisons les fonctions µ (x) et υ (x) d´finies de la fa¸on
e e c
suivante :
µ (x) := E [L | X = x] (10.70)
et
υ (x) := σ 2 [L | X = x] (10.71)
Wilson [2001b] montre alors que4
1 d h (x) υ (x)
VaR [L; α] µ (ψ (X; α)) − (10.72)
2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α)
avec h la densit´ de X. Reprenons la construction du portefeuille infiniment granulaire de la page 115.
e
Nous avons
1 d h (x) υ (x)
VaR [LM ; α] µ (ψ (X; α)) − M (10.73)
2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α)
puisque E [LM | X = x] = E [L | X = x] et σ 2 [LM | X = x] = σ 2 [L | X = x] /M . Nous en d´duisons
e
que5
β
VaR [Ln ; α] VaR [L∞ ; α] + (10.74)
n
4 La d´monstration n’est pas tr`s technique, mais assez longue (pages 104 et 105 de Wilson [2001b]).
e e
5 puisque M = n et VaR [L∞ ; α] = E [L∞ | X = ψ (X; α)] = µ (ψ (X; α)).
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 126](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-136-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
avec
1 d h (x) υ (x)
β = −
2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α)
2
1 ∂x µ (ψ (X; α)) ∂x ln h (ψ (X; α)) ∂x υ (ψ (X; α))
= υ (ψ (X; α)) 2 − υ (ψ (X; α)) −
2 [∂x µ (ψ (X; α))] ∂x µ (ψ (X; α)) ∂x µ (ψ (X; α))
(10.75)
Le Comit´ de Bˆle explique que la calibration du coefficient β a ´t´ faite ` partir du mod`le CreditRisk+ :
e a ee a e
Calibration of the β coefficient inevitably depends on the choice of model and its calibra-
tion. IRB benchmark risk-weights have been calibrated within a CreditMetrics style model. For
the purposes of designing a granularity adjustment, however, we use a generalised version of
the CreditRisk+ model. The advantage is that the functional form of CreditRisk+ risk-weights
allows the granularity adjustment to be assessed with minimal reporting and computational
burden. The obvious disadvantage is the greater potential for inconsistency with CreditMetrics-
based IRB exposure-level risk-weights. Fortunately, it is by now well-known that CreditRisk+
can be calibrated so that the tail of its loss distribution will align closely with the tail of
the CreditMetrics loss distribution. So long as care is exercised in calibration, the discrepancy
between our granularity adjustment and a full CreditMetrics-based estimate can be kept to a
minimum (§444 du document [3]).
Dans le cas du mod`le de type CreditMetrics (ou Merton), nous rappelons que la relation entre la proba-
e
bilit´ de d´faillance conditionnelle Pi et la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle pi est
e e e e
√
Φ−1 (pi ) − ρX
Pi = Φ √ (10.76)
1−ρ
Dans le cas du mod`le de type CreditRisk+, nous avons6
e
Pi = pi (1 + i (X − 1)) (10.77)
avec i la pond´ration factorielle — i ∈ [0, 1] — et X le facteur syst´matique de distribution Γ (a, b)
e e
a−1
— h (x) = (x/b) exp (−x/b) / (bΓ (a)). Dans ce cas, les expressions (10.18) et (10.19) deviennent
µ (x) = E [L | X = x]
= E [LGD1 ] P1
= E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) (10.78)
et
υ (x) = σ 2 [L | X = x]
= E2 [LGD1 ] P1 (1 − P1 ) + σ 2 [LGD1 ] P1
= E2 [LGD1 ] + σ 2 [LGD1 ] P1 − E2 [LGD1 ] P1
2
0
2 2
E [LGD1 ] + σ [LGD1 ] P1
= E1 + σ 2 [LGD1 ] p1 (1 +
2
1 (x − 1)) (10.79)
Le Comit´ de Bˆle fait l’hypoth`se suivante (§447 du document [3]) :
e a e
1
σ [LGD1 ] = E1 (1 − E1 ) (10.80)
2
6 voir Gordy [2000].
´
10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 127](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-137-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Nous en d´duisons que
e
1 3
υ (x) = E1 + E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) (10.81)
4 4
2 1 3
Le calcul des d´riv´es donne ∂x µ (x) = E1 p1
e e 1, ∂x µ (x) = 0, ∂x υ (x) = E1 4 + 4 E1 p1 1 et ∂x ln h (ψ (X; α)) =
(a − 1) x−1 − b−1 . Nous avons donc
1 a−1 1 −1
β= (0.25 + 0.75E1 ) − − 1 + (x − 1) − 1 (10.82)
2 x b
Afin de maintenir une certaine coh´rence entre la formulation des pond´rations en risque et le facteur de
e e
granularit´, le Comit´ de Bˆle impose que les probabilit´s de d´faillance conditionnelles CreditMetrics et
e e a e e
CreditRisk+ co¨ ıncident :
√
Φ−1 (pi ) + ρΦ−1 (α)
Φ √ = pi (1 + i (x − 1)) (10.83)
1−ρ
Dans ce cas, la pond´ration factorielle
e i vaut
1 Fi
i = (10.84)
(x − 1) pi
avec
√
Φ−1 (pi ) + ρΦ−1 (α)
Fi = Φ √ − pi (10.85)
1−ρ
L’expression de β est donc
1 pi
β= (0.25 + 0.75E1 ) A − 1 + A (10.86)
2 Fi
avec
a−1 1
A=− − (x − 1) (10.87)
x b
Pour achever la calibration, le Comit´ de Bˆle indique que celle-ci a ´t´ faite sous l’hypoth`se que
e a ee e
E [X] = 1 et σ [X] = 2 (§445 du document [3]). Les param`tres de la distribution Gamma7 implicite sont
e
donc a = 0.25 et b = 4. Puisque α est ´gal ` 99.5%, le quantile correspondant de la distribution Gamma
e a
Γ (0.25, 4) est 12.007243 et la valeur prise par A est 3.4393485, ce qui donne
1 pi
β = (0.25 + 0.75E1 ) 2.4393485 + 3.4393485
2 Fi
pi
= (0.4 + 1.2E1 ) 0.76229640 + 1.0747964 (10.88)
Fi
Nous retrouvons (presque) la formule donn´e par le Comit´ de Bˆle (§456 du document [3]) :
e e a
PD
β = (0.4 + 1.2 × LGD) 0.76 + 1.10 × (10.89)
F
Pour retrouver exactement la formule du Comit´ de Bˆle, nous ne devons pas utiliser l’approxima-
e a
tion P12
4
3
0 pour calculer υ (x). Dans ce cas, nous avons υ (x) = E1 1 + 4 E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) −
2 2 2 1 3 2 2
E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) et ∂x υ (x) = E1 4 + 4 E1 p1 1 − 2E1 p1 1 (1 + 1 (x − 1)). Nous en d´duisons
e
que
1 a−1 1 −1
β = (0.25 + 0.75E1 ) − − 1 + (x − 1) − 1
2 x b
1 −1 a−1 1
+E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) 1 + − (10.90)
2 1 x b
Terme de correction
7 Nous avons E [X] = ab et σ [X] = √ab.
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 128](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-138-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Dans le cas o` E1 varie de 5% ` 95%, PD de 0.10% ` 15% and ρ de 10% ` 30%, alors l’erreur relative
u a a a
entre la formule exacte (10.90) et la formule approch´e (10.89) n’exc`de pas 1%.
e e
A titre de remarque, il faut noter que le coefficient β est extrˆmement sensible aux valeurs des
e
param`tres : la perte en cas de d´faillance LGD, la probabilit´ de d´faillance PD, la corr´lation des actifs
e e e e e
ρ, le seuil de confiance α et la volatilit´ du facteur σ [X] — E [X] n’est pas un param`tre puisque nous
e e
avons l’´quivalence suivante E [Pi ] = pi ⇔ E [X] = 1. Le graphique 10.10 illustre cette sensibilit´.
e e
GRAPHIQUE 10.10. Impact des param`tres sur le coefficient β (valeurs par d´faut : LGD = 50%, α = 99.5%,
e e
ρ = 20% et σ [X] = 2)
10.4.3.2 Du coefficient β ` l’ajustement de granularit´ du Comit´ de Bˆle
a e e a
Nous devons dans un premier temps ‘transformer’ le coefficient β en actifs pond´r´s. De plus, le Comit´
ee e
de Bˆle indique qu’il a utilis´ un facteur d’´chelle c afin d’obtenir une pond´ration ´gale ` 100% pour
a e e e e a
une probabilit´ de d´faillance de 0.7%, une perte en cas de d´faillance de 50% et une maturit´ de 3 ans.
e e e e
(§457 du document [3]). Dans le paragraphe 10.2.2, nous l’avons d´j` calcul´ et obtenu c
ea e 1.5. Nous
avons donc
EAD ×β
∆ RWA = 1.5 × 8%
n
PD
= EAD × (0.6 + 1.8 × LGD) 9.5 + 13.75 × n (10.91)
F
Nous rappelons aussi que le coefficient β a ´t´ d´termin´ pour un portefeuille statistiquement homog`ne.
ee e e e
Dans la pratique, les portefeuilles Π d’engagement des banques ne sont pas homog`nes. Il faut donc
e
pouvoir trouver un portefeuille homog`ne ´quivalent ΠAG pour calculer l’ajustement de granularit´ G,
e e e
qui est exprim´ en terme d’actifs pond´r´s. Le Comit´ de Bˆle indique aussi que la calibration effectu´e
e ee e a e
est telle que 4% du capital couvre d´j` l’effet de granularit´. Nous avons donc
ea e
PDAG
G = EADAG × (0.6 + 1.8 × LGDAG ) 9.5 + 13.75 × nAG − 0.04 × RWANR (10.92)
FAG
´
10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 129](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-139-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
En utilisant les notations du Comit´ de Bˆle, nous retrouvons la formule
e a
TNRE × GSF
G= − 0.04 × RWANR (10.93)
n
avec
PDAG
GSF = (0.6 + 1.8 × LGDAG ) 9.5 + 13.75 × (10.94)
FAG
Il nous reste maintenant ` justifier la construction du portefeuille homog`ne ´quivalent ΠAG . Celle-ci
a e e
est pr´sent´e dans la section 4 de Gordy [2001]. Nous reprenons les notations pr´c´dentes en introduisant
e e e e
les classes de risques C. Nous avons
L= Di · LGDi · EADi (10.95)
C i∈C
Nous notons pC la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle de la classe de risque C et sC la part
e e
d’exposition au risque de la classe C dans le risque total :
i∈C EADi
sC = (10.96)
C i∈C EADi
Le but est alors de construire un portefeuille ‘´quivalent’ ΠAG au portefeuille Π de taille n et de
e
param`tres communs p , E , σ [LGD ], EAD , etc. (Gordy [2001]). Dans ce cas, l’expression de la
e
perte est
LAG = D · LGD · EAD (10.97)
L’id´e sous-jacente est d’ajuster diff´rents moments ou d’imposer des restrictions. Michael Gordy impose
e e
l’´galit´ des taux de d´faillance et des pertes esp´r´es (pond´r´s par les expositions). Nous avons donc
e e e ee ee
E [D · EAD ] = E Di · EADi (10.98)
C i∈C
Il est bien sˆr naturel de prendre EAD =
u C i∈C EADi (mˆme exposition dans le portefeuille ΠAG et
e
le portefeuille Π), ce qui implique
C i∈C pC · EADi
p =
C i∈C EADi
= sC · pC (10.99)
C
Nous avons aussi
E [D · LGD · EAD ] = E Ei · LGDi · EADi
C i∈C
p ·E · EADi = pC · Ei · EADi
C i∈C C i∈C
= pC Ei · EADi (10.100)
C i∈C
Introduisons la perte en cas de d´faillance moyenne par classe de risque EC d´finie par
e e
i∈C Ei · EADi
EC = (10.101)
i∈C EADi
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 130](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-140-320.jpg)
![´
CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Nous en d´duisons que
e
p ·E · EADi = pC · EC · EADi (10.102)
C i∈C C i∈C
ou encore
pC i∈C EADi
E = · EC ·
p C i∈C EADi
C
sC · pC
= · EC (10.103)
C C sC · pC
Rappelons que la variance conditionnelle de la distribution de perte est
σ 2 [L | X] = EAD2 · Ei · Pi · (1 − Pi ) + σ 2 [LGDi ] · Pi
i
2
(10.104)
C i∈C
La variance non conditionnelle de la distribution de perte a donc pour expression8
σ 2 [L] = σ 2 [E [L | X]] + E σ 2 [L | X]
= σ2 Pi · Ei · EADi +E EAD2 · Ei · Pi · (1 − Pi ) + σ 2 [LGDi ] · Pi
i
2
C i∈C C i∈C
Contribution du risque syst´matique
e Contribution du risque idiosyncratique
= σ2 PC · EC · sC · EAD + pC · (1 − pC ) − σ 2 [PC ] · EAD2 ·Ei
i
2
C C i∈C
Contribution du risque syst´matique
e Contribution du risque de d´faut idiosyncratique
e
+ pC EAD2 ·σ 2 [LGDi ]
i (10.106)
C i∈C
Contribution du risque de recouvrement idiosyncratique
Pour le portefeuille ΠAG , nous avons
2
2 2 EAD 2
σ [LAG ] = σ [P · E · EAD ] + E · p · (1 − p ) − σ 2 [P ] + p · σ 2 [LGD ] (10.107)
n
Pour d´terminer n , nous allons calibrer les diff´rentes contributions avec un mod`le de type CreditRisk+ :
e e e
Pi = pi (1 + i (X − 1)) (10.108)
Nous avons d´j` utilis´ le fait que E [Pi ] = pi — ce qui implique que E [X] = 1. Pour la variance, nous
ea e
avons
σ 2 [Pi ] = p2
i
2 2
iσ [X] (10.109)
La calibration du risque syst´matique implique que la pond´ration factorielle
e e est
C pC C EC sC
=
p E
C pC C EC sC
= (10.110)
C sC pC EC
8 car nous avons
E [Pi · (1 − Pi )] = E [Pi ] − E Pi2
= E [Pi ] − σ2 P 2 − E2 [Pi ] (10.105)
´
10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 131](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-141-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
Concernant la calibration du risque de d´faut idiosyncratique, nous avons
e
2 2
E p (1 − p ) − (p σ [X])
n = (10.111)
2 2 2 2
C EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X]) i∈C (EADi Ei ) (EAD EC )
Nous utilisons les ´galit´s suivantes
e e
2 2
i∈C (EADi Ei ) i∈C (EADi Ei )
2 = P 2
(EAD EC ) EAD i∈C Ei EADi
P
i∈C EADi
2 2
i∈C (EADi Ei ) i∈C EADi
= 2
i∈C Ei · EADi C i∈C EADi
= HC s 2
C
avec HC l’index d’Herfindahl d´fini par l’expression suivante
e
2
i∈C (EADi Ei )
HC = 2 (10.112)
i∈C Ei · EADi
Remarque 19 Nous n’obtenons pas exactement les mˆmes r´sultats que Gordy [2001], puisque celui-ci
e e
utilise l’expression suivante pour HC :
i∈C EAD2
i
HC = 2 (10.113)
i∈C EADi
Finalement, l’expression de n est
1
n = (10.114)
C Λc HC s2
C
avec
2 2
EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X])
Λc = (10.115)
2 2
E p (1 − p ) − (p σ [X])
Nous retrouvons l’expression de n du Comit´ de Bˆle (§445 du document [3]). Il existe n´anmoins une
e a e
diff´rence fondamentale entre l’analyse de Gordy [2001] et la formulation propos´e par le Comit´ de
e e e
Bˆle concernant Λc . Dans le document [3], la calibration de n ne se fait pas uniquement ` partir du
a a
risque de d´faut idiosyncratique, mais utilise aussi le risque de recouvrement idiosyncratique. Dans ce
e
cas, nous avons
2 2
EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X]) + pC σ 2 [LGDC ]
Λc = (10.116)
2 2
E p (1 − p ) − (p σ [X]) + p σ 2 [LGD ]
En reprenant les hypoth`ses du Comit´ de Bˆle, nous avons
e e a
2
2 σ [X]
(pi i σ [X]) = Fi (10.117)
(ψ (X; α) − 1)
et
1
σ [LGDi ] = Ei (1 − Ei ) (10.118)
2
Puisque X ∼ Γ (0.25, 4), ψ (X; 99.5%) et σ [X] prennent les valeurs 12.007243 et 2, et nous obtenons
2
(pi i σ [X]) = 0.033014360 × Fi2 (10.119)
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 132](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-142-320.jpg)
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CHAPITRE 10. LA METHODE IRB
PD (en %) Janvier 2001 Novembre 2001
corporate retail corporate retail res. mortage
0.03 14.09 6.39 18.11 4.58 4.80
0.10 29.25 13.55 33.73 11.62 12.50
0.25 51.92 24.75 53.59 22.48 25.23
0.50 80.59 39.62 74.29 35.39 42.10
0.75 104.23 52.40 88.52 44.97 56.31
1.00 125.00 63.97 99.41 52.52 68.92
1.25 143.80 74.71 108.27 58.65 80.38
1.50 161.12 84.83 115.82 63.73 90.98
2.00 192.43 103.65 128.47 71.63 110.21
2.50 220.45 121.03 139.26 77.45 127.45
3.00 245.97 137.33 149.05 81.88 143.18
4.00 291.45 167.44 167.20 88.13 171.26
5.00 331.38 195.02 184.44 92.40 195.94
10.00 482.38 309.76 262.00 106.31 289.62
20.00 625.00 478.74 374.59 132.49 406.24
TABLE 10.10. Comparaison des pond´rations Janvier 2001 et Novembre 2001
e
3. Enfin, il n’y a plus de r´f´rence ` une calibration LGD = 50% et PD = 0.7%, ce qui explique la
ee a
disparition du facteur d’´chelle 976,5.
e
Remarque 20 L’ajustement de maturit´ existe toujours et n’a pas ´t´ modifi´. Il y a ici une certaine
e ee e
incoh´rence puisque celui-ci avait ´t´ calibr´ sur les probabilit´s conditionnelles de d´faillance ` 3 ans de
e ee e e e a
la forme
(3) 3
Pi = Φ 1.118 × Φ−1 1 − (1 − PD) + 1.288 (10.126)
Les hypoth`ses sous-jacentes ´taient alors un seuil de confiance de 99,5% et une corr´lation constante
e e e
de 20%.
Pour le risque retail, le Comit´ de Bˆle propose de distinguer les prˆts hypoth´caires (r´sidential
e a e e e
mortgage) des autres cr´dits. Dans le premier cas, la formule de pond´ration en risque est
e e
Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%)
RW = 12.50 × LGD ×Φ
1 − ρ (PD)
avec une corr´lation ρ (PD) constante et ´gale ` 15%. Pour les autres cr´dits, nous avons
e e a e
Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%)
RW = 12.50 × LGD × Φ − PD (10.127)
1 − ρ (PD)
avec
1 − e−25×PD 1 − 1 − e−25×PD
ρ (PD) = 0.04 × −50
+ 0.15 × (10.128)
1−e 1 − e−25
Outre les diff´rences mentionn´es plus haut, nous remarquons que le facteur d’ajustement de matu-
e e
rit´ disparaˆ
e ıt.
Afin de mesurer l’impact des nouvelles propositions, nous avons report´ dans la table 10.10 — voir
e
aussi les graphiques 10.11 et 10.12— les pond´rations Janvier 2001 et Novembre 2001 pour une perte en
e
cas de d´faillance de 50%. Globalement, nous observons une diminution de la valeur des actifs pond´r´s
e ee
pour les probabilit´s de d´faillance ´lev´es. Ceci s’explique par une corr´lation entre les valeurs des actifs
e e e e e
plus faible (voir le graphique 10.13).
Bibliographie
[1] Basel Committee on Banking Supervision, Best Practices for Credit Risk Disclosure, 74, September
2000
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 134](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-144-320.jpg)
![GRAPHIQUE 10.13. Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les corr´lations ρ (PD)
e
[2] Basel Committee on Banking Supervision, Principles for the Management of Credit Risk, 75, Sep-
tember 2000
[3] Basel Committee on Banking Supervision, The Internal Ratings-Based Approach — Consultative
Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001
[4] Basel Committee on Banking Supervision, Results of the Second Quantitative Impact Study, 5
November 2001
[5] Basel Committee on Banking Supervision, Potential Modifications to the Committee’s Proposals, 5
November 2001
[6] Koyluoglu, H.U. et A. Hickman [1998], Reconcilable differences, Risk Magazine, 11, October, 56-62
[7] Finger, C.C. [1999], Conditional approaches for CreditMetrics portfolio distributions, CreditMetrics
Monitor, April, 14-33
[8] Gordy, M.B. [2000], A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and Finance,
24, 119-149
[9] Gordy, M.B. [2001], A risk-factor model foundation for ratings-based bank capital rules, Board of
Governors of the Federal Reserve Systems, Working Paper
[10] Ieda, A., K. Marumo et T. Yoshiba [2000], A simplified method for calculating the credit risk of
lending portfolios, Institute for Monetary and Economic Studies, Bank of Japan, Discussion Paper,
2000-E-10
[11] Wilson, T. [2001a], IRB approach explained, Risk Magazine, 14, May, 87-90
[12] Wilson, T. [2001b], Probing granularity, Risk Magazine, 14, August, 103-106](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-146-320.jpg)
![12
Le mod`le de la firme
e
L’approche structurelle du risque de cr´dit est fond´e sur les m´thodes d’´valuation des options mises
e e e e
en place par Black et Scholes [1973] et Merton [1974]. Il s’agit d’une approche relativement intuitive
dans la mesure o` le risque de cr´dit encouru par le d´tenteur d’une obligation est directement reli´ ` la
u e e ea
r´alit´ ´conomique de la firme : le d´faut intervient d`s que la valeur de march´ de l’ensemble des actifs
e ee e e e
de la firme passe sous un certain seuil d´termin´ par le niveau global de la dette contract´e. Il s’agit d’une
e e e
vision optionnelle de la dette : l’´metteur re¸oit le droit de faire d´faut sur sa dette, droit qu’il exerce d`s
e c e e
que la valeur de ses actifs ne permet plus de la couvrir.
Merton est le premier ` proposer ce type de mod`le. Il l’applique ` la forme de dette la plus simple :
a e a
l’obligation z´ro coupon. Dans ce cadre, Merton obtient une formule ferm´e d’´valuation de la dette
e e e
faisant apparaˆ le spread de taux comme une prime li´e au risque de d´faut de la firme. D’un point de
ıtre e e
vue th´rorique, ce mod`le est tr`s s´duisant car il explicite directement les fondements ´conomiques du
e e e e e
risque obligataire :
– le taux sans risque ;
– la volatilit´ de la valeur de march´ des actifs de l’entreprise, c’est-`-dire l’incertitude pesant sur le
e e a
rendement de l’ensemble des actifs de la firme ;
– le levier, c’est-`-dire le rapport entre la valeur actualis´e au taux sans risque de la dette, et la valeur
a e
initiale des actifs : plus le levier est important (i.e. plus la part de la dette dans le total des actifs,
vu d’aujourd’hui, est importante) plus la dette est risqu´e. e
N´anmoins, d’un point de vue pratique, la prise en compte de variables ´conomiques propres ` chaque
e e a
entreprise limite le champ d’application du mod`le de Merton. De fa¸on g´n´rale, les mod`les structurels
e c e e e
s’av`rent difficiles ` mettre œuvre parce qu’ils requi`rent la connaissance de nombreux param`tres :
e a e e
1. la valeur des actifs, la structure financi`re de l’´metteur :
e e
Ces param`tres sont propres aux mod`les structurels. Si l’on souhaite ´valuer la dette d’un ´metteur
e e e e
de fa¸on pr´cise, il convient d’avoir une tr`s bonne connaissance de la valeur de march´ totale de ses
c e e e
actifs et de la fa¸on dont elle est susceptible d’´voluer au cours du temps. Cette valeur n’´tant pas
c e e
directement observable, il faut l’estimer le plus pr´cis´ment possible. Une telle d´marche n´cessite
e e e e
une base de donn´es particuli`rement riche portant sur la structure financi`re de l’entreprise et sa
e e e
valorisation boursi`re. L’exemple de Credit Monitor TM , outil de gestion du risque de cr´dit mis en
e e
place par K.M.V. (c.f. section 12.3), illustre la fa¸on dont ces donn´es peuvent ˆtre utilis´es pour
c e e e
estimer les probabilit´s de d´faut d’une entreprise. Cependant, d’un point de vue op´rationnel, il
e e e
est tr`s difficile d’acc´der ` ce type d’information, ce qui limite la port´e des mod`les structurels
e e a e e
pour la majorit´ des acteurs financiers engag´s sur les march´s obligataires. Notons de plus qu’on
e e e
ne peut contrˆler la structure capitalistique d’une entreprise en temps continu dans la mesure o`,
o u
la plupart du temps, les comptes sont publi´s une fois par an.
e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-151-320.jpg)
![`
CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME
2. les conditions d’´mission de la dette :
e
Il s’agit ici de prendre en compte les termes du contrat fixant entre autres la maturit´, les flux
e
vers´s, les ´ventuelles options de conversion, les ordres de priorit´ en cas de d´faut.
e e e e
3. La perte sachant le d´faut :
e
Une fois la faillite d´clar´e, une proc´dure de liquidation judicaire est mise en place. Un liquidateur
e e e
est alors nomm´, dont le rˆle est de r´aliser les actifs de la firme afin de rembourser les cr´anciers
e o e e
suivant leur ordre de priorit´. Notons que les modalit´s d’une telle proc´dure varient en fonction des
e e e
r´glementations propres ` chaque pays et que le montant total recouvr´ par les cr´anciers d´pend de
e a e e e
la mani`re dont est men´e la liquidation : par exemple, si la liquidation est rapide, les actifs risquent
e e
d’ˆtre brad´s. Dans les diff´rents mod`les structurels, la partie de la dette recouvr´e correspond `
e e e e e a
une fraction de la valeur de march´ de la firme ` l’instant de d´faut (Merton [1974], Leland
e a e
et Toft [1996]). Il peut ´galement s’agir d’une fonction de la valeur faciale de la dette, ou d’un
e
processus stochastique.
4. le processus du taux sans risque et la correlation entre ce processus et le prix des actifs :
Les spreads de taux peuvent difficilement ˆtre analys´s ind´pendemment de la structure des taux
e e e
sans risque. En effet, ce dernier d´pend fortement du cycle ´conomique, tout comme le risque de
e e
cr´dit. Par exemple, en p´riode de forte activit´, on peut s’attendre ` ce que d’une part, l’´cart
e e e a e
entre taux court et taux long s’acroisse, et d’autre part ` ce que la meilleure qualit´ du cr´dit
a e e
conduise ` une r´duction des spreads (l’´tude [4] men´e par Duffee en 1998 met en ´vidence ce type
a e e e e
de r´sultats). Pour pouvoir d´terminer le prix des instruments de cr´dit, il faut donc connaˆ le
e e e ıtre
lien entre la structure des taux sans risque et les probabilit´s de d´faut des entreprises.
e e
12.1 Le mod`le de Merton [1974]
e
Nous pr´sentons dans cette section les caract´ristiques du mod`le propos´ par Merton en 1974 et les
e e e e
principaux r´sultats qui en d´coulent. Les quatre points abord´s pr´c´demment sont sp´cifi´s de la fa¸on
e e e e e e e c
suivante :
1. Evolution de la valeur des actifs, Structure financi`re de l’´metteur :
e e
Merton utilise la dynamique suivante pour la valeur V (t) des actifs de la firme :
dV (t) = (αV (t) − C) dt + σV (t) dW (t) (12.1)
o` α repr´sente le taux de rendement instantan´ des actifs de la firme, C le montant des payouts (di-
u e e
videndes et int´rˆts) par unit´ de temps, et σ 2 la variance du processus de rendement. (W (t) , t ≥ 0)
ee e
est un mouvement brownien standard.
Les avoirs de la firme sont divis´s en deux classes : une classe unique et homog`ne de dette, le reste
e e
correpondant aux capitaux propres. De plus, la firme ne verse aucun dividende et ne peut proc´der e
a
` aucun remboursement partiel de sa dette avant la maturit´. e
2. Conditions d’´mission de la dette :
e
La firme promet de payer un montant B ` la maturit´ T . De plus, elle ne peut ni ´mettre de nouvelle
a e e
dette, ni rembourser une partie de sa dette avant la maturit´. Compte tenu de ces conditions
e
d’´mission et de la structure financi`re de la firme, le param`tre C de l’´quation (12.1) vaut 0 et la
e e e e
dynamique suivi par la valeur des actifs devient :
dV (t)
= α dt + σ dW (t) (12.2)
V (t)
3. Perte sachant le d´faut :
e
En cas de d´faut, le d´tenteur de la dette devient propri´taire de la firme. Merton suppose que la
e e e
firme fait d´faut si la valeur V (T ) ` la maturit´ T des actifs est inf´rieure ` B. En cas de d´faut, le
e a e e a e
d´tenteur de la dette re¸oit donc V (T ) , et il perd B − V (T ). Le payoff final peut d`s lors s’´crire
e c e e
D (T ) = B − max (B − V (T ) , 0) (12.3)
La d´tention d’une dette risqu´e s’interpr`te alors comme une strat´gie o` l’on aurait achet´ un z´ro-
e e e e u e e
coupon sans risque dont on aurait financ´ une partie du coˆt par la vente d’un put de sous-jacent
e u
V , de prix d’exercice B et de maturit´ T .
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 142](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-152-320.jpg)
![`
CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME
4. Processus de taux sans risque :
le taux d’int´rˆt sans risque demeure constant au cours du temps, ´gal ` r. Les probl`mes li´s ` la
ee e a e e a
dynamique des taux ne sont pas abord´s dans ce premier mod`le.
e e
La dette est valoris´e en supposant que les deux conditions suivantes sont v´rifi´es :
e e e
– il y a absence d’opportunit´ d’arbitrage : il est impossible de g´n´rer un profit presque sˆr ` partir
e e e u a
d’un investissement nul ;
– les march´s sont complets : il est possible de r´pliquer tout produit d´riv´ ` l’aide d’une strat´gie
e e e ea e
dynamique fond´e sur les actifs sous-jacents.
e
Ce sont deux hypoth`ses fortes qui, d’un point de vue pratique, assurent l’existence (absence d’opportunit´
e e
d’arbitrage) et l’unicit´ (compl´tude des march´s) des prix de march´. N´anmoins, contrairement aux
e e e e e
march´s d’actions, les march´s obligataires sont particuli`rement peu liquides. Supposer dans ce cas
e e e
pr´cis l’existence d’arbitrageurs qui contraignent les prix ` v´rifier certaines relations ne semble donc pas
e a e
tr`s r´aliste.
e e
Par contre, si on consid`re que ces hypoth`ses sont vraies sur le march´ des actions, la valorisation f
e e e
de la firme sur le march´ des actions (qui est connue) refl`te les anticipations du march´ concernant la
e e e
valeur de la firme ` la maturit´ et en utilisant l’identit´ vraie ` chaque instant
a e e a
F =V −f (12.4)
on obtient la valeur F aujourd’hui de la dette contract´e en fonction de f et de la valeur de march´ V
e e
des actifs de la firme. Notons que le param`tre V n’´tant pas accessible, il faut l’estimer. Comme nous
e e
le verrons ` la section 12.3, une telle estimation peut ˆtre r´lis´e ` partir de la valeur des actions f
a e e e a
et de la valeur comptable de la dette B. Les prix obtenus par une telle m´thode peuvent ˆtre qualifi´s
e e e
d’implicites : ce ne sont pas les prix observ´s sur le march´ mais les prix que l’on devrait observer compte
e e
tenu de la valorisation boursi`re de la firme.
e
Dans le cadre de ces hypoth`ses, la valeur de la dette correspond ` l’esp´rance des flux futurs actualis´s
e a e e
qu’elle g´n`re. Merton explicite alors le spread de taux par rapport au taux r du z´ro-coupon certain,
e e e
r´sultant du risque de d´faut :
e e
1 1
R (T ) − r = − ln Φ h2 d, σ 2 T + Φ h1 d, σ 2 T (12.5)
T d
o` Φ repr´sente la fonction de r´partition d’une loi normale centr´e r´duite et
u e e e e
B
d = V (0)erT
1
h (x, y) = −y − 2 1 y − ln x (12.6)
1 2
h (x, y) = −y − 2 1 y + ln x
1
2 2
Pour une maturit´ T donn´e, la prime de risque d´pend uniquement de la volatilit´ σ 2 de la valeur des
e e e e
actifs et du levier d. Merton montre que R (T ) − r est une fonction croissante de ces deux param`tres, ce
e
qui est conforme ` l’intuition :
a
– La volatilit´ de la valeur de march´ d’une firme refl`te l’incertitude des op´rateurs sur les rendements
e e e e
a
` venir de cette firme. Par cons´quent, plus la volatilit´ est ´lev´e, plus le risque encouru par le
e e e e
d´tenteur de la dette est important et plus la prime doit ˆtre cons´quente.
e e e
– L’effet de levier permet aux propri´taires d’une entreprise (les actionnaires) d’accroˆ
e ıtre le niveau
d’activit´ sans augmenter pour autant le montant de leurs engagements. Le risque suppl´mentaire
e e
li´ au surplus d’activit´ est alors support´ par les cr´anciers, ce qui se traduit par une meilleure
e e e e
r´mun´ration de leurs placements.
e e
Les graphiques suivants illustrent la fa¸on dont le levier influence la structure par terme des spreads
c
de taux :
`
12.1. LE MODELE DE MERTON [1974] 143](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-153-320.jpg)
![`
CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME
GRAPHIQUE 12.2. Effet de levier (d 1)
L’extension la plus directe du mod`le de Merton suppose que le d´faut peut se produire ` chaque date
e e a
de paiement du principal ou des int´rˆts (mod`le de Geske [1977]). Les actionnaires disposent d’une
ee e
option compos´e qu’ils peuvent exercer ` chaque date de versement.
e a
Un second type d’extension consiste ` appr´hender le d´faut non plus de fa¸on discr`te mais en temps
a e e c e
continu : la firme peut faire d´faut ` n’importe quelle date entre la date d’´mission et la maturit´, qu’il
e a e e
s’agisse ou non d’une date de paiement.
Black et Cox [1976] reprennent le cadre d’analyse de Merton en supposant de plus que la firme
peut-ˆtre mise en faillite d`s que la valeur de march´ V (t) passe sous un seuil critique K (t) tel que
e e e
K (t) = Ke−r(T −t) , 0K≤B (12.7)
¯
Black et Cox d´finissent ainsi un levier maximal d = B/K ≥ 1 que les actionnaires ne peuvent franchir
e
pour financer l’activit´ de leur entreprise. Notons que la barri`re K est fix´e de fa¸on exog`ne : elle doit
e e e c e
ˆtre d´finie de fa¸on explicite dans le contrat de dette.
e e c
12.2.2 Introduction de sauts dans le processus de valorisation des actifs
Comme nous l’avons d´j` remarqu´, le mod`le de Merton sp´cifie le d´faut comme un ph´nom`ne
ea e e e e e e
parfaitement pr´visible si bien que le spread tend vers zero ` mesure que l’on se rapproche de la maturit´.
e a e
Dans la pratique, on n’observe pas de tel ph´nom`ne : les spreads restent importants mˆme pour des
e e e
dates de maturit´ assez proches.
e
Zhou [1997] propose une solution ` ce probl`me tout en conservant un cadre d’analyse proche de
a e
celui de Merton : il int`gre un processus de sauts au processus de valorisation des actifs, si bien que les
e
trajectoires suivies par la valeur de march´ de la firme ne sont plus n´cessairement continues. Dans ce
e e
contexte, Zhou montre que les spreads demeurent significatifs mˆme pour une dette risqu´e proche de la
e e
maturit´ : les investisseurs demandent une prime permettant de s’assurer contre le risque suppl´mentaire
e e
engendr´ par les sauts.
e
`
12.2. EXTENSIONS DU MODELE DE MERTON 145](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-155-320.jpg)
![`
CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME
12.3 M´thodologie mise en place par K.M.V. Corporation
e
En introduction de la section 8.1, nous avons pr´sent´ les trois composantes du risque de cr´dit : le risque
e e e
de d´faut, l’incertitude pesant sur le taux de recouvrement, et le risque de d´gradation de la qualit´ de la
e e e
contrepartie. Ce paragraphe constitue une illustration de la fa¸on dont le risque de d´faut est appr´hend´
c e e e
par K.M.V. Leur m´thodologie se fonde sur le mod`le de la firme : ` partir de la valeur comptable de la
e e a
dette d’une entreprise et de l’estimation de sa valeur de march´, K.M.V calcule la distance de la firme au
e
d´faut et en d´duit, pour un horizon donn´, sa probablit´ de d´faut, not´e EDFT M (Expected Default
e e e e e e
Frequency).
Cette section se fonde essentiellement sur le document [3] de P. Crosbie, publi´ par K.M.V., consultable
e
sur internet ` l’adresse suivante :
a
http ://www.kmv.com
12.3.1 Une mesure du risque de d´faut : la distance au d´faut
e e
Le mod`le de Merton laisse entendre qu’une mesure pertinente de la valeur nette d’une firme est sa
e
valeur de march´ moins la valeur comptable de sa dette, le d´faut intervenant d`s que la valeur nette
e e e
s’annule :
– La valeur de march´ des actifs rend compte de la rentabilit´ esp´r´e de l’activit´ de l’entreprise. Il
e e ee e
s’agit d’une mesure dynamique de sa valeur. Savoir si l’entreprise dispose du cash n´cessaire pour
e
faire face ` ses engagements n’est d`s lors pas fondamental. Si la valeur de march´ des actifs est
a e e
suffisante, l’entreprise peut toujours faire face au paiement de sa dette en vendant une partie de ses
actifs. Ce qui compte est donc davantage la valeur esp´r´e de l’entreprise reposant sur son activit´
ee e
future (valeur de march´), que la valeur de l’entreprise r´sultant de son activit´ pass´e (derni`re
e e e e e
ligne du bilan de l’entreprise).
– Il faut en revanche consid´rer la valeur comptable de la dette car elle correspond ` ce que la firme
e a
devra effectivement payer.
Dans la pratique, le d´faut peut se produire pour des valeurs nettes n´gatives. Ceci tient ` la nature des
e e a
engagements de l’entreprise, sa dette pouvant se d´composer en dette ` long terme et dette ` court terme.
e a a
La pr´sence d’une dette ` long terme dans le bilan de l’entreprise apporte donc une certaine flexibilit´.
e a e
Le point de d´faut se situe en g´n´ral entre le montant total de la dette et le montant de la dette de court
e e e
terme.
Pour ´valuer le risque de d´faut, la valeur nette ne peut ˆtre consid´r´e ind´pendamment du risque
e e e ee e
li´ ` l’activit´ de l’entreprise. En effet, il n’est int´ressant de connaˆ l’´cart entre la valeur de march´
ea e e ıtre e e
des actifs et le point de d´faut que si l’on sait dans quelle mesure il risque d’ˆtre combl´. La distance au
e e e
point de d´faut K d´finie par K.M.V normalise donc la valeur nette de l’entreprise en la comparant ` son
e e a
´cart-type :
e
VA − K
DD = (12.8)
σ A VA
DD correspond au nombre d’´carts-type s´parant la valeur de march´ des actifs du point de d´faut. On
e e e e
peut remarquer que cette mesure fait la synth`se des facteurs de risque mis en ´vidence par le mod`le de
e e e
Merton : elle int`gre ` la fois le levier et la volatilit´ des actifs. Notons de plus que la distance au d´faut
e a e e
prend en compte l’influence du secteur d’activit´, de la zone g´ographique et de la taille de l’entreprise
e e
par l’interm´diaire de la volatilit´ des actifs. Le graphique 12.3 publi´ par K.M.V met en ´vidence l’impact
e e e e
de deux de ces facteurs sur la volatilit´.e
– La volatilit´ des actifs est d’autant plus importante que la taille de l’entreprise est faible. Une grande
e
entreprise peut donc s’endetter davantage qu’une petite entreprise pour financer son activit´ sans e
que le risque de cr´dit associ´ soit pour autant sup´rieur.
e e e
– De fa¸on analogue, parmi les cinq secteurs d’activit´ pr´sent´s, le secteur bancaire est celui qui
c e e e
autorise les niveaux de levier les plus ´lev´s, le rendement des actifs y ´tant moins incertain.
e e e
La connaissance de la distance au d´faut et de la distribution de la valeur des actifs permet de calculer
e
directement les probabilit´s de d´faut.
e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 146](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-156-320.jpg)
![12.4 Une application : le mod`le CreditMetrics
e
Le mod`le CreditMetrics sera d´velopp´ dans le cours “Gestion des Risques Multiples”.
e e e
Bibliographie
[1] Black, F. and M. Scholes [1973], The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political
Economy, 81, 637-659
[2] Black, F. and J. Cox [1976], Valuing corporate securities : some effects of bond indenture provisions,
Journal of Finance, 31, 351-367
[3] Crosbie, P. [1997], Modeling default risk, K.M.V., Working Paper
[4] Duffee, G.R. [1998], The relation between treasury yields and corporate bond yield spreads, Journal
of Finance, 53(6), 2225-2241
[5] Geske, R. [1977], The valuation of corporate liabilities as compound options, Journal of Financial
and Quantitative Analysis, 12(4), 541-552
[6] Leland, H. [1994], Corporate debt value, bond convenants, and optimal capital structure, Journal
of Finance, 49, 1213-1252
[7] Leland, H. and K. Toft [1996], Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term
structure of credit spreads, Journal of Finance, 51, 987-1019
[8] Merton, R.C. [1974], On the pricing of corporate debt : the risk structure of interest rates, Journal
of Finance, 29, 449-470
[9] Zhou, C. [1997], A jump-diffusion approach to modeling credit risk and valuing defaultable securities,
Federal Reserve Board, Working Paper](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-161-320.jpg)
![On applique alors la relation de r´currence, apr`s avoir r´duit au mˆme d´nominateur la derni`re ex-
e e e e e e
pression. Evidemment, un choix judicieux de L, l’unit´ d’exposition, permettrait de r´duire le degr´ du
e e e
polynˆme B(z) de telle sorte que les calculs soient plus faciles ` traiter. On se retrouve alors en possession
o a
de la forme explicite de la distribution des pertes du portefeuille.
13.4 Conclusion
Tout d’abord, notons que cette approche peut ˆtre g´n´ralis´e en consid´rant l’´ventuelle appartenance
e e e e e e
d’un ´metteur ` plusieurs secteurs. On fait alors intervenir des coefficients θA,k qui pour chaque ´mission
e a e
A donne la proportion de l’influence de son taux de d´faut par la variable xk . En g´n´ralisant de la sorte,
e e e
on accorde ` tous les titres d’ˆtre d´pendants de plusieurs secteurs. Cette hypoth`se est trait´e dans
a e e e e
CreditRisk+, qui donne alors le processus et la nouvelle distribution des pertes encourus.
Remarquons, de plus, que la notion de corr´lation n’apparait pas explicitement dans le mod`le, mais
e e
est pris en compte indirectement dans les volatilit´s de chaque secteur et ´ventuellement dans le profil
e e
des coefficients θA,k . On peut toutefois calculer les contributions marginales de chacun des titres ainsi que
les corr´lations entre ces mˆmes titres a posteriori. Les ´tapes n´cessaires pour aboutir ` ces corr´lations
e e e e a e
et ` ces contributions ne sont pas pr´sent´es ici mais le sont dans CreditRisk+.
a e e
Le principal reproche adress´ ` CSFP r´side dans le fait que leur mod`le ignore la possibilit´ d’un
e a e e e
changement de spread des titres composant le portefeuille sans pour autant observer un quelconque
d´faut. Par analogie avec CreditMetrics, ce mod`le ne tient pas compte de la perte ou du gain de valeur
e e
du portefeuille provoqu´s par des changements de rating. Ce mod`le semble, en fait, s’adapter au cas de
e e
banques accordant des cr´dits, et cherchant ` se couvrir contre un certain niveau de risque dˆ au d´faut
e a u e
de paiement d’une contrepartie. Mais cet outil ne convient pas ` une gestion de portefeuille qui a pour
a
vocation d’ˆtre assez liquide et qui tire son rendement des spreads des titres qui le composent.
e
Bibliographie
[1] Credit Suisse Financial Products [1997], CreditRisk+ : A credit Risk Managment Framework, London](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-171-320.jpg)
![´ ´
CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE
de liquidation judiciaire est mise en place : le montant recouvr´ d´pendra de la fa¸on dont la proc´dure
e e c e
se d´roulera.
e
L’instant avant d´faut est mod´lis´ par une variable al´atoire τ d´finie sur l’espace (Ω, G, P). On in-
e e e e e
troduit le processus de saut H associ´ ` τ : Ht = 1{τ ≤t}, ∀t ∈ R+ , et on d´finit H = (Ht )t∈R+ comme la
ea e
filtration engendr´e par ce processus : Ht = σ (Hu , u ≤ t) , ∀t ∈ R+ .
e
L’observation des donn´es de march´ montre qu’il est impossible de dire avec certitude si le d´faut
e e e
est survenu ou non uniquement ` partir de celles-ci. En effet, il se peut tr`s bien qu’` une date donn´e,
a e a e
deux obligations aient un prix identique alors mˆme que l’un des deux ´metteurs vient de faire d´faut.
e e e
Math´matiquement, cela signifie que Ft Ht : τ n’est pas un F−temps d’arrˆt.
e e
Si l’occurence du d´faut ne peut pas se lire dans les prix de march´, on peut n´anmoins supposer
e e e
que les op´rateurs financiers disposent de cette information par un autre biais. Autrement dit, ` une
e a
date t donn´e, l’information disponible peut ˆtre mod´lis´e par la tribu Gt = σ (Fu , Hu , u ≤ t). On note
e e e e
G = F ∨ H la filtration associ´e. Le temps de d´faut est alors un G−temps d’arrˆt.
e e e
A la date t, les op´rateurs financiers disposent de deux types d’information bien distincts :
e
– D’une part, ils savent si le d´faut est survenu ou non. Cette information est contenue dans la tribu
e
Ht .
– D’autre part, ils ont acc`s ` ce que l’on a appel´ dans un premier temps l’information de march´
e a e e
(provenant des prix). Cette information, mod´lis´e par Ft , permet de formuler des hypoth`ses sur la
e e e
qualit´ de l’´metteur de la dette. Il s’agit donc de l’information utile, si le d´faut ne s’est pas encore
e e e
produit, pour ´tablir le prix de la dette risqu´e ` la date t . D`s lors, Ft ne se r´duit pas forc´ment
e e a e e e
aux prix de march´, elle peut contenir toute information permettant une meilleure appr´ciation de
e e
la qualit´ de la contrepartie (notes de rating par exemple).
e
14.1.1 D´finition de l’intensit´ de survie
e e
La d´composition de G en deux sous-filtrations F et H permet d’isoler l’information pertinente pour
e
le calcul des probabilit´s de d´faut. En particulier, on peut construire le processus Ft = P (τ ≤ t | Ft ) ,
e e
∀t ∈ R+ : F est bien d´fini car τ n’est pas F−adapt´. Il s’agit d’une F−sous-martingale positive born´e,
e e e
que l’on peut par cons´quent supposer continue ` droite. Ft traduit les croyances du march´ ` la date t
e a ea
concernant la possible occurence du d´faut avant cette date. Notons que l’incertitude des march´s pesant
e e
sur l’apparition du d´faut se traduit par Ft 1 ∀t ∈ R+ . On peut d`s lors d´finir le processus de hazard
e e e
Γ associ´ au temps de d´faut τ : Γt = − ln (1 − Ft ) , ∀t ∈ R+ .
e e
A chaque instant, on sait si le d´faut s’est produit ou non. Par contre, s’il ne s’est pas produit, les
e
op´rateurs financiers formulent des hypoth`ses ` partir des donn´es de march´. Ceci se traduit de fa¸on
e e a e e c
math´matique par la relation suivante :
e
∀t s, P (τ s | Gt ) = 1{τ t} EP eΓt −Γs | Ft (14.1)
Dans l’hypoth`se o` Γ est un processus absolument continu, il existe un processus F−progressivement
e u
t
mesurable tel que Γt = 0 γ u du. La relation (14.1) peut donc se r´´crire
ee
Rs
∀t s, P (τ s | Gt ) = 1{τ t} EP e− t
γ u du
| Ft (14.2)
La signification intuitive de γ apparaˆ ici : il s’agit de l’intensit´ de survie (ou encore intensit´ de d´faut)
ıt e e e
sachant le flux d’information de march´ (Ft )t∈R+ .
e
Si de plus, on suppose que Γ est un processus croissant (i.e. γ 0), alors le processus m d´fini par
e
t∧τ
mt = Ht − γ u du, ∀t ∈ R+ (14.3)
0
est une G−martingale. Cette propri´t´ est particuli`rement importante car elle permet d’´tablir une
ee e e
nouvelle repr´sentation du prix de la dette risqu´e. De plus, historiquement, c’est ` partir de cette
e e a
propri´t´ que l’intensit´ de d´faut a ´t´ d´finie (cf. Duffie, Schroder et Skiadas [1996]).
ee e e ee e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 164](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-174-320.jpg)
![´ ´
CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE
14.1.2 Une autre approche de l’intensit´ de d´faut
e e
La d´composition de la filtration G en deux sous-filtrations F et H a permis de mettre en ´vidence le
e e
processus γ. N´anmoins, si l’on raisonne sans prendre en compte cette d´composition, on peut montrer1
e e
qu’il existe un processus λ positif G−adapt´ tel que le processus M d´fini par
e e
t∧τ
Mt = Ht − λu du, ∀t ∈ R+ (14.4)
0
est une G−martingale.
En g´n´ral, l’intensit´ de d´faut est d´finie ` partir de ce processus λ. N´anmoins, l’interpr´tation de
e e e e e a e e
λ reste difficile. En particulier on ne peut rien dire de la relation existant entre λ et l’intensit´ de survie
e
γ. Il se peut par exemple que le processus λ soit d´fini sans que γ existe. De plus, la caract´risation du
e e
processus λ reste probl´matique dans la mesure o` il n’est d´fini de fa¸on unique que jusqu’` l’instant de
e u e c a
d´faut τ .
e
Compte tenu de ce que l’on a dit jusqu’ici, on sait que si Γ est un processus croissant absolument
continu, alors λt∧τ = γ t∧τ , ∀t ∈ R+ . L’int´rˆt de la d´composition de G en deux sous-filtrations F et
ee e
H apparaˆ ` nouveau ici : elle met en ´vidence de fa¸on assez intuitive la signification de l’intensit´ de
ıt a e c e
d´faut λ, λ ´tant l’objet math´matique g´n´ralement introduit dans les mod`les ` intensit´.
e e e e e e a e
Par la suite, nous d´finirons l’intensit´ de d´faut ` partir de ce processus λ. Pour de plus amples
e e e a
d´veloppements concernant les liens entre les processus λ et γ, on pourra se r´f´rer ` l’article [5] de
e ee a
Jeanblanc et Rutkowski.
14.2 Les diff´rentes repr´sentations du prix de la dette risqu´e
e e e
14.2.1 Premi`res repr´sentations
e e
Soit (X, Z, τ ) une dette risqu´e. Notons D le processus des “dividendes” associ´ :
e e
Dt = Zu dHu + X (1 − HT ) 1{t=T } (14.5)
]0,t]
A l’aide de ce processus, la valorisation rique-neutre de l’actif risqu´ ` la date t s’´crit :
ea e
−1
Vt = Bt EP Bu dDu | Gt (14.6)
]t,T ]
o` bien, de fa¸on ´quivalente :
u c e
−1 −1
Vt = Bt EP Bu Zu dHu + BT X1{T τ } | Gt (14.7)
]t,T ]
ce qui peut encore s’´crire :
e
−1 −1
Vt = Bt EP Bτ Zτ 1{tτ ≤T } + BT X1{T τ } | Gt (14.8)
En particulier, cette derni`re relation implique que la valeur de la dette ` la maturit´ est VT = X1{T τ } .
e a e
De plus on retrouve bien dans cette relation que la valeur de la dette apr`s l’instant de d´faut est nulle :
e e
on a suppos´ dans le mod`le que le porteur de l’actif risqu´ est ind´mnis´ ` hauteur de Z d`s que le
e e e e e a e
d´faut se produit.
e
En utilisant la relation (14.4) d´finissant le processus λ, on peut r´´crire (14.7) de la fa¸on suivante :
e ee c
−1 −1
Vt = Bt EP Bu Zu λu 1{u≤τ } du + BT X1{T τ } | Gt (14.9)
]t,T ]
1 La d´monstration repose sur l’existence du
e G−compensateur de H (d´composition de Doob-Meyer) et sur une hypoth`se
e e
d’absolue continuit´ de ce processus.
e
´ ´ ´
14.2. LES DIFFERENTES REPRESENTATIONS DU PRIX DE LA DETTE RISQUEE 165](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-175-320.jpg)
![´ ´
CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE
14.2.2 Th´or`me de repr´sentation du prix de la dette risqu´e
e e e e
La repr´sentation suivante du prix de la dette risqu´e est le r´sultat le plus int´ressant, qui justifie
e e e e
le d´veloppement de l’approche ` intensit´. Il apparaˆ que le prix d’une dette risqu´e peut ˆtre calcul´
e a e ıt e e e
comme s’il s’agissait d’un actif sans risque de d´faut ` condition d’incorporer une prime de risque dans
e a
le facteur d’actualisation. Pour aboutir ` un tel r´sultat, il convient de formuler les deux hypoth`ses
a e e
suivantes :
– Il y a continuit´ de la valeur de march´ de la dette risqu´e ` l’instant de d´faut. Autrement dit, la
e e e a e
probabilit´ qu’un saut inattendu se produise ` l’instant de d´faut est nulle.
e a e
– Toute F−martingale est une G−martingale, ce qui peut ˆtre formul´ de fa¸on ´quivalente par la
e e c e
relation suivante :
P (τ ≤ u | Ft ) = P (τ ≤ u | F∞ ) ∀ 0 u ≤ t
Ainsi, si le d´faut s’est produit avant la date t, l’´volution des prix sur le march´ apr`s cette date
e e e e
ne s’enrichira pas d’information nouvelle ` ce sujet.
a
Compte tenu de ces deux hypoth`ses, la valeur Vt de la dette ` la date t peut s’´crit :
e a e
T
˜
Vt = 1{tτ } Bt EP ˜ −1 ˜ −1
Bu Zu λu du + BT X | Ft (14.10)
t
t
u ˜
o` Bt = exp 0
(ru + λu ) du .
Notons que le conditionnement n’est plus effectu´ par rapport ` la filtration G : seule l’information
e a
de march´ F est prise en compte. On s’est donc ramen´ au cadre classique o` la filtration consid´r´e est
e e u ee
la filtration brownienne des prix. Ceci permet d’int´grer les mod`les ` intensit´ dans une th´orie plus
e e a e e
g´n´rale (les mod`les d´riv´s de la th´orie de Black et Scholes ou bien encore les diff´rents mod`les de
e e e e e e e e
taux sont toujours sp´cifi´s en consid´rant la filtration des prix).
e e e
14.3 Un exemple d’application : le mod`le de Jarrow et Turnbull
e
[1995]
Le mod`le de Jarrow et Turnbull reprend l’ensemble des hypoth`ses formul´es pr´c´demment. Les
e e e e e
hypoth`ses sp´cifiques au mod`le sont les suivantes :
e e e
– L’´mission consid´r´e est une obligation z´ro-coupon de maturit´ T , donnant droit au versement
e ee e e
d’un dollar ` la date T .
a
– En cas de d´faut, l’entreprise ne versera qu’une fraction du paiement promis. Le taux de recouvre-
e
ment δ de la dette est suppos´ constant2 . Math´matiquement, cette hypoth`se s’´crit
e e e e
Bu
Zu = δ, ∀u ∈ [0, T ]
BT
– Le processus de d´faut (Ht ) associ´ ` l’instant de d´faut τ correspond ` un simple saut poissonien
e ea e a
entre deux ´tats. Autrement dit, l’intensit´ de d´faut λ est suppos´e constante au cours du temps3 .
e e e e
– Le processus du taux sans risque est suppos´ ind´pendant du processus de d´faut. Il s’agit ici d’une
e e e
hypoth`se simplificatrice et peu r´aliste, que l’on retrouve dans la plupart des mod`les ` intensit´.
e e e a e
2δ peut d´pendre du niveau de priorit´ de l’obligation risqu´e au sein de l’ensemble de la dette ´mise par l’entreprise.
e e e e
3 Notons que Jarrow, Lando et Turnbull [1997] proposent une extension de ce mod`le dans laquelle le processus de
e
d´faut est associ´ ` une chaˆ de Markov dont les diff´rents ´tats sont les classes de rating des agences de notation. A
e e a ıne e e
chaque classe de rating correspond alors une intensit´ de d´faut. Une telle mod´lisation permet de faire ´voluer la valeur
e e e e
de la dette risqu´e en fonction de la note qui lui est associ´e.
e e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 166](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-176-320.jpg)
![Compte tenu de ces quatre hypoth`ses suppl´mentaires, l’´quation (14.10) devient
e e e
Vt = 1{tτ } p (t, T ) δ 1 − e−λ(T −t) + e−λ(T −t) (14.11)
Bt
o` p (t, T ) = EP
u BT | Ft repr´sente le prix ` la date t d’un z´ro-coupon sans risque de maturit´ T .
e a e e
Cette derni`re formule est tr`s intuitive : le prix d’un z´ro-coupon risqu´ est ´gal au prix du z´ro-coupon
e e e e e e
sans risque multipli´ par l’esp´rance du payoff ` la maturit´ sous la probabilit´ risque-neutre.
e e a e e
Nous allons maintenant utiliser cette formule pour calculer le spread de taux entre le z´ro-coupon
e
∂
sans risque et la dette risqu´e. Notons F (t, T ) = − ∂T log Vt le taux forward d’un z´ro-coupon risqu´
e e e
et f (t, T ) le taux forward d’un z´ro-coupon sans risque. En utilisant l’´quation (14.11), on obtient la
e e
relation suivante :
(1 − δ) λe−λ(T −t)
F (t, T ) = f (t, T ) + (14.12)
δ 1 − e−λ(T −t) + e−λ(T −t)
En faisant tendre T vers t, on obtient la relation liant le taux spot risqu´ R au processus de taux sans
e
risque r :
R (t) = r (t) + (1 − δ) λ (14.13)
Ce r´sultat int´ressant montre que le spread de taux observ´ sur les march´s est dˆ au risque de cr´dit.
e e e e u e
En outre, il apparaˆ que ce spread d´pend tout autant du processus de d´faut que du processus de
ıt e e
recouvrement. On retrouve ici un r´sultat analogue ` celui obtenu par Duffie et Singleton de fa¸on plus
e a c
g´n´rale (cf. articles [1] et [3]).
e e
Bibliographie
[1] Duffie, D. et K. Singleton [1997], An econometric model of the term structure of interest rate
swap yields, Journal of Finance, 52, 1287-1321
[2] Duffie, D., M. Schroder et C. Skiadas [1996], Recursive valuation of defaultable securities and
the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Prbability, 6, 1075-1090
[3] Duffie, D. et K. Singleton [1999], Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Fi-
nancial Studies, 12-4, 687-720
[4] Jarrow], R., D. Lando et S. Turnbull [1997], A markov model for the term structure of credit
risk spreads, Review of Financial Studies, 10-2, 481-523
[5] Jeanblanc, M. et M. Rutkowski [1999], Modelling of default risk : an overview, Working Paper](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-177-320.jpg)
![15
La r´glementation prudentielle
e
Les documents consultatifs du Comit´ de Bˆle ouvrent la voie ` une prise en compte explicite des
e a a
risques op´rationnels dans le calcul des fonds propres r´glementaires bancaires, ` l’instar de ce qui existe
e e a
d´j` sur les risques de cr´dit et de march´. Toutefois, sur le plan m´thodologique, la mesure du risque
ea e e e
op´rationnel n’a pas encore la maturit´ qu’on constate sur les autres risques. En effet, sur ces derniers —
e e
risque de cr´dit et risque de march´ — les banques ont consacr´ des ressources importantes et ont ainsi
e e e
abouti ` des mod`les de type Value-At-Risk qui, mˆme s’ils sont loin d’ˆtre parfaits, ont atteint un degr´
a e e e e
de sophistication et de robustesse remarquable.
Ce manque de maturit´ intellectuelle sur les risques op´rationnels n’est ´videmment pas appel´ ` durer :
e e e ea
ce risque fera l’objet dans un avenir proche d’un traitement analogue aux autres, fond´ sur la construction
e
d’un mod`le interne et l’´valuation d’un capital ´conomique plus pr´cis qu’un calcul forfaitaire. Cette
e e e e
´volution est dans le sens de l’histoire r´glementaire. Elle r´sultera aussi d’une volont´ des banques de
e e e e
piloter en interne la cr´ation de valeur (Value-based management) et, en l’occurrence, de r´duire au
e e
minimum les destructions de valeur dues ` des d´fauts de proc´dure ou ` un manque de “best practices”
a e e a
que r´v`le la mat´rialisation des risques op´rationnels. R´aliser ce pilotage imposera tˆt ou tard de
e e e e e o
disposer de mesures des risques op´rationnels fond´es sur des calculs autres que des calculs forfaitaires.
e e
Il convient de nuancer tr`s fortement les r´flexions pr´c´dentes. Lors de la sortie du document consultatif
e e e e
du 16 janvier 2001, il semblait qu’effectivement les banques ´taient largement plus avanc´es sur la
e e
mod´lisation du risque de cr´dit que sur celle du risque op´rationnel. La mise en place de Groupes
e e e
de Travail (par exemple, WGOR — Working Group on Operational Risk — cr´´ par l’Institute ee
International Finance) a montr´ que certaines banques (mais le nombre est relativement faible) sont
e
tout ` fait capables de mesurer le risque op´rationnel avec un mod`le interne. Il est devenu
a e e
´vident aussi que le risque de cr´dit est beaucoup plus difficile ` mod´liser que le risque
e e a e
op´rationnel. Au mois de septembre 2001, la situation est donc la suivante :
e
– le Comit´ de Bˆle autorise l’utilisation d’un mod`le interne LDA pour mesurer les risques op´rationnels ;
e a e e
– pour l’instant, seulement une dizaine ( ?) de banques au monde sont capables de mettre en place la
m´thode LDA ;
e
– il n’est pas sˆr que ce nombre soit beaucoup plus important en 2005, lors de l’impl´mentation de
u e
l’Accord.
15.1 La d´finition du risque op´rationnel
e e
Rappelons que, selon le document consultatif [1] du comit´ de Bˆle, les risques op´rationnels se
e a e
d´finissent comme les risques de pertes directes ou indirectes r´sultant de l’inadaptation ou de la d´faillance
e e e](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-181-320.jpg)
![´
CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
de proc´dures ou de personnes, de personnes ou de syst`mes ou r´sultant d’´v´nements ext´rieurs ( the
e e e e e e
risk of direct or indirect loss resulting from inadequate or failed internal processes, people and systems or
from external events ). Cette d´finition a ´t´ critiqu´e, car il est relativement difficile de calculer certaines
e ee e
pertes indirectes. Le 28 septembre 2001, le Comit´ de Bˆle a donc propos´ une seconde d´finition :
e a e e
Les risques op´rationnels se d´finissent comme le risque de pertes dues ` une inad´quation
e e a e
ou ` une d´faillance des proc´dures, personnels, syst`mes internes ou ` des ´v´nements
a e e e a e e
ext´rieurs (Thoraval [2001]).
e
Il est n´cessaire de pr´ciser les types de perte que comprend cette d´finition. Dans le document [1], le
e e e
Comit´ de Bˆle avait retenu 6 types de pertes :
e a
1. Write-Downs : direct reduction in value of assets due to theft, fraud, unauthorised activity or
market and credit losses arising as a result of operational events .
2. Loss of Recourse : payments or disbursements made to incorrect parties and not recovered .
3. Restitution : payments to clients of principal and/or interest by way of restitution, or the cost
of any other form of compensation paid to clients .
4. Legal Liability : judgements, settlements and other legal costs .
5. Regulatory and Compliance (incl. Taxation Penalties) : fines, or the direct cost of any other
penalties, such as license revocations .
6. Loss of or Damage to Assets : direct reduction in value of physical assets, including certificates,
due to some kind of accident (e.g. neglect, accident, fire, earthquake) .
Cette classification est relativement ´loign´e de celles qui avaient ´t´ mises en place par l’industrie ban-
e e ee
caire. Par exemple, la base de donn´es “Operational Risk Losses Database” de la BBA (British Bankers’
e
Association) consid´re 4 types de perte :
e
1. People
2. Process
3. Systems
4. External
Finalement, le Comit´ de Bˆle a adopt´ une nouvelle classification le 28 septembre 2001 :
e a e
1. Internal Fraud : losses due to acts of a type intended to defraud, misappropriate property or
circumvent regulations, the law or company policy, excluding diversity/discrimination events, which
involves at least one internal party .
2. External Fraud : losses due to acts of a type intended to defraud, misappropriate property or
circumvent the law, by a third party .
3. Employment Practices Workplace Safety : losses arising from acts inconsistent with
employment, health or safety laws or agreements, from payment of personal injury claims, or from
diversity/discrimination events .
4. Clients, Products Business Practices : losses arising from an unintentional or negligent
failure to meet a professional obligation to specific clients (including fiduciary and suitability requi-
rements), or from the nature or design of a product .
5. Damage to Physical Assets : losses arising from loss or damage to physical assets from natural
disaster or other events .
6. Business Disruption System Failures : losses arising from disruption of business or system
failures .
7. Execution, Delivery Process Management : losses from failed transaction processing or
process management, from relations with trade counterparties and vendors .
Nous remarquons donc que les risques strat´giques et r´putationnels sont exclus du p´rim`tre des risques
e e e e
op´rationnels.
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 172](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-182-320.jpg)
![´
CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
Le Comit´ de Bˆle consid´re un d´coupage matriciel de la banque. Celle-ci est donc divis´e en diff´rentes
e a e e e e
activit´s :
e
Business Units Business Lines
Investment Banking Corporate Finance
Trading Sales
Banking Retail Banking
Commercial Banking
Payment Settlement
Agency Services Custody
Others Asset Management
Retail Brokage
Toutefois, les typologies exactes des types de risque et des lignes de m´tier restent n´anmoins impr´cises.
e e e
Mˆme si le document consultatif donne beaucoup de pr´cisions, la banque doit faire un travail de mapping
e e
important. En outre, l’existence d’un “double-comptage” n’est pas exclu. En effet, le capital r´glementaire
e
allou´ au risque de cr´dit ou de march´ est d´j` cens´ couvrir une part du risque op´rationnel. Il y a donc
e e e ea e e
un risque d’allouer deux fois du capital pour le mˆme risque.
e
15.2 Les approches forfaitaires
A la lecture du document [1], il n’est pas encore clair de savoir si les fonds propres r´glementaires doivent
e
couvrir les seules pertes exceptionnelles (“unexepected loss”), ou en plus les pertes moyennes (“expected
loss”). En th´orie, les fonds propres ne couvrent que les seules pertes exceptionnelles et non les pertes
e
moyennes, ces derni`res ´tant cens´es ˆtre couvertes par des provisions ou imput´es sur le r´sultat courant.
e e e e e e
Toutefois, dans la mesure o` les normes comptables de provisionnement diff`rent d’un pays ` l’autre et
u e a
d’un type de risque ` un autre, les fonds propres au titre du risque op´rationnel pourraient ˆtre amen´s
a e e e
a
` jouer ce double rˆle. D’apr`s le document [2], la mesure du risque op´rationnel semble correspondre au
o e e
quantile, c’est-`-dire ` la somme de l’expected loss et de l’unexpected loss.
a a
S’agissant des m´thodologies propos´es par le document consultatif du Comit´ de Bˆle, elles s’inspirent
e e e a
fortement de celles que ce mˆme document envisage pour le risque de cr´dit. Il y a eu une volont´ assez
e e e
forte de mettre en parall`le le traitement de ces deux risques en proposant soit des m´thodes dites
e e
standards (c’est-`-dire forfaitaires) soit des m´thodes n´cessitant des ´l´ments rattach´s directement aux
a e e ee e
risques eux-mˆmes (probability of default/probability of event, Loss Given Default/Loss Given Event,
e
etc.). Le Comit´ de Bˆle utilisent le terme “Advanced Measurement Approaches” ou AMA pour
e a
d´finir ces approches non standards. Celles-ci seront expos´es dans le chapitre suivant.
e e
15.2.1 Basic Indicator Approach (BIA)
C’est une m´thode forfaitaire o` le calcul du capital se fait ` partir d’un indicateur d’exposition EI. Le
e u a
capital ´conomique associ´ au risque op´rationnel est donc reli´ aux r´sultats (par exemple, le PNB ou le
e e e e e
revenu) mais pas au risque op´rationnel r´el ni ` la qualit´ intrins`que de la banque en terme de maˆ
e e a e e ıtrise
de ces risques (qualit´ de l’audit interne par exemple). Ceci pose ´videmment probl`me en p´nalisant les
e e e e
banques profitables d’une part, et en n’incitant pas ` la maˆ
a ıtrise des risques d’autre part.
Le Comit´ de Bˆle propose de retenir le PNB — Gross Income — GI comme proxy. Les fonds propres
e a
FP se calcule alors tr`s facilement ` partir de la formule
e a
FP = α × GI (15.1)
o` α est un coefficient fix´ par les autorit´s r´glementaires. Dans le document [1], un premier calcul
u e e e
du Comit´ de Bˆle donnait α ´gal ` 30%. D’apr`s les r´sultats de QIS2, α est en fait proche de 20%.
e a e a e e
Notons que l’approche BIA sera calibrer afin d’obtenir une charge en capital pour la “Banque Mondiale
Moyenne” ´gale ` 20% de la charge totale en capital. Pour cette approche, aucun crit`re d’´ligibilt´ n’est
e a e e e
exig´.
e
15.2. LES APPROCHES FORFAITAIRES 173](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-183-320.jpg)
![´
CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE
15.2.2 Standardised Approach (SA)
C’est un prolongement plus fin de l’approche pr´c´dente en d´clinant ce type de calcul par type d’acti-
e e e
vit´. Selon l’activit´, l’indicateur retenu ne serait pas le mˆme. Ainsi, par exemple en gestion d’actifs, le
e e e
capital ´conomique pourrait ˆtre calcul´ sur la base du montant des fonds en gestion (voir document [1]).
e e e
N´anmoins, le document du 28 septembre 2001 utilise le PNB comme indicateurs des 8 lignes de m´tiers.
e e
Dans cette approche, les fonds propres de la banque pour le risque op´rationnel sont ´gaux ` la somme
e e a
des fonds propres de chaque ligne de m´tier. Nous avons
e
FP = FP (i) = β (i) × FI (i) (15.2)
i i
avec FI l’indicateur financier de la ligne de m´tier i.
e
Si l’indicateur financier est le PNB, les r´sultats de QIS2 sont les suivants :
e
Ligne de m´tier
e β (i) m´dian
e β (i) moyen
Financement d’entreprises 0.131 0.236
N´gociation et vente
e 0.171 0.241
Banque de d´tail
e 0.125 0.127
Banque commerciale 0.132 0.169
Paiements et r´glements
e 0.208 0.203
Services d’agence 0.174 0.232
Gestion d’actifs 0.133 0.185
Courtage de d´tail
e 0.113 0.149
Dans cette approche, le Comit´ de Bˆle indique que l’objectif de charge de capital est de 12% (et non
e a
de 20%). Les banques sont donc incit´es ` choisir cette m´thode plutˆt que celle de l’indicateur basique.
e a e o
N´anmoins, il y a des crit`res d’´ligibilit´ concernant la qualit´ du syst`me de gestion du risque et le suivi
e e e e e e
des donn´es de perte :
e
– Effective risk management and control
– The bank must have a well-documented, independent operational risk management and control
process, which includes firm-level policies and procedures concerning operational risk and
strategies for mitigating operational risk.
– The board of directors and senior management must be actively involved in the oversight of
the operational risk management process.
– There must be regular reporting of relevant operational risk data to business unit management,
senior management and the board of directors.
– Internal auditors must regularly review the operational risk management processes. This review
should include both the activities of the business units and the operational risk management
and control process.
– Measurement and validation
– The bank must have both appropriate risk reporting systems to generate data used in the
calculation of a capital charge and the ability to construct management reporting based on
the results.
– The bank must begin to systematically track relevant operational risk data, including internal
loss data, by business line.
– The bank must develop specific, documented criteria for mapping current business lines and
activities into the standardised framework. The criteria must be reviewed and adjusted for
new or changing business activities and risks as appropriate .
15.3 Annexe : composition du Risk Management Group (RMG) of the
Basel Committee on Banking Supervision
– Chairman : Roger Cole Federal – Reserve Board, Washington, D.C.
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 174](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-184-320.jpg)
![– Banque Nationale de Belgique, Brussels : Dominique Gressens
– Commission Bancaire et Financi`re, Brussels : Jos Meuleman
e
– Office of the Superintendent of Financial Institutions, Ottawa : Jeff Miller
– Commission Bancaire, Paris Laurent Le Mou¨l
e
– Deutsche Bundesbank, Frankfurt am Main : Magdalene Heid et Karin Sagner
– Bundesaufsichtsamt f¨r das Kreditwesen, Bonn : J¨rgen Dreymann
u u
– Banca dItalia, Rome : Claudio Dauria et Sergio Sorrentino
– Bank of Japan, Tokyo : Eiji Harada
– Financial Services Agency, Tokyo : Hirokazu Matsushima
– Commission de Surveillance du Secteur Financier, Luxembourg : Davy Reinard
– De Nederlandsche Bank, Amsterdam : Klaas Knot
– Banco de Espa˜a, Madrid : Juan Serrano
n
– Finansinspektionen, Stockholm : Jan Hedquist
– Sveriges Riksbank, Stockholm : Camilla Ferenius
– Eidgen¨ssiche Bankenkommission, Bern : Daniel Sigrist et Martin Sprenger
o
– Financial Services Authority, London : Helmut Bauer et Victor Dowd
– Bank of England, London : Alison Emblow
– Federal Deposit Insurance Corporation, Washington, D.C. : Mark Schmidt
– Federal Reserve Bank of New York : Beverly Hirtle et Stefan Walter
– Federal Reserve Board, Washington, D.C. : Kirk Odegard
– Office of the Comptroller of the Currency, Washington, D.C. : Kevin Bailey et Tanya Smith
– European Central Bank, Frankfurt am Main : Panagiotis Strouzas
– European Commission, Brussels : Michel Martino et Melania Savino
– Secretariat of the Basel Committee on Banking Supervision, Bank for International Settlements :
Ralph Nash
Bibliographie
[1] Basel Committee on Banking Supervision, Operational Risk — Consultative Document, Supporting
document to the New Basel Capital Accord, January 2001
[2] Basel Committee on Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Operational
Risk, september 2001
[3] Institute International Finance, Inc, Letter to Mr. Roger Cole, March 1, 2001
´
[4] Ceske, R. et J.V. Hernandez [1999], Where theory meets practice, Risk Magazine (Operational
Risk Report), 12, November, 17-20
´ ´
[5] Ceske, R., J.V. Hernandez et L.M. Sanchez [2000], Quantifying event risk : the next convergence,
The Journal of Risk Finance, 1(3), 9-23
[6] Lasry, J-M. [2001], Le calcul des fonds propres en face du risque op´rationnel, Club Banque,
e
F´d´ration des Banques Fran¸aises, 1er mars 2001
e e c](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-185-320.jpg)
![16
Les m´thodes AMA
e
Dans le document consultatif du 16 janvier 2001, le Comit´ de Bˆle proposait une troisi`me m´thode
e a e e
appel´e Internal Measurement Approach (IMA). Depuis le Comit´ de Bˆle a modifi´ sa position
e e a e
et propose de remplacer IMA par un “spectre” de m´thodes dites internes. En fait, cette d´cision a ´t´
e e ee
prise suite aux recommandations (et aux pressions) de l’organisation professionnelle IIF (Institute of
International Finance).
Pour pouvoir utiliser une m´thode AMA, la banque devra satisfaire de nombreux crit`res (voir l’annexe
e e
1 du document [2]). Notons aussi que la charge en capital calcul´e avec une m´thode AMA ne peut ˆtre
e e e
inf´rieure ` celle donn´e par la m´thode SA de plus de 25% :
e a e e
3
FPAMA ≥ FPSA
4
C’est la notion du Floor. Enfin, les assurances ne seront prises en compte que pour la m´thode LDA
e
uniquement.
16.1 L’approche IMA
La m´thode Internal Measurement Approach (IMA) fait l’objet du paragraphe VI de la section
e
B du document [1]. Nous notons UL la perte exceptionnelle. Celle-ci est calcul´e ` partir de la formule
e a
suivante :
UL = EL ×γ × RPI (16.1)
o` EL est la perte esp´r´e, γ le facteur d’´chelle et RPI l’indice de profil de risque. Cette charge en capital
u ee e
est calcul´e pour chaque business line et chaque type de risque :
e
Type de risque
business line 1 2 ··· j ··· Total
1 UL (1, 1) UL (1, 2) UL (1, ·)
2 UL (2, 1) UL (2, 2) UL (2, ·)
.
.
.
i UL (i, j) UL (i, ·)
.
.
.
Total UL (·, 1) UL (·, 2) UL (i, j)
i,j](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-187-320.jpg)
![´
CHAPITRE 16. LES METHODES AMA
Pour une business line i et un type de risque j, nous avons
UL (i, j) = EL (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (16.2)
La charge en capital au titre du risque op´rationnel est calcul´e en faisant la somme des diff´rentes charges
e e e
en capital UL (i, j).
Nous d´taillons maintenant les diff´rentes composantes de UL (i, j) :
e e
– EL (i, j) est la perte esp´r´e. Dans le document [1], le Comit´ de Bˆle propose qu’elle soit calcul´e
ee e a e
a
` partir de la formule suivante :
EL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (i, j) (16.3)
D´taillons ces diff´rents param`tres :
e e e
– EI (i, j) est l’indicateur d’exposition.
– PE (i, j) est la probabilit´ d’occurence d’une perte unitaire.
e
– LGE (i, j) est le montant de la perte unitaire.
– γ (i, j) est le facteur d’´chelle. La valeur de celui-ci est d´termin´e par les autorit´s r´glementaires.
e e e e e
C’est d’ailleurs le seul coefficient qui n’est pas propre ` l’´tablissement financier.
a e
– RPI (i, j) est l’indice de profil de risque. Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle n’a propos´ aucune
e a e
formule pour le calculer. Le but de cet indice est de prendre en compte les propri´t´s leptokurtiques
ee
de la distribution r´elle des pertes de la banque. Il permet de convertir le facteur d’´chelle exog`ne
e e e
en un facteur d’´chelle propre ` la business line et au type de risque de la banque. Nous avons
e a
UL (i, j) = EL (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j)
Facteur d’´chelle r´glementaire
e e
= EL (i, j) × γ (i, j) (16.4)
Facteur d’´chelle “interne”
e
Il apparait clairement que γ (i, j) repr´sente la valeur du benchmark, c’est-`-dire la valeur pour la
e a
Banque Mondiale Moyenne (le comit´ de Bˆle emploie le terme de “scaling factor based on the
e a
industry wide loss distribution”) et RPI (i, j) sert ` prendre en compte les caract´ristiques de la
a e
banque par rapport ` la Banque Mondiale Moyenne.
a
Nous remarquons que ces param`tres (EI, PE, LGE, γ, RPI) sont diff´rents pour chaque business line
e e
et chaque type de risque. D’autres choix pourraient ˆtre possibles. Par exemple,
e
UL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (j) × γ (j) × RPI (i, j) (16.5)
Dans ce cas, les param`tres LGE et γ d´pendent uniquement du type de risque op´rationnel. Dans le
e e e
document [3], il ressort qu’en g´n´ral les membres du Groupe de Travail sur le Risque Op´rationnel
e e e
(WGOR) ont du mal ` distinguer l’indicateur d’exposition en fonction du type de risque. Dans ce cas,
a
nous avons
UL (i, j) = EI (i) × PE (i, j) × LGE (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (16.6)
Cela veut dire que l’indicateur d’exposition est propre ` la business line, et ne d´pend pas du type de
a e
risque.
Pour conclure, nous faisons deux remarques :
1. Dans le document [2], le Comit´ de Bˆle retient un d´coupage de la banque en 8 business lines. Avec
e a e
7 types de risque, nous obtenons donc un d´coupage matriciel de 56 cellules. Ce qui veut
e
dire aussi plus de 250 param`tres pour calculer la charge en capital. On peut penser
e
que des probl`mes de robustesse vont se poser. En particulier, on voit mal comment
e
les autorit´s r´glementaires vont ˆtre capables de calculer les 56 param`tres de facteur
e e e e
d’´chelle.
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 178](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-188-320.jpg)
![´
CHAPITRE 16. LES METHODES AMA
2. Dans la pratique, le double indi¸age sera difficile ` mettre en place, par manque de donn´es. Des
c a e
approximations seront donc faites du type
LGE (i, j) = LGE (j) quelque que soit la business line
On le voit d’ailleurs avec l’´tude WGOR sur les indicateurs d’exposition qui sont presque toujours
e
les mˆmes. On risque finalement d’aboutir ` l’utilisation de tr`s peu d’indicateurs (moins d’une
e a e
dizaine). Il nous semble que la m´thode IMA devrait ˆtre simplifi´e :
e e e
– en r´duisant le double indi¸age ;
e c
– en r´duisant le nombre de variables ; Par exemple, pourquoi ne pas adopter une d´finition plus
e e
naturelle de la perte esp´r´e ` partir du nombre de pertes NE :
ee a
EL (i, j) = NE (i, j) × LGE (i, j) (16.7)
16.2 L’approche LDA
Cette approche est expos´e dans le document de travail de Frachot, Georges et Roncalli [2001].
e
C’est une approche actuarielle tr`s ancienne largement utilis´e en assurances (Klugman, Panjer et
e e
Willmot [1998]). Des trois m´thodes AMA, nous pouvons consid´rer que c’est v´ritablement la m´thode
e e e e
de r´f´rence pour le calcul de risque avec un mod`le interne. Nous donnons ici quelques ´l´ments, mais
ee e ee
l’expos´ oral du cours s’appuiera sur le document [8].
e
16.2.1 Pr´sentation de la m´thode statistique
e e
L’id´e g´n´rale est de mod´liser la perte li´e au risque op´rationnel pour une p´riode donn´e (par
e e e e e e e e
exemple, un an) et d’en d´duire la valeur en risque. La difficult´ provient du fait que cette perte ne
e e
correspond pas forc´ment ` une seule occurence. Pendant une ann´e, la perte totale est en fait le r´sultat
e a e e
de plusieurs pertes successives. La perte totale est donc une perte agr´g´e (aggregate loss distribution).
e e
Celle-ci se d´finit par
e
1. le nombre de pertes individuelles,
2. et le montant de chaque pertes individuelles.
Dans le cadre d’un mod`le probabiliste, le nombre de pertes est al´atoire. A priori, nous ne savons
e e
pas combien de fraudes “carte bleue” vont avoir lieu pour l’ann´e 2002. Nous allons donc mod´liser ce
e e
nombre de pertes par un processus de comptage, et la distribution de ce nombre de pertes est appel´e e
la distribution de la fr´quence des pertes (loss frequency distribution). Nous supposons alors que les
e
pertes individuelles sont ind´pendantes et identiquement distribu´es. La distribution du montant d’une
e e
perte individuelle est appel´e la distribution de la s´v´rit´ des pertes (loss severity distribution). Dans
e e e e
ce cas l`, la perte agr´g´e est la somme al´atoire des pertes individuelles. La distribution de la perte
a e e e
agr´g´e est donc une distribution compos´e (compound distribution).
e e e
La formulation math´matique est donc la suivante. Nous consid´rons diff´rentes lignes de m´tier (i =
e e e e
1, . . . , I) et diff´rents types de risque (j = 1, . . . , J). ζ (i, j) est la variable al´atoire repr´sentant le
e e e
montant d’une perte pour la ligne de m´tier i et le type de risque j. La distribution de la s´v´rit´ des
e e e e
pertes est not´e Fi,j . Nous supposons que le nombre d’occurences entre les dates t et t+τ est al´atoire. La
e e
variable al´atoire de comptage N (i, j) a une fonction de probabilit´ pi,j . La distribution de la fr´quences
e e e
n
des pertes Pi,j correspond alors ` Pi,j (n) = k=0 pi,j (k). La perte pour la ligne de m´tier i et le type
a e
N (i,j)
de risque j entre les dates t et t + τ est donc ϑ (i, j) = n=0 ζ n (i, j). Soit Gi,j la distribution de
probabilit´ de ϑ (i, j). Gi,j est la distribution compos´e suivante :
e e
∞
pi,j (n) Fn (x) x0
i,j
Gi,j (x) = n=1 (16.8)
p (0) x=0
i,j
Le graphique (16.1) pr´sente un exemple de calcul de la distribution de la perte agr´g´e. Dans de nom-
e e e
breux cas, il n’est pas possible d’obtenir une formulation analytique de Gi,j . Dans ce cas, nous pouvons
16.2. L’APPROCHE LDA 179](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-189-320.jpg)
![´
CHAPITRE 16. LES METHODES AMA
GRAPHIQUE 16.1. Distribution agr´g´e avec ζ (i, j) ∼ LN (8, 2.2) et N (i, j) ∼ P (50)
e e
approximer cette distribution en utilisant la m´thode de Monte Carlo ou d’autres m´thodes (la plus
e e
c´l`bre est l’algorithme de Panjer).
ee
La charge en capital pour la ligne de m´tier i et le type de risque j correspond alors au quantile α de
e
Gi,j :
CaR (i, j; α) = G−1 (α) = inf {x | Gi,j (x) ≥ α}
i,j (16.9)
La charge en capital pour la banque est alors la somme de toutes les charges en capital CaR (i, j; α) :
I J
CaR (α) = CaR (i, j; α) (16.10)
i=1 j=1
Cela implique une d´pendance positive parfaite des diff´rentes pertes ϑ (i, j). En janvier 2001, le Comit´
e e e
de Bˆle sugg´rait α ´gal ` 99.9%. Maintenant, α est fix´ ` 99%.
a e e a ea
16.2.2 Robustesse de l’approche LDA
Certaines banques ont l’intention de fonder leur mod`le interne sur la th´orie des extrˆmes et non
e e e
sur l’approche LDA. Suite ` l’attaque terroriste sur le World Trade Center, il semblerait (tout cela est
a
a
` prendre au conditionnel) que Roger Cole soit de plus en plus favorable ` la th´orie des extrˆmes. Je
a e e
pense que c’est une mauvaise vision des choses pour diff´rentes raisons :
e
– La th´orie des extrˆmes est math´matiquement s´duisante. En pratique, elle n´cessite une expertise
e e e e e
importante et un certain recul pour “lui faire dire quelque chose”.
– L’obstacle majeur ` la mise en place d’une m´thode bas´e sur la th´orie des extrˆmes est la dispo-
a e e e e
nibilit´ de donn´es.
e e
– Enfin, je crois qu’il y a confusion entre “th´orie des extrˆmes” et “mod´lisation des queues ´paisses”.
e e e e
Dans le document [8], nous pr´sentons diff´rents ´l´ments pour bien impl´menter la m´thode LDA. Le
e e ee e e
calcul des charges en capital par la m´thode LDA doit se faire en concertation avec le risk manager et son
e
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 180](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-190-320.jpg)
![´
CHAPITRE 16. LES METHODES AMA
N τ 1 million 10 millions 100 millions 1 milliard 5 milliards
100 1 an 99.8 51.4 3.7 0.08 0.00
200 2 ans 99.9 76.4 7.2 0.17 0.00
300 3 ans 100.0 88.5 10.7 0.26 0.01
400 4 ans 100.0 94.4 14.0 0.35 0.01
500 5 ans 100.0 97.3 17.2 0.44 0.02
1000 10 ans 100.0 99.9 31.4 0.89 0.04
5000 50 ans 100.0 100.0 84.9 4.38 0.20
TABLE 16.1. µ = 10 and σ = 2.50
N τ 1 million 10 millions 100 millions 1 milliard 5 milliards
100 1 an 99.9 73.1 10.4 0.48 0.03
200 2 ans 100.0 92.7 19.7 0.95 0.07
300 3 ans 100.0 98.0 28.1 1.43 0.10
400 4 ans 100.0 99.4 35.5 1.91 0.14
500 5 ans 100.0 99.8 42.2 2.38 0.18
1000 10 ans 100.0 99.9 66.7 4.70 0.36
5000 50 ans 100.0 100.0 99.5 21.42 1.80
TABLE 16.2. µ = 10 and σ = 2.75
´quipe. Il est n´cessaire de comprendre les chiffres, de les interpr´ter et de les comparer. Le statisticien
e e e
apporte une aide technique, et doit proposer des outils pour aider le risk manager ` juger la pertinence
a
des r´sultats. Prenons un exemple. Nous pouvons calculer la fonction de survie du maximum de N pertes
e
de loi de probabilit´ Gi,j . Nous avons
e
N
pmax := Pr {max (ϑ1 (i, j) , . . . , ϑN (i, j)) ≥ x} = 1 − [Gi,j (x)] (16.11)
Cette probabilit´ a une interpr´tation tr`s intuitive. Supposons que N pertes surviennent. pmax est la
e e e
probabilit´ que la perte maximale soit sup´rieure au montant x. Le Risk Management a des id´es (ou des
e e e
benchmarks internes et externes) sur la perte maximale ` un an, deux ans, etc. Il peut donc confronter
a
ces propres croyances avec les r´sultats donn´s par le mod`le. Supposons que 100 pertes surviennent
e e e
en moyenne par an. Supposons aussi que la distribution de la s´v´rit´ est une distribution log-normale
e e e
LN (µ, σ). Une premi`re estimation ` partir des donn´es historiques donne µ = 10 et σ = 2, 50. Sur la
e a e
table 16.1, nous avons report´ les valeurs correspondantes de pmax pour diff´rentes valeurs de N et x.
e e
Par exemple, la probabilit´ que nous observons une perte maximale sur 5 ans sup´rieure ` 100 millions
e e a
est de 17, 2%. Si l’estimation a ´t´ faite avec un historique de 5 ans, et que nous observons dans la base
ee
de donn´es plusieurs pertes sup´rieures ` 100 millions, nous pouvons penser que cette distribution sous-
e e a
estime largement les pertes exceptionnelles. Si µ = 10 et σ = 2, 50, nous obtenons la table 16.2. Dans ce
cas, la probabilit´ est ´gale ` 42,2%. C’est ce genre d’outils que le statisticien doit fournir au risk
e e a
manager, car une mesure de risque ne veut rien dire en elle-mˆme, c’est sa compr´hension
e e
et son interpr´tation qui comptent.
e
16.3 Le mapping IMA/LDA
Je pr´senterai cette section en cours de fa¸on plus d´taill´e, car les travaux sur ce sujet ´voluent tr`s
e c e e e e
rapidement. Le mapping IMA/LDA consiste ` d´finir de fa¸on quantitative la m´thode IMA ` partir de la
a e c e a
m´thode LDA (Frachot, Georges et Roncalli [2001]). On peut penser en effet que l’IMA a ´t´ con¸ue
e ee c
comme une version simplifi´e, praticable et standardis´e d’une approche de type LDA plus compl`te et
e e e
plus satisfaisante mais plus compliqu´e ` mettre en œuvre. Au mois de septembre 2001, la situation sur
e a
le sujet est la suivante :
– Proposition d’une m´thodologie par Sakura Bank au mois de F´vrier 2001.
e e
– Prolongement de cette m´thodologie par l’I.I.F. Taskforce on “technical” I.M.A. issues.
e
16.3. LE MAPPING IMA/LDA 181](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-191-320.jpg)
![´
CHAPITRE 16. LES METHODES AMA
La derni`re proposition de l’I.I.F. est de d´finir l’indice de profil de risque par
e e
1
EIIndustry · PEIndustry 2
RPI =
EIBank · PEBank
On peut justifier cette formulation en utilisant une approximation du quantile α de la distribution com-
pos´e (Frachot, Georges et Roncalli [2001]).
e
16.4 L’approche Scorecard
Cette approche a ´t´ int´gr´e dans le dernier document de Bˆle. Comme il est difficile de comprendre
ee e e a
cette m´thode, voici la d´finition donn´e dans le document [2] :
e e e
In this approach, banks determine an initial level of operational risk capital at the firm or
business line level, and then modify these amounts over time on the basis of scorecards that
attempt to capture the underlying risk profile and risk control environment of the various
business lines. These scorecards are intended to bring a forward-looking component to the
capital calculations, that is, to reflect improvements in the risk control environment that will
reduce both the frequency and severity of future operational risk losses. The scorecards may
be based on actual measures of risk, but more usually identify a number of indicators as
proxies for particular risk types within business units/lines. The scorecard will normally be
completed by line personnel at regular intervals, often annually, and subject to review by a
central risk function.
In order to qualify for the AMA, a scorecard approach must have a sound quantitative basis,
with the overall size of the capital charge being based on a rigorous analysis of internal
and external loss data. In some cases, scorecard approaches are based on initial estimation
methods that are similar to those used in internal measurement or loss distribution approaches.
Where the scorecard approach differs from these approaches is that it relies less exclusively
on historical loss data in determining capital amounts. Instead, once the size of the capital
charge has been determined, its overall size and its allocation across business lines may be
modified on a qualitative basis. Nevertheless, historical loss data must be used to validate the
results of scorecards, with adjustments to capital size or allocation based upon such results.
At present, a range of scorecard approaches are in development with some banks already
operating a system of economic capital allocation based on such an approach. However, as
with the other approaches, no industry standards has emerged.
En fait, c’est sous la pression de certaines banques de l’IIF (notamment les banques anglaises) que
cette m´thode a ´t´ int´gr´e par le Comit´ de Bˆle. Pour mieux comprendre l’approche, voici la formule1
e ee e e e a
propos´e par l’IIF :
e
I J
CaR = EI (i, j) · ω (i, j) · RS (i, j) (16.12)
i=1 j=1
avec EI l’indicateur d’exposition (Exposure Indicator), RS le score de risque (Risk Score) et ω le
facteur d’´chelle.
e
Bibliographie
[1] Basel Committee on Banking Supervision, Operational Risk — Consultative Document, Supporting
document to the New Basel Capital Accord, January 2001
1 Dans la formule originale, c’est la racine car´e de l’indicateur d’exposition et non directement l’indicateur d’exposition
e
qui est utilis´e. A l’´poque, l’IIF travaillait sur la nature non-lin´aire du risque op´rationnel. Mais le Comit´ de Bˆle n’a
e e e e e a
pas suivi les recommandations de l’IIF sur ce sujet pour l’instant.
INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 182](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-192-320.jpg)
![[2] Basel Committee on Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Operational
Risk, september 2001
[3] Institute International Finance, Inc, Letter to Mr. Roger Cole, March 1, 2001
[4] Institute International Finance, Inc, Report of the Working Group on Operational Risk, June 4 5,
2001 (Washington, D.C.)
[5] I.I.F. Taskforce on “technical” I.M.A. issues, March 2001
[6] Sakura Bank Ltd, Derivation of the IMA formula — RPI calculation, February 2001
[7] Mori, T. et E. Harada [2001], Internal Measurement Approach to operational risk capital charge,
Bank of Japan, Discussion Paper
[8] Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational risk,
Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper
e e
[9] Klugman, S.A., H.H. Panjer et G.E. Willmot [1998], Loss Models : From Data to Decisions, Wiley
Series in Probability and Mathematical Statistics, John Wiley Sons, New York
[10] Thoraval, P-Y. [2001], Le risque op´rationnel, Club Banque, F´d´ration des Banques Fran¸aises,
e e e c
27 septembre 2001](https://image.slidesharecdn.com/gestionrisques-130221132633-phpapp01/85/Gestion-risques-193-320.jpg)
![Finance par-[-www.heights-book.blogspot.com-]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/finance-par-www-161016123652-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Gestion enpse pub[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/gestionenpsepub1-130306135248-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Gestion risques
- 1. Introduction ` laGestion des Risques a Cours ENSAI de 3`me ann´e e e Thierry RONCALLI Groupe de Recherche Op´rationnelle e Cr´dit Lyonnais e thierry.roncalli@creditlyonnais.fr Notes de cours ´crites avec la collaboration de e Nicolas Baud, Sakda Hoeung et Ga¨l Riboulet e Octobre 2001
- 3. Table des mati`res e Avant-Propos 1 I Probl´matique g´n´rale de la gestion des risques e e e 3 1 Introduction historique 5 1.1 Quelques rep`res th´oriques . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Le d´veloppement des produits financiers e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 L’histoire r´cente des crises financi`res . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 L’´volution de la r´glementation . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 D´finition du risque e 11 2.1 Typologie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 La mesure du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 L’optimisation du couple rentabilit´/risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 13 3 Le nouvel Accord de Bˆle et le ratio McDonough a 15 3.1 Les fonds propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Le ratio Cooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Bˆle II et le nouveau ratio de solvabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 17 4 La notion de Capital Economique et l’allocation de fonds propres 21 4.1 La probl´matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 La notion de capital ´conomique . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 La construction d’un mod`le interne . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.1 L’approche bottom-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3.2 L’approche top-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 II Le risque de march´ e 25 5 La r´glementation prudentielle e 27 5.1 Les textes officiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Les normes g´n´rales . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.3 Les crit`res qualitatifs . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.4 Les crit`res quantitatifs . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
- 4. 5.5 Autres consid´rations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 32 5.5.1 D´finition des facteurs de risque de march´ . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . 32 5.5.2 Traitement du risque sp´cifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 33 5.5.3 Simulations de crise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.6 Dispositif prudentiel de contrˆle ex post li´ ` l’utilisation des mod`les internes o ea e . . . . . . 34 6 La valeur en risque 37 6.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 37 6.1.1 La VaR analytique (ou param´trique) . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 38 6.1.2 La VaR historique (ou non param´trique) . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 39 6.1.3 La VaR Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.1.4 Pertinence des mesures VaRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.2 Quelques r´flexions sur la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 43 6.2.1 L’interpr´tation du seuil de confiance α . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 43 6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´ . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 45 6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2.4.1 Un exercice de backtesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la matrice de covariance 52 6.2.5 Le probl`me du scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 55 6.2.5.1 Quelques ´l´ments th´oriques . . . . . . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . . . 55 6.2.5.2 Un exercice de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Les produits optionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3.1 La probl´matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 59 6.3.2 Les solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3.3 La gestion du risque des produits optionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7 Les programmes de stress-testing 65 7.1 Directions m´thodologiques choisies par les institutions bancaires . . . . e . . . . . . . . . . 66 7.2 L’approche historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.3 Une approche subjective : le macro stress-testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.4 La m´thode WCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 68 7.5 La th´orie des valeurs extrˆmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 71 7.5.1 Une introduction heuristique des extrˆmes . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 71 7.5.2 La th´orie classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 72 7.5.2.1 Pr´sentation des 3 lois d’extrˆmes . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 72 7.5.2.2 Quelques remarques sur les lois d’extrˆmes . . . . . . . e . . . . . . . . . . 75 7.5.2.3 Estimation des param`tres de la distribution GEV . . . e . . . . . . . . . . 77 7.5.3 Le concept de temps de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.5.5 Le cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.5.6 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.5.6.1 Forme g´n´rale d’une loi d’extrˆmes . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . 80 7.5.6.2 Jacobien analytique de la fonction de log-vraisemblance . . . . . . . . . . 80 III Le risque de cr´dit e 83 8 Pr´sentation g´n´rale du risque de cr´dit e e e e 85 8.1 Origine du risque de cr´dit . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.2 Le march´ du risque de cr´dit . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.2.1 Le march´ des prˆts bancaires . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.2.2 Le march´ des obligations risqu´es e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.2.3 Les d´riv´s de cr´dit . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
- 5. 9 L’approche standard 89 9.1 La r´glementation prudentielle . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.2 Les pond´rations . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3 Les notations externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.4 Les proc´dures de r´duction des risques . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.4.1 Les sˆret´s ou collat´raux . . . . . . . u e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.4.1.1 L’approche compl`te . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.4.1.2 L’approche simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.4.2 Les garanties et les d´riv´s de cr´dit . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.4.3 Autres consid´rations . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4.3.1 Compensation de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4.3.2 Le d´calage des maturit´s . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.4.3.3 L’asym´trie des devises . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.4.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.4.4.1 Collateralised transactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.4.4.2 On-balance sheet netting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.4.4.3 Guarantees/credit derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10 La m´thode IRB e 105 10.1 Les principes g´n´raux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.1.1 Le sch´ma simplifi´e de l’approche IRB . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.1.2 D´finition de la d´faillance . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.1.3 La notation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.2 L’exemple de la m´thode IRB pour les entreprises . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.2.1 Formulation des pond´rations de risque . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2.1.1 Dans l’approche IRB simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2.1.2 Dans l’approche IRB avanc´e . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.2.2 Justification de la m´thode IRB . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.2.3 Param`tres de la fonction de pond´ration . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2.3.1 La probabilit´ de d´faillance . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2.3.2 La perte en cas de d´faillance . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2.3.3 La maturit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2.3.4 L’exposition en cas de d´faillance . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2.4 Les exigences minimales d’´ligibilit´ . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.3 Prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3.1 Risque retail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3.2 Risque souverain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3.3 Risque banque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3.4 Risque financement de projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3.5 Risque equity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.4 Granularit´ du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.4.1 La m´thodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.4.3 D´rivation du coefficient d’ajustement de granularit´ . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 125 10.4.3.1 La d´termination du coefficient β . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 125 10.4.3.2 Du coefficient β ` l’ajustement de granularit´ a e du Comit´ de Bˆle e a . . . . . 129 10.5 Les modifications du 5 novembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 IV Les mod`les de risque de cr´dit e e 137 11 Introduction 139 12 Le mod`le de la firme e 141 12.1 Le mod`le de Merton [1974] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 e 12.2 Extensions du mod`le de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 e 12.2.1 G´n´ralisation de la notion de d´faut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 e e e
- 6. 12.2.2 Introduction desauts dans le processus de valorisation des actifs . . . . . . . . . . 145 12.3 M´thodologie mise en place par K.M.V. Corporation . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 146 12.3.1 Une mesure du risque de d´faut : la distance au d´faut . . . . . . e e . . . . . . . . . . 146 12.3.2 Estimation de la distance au d´faut . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 147 12.3.3 Calcul de l’EDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12.4 Une application : le mod`le CreditMetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 151 13 L’approche actuarielle de CreditRisk+ 153 13.1 La d´marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.2 Mod´lisation ` taux de d´faut fixes . . . . . . . . . e a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 13.2.1 Occurrence de d´fauts . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 13.2.2 Pertes de d´faut . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 13.2.2.1 Proc´dure de calcul et distribution e des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . 156 13.2.2.2 Application au cas multi-annuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.3 Passage ` des taux de d´faut al´atoires . . . . . . . a e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.3.1 Incertitude des taux de d´faut . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.3.2 Analyse par secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 13.3.3 Occurrence de d´fauts . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.3.4 Distribution des pertes de d´faut . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.3.4.1 Pertes de d´faut . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.3.4.2 Relation de r´currence . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 14 L’approche Intensit´ : une approche sous forme r´duite e e 163 14.1 Cadre de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 14.1.1 D´finition de l’intensit´ de survie . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 164 14.1.2 Une autre approche de l’intensit´ de d´faut . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 165 14.2 Les diff´rentes repr´sentations du prix de la dette risqu´e . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 165 14.2.1 Premi`res repr´sentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 165 14.2.2 Th´or`me de repr´sentation du prix de la dette risqu´e . . . . . e e e e . . . . . . . . . . . 166 14.3 Un exemple d’application : le mod`le de Jarrow et Turnbull [1995] e . . . . . . . . . . . 166 V Le risque op´rationnel e 169 15 La r´glementation prudentielle e 171 15.1 La d´finition du risque op´rationnel . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 15.2 Les approches forfaitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 15.2.1 Basic Indicator Approach (BIA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 15.2.2 Standardised Approach (SA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 15.3 Annexe : composition du Risk Management Group (RMG) of the Basel Committee on Banking Supervision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 16 Les m´thodes AMA e 177 16.1 L’approche IMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.2 L’approche LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 16.2.1 Pr´sentation de la m´thode statistique e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 16.2.2 Robustesse de l’approche LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 16.3 Le mapping IMA/LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 16.4 L’approche Scorecard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Conclusion g´n´rale e e 185
- 7. Table des figures 2.1 Les diff´rents types de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 12 2.2 Repr´sentation graphique de la valeur en risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 13 5.1 BIS Colour frequency (taux de couverture de 99%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.1 Estimation d’un quantile et erreur de second type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 Une illustration de la m´thode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 42 6.3 Caract`re lepto-kurtique d’une distribution de probabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 46 6.4 Distribution empirique du rendement du titre BARCLAYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.5 Pond´ration d’une moyenne mobile exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 48 6.6 Pond´ration cumul´e d’une moyenne mobile exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 49 6.7 Evolution de la valeur en risque (titre BARCLAYS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8 Backtesting avec le titre SOCIETE GENERALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.9 D´termination de la valeur optimale pour λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 52 6.10 Valeur optimale de λ pour diff´rents titres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 53 6.11 Variance conditionnelle du rendement du titre BARCLAYS — mod`le GARCH(1,1) . . . . e 54 6.12 Corr´lation conditionnelle des rendements des titres BARCLAYS et LLOYDS/TSB — mod`le e e BEEK GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.13 Simulation du mod`le ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 57 6.14 D´termination du scaling (mod`le ARCH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 58 6.15 Simulation du mod`le Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 58 6.16 D´termination du scaling (mod`le Hull-White) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 59 6.17 Positions relatives des VaRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.1 Fonction de distribution de χ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N . . . . . . . . 69 7.2 L’influence de la queue de distribution sur η (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Queue de distribution des rendements du titre LLOYDS/TSB . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.4 Distribution jointe des rendements des titres BARCLAYS et LLOYDS/TSB . . . . . . . . . 72 7.5 Exemples de distribution GEV (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.6 Exemples de distribution GEV (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.7 Convergence de GN vers la distribution de Gumbel lorsque F est gaussienne . . . . . . . . 75 7.8 Convergence de certaines distributions vers la distribution de Fr´chet . . . . e . . . . . . . . 76 7.9 Quantile de la distribution GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.10 Estimation des densit´ des lois des extrˆmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . 79 7.11 Relation entre l’´chelle de risque et le temps de retour . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . 80
- 8. 9.1 Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de la sˆret´ ajust´e CA (E = 100) . . . e e u e e 95 9.2 Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de l’exposition E (CA = 50) . . . . . . e e 96 10.1 Fonction de r´f´rence BRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 108 10.2 D´riv´e premi`re de la fonction de r´f´rence BRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e ee 109 1−PD 10.3 Ajustement de la maturit´ 1 + 0.470 × PD0.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 109 10.4 Repr´sentation graphique de la fonction b (PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 114 10.5 Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (ρ = 20%) . . . . . e e 117 10.6 Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des valeurs e e donn´es de pi (ρ = 20%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 117 10.7 Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (α = 99.5%) e e e 118 10.8 Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des e e e valeurs donn´es de pi (α = 99.5%) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 118 10.9 Fonction de r´f´rence BRW (ajustement de maturit´/formule exacte) . . . . . . . . . . . . ee e 120 10.10Impact des param`tres sur le coefficient β (valeurs par d´faut : LGD = 50%, α = 99.5%, e e ρ = 20% et σ [X] = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10.11Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (I) . . . . . . e 135 10.12Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (II) . . . . . . e 135 10.13Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les corr´lations ρ (PD) . . . . . . . . . . e 136 12.1 Effet de levier (d > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.2 Effet de levier (d < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.3 Volatilit´ des actifs, secteur d’activit´ et taille e e de l’entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . 147 12.4 Expected default frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12.5 EDF de Bangkok Metropolitan Bank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 12.6 EDF de Burns Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 12.7 Valeur de march´ de Burns Philip . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 13.1 Organigramme de la d´marche suivie par CreditRisk+ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 16.1 Distribution agr´g´e avec ζ (i, j) ∼ LN (8, 2.2) et N (i, j) ∼ P (50) . . . . . . . . . . . . . 180 e e
- 9. Liste des documentsdistribu´s en cours e 1. Comit´ de Bˆle sur le Contrˆle Bancaire, Vue d’ensemble du Nouvel Accord de Bˆle sur les fonds e a o a propres, Document soumis ` consultation, Janvier 2001 a 2. Punjabi, S. [1998], Many happy returns, Risk Magazine, June, 71-76 3. Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 2000, Commission e e e Bancaire, Secr´tariat G´n´ral, Service des Affaires Internationales, 31 Janvier 2001 e e e 4. Derman, E. [2001], Markets and model, Risk Magazine, 14, July, 48-50 5. Rebonato, R. [2001], Model risk : new challenges, new solutions, Risk Magazine, 14, March, 87-90 6. Turc, J. [1999], Pr´sentation du march´ du risque de cr´dit, CDC March´s, S´minaire INRIA du e e e e e 8 juin 1999 7. Basel Committee on Banking Supervision, Credit Ratings and Complementary Sources of Credit Quality Information, Working Paper, 3, August 2000 8. Koyluoglu, H.U. et A. Hickman [1998], Reconcilable differences, Risk Magazine, 11, October, 56-62 9. Finger, C.C. [1999], Conditional approaches for CreditMetrics portfolio distributions, CreditMe- trics Monitor, April, 14-33 10. Wilson, T. [2001], IRB approach explained, Risk Magazine, 14, May, 87-90 11. Wilson, T. [2001], Probing granularity, Risk Magazine, 14, August, 103-106 12. Basel Committee on Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Opera- tional Risk, Working Paper, 8, September 2001 13. Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational risk, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper e e 14. Pennequin, M. [2001], Risques op´rationnels : comment se pr´parer ` la r´forme de Bˆle, Club e e a e a Banque, F´d´ration des Banques Fran¸aises, 27 septembre 2001 e e c
- 11. Avant-Propos Ceci est le support ´crit qui accompagne le cours “Introduction ` la Gestion des Risques”. e a L’expos´ oral du cours sera sensiblement diff´rent de ces notes. Celui-ci portera plus sur e e la culture financi`re du risque que sur les m´thodes. e e Les m´thodes seront abord´es de fa¸on plus approfondie dans deux autres cours : “La e e c Th´orie des Extrˆmes et la Gestion des Risques de March´” et ”La Gestion des Risques e e e Multiples”. C’est dans ces deux cours que nous verrons la mise en œuvre pratique des m´thodes avec le logiciel GAUSS. A titre indicatif, le premier cours portera sur la VaR et le e stress-testing. Et nous aborderons les copulas, le risque de cr´dit et le risque op´rationnel e e dans le second cours. Les propositions de Bˆle pour le nouvel Accord ´voluent rapidement. Par a e exemple, la publication le 28 septembre 2001 d’un nouveau document consultatif sur le risque op´rationnel modifie sensiblement les proposi- e tions du 16 janvier 2001. Dans l’expos´ oral, je pr´senterai les derniers e e travaux. Certains paragraphes du pr´sent document peuvent donc ˆtre e e (partiellement) obsol`tes. e La r´daction de ce document a ´t´ faite ` partir de diff´rents travaux et articles qui ont ´t´ r´alis´s au e ee a e ee e e Groupe de Recherche Op´rationnelle du Cr´dit Lyonnais. e e 1. Les chapitres de la partie “Le risque de march´” reprennent la note [HRR] que j’ai r´dig´e en e e e collaboration avec Sakda Hoeung et Ga¨l Riboulet. e 2. Les chapitres sur le mod`le de Merton et l’approche Intensit´ sont extraits du rapport de stage long e e de Nicolas Baud. 3. Le chapitre sur CreditRisk+ est extrait du document [R] ´crit par Ga¨l Riboulet. e e 4. La partie sur le risque op´rationnel s’inspire tr`s largement des diff´rents travaux que j’ai men´s e e e e avec Antoine Frachot et Pierre Georges. Vous pouvez t´l´charger les documents originaux ` l’adresse internet du GRO : http ://gro.creditlyonnais.fr. ee a [B ] Baud, N. [2000], La mesure du risque de cr´dit, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit e e e Lyonnais, Rapport de Stage [BFIMR] Baud, N., A. Frachot, P. Igigabel, P. Martineu et T. Roncalli [1999], An analysis framework for bank capital allocation, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper e e (document disponible sur le site web du GRO) [BN] Bezat, A. et A. Nikeghbali [2000], La th´orie des extrˆmes et la gestion des risques de march´, e e e GT ENSAE (document disponible sur le site web du GRO) ´ [BDNRR] Bouye, E., V. Durrleman, A. Nikeghbali, G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Copulas for finance : a reading guide and some applications, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyon- e e nais, Working Paper (document disponible sur le site web du GRO) [C] Costinot, A. [2000], La construction d’un programme de simulation de crise, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Rapport de Stage e e [CRR] Costinot, A., G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Stress-testing et th´orie des valeurs extrˆmes : e e une vision quantifi´e du risque extrˆme, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, e e e e Working Paper (document disponible sur le site web du GRO) [FGR] Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational risk, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper (document disponible e e sur le site web du GRO) [HRR ] Hoeung, S., G. Riboulet et T. Roncalli [1999], Les risques de march´ — R´glementations, e e mesures et pratiques, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, document interne e e [R ] Riboulet, G. [2000], Mesure du risque de cr´dit d’un portefeuille, Groupe de Recherche Op´rationnelle, e e Cr´dit Lyonnais, document interne e
- 13. Premi`re partie e Probl´matique g´n´rale de la gestion e e e des risques 3
- 15. 1 Introduction historique La gestion des risques est une fonction relativement r´cente dans les banques. Afin de bien comprendre e son ´volution, il est indispensable de disposer de certains rep`res historiques. e e 1.1 Quelques rep`res th´oriques e e 1900 Th`se de Louis Bachelier “Th´orie de la Sp´culation”. e e e 1952 Parution de l’article “Portfolio selection” de Harry Markowitz dans Journal of Finance. 1964 William Sharpe invente le mod`le CAPM. e 1970 Synth`se des travaux sur l’efficience des march´s par Eugene Fama. e e 1973 Formule de valorisation d’une option europ´enne de Fisher Black et Myron Scholes. e 1974 Etude de l’obligation risqu´e par Robert Merton. e 1977 Mod`les de taux de Vasicek et de Cox, Ingersoll et Ross. e 1992 Parution de l’article d’Heath, Jarrow et Morton dans Econometrica. 1994 RiskMetrics. On associe g´n´ralement la naissance de la th´orie financi`re aux travaux fondateurs de Bachelier. e e e e Ceux-ci ont ´t´ ignor´s pendant tr`s longtemps, jusqu’` leur d´couverte par Paul Samuelson. Les ann´es ee e e a e e 30 marquent le d´but des recherches empiriques sur les prix des actifs avec la cr´ation de la Cowles e e Commission for Research in Economics en 1932 et celle de la revue Econometrica par Joseph Schumpeter en 1933. Ces recherches portent plus sp´cifiquement sur la formation des prix, l’efficience du march´ e e et la d´tection de strat´gies profitables (c’est-`-dire sur l’anticipation des cours des actions). Ce n’est e e a que dans les ann´es 50 que les chercheurs (Markowitz, Lintner, Sharpe, etc.) entreprennent des travaux e cons´quents sur le risque. Ceux-ci aboutissent ` la th´orie moderne du choix de portefeuille bas´e sur les e a e e mod`les CAPM et APT. L’ann´e 1973 marque un tournant dans l’histoire financi`re pour deux raisons : e e e 1. La premi`re est la cr´ation du CBOE (Chicago Board Options Exchange) avec la mise en place de e e m´canismes d’une chambre de compensation (clearing house). e 2. La seconde est la parution de la tr`s c´l`bre formule de Black et Scholes pour valoriser une option e ee Europ´enne. e C’est le point de d´part au d´veloppement intensif des recherches concernant la valorisation (pricing) e e des produits d´riv´s. Durant les ann´es 80 et 90, la mise en place de couverture (hedging) de ces produits e e e sensibilise les acteurs du march´ au risque (per¸u comme une variation du P&L, c’est-`-dire du r´sultat). e c a e A la mˆme p´riode, de nouveaux outils statistiques sont mis en place dans les banques pour la s´lection de e e e client`le (credit scoring). Ces outils concernent aussi bien le risque de d´faillance (default/credit risk) e e
- 16. CHAPITRE 1. INTRODUCTIONHISTORIQUE que les probl`mes de tarification. L’Accord de Bˆle de 1988 impose aussi une nouvelle vision du risque, e a beaucoup plus r´glementaire. La publication en 1994 de la m´thodologie RiskMetrics par JP Morgan e e permet une diffusion tr`s large des m´thodes Value-at-Risk (VaR ou valeur en risque) aussi bien aupr`s e e e des professionnels que des acad´miques. e 1.2 Le d´veloppement des produits financiers e Il existe plusieurs types de risque (voir le chapitre suivant). Les deux principaux sont le risque de cr´dit e (credit risk) et le risque de march´ (market risk) — en fait, le risque op´rationnel (operational risk) e e est consid´r´ comme plus important que le risque de march´. Pour une premi`re d´finition, nous pouvons ee e e e assimiler le risque de march´ ` un risque de volatilit´ des prix des actifs et le risque de cr´dit au risque ea e e de d´faillance. L’Accord de Bˆle de 1988 traite de ces deux risques — pour ˆtre pr´cis, seul le risque de e a e e cr´dit ´tait concern´, le risque de march´ a ´t´ pris en compte plus tard. N´anmoins, il est vite apparu e e e e ee e que le traitement r´glementaire (capital forfaitaire) du risque de march´ ´tait mal adapt´. Les autorit´s e ee e e r´glementaires ont donc autoris´ les banques ` utiliser des mod`les internes pour mesurer ce risque. Cela e e a e n’est pas le cas du risque de cr´dit, car le march´ du cr´dit n’avait pas (et n’a toujours pas) la maturit´ e e e e suffisante pour mesurer le risque de fa¸on rationnelle et coh´rente. Cela explique la part particuli`re c e e de ce cours consacr´e au risque de march´. Cependant, afin de bien cerner le risque de march´, il est e e e indispensable de connaˆ les diff´rents produits. ıtre e L’historique suivant est extrait de Jorion [2001] (voir la section 1.2.2) et de Crouhy, Galai et Mark [2001] (section 2 du chapitre 1). – Foreign currency futures (1972) – Equity options (1973) – Over-the-counter currency options (1979) – Currency swaps (1980) – Interest rate swaps (1981) – Equity index options (1983) – Interest rate caps/floors (1983) – Swaptions (1985) – Path-dependent options (Asian, lookback, etc.) (1987) – CAT options (1992) – Captions/Floortions (1993) – Credit default options (1994) – Weather derivatives (1997) L’innovation financi`re a surtout concern´ dans un premier temps le march´ des changes (FX market). e e e Cela s’explique par la crise p´troli`re de 1973. Cette innovation s’est rapidement transmise aux march´s e e e d’actions (Equity market) et de taux d’int´rˆt (Bond market ou Interest Rate market), et dans ee une moindre mesure au march´ des mati`res premi`res (Commodity market). Il faut noter que celle-ci e e e s’est faite en dehors des march´s organis´s (centralized exchanges). Ce sont donc g´n´ralement des e e e e produits trait´s sur des march´s de gr´ ` gr´ (over-the-counter markets ou OTC markets). e e ea e Voyons quelques d´finitions (tr`s simplifi´es) des principaux produits. e e e – Un contrat ` terme (futures) fixe les caract´ristiques d’une transaction future : la maturit´ du a e e contrat, le cours ` terme (forward), etc. a – Une option est un contrat entre deux parties par lequel l’une accorde ` l’autre le droit, mais non a l’obligation, de lui acheter (option d’achat) ou de lui vendre (option de vente) l’actif support selon certaines conditions. L’option est un exemple d’actif conditionnel ou d’actif contingent. Voici quelques caract´ristiques qui permettent de d´finir le contrat : e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 6
- 17. CHAPITRE 1. INTRODUCTIONHISTORIQUE 1. Le support du contrat est appel´ le sous-jacent de l’option. e 2. Le prix convenu ` l’avance auquel peut avoir lieu la transaction est le prix d’exercice (strike). a 3. Si la maturit´ de l’option n’est pas pr´cis´e, l’option est dite perp´tuelle. e e e e 4. L’acheteur de l’option paye une prime (premium) au vendeur de l’option pour le droit d’exer- cer l’option. 5. Une option d’achat est un call et une option de vente est un put. 6. Si la date d’exercice correspond ` l’´ch´ance de l’option, l’option est dite Europ´enne. Si a e e e l’acheteur peut exercer ` tout moment avant la maturit´ de l’option, nous avons une option a e Am´ricaine. Ces deux types d’option d´finissent les options Vanilles (Vanilla options). e e Lorsqu’il existe plusieurs dates discr`tes d’exercice, on les appelle des options Bermuda e La caract´risation math´matique de l’option correspond ` la d´finition de la fonction payoff : e e a e + European Call (S (T ) − K) + European Put (K − S (T )) Asian (Floating Strike) ¯ + S (T ) − S + Asian (Fixed Strike) K −S ¯ + Lookback (S (T ) − mint0 ≤t≤T S (t)) + Barrier (DOC) 1[mint ≤t≤T S(t)≥L] · (S (T ) − K) 0 + Spread (S1 (T ) − S2 (T ) − K) + Basket (S1 (T ) + S2 (T ) − K) – Un swap est un ´change de deux ´ch´anciers de flux futurs. Par exemple, un swap de taux fixe/variable e e e (fixed/floating) est l’´change d’un taux fixe contre un taux variable (Euribor, etc.). e – Un cap est un contrat qui permet ` l’acheteur de se garantir contre une hausse des taux en fixant a un taux plafond. 1.3 L’histoire r´cente des crises financi`res e e La r´glementation prudentielle en mati`re de contrˆle des risques financiers est une cons´quence des e e o e diff´rentes crises financi`res et de leur impact sur la solvabilit´ des ´tablissements financiers. Le chapitre e e e e 2 de Jorion [2001] pr´sente un historique assez complet des “d´sastres” financiers r´cents. Voici quelques e e e points de rep`re : e 1974 Herstatt Bank — FX trading — $4.8 Mds. 1994 Orange County — Reverse repos — $1.81 Mds. 1994 Metallgesellschaft — Oil futures — $1.34 Mds. 1994 Procter & Gamble — Swaps — $0.16 Mds. 1995 Barings — Index Nikkei 225 futures — $1.33 Mds. 1997 Natwest — Swaptions — $0.13 Mds. 1998 LTCM — Liquidity crisis — $2 Mds. Pourquoi mettre en place des m´canismes de surveillance des ´tablissements financiers par des autorit´s e e e de tutelle ? Lors de crises financi`res importantes (crise mexicaine, crise russe, crise asiatique, etc.), la e mise en place d’un prˆteur en dernier ressort s’av`re tr`s couteuse pour ´viter une crise syst´mique. e e e e e De mˆme, la d´faillance d’un seul ´tablissement financier peut conduire ` une contagion aux autres e e e a ´tablissements financiers ` cause de la panique financi`re (Diamond et Dybvig [1983]). La mise en e a e place d’une r´glementation en mati`re des risques vise donc dans un premier temps ` limiter le risque e e a syst´mique, et dans un deuxi`me temps ` ´viter les d´faillances individuelles des ´tablissements financiers. e e ae e e ´ ` 1.3. L’HISTOIRE RECENTE DES CRISES FINANCIERES 7
- 18. CHAPITRE 1. INTRODUCTIONHISTORIQUE The Basel Committee on Banking Supervision The Basel Committee, established by the central-bank Governors of the Group of Ten countries at the end of 1974, meets regularly four times a year. It has about thirty technical working groups and task forces which also meet regularly. The Committee’s members come from Belgium, Canada, France, Germany, Italy, Japan, Luxembourg, the Netherlands, Spain, Sweden, Switzerland, United Kingdom and United States. Countries are represented by their central bank and also by the authority with formal responsibility for the prudential supervision of banking business where this is not the central bank. The present Chairman of the Committee is Mr. William J. McDonough, President and CEO of the Federal Reserve Bank of New York. The Committee does not possess any formal supranational supervisory authority, and its conclusions do not, and were never intended to, have legal force. Rather, it formulates broad supervisory standards and guidelines and recommends statements of best practice in the expectation that individual authorities will take steps to implement them through detailed arrangements - statutory or otherwise - which are best suited to their own national systems. In this way, the Committee encourages convergence towards com- mon approaches and common standards without attempting detailed harmonisation of member countries’ supervisory techniques. The Committee reports to the central bank Governors of the Group of Ten countries and seeks the Go- vernors’ endorsement for its major initiatives. In addition, however, since the Committee contains repre- sentatives from institutions which are not central banks, the decisions it takes carry the commitment of many national authorities outside the central banking fraternity. These decisions cover a very wide range of financial issues. One important objective of the Committee’s work has been to close gaps in internatio- nal supervisory coverage in pursuit of two basic principles : that no foreign banking establishment should escape supervision ; and that supervision should be adequate. To achieve this, the Committee has issued a number of documents since 1975. In 1988, the Committee decided to introduce a capital measurement system commonly referred to as the Basel Capital Accord. This system provided for the implementation of a credit risk measurement framework with a minimum capital standard of 8% by end-1992. Since 1988, this framework has been progressively introduced not only in member countries but also in virtually all other countries with active international banks. In June 1999, the Committee issued a proposal for a New Capital Adequacy Framework to replace the 1988 Accord. The proposed capital framework consists of three pillars : minimum capital requirements, which seek to refine the standardised rules set forth in the 1988 Accord ; supervisory review of an insti- tution’s internal assessment process and capital adequacy ; and effective use of disclosure to strengthen market discipline as a complement to supervisory efforts. Following extensive interaction with banks and industry groups, a second consultative document, taking into account comments and incorporating further work performed by the Committee, is to be issued in January 2001, with a view to introducing the new framework in 2004. Over the past few years, the Committee has moved more aggressively to promote sound supervisory stan- dards worldwide. In close collaboration with many non-G-10 supervisory authorities, the Committee in 1997 developed a set of ”Core Principles for Effective Banking Supervision”, which provides a compre- hensive blueprint for an effective supervisory system. To facilitate implementation and assessment, the Committee in October 1999 developed the ”Core Principles Methodology”. In order to enable a wider group of countries to be associated with the work being pursued in Basel, the Committee has always encouraged contacts and cooperation between its members and other banking supervisory authorities. It circulates to supervisors throughout the world published and unpublished papers. In many cases, supervisory authorities in non-G-10 countries have seen fit publicly to associate themselves with the Committee’s initiatives. Contacts have been further strengthened by an International Conference of Banking Supervisors which takes place every two years, most recently in Basel. The Committee’s Secretariat is provided by the Bank for International Settlements in Basel. The twelve person Secretariat is mainly staffed by professional supervisors on temporary secondment from member institutions. In addition to undertaking the secretarial work for the Committee and its many expert sub- committees, it stands ready to give advice to supervisory authorities in all countries. TABLE 1.1. About Basle Committee (from http ://www.bis.org) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 8
- 19. 1.4 L’´volution dela r´glementation e e La r´glementation prudentielle a consid´rablement ´volu´ ces vingt derni`res ann´es sous l’impulsion e e e e e e des travaux du Comit´ de Bˆle. Mˆme si celui-ci n’a aucun pouvoir d´cisionnel, ses recommandations e a e e sont reprises par les diff´rentes autorit´s de tutelle des diff´rents pays industrialis´s. Bien sˆr, il existe de e e e e u petites diff´rences entre les textes de Bˆle et les textes officiels. e a En Europe, c’est la Commission Europ´enne qui est charg´e de d´finir la CAD (Capital Adequacy e e e Directive). Mais la mise en œuvre revient aux diff´rentes autorit´s de tutuelle nationales. En France, e e c’est la Commission Bancaire (qui est rattach´e ` la Banque de France) qui contrˆle l’application de la e a o CAD (en fait, une version fran¸aise adapt´e ` la l´gislation fran¸aise par le Comit´ de la R´glementation c e a e c e e Bancaire et Financi`re — CRBF). e Les principales dates de l’´volution de la r´glementation sont les suivantes : e e 1988 The Basle Capital Accord 1993 Capital Adequacy Directive 1996 Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks 1999 A new capital adequacy framework 2001 The New Basel Capital Accord 2004 (2005 ?) Basle II Bibliographie [1] Amendment to the capital accord to incorporate market risks, Basle Committee on Banking Supervi- sion, January 1996, N◦ 24 [2] Bernstein, P.L. [1995], Des Id´es Capitales, Presses Universitaires de France, Paris e [3] Crouhy, M., D. Galai et R. Mark [2001], Risk Management, McGraw-Hill [4] Diamond, D.W. et P.H. Dybvig [1983] Bank runs, deposit insurance and liquidity, Journal of Political Economy, 91(3), 401-419 [5] Jorion, P. [2001], Value at Risk : The new Benchmark for Controlling Market Risks, deuxi`me e ´dition, McGraw-Hill e
- 21. 2 D´finition du risque e Il est tr`s difficile de d´finir de fa¸on g´n´rale la notion de risque. Le risque est li´ ` la survenance d’un e e c e e ea ´v´nement que l’on ne peut pr´voir qui a des cons´quences importantes sur le bilan de la banque. Il faut e e e e donc distinguer le caract´re al´atoire et impr´visible (qui est l’origine du risque) de l’enjeu (cons´quence e e e e finale). 2.1 Typologie des risques Voici une liste non exhaustive des diff´rents risques que peut rencontrer un ´tablissement financier : e e – Risque de cr´dit e – Risque de d´faillance (default risk) e – Risque de d´gradation de la valeur de la cr´ance (downgrading risk) e e – Risque de march´ e – Risque de taux d’int´rˆt ee – Risque de change – Risque de mod`le e – Risque op´rationnel e – Risque de d´sastre e – Risque de fraude – Risque de traitement – Risque technologique – Risque juridique – Risque de liquidit´ e – Risque strat´gique e 2.2 La mesure du risque Le risque est li´ ` la volatilit´ du Mark to Market (ou valorisation au prix de march´) du portefeuille ea e e d’actifs. Pendant tr`s longtemps, la mesure naturelle du risque a donc ´t´ la volatilit´. Par exemple, dans e ee e
- 22. ´ CHAPITRE 2. DEFINITION DU RISQUE GRAPHIQUE 2.1. Les diff´rents types de risque e le mod`le de s´lection de portefeuille de Markowitz, l’agent maximise son esp´rance de gain pour un e e e niveau de risque donn´, qui est mesur´ par l’´cart-type. e e e Cette vision du risque n’est coh´rente que dans un monde gaussien. Cependant, nous savons depuis e fort longtemps que l’hypoth`se de normalit´ des rendements des actifs financiers n’est pas v´rifi´e. Ac- e e e e tuellement, la mesure de risque qui est la plus r´pandue est la valeur en risque (Value-at-Risk ou VaR). e Statistiquement, ce n’est rien d’autre que le quantile α de la perte potentielle pour un horizon donn´. e Soit ϑ la variable al´atoire repr´sentant la perte potentielle. Notons F la distribution de probabilit´ de e e e ϑ. Nous avons VaR = F−1 (α) (2.1) Deux ´l´ments sont donc d´terminants pour calculer la valeur en risque : la distribution de probabilit´ ee e e et le seuil de confiance. Rating R´glementaire (march´) e e BBB A AA AAA α 99% 99.75% 99.9% 99.95% 99.97% Temps de retour 100 jours 400 jours 4 ann´es e 8 ann´es e 13 ann´es e Φ−1 (α) 2.33 2.81 3.09 3.29 3.43 t−1 (α) 4 3.75 5.60 7.17 8.61 9.83 La perte moyenne E [ϑ] est d´sign´e par le terme expected loss. Dans le risque de march´, le capital e e e en risque (Capital-at-Risk ou CaR) correspond ` la valeur en risque. Dans le risque de cr´dit, il est ´gal a e e a ` la diff´rence entre le quantile et la perte moyenne — cette diff´rence est appel´e la perte exceptionelle e e e (unexpected loss). Dans ce dernier cas, on suppose que les marges (et les provisions) couvrent la perte moyenne. Enfin, il nous faut d´finir aussi la charge en capital (capital charge) qui est fonction du e capital en risque. Cette charge en capital correspond au montant effectif de fonds propres immobilis´s e pour assurer l’op´ration. e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 12
- 23. ´ CHAPITRE 2. DEFINITION DU RISQUE GRAPHIQUE 2.2. Repr´sentation graphique de la valeur en risque e 2.3 L’optimisation du couple rentabilit´/risque e Il est difficile de finir ce chapitre consacr´ au risque sans ´voquer la rentabilit´. Car le but d’une banque, e e e ce n’est pas de prendre le moins de risque possible, mais d’atteindre une rentabilit´ maximale pour un e risque donn´.e La mesure des risques va permettre de calculer les fonds propres n´cessaires pour assurer chaque e op´ration financi`re. C’est donc un outil qui a plusieurs vocations. Il permet bien sˆr de dimensionner les e e u risques encourus en fonction du montant de ces fonds propres. Mais c’est aussi un outil indispensable pour calculer des mesures de performances. Au niveau global, la mesure de performance la plus utilis´e est le e rendement des fonds propres (Return on Equity ou ROE). A des niveaux beaucoup plus fins (jusqu’au niveau transactionel), les banques utilisent des mesures de performance ajust´e du risque (risk-adjusted e performance measure ou RAPM). Par exemple, le rapport du rendement esp´r´ sur le capital en risque ee est une mesure RAPM. Il est donc important de consid´rer la mesure des risques non pas uniquement comme un outil r´glementaire, e e mais comme un outil strat´gique de d´cision pour la banque, car e e [...] la gestion d’une banque consiste en une gestion globale et coordonn´e, sous e contraintes internes et externes, de la rentabilit´ et des risques li´s aux activit´s de e e e ´ l’´tablissement (Augros et Queruel [2000]). e Bibliographie [1] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1997], Thinking coherently, Risk magazine, 10, November, 68-71 [2] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1999], Coherent measures of risk, Mathematical Finance, 9, 203-228 ´ [3] Augros, J-C. et M. Queruel [2000], Risque de Taux d’Int´rˆt et Gestion Bancaire, Economica, ee Paris ´ 2.3. L’OPTIMISATION DU COUPLE RENTABILITE/RISQUE 13
- 24. [4] Guldimann, Til.[1994], RiskMetricsT M Technical Document, 2nd edition, J.P. Morgan, New York [5] Markowitz, H.M. [1987], Mean-Variance Analyses in Portfolio Choice and Capital Markets, Basil Blackwell, Oxford
- 25. 3 Le nouvel Accordde Bˆle et le ratio McDonough a 3.1 Les fonds propres Voici le bilan simplifi´ d’une banque e ACTIF PASSIF Actifs immobilis´s e Fonds propres Cr´dits et prˆts e e Dette titres (portfeuilles de n´gociation, de placement et d’investissement) e D´pˆts e o Tr´sorerie e Les fonds propres (ou le capital) sont un ´l´ments du passif d’une banque. Ils regroupent : ee – Les actions ordinaires et les certificats d’investissement, – les r´serves, e – le r´sultat non distribu´, e e – etc. Les autres ´l´ments du passif d’une banque sont les d´pˆts, l’´pargne des m´nages, ainsi que les dettes. ee e o e e A l’actif, nous trouvons les cr´dits et les prˆts aux m´nages et aux entreprises, les services, le portefeuille e e e de titres, etc. Le rˆle des fonds propres est triple (Dubernet [1997]) : o 1. Les fonds propres sont n´cessaires ` la croissance. e a Les fonds propres sont le moteur de l’activit´ de la banque. A cause des contraintes externes e (par exemple, la r´glementation) et internes (impos´es par exemple par les actionnaires), ces fonds e e propres dimensionnent le risque de la banque, et donc l’activit´ de la banque. La croissance de e l’´tablissement financier d´pend donc de l’´volution de son capital. e e e 2. Les fonds propres sont une garantie vis-`-vis des cr´anciers. a e Ils servent ` garantir l’activit´ de la banque. En particulier, ils doivent permettre d’absorber les a e fortes pertes dues ` des ´l´ments ´xog`nes et/ou inattendus : a ee e e – Crise russe (risque pays — d´faut de paiement), e – Crise asiatique (implosion des syst`mes bancaires), e – Crise immobili`re (krach sp´culatif), e e – etc.
- 26. ˆ CHAPITRE 3. LE NOUVEL ACCORD DE BALE ET LE RATIO MCDONOUGH Ainsi plus leur niveau est ´lev´, plus la banque pr´sente des gages de solidit´ (` activit´ bancaire e e e e a e constante). Ces fonds propres sont un des ´l´ments de notation de la banque (rating), note qui ee conditionne le coˆt des ressources (de tr´sorerie et de long terme). u e 3. Les fonds propres sont les ressources les plus ch`res (exigence de rentabilit´). e e Puisque les fonds propres permettent de couvrir les risques, ils sont r´mun´r´s. Le taux de r´mun´ration e ee e e est appel´ Return on Equity ou ROE. L’objectif de la banque est donc d’offrir le ROE le plus e ´lev´ ` ses actionnaires (prendre le moins de risque et d´gager la plus de r´sultat net). Actuellement, e ea e e celui-ci varie fortement d’un ´tablissement financier ` un autre avec une moyenne autour de 15%. e a Notons que celui-ci a une influence tr`s importante sur la valeur de march´ de la banque (Market e e Value Added ou MVA) et conditionne (partiellement) la croissance externe (OPA, OPE, fusion, etc.) de l’´tablissement financier. e 3.2 Le ratio Cooke En 1988, le Comit´ de Bˆle propose un ratio international de solvabilit´ qui doit permettre e a e – une meilleure ad´quation des fonds propres par rapport aux risques e – de renforcer la solidit´ et la stabilit´ du syst`me bancaire, e e e – et d’att´nuer les in´galit´s concurrentielles entre les banques. e e e C’est le fameux ratio Cooke (du nom du pr´sident du Comit´ de Bˆle de l’´poque) qui correspond au e e a e rapport entre le montant des fonds propres et celui des encours (pond´r´s) EPC de cr´dit. Plusieurs ee e niveaux de fonds propres sont d´finis : e 1. Les fonds propres de base FP1 ou “noyau dur” (TIER 1). 2. Les fonds propres compl´mentaires FP2 (TIER 2). e 3. Les fonds propres surcompl´mentaires FP3 (TIER 3). e Les fonds propres de base correspondent au capital et aux r´serves. Les fonds propres compl´mentaires e e sont plus difficiles ` d´finir, mais sont principalement constitu´s par des emprunts subordonn´s. Selon a e e e l’Accord de Bˆle (Basle Accord), les ´tablissements financiers doivent respecter les contraintes sui- a e vantes : FP2 ≤ FP1 FP1 / EPC ≥ 4% (FP1 + FP2 ) / EPC ≥ 8% (ratio Cooke) Les encours pond´r´s de cr´dit concerne le bilan et le hors bilan et les pond´rations sont les suivantes ee e e (Bessis [1995]) : – 0% pour les cr´ances sur des Etats de l’OCDE, e – 20% pour les cr´ances sur les banques et les collectivit´s locales d’Etats de l’OCDE ; e e – 50% pour les cr´ances garanties par une hypoth`que ou cr´dit bail immobilier ; e e e – 100% pour tous les autres ´l´ments d’actifs, dont les cr´dits ` la client`le. ee e a e L’Accord de Bˆle a ´t´ adopt´ par le Parlement Europ´en en 1993. La r´glementation a ´volu´e progressi- a ee e e e e e vement pour prendre en compte les risques de march´. Contrairement au risque de cr´dit, deux approches e e existent pour calculer les risques de march´. La premi`re approche est une m´thode forfaitaire, alors e e e que la seconde approche autorise les banques ` utiliser un mod`le interne. L’id´e principale est d’inciter a e e les banques ` construire des mod`les robustes pour calculer les risques de march´ et donc d’obtenir des a e e exigences en fonds propres beaucoup plus r´alistes. e Remarque 1 Le site internet de la Reserve Bank of New Zeland contient un exemple complet de calcul des ratios TIER 1 et TIER 2. Le lien direct est http ://www.rbnz.govt.nz/banking/regulation/0091769.html INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 16
- 27. ˆ CHAPITRE 3. LE NOUVEL ACCORD DE BALE ET LE RATIO MCDONOUGH 3.3 Bˆle II et le nouveau ratio de solvabilit´ a e Le Comit´ de Bˆle a publi´ le 16 janvier 2001 le second document consultatif pour une r´forme (en e a e e profondeur) de la r´glementation prudentielle. Celui-ci fait suite ` la publication en juin 1999 d’un premier e a document consultatif et aux diverses r´actions de la profession. Dans le calendrier original de la r´forme, e e une seconde p´riode consultative devait avoir lieu jusqu’au 31 mai 2001 pour permettre la r´daction finale e e du nouvel Accord pour fin 2001. L’impl´mentation de celui-ci ´tait pr´vu pour janvier 2004. e e e Le calendrier original est actuellement retard´, et l’impl´mentation n’est d´sormais pr´vue qu’en 2005 e e e e pour plusieurs raisons : – Le Comit´ de Bˆle n’est pas satisfait des r´ponses fournies par les banques aux questionnaires QIS e a e (Quantitative Impact Study). – La calibration aux donn´es s’av`re difficile. e e – Il existe des d´saccords importants entre le Comit´ de Bˆle et les associations de banques (par e e a exemple, sur la part du risque op´rationnel). e – Enfin, plusieurs questions m´thodologiques ne sont pas r´solues. e e Les motivations du nouvel Accord sont multiples. La premi`re d’entre elle est la modification de l’as- e siette des risques : FP1 + FP2 ≥ 8% risque de cr´dit + risque op´rationnel + risque de march´ e e e L’assiette des risques int´gre d´sormais le risque op´rationnel. Dans la version de janvier 2001, e e e le Comit´ de Bˆle proposait la r´partition suivante de la charge en fonds propres e a e Type de risque Exigence en FP R´partition e Cr´dit e 6% 75% March´ e 0.4% 5% Op´rationnel e 1.6% 20% Total 8% 100% La seconde motivation de l’Accord est de rapprocher la r´glementation des pratiques en vigueur dans e l’industrie pour le pilotage des risques, afin que l’exigence en fonds propres sont plus sensible au risque r´el e (more risk sensitive) de la banque. A terme, l’id´e est d’autoriser les banques, sous certaines conditions, e d’utiliser les mod`les internes pour mesurer le risque de cr´dit et le risque op´rationnel, comme cela se e e e fait d´j` pour le risque de march´. ea e [...] Le renforcement de l’´galit´ des conditions de concurrence et le meilleur alignement des e e exigences de fonds propres sur les risques sous-jacents sont [...] deux finalit´s importantes du e futur dispositif. [...] Le nouveau ratio permettra non seulement de faire converger le capital r´glementaire — souci des autorit´s de contrˆle — et le capital ´conomique — souci des e e o e ´tablissements — mais aussi, au-del` des exigences de fonds propres, de poser un v´ritable e a e cadre prudentiel pour le contrˆle bancaire des prochaines ann´es (Pujal [2001]). o e Le nouveau dispositif se d´compose en trois piliers : e 1. First Pillar : Minimum Capital Requirement 2. Second Pillar : Supervisory Review Process 3. Third Pillar : Market Discipline Le premier pilier concerne l’exigence minimale en fonds propres. Le traitement du risque de march´ e reste inchang´. Le traitement du risque de cr´dit est revu en profondeur. Trois m´thodes sont d´sormais e e e e possibles pour mesurer le risque de cr´dit : e – L’approche standardis´e est une version actualis´e de l’approche r´glementaire actuelle. En parti- e e e culier, la classification est beaucoup plus fine et la notation externe (rating) est prise en compte. ˆ ´ 3.3. BALE II ET LE NOUVEAU RATIO DE SOLVABILITE 17
- 28. ˆ CHAPITRE 3. LE NOUVEL ACCORD DE BALE ET LE RATIO MCDONOUGH – L’approche IRB (Internal Ratings Based Approach) est une m´thode de calcul bas´e sur des e e mesures internes des probabilit´s de d´faillance (Probability of Default ou PD) et des mesures e e externes des autres param`tres du mod`le. e e – Dans l’approche IRB “avanc´e”, la banque estime aussi le taux de perte (Loss Given Default ou e LGD), l’exposition au d´faut (Exposure At Default ou EAD) et le traitement des garanties. e La m´thode de calcul (relativement complexe — voir le chapitre 10 page 105) est standardis´e et impos´e e e e par le Comit´ de Bˆle. Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle n’envisage pas d’autoriser l’utilisation de mod`les e a e a e internes. Le risque op´rationnel fait maintenant partie de l’assiette des risques. Comme pour le risque e op´rationnel, le Comit´ de Bˆle propose trois m´thodes pour le mesurer : e e a e 1. La m´thode Basic Indicator Approach (BIA). e Dans ce cas, le risque op´rationnel d’un ´tablissement est appr´hend´ ` partir d’un indicateur e e e e a financier. Le Comit´ de Bˆle propose de retenir le revenu brut GI comme proxy. La charge en e a capital K se calcule alors tr`s facilement ` partir de la formule e a K = α × GI (3.1) o` α est un coefficient fix´ par les autorit´s r´glementaires. Un premier calcul du Comit´ de Bˆle u e e e e a donne α ´gal ` 30%. e a 2. La m´thode Standardized Approach (SA). e Dans cette approche, l’´tablissement financier est divis´ en business lines. Un indicateur financier e e FI est alors utilis´ pour calculer la charge en capital sp´cifique ` la business line i e e a K (i) = β (i) × FI (i) (3.2) La charge en capital pour la banque au titre du risque op´rationnel correspond alors ` la somme e a des charges en capital sp´cifiques : e K= K (i) = β (i) × FI (i) (3.3) i i Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle a retenu 7 business lines et n’envisage pas de prendre en compte e a les effets de diversification (c’est-`-dire les corr´lations). a e 3. La m´thode Internal Measurement Approach (IMA). e C’est l’approche la plus sophistiqu´e. Le Comit´ de Bˆle a adopt´ un d´coupage matriciel du risque e e a e e op´rationnel. Pour une business line i et un type de risque j, la charge en capital est d´finie comme e e l’unexpected loss UL (i, j) au seuil de confiance de 99%. La formule suivante est utilis´e pour calculer e UL (i, j) : K (i, j) := UL (i, j) = EL (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (3.4) o` EL (i, j) repr´sente la perte moyenne, γ est un facteur d’´chelle r´glementaire et RPI est l’indice u e e e de profil de risque. Notons que le Comit´ de Bˆle propose de calculer la perte moyenne comme le e a produit de trois termes : EL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (i, j) (3.5) o` EI (i, j) est l’indicateur d’exposition, PE (i, j) est la probabilit´ d’occurence d’une perte unitaire u e et LGE (i, j) est le montant de la perte unitaire. En combinant ces deux ´quations, nous obtenons e l’expression suivante pour UL (i, j) : UL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (3.6) Parmi les 5 param`tres n´cessaires au calcul, seul γ est un param`tre externe fourni par les autorit´s e e e e r´glementaires. Comme pour la m´thode SA, la charge en capital pour la banque au titre du risque e e op´rationnel correspond alors ` la somme des charges en capital sp´cifiques : e a e K= UL (i, j) (3.7) i j INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 18
- 29. Depuis la publicationdu second document consultatif, la position du Comit´ de Bˆle a ´volu´ : e a e e – Les risques op´rationnels pourraient repr´senter moins de 20% de l’exigence en fonds propres. e e – L’approche IMA est remplac´e par l’approche AMA (Advanced Measurement Approach) e qui pourrait ˆtre compos´e de plusieurs m´thodes (IMA, ScoreCard, LDA, etc.). Il n’est donc e e e pas exclu que le Comit´ de Bˆle autorise l’utilisation des mod`les internes LDA. e a e Le second pilier concerne le processus de surveillance. Les autorit´s de contrˆle (la Commission Bancaire e o en France) disposeront d’un pouvoir beaucoup plus important. Enfin, le troisi`me pilier vise ` promouvoir e a une discipline de march´ plus efficace (communication publique de la structure du capital, de l’allocation e de fonds propres, de l’exposition aux risques et des pertes). Bibliographie [1] International convergence of capital measurement and capital standards, Basle Committee on Banking Supervision, July 1988, N◦ 4 [2] Capital Adequacy Directive (CAD), directive 93/6/CEE du CONSEIL du 15 mars 1993 sur l’ad´quation des fonds propres des entreprises d’investissement et des ´tablissements de cr´dit, Journal e e e Officiel des Communaut´s Europ´ennes, N◦ L 141/1-26 e e [3] Amendment to the capital accord to incorporate market risks, Basle Committee on Banking Supervi- sion, January 1996, N◦ 24 [4] A new capital adequacy framework, Basle Committee on Banking Supervision, June 1999, N◦ 50 [5] The New Basel Capital Accord — Consultative Document, Basle Committee on Banking Supervision, January 2001 [6] Overview of The New Basel Capital Accord — Consultative Document, Basle Committee on Banking Supervision, January 2001 [7] The New Basel Capital Accord : an explanatory note — Consultative Document, Basle Committee on Banking Supervision, January 2001 [8] Basel part one : the new Accord, Risk Magazine, 14, February, 24-29 [9] The new Accord delayed, Risk Magazine, 14, July, 29-31 [10] Bessis, J. [1995], Gestion des Risques et Gestion Actif-Passif des Banques, Dalloz, Paris [11] Dubernet, M. [1997], Gestion Actif-Passif et Tarification des Services Bancaires, Economica, Paris [12] Pujal, A. [2001], Un nouveau ratio de solvabilit´ en 2004, Banque Magazine, 622, F´vrier, 36-39 e e
- 31. 4 La notion deCapital Economique et l’allocation de fonds propres 4.1 La probl´matique e – Cadre d’analyse : Utilisation d’un mod`le interne d’allocation de fonds propres sur base ´conomique. e e – Objectif : Cr´ation de valeur (EVA) pour les actionnaires (Shareholder Value Added analysis — e SVA). – Moyens : Calcul de la rentabilit´ ´conomique de chaque op´ration, de chaque projet (c’est-`- e e e a dire de la rentabilit´ de chaque projet en tenant compte du montant de fonds propres — capital e ´conomique consomm´). e e 4.2 La notion de capital ´conomique e Chaque op´ration (risqu´e) mobilise des fonds propres de la banque. Ceux-ci peuvent ˆtre calcul´s de e e e e fa¸on r´glementaire. Dans ce cas, on parle de fonds propres forfaitaires. Cependant, le calcul ne tient c e pas compte des effets de diversification, de la nature du portefeuille de la banque, de la signature (rating) de la contrepartie, etc. Ceux-ci peuvent aussi ˆtre calcul´s ` partir de mod`les internes, qui sont (suppos´s e e a e e ˆtre) plus rationnels. Dans ce cas, on parle de fonds propres ´conomiques (ou capital ´conomique = e e e mesure juste du risque). 4.3 La construction d’un mod`le interne e La valeur en risque est l’outil de mesure du capital ´conomique. Elle permet donc de savoir combien e il faut allouer de capital ´conomique ` un nouveau projet, mais ce n’est pas un mod`le d’allocation. e a e Un mod`le d’allocation est un mod`le qui permet d’allouer de fa¸on efficiente les fonds propres entre e e c diff´rentes activit´s ou diff´rents projets. Deux approches existent : l’approche bottom-up et l’approche e e e top-down. 4.3.1 L’approche bottom-up L’approche bottom-up peut ˆtre consid´r´e comme un mod`le d’allocation de fonds propres et/ou e ee e comme un suivi de la consommation de fonds propres. Le principe est de mesurer le capital ´conomique e au niveau le plus fin, c’est-`-dire au niveau de la transaction, puis de consolider ces capitaux ´conomiques a e a ` des niveaux moins d´taill´s. De par sa nature, l’approche bottom-up permet effectivement de suivre la e e consommation en fonds propres.
- 32. CHAPITRE 4. LANOTION DE CAPITAL ECONOMIQUE ET L’ALLOCATION DE FONDS PROPRES Plusieurs questions se posent alors : – Comment d´cider la r´alisation ou non d’une op´ration ? e e e – Comment choisir entre deux op´rations ? e – Que faire lorsque l’enveloppe allou´e est enti`rement consomm´e ? e e e Nous voyons bien que dans ce contexte le principe de “premier arriv´, premier servi” ne e tient plus. Une premi`re approche consid`re le principe d’Euler. Soit un portefeuille avec un vecteur de strat´gie e e e u. Notons R la mesure de risque et K le vecteur de capital ´conomique. Nous pouvons alors d´finir une e e mesure de performance raisonnable par (Tasche [1999], th´or`me 4.4) : e e a (u) = ∂u R (u) (4.1) Le capital ´conomique est alors d´fini par K = (Ki (u)) avec e e ui Ki (u) ≡ ai (u) R (u) ui = ∂u R (u) (4.2) R (u) Dans le cas d’une mesure de risque de type Value-at-Risk gaussienne, nous retrouvons le principe de covariance. Une deuxi`me approche consid`re l’´galisation des mesures de performance ajust´e du risque e e e e (RAPM) : 1. Roc (return on regulatory capital) 2. Rorac (return on risk-adjusted capital) 3. Raroc (risk-adjusted return on regulatory capital) 4. Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital) Par exemple, la mesure RORAC est d´finie par e Revenu net RORAC = (4.3) Capital ´conomique e L’id´e sous-jacente est alors de comparer cette mesure ` une cible, et seuls les projets qui pr´sentent des e a e performances sup´rieures ` cette cible seront retenus. e a Consid´rons M activit´s relativement ind´pendantes. Notons Km le capital ´conomique allou´ ` la m- e e e e ea i`me activit´. Soit ϕ (K) la fonction qui relie le capital ´conomique et le RORAC. C repr´sente le capital e e e e de la banque. Nous pouvons alors formaliser le probl`me d’allocation de la fa¸on suivante : e c K1 + . . . + KM ≤ C (4.4) ϕm (Km ) = ϕm (Km ) A moins de consid´rer l’ind´pendance entre les diff´rentes activit´s (ou de faire des hypoth`ses simplifi- e e e e e catrices), l’approche bottom-up est difficile ` utiliser pour faire un v´ritable exercice d’allocation de fonds a e propres. En fait, cette approche est beaucoup plus appropri´e pour suivre la consommation de fonds e propres, et ` posteriori pour mesurer la v´ritable rentabilit´ de chaque activit´. a e e e 4.3.2 L’approche top-down Contrairement ` l’approche bottom-up qui consiste ` consolider le risque du portefeuille bancaire depuis a a le niveau ´l´mentaire (la transaction) jusqu’` l’unit´ d’allocation (la ligne de m´tier), l’approche top- ee a e e down consiste ` d´sagr´ger une information mesur´e sur l’ensemble du portefeuille bancaire, celle-ci ´tant a e e e e utilis´e comme un proxy pour la mesure de risque. e Concr`tement, selon la m´thodologie EaR (Earnings-at-Risk) usuellement mise en œuvre dans ce e e contexte, le risque d’une activit´ est directement reli´ ` la volatilit´ de son r´sultat. De ce point de vue, e ea e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 22
- 33. la volatilit´ estper¸ue comme un int´grateur de l’ensemble des risques associ´s ` cette activit´. e c e e a e Cette d´marche est une ´tape pr´liminaire naturelle de l’allocation puisqu’elle adopte le point de vue e e e de l’actionnaire qui investit son capital dans diff´rentes activit´s bancaires assimil´es ` autant d’actifs e e e a financiers. C’est donc une m´thode proche de la th´orie du portefeuille, mais avec des particularit´s li´es e e e e a ` l’activit´ bancaire. e Remarque 2 Vous trouverez un exemple de m´thode top-down dans l’article de Baud, Frachot, Igi- e gabel, Martineu et Roncalli [1999]. Bibliographie [1] Baud, N., A. Frachot, P. Igigabel, P. Martineu et T. Roncalli [1999], An Analysis Framework for Bank Capital Allocation, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper e e [2] Denault, M. [1999], Coherent allocation of risk capital, Swiss Federal Institute of Technology, Wor- king Paper [3] Froot, K.A. et J.C. Stein [1998], Risk management, capital budgeting, and capital structure policy for financial institutions : an integrated approach, Journal of Financial Economics, 47, 55-82 [4] Punjabi, S. [1998], Many happy returns, Risk, June, 71-76 [5] Tasche, D. [1999], Risk contributions and performance measurement, Zentrum Mathematik, TU M¨nchen, Working Paper u
- 35. Deuxi`me partie e Le risque de march´ e 25
- 37. 5 La r´glementation prudentielle e Le d´veloppement des march´s financiers dans les ann´es 80 et surtout dans les ann´es 90, a conduit e e e e les autorit´s de contrˆle bancaire et les autorit´s de march´ ` prendre un certain nombre de d´cisions e o e e a e pour r´guler ces march´s. En particulier, ces d´cisions ont concern´ fortement les risques de march´. e e e e e Actuellement, ils existent plusieurs textes r´glementaires relatifs ` ce sujet. Nous pouvons citer par e a exemple celui de la Commission Bancaire dat´ du 3 Novembre 1997 et celui de la CAD [1]. Ces textes e r´glementaires ont eu pour effet de pousser les ´tablissements financiers ` d´velopper des mod`les internes e e a e e de mesure de risque. Avant de situer les enjeux pour une banque, nous devons pr´ciser dans un premier temps la notion de e risque de march´. Celui-ci est pr´sent´ de la mani`re suivante dans le texte de la Commission Bancaire e e e e (r´f´rence [3], section 1) : ee Le risque de march´, d´fini comme le risque de pertes sur les positions du bilan et du hors- e e bilan ` la suite de variations des prix de march´, recouvre : a e – Les risques relatifs aux instruments li´s aux taux d’int´rˆt et titres de propri´t´ du porte- e ee ee feuille de n´gociation ; e – Le risque de change et le risque sur produits de base encourus pour l’ensemble de l’activit´ e de bilan et hors-bilan. Nous remarquons tout de suite le caract`re potentiel de la perte induit par cette d´finition. Et nous e e voyons aussi que le p´rim`tre consid´r´ est relativement large. Nous devons noter tout de mˆme que cette e e ee e perte doit ˆtre li´e ` des possibles variations de prix de march´. e e a e De la mˆme mani`re que pour le risque de cr´dit, les exigences de fonds propres relatives aux risques e e e de march´ s’appliquent sur une base consolid´e. Pour les mesurer, les ´tablissements ont le choix entre e e e deux types d’approches :
- 38. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE 1. l’approche standard pr´sent´e dans les diff´rentes annexes du document [3]. Celles-ci concernent les e e e cat´gories suivantes de risques et sont additionn´es de mani`re arithm´tique ; e e e e Cat´gorie de risque e P´rim`tre de calcul e e Risque de Taux Portefeuille de n´gociation e (risque g´n´ral et risque sp´cifique) e e e Risque sur Titres de Propri´t´ ee Portefeuille de n´gociation e (risque g´n´ral et risque sp´cifique) e e e Risque de Change Ensemble des op´rations qu’elles appartiennent e au portefeuille de n´gociation ou non e Risque sur mati`res premi`res e e Ensemble des op´rations qu’elles appartiennent e au portefeuille de n´gociation ou non e Risques optionnels Options associ´es ` chacune des cat´gories de e a e risques pr´c´dentes e e 2. ou l’approche mod`les internes. L’utilisation de cette m´thode, subordonn´e ` la r´alisation de e e e a e certaines conditions, est soumise ` l’approbation explicite du Secr´tariat G´n´ral de la a e e e Commission Bancaire . Le probl`me de l’utilisation conjointe des mod`les internes et de la m´thodologie standardis´e fait l’objet e e e e d’un paragraphe dans l’annexe 7 du document [3]. La position de la Commission Bancaire sur ce point est donc la suivante : Ainsi, un ´tablissement commen¸ant ` utiliser des mod`les pour une ou plusieurs cat´gories e c a e e de facteurs de risque doit en principe ´tendre progressivement ce syst`me ` tous ses risques e e a de march´ et ne peut plus, pour les risques ´valu´s, revenir ` la m´thodologie standardis´e (` e e e a e e a moins que la Commission Bancaire ne lui ait retir´ son agr´ment pour ses mod`les). e e e La Commission Bancaire tol`re donc l’utilisation combin´e des mod`les internes et de la m´thode standar- e e e e dis´e. Mais elle prˆte une attention particuli`re ` la permanence des m´thodes, ainsi qu’` leur ´volution e e e a e a e afin de s’orienter vers un mod`le global qui tient compte de l’ensemble des risques de march´. e e Pour la banque, en plus de fournir une mesure plus juste des risques de march´, la construction d’un e mod`le interne est un projet qui permet aussi d’assainir son syst`me d’information, notamment sur le e e stockage et la qualit´ des donn´es. Mais le v´ritable enjeu concerne l’exigence en fonds propres. Nous e e e pouvons penser qu’une mesure plus r´fl´chie permet de mieux mesurer la consommation en fonds propres e e des activit´s de march´. Un mod`le interne est donc un ´l´ment de r´ponse dans le cadre d’un mod`le e e e ee e e d’allocation de fonds propres, comme peuvent l’ˆtre les outils RAROC. e La lecture des textes r´glementaires est int´ressante ` plusieurs titres. Elle permet de d´gager les e e a e crit`res d´finissant un bon mod`le selon les autorit´s r´glementaires, c’est-`-dire de d´finir les normes e e e e e a e de validation. Elle permet aussi de s’interroger sur les aspects m´thodologiques et le choix d’un mod`le. e e Elle permet enfin de repositionner les pratiques actuelles en mati`re de gestion du risque de march´ par e e rapport aux exigences r´glementaires. e 5.1 Les textes officiels Il existe plusieurs textes officiels relatifs ` la r´glementation des risques de march´. En ce qui nous a e e concerne, nous nous int´ressons principalement ` celui de la Commission Bancaire et celui de la CAD. e a Ce sont les deux textes (l’un provenant d’une autorit´ de r´glementation fran¸aise, l’autre d’une autorit´ e e c e europ´enne) qui s’appliquent aux ´tablissements financiers fran¸ais. e e c La r´glementation de la Commission Bancaire a fait l’objet de plusieurs r´visions importantes qui e e sont pr´sent´es dans l’article [2] de la Revue d’Economie Financi`re. Dans les ann´es 80, suite ` la e e e e a d´r´glementation et la lib´ralisation des mouvements de capitaux, les op´rations de march´ ont connu ee e e e un essor consid´rable. Jusque l`, les risques de march´ ´taient relativement peu contrˆl´s. Une des e a e e oe cons´quences de la crise d’octobre 1987 a ´t´ la signature d’un premier accord international (l’Accord de e ee INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 28
- 39. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE Bˆle) sur le risque bancaire, mais celui-ci concernait plus sp´cifiquement le risque de cr´dit, c’est-`-dire a e e a le risque de d´faillance de la contrepartie . Ce n’est qu’en 1993 que des m´thodes standardis´es pour e e e mesurer les risques de march´ ont commenc´ ` ˆtre propos´es dans le cadre du Comit´ de Bˆle, sans e e a e e e a encore faire l’objet d’application en termes de contrˆle . Sous la pression de certains ´v`nements mar- o e e quants du d´but des ann´es 1990 (en particulier, la faillite de la banque Barings), de nouveaux travaux e e ont vu le jour, notamment l’amendement ` l’Accord sur les fonds propres de 1988 concernant les risques a de march´ du comit´ de Bˆle en janvier 1996. C’est sur ce texte, ainsi que sur la directive 93/6/CEE e e a du Conseil de l’Union Europ´enne du 15 mars 1993, que s’appuie tr`s fortement la r´glementation de la e e e Commission Bancaire. Les institutions financi`res ont la possibilit´ d’utiliser leurs propres mod`les internes de mesure de e e e risques de march´ ` la place des m´thodes standardis´es. Ces mod`les internes doivent cependant ˆtre ea e e e e valid´s par l’autorit´ de tutelle, c’est-`-dire qu’ils doivent respecter des normes qualitatives et des crit`res e e a e qualitatifs et quantitatifs. Nous d´veloppons ceux-ci dans les paragraphes qui suivent. e 5.2 Les normes g´n´rales e e Les mod`les internes doivent remplir les conditions minimales suivantes (section 1 de l’annexe 7 du e document [3]) : – le syst`me de gestion des risques de l’´tablissement repose sur des principes sains et mis en œuvre e e de mani`re int`gre ; e e – l’´tablissement poss`de en nombre suffisant de personnel qualifi´ pour l’utilisation de mod`les e e e e ´labor´s non seulement dans le domaine de la n´gociation, mais aussi dans ceux du contrˆle des e e e o risques, de l’audit interne et, du postmarch´ ; e – les mod`les de l’´tablissement ont fait la preuve sur une dur´e significative qu’ils mesurent les risques e e e avec une pr´cision raisonnable ; e – l’´tablissement effectue r´guli`rement des simulations de crise selon les modalit´s pr´cis´es ` la e e e e e e a section 5.5.3. Dans la mˆme section, la Commission Bancaire pr´cise la proc´dure de soumission du mod`le et les e e e e modalit´s d’utilisation : e L’utilisation des mod`les internes pour le calcul de l’exigence prudentielle en fonds propres e est soumise ` l’approbation pr´alable de la Commission Bancaire, apr`s une p´riode a e e e de suivi et de test en situation r´elle. e 5.3 Les crit`res qualitatifs e Les syst`mes de gestion des risques de march´ doivent respecter certains crit`res qualitatifs. Les e e e cons´quences sont relativement importantes, puisque le degr´ de conformit´ ` ces crit`res peut condi- e e ea e tionner le niveau du multiplicateur. Seuls les ´tablissements les respectant int´gralement pourront e e pr´tendre au multiplicateur minimal. Ce multiplicateur (qui correspond au (3 + ξ) de la formule 5.1 e page 31) intervient dans le calcul de l’exigence de fonds propres et doit ˆtre consid´r´ comme un pa- e ee ram`tre de p´nalisation. e e L’ensemble des crit`res qualitatifs est pr´sent´ dans le paragraphe 2 de l’annexe 7 du document [3]. e e e Nous pr´sentons ici un r´sum´ de ces diff´rents crit`res : e e e e e a. L’´tablissement financier doit disposer d’une unit´ de contrˆle des risques, responsable de la e e o configuration et de l’exploitation du syst`me de gestion des risques, ind´pendante des unit´s de e e e n´gociation. Elle doit ´tablir et analyser des rapports quotidiens sur les r´sultats produits e e e par les mod`les ainsi qu’une ´valuation de l’utilisation des limites de n´gociation et rend compte e e e directement ` l’organe ex´cutif de l’´tablissement. a e e b. Cette unit´ doit effectuer r´guli`rement ( au moins trimestriellement ) des contrˆles ex-post. e e e o ´ ´ 5.2. LES NORMES GENERALES 29
- 40. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE c. L’organe d´lib´rant et l’organe ex´cutif doivent ˆtre activement associ´s au processus de contrˆles e e e e e o des risques et le consid´rer comme un aspect essentiel de l’activit´ de l’´tablissement. e e e d. Les rapports quotidiens doivent ˆtre revus par des responsables disposant de l’expertise et de e l’autorit´ suffisantes pour exiger au besoin une r´duction des positions prises par un op´rateur e e e voire une diminution du degr´ d’exposition global de la banque. e e. Les mod`les internes doivent ˆtre ´troitement int´gr´s ` la gestion journali`re des risques. e e e e e a e f. Le syst`me de mesure des risques doit ˆtre utilis´ conjointement avec les limites op´rationnelles. e e e e g. Un programme rigoureux de simulations de crise doit r´guli`rement compl´ter l’analyse des e e e risques fond´e sur les r´sultats quotidiens des mod`les internes. Lorsque ses conclusions font ap- e e e paraˆıtre une vuln´rabilit´ particuli`re ` un ensemble donn´ de circonstances, des mesures appro- e e e a e pri´es doivent ˆtre prises rapidement pour r´duire ces risques. e e e h. Les ´tablissements doivent disposer d’un programme de v´rification du respect des r`gles e e e et proc´dures internes relatives au fonctionnement du syst`me de mesure des risques. Ce syst`me e e e fait l’objet d’une documentation d´crivant les principes de base et le d´tail des techniques de e e mesure utilis´es. e i. Une analyse ind´pendante du syst`me de mesure des risques doit ˆtre effectu´e r´guli`rement e e e e e e dans le cadre du processus d’un audit interne de l’´tablissement. Elle doit porter ` la fois sur les e a activit´s des unit´s de n´gociation et sur celles de l’unit´ ind´pendante de contrˆle des e e e e e o risques. R´alis´e ` intervalles r´guliers, si possible annuellement, elle doit couvrir au minimum : e e a e – le caract`re ad´quat de la documentation concernant le syst`me et les processus de mesure des e e e risques ; – l’organisation de l’unit´ de contrˆle des risques ; e o – l’int´gration des mesures des risques de march´ dans la gestion journali`re des risques ; e e e – les proc´dures d’agr´ment des mod`les et syst`mes de valorisation ; e e e e – la validation de toute modification significative du processus de mesure des risques ; – la couverture par le mod`le des diff´rents risques de march´ ; e e e – la fiabilit´ et l’int´grit´ du syst`me d’information et des tableaux de bord destin´s aux respon- e e e e e sables ; – la pr´cision et l’exhaustivit´ des donn´es relatives aux positions ; e e e – le contrˆle de la coh´rence, de la mise ` jour et de la fiabilit´ des donn´es utilis´es dans les o e a e e e mod`les internes ainsi que de l’ind´pendance des sources ; e e – l’exactitude et la pertinence des hypoth`ses en mati`re de volatilit´ et corr´lations ; e e e e – la v´rification de la pr´cision des mod`les par le biais d’analyses ex-post fr´quentes. e e e e Plusieurs commentaires peuvent ˆtre faits sur ces crit`res qualitatifs. Tout d’abord, la Commission e e Bancaire insiste fortement sur l’organisation du syst`me des risques et notamment sur l’unit´ de contrˆle. e e o Sans fournir la structure d´sir´e du syst`me, elle indique des signaux forts pour l’unit´ de contrˆle e e e e o concernant son ind´pendance, son pouvoir et sa comp´tence. La Commission Bancaire insiste aussi e e sur la transparence des mod`les. Ils doivent notamment faire l’objet d’une description ´crite d´taill´e et e e e e doivent ˆtre aliment´s par des bases de donn´es fiables. e e e 5.4 Les crit`res quantitatifs e Le choix des mod`les est laiss´ aux ´tablissements financiers. Mais ils doivent respecter un certain e e e nombre de r`gles, qui sont d´crites dans le paragraphe 5 de l’annexe 7 du document [3] : e e 1. La perte potentielle est calcul´e quotidiennement. e 2. Le niveau de confiance unilat´ral requis est de 99%. e 3. Il est appliqu´ un choc instantan´ sur les prix ´quivalent ` une variation sur dix jours correspondant e e e a a ` une p´riode de d´tention de dix jours ouvr´s. e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 30
- 41. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE 4. La p´riode d’observation (´chantillon historique) pour le calcul de la perte potentielle doit ˆtre au e e e minimum d’un an. 5. Les ´tablissements doivent mettre ` jour leurs s´ries de donn´es au moins une fois tous les e a e e trois mois et plus fr´quemment en cas d’accroissement notable des volatilit´s observ´es. e e e 6. Les ´tablissements peuvent prendre en compte les corr´lations empiriques entre tous les fac- e e teurs de risques sous r´serve que le syst`me de mesure de celles-ci soit fiable, appliqu´ de mani`re e e e e int`gre et que la qualit´ des estimations soit suffisante. e e 7. Les mod`les doivent appr´hender avec pr´cision les risques particuliers li´s au caract`re non e e e e e lin´aire du prix des options. e 8. Chaque ´tablissement doit satisfaire, sur une base journali`re, ` l’exigence de fonds propres cor- e e a respondant ` la valeur la plus ´lev´e entre : i) la perte potentielle du jour pr´c´dent ; et ii) la a e e e e moyenne des pertes potentielles sur les soixante derniers jours ouvr´s, ` laquelle est appliqu´ un e a e facteur de multiplication. 9. La Commission Bancaire attribue ` chaque ´tablissement un facteur multiplicatif en fonction de a e la qualit´ de son syst`me de gestion des risques, avec un minimum de 3, le compl´ment ´ventuel, e e e e compris entre 0 et 1, ´tant directement li´ aux performances de son mod`le, ´valu´es a posteriori. e e e e e 10. Lorsque le risque sp´cifique inh´rent aux instruments li´s au taux d’int´rˆt et aux titres de pro- e e e ee pri´t´ n’est pas pris en compte de mani`re satisfaisante dans leurs mod`les, les ´tablissements sont ee e e e assujettis ` une exigence de fonds propres distincte destin´e ` couvrir ce risque calcul´e selon la a e a e m´thodologie standard. e Plusieurs des crit`res pr´c´dents sont discut´s dans la section concernant les aspects m´thodologiques. e e e e e Pour r´sumer, les ´tablissements doivent calculer la perte potentielle quotidiennement pour e e une p´riode de d´tention de 10 jours. Notons cette perte potentielle P (t) ` la date t (jour ouvr´). e e a e A chaque date t, l’´tablissement calcule l’exigence de fonds propres FP (t) de la fa¸on suivante e c 60 1 FP (t) = max P (t − 1) , (3 + ξ) × P (t − i) (5.1) 60 i=1 avec ξ le compl´ment ´ventuel (0 ≤ ξ ≤ 1). Il est donc important de disposer d’une bonne mesure des e e risques (c’est-`-dire de la perte potentielle) puisque celle-ci conditionne totalement l’exigence en fonds a propres. Dans le cadre d’une banque universelle, il est important de veiller ` ce que la mesure a des risques de march´ ne soit ni sur-estim´e, ni sous-estim´e afin de ne pas d´favoriser ou e e e e favoriser l’activit´ Corporate March´ au d´triment des autres activit´s de la banque. De e e e e mˆme, nous pouvons supposer que la Commission Bancaire attribuera automatiquement un coefficient e multiplicateur ´gal ` 4 lorsque la mesure de risque lui sera pr´sent´e pour la premi`re fois. Ce n’est qu’au e a e e e vu du comportement de cette mesure que la Commission Bancaire modifiera ce coefficient et le fixera peut-ˆtre ` 3. Il convient donc de prendre conscience de l’importance des r´flexions men´es en amont sur e a e e la mesure et sur la n´cessit´ de la p´riode de test. e e e Remarque 3 L’exigence en fonds propres est calcul´e pour une p´riode de d´tention de 10 jours. Cepen- e e e dant, cette p´riode de d´tention est ramen´e ` un jour lorsque l’analyse concerne le calcul des exceptions, e e e a c’est-`-dire le backtesting. Il convient donc de bien distinguer ces deux mesures de risque. a Deux points sont importants dans la mise en place du mod`le. Le point 6 pr´cise que nous devons e e prendre en compte l’ensemble des facteurs de march´. Il n’est donc pas n´cessaire de consid´rer chaque e e e produit comme un facteur de march´. Nous pouvons donc effectuer des regroupements (notamment pour e les produits de taux) ` partir de techniques d’analyse de donn´es pour construire ces facteurs. Mais ces a e facteurs pris dans leur ensemble doivent parfaitement refl´ter les possibilit´s de variation des prix. Cela e e s’applique en particuliers aux produits optionnels (point 7). Il n’est pourtant pas pr´cis´ les types de e e non-lin´arit´ que doit appr´hender le mod`le. Il est commun´ment admis que les convexit´s d’ordre 1 et e e e e e e 2 par rapport au prix du sous-jacent (risques de Delta et Gamma) doivent ˆtre pris en compte. Dans e l’annexe 6, il est de plus pr´cis´ que nous devons tenir aussi compte de la sensibilit´ des options ` la e e e a volatilit´ des sous-jacents (risque vega) . Nous pouvons donc supposer que les mod`les de mesure de e e risque des options doivent ˆtre bas´s sur des mod`les qui prennent en compte le smile de volatilit´. Enfin, e e e e ` 5.4. LES CRITERES QUANTITATIFS 31
- 42. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE la Commission Bancaire est assez impr´cise concernant le cinqui`me point. Elle ne pr´cise pas ce qui est e e e consid´r´ comme un accroissement notable de la volatilit´. L’appr´ciation est laiss´e ` la discr´tion de ee e e e a e l’unit´ de contrˆle. e o 5.5 Autres consid´rations e Dans ce paragraphe, nous pr´sentons des points particuliers relatifs aux facteurs de march´, au risque e e sp´cifique et aux simulations de crise. e 5.5.1 D´finition des facteurs de risque de march´ e e D’une mani`re g´n´rale, les grandes cat´gories de facteurs concernent : e e e e Les taux d’int´rˆt ; ee Les cours de change ; Les prix des titres de propri´t´ et de produits de base1 ; ee La volatilit´ des options correspondantes. e Plus pr´cis´ment, la commission Bancaire propose de d´finir les facteurs de risque comme les param`tres e e e e de march´ qui affectent la valeur des positions de n´gociation de l’´tablissement et propose un certain e e e nombre de recommandations : 1. Pour les taux d’int´rˆt, un ensemble de facteurs de risque doit exister pour chaque monnaie. ee – La mod´lisation de la courbe des taux doit faire intervenir plusieurs bandes de maturit´, e e afin d’appr´hender la variation de la volatilit´ des taux tout au long de l’´ch´ancier ; ` chaque e e e e a bande correspond au moins un facteur de risque. – Le syst`me de mesure doit inclure des facteurs distincts destin´s ` saisir le risque li´ aux e e a e ´carts de taux entre types d’instruments et/ou cat´gories d’´metteurs. e e e 2. Pour les cours de change, on doit pr´voir e des facteurs correspondant au cours contre monnaie nationale de chaque devise. 3. Les facteurs de risque doivent exister pour chacun des march´s de titres de propri´t´. Au minimum, e ee un facteur de risque doit appr´hender les fluctuations des prix d’un march´ donn´ (indice de march´). e e e e Une m´thode plus d´taill´e consiste ` d´finir des facteurs de risque correspondant aux diff´rents e e e a e e secteurs du march´. L’approche la plus compl`te consiste ` retenir comme facteurs de risque les e e a titres sp´cifiques. e 4. Pour les produits de base, un facteur de risque unique peut ˆtre admis lorsque les positions sont e faibles. En cas d’activit´ plus importante, les mod`les doivent tenir compte des diff´rences entre e e e qualit´s du mˆme produit et maturit´s. e e e 5. Pour les options, on doit tenir compte de facteurs de risque appr´hendant la volatilit´ des taux/prix/- e e cours sous-jacents. Lorsque les positions sont importantes ou lorsque l’actif conditionnel est com- plexe, on doit utiliser des volatilit´s diff´renci´es en fonction des ´ch´ances et le cas ´ch´ant des e e e e e e e prix d’exercice. Ce dernier point est important, puisque la Commission Bancaire pr´cise comment doit ˆtre pris en e e compte le risque de volatilit´. D’une mani`re g´n´rale, l’aspect volatility skew 2 doit ˆtre int´gr´ dans e e e e e e e 1 Les risques de march´ concernent aussi les produits sur mati`res premi`res. Cela apparaˆ clairement dans l’actualisation e e e ıt du 31 d´cembre 1998 (r´f´rence [4]) : e ee Enfin, par instruments sur produits de base, il faut comprendre tous contrats ` terme ou d’´change, a e toutes options achet´es ou tous produits d´riv´s similaires ayant pour sous-jacents des contrats sur produits e e e ´nerg´tiques, productions agricoles ou m´taux non ferreux (par exemple aluminium, cuivre et zinc), ainsi que e e e les autres m´taux non pr´cieux. e e 2 La notion de volatility skew (ou volatility smile) correspond au fait que la volatilit´ implicite des options de mˆme e e maturit´ n’est pas constante et qu’elle d´pend des prix d’exercice. Si nous repr´sentons sur un graphe la volatilit´ en e e e e fonction du prix d’exercice, nous obtenons une courbe qui ressemble souvent ` un sourire. a INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 32
- 43. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE le mod`le. Il est aussi int´ressant de remarquer la construction du troisi`me point. A sa lecture, la e e e meilleure m´thode consisterait ` prendre en compte la totalit´ des prix de titres pour d´finir les facteurs e a e e de risque. Cependant, ce type d’approche pose des probl`mes statistiques importants li´s ` la th´orie de e e a e convergence des estimateurs, de telle sorte que, concr`tement, une application ` la lettre du point 3 peut e a ˆtre dangereuse. e 5.5.2 Traitement du risque sp´cifique e Nous rappelons que le risque sp´cifique vise ` tenir compte du risque de contrepartie li´ ` l’´metteur e a ea e de l’instrument (document [2], page 9). Les mod`les internes, qui prennent en compte ce risque sp´cifique, e e doivent satisfaire les crit`res suivants : e – Le mod`le est apte ` expliquer ex ante les variations historiques des valeurs du portefeuille, e a – il fournit la preuve de sa sensibilit´ au risque de concentration dans la composition du portefeuille, e – sa fiabilit´ de fonctionnement demeure bonne dans un environnement adverse, e – la qualit´ de ses performances est justifi´e par un contrˆle ex-post (backtesting), e e o – la m´thodologie sous-jacente doit ˆtre en mesure de prendre en compte le risque d’´v´nements e e e e impr´visibles (OPA, OPE, etc.) ainsi que le risque de d´faillance de l’´metteur. e e e La cons´quence imm´diate de la non prise en compte du risque sp´cifique dans le mod`le est que e e e e ... les exigences de fonds propres pour la couverture du risque sp´cifique feront l’objet e d’une surcharge en capital. Le mode de calcul de l’exigence de fonds propres est relativement peu clair dans ce cas (voir page 53 du document [3]). N´anmoins, la Commission bancaire fournit la formule suivante : e – soit 3×(VaR globale) + (VaR risque sp´cifique du portefeuille global), e – soit 3×(VaR globale) + (VaR des sous-portefeuilles contenant du risque sp´cifique). e Il est difficile de faire le lien entre cette formule et la formule (5.1). Dans l’actualisation du 31 d´cembre e 1998 (r´f´rence [4]), la Commission Bancaire est encore moins pr´cise sur le risque sp´cifique puisque le ee e e paragraphe traitant de ce sujet se r´duit ` “une peau de chagrin”. N´anmoins, nous pouvons penser que e a e le coefficient 3 est en fait le coefficient multiplicatif 3 + ξ. En notant VaR sp la VaR du risque sp´cifique e (c’est-`-dire la VaR risque sp´cifique du portefeuille global ou la VaR des sous-portefeuilles contenant du a e risque sp´cifique), il est possible que la vraie formulation soit e 60 60 1 1 FP (t) = max P (t − 1) + VaR sp (t − 1) , (3 + ξ) × P (t − i) + VaR sp (t − i) (5.2) 60 i=1 60 i=1 Il est int´ressant de noter que la Commission Bancaire fait explicitement r´f´rence ` la VaR (Value-at- e ee a Risk) que nous pouvons traduire sous le terme de “valeur en risque”. Mˆme si cela n’est pas affirm´ e e parfaitement, la m´thode interne de r´f´rence est clairement la VaR. e ee 5.5.3 Simulations de crise Nous rappelons que les simulations de crise font partie des normes g´n´rales d’acceptation de la m´thode e e e interne. C’est donc un point important dans la mise en place d’un mod`le interne. Celles-ci font d’ailleurs e l’objet d’un paragraphe dans le texte de la Commission Bancaire. 7 points sont alors ´voqu´s : e e 1. Les ´tablissements... doivent se doter d’un programme de simulations de crise ` la fois ri- e a goureux et complet. Ces simulations, qui permettent d’identifier les ´v`nements susceptibles d’avoir e e une forte incidence, constituent un ´l´ment-cl´ de l’´valuation du niveau des risques. ee e e 2. Elles doivent couvrir toute la gamme des facteurs, y compris les ´v´nements ` probabilit´ r´duite. e e a e e Elles doivent aussi rendre compte de l’impact de ces ´v´nements sur les produits lin´aires et non e e e lin´aires. e 3. Les simulations de crise doivent revˆtir un caract`re quantitatif et qualitatif. En outre, l’´tablissement e e e doit dresser l’inventaire des mesures ` prendre pour r´duire ses risques et pr´server son capital. Leurs a e e conclusions doivent ˆtre communiqu´es syst´matiquement ` la direction g´n´rale, et p´riodiquement, e e e a e e e au conseil d’administration. ´ 5.5. AUTRES CONSIDERATIONS 33
- 44. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE 4. L’exercice prudentiel consiste ` tester sur le portefeuille courant des situations pass´es de pertuba- a e tions majeures, en tenant compte des fortes variations de prix et de la vive r´duction de la liquidit´ e e associ´es ` ces ´v´nements et/ou ` ´valuer la sensibilit´ des positions de march´ aux modifications e a e e ae e e des hypoth`ses de volatilit´ et corr´lations, ce qui n´cessite une mesure des marges de fluctuations e e e e de ces valeurs dans le pass´ et un calcul sur la base des chiffres extrˆmes. e e 5. Ces sc´narios doivent notamment comprendre les situations que l’´tablissement identifie comme e e ´tant les plus d´favorables, sur la base des caract´ristiques de son portefeuille. e e e 6. La Commission Bancaire peut demander ` l’´tablissement d’´valuer l’impact de sc´narios qu’elle a a e e e d´finis et de lui communiquer l’ensemble des conclusions. e 7. Les r´sultats doivent ˆtre revus ` intervalles r´gulier par la Direction G´n´rale et ˆtre pris en e e a e e e e compte dans la d´finition des limites et strat´gies fix´es. En outre, si la simulation fait apparaˆ e e e ıtre une vuln´rabilit´ particuli`re ` un ensemble donn´ de circonstances, l’´tablissement doit prendre e e e a e e rapidement les mesures n´cessaires ` une gestion ad´quate de ces risques. e a e Nous voyons ici l’importance de la direction g´n´rale dans le syst`me de gestion des risques. Celle-ci e e e doit ˆtre continuellement inform´e. Il est int´ressant de noter que le cœur du mod`le interne doit ˆtre e e e e e bas´ sur les ´v´nements extrˆmes. Le mod`le doit donc bien mesurer une perte potentielle, un risque e e e e e extrˆme. Enfin, nous devons aussi remarquer l’importance de la Commission Bancaire qui, si elle le e d´sire, peut intervenir et demander ` l’´tablissement de chiffrer des sc´narios. e a e e 5.6 Dispositif prudentiel de contrˆle ex post li´ ` l’utilisation des o ea mod`les internes e Les contrˆles ex post visent ` s’assurer que le degr´ de couverture observ´ correspond o a e e bien au niveau de confiance de 99%. Voici quelques ´l´ments pour mener ` bien ces contrˆles : ee a o 1. Ils sont r´alis´s ` partir des r´sultats r´els et/ou hypoth´tiques. e e a e e e 2. Ils sont r´alis´s au moins trimestriellement et les donn´es des douze derniers mois glissants doivent e e e ˆtre utilis´es. e e Ces contrˆles permettent notamment de calculer les exceptions. Une exception correspond ` une date o` o a u la perte d´passe le risque calcul´ par le mod`le. La Commission Bancaire utilise le nombre d’exceptions e e e pour valider le mod`le et pour d´terminer le coefficient multiplicateur (3 + ξ). Elle d´finie le concept de e e e probabilit´ cumul´e des exceptions comme la probabilit´ d’obtenir au maximum le nombre d’exceptions e e e indiqu´ avec un taux de couverture effectif de 99%. Voyons de fa¸on concr`te comment le calcul est e c e effectu´. Si κ d´signe la variable qui prend la valeur 1 dans le cas d’une exception, alors κ est une variable e e 1 al´atoire de Bernoulli de param`tre p = 100 (nous avons une chance sur 100 pour que κ corresponde ` une e e a exception lorsque le taux effectif de couverture est de 99%). Si on consid´re une p´riode [t1 , t2 ] comprenant e e N jours ouvr´s. Pendant cette p´riode, et sous l’hypoth`se que les ´v´nements sont ind´pendants, la e e e e e e probabilit´ d’avoir n exceptions est ´gale ` e e a N −n Pr (X = n) = CN pn (1 − p) n avec X la variable al´atoire correspondant au nombre d’exceptions pour la p´riode [t1 , t2 ]. X correspond e e N bien sˆr ` une variable al´atoire Binomiale Bp . La probabilit´ cumul´e d’avoir n exceptions a donc pour u a e e e expression n N −i Pr (X ≤ n) = CN pi (1 − p) i i=1 La Commission Bancaire d´finit alors trois zones pour ´valuer les r´sultats des contrˆles ex post et pour e e e o appliquer le compl´ment ´ventuel au coefficient multiplicateur 3 : e e Zone D´finition de la zone e Valeur de ξ Verte Pr (X ≤ n) < 95% 0 Orange Pr (X ≤ n) < 99.99% 0–1 Rouge Pr (X ≤ n) ≥ 99.99% 1 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 34
- 45. ´ CHAPITRE 5. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE A titre d’illustration, nous reproduisons le tableau de la Commission Bancaire pour N ´gal ` 250 jours e a ouvr´s. e Zone Nombre n Probabilit´ (en %) e Probabilit´ cumul´e e e Majoration du facteur d’exceptions Pr (X = n) Pr (X ≤ n) de multiplication 0 8.1059 8.1059 0.00 1 20.469 28.575 0.00 Verte 2 25.742 54.317 0.00 3 21.495 75.812 0.00 4 13.407 89.219 0.00 5 6.663 95.882 0.40 6 2.748 98.630 0.50 Orange 7 0.968 99.597 0.65 8 0.297 99.894 0.75 9 0.081 99.975 0.85 Rouge 10+ 0.020 99.995 1.00 Le graphique (5.1) repr´sente le nombre critique d’exceptions pour la d´termination des fronti`res des e e e zones verte, orange et rouge. La lecture du graphique est la suivante : Par exemple, pour 500 jours ouvr´s, e la zone verte est defini pour un nombre d’exceptions inf´rieur ou ´gal ` 8, la zone orange va de 9 ` 14 e e a a exceptions et la zone rouge commence ` 15 exceptions. Toutefois, la Commission Bancaire ne pr´cise pas a e GRAPHIQUE 5.1. BIS Colour frequency (taux de couverture de 99%) comment est calcul´ la majoration du facteur multiplicatif dans la zone orange. Elle pr´cise n´anmoins e e e que celles-ci ne sont toutefois pas destin´es ` ˆtre appliqu´es de fa¸on purement automatique, e a e e c plusieurs ´l´ments d’information pouvant ˆtre pris en compte pour compl´ter l’´valuation. ee e e e Remarque 4 La position de la Commission Bancaire n’est pas tr`s claire sur le facteur multiplicateur. e Nous avons vu dans le paragraphe consacr´ aux crit`res qualitatifs que le degr´ de conformit´ ` ces e e e e a ˆ ´ ` ` 5.6. DISPOSITIF PRUDENTIEL DE CONTROLE EX POST LIE A L’UTILISATION DES MODELES 35 INTERNES
- 46. crit`res peut conditionnerle niveau de multiplicateur. Ici, nous avons l’impression que ce niveau est e presque enti`rement d´termin´ par la proc´dure de backtesting. e e e e L’actualisation du 31 d´cembre 1998 permet de pr´ciser et de modifier certains points. En premier e e lieu, le backtesting porte sur la Valeur en Risque sur un jour, et non sur la Valeur en Risque pour une p´riode de d´tention de 10 jours. Ensuite, les contrˆles doivent porter sur les 250 derniers jours e e o ouvrables. Cela est important, car si nous supposons que les “douze derniers mois” correspondent ` 260 a jours, les zones sont d´finies diff´rement ` cause du caract`re escalier de la loi Binomiale : e e a e Zone N = 250 N = 260 Verte moins de 5 exceptions moins de 6 exceptions Orange entre 5 et 9 exceptions entre 6 et 10 exceptions Rouge plus de 10 exceptions plus de 11 exceptions Enfin, les exceptions doivent ˆtre communiqu´es ` la Commission Bancaire : e e a Afin de permettre ` la Commission Bancaire de v´rifier en permanence l’ad´quation du facteur a e e compl´mentaire, l’´tablissement informe sans d´lai et, en tout ´tat de cause, dans les cinq e e e e jours ouvrables, le Secr´tariat G´n´ral de la Commission Bancaire, des d´passements r´v´l´s e e e e e ee par leur programme de contrˆle ex-post qui, en fonction du tableau ci-dessus, impliqueraient o un rel`vement du facteur compl´mentaire. e e Bibliographie [1] Capital Adequacy Directive (CAD), directive 93/6/CEE du CONSEIL du 15 mars 1993 sur l’ad´quation des fonds propres des entreprises d’investissement et des ´tablissements de cr´dit, Journal e e e Officiel des Communaut´s Europ´ennes, N◦ L 141/1-26 e e [2] La surveillance prudentielle des risques de march´ support´s par les ´tablissements de cr´dit, Com- e e e e mission Bancaire, Service des ´tudes bancaires, article pour la Revue d’Economie Financi`re, 26 juin e e 1996 [3] Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 1997, Commission e e e Bancaire, Cellule de contrˆle des Risques de march´, 3 novembre 1997 o e [4] Modalit´s de Calcul du Ratio de Solvabilit´ — Actualisation au 31 d´cembre 1998, Commission e e e Bancaire, Secr´tariat G´n´ral, Service des Affaires Internationales, 30 d´cembre 1998 e e e e
- 47. 6 La valeur enrisque 6.1 D´finition e La Valeur en Risque, plus connue sous le nom anglais Value-at-Risk ou VaR, est une mesure de la perte potentielle qui peut survenir ` la suite de mouvements adverses des prix de march´. Elle permet a e de r´pondre ` la question suivante : e a Combien l’´tablissement financier peut-il perdre e avec une probabilit´ α pour un horizon de temps T fix´ ? e e Deux ´l´ments sont donc indispensables pour interpr´ter le chiffre VaR (qui permet de donner une vision ee e globale du risque de march´ d’un portefeuille) : e 1. la p´riode de d´tention T ou holding period qui correspond ` la p´riode sur laquelle la variation de e e a e valeur du portefeuille est mesur´e ; e 2. le seuil de confiance α du chiffre VaR qui correspond ` la probabilit´ de ne pas d´passer cette a e e mesure du risque. Si ces deux param`tres ne sont pas sp´cifi´s, nous ne pouvons pas interpr´ter le chiffre VaR, car un risque e e e e a ` 10 jours avec une probabilit´ de 99% est beaucoup plus important qu’un risque ` 1 jour avec une e a probabilit´ de 90%. Dans le premier cas, nous avons une chance sur 100 que la perte r´alis´e pour les e e e 10 prochains jours ouvr´s soit sup´rieure ` celle estim´e par la VaR. Dans le second cas, nous avons une e e a e chance sur 10 que la perte r´alis´e demain soit plus grande que la VaR. Avec la mesure VaR, on passe e e donc d’une mesure de risque comme volatilit´ ` une mesure de risque comme quantile. ea Il faut bien avoir ` l’esprit que la mesure VaR ne donne une image du risque que dans le cadre de a conditions normales de march´ et pour un niveau de confiance inf´rieur ou ´gal ` 99% (dans le cas de la e e e a r´glementation). Pour avoir une mesure du risque extrˆme, d’autres techniques sont plus adapt´es : les e e e m´thodes de stress testing — pr´sent´es au chapitre 7 — et la th´orie des valeurs extrˆmes — pr´sent´es e e e e e e e a ` la section 7.5 — permettent de mieux appr´hender les risques extrˆmes. e e Pour calculer la VaR, nous devons identifier les facteurs de march´ qui affectent la valeur du portefeuille. e Le nombre de ces facteurs peut ˆtre plus ou moins grand, mais d´pend g´n´ralement du type de march´ e e e e e consid´r´. En pratique, nous pouvons obtenir les facteurs de march´ en d´composant les instruments du ee e e portefeuille en instruments de base (par exemple, nous pouvons d´composer un portefeuille de contrats e forward en un portefeuille ´quivalent d’obligations ` coupon z´ro). Le calcul de la VaR d´pend alors e a e e de la m´thodologie utilis´e. D’une mani`re g´n´rale, nous avons le choix entre trois grandes familles de e e e e e m´thodes : e 1. la VaR analytique (ou param´trique) ; e
- 48. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE 2. la VaR historique (ou non param´trique) ; e 3. la VaR Monte-Carlo. Ces trois m´thodes utilisent les donn´es du pass´ pour estimer les variations potentielles de la valeur du e e e portefeuille dans le futur proche. Cela suppose implicitement que ce futur se comporte comme le pass´ : e nous supposons donc que la variation de la valeur du portefeuille est stationnaire. Nous comprenons pourquoi l’approche Value-at-Risk n’est pertinente que dans des conditions normales de march´ (` moins e a que les donn´es utilis´es aient ´t´ collect´es pendant des p´riodes anormales). e e ee e e 6.1.1 La VaR analytique (ou param´trique) e Dans le mod`le de VaR param´trique, nous supposons que la valeur alg´brique d’un portefeuille est e e e repr´sent´e par une combinaison lin´aire de K facteurs gaussiens. Notons P (t) la valeur du portefeuille ` e e e a l’instant et F (t) le vecteur gaussien des facteurs de loi N (µ, Σ). La valeur du portefeuille en t vaut alors P (t) = a F (t) avec a le vecteur de sensibilit´s. A la p´riode t, la valeur de P (t + 1) n’est pas connue e e puisque nous ne disposons que de l’information jusqu’en t. En t, P (t + 1) est donc une variable al´atoire e gaussienne de loi N a µ, a Σa . La valeur de la VaR pour un seuil de confiance α correspond alors ` a Pr {P (t + 1) − P (t) ≥ −VaR α } = α (6.1) Dans cette ´quation, P (t + 1)−P (t) repr´sente la variation du portefeuille entre l’instant t+1 et l’instant e e t. C’est donc une perte si la valeur r´alis´e du portefeuille dans un jour est inf´rieure ` la valeur actuelle du e e e a portefeuille. Comme la VaR repr´sente la perte potentielle que l’on s’autorise et que celle-ci est exprim´e e e en valeur absolue, Pr {P (t + 1) − P (t) ≥ −VaR α } est la probabilit´ que la perte ne d´passe pas la VaR e e (ou perte potentielle). Par d´finition, cette probabilit´ est notre seuil de confiance α. Lorsque la p´riode e e e de d´tention n’est pas 1 jour mais T jours, la mesure de VaR se d´finit ` partir de la relation suivante : e e a Pr {P (t + T ) − P (t) ≥ −VaR α } = α (6.2) Comme nous savons que P (t + 1) est gaussien, nous en d´duisons que e P (t + 1) − a µ Pr √ ≥ Φ−1 (1 − α) =α (6.3) a Σa avec Φ−1 la fonction gaussienne inverse. Or nous avons Φ−1 (1 − α) = −Φ−1 (α) avec Φ−1 (α) le quantile a ` α% de la loi gaussienne. Un rapide calcul montre que √ VaR α = P (t) − a µ + Φ−1 (α) a Σa (6.4) Lorsque les facteurs F mod´lisent directement la variation du portefeuille, la mesure VaR devient e √ VaR α = Φ−1 (α) a Σa − a µ (6.5) En g´n´ral, nous supposons que µ = 0, et nous avons finalement e e √ VaR α = Φ−1 (α) a Σa (6.6) Cette m´thode de calcul de la VaR est appel´e la m´thode de variance–covariance, puisqu’elle d´rive e e e e directement de la matrice de covariance Σ des facteurs. √ La relation (6.6) s’interpr`te tr`s facilement ; a Σa est en fait l’´cart-type de la variation du por- e e e tefeuille : nous pouvons l’assimiler ` un risque-volatilit´ (par r´f´rence ` la th´orie du portefeuille de a e ee a e Markowitz) ; Φ−1 (α) est un coefficient que nous notons c ; nous avons donc une relation lin´aire entre le e risque-volatilit´ et la perte potentielle : e VaR = c×risque-volatilit´ e A titre d’illustration, c prend la valeur 2.33 pour une seuil de confiance α = 99%. Dans ce cas, la VaR correspond au risque-volatilit´ multipli´ par ce facteur 2.33. A noter que lorsque les facteurs de march´ e e e correspondent directement aux variations de prix des actifs du portefeuille, le vecteur α est le vecteur des composantes du portefeuille. Avant de d´velopper dans la section 6.2 des ´l´ments de r´flexion sur la pertinence de la m´thode et sur e ee e e le p´rim`tre de validit´, nous pouvons noter tout de suite que cette m´thode repose sur trois hypoth`ses : e e e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 38
- 49. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE 1. l’ind´pendance temporelle des variations de la valeur du portefeuille ; e 2. la normalit´ des facteurs F (t) ; e 3. et la relation lin´aire entre les facteurs et la valeur du portefeuille. e Ces trois hypoth`ses simplifient le calcul de la VaR, puisque les quantiles de a F (t) sont li´s de fa¸on e e c lin´aire au quantile de la loi normale ` une dimension. La principale difficult´ de cette m´thode est e a e e d’estimer la matrice de covariance et de d´terminer les sensibilit´s. e e Nous pouvons montrer que l’expression (6.6) de la VaR obtenue pour une p´riode de d´tention d’un e e jour peut se g´n´raliser ` une p´riode de d´tention de T jours. Dans ce cas, Σ repr´sente la matrice de e e a e e e covariance des facteurs pour T jours. Nous rappelons que la p´riode de d´tention r´glementaire est fix´e e e e e a ` 10 jours. Les autorit´s r´glementaires autorisent de calculer une √ e e VaR pour une p´riode de d´tention de e √ e 1 jour et de la convertir en une VaR ` 10 jours en multipliant par 10. Ce coefficient T n’est autre que a ce qu’on d´nomme le scaling factor 1 . e Enfin, nous rappelons que cette m´thode n’est utilisable que pour les produits lin´aires car e e elle ne prend pas en compte le caract`re non-lin´aire des positions (risque Gamma par exemple). Aussi, e e le calcul d’une VaR param´trique pour un portefeuille d’options n’est pas adapt´ (voir la section 6.3 e e consacr´ au produit optionnels). e 6.1.2 La VaR historique (ou non param´trique) e Contrairement ` la VaR param´trique, la VaR historique est enti`rement bas´e sur les variations a e e e historiques des facteurs de risque F (t). Supposons que nous disposions d’un historique de longueur N . En t0 , nous pouvons valoriser le portefeuille avec les facteurs de risque de l’historique. Cela veut dire que nous calculons pour chaque date t = {t0 − 1, . . . , t − N } une valeur (potentielle) du portefeuille. Nous pouvons alors d´terminer N variations potentielles, que nous assimilons ` N pertes potentielles e a (certaines pertes sont en fait des gains). Ainsi, ` partir de l’historique, nous construisons implicitement a une distribution empirique. De celle-ci, nous pouvons extraire le quantile ` α%. Il suffit pour cela de a ranger les N pertes potentielles et de prendre la valeur absolue de la N × (1 − α) i -i`me plus petite e valeur. Voyons un exemple. Nous supposons que les pertes potentielles P sont ordonn´es. Nous obtenons e alors un ensemble {P1 , . . . , Pn , . . . , PN } avec Pn ≤ Pm quelque soit n < m. Pour un seuil de confiance de 99%, la VaR correspond ` la premi`re perte potentielle |P1 | si N = 100, ` la dixi`me perte potentielle a e a e |P10 | si N = 1000, etc. Lorsque N × (1 − α) n’est pas un entier, dans ce cas, la VaR est calcul´e par e interpolation : VaR = |Pn + (N × (1 − α) − n ) (Pn +1 − Pn )| (6.7) avec n = N × (1 − α) l’entier inf´rieur le plus proche de N × (1 − α) (arrondi de type floor ). Par e exemple, si nous consid´rons un historique de 250 jours et un intervalle de confiance de 99%, nous avons e 1 VaR = P2 + (P3 − P2 ) (6.8) 2 Il est g´n´ralement admis que la VaR historique n’impose pas d’hypoth`ses a priori sur la loi de e e e distribution des facteurs F (t) ` la diff´rence de la m´thode param´trique. Mais il est quand mˆme a e e e e n´cessaire d’avoir un mod`le sous-jacent pour estimer les facteurs pour l’historique de longueur N . Cela e e explique que les VaRs historiques sont principalement appliqu´s avec des facteurs de march´ qui sont e e exactement les variations des actifs (dans ce cas, nous avons autant d’actifs que de facteurs). Cette m´thode est vraiment tr`s simple conceptuellement et facile ` impl´menter. Elle est donc tr`s e e a e e utilis´e. Cependant, elle pr´sente quelques difficult´s. En effet, l’estimation d’un quantile a une vitesse de e e e convergence beaucoup plus faible que les estimateurs de la moyenne, de la variance, de la m´diane, etc. e Cela tient au fait que l’estimation d’un quantile est une estimation locale qui demande donc beaucoup 1 Voir le paragraphe 6.2.5 consacr´ au probl`me du scaling factor. e e ´ 6.1. DEFINITION 39
- 50. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE d’observations afin d’en avoir suffisament autour du quantile. Le graphique (6.1) est une illustration de ce probl`me. Consid´rons un portefeuille compos´ d’une position longue sur un seul actif. Nous supposons e e e que les variations du prix de cet actif sont gaussiennes, centr´es autour de la valeur z´ro et de variance e e ´gale ` 1. Nous cherchons ` calculer la perte potentielle du portefeuille en employant la VaR historique. e a a Cela revient ` calculer le quantile qN (α) des N variations de prix historiques. Sur le graphique, nous a avons consid´r´ plusieurs valeurs de α et N . Nous mettons en ´vidence que l’estimateur qN (α) converge ee e plus rapidement lorsque le nombre d’observations croˆ De plus, la puissance de cet estimateur d´pend ıt. e de α. Cela peut se comprendre ais´ment. Nous avons vu que l’estimation du quantile revient ` trouver e a la valeur optimale n = N × (1 − α) . Cela revient aussi ` chercher n tel que pour n − 1 la fr´quence a e soit sup´rieure ` α et pour n + 1 la fr´quence soit inf´rieure ` α. Si ces deux probabilit´s sont proches de e a e e a e α, l’erreur d’estimation sur le quantile est faible. Sinon, l’erreur peut ˆtre tr`s importante. Pour illustrer e e ceci, nous consid´rons les tableaux suivants : e Quantile associ´ ` ea N n n n −1 n +1 100 1 99 100 98 1000 10 99 99.1 98.9 10000 100 99 99.01 98.99 1000000 10000 99 99.0001 98.9999 Quantile associ´ ` ea N n n n −5 n +5 100 1 99 100 94 1000 10 99 99.5 98.5 10000 100 99 99.05 98.95 1000000 10000 99 99.0005 98.9995 GRAPHIQUE 6.1. Estimation d’un quantile et erreur de second type Nous voyons donc ` quel quantile serait associ´ la n -i`me position si nous ´liminions la donn´e n − 1 a e e e e ou n + 1 de la base de donn´es. Dans le mˆme genre d’id´e, la quatri`me figure du graphique (6.1) e e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 40
- 51. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE montre comment ´volue la probabilit´ d’estimer un quantile avec une erreur de plus ou moins 10%. Le e e probl`me est le mˆme que celui consid´r´ pr´c´demment. Nous voyons bien que cette probabilit´ “de e e ee e e e confiance” croˆ avec le nombre d’observations. Et il est int´ressant de remarquer la diff´rence entre le ıt e e seuil de confiance de 99% et les autres seuils de confiance. Remarque 5 Si les autorit´s de r´gulation d´cident d’augmenter le seuil de confiance, cela aura un im- e e e pact tr`s important sur la gestion des bases de donn´es, qui devront ˆtre plus longues. A titre d’illustration, e e e il n’est pas possible d’estimer une VaR historique ` 99.9% avec moins de 1000 observations. a 6.1.3 La VaR Monte-Carlo La VaR Monte-Carlo est bas´e sur la simulation des facteurs de march´ F (t) dont on se donne une e e loi de distribution a priori, de pr´f´rence admissible avec l’historique. Nous pouvons alors valoriser le ee portefeuille avec les facteurs simul´s. Si nous utilisons N simulations, nous pouvons alors d´terminer N e e variations simul´es du portefeuille, que nous assimilons ` N pertes potentielles. Il suffit ensuite de calculer e a le quantile correspondant tout comme pour la m´thode de la VaR historique. Les deux m´thodes sont e e donc tr`s semblables. La seule diff´rence est que l’une des m´thodes utilise les facteurs pass´s, alors que e e e e l’autre utilise des facteurs simul´s. Une autre diff´rence concerne la taille N de l’´chantillon pour la calcul e e e du quantile, qui n’est pas contraint dans le cas de la VaR Monte-Carlo. A titre d’illustration, le sch´ma 6.2 montre les diff´rentes ´tapes de l’algorithme lorsque les facteurs e e e de march´ correspondent aux variations des prix des actifs. Cette m´thode est tr`s int´ressante, puisque e e e e nous pouvons calculer directement la VaR pour une p´riode de d´tention de T jours mˆme si les facteurs e e e de march´ correspondent ` une p´riode de 1 jour. e a e Il faut cependant noter que cette m´thode n´cessite un ordinateur tr`s performant car elle est coˆteuse e e e u en temps de calcul (elle convient difficilement au calcul journalier d’une VaR pour un nombre trop grand d’actifs). De plus, elle demande un effort important de mod´lisation puisque celle-ci d´terminera e e enti`rement les trajectoires des facteurs de march´ que l’on utilise pour le calcul de la VaR. e e 6.1.4 Pertinence des mesures VaRs Nous avons vu que la VaR param´trique ne convenait pas pour les portefeuilles d’options. Toutes les e mesures ne sont donc pas pertinentes pour n’importe quel type de portefeuille. Le tableau suivant montre le p´rim`tre d’utilisation des VaRs en fonction de la normalit´ des facteurs de march´ et de la lin´arit´ e e e e e e du portefeuille : Normalit´ des facteurs e Instruments lin´aires e Oui Non Param´trique e Oui Monte-Carlo Historique Historique Monte-Carlo Non Historique Historique source : Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu [1997] A noter que nous pouvons aussi utiliser la m´thode de Monte Carlo lorsque les facteurs ne sont pas e normaux, mais dans ce cas, elle peut ˆtre extrˆmement difficile ` mettre en place si elle pr´sente des e e a e sp´cificit´s importantes. e e ´ 6.1. DEFINITION 41
- 52. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE ' $ Nous notons : ∆P (t1 , t2 ) la variation du portefeuille entre les p´riodes t1 et t2 e F (t) le vecteur des variations des prix des actifs T la p´riode de d´tention e e t0 la date actuelle S la m´thode de simulation bas´e sur le mod`le M e e e Nous d´finissons 2 processus de simulation : e ˜ ST permet de simuler F (t + T ) directement ` partir du vecteur F (t) a ˜ S1 permet de simuler F (t + 1) ` partir du vecteur F (t) a ST F (t0 ) ˜ F1 (t0 + T ) ˜ ∆P1 (t0 , t0 + T ) . . . N simulations F (t0 ) ˜ N (t0 + T ) F ˜ ∆PN (t0 , t0 + T ) ˜ ˜ ∆P1 (t0 , t0 + T ) , . . . , ∆PN (t0 , t0 + T ) =⇒ calcul du quantile α = VaR T jours S1 F (t0 ) ˜ F1 (t0 + 1) ˜ F1 (t0 + 2) ... ˜ F1 (t0 + T ) ˜ ∆P1 (t0 , T ) . . . N simulations F (t0 ) ˜ N (t0 + 1) F ˜ FN (t0 + 2) ... ˜ FN (t0 + T ) ˜ ∆PN (t0 , T ) ˜ ˜ ∆P1 (t0 , t0 + T ) , . . . , ∆PN (t0 , t0 + T ) =⇒ calcul du quantile α = VaR T jours Remarque : Pour calculer la VaR T jours, nous pouvons aussi calculer la VaR 1 jour avec le √ processus de simulation ST et convertir celle-ci en VaR T jours avec la m´thode T rule. e & % GRAPHIQUE 6.2. Une illustration de la m´thode de Monte-Carlo e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 42
- 53. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE 6.2 Quelques r´flexions sur la VaR e 6.2.1 L’interpr´tation du seuil de confiance α e Le seuil de confiance α est l’un des deux param`tres qui permettent de d´finir la VaR (l’autre ´tant e e e la p´riode de d´tention). Celui-ci est fix´ ` 99% par les autorit´s r´glementaires. Cela veut dire que la e e ea e e probabilit´ que la perte r´alis´e soit sup´rieure ` la perte pr´vue est de 1%. Cela doit donc se produire e e e e a e th´oriquement une p´riode toutes les cent p´riodes. Comme la p´riode de d´tention est de 10 jours, e e e e e nous disons commun´ment que nous avons alors 1 retour tous les 4 ans (car 100 p´riodes × 10 jours = e e 1000 jours de trading quatre ann´es calendaires2 ). e La notion de seuil de confiance est utilis´e en statistique depuis fort longtemps. Elle est fortement e associ´e ` la notion de probabilit´. Depuis la fin de la seconde guerre mondiale, de nombreux travaux e a e (Savage, De Finnetti, l’´cole Bay´sienne, etc.) ont vu le jour et ont fortement modifi´ la notion de e e e probabilit´s objectives et la vision fr´quentiste de la th´orie de l’estimation fonctionnelle 3 . Sans rentrer e e e dans les d´tails des th´ories associ´es ` la notion de probabilit´ subjective, l’id´e g´n´rale est la suivante : e e e a e e e e Existe-t-il une classe d’ordre sur les probabilit´s ? e Il existe un exemple fort c´l`bre qui consiste ` demander ` une personne : ee a a – “Si vous savez que vous avez une probabilit´ de 5% de gagner ` la prochaine loterie nationale, e a prenez-vous le risque de jouer ?” – “Si vous ˆtes directeur d’une centrale nucl´aire et que vous savez qu’il y a une probabilit´ de 5% e e e qu’il se produise un incident, continuez-vous ` faire fonctionner cette centrale nucl´aire ?” a e Derri`re la notion de seuil de confiance, il y a l’id´e que la probabilit´ que l’´v`nement survienne est trop e e e e e faible pour que cet ´v`nement se r´alise effectivement. Cette probabilit´ devient une simple “mesure e e e e d’incertitude, pouvant varier avec les circonstances et l’observateur”. Cela a conduit ` de nombreux a d´bats en statistique sur la pertinence de cette notion. e Du point de vue des instances r´glementaires, nous pouvons parfaitement comprendre l’utilisation de e ce seuil de confiance qui apparaˆ alors comme une fonction d’utilit´ ; la fonction d’utilit´ des autorit´s de ıt e e e r´gulation correspond alors un probl`me de minimisation du nombre de faillites. On s’autorise ainsi un e e certain nombre de faillites qui ne doit pas d´passer ce fameux 1%. Ce seuil de confiance s’interpr`te donc e e comme une fr´quence. Du point de vue de l’´tablissement financier, la fonction d’utilit´ est sˆrement e e e u tr`s diff´rente. Il faut donc bien comprendre que ce seuil de confiance peut parfaitement changer dans le e e futur, si les pr´f´rences des autorit´s se modifient. ee e Ce seuil de confiance tient une tr`s grande importance pour le calcul des fonds propres. Sous l’hypoth`se e e de normalit´, nous pouvons calculer la variation du niveau de fonds propres requis selon le niveau de e confiance souhait´ par rapport ` l’exigence r´glementaire (en supposant que les autres param`tres restent e a e e inchang´s4 ) : e Niveau de confiance de la VaR 90% 95% 98.04% 98.5% 99% 99.5% 99.96% Variation de fonds propres -44.9% -29.3% -11.4% -9,69% 0% +10.7% +44.1% Le niveau de confiance de 99.96% correspond au risque d´cennal, c’est-`-dire ` une occurence en e a a moyenne tous les 10 ans de perte sup´rieure ` la VaR. Am´liorer l’intervalle de confiance de 0.96% revient e a e donc ` augmenter de 44.12% le montant des fonds propres. En revanche, une diminution de l’intervalle a de confiance de 0.96% ne permet de diminuer l’exigence en capital que de 11.36%. Il n’y a donc pas de relation lin´aire entre le seuil de confiance, la probabilit´ de perte et l’exigence en fonds propres. Nous e e 2 La dur´e de retour t, qui indique le temps qu’il faut attendre pour la perte soit sup´rieure ` la VaR, est une variable e e a al´atoire g´om´trique de param`tre (1 − α). Par cons´quent, la dur´e moyenne ¯ est bien ´gale ` (1 − α)−1 (` cause de la e e e e e e t e a a propri´t´ de l’esp´rance math´matique de la loi g´om´trique). e e e e e e 3 A ce sujet, le trait´ de De Finetti commence par la c´l`bre phrase “La probabilit´ n’existe pas”. e ee e 4 Nous montrons dans le prochain paragraphe que ce seuil de confiance a aussi une incidence sur le coefficient multipli- cateur. ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 43
- 54. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE pouvons par exemple consid´rer que les niveaux de confiance 98.5% et 99.5% sont tr`s proches du fait de e e leur faible ´cart absolu, ou au contraire les consid´rer tr`s diff´rents, car la VaR ` 99.5% a 3 fois moins e e e e a de chance d’ˆtre d´pass´e que la VaR ` 98.5%. e e e a 6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ) Les mod`les internes de risques de march´ sont majoritairement bas´s sur les m´thodes VaR. Or, ces e e e e m´thodes ne donnent qu’une approximation de la vraie distribution pour mod´liser la variation des prix. e e C’est pourquoi il est n´cessaire de corriger l’estimation du quantile par un facteur de prudence. Celui- e ci correspond implicitement au facteur multiplicatif. Comme Stahl [1997] le montre, ce facteur, souvent pr´sent´ comme arbitraire, a des fondements th´oriques rigoureux (dans le cadre d’une VaR gaussienne). e e e Le probl`me est le suivant : ´tant donn´ une variable al´atoire X de loi quelconque dont nous connais- e e e e sons les deux premiers moments µ et σ 2 , ` quelle distance relative par rapport ` l’´cart-type se situe le a a e quantile α ? Pour cela, nous utilisons l’in´galit´ de Bienaym´-Tchebyshev : e e e 1 Pr (|X − µ| > kσ) ≤ (6.9) k2 Si la loi est sym´trique, nous avons e 1 Pr (X ≤ µ + kσ) ≥ 1 − (6.10) 2k 2 Or cette probabilit´ n’est rien d’autre que la fonction de r´partition F : e e 1 F (µ + kσ) ≥ 1 − (6.11) 2k 2 Au seuil de confiance de α et si nous d´signons par F −1 la fonction inverse de r´partition (qui n’est rien e e d’autre que la fonction de quantile), nous en d´duisons que e 1 X ≤ µ + kσ ⇐⇒ F −1 1 − =α (6.12) 2k 2 et donc 1 k≤ 2 − 2α En n´gligeant la tendance µ et en assimilant X ` la perte potentielle, celle-ci se situe donc ` k ´carts-types. e a a e Or la VaR telle qu’elle est calcul´e se situe ` c = Φ−1 (α) ´carts-types. Le ratio k est le coefficient de e a e c multiplication qui permet d’ˆtre sˆr que la VaR correspond bien ` un quantile au moins ´gal ` α lorsque e u a e a nous utilisons une approximation gaussienne et ceci quelle que soit la vraie fonction de distribution. Remarque 6 Il est facile de montrer que lorsque la fonction de distribution est asym´trique, une borne e −1 sup´rieure de k est (1 − α) . e Le tableau suivant contient les valeurs du ratio pour diff´rentes valeurs de α. e sym´trique e asym´trique e α c k k/ c k k/ c 90.00 1.28 2.24 1.74 3.16 2.47 95.00 1.64 3.16 1.92 4.47 2.72 99.00 2.33 7.07 3.04 10.00 4.30 99.25 2.43 8.16 3.36 11.55 4.75 99.50 2.58 10.00 3.88 14.14 5.49 99.75 2.81 14.14 5.04 20.00 7.12 99.99 3.72 70.71 19.01 100.00 26.89 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 44
- 55. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE Nous remarquons qu’effectivement lorsque le seuil de confiance est ´gal ` 99%, ce ratio est proche de 3 e a (lorsque la fonction de densit´ est sym´trique). Supposons que les autorit´s r´glementaires fixent le seuil e e e e de confiance ` 99.5%, dans ce cas le ratio est proche de 4. Si les autorit´s r´glementaires prenaient alors a e e cette valeur pour fixer le coefficient multiplicateur, cette mesure aurait pour incidence d’augmenter les fonds propres de 41.4% par rapport ` la situation actuelle. a Il y a une remarque int´ressante ` faire concernant l’analyse pr´c´dente. Dans cette pr´sentation, la e a e e e VaR correspond ` c · σ, mais nous consid´rons que la borne sup´rieure de la vraie VaR est en fait k · σ. a e e L’exigence en fonds propres correspond donc ` cette valeur k · σ. Or les exceptions sont d´termin´es en a e e fonction de la VaR c · σ, et non en fonction de la VaR k · σ. Si nous poussons l’analyse jusqu’au bout, il aurait ´t´ plus logique de d´terminer les exceptions en fonction de k ·σ. Donc, ce coefficient multiplicateur ee e trouve bien une justification, mais les autorit´s r´glementaires ont fait preuve de beaucoup de prudence, e e puisque la probabilit´ que la perte potentielle d´passe le montant des fonds propres est bien inf´rieure ` e e e a 1%. 6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´ e Ce choix est primordial dans le calcul des VaRs param´trique et de Monte-Carlo. G´n´ralement, nous e e e utiliserons une loi normale ou log-normale pour mod´liser les facteurs F (t). Cela implique que la distri- e bution de F (t) est enti`rement d´termin´e par les deux premiers moments µ et Σ. L’utilisation en finance e e e de la normalit´ repose sur des arguments de facilit´ d’utilisation. Mais nous savons depuis fort longtemps e e que les s´ries financi`res ne sont ni normales ni log-normales. En revanche, il est facile de calculer la e e variance d’une combinaison des composantes d’un vecteur gaussien. De mˆme, la simulation de nombres e al´atoires normaux est tr`s ais´e ` partir d’un g´n´rateur de nombres al´atoires uniformes pour le cas e e e a e e e a ` une dimension, ou d’une d´composition de Cholesky ou en valeurs singuli`res pour le cas ` plusieurs e e a dimensions. Certains auteurs ont tent´ de justifier le recours ` la loi normale par le th´or`me central-limite qui e a e e ´tablit la convergence vers la loi normale sous des hypoth`ses peu contraignantes. Soit (Xn ) une suite de e e variables al´atoires ind´pendantes et identiquement distribu´es, alors e e e n Xi − E (Xi ) L √ −→ N (0, 1) (6.13) i=1 σ (Xi ) n Cependant, la convergence en loi n’est rien d’autre qu’une convergence des fonctions de r´partition. Cette e convergence est beaucoup plus rapide dans les r´gions proches de la moyenne. Feller [1968] a d’ailleurs e 3 montrer que l’approximation n’est valable qu’autour de n 4 ´carts-types de la moyenne. Nous pouvons e alors facilement construire des exemples qui illustrent le probl`me du th´or`me central-limite dans la e e e m´thodologie VaR param´trique. L’exemple suivant est propos´ par Boulier, Brabant, Dalaud et e e e Dieu [1997]. Les auteurs consid`rent un mod`le macro-´conomique de type APT o` les rentabilit´s sont e e e u e d´crites par l’´volution al´atoire d’une trentaine de facteurs ´conomiques, qu’ils supposent ind´pendants et e e e e e 3 de mˆme loi. L’approximation n’est alors valable qu’autour de 30 4 e √ 12.819 ´carts-types de la moyenne. e Or l’´cart-type de la loi normale r´sultante est 30 e e 5.477 fois plus grande que l’´cart-type initial. e Cela implique que l’approximation n’est plus valable au del` de la probabilit´ de 99.04%. Pour cet a e exemple, les VaRs au-del` de 99% ne font plus partie du domaine de validit´ de l’approximation par a e la loi normale. Dans le cas des portefeuilles de taux d’int´rˆt, il est recommand´ d’utiliser au moins 13 ee e facteurs. En utilisant le mˆme raisonnement, cela voudrait dire que les VaRs au-del` de 97.12% sont en e a dehors du domaine de validit´ d´fini par Feller5 . Cette analyse peut ˆtre une nouvelle explication e e e de l’utilisation d’un facteur multiplicatif. Comme nous l’avons d´j` signal´, la variable al´atoire X de loi normale N (µ, σ) est enti`rement ea e e e 2 caract´ris´e par ces deux premiers moments µ = E (X) et σ 2 = E (X − µ) . Nous rappelons que e e cette fonction de distribution est utilis´ en finance car elle est facilement manipulable, mais il existe de e nombreux travaux qui pr´sentent des arguments contredisant l’id´e que les variations des prix des actifs e e sont normaux. Cela vient notamment du fait que les moments d’ordre 3 et 4 d’une s´rie financi`re sont e e 1 5 La valeur de la probabilit´ qui d´finit le domaine de validit´ est Φ n 4 . e e e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 45
- 56. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.3. Caract`re lepto-kurtique d’une distribution de probabilit´ e e GRAPHIQUE 6.4. Distribution empirique du rendement du titre BARCLAYS INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 46
- 57. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE tr`s diff´rents de ceux de la loi normale. La skewness υ (ou moment centr´ d’ordre 3) est un coefficient e e e d’asym´trie de la fonction de densit´, alors que la kurtosis κ (ou moment centr´ d’ordre 4) est une mesure e e e d’aplatissement. Nous avons 3 E (X − µ) υ = σ3 4 E (X − µ) κ = σ4 Pour la loi normale, υ et κ valent respectivement 0 et 3. Si υ 0 (resp. υ 0), on dit que la distribution est asym´trique ` droite (resp. ` gauche). Lorsque κ est sup´rieur ` 3, la distribution pr´sente des queues e a a e a e ´paisses (elle est lepto-kurtique). Le graphique (6.3) pr´sente diff´rentes fonctions de densit´6 . Lorsque e e e e les distributions pr´sentent des queues de distribution ´paisses, le quantile α est alors bien au del` (en e e a valeur absolue) du quantile gaussien correspondant. Prenons par exemple la figure en bas ` gauche. Celle- a ci contient le graphe des fonctions de r´partition pour le segment x ∈ [−3, −2]. Pour la loi gaussienne, e nous v´rifions bien que le quantile ` 1% est −2.33. Or pour cette valeur, la quatri`me distribution e a e pr´sente une valeur de 5% pour la fonction de r´partition. Le quantile ` 1% est en fait bien au-del` de e e a a −2.33. Le graphique (6.4) correspond ` l’´volution du cours du titre Barclays depuis 1994. Nous avons a e estim´ la fonction de densit´ des variations du cours en utilisant la m´thode non param´trique du noyau e e e e d’Epanechnikov et compar´ celle-ci avec la fonction de densit´ gaussienne estim´e par la m´thode des e e e e moments. L’estimation classique bas´e sur les deux premiers moments ne permet donc pas de prendre en e compte les queues ´paisses. e L’´volution du titre Barclays nous interpelle sur le probl`me de la stationnarit´ du processus. Nous e e e pouvons penser qu’une approximation gaussienne ne peut ˆtre valide que localement. Cela pose alors le e probl`me de la longueur de l’historique utilis´ pour la VaR param´trique. Les instance r´glementaires e e e e exigent un historique d’au moins 1 an. Contrairement ` l’id´e fort r´pandue que plus l’historique a e e est long, meilleure sera la mesure des risques, l’utilisation d’un historique trop long peut avoir des cons´quences n´fastes sur la VaR param´trique. Car, dans ce cas l`, il est parfaitement e e e a clair que les propri´t´s d’ergodicit´ et de stationnarit´ ne sont pas respect´es. L’utilisation d’un historique ee e e e long doit ˆtre plutˆt r´serv´ ` la VaR historique. e o e ea L’utilisation de la loi normale pour la VaR param´trique n’en demeure pas moins incontournable. Il e convient donc d’apporter une attention particuli`re ` l’estimation de la matrice de covariance. e a 6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance Nous notons F (t0 ; N ) la matrice des facteurs observ´s pour t = t0 − 1, . . . , t0 − N avec e F (t0 − 1) . . . F (t0 ; N ) = F (t0 − n) (6.14) . . . F (t0 − N ) Consid´rons une matrice diagonale Λ de dimension N × N avec 1 diag (Λ) = 1. Λ est appel´e la matrice e e e ˆ ˆ des poids des observations. Nous d´finissons µ et Σ par µ = F (t0 ; N ) Λ 1 ˆ (6.15) 6 Nous avons g´n´r´ celles-ci en utilisant la fonction de densit´ d’Edgeworth (Rubinstein [1998]) : e e e e υ 3 κ−3 4 υ2 5 f (x) = b (x) 1 + x − 3x + x − 6x2 + 3 + x − 10x3 + 15x 6 24 72 avec b la fonction de densit´ Binomiale. e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 47
- 58. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE et ˆ Σ = F (t0 ; N ) − 1 µ ˆ Λ F (t0 ; N ) − 1 µ ˆ (6.16) ˆ ˆ Nous pouvons alors montrer que µ et Σ sont deux estimateurs consistants des param`tres µ et Σ de la e loi de distribution N (µ, Σ). Dans le cadre d’une VaR, nous utilisons g´n´ralement deux types de poids : e e 1. L’approche standard consiste ` donner le mˆme poids ` chacune des observations. Dans ce cas, nous a e a 1 avons Λn,n = λn = N . 2. L’approche moyenne mobile consiste ` donner des poids diff´rents en fonction des positions des a e observations. Plus la date d’observation est r´cente, plus le poids associ´ est important. Sous l’im- e e pulsion de RiskMetrics, la m´thode de la moyenne mobile exponentielle s’est impos´e. Dans ce cas, e e n−1 N nous avons λn = (1 − λ) λ 1−λ . Le graphique (6.5) repr´sente la fonction λn pour N ´gal ` 250 jours. Nous constatons que plus la valeur de e e a λ est petite pour les poids exponentiels, plus les observations r´centes ont de l’influence sur l’estimation. e Nous remarquons aussi que les poids constants sont un cas particulier des poids exponentiels puisque 1 lim (1 − λ) λn−1 1 − λN = λ−→1 N Nous pouvons aussi nous int´resser ` la contribution de n premi`res observations, c’est-`-dire ` la somme e a e a a n λn . Sur le graphique (6.6), nous voyons parfaitement le caract`re exponentiel de la m´thode Risk- e e i=1 Metrics. Ainsi, pour λ = 0.94 (valeur retenue par RiskMetrics), 50% des poids concernent les 12 premi`res e observations7 . Et, bien sˆr, ceci est ind´pendant de la taille de l’´chantillon, contrairement aux poids u e e constants. GRAPHIQUE 6.5. Pond´ration d’une moyenne mobile exponentielle e 7A titre compl´mentaire, 75% et 95% des poids correspondent aux 23 et 49 premi`res observations. e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 48
- 59. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.6. Pond´ration cumul´e d’une moyenne mobile exponentielle e e GRAPHIQUE 6.7. Evolution de la valeur en risque (titre BARCLAYS) ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 49
- 60. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE Voyons un exemple montrant la diff´rence entre les deux exemples. Nous consid´rons une position e e longue sur le titre BARCLAYS. Le graphique (6.7) pr´sente l’´volution de la VaR avec deux types de e e r´actualisation. La taille de l’´chantillon est fix´ ` 250 jours de trading. En p´riode de crise, la VaR e e e a e RiskMetrics est plus grande que la VaR avec les poids constants. Ce ph´nom`ne s’inverse lors des p´riodes e e e calmes (ou apr`s les p´riodes de crises). Cela se comprend ais´ment ` cause de la forme des poids. Si nous e e e a consid´rons le nombre d’exceptions (pour information, le nombre de jours de trading est ´gal ` 1136), e e a la VaR avec poids constants est la plus performante pour cet exemple. Cela tient au fait que la VaR RiskMetrics sous-estime le risque pour les p´riodes calmes, ce qui implique que d`s qu’il y a une variation e e plus importante, nous obtenons une exception. Cela se voit tr`s bien si nous consid´rons la localisation e e des exceptions. Celles-ci ont des positions diff´rentes selon la m´thodologie. Enfin, nous remarquons que e e la fr´quence de r´actualisation a une influence non n´gligeable sur la qualit´ de la VaR. e e e e Si nous calculons le temps de retour moyen empirique pour l’exemple pr´c´dent, nous constatons qu’il e e est l´g`rement inf´rieur au temps de retour moyen th´orique. Cela veut dire que nos mesures VaR ont e e e e sous-estim´ la perte potentielle. Hendricks [1996] remarque ce mˆme ph´nom`ne. Il compare douze e e e e m´thodologies diff´rentes et constate que e e Virtually all of the approaches produce accurate 95th percentile risk measures. The 99th percentile risk measures, however, are somewhat less reliable and generally cover only between 98.2 percent and 98.5 percent of the outcomes. On the one hand, these deficiencies are small when considered on the basis of the percentage of outcomes missclassified. On the other hand, the risk measures would generally need to be increased across the board by 10 percent or more to cover precisely 99 percent of outcomes. 6.2.4.1 Un exercice de backtesting Ce paragraphe s’attache ` d´terminer la mani`re optimale de calculer la matrice de covariance. Notre a e e approche se base sur le calcul du nombre d’exceptions observ´es sur un historique des cours d’´tablissements e e financiers depuis 1994. Nous nous pla¸ons dans le cadre d’une VaR analytique sous l’hypoth`se de rendements gaussiens. Nous c e sommes donc en mesure de d´terminer un intervalle de confiance ` une certaine probabilit´ ` partir e a e a des deux premiers moments. Nous comparons ici de mani`re qualitative la validit´ de ces intervalles de e e confiance selon la m´thode choisie pour l’estimation des deux premiers moments. Les r´sultats qui suivent e e permettent de visualiser de mani`re dynamique les caract´ristiques sur la VaR associ´es ` ces m´thodes. e e e a e Les estimateurs retenus pour le calcul des rendements moyens et des volatilit´s sont les m´thodes de e e poids constants et de poids exponentiels (λ = 0.94). L’enjeu inh´rent au choix de la m´thode d’estimation e e de ces param`tres est capital ; il s’agit d’obtenir une r´activit´ optimale aux variations du march´, tout e e e e en conservant une inertie suffisante pour ne pas trop sur ou sous-estimer les variations possibles. A priori, une m´thode reposant sur des poids constants accusera un petit peu de retard pour r´hausser son niveau e e dans une p´riode ` forte volatilit´. De mˆme, la m´thode reposant sur des poids exponentiels risque de e a e e e largement sur-estimer la VaR apr`s une courte p´riode d’agitation. e e Afin d’illustrer ce ph´nom`ne, nous proposons par la suite d’´tudier le nombre d’exceptions observ´es e e e e sur le cours de certains ´tablissements financiers par p´riode. Une exception est d´finie comme une valeur e e e du titre en dehors de l’intervalle de confiance pr´vu. Nous consid´rons les cas de positions longues et e e courtes sur un titre, ce qui nous am`ne ` d´finir des bornes sup´rieures et inf´rieures de notre intervalle. e a e e e Nous nous sommes attach´s ` respecter les crit`res quantitatifs de la Commission Bancaire pour le calcul e a e de la VaR. Ainsi avons nous retenu un niveau de confiance de 1% sur une p´riode de d´tention de 1 jour. e e De mˆme, l’estimation des moments des distributions des rendements quotidiens ont ´t´ calcul´s sur un e ee e historique d’un an renouvel´ tous les trois mois. Tout ceci nous a permis de d´terminer les s´ries des deux e e e bornes Lu et Ld de notre intervalle pour les rendements journaliers : Lu t = µt − Φ−1 (0.5%) × σ t Ld t = µt + Φ−1 (0.5%) × σ t o` Φ−1 (0.5%) est le quantile ` 0.5% de la loi normale centr´e r´duite (Φ−1 (0.5%) u a e e 2.575). µt et σ t sont respectivement la moyenne et l’´cart-type estim´s du rendement ` l’instant t. e e a INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 50
- 61. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE Nous sommes alors en mesure de d´terminer les valeurs up et down du cours ` 1 jour avec un intervalle e a de confiance de 99%. Nous comptons alors le nombre de fois o` le titre est sorti de cet intervalle sur u chaque p´riode de 3 mois (environ 60 jours). Les graphiques suivants repr´sentent les mouvements des e e titres des grands ´tablissements financiers par rapport aux intervalles calcul´s avec les poids constants et e e exponentiels, ainsi que le nombre d’exceptions constat´s au cours des p´riodes. Ceci nous donne une bonne e e id´e des avantages et inconv´nients des deux m´thodes d’estimation des moments. En fait, l’exemple de e e e la Soci´t´ G´n´rale est particuli`rement int´ressant, puisqu’il comporte une longue p´riode de stagnation ee e e e e e pendant laquelle les deux m´thodes sont ´quivalentes et performantes. Aux premiers chocs, la m´thode e e e aux poids constants r´agit trop tard et accuse 3 et 5 exceptions sur 60 observations (p´riodes 9 et 10), e e alors que la m´thode aux poids exponentiels encaisse tr`s bien le choc. De mˆme, lors de la crise de e e e l’´t´ 1998 (p´riode 16), la m´thode aux poids constants r´agit beaucoup trop tard et ne passe pas le ee e e e backtesting. D’un autre cˆt´ les l´g`res p´riodes de flottements suivies de brusques variations mettent oe e e e en d´faut les poids exponentiels (p´riodes 11 et 18). Du fait d’une p´riode, mˆme courte, relativement e e e e calme, la volatilit´ calcul´e ` partir des poids exponentiels a trop vite chut´ et sous-estime les variations e e a e possibles du cours. Enfin, nous devons mentionner le cas de la p´riode 6 qui correspond ` une p´riode e a e de stabilit´ exceptionnelle, ce qui entraˆ une variance pour la p´riode 7 quasi nulle lorsque celle-ci est e ıne e calcul´e avec la m´thode des poids exponentiels. Cela explique le nombre d’exceptions relativement ´lev´ e e e e de la VaR RiskMetrics sur cette p´riode relativement calme. e GRAPHIQUE 6.8. Backtesting avec le titre SOCIETE GENERALE L’exemple de la Soci´t´ G´n´rale illustre la n´c´ssit´ et la difficult´ d’obtenir ` la fois de la r´activit´ ee e e e e e e a e e lors de p´riodes d’agitations et de l’inertie pour les fausses p´riodes de calme. RiskMetrics nous recom- e e mande de prendre λ = 0.94. Ceci implique que 95% de l’information est contenue dans les trois derniers mois. Outre le fait que cela pose quelques probl`mes pour l’estimation des matrices de covariance de e dimension trop grande, on peut s’interroger sur la m´moire de tels processus. En effet, mˆme si les toutes e e derni`res informations contribuent ´norm´ment ` la d´termination du moment, signe de r´activit´ forte, e e e a e e e les informations de plus de trois mois ne jouent plus aucun rˆle, signe de faible inertie. o Les r´sultats qui suivent traitent donc de l’influence de λ sur la qualit´ de la VaR analytique. Nous e e avons fait varier λ de 0.9 ` 0.999, et nous avons compar´ le nombre d’exceptions observ´es sur les p´riodes a e e e de trois mois suivant l’estimation des moments. Sans pour autant que ce r´sultat puisse ˆtre g´n´ralis´, e e e e e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 51
- 62. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE l’´tude des s´ries des cours sur les ´tablissements financiers pousse ` choisir un coefficient λ favorisant e e e a une m´moire plus longue, c’est–`-dire une inertie plus importante. Il semble, de mani`re qualitative, e a e que la valeur optimale de ce coefficient dans ce cas l` soit de l’ordre de 0.96. a Nous notons, toutefois, que la valeur optimale de λ est susceptible de varier selon les march´s8 . Aussi, le coefficient obtenu ne peut ˆtre adapt´ pour l’ensemble des s´ries fi- e e e e nanci`res. Nous conseillons plutˆt une ´tude du march´ ` consid´rer au pr´alable, qui e o e e a e e permettrait de d´terminer le λ optimal. e GRAPHIQUE 6.9. D´termination de la valeur optimale pour λ e 6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la matrice de covariance Les approches pr´c´dentes de l’estimation la matrice de covariance reposent sur l’hypoth`se que Σ est e e e une matrice constante au cours du temps. Cette hypoth`se a ´t´ vivement critiqu´e par de nombreux e ee e ´conom`tres (voir les survey [1], [6] et [29]). Afin de prendre en compte les effets h´t´rosc´dastiques, e e ee e Engle [1982] introduit une nouvelle classe de processus connus sous le nom de mod`les ARCH. A la suite e de cet article, de nombreux travaux dans le domaine de la mod´lisation de la variance conditionnelle ont e vu le jour et plusieurs formes de g´n´ralisation ont ´t´ introduites. Dans un premier temps, Bollerslev e e ee [1986] propose d’introduire un effet “autor´gressif” dans l’´quation de variance conditionnelle (mod`les e e e GARCH). Ensuite, plusieurs formes d’extension au cas multidimensionnel sont apparues. Le cas unidimensionnel Soit le processus unidimensionnel {yt } en temps discret d´fini par e yt = µ + εt (6.17) 8 Cette ´tude a d´j` ´t´ men´e par RiskMetrics, et met en ´vidence des diff´rences notables de λ selon les march´s (places e eae e e e e e financi`res et produits) et la p´riode de d´tention. λ = 0.94 est une valeur moyenne bas´e sur un crit`re de moindres carr´s e e e e e e de la variance quotidienne des rendements. Dans le cadre de la VaR, nous pensons que ce crit`re n’est pas le plus appropri´ e e et qu’il est pr´f´rable de consid´rer un crit`re de minimisation du nombre d’exceptions. ee e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 52
- 63. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.10. Valeur optimale de λ pour diff´rents titres e avec εt un processus stochastique. Sous l’hypoth`se de normalit´ et de constance de la variance, nous e e avons εt | It−1 ∼ N 0, σ 2 (6.18) o` It−1 repr´sente l’information pass´e. Lorsque nous estimons la variance avec la m´thode pr´sent´e u e e e e e pr´c´demment, nous faisons l’hypoth`se implicite que le processus est celui ci-dessus. Comme nous savons e e e que ce n’est pas la bonne repr´sentation, les estimations sont refaites r´guli`rement pour tenir compte e e e que la variance change au cours du temps. En revanche, les mod`les de type ARCH supposent que e εt | It−1 ∼ N 0, h2 t (6.19) Conditionnellement ` l’information pass´, εt n’est plus un bruit blanc. Selon la sp´cification de h2 , nous a e e t d´finissons plusieurs types de mod`les. Par exemple, yt est un processus ARCH(p) si e e p h2 = α 0 + t α i ε2 t−i (6.20) i=1 Dans le cas d’un processus GARCH(p,q), nous avons p q h2 = α 0 + t α i h2 + t−i β i ε2 t−i (6.21) i=1 i=1 A titre illustratif, nous avons repr´sent´ sur le graphique (6.11) la variance conditionnelle du rendement e e du titre BARCLAYS estim´e ` partir d’un mod`le GARCH(1,1). A partir des estimations, il est alors e a e possible de construire des pr´visions de la variance conditionnelle Et h2 . Dans le cas des m´thodes e t+h e pr´sent´es au paragraphe pr´c´dent, la seule pr´vision possible de la variance en t+h est en fait la variance e e e e e e e a e ´ observ´e en t, ce qui n’est pas le cas des mod`les ` variances conditionnelles. L’´tude de Dave et Stahl [1998] montre bien que d’un point de vue dynamique, les approches traditionnelles d’estimation de la matrice de covariance pr´sentent un biais lorsque les s´ries ne sont pas stationnaires. Les auteurs ont fait e e une ´tude exhaustive sur le march´ des changes en consid´rant 5 m´thodes : la m´thode historique, la VaR e e e e e analytique avec des poids constants, la VaR RiskMetrics et les mod`le GARCH(1,1) et Tail GARCH(1,1). e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 53
- 64. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.11. Variance conditionnelle du rendement du titre BARCLAYS — mod`le GARCH(1,1) e La comparaison de ces m´thodologies a port´ sur 5 mesures de performance, et notammant la m´thode e e e BIS Colour frequency, qui consiste ` calculer la probabilit´ qu’un mod`le corrrespond ` une zone a e e a donn´e (verte, orange, rouge) pour un seuil de confiance de 99%. Pour la zone rouge, les r´sultats sont les e e suivants : les m´thodes qui se trouvent dans cette zone le plus souvent sont les deux VaRs analytiques, e suivies par la m´thode historique et le mod`le GARCH(1,1), puis enfin par le mod`le Tail GARCH(1,1). e e e Le cas multidimensionnel Les mod`les GARCH peuvent se g´n´raliser au cas multidimensionnel. Dans ce cas, nous avons e e e Yt = µ + εt (6.22) avec Yt un processus de dimension N et εt | It−1 ∼ N (0, Vt ) (6.23) Il existe alors diff´rentes formulations possibles pour d´finir la matrice de covariance conditionnelle. Le e e tableau suivant pr´sente celles qui sont le plus souvent rencontr´es dans la lit´rature. : e e e p q Diagonal VECH Vt = A0 + Ai ⊗ Vt−i + Bi ⊗ εt−1 εt−1 i=1 i=1 p q BEEK Vt = A0 A0 + Ai Vt−i Ai + Bi εt−1 εt−1 Bi i=1 i=1 Appliquons un mod`le GARCH multidimensionnel de type BEEK pour mod´liser les titres BARCLAYS e e et LLOYDS/TSB. Dans ce cas particulier, nous remarquons sur le graphique (6.11) que la corr´lation e conditionnelle est la plupart du temps tr`s r´guli`re. Cela se comprend ais´ment du fait de la nature de e e e e deux titres. Ce type de mod´lisation est en revanche tr`s int´ressante lorsque les corr´lations ne peuvent e e e e pas ˆtre consid´r´e comme constantes au cours du temps. e ee INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 54
- 65. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.12. Corr´lation conditionnelle des rendements des titres BARCLAYS et LLOYDS/TSB — mod`le e e BEEK GARCH(1,1) 6.2.5 Le probl`me du scaling e Cette section s’int´resse au choix de l’horizon consid´r´ et aux difficult´s qu’il engendre pour le calcul e ee e de la VaR. Selon le type d’actifs g´r´s, nous aurons tendance ` porter notre attention ` des VaR allant ee a a de l’intra-day ` quelques ann´es. De mani`re op´rationnelle, les risques sont souvent mesur´s ` 1 jour. Le a e e e e a passage ` un autre horizon peut poser quelques probl`mes. a e Le comit´ de Bˆle impose une p´riode de d´tention de 10 jours pour mesurer les risques d’un porte- e a e e feuille. Il conseille alors de convertir la VaR 1 jour ` la VaR 10 jours par scaling. Le scaling consiste ` √ a a multiplier la volatilit´ ` 1 jour par T , T ´tant l’horizon consid´r´. Cette m´thode soul`ve une certaine ea e ee e e pol´mique quant ` son application, et le d´bat sur l’ad´quation du scaling s’intensifie sans pour autant e a e e faire ressortir un consensus clair. Nous pr´sentons dans un premier temps les id´es rencontr´es dans les derniers articles publi´s sur le e e e √ e sujet, puis nous effectuons quelques simulations pour tester la validit´ du coefficient 10 pour le calcul e de la VaR. 6.2.5.1 Quelques ´l´ments th´oriques ee e Au travers des diff´rents articles sur le sujet, il ressort trois m´thodes pour la conversion de la volatilit´ e e e 1 jour ` une volatilit´ T jours : a e √ – La premi`re conseill´e par RiskMetrics est la fameuse T rule qui consiste ` appliquer le coefficient e √ e a multiplicatif T ` la VaR 1 jour. Cette m´thode est appr´ci´e principalement pour sa simplicit´ a e e e e et sa tr`s facile mise en œuvre. Elle repose essentiellement sur une hypoth`se de normalit´ et e e e d’ind´pendance des accroissements des prix des actifs. Ces hypoth`ses sont souvent discut´es, et ne e e e s’appliquent pas ` toutes les maturit´s. a e – L’alternative actuelle ` la premi`re m´thode repose sur la th´orie des valeurs extrˆmes. Elle demande a e e e e a ` estimer un coefficient α repr´sentatif de l’´paisseur des queues de distribution. Par exemple, pour e e une loi de Student, α repr´sente le nombre de degr´s de libert´ (ou l’exposant caract´ristique) et pour e e e e un processus ARCH, α repr´sente le nombre de moments finis de la distribution non conditionn´e e e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 55
- 66. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE 1 des innovations. Ce coefficient ´tant d´termin´, nous appliquons la T α rule, qui consiste ` passer e e e a 1 de la VaR 1 jour ` la VaR T jours en multipliant par T α . a – La derni`re m´thode consiste tout simplement ` d´terminer la matrice de variance-covariance des e e a e rendements ` T jours. Cette approche n´cessite un historique assez long des donn´es et ne peut a e e pas ˆtre appliqu´e ` tous les horizons. Toutefois, elle permet d’obtenir la v´ritable matrice de e e a e variance-covariance historique. Reste alors le probl`me de l’ad´quation du mod`le ` cette maturit´. e e e a e Les articles rencontr´s dans la litt´rature s’attachent plus particuli`rement ` tester la validit´ de la e e e a e premi`re approche et ` d´velopper la deuxi`me m´thodologie au travers de mod`les semi-param´triques. e a e e e e e il n’y a pas de consensus arrˆt´ sur la question. Diebold et al. [15], [10] testent la proc´dure de scaling ee e sur des actifs soumis ` une dynamique de type GARCH. Leur argumentation repose sur la formule de a Drost-Nijman qui permet de corriger la volatilit´ ` T jours ` partir de celle obtenue ` 1 jour, sous certaines ea a a conditions de r´gularit´ et pour des horizons suffisamment longs. Leurs deux principales conclusions sont e e les suivantes : – pour un horizon sup´rieur ` 10-15 jours, la volatilit´ n’est pas pr´visible. Autrement dit, les mod`les e a e e e a ` volatilit´ conditionnelle ne sont plus valables pour T 10 ; e – dans tous les cas, le scaling amplifie les fluctuations de la volatilit´. Mˆme si en moyenne le coefficient √ e e T peut sembler conservateur, le v´ritable rapport entre les deux volatilit´s est souvent bien au- √ e e dessous ou bien au-dessus de T . Danielsson et De Vries [11], [12] proposent une autre approche fond´e sur des r´sultats de la e e th´orie des valeurs extrˆmes. Ils ´mettent quelques r´serves sur l’application de la m´thode propos´e e e e e e e par RiskMetrics pour un horizon de 10 jours, mˆme si les conclusions ne s’appliquent pas uniquement e au passage de la VaR 1 jour ` la VaR 10 jours. C’est plus la m´thode fond´e sur l’unique estimation a e e de la matrice de variance-covariance qui est remise en cause. Les tests et simulations qu’ils ont effectu´s e aboutissent aux conclusions suivantes : – RiskMetrics sous-estime la VaR ` 1 jour par rapport ` une m´thode fond´e sur la th´orie des a a e e e extrˆmes surtout pour la mesure des risques rares (i.e. 0.05% et 0.005%). Nous notons ici que les e r´sultats obtenus pour une VaR ` 1% sont comparables pour les deux m´thodes. e a e – Pour des pr´visions ` 10 jours, la m´thode de RiskMetrics bas´e sur le scaling sur-estime la VaR e a e e 1 obtenue par la T α rule (en moyenne, le coefficient α obtenu vaut 4.6). √ Ces diff´rents r´sultats ne font ressortir aucun consensus quant ` l’application du coefficient T . Les e e a seules conclusions tir´es soulignent que dans une approche purement RiskMetrics, le scaling n’est pas e forc´ment conservateur (amplification des fluctuations) et qu’en le comparant ` des m´thodes plus fines, e a e il peut s’av´rer trop conservateur. e 6.2.5.2 Un exercice de simulation Pour illustrer les id´es ´nonc´es ci-dessus, nous avons effectuer quelques simulations de rendements de e e e diff´rents actifs. Nous avons consid´r´ successivement une dynamique de type GARCH, puis un mod`le ` e ee e a volatilit´ stochastique (Hull-White). Dans ces deux cas, nous simulons des trajectoires du cours, dont nous e calculons les vraies √ volatilit´s ` 1 jour et ` 10 jours, puis nous comparons le rapport de ces deux volatilit´s e a a e avec le coefficient 10. Cette approche a seulement le m´rite de tester la validit´ de l’approximation √ e e effectu´e par la T rule, mais ne nous apporte aucune information quant ` la pertinence d’une VaR e a analytique de type RiskMetrics qui ne d´pend que de la matrice de variance-covariance. e Mod`le GARCH e Nous supposons ici que le rendement 1 jour d’un actif peut ˆtre mod´lis´ par un GARCH(1,1). Cette e e e hypoth`se n’est pas tr`s restrictive et semble cadrer avec la dynamique observ´e sur les march´s de e e e e certains titres. Nous simulons donc un processus yt tel que : yt = σ t εt σ2 t = w + αyt−1 + βσ 2 2 t−1 εt ∼ N ID(0, 1) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 56
- 67. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE Nous imposons les conditions usuelles de r´gularit´ et de stationnarit´ e e e 0w∞ α ≥ 0, β ≥ 0 α+β 1 Nous avons param´tr´ ce mod`le de telle sorte qu’il refl`te des s´ries de rendements ` 1 jour en posant e e e e e a α = 0.1 et β = 0.85. Le choix de w est purement arbitraire et est fix´ ` 20%. Pour illustrer le type de ea processus que nous obtenons, nous repr´sentons quelques trajectoires simul´es (voir le graphique 6.13). e e Les rendements simul´s permettent de r´cup´rer les volatilit´s historiques 1 jour et 10 jours pour chaque e e e e trajectoire simul´e. Nous avons effectu´ ceci sur 1000 simulations de trajectoires. Chacune des volatilit´s e e e ´tant calcul´e ` partir de 250 observations quotidiennes (donc 25 observations pour la volatilit´ 10 jours), e e a e nous nous sommes plac´s dans la situation d’un historique d’un an.√ simulations effectu´es rendent e Les e compte du fait que mˆme si le rapport des volatilit´s semble estimer 10 en moyenne, il subsiste un fort e e ´cart-type (voir le graphique 6.14). On ne retrouve pas le ph´nom`ne d’amplification des fluctuations e √ e e en multipliant par 10. Nous ne pouvons donc pas conclure quant ` l’ad´quation de la m´thode de a e e RiskMetrics ` la VaR ` 10 jours dans le cas de mod`les GARCH. a a e GRAPHIQUE 6.13. Simulation du mod`le ARCH e Mod`le ` volatilit´ stochastique e a e Nous avons d´velopper la mˆme m´thodologie pour des prix d’actifs r´gis par un mod`le ` volatilit´ e e e e e a e stochastique de type Hull-White. Plus pr´cis´ment la dynamique des cours suit l’´quation diff´rentielle e e e e stochastique suivante : dS (t) = r dt + V (t) dW 1 (t) S (t) dV (t) = ν dt + η dW 2 (t) V (t) 1 ρ o` W 1 et W 2 sont deux browniens de matrice de corr´lation u e . Ce mod`le, sorte de processus e ρ 1 ARCH en temps continu, refl`te de mani`re assez satisfaisante la dynamique suivie par les cours de e e ´ 6.2. QUELQUES REFLEXIONS SUR LA VAR 57
- 68. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.14. D´termination du scaling (mod`le ARCH) e e GRAPHIQUE 6.15. Simulation du mod`le Hull-White e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 58
- 69. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE GRAPHIQUE 6.16. D´termination du scaling (mod`le Hull-White) e e certains actifs. Le graphique (6.15) contient quelques exemples de trajectoires de ces processus. Comme pour le mod`le GARCH, nous avons simul´ 1000 trajectoires sur 1 an de ce processus. Pour chacune des e e √ trajecoires, nous calculons la volatilit´ des rendements ` 1 jour multipli´e par 10 et la volatilit´ des e a e e rendements ` 10 jours. Nous repr´sentons sur le graphique (6.16)√ volatilit´s obtenues pour ces 1000 a e les e trajectoires ainsi que le rapport des volatilit´s (` comparer avec 10). Nos conclusions sont les mˆmes e a e que pour le mod`le GARCH. e 6.2.5.3 Conclusion Nos r´sultats semblent coh´rents avec les id´es rencontr´es dans la litt´rature financi`re. Nous ne e e e e e e pouvons pas affirmer que le passage d’une VaR analytique ` 1 jour ` une VaR analytique ` 10 jours par a a a scaling soit conservateur (voir le sch´ma 6.17). En effet, mˆme si les simulations effectu´es ont tendance ` e e √e a montrer qu’en moyenne le ratio entre les volatilit´s 10 jours et 1 jour est inf´rieur ` 10, l’´cart type de e e a e ce mˆme ratio reste tr`s ´lev´. Toutefois, les travaux actuels r´alis´s dans la th´orie des valeurs extrˆmes e e e e e e e e semblent montrer que le calcul d’une VaR analytique (type RiskMetrics) est inadapt´ pour un horizon e sup´rieur ` 10 jours. Les articles publi´s sur le sujet s’accordent ` dire que l’approche VaR analytique e a e a conduit ` une sur-estimation de la mesure de risque ` 10 jours par rapport ` un calcul bas´ sur la th´orie a a a e e des extrˆmes. Si nous assimilons la mesure bas´e sur les extrˆmes au v´ritable risque encouru, e e e e nous pouvons donc affirmer que la m´thode du scaling est conservatrice (voir de nouveau le e sch´ma 6.17 pour les positions relatives des diff´rentes mesures de risque). e e 6.3 Les produits optionnels 6.3.1 La probl´matique e Le calcul de la VaR de produits optionnels est relativement complexe, puisque la mesure de risque n’est pas une fonction lin´aire de la variance d’une option. Consid´rons par exemple une option europ´enne de e e e maturit´ τ et de prix d’exercice K portant sur un sous-jacent S (t). Dans le mod`le de Black et Scholes, e e a ` l’instant t0 , le prix de l’option est ´gale ` e a C (t0 , S0 ) = S0 exp ((b − r) τ ) Φ (d1 ) − K exp (−rτ ) Φ (d2 ) (6.24) 6.3. LES PRODUITS OPTIONNELS 59
- 70. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE VaR 1 jour VaR 1 jour (RiskMetrics) (th. des extrˆmes) e - √ VaR 10 jours VaR 1 jour × 10 VaR 10 jours (th. des extrˆmes) e (RiskMetrics) (RiskMetrics) - ou √ VaR 10 jours VaR 10 jours VaR 1 jour × 10 (th. des extrˆmes) e (RiskMetrics) (RiskMetrics) - GRAPHIQUE 6.17. Positions relatives des VaRs avec b le cost-of-carry et Φ la fonction de r´partition de la loi normale centr´e et r´duite, e e e 1 S 1 √ √ d1 = √ ln 0 + bτ + σ τ et d2 = d1 − σ τ (6.25) σ τ K 2 Consid´rons un portefeuille avec une position longue sur cette option, la variation du portefeuille entre t0 e et t0 +h est ´gale ` C (t + h, S (t + h))−C (t0 , S0 ). Nous ne pouvons pas assimiler le risque du portefeuille e a a ` une distribution normale ou log-normale, car le prix de l’option BS est une fonction non-lin´aire du prix e du sous-jacent S (t) qui correspond ` une distribution log-normale dans le mod`le de Black et Scholes. a e Notons fS la fonction de densit´ de S (t) et C (S) la fonction de la prime d’achat. Comme la fonction C e est bijective, nous avons alors fS C −1 (C) fC (C) = (6.26) ∂S C (C −1 (C)) Puisque ∂S C (S) n’est pas une fonction affine de S, le distribution du prix de l’option n’est pas log- normale. Il n’est donc pas possible d’utiliser une m´thode de type matrice de covariance pour calculer la e VaR d’une option. 6.3.2 Les solutions Plusieurs auteurs ont alors propos´ des m´thodes de types analytique ou Monte Carlo pour calculer e e la mesure de risque des produits non lin´aires. Les m´thodes analytiques sont g´n´ralement bas´e sur e e e e e des approximations de Taylor. Par exemple, Britten-Jones et Schaefer [1997] proposent d’utiliser ´ une expansion partielle ` l’ordre 2 afin de tenir compte du Gamma de l’option. Cardenas, Fruchard, a Koehler, Michel et Thomazeau [1997] int`grent dans leur analyse le risque de volatilit´ en consid´rant e e e le Vega de l’option. G´n´ralement, ces m´thodes sont assez lourdes ` mettre en place d’un point de vue e e e a technique, surtout dans le cas multidimensionnel. D’un autre cˆt´, les m´thodes de Monte Carlo sont oe e beaucoup moins complexes, mais pr´sentent parfois des temps de calcul prohibitifs. e Finalement, la m´thode historique (parfois coupl´e avec une m´thode Monte Carlo) semble ˆtre une e e e e m´thode de compromis int´ressante. Cependant, elle n´cessite une gestion tr`s efficace des bases de e e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 60
- 71. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE donn´es. En effet, celles-ci doivent contenir beaucoup plus d’information (par exemple, les surfaces de e volatilit´) que celles des actifs lin´aires. Nous devons aussi mentionner le fait que dans l’esprit des textes e e r´glementaires, la m´thode doit prendre en compte les risques de volatilit´. Implicitement, cela suppose e e e donc que les pricers utilis´s pour le calcul de la VaR soient des pricers int´grant le smile. Cela pose e e quelques difficult´s, car il n’existe pas de “paradigme dominant” de type Black et Scholes comme dans e le cas du pricing sans smile. Plusieurs mod`les existent, mais tous ne sont pas de mˆme robustesse. De e e plus, la qualit´ d’un pricer avec smile d´pend de l’impl´mentation. Il existe ainsi plusieurs logiciels de e e e valorisation d’options de change bas´e sur la m´thode de Dupire, mais tous donnent un prix diff´rent, e e e car les m´thodes d’interpolation du smile sont diff´rentes, les donn´es utilis´es sont diff´rentes, certains e e e e e utilisent des artifices num´riques pour assurer la convergence, etc. Il convient donc d’ˆtre tr`s prudent e e e lors du choix de la m´thodologie d’une VaR sur des produits non lin´aires. e e Remarque 7 La m´thode historique est largement utilis´e par les banques pour calculer les VaRs op- e e tionnelles. Cependant, il semble que la Commission Bancaire demande de plus en plus d’´viter cette e m´thodologie au profit de m´thodes plus robustes. e e 6.3.3 La gestion du risque des produits optionnels Les produits optionnels sont parmi les actifs les plus risqu´s dans l’activit´ d’une salle de march´. Ils e e e font donc l’objet d’une surveillance quotidienne importante. La Commission Bancaire insiste fortement sur le contrˆle des risques des activit´s de d´riv´s : o e e e – d´riv´s actions ; e e – produits structur´s (options sur plusieurs sous-jacents) ; e – exotiques de taux ; – options de change (FX) ; – d´riv´s de cr´dit ; e e e – etc. En particulier, la Commission Bancaire demande que les pricers soient valid´s par une unit´ quantitative e e ind´pendante du Front Office. Derni`rement, elle a aussi propos´ de calculer des r´factions pour “risque e e e e de mod`le” et “risque de param`tres”. e e Voici une liste (non-exhaustive) des diff´rents risques li´s aux actifs contingents : e e 1. Le risque de mod`le ou risque de mispricing e 2. Le risque d’impl´mentation e 3. Le risque de param`tres e 4. Le risque de volatilit´ ou risque de smile e 5. Le risque de convexit´ e 6. Le risque de corr´lation e Afin de ne pas alourdir le cours, nous verrons des exemples tr`s simples sans entrer dans les d´tails e e math´matiques. Pour cela, nous utiliserons les r´flexions men´es par Rebonato [2001] et Derman [2001]. e e e 6.4 Conclusion Comme nous avons pu le voir, les mod`les de mesure des risques de march´ demandent beaucoup de e e savoir-faire. Celui-ci ne doit pas seulement concerner les instruments de march´ ou les aspects financiers, e mais aussi les outils statistiques et la gestion des bases de donn´es. Cependant, pour reprendre l’expression e de Boulier et al. [1997], mesurer n’est pas g´rer. La gestion des risques de march´ ne consiste pas e e seulement ` mesurer son risque. Elle cherche surtout ` l’analyser, ` le comprendre. En d´finitive, elle a a a e passe par la compr´hension de la micro-structure de son risque de march´. e e Toutefois, il est difficile de finir cette section sans ´voquer les pol´miques autour la VaR. Cette mesure e e ea e ´ – nous l’avons d´j` vu – pose de nombreux probl`mes statistiques. Aux Etats-Unis, cela a conduit ` des a 6.4. CONCLUSION 61
- 72. CHAPITRE 6. LAVALEUR EN RISQUE attaques assez violentes de la part des ´conom`tres et des statisticiens. D’autres critiques plus th´oriques e e e ont ´t´ faites. En premier lieu, elles concernent l’impossibilit´ de mod´lisation du futur par le pass´ (voir ee e e e la controverse entre Nassim Taleb et Phillipe Jorion — r´f´rences [21], [27] et [28]). En second lieu, elles ee portent sur la coh´rence de la VaR en tant que mesure des risques. D’apr`s l’axiomatique d´velopp´e e e e e par Artzner, Delbaen, Eber et Heath [1998], la VaR ne v´rifie pas la propri´t´ fondamentale de e ee sous-additivit´9 . Deux types de mesures coh´rentes du risque ont alors ´t´ propos´s. Soit X la variable e e ee e e e ¨ al´atoire d´crivant la position nette du portefeuille, Embrechts, Kluppelberg et Milkosh [1997] d´finissent de la fa¸on suivante : e c = E −X| X ≤ x− (6.27) Dans ce cas, n’est plus un quantile (comme pour la VaR), mais l’esp´rance de perte au del` d’un certain e a quantile (qui pourrait ˆtre ´ventuellement le niveau de la VaR). Artzner, Delbaen, Eber et Heath e e [1997] ont sugg´r´e une deuxi`me mesure de risque proche de la pr´c´dente : ee e e e = sup E −X| X ≤ x− , P = p p ∈ ℘ (6.28) avec ℘ l’ensemble des distributions de probabilit´s des ´tats de la nature. ℘ est aussi appel´ l’ensemble e e e des “sc´narios g´n´ralis´s”. Dans ce cas, pour chaque sc´nario appartenant ` ℘, on calcule l’esp´rance e e e e e a e de perte (x− = 0) ou l’esp´rance de perte au del` d’un certain quantile (x− 0), puis on d´termine la e a e plus grande valeur parmi tous les sc´narios de ℘. Comme le font remarquer les auteurs, cela exige une e r´flexion approfondie pour d´finir ℘ : e e The generalized scenarios method is the universal coherent risk measurement method : it requires thinking before calculating, which can only improve risk management. Bibliographie [1] Andersen, T.G. [1994], Stochastic autoregressive volatility : a framework for volatility modeling, Mathematical Finance, 4, 75-102 [2] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1997], Thinking coherently, Risk magazine, 10, November, 68-71 [3] Artzner, A., F. Delbaen, J-M. Eber et D. Heath [1998], Coherent measures of risk, Eidgen¨ssische o Technische Hochschule, Z¨rick, Working Paper u [4] Baker, M., J. Tattersall et R. Wilson [1996], Cad and beyond, Risk Magazine, 9-2, February [5] Bollerslev, T. [1986], Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econo- metrics, 50, 987-1008 [6] Bollerslev, T., R.F. Engle et D.B. Nelson [1993], ARCH models, in The Handbook of Econo- metrics, Volume 4, chapter 11 [7] Boulier, J-F., A. Brabant, R. Dalaud et A-L. Dieu [1997]. Risques de march´ : Vue de Profil, e Direction de la Recherche et de l’Innovation, Cr´dit Commercial de France, Quants, 28 e [8] Britten-Jones, M. et S.M. Schaefer [1997], Non-linear Value at Risk, London Business School, Working Paper ´ [9] Cardenas, J., E. Fruchard, E. Koehler, C. Michel et I. Thomazeau [1997], VaR : One step beyond, Risk magazine, 10, October, 72-75 [10] Christoffersen, P.F., F.X. Diebold et T. Schuermann [1998], Horizon Problems and Extreme Events in Financial Risk Management, FRBNY Economic Policy Review [11] Danielsson, J. et C.G. de Vries [1997a], Value-at-Risk and Extreme Returns, Tinbergen Institute Rotterdam, Mimeo [12] Danielsson, J. et C.G. de Vries [1997b], Beyond the Sample : Extreme Quantile and Probability Estimation, Tinbergen Institute Rotterdam, Mimeo 9 Cela veut dire que la VaR globale de deux portefeuilles peut ˆtre sup´rieure ` la somme des VaRs individuelles des e e a deux portefeuilles ! INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 62
- 73. ´ [13] Dave, R.D.et G Stahl [1999], On the accuracy of VaR estimates based on the variance-covariance approach, Olsen Associates, Z¨rich, Working Paper u [14] Derman, E. [2001], Markets and model, Risk Magazine, 14, July, 48-50 [15] Diebold, F.X., A. Hickman, A. Inoue et T. Schuermann [1997], Converting 1-Day Volatility to h- √ Day volatility : Scaling by h is worse than you think, The Wharton School, University of Pennsylvania, 97-34 [16] Engle, R.F. [1982], Autoregressive conditional Heteroskedasticity with estimates of the variance of the U.K. inflation, Econometrica, 50, 987-1008 ¨ [17] Embrechts, P., Kluppelberg, C. et T. Mikosch [1997], Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer-Verlag, Berlin [18] Feller, W. [1968], An introduction to probability theory and its applications, volume 1, trois`me e ´dition, John Wiley Sons, New York e [19] Guldimann, Til. [1994], RiskMetricsT M Technical Document, 2nd edition, J.P. Morgan, New York [20] Hendricks, D. [1996], Evaluation of Value-at-Risk models using historical data, Federal Reserve Board of New York, FRBNY Economic Policy Review, April, 39-69 [21] Jorion, P. [1997], In defense of VaR, Derivatives Strategy [22] Lopez, J. [1998], Methods for evaluating Value-at-Risk estimates, Federal Reserve Bank of New York [23] Rebonato, R. [2001], Model risk : new challenges, new solutions, Risk Magazine, 14, March, 87-90 [24] Rouvinez, C. [1997], Going greek with VaR, Risk Magazine, 10, February [25] Rubinstein, M. [1998], Edgeworth binomial trees, Journal of Derivatives, spring, 20-27 [26] Stahl, G. [1997], Three cheers, Risk Magazine, 10, May [27] Taleb, N. [1997a], The world according to Nassim Taleb, interview by editor Joe Kolman, Derivatives Strategy, December/January [28] Taleb, N. [1997b], Against Value-at-Risk : Nassim Taleb replies to Phillipe Jorion, document non publi´ e [29] Taylor, S.J. [1994], Modeling stochastic volatility : a review and comparative study, Mathematical Finance, 4, 183-204
- 75. 7 Les programmes destress-testing Comme le pr´conisent les autorit´s r´glementaires, les ´tablissements financiers doivent effectuer e e e e r´guli`rement des simulations de crise afin de connaˆ e e ıtre le montant des pertes potentielles en cas de fluctuations dangereuses et importantes du march´. Il faut tout de suite pr´ciser que malgr´ le caract`re e e e e obligatoire, ces simulations de crises ne sont en aucun cas utilis´s pour calculer l’exigence en fonds propres. e Cependant, l’utilisation de simulations de crises est l’un des quatre principes de base d´finis e par la Commission Bancaire pour qu’un mod`le interne soit valid´. Le but de ces simulations e e est alors de compl´ter le dispositif de mesure des risques, et notamment les mesures de VaR 1 . e Ces simulations de crises, parfois appel´es sc´narios de stress, et plus connu sous le terme anaglais stress e e testing, doivent ˆtre des outils pour appr´hender l’exposition de la banque ` une crise grave. Contrairement e e a a ` la VaR, elles doivent permettre de r´pondre ` la question suivante : e a Quel est le montant de perte auquel la banque doit faire face lors de la prochaine crise si le portefeuille de n´gociation ne change pas ? e La notion de probabilit´ disparaˆ Statistiquement, les stress testing font donc r´f´rence ` un maximum, e ıt. ee a et non ` un quantile. C’est une vision du risque extrˆme. Le point de vue est donc assez diff´rent de celui a e e de la VaR, puisque le r´gulateur est beaucoup moins concern´ par cette mesure (mˆme si la m´thodologie e e e e doit lui ˆtre communiqu´e). Les mesures fournies par les stress testing sont avant tout destin´es au risk e e e management et ` la direction g´n´rale. Celles-ci doivent faire l’objet d’une analyse d´taill´e afin de a e e e e bien comprendre l’exposition de la banque et afin de bien v´rifier que ce risque extrˆme est ` un e e a niveau supportable : The art of stress testing should give the institution a deeper understanding of the specific portfolios that could be put in jeopardy given a certain situation. The question then would be : “Would this be enough to bring down the firm ?” That way, each institution can know exactly what scenario it is they do not want to engage in (Michael Ong, ABN Amro, in Dunbar et Irving [1998]). Deux grandes familles de stress testing existent : les m´thodes objectives et les m´thodes dites subjec- e e tives. Le premier type utilise les faits historiques (des faits qui se sont r´ellement pass´s) pour construire e e les sc´narios, alors que la seconde famille est bas´e sur des hypoth`ses de travail. Pour ˆtre plus pr´cis, e e e e e nous pouvons classer les stress testing selon trois approches (Dunbar et Irving [1998]) : 1 Une´tude men´e par Tucker et Lawrence [1998] sur le risk management aupr`s de 679 institutions de 25 pays montre e e e que 93% des risk managers consid`rent qu’une mesure VaR est insuffisante comme mesure de risque. e
- 76. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING 1. La premi`re est la plus simple : elle consiste ` utiliser les donn´es des crises pass´es et ` employer la e a e e a m´thode de simulation historique sur ces p´riodes troubl´es pour calculer une perte potentielle e e e maximale (et non une VaR). L’´tablissement financier a alors une estimation de ce que causerait e la survenance de ces mˆmes crises avec le portefeuille de n´gociation actuel. e e 2. La deuxi`me approche est une analyse structur´e des sc´narios. Les ´v`nements historiques sont e e e e e utilis´s en les appliquant aux conditions actuelles de march´. Par exemple, nous pouvons analyser e e l’incidence de la hausse des taux de 1994 par la Federal Reserve Bank si elle survenait aujourd’hui. Contrairement ` la premi`re m´thode qui utilisent les donn´es historiques, cette m´thode va donc a e e e e utiliser des donn´es simul´es ` partir des donn´es actuelles et des ´v`nements pass´s. e e a e e e e 3. La troisi`me approche est une analyse de sc´narios sp´cifiques. Pour cela, il convient d’identifier une e e e situation qui risque de menacer l’´tablissement financier. Cette m´thode ne fait donc pas r´f´rence e e ee aux ´v`nements pass´s, mais utilisent des hypoth`ses sur les crises potentielles futures. e e e e Les stress testing sont donc des suites de questions que doit se poser l’´tablissement financier sur son e risque : In essence, a comprehensive stress-testing programme asks a series of “what if” questions that force risks managers to try to predict what risk banks could face next time disaster strikes (Dunbar et Irving [1998]). Par exemple, voici le genre de questions que peut se poser la banque : – Quel est l’impact d’une hausse des taux directeurs de 100 points de base ? – Que se passe-t-il si la courbe des taux s’inverse ? – Quelles sont les r´percussions d’une d´valuation ? e e – Que se passe-t-il en l’absence de liquidit´ ? e – Quel est l’impact d’une hausse des prix de l’immobilier ? – etc. Il est tout d’abord important de noter qu’il n’existe pas aujourd’hui de standard plus pr´cis pour e l’´laboration des sc´narios de crise. On se contentera donc dans un premier temps d’avoir ` l’esprit la e e a probl´matique suivante : un programme de simulation de crise doit ˆtre en mesure de r´pondre ` ces trois e e e a questions : – Quelles seront les pertes si le sc´nario X se produit ? e – Quels sont les pires sc´narios pour l’institution ? e – Que pouvons-nous faire pour limiter les pertes dans ce cas ? Sachant par ailleurs que l’int´rˆt de la Commission Bancaire est que ces simulations puissent influencer ee directement les choix de la direction en mati`re de gestion du risque, il faut avoir en tˆte deux autres e e exigences : – la cr´dibilit´ du sc´nario aux yeux de la direction g´n´rale ; e e e e e – la bonne lisibilit´ pour cette derni`re de l’exposition du portefeuille aux diff´rents facteurs de risque e e e pr´alablement d´finis. e e 7.1 Directions m´thodologiques choisies par les institutions bancaires e Nous fournissons ici les r´sultats d’une enquˆte men´e par Deloitte Touche en 1999 aupr`s de 200 e e e e banques dans le monde sur le Risk Management et publi´e en mai 2000 dans la revue Banque Magazine : e L’utilisation du stress testing (en % des ´tablissements interrog´s) e e Actuels Envisag´se 1 Sc´narios reposant sur la politique et l’´conomie e e 40% 45% 2 Sc´narios chocs march´s e e 70% 55% 3 Chocs historiques 65% 58% 4 Stress testing global 30% 50% 5 Micro-stress testing 44% 29% 6 Th´orie des valeurs extrˆmes e e 5% 24% INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 66
- 77. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING On assimilera les m´thodes 1, 2, 4 et 5 ` des m´thodes subjectives ; les m´thodes 3 et 6 correspondent e a e e ´videmment ` l’approche historique et ` l’approche syt´matique utilisant les extrˆmes. e a a e e Il ressort de cette enquˆte qu’au sein d’une mˆme banque, sont bien utilis´es plusieurs approches pour e e e r´pondre aux diff´rentes exigences de la Commission Bancaire. Les chocs historiques sont, et resteront, e e largement utilis´s, ceci s’expliquant par le fait qu’ils sont ` la fois explicitement demand´s par la Com- e a e mission Bancaire et facilement implementables. Cette approche ne suscite gu`re de pol´miques tant sur e e le plan technique que conceptuel. Les m´thodes subjectives sont elles aussi tr`s bien repr´sent´es : peu e e e e fiables, aux dires des Risk Managers, elles restent n´anmoins aujourd’hui ce que l’on peut faire de mieux, e ou de “moins pire”, lorsque l’on tente d’anticiper l’avenir. Enfin, nous pouvons constater que l’utilisation de la th´orie des valeurs extrˆmes est aujourd’hui marginale mais tend ` se d´velopper : ceci s’explique e e a e sans doute par son introduction relativement r´cente dans le traitement des probl`mes financiers. e e 7.2 L’approche historique Ce type d’approche est demand´e explicitement par la Commission Bancaire. L’id´e est simple : on se e e concentre sur l’´volution de nos facteurs de risque sur une p´riode donn´e (typiquement du 1er janvier e e e 1987 au 31 d´cembre 1999) et on en d´duit la ou les “pires p´riodes” qui constitueront nos sc´narios e e e e de crise. C’est ´videmment dans le choix de ces “pires p´riodes” que va r´sider la qualit´ des sc´narios e e e e e propos´s. e Ainsi l’approche la plus simple consiste ` r´pertorier pour chaque facteur de risque la variation, ` la a e a hausse ou ` la baisse, la plus importante sur un pas de temps pr´alablement choisi. On peut alors composer a e diff´rents sc´narios de crise en s´lectionnant certaines de ces valeurs, les autres facteurs de risque ´tant e e e e cens´s rest´s identiques ` leur valeur actuelle. On voit n´anmoins que l’absence de corr´lation entre les e e a e e diff´rents facteurs est un obstacle ` la cr´dibilit´ de tels sc´narios d’o` l’id´e de choisir comme sc´nario e a e e e u e e de crise une configuration historique incluant tous les facteurs. Le pire serait alors d´fini sur la base des e caract´ristiques du portefeuille actuel : soit en calculant les valeurs potentielles du portefeuille pour les e p´riodes pass´es, soit en calculant la moyenne pond´r´e des variations des facteurs pour chaque p´riode ; e e ee e dans les deux cas, le pire est d´fini comme la p´riode o` le minimum a ´t´ obtenu. Ce type d’appoche e e u ee fournit alors un sc´nario de crise dont la cr´dibilit´ est assur´e puiqu’il s’est d´j` produit. e e e e ea L’avantage de cette m´thode repose donc dans sa bonne cr´dibilit´ ainsi que dans sa facilit´ de mise en e e e e place. Elle fournit ´galement un cadrage quantitatif aux m´thodes subjectives : la perte potentielle maxi- e e male calcul´e dans le pass´ sur la base du portefeuille actuel peut fournir l’ordre de grandeur des pertes e e cumul´es pour tout sc´nario subjectivement cr´´. N´anmoins, ce type d’approche pr´sente l’inconv´nient e e ee e e e d’ˆtre peu lisible : on obtient une perte agr´g´e et d´pendant de la “pire p´riode”, ce qui rend difficile e e e e e pour la direction g´n´rale, la localisation objective des zones ` risque de son portefeuille. e e a 7.3 Une approche subjective : le macro stress-testing Qu’entend-on par m´thode subjective ? il s’agit d’une m´thode non plus fond´e sur l’analyse des donn´es e e e e pass´es mais qui, ` partir d’un ´v´nement inattendu (politique ou ´conomique), tente de cr´er l’enchaine- e a e e e e ment des ´v´nements engendr´s puis les calibre quantitativement de mani`re ` cr´er le sc´nario de crise. e e e e a e e On a donc une m´thode en deux ´tapes : ´laboration d’un sc´nario dynamique ` partir d’une entr´e (par e e e e a e exemple −8% sur le Dow Jones), puis construction d’un bilan final chiffr´ en terme de facteurs de risque e du portefeuille. On parle de macro stress-testing lorsqu’on entend d´duire la dynamique de la crise ainsi e que le bilan chiffr´ des mod`les macro-´conomiques actuels. e e e Ce type de sc´nario est indispensable car lui seul permet de cr´er des sc´narios de crise non inf´rables e e e e a ` partir des donn´es du pass´ bien que plausibles. N´anmoins pour ˆtre efficace ce type d’approche doit e e e e ˆtre cr´dible. On pourra donc envisager : e e – d’utiliser plusieurs degr´s de gravit´ dans les sc´narios de crise ; e e e 7.2. L’APPROCHE HISTORIQUE 67
- 78. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING – d’impliquer dans sa construction un grand nombre de personnes aux comp´tences vari´es et jusqu’` e e a des niveaux de responsabilit´ tr`s ´lev´s ; e e e e – de cr´er r´guli`rement de nouveaux sc´narios adapt´s aux changements politiques et ´conomiques. e e e e e e Exemple 1 Herv´ Goulletquer, Senoir Economist au Cr´dit Lyonnais, nous a fourni un exemple de e e sc´nario de crise concernant une baisse de Wall Street difficilement g´rable (voir Costinot, Riboulet and e e Roncalli [2000]). Aux Etats-Unis, sous le double effet d’une activit´ qui ralentit et d’une inflation qui e devient moins sage, le march´ des actions se retourne assez brutalement (−8% sur un mois pour l’indice e Dow Jones). La R´serve f´d´rale est incapable de r´pondre de suite ` cette baisse brutale des cours. Les e e e e a taux courts restent en l’´tat tout au long du mois concern´. Le dollar subit la pression baissi`re li´e e e e e aux rapatriements de capitaux vers l’Europe et le Japon. L’Euro s’appr´cierait de 3 cents par rapport e au Dollar (toujours en un mois). La hausse de la Livre serait un peu plus forte (6 cents). Dans ce contexte de sortie de capitaux du pays, et aussi dans un environnement qui dans un premier temps reste marqu´ par la crainte de plus d’inflation, le march´ obligataire est mal orient´. Le rendement ` 10 ans e e e a d’une obligation du Tr´sor am´ricain se tend assez nettement (+55 bp). En Europe, la hausse de l’Euro e e freine la remont´e des taux longs (+20 bp en un mois). Dans ces conditions, la baisse du CAC40 peut e difficilement se comparer ` celle de Wall Street. Elle n’atteint que 5%. Et la BCE ne juge pas utile de a revoir son r´glage mon´taire. e e 7.4 La m´thode WCS e Boudoukh, Richardson et Whitelaw [1995] d´finisse l’analyse “worst-case scenario” (ou WCS) de e la fa¸on suivante : c WCS asks the following question : what is the worst that can happen to the value of the firm’s trading portfolio over a given period (eg, 20 trading days) ? Comme l’explique Bahar, Gold, Kitto et Polizu [1997], l’utilisation de l’analyse WCS est motiv´e e par les pr´occupations r´elles des risk managers : e e ...VaR has been criticised at a more fundamental level — that it asks the wrong question... VaR requires a probability that loss shocks, over a short horizon, will not exceed a certain figure. This is often interpreted as expressing the number of times a loss shock in excess of the subjective threshold would occur over a long time horizon. But managers are more likely be concerned with the probability of realising a specific loss shock, rather than the probability of landing in a region of large loss shocks. L’analyse WCS consiste ` diviser une p´riode de r´f´rence T en N sous-intervalles de mˆme longueur. Soit a e ee e Xn la variable al´atoire d´crivant la position nette du portefeuille pour le n-i`me sous-intervalle. Dans ce e e e contexte, nous pouvons d´finir la mesure de VaR ` partir du nombre de sous-intervalles qui pr´sentent e a e une perte sup´rieure ` une valeur donn´e x− : e a e N 1[Xn ≤x− ] n=1 =1−α (7.1) N avec α le seuil de confiance. Pr´sent´ de cette fa¸on, x− n’est rien d’autre que la mesure VaR. En e e c revanche, l’analyse WCS consid`re la distribution de la perte maximale (ou la fonction de distribution e du pire) parmi les sous-intervalles. On cherche donc ` caract´riser la fonction de distribution GN de a e χ− = min (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ). Si nous supposons que les variables al´atoires Xn sont ind´pendantes N e e et de mˆme loi de distribution F, nous avons e GN (x) = Pr χ− ≤ x N = 1 − Pr (X1 x, . . . , Xn x, . . . , XN x) N = 1 − [1 − F (x)] (7.2) Notons gN et f les fonctions de densit´ correspondantes, nous pouvons montrer facilement que e N −1 gN (x) = N × [1 − F (x)] f (x) (7.3) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 68
- 79. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING et 1 G−1 (α) = F−1 1 − (1 − α) N N (7.4) G−1 (α) est donc le quantile de la fonction de distribution du pire. A titre d’illustration, nous avons N repr´sent´ sur le graphique (7.1) les fonctions WCS de densit´ et de r´partition pour une loi normale et e e e e une loi de Student ` un degr´ de libert´. a e e GRAPHIQUE 7.1. Fonction de distribution de χ− N Remarque 8 Lorsque N est ´gal ` 1, c’est-`-dire lorsque nous ne consid´rons qu’un seul jour de trading, e a a e nous avons G1 (x) = F (x), g1 (x) = f (x) et G−1 (α) = F−1 (α). Dans ce cas, G−1 (α) est exactement 1 1 la Valeur en Risque. G−1 (α) apparaˆ comme une extension de la mesure VaR. Nous notons celle-ci WCS . Cette mesure N ıt de risque d´pend donc de deux param`tres, N le nombre de jours de trading et α la probabilit´2 que la e e e perte d´passe WCS . Prenons un exemple. Nous supposons que la position nette du portefeuille X suit e une loi gaussienne standard N (0, 1). Nous avons report´ les valeurs prises par G−1 (α) dans le tableau e N suivant : N −α 0.5% 1% 5% 10% 1 2.5758 2.3263 1.6449 1.2816 5 3.0896 2.8769 2.3187 2.0365 10 3.2899 3.0889 2.5679 2.3087 100 3.8900 3.7178 3.2834 3.0748 250 4.1069 3.9432 3.5334 3.3384 2 Nous avons donc αWCS = 1 − αVaR ´ 7.4. LA METHODE WCS 69
- 80. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING Lorsque l’horizon consid´r´ est un jour de trading et pour α ´gal ` 1%, la mesure de risque est bien ´gale ee e a e a ` 2.33, la Valeur en Risque. Lorsque nous prenons 5 jours de trading, la mesure de risque passe ` 2.88. a Nous voyons bien que le risque d´pend alors du nombre de jours de trading consid´r´. La coubure de la e ee fonction G−1 (α) en fonction de N nous donne une certaine vision “dynamique” du risque3 . A partir N de la fonction de distribution du pire, nous pouvons construire d’autres mesures de risque. Par exemple, nous pouvons consid´r´ l’esp´rance du pire η (N ) d´finie par ee e e η (N ) = −E [χN ] N −1 ≡ −N × [1 − F (x)] f (x) x dx (7.5) Comme le montre le graphique (7.2), cette esp´rance du pire d´pend fortement de la fonction de densit´ e e e et notamment de la queue gauche de celle-ci. Nous voyons clairement que dans le cas o` la fonction de u distribution des pertes potentielles est leptokurtique (cas de la Student T1 ), la diff´rence de risque entre e cette distribution et la distribution gaussienne estim´e peut croˆ tr`s fortement avec N . e ıtre e GRAPHIQUE 7.2. L’influence de la queue de distribution sur η (N ) On associe g´n´ralement l’analyse WCS aux simulations de crises, car elles sont toutes les deux li´es ` e e e a la notion de temps de retour. En g´n´ral, une m´thodologie VaR a du mal ` appr´hender les crises. En e e e a e effet, les temps de retour bas´s sur les VaRs manquent g´n´ralement de r´alisme. L’analyse WCS ou la e e e e th´orie des extrˆmes, qui fait l’objet de la prochaine section, sont des outils plus adapt´s dans ces cas-l` e e e a (Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu [1997]) : On remarque d’abord le r´alisme des r´sultats obtenus par la m´thode statistique des e e e extrˆmes. Ainsi, lors du krach d’octobre 1987, la variation quotidienne la plus forte de l’indice e MSCI France fut de 8.4%. Cette chute correspond ` une dur´e de retour estim´e ` treize ans a e e a par la m´thode des extrˆmes, alors que l’approche par la loi normale fournit une dur´e de e e e retour de l’ordre de dix milliards d’ann´es. Ici la m´thode param´trique est mise en d´faut e e e e parce que le quantile consid´r´ (99.97%) a trait ` un ´v´nement tr`s rare. ee a e e e 3 Cependant, comme les variables al´atoires Xn sont ind´pendantes, cette dynamique ne tient pas compte des effets de e e contagion. INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 70
- 81. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING 7.5 La th´orie des valeurs extrˆmes e e 7.5.1 Une introduction heuristique des extrˆmes e La distribution gaussienne est parfaitement caract´ris´e par ses deux premiers moments. La connais- e e sance de la moyenne et de la variance permet alors de calculer tous les quantiles. Avec l’hypoth`se de e normalit´, l’analyse statistique porte donc sur les caract`res les plus visibles et les plus faciles ` in- e e a terpr´ter. La gestion du risque est une gestion des ´v`nements inattendus, des ´v`nements rares. Avec la e e e e e distribution gaussienne, ces ´v`nements ont un caract`re “predictable”. Et rien ne sert pour cela d’´tudier e e e e leur fr´quence, puisque celle-ci se d´duit des deux premiers moments. e e Contrairement ` l’inf´rence statistique gaussienne, la th´orie des valeurs extrˆmes consiste ` analyser a e e e a les occurences qui pr´sentent des fr´quences tr`s faibles. Consid´rons la figure (7.3). Nous avons repr´sent´ e e e e e e sur celle-ci la fonction de densit´4 des variations normalis´es du cours de la banque LLOYDS/TSB pour la e e p´riode allant de janvier 1994 ` juillet 1999. L’analyse gaussienne consiste ` se focaliser sur les ´v`nements e a a e e qui sont concentr´s autour du mode de la fonction de densit´. Cela revient ` s’´loigner suffisament pour e e a e ne distinguer que la forme g´n´rale sans consid´rer les parties accident´es de cette fonction de densit´. e e e e e La th´orie des extrˆmes consiste ` se rappocher, ` op´rer des agrandissements afin de mieux visualiser e e a a e les parties extrˆmes de la fonction de densit´. Cela implique qu’une grande partie des donn´es n’est pas e e e int´ressante lors de l’analyse. Seules les observations qui pr´sentent un int´rˆt pour mod´liser les extrˆmes e e ee e e seront utilis´es. e GRAPHIQUE 7.3. Queue de distribution des rendements du titre LLOYDS/TSB Par exemple, si nous ´tudions la distribution jointe des cours BARCLAYS et LLOYDS/TSB, les obser- e vations qui sont proches du centre de l’ellipse de covariance gaussienne contiennent de l’information tr`s e peu utilisable pour mod´liser le risque associ´ ` un portefeuille compos´ de ces deux titres. L’information e ea e pertinente correspond en fait aux observations qui sont ` l’ext´rieur des ellipses de covariance 95% a e et 99% (voir la figure (7.4)). Et nous voyons notamment que l’utilisation d’une distribution normale ` a deux dimensions n’est pas appropri´e pour mod´liser la loi jointe des cours LLOYDS/TSB et BARCLAYS, e e 4 estim´e e par la m´thode non param´trique du noyau d’Epanechnikov. e e ´ ˆ 7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 71
- 82. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING puisque de nombreuses r´alisations sont dans des domaines qui pr´sentent des occurences tr`s faibles (qui e e e sont ´gales num´riquement ` z´ro). e e a e GRAPHIQUE 7.4. Distribution jointe des rendements des titres BARCLAYS et LLOYDS/TSB Il faut bien comprendre que la th´orie des valeurs extrˆmes, mˆme si elle est li´e aux recherches dans e e e e le domaine des queues ´paisses, n’est pas un outil de mod´lisation du caract`re leptokurtique e e e d’une distribution. En fait, elle permet de caract´riser la loi des extrema. Dans la section pr´c´dente, e e e nous d´terminions la distribution des minima ` partir de la fonction de densit´ qui les engendrent. La e a e th´orie des valeurs extrˆmes va nous permettre, en particulier, d’estimer directement la distribution ` e e a partir des donn´es. L’id´e est donc la suivante : e e Que pouvons nous dire de la distribution limite lim GN (x) N −→∞ sans faire d’hypoth`ses sur la distribution F ? e Comme l’explique McNeil [1998a], nous ne pouvons affirmer que la th´orie des valeurs extrˆmes permet e e de pr´dire le futur avec certitude. Mais le pass´ contient assez d’information (qui n’est pas forc´ment e e e observable) sur les extrema pour pouvoir mod´liser G∞ (x), sans pour autant vouloir connaˆ la fonction e ıtre F. Et cela est possible, car sous certaines conditions, G∞ (x) ne peut ˆtre d´cliner qu’en un nombre e e tr`s limit´ de lois de distribution (voir l’annexe 7.5.6.1 pour une d´monstration intuitive). e e e 7.5.2 La th´orie classique e 7.5.2.1 Pr´sentation des 3 lois d’extrˆmes e e Nous reprenons les notations introduites pour d´finir la distribution du pire. Nous consid´rons N varia- e e bles al´atoires X1 , . . . , Xn , . . . , XN ind´pendantes et de mˆme loi de distribution F dont nous cherchons ` e e e a ´tudier le comportement des extrˆmes χ− = min (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ) et χ+ = max (X1 , . . . , Xn , . . . , XN ). e e N N Pour cela, nous pouvons utiliser la statistique d’ordre Y sur X, c’est-`-dire que nous avons a χ− = Y1 ≤ · · · ≤ Yn ≤ · · · ≤ YN = χ+ N N (7.6) k(N ) Consid´rons alors la variable al´atoire Λ = e e (Yn ). Embrechts, Resnick et Samorodnitsky n=1 [1997] donnent diff´rents exemples d’utilisation de Λ en finance : e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 72
- 83. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING 1 – Si (y) = k(N ) × y, Λ correspond ` la moyenne des k (N )-i`mes pertes les plus importantes ; a e – Si (y) = (y − − y)+ et k (N ) = N , Λ repr´sente la somme des pertes plus grandes qu’un seuil ; e – Si (y) = y et k (N ) = αN , Λ est le quantile α de X. Avec la th´orie des extrˆmes, nous nous int´ressons directement ` Λ = Y1 et Λ = YN . Pour cela, nous e e e a avons besoin du th´or`me de Fisher-Tippet qui permet de caract´riser la loi de distribution des extrˆmes : e e e e Th´or`me 1 (Th. 3.2.3 de Embrechts, Kl¨ ppelberg et Mikosch (1997)) Supposons N variables e e u al´atoires X1 , . . . , Xn , . . . , XN ind´pendantes et de mˆme loi de distribution F. S’il existe des constantes e e e aN et bN et une distribution limite non d´g´n´r´e G telles que e e e e χ+ − bN N lim Pr ≤x = G (x) ∀x ∈ R (7.7) N −→∞ aN alors G appartient ` l’un des trois types suivants de distribution : a 0 x≤0 0 Type I (Frechet) G (x) = g (x) = exp (−x−α ) x0 αx−(1+α) exp (−x−α ) α α−1 α exp (− (−x) ) x≤0 α (−x) exp (− (−x) ) Type II (Weibull) G (x) = g (x) = 1 x0 0 Type III (Gumbel) G (x) = exp (−e−x ) x∈R g (x) = exp (−x − e−x ) C’est l’un des r´sultats les plus importants de la th´orie des extrˆmes : sous certaines conditions, la loi e e e de distribution des extrˆmes est l’une des trois lois param´triques pr´c´dentes. En fait, nous pouvons e e e e caract´riser ces trois types de distribution par une distribution unique (Coles et Tawn [1999]) : e 1 −ξ x−µ G (x) = exp − 1 + ξ (7.8) σ d´fini sur le support ∆ = x : 1 + ξ x−µ 0 et que nous notons G (µ, σ, ξ). Cette fonction de distribu- e σ tion correspond ` la loi de probabilit´ de Von Mises, mais elle est plus connue sous le nom de “Generalized a e Extreme Value distribution” (GEV). Nous avons alors les correspondances suivantes : Frechet ξ = α−1 0 Weibul ξ = −α−1 0 Gumbel ξ −→ 0 Remarquons que les param`tres µ et σ sont en fait les limites de bN et aN . A titre d’illustration, voyons e quelques exemples de distribution GEV. Pour cela, nous pouvons facilement montrer que la fonction de densit´ correspondante est e −( 1+ξ ) 1 −ξ 1 x−µ ξ x−µ g (x) = 1+ξ exp − 1 + ξ (7.9) σ σ σ Les graphiques (7.5) et (7.6) pr´sentent des fonctions de densit´ et de r´partition pour diff´rentes valeurs e e e e de param`tre. Lorsque µ varie, nous remarquons une translation des fonctions. µ est donc un param`tre e e de localisation. σ joue le rˆle d’une variance, c’est pourquoi nous le consid´rons comme un param`tre o e e de dispersion. Enfin, le param`tre ξ est li´ au caract`re leptokurtique de la fonction de distribution F. e e e C’est pourquoi on lui donne g´n´ralement le nom d’indice de queue ou d’indice de valeur extrˆme (Drees e e e [1997]). ´ ˆ 7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 73
- 84. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING GRAPHIQUE 7.5. Exemples de distribution GEV (I) GRAPHIQUE 7.6. Exemples de distribution GEV (II) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 74
- 85. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING 7.5.2.2 Quelques remarques sur les lois d’extrˆmes e L’´tude des lois d’extrˆme est tr`s int´ressante. C’est un domaine de recherche prolifique. Dans ce e e e e paragraphe, nous pr´sentons quelques r´sultats remarquables. e e Remarque 9 Reprenons l’analyse WCS et appliquons celle-ci au maximum χ+ . Nous avons alors N N GN (x) = F (x) N −1 gN (x) = N × F (x) f (x) (7.10) et lim GN (x) = G (x) (7.11) N →∞ Il est alors int´ressant d’´tudier la vitesse de convergence qui permet d’avoir une id´e de la p´riode de e e e e r´f´rence de l’analyse WCS pour que celle-ci soit “´quivalente” ` la th´orie des extrˆmes. ee e a e e Voyons un exemple. Nous consid´rons la distribution gaussienne standard. Nous savons que la loi des e extrˆmes correspondante est une Gumbel. Sur le graphique (7.7), nous remarquons que l’approximation e de G1 (x) par une loi de Gumbel est moins bonne que celle de G10000 (x). Nous consid´rons mainte- e GRAPHIQUE 7.7. Convergence de GN vers la distribution de Gumbel lorsque F est gaussienne nant plusieurs distributions : la loi gaussienne, la loi exponentielle, la loi de Student T4 et la loi α-stable sym´trique5 S0.7 (1, 0, 0). Pour mesurer la convergence, Coles et Tawn [1999] proposent d’´tudier gra- e e x−bN phiquement le comportement de − ln − ln GN aN en fonction de N et de le comparer celui-ci de la loi limite. Pour les lois gaussienne et exponentielle, la loi limite est la distribution de Gumbel. Pour les deux autres, c’est la distribution de Fr´chet. Le probl`me est de construire les suites (aN ) et e e χ+ −b (bN ). Pour la loi exponentielle, nous pouvons montrer que si aN = 1 et bN = − ln (N ), NaN N converge bien en loi vers la famille de type III. Pour les autres lois, la connaissance des suites (aN ) et (bN ) n’est 5 voir Nolan [1999]. ´ ˆ 7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 75
- 86. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING GRAPHIQUE 7.8. Convergence de certaines distributions vers la distribution de Fr´chet e pas toujours v´rifi´e6 . Dans ce cas, nous pouvons construire les suites num´riquement en adoptant un e e e crit`re de bonne ad´quation7 entre GN x−bN et la loi limite G (x). Les r´sultats sont pr´sent´s sur le e e aN e e e graphique (7.8). Nous voyons ainsi que la convergence de la loi exponentielle est bien plus rapide que celle de la loi gaussienne. Et les distributions qui ont des queues leptokurtiques (c’est le cas des distributions T4 et S0.7 (1, 0, 0)) pr´sentent des vitesses de convergence plus faibles. e Remarque 10 Le quantile G−1 (α) d’ordre α pour la distribution GEV est donn´ par la formule suivante : e σ −ξ G−1 (α) = µ − 1 − (− ln α) (7.12) ξ Ce quantile est donc fortement influenc´8 par les deux param`tres σ et ξ. A titre d’illustration, le graphique e e (7.9) pr´sente diff´rentes courbes de quantiles en fonction de ξ. Intuitivement, nous comprenons que plus e e la distribution F poss`de de la variance et plus elle est leptokurtique, plus ce quantile sera ´l´v´. e ee e Remarque 11 Nous pouvons montrer que le mode de la distribution GEV est atteint pour la valeur ξ µ+σ (1 − ξ) . Quant ` la moyenne E χ+ , nous pouvons la calculer facilement en utilisant une proc´dure a N e d’int´gration num´rique de type Gauss-Legendre ou Gauss-Hermite. e e Nous avons maintenant presque tous les ´l´ments pour appliquer la th´orie des valeurs extrˆmes ` la ee e e a gestion du risque. Soit P la perte potentielle d’un portefeuille. Mesurer le risque revient alors ` analyser a 6 Coles et Tawn [1999] fournissent deux expressions pour (a ) et (b ) pour la loi gaussienne, mais celles-ci s’av`rent e N N num´riquement non ad´quates, notamment pour des faibles valeurs de N . C’est pourquoi nous avons aussi pr´f´r´ utiliser e e ee e la m´thode num´rique de construction des suites pour la loi gaussienne. e e 7 Nous avons utilis´ une norme e 2 pour le crit`re d’ad´quation. e e 8 En effet, nous avons σ ∂α G−1 (α) = (7.13) α (− ln α)1+ξ INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 76
- 87. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING GRAPHIQUE 7.9. Quantile de la distribution GEV la loi du maximum de −P, c’est-`-dire la distribution du pire. A partir de celle-ci, nous pouvons calculer a les quantiles du pire, l’esp´rance ou le mode du pire, les temps de retour, etc. Avant de voir quelques e applications, il reste cependant ` d´velopper l’inf´rence statistique et les m´thodes d’estimation d’une a e e e distribution GEV. 7.5.2.3 Estimation des param`tres de la distribution GEV e Il existe plusieurs m´thodes pour estimer les param`tres de la distribution GEV. Nous pouvons par e e exemple citer les m´thodes d’estimation de l’indice de queue (de type Hill ou Pickands — voir Drees, e De Haan et Resnick [1998]), la m´thode des moments ou encore les m´thodes de seuil (bas´e par e e e exemple sur la distribution de Pareto g´n´ralis´e). Mais celle qui reste la plus populaire et qui sous e e e certaines conditions est la plus efficace est la m´thode du Maximum de Vraisemblance9 . e Soit θ le vecteur des param`tres. Nous avons e µ θ= σ ξ Nous consid´rons un ´chantillon de donn´es {Xt } de dimension T = ϕN avec ϕ ∈ R. Nous divisons cet e e e ´chantillon en N blocs et nous d´finissons χ+ de la fa¸on suivante e e n c χ+ = max n X1+n(t−1) , t = 1, . . . , ϕ (7.14) L’expression de la vraisemblance de l’observation n est donc −( 1+ξ ) 1 −ξ 1 χ+ − µ n ξ χ+ − µ n L χ+ ; θ n = 1+ξ exp − 1 + ξ (7.15) σ σ σ 9 Nous utilisons ici les notations et la terminologie de Davidson et MacKinnon [1993], ouvrage de r´f´rence sur la ee question du maximum de vraisemblance. ´ ˆ 7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 77
- 88. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING Nous en d´duisons l’expression suivante pour la log-vraisemblance : e 1 −ξ 1+ξ χ+ − µ n χ+ − µ n χ+ ; θ = − ln σ − n ln 1 + ξ − 1+ξ (7.16) ξ σ σ L’estimateur du maximum de vraisemblance correspond alors ` a N ˆML = arg max θ χ+ ; θ (7.17) n θ∈Θ n=1 avec Θ l’espace des param`tres. L’estimation de l’expression (7.17) est relativement ais´e ` condition de e e a prendre quelques pr´cautions, notamment pour la sp´cification de Θ (` cause de la singularit´ au point e e a e ξ = 0). Pour les applications, nous avons utilis´ l’algorithme de Bryoden-Flectcher-Goldfarb-Shanno en e utilisant un jacobien analytique (voir l’annexe 7.5.6.2). 7.5.3 Le concept de temps de retour Pour appliquer la th´orie des extrˆmes ` la finance, il est n´cessaire d’introduire la notion de temps de e e a e retour. Consid´rons un ´v´nement E ayant une probabilit´ d’occurence ´gale ` α. La loi d’apparition de e e e e e a cet ´v´nement est alors une variable al´atoire g´om´trique de probabilit´ α. Son esp´rance math´matique e e e e e e e e est 1 τ= (7.18) α τ est le temps de retour de E. Exemple 2 Consid´rons une VaR 99%. Le temps de retour associ´ ` l’´v´nement “d´passement de la e e a e e e VaR” est 1 τ= = 100 (7.19) 1 − 0.99 Si la p´riode de d´tention est de 1 jour, le temps de retour de la VaR 99% est 100 jours. Cela veut dire e e qu’on d´passe la VaR journali`re en moyenne tous les 100 jours. e e −1 D´finition 1 Soit α = Pr {χ+ ≤ x}. Le temps de retour de l’´v´nement Pr {χ+ x} est ´gal ` (1 − α) e n e e n e a p´riodes de r´f´rence. Le temps de retour en jours est donc e ee 1 τ =ϕ (7.20) 1−α Remarque 12 Nous pouvons comparer les r´sultats entre une V aR traditionnelle et une V aR GEV ` e a partir de la relation suivante : αGEV = 1 − ϕ (1 − αVAR ) (7.21) 7.5.4 Applications ´ Nous reportons les r´sultats obtenus par Bezat et Nikeghbali [2000] et Bouye, Durrleman, Ni- e keghbali, Riboulet et Roncalli [2000] avec la base de donn´es LME (les cours consid´r´s sont celui e ee de l’aluminium AL, du forward 15 mois de l’aluminium AL-15 et du cuivre CU). Nous ´laborons des sc´narios de crise de la mani`re suivante. On se donne des temps de retour ´lev´s e e e e e de l’ordre de 5 ans, 10 ans, 25 ans, 50 ans, 75 ans et 100 ans et on utilise la formule (7.20) pour calculer la variation maximale n´gative des cours sur une journ´e. Les r´sultats obtenus sont10 : e e e 10 Pour information, la valeurs des param`tres estim´s sont e e Param`tres e AL AL-15 CU µ 0.022 0.018 0.028 σ 0.007 0.006 0.013 ξ 0.344 0.275 0.095 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 78
- 89. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING Echelles de Risque (en variation journali`re) e pour des positions longues (en %) Temps de Retour AL AL-15 CU 5 -6.74 -4.82 -8.03 10 -8.57 -5.90 -9.35 25 -11.75 -7.68 -11.23 50 -14.91 -9.36 -12.76 75 -17.14 -10.49 -13.70 100 -18.92 -11.38 -14.39 Echelles de Risque (en variation journali`re) e pour des positions courtes (en %) Temps de Retour AL AL-15 CU 5 6.96 5.79 7.53 10 8.35 7.10 8.82 25 10.46 9.20 10.73 50 12.32 11.12 12.34 75 13.52 12.39 13.36 100 14.43 13.38 14.12 Nous avons report´ en outre sur les figures (7.10) et (7.11) la densit´ des lois d’extrˆmes estim´es ainsi e e e e que la relation entre l’´chelle de risque et le temps de retour dans le cas des positions longues. e Notons qu’il existe d’autres alternatives ` l’utilisation de la GEV. Costinot, Riboulet et Roncalli a [2000] utilisent une approche dite semi-param´trique en s’appuyant sur le fait que les s´ries financi`res e e e appartiennent au domaine d’attraction de la distribution de Fr´chet. Les quantiles extrˆmes se d´duisent e e e des quantiles empiriques ` partir d’une simple homoth´tie param´tr´e par l’indice de queue (voir aussi a e e e les travaux de Straetmans [1999,2000]). Dans cette approche, l’indice de queue est alors donn´ pare l’estimateur de Hill. GRAPHIQUE 7.10. Estimation des densit´ des lois des extrˆmes e e ´ ˆ 7.5. LA THEORIE DES VALEURS EXTREMES 79
- 90. CHAPITRE 7. LESPROGRAMMES DE STRESS-TESTING GRAPHIQUE 7.11. Relation entre l’´chelle de risque et le temps de retour e 7.5.5 Le cas multidimensionnel Cette partie fera l’objet d’un d´veloppement dans le cours “Gestion des risques multiples”. Pour une e ´ premi`re approche, vous pouvez consulter Bezat et Nikeghbali [2000] et Bouye, Durrleman, Ni- e keghbali, Riboulet et Roncalli [2000]. 7.5.6 Annexes 7.5.6.1 Forme g´n´rale d’une loi d’extrˆmes e e e Nous pouvons montrer que la forme g´n´rale d’une loi d’extrˆmes est exp (h (x)). Nous avons GN (x) = e e e N F (x) et N N −1 dGN (x) = F (x) ln F (x) dN + N F (x) f (x) dx (7.22) Nous en d´duisons que e f (x) d ln GN (x) = ln F (x) dN + N dx := hN (x) (7.23) F (x) Il est alors facile de montrer que sous certaines conditions de r´gularit´, hN (x) = h (x) lorsque N −→ ∞ e e et F (x) −→ 1− . En introduisant une contrainte de stabilit´ (la distribution des extrema d’un sous- e ´chantillon doit ˆtre la mˆme que celle de l’´chantillon original), Boulier, Brabant, Dalaud et Dieu e e e e [1997] montrent que h est la solution d’une ´quation fonctionnelle qui ne poss`de que trois solutions. e e 7.5.6.2 Jacobien analytique de la fonction de log-vraisemblance Nous avons 1 1 + ξ − ω− ξ ∂µ χ+ ; θ n = σω 1 (1 + ξ) − ω − ξ (χ+ − µ) − σω n ∂σ χ+ ; θ n = σ2 ω 1 1 (χ+ − µ) (χ+ − µ) ∂ξ χ+ ; θ n = 1 − ω− ξ 2 ln ω − n − n (7.24) ξ ξσω σω INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 80
- 91. avec χ+ − µ n ω =1+ξ (7.25) σ Bibliographie [1] Bahar, R., M. Gold, T. Kitto et C. Polizu [1997], Making the best of the worst, Risk Magazine, 10, August [2] Bezat, A. et A. Nikeghbali [2000], La th´orie des extrˆmes et la gestion des risques de march´, GT e e e ENSAE [3] Boudoukh, J., M. Richardson et R. Whitelaw [1995], Expect the worst, Risk Magazine, 8, September [4] Boulier, J-F., A. Brabant, R. Dalaud et A-L. Dieu [1997]. Risques de march´ : Vue de Profil, e Direction de la Recherche et de l’Innovation, Cr´dit Commercial de France, Quants, 28 e ´ [5] Bouye, E., V. Durrleman, A. Nikeghbali, G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Copulas for finance : a reading guide and some applications, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, e e Working Paper [6] Coles, S. [1998], Extreme value theory and applications, A course presented at the 44th Reuni˜o a Annual de RBRAS, S˜o Paulo, 26-30 July a [7] Coles, S. et J. Tawn [1999], Statistical methods for extreme values, A course presented at the 1988 RSS conference, Strathclyde, September 1998 [8] Costinot, A., G. Riboulet et T. Roncalli [2000], Stress-testing et th´orie des valeurs extrˆmes : e e une vision quantifi´e du risque extrˆme, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working e e e e Paper [9] Davidson, R. et J. MacKinnon [1993], Estimation and Inference in Econometrics, Oxford University Press, Oxford [10] Drees, H. [1997], Optimal rates of convergence for estimates of the extreme value index, University of Cologne, Technical report [11] Drees, H., L. De Haan et S. Resnick [1998], How to make a Hill plot, University of Cologne, Technical report [12] Dunbar, N. et R. Irving [1998], This is the way the world ends, Risk Magazine, 11, December ¨ [13] Embrechts, P., Kluppelberg, C. et T. Mikosch [1997], Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer-Verlag, Berlin [14] Embrechts, P., Resnick, S.I. et G. Samorodnitsky [1997], Extreme value theory as a risk ma- nagement tool, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint u [15] Embrechts, P., Resnick, S.I. et G. Samorodnitsky [1998], Living on the edge, Risk Magazine, 11, January [16] McNeil, A.J. [1997a], On extremes and crashes, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint u [17] McNeil, A.J. [1997b], Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory, ASTIN Bulletin, 27, 117-137 [18] McNeil, A.J. [1998a], History repeating, Risk Magazine, 11, January [19] McNeil, A.J. [1998b], Calculating quantile risk measures for financial return series using extreme value theory, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint u [20] McNeil, A.J. [1999], Extreme value theory for risk managers, Departement Mathematik, ETHZ, Z¨rich, Preprint u [21] Tucker, T et A. Lawrence [1998], Chain reaction, FOW, November, 25-28
- 93. Troisi`me partie e Le risque de cr´dit e 83
- 95. 8 Pr´sentation g´n´rale durisque de cr´dit e e e e 8.1 Origine du risque de cr´dit e L’activit´ bancaire demeure fortement r´glement´e du fait du rˆle particulier jou´ par les ´tablissements e e e o e e financiers dans l’´conomie. Deux raisons principales sont ` l’origine du contrˆle de l’activit´ bancaire. e a o e D’une part, les liens ´troits qu’entretiennent les ´tablissements financiers sont ` l’origine d’un risque e e a syst´mique : la faillite d’une banque peut entraˆ e ıner, par effet de contamination, celle d’autres ´tablissements. e D’autre part, l’Etat demeure le principal garant des d´pˆts bancaires : l’activit´ de contrˆle permet de e o e o maintenir la confiance dans le syst`me bancaire et d’en assurer la p´rennit´. e e e Les premi`res dispositions r´glementaires concernant l’activit´ de cr´dit des banques ont ´t´ ´mises e e e e ee e par le Comit´ de Bˆle. Elles r´pondent ` une logique d’ad´quation des capitaux propres des banques aux e a e a e risques qu’elles prennent : les fonds propres doivent ˆtre suffisants pour couvrir les pertes que les banques e sont susceptibles d’enregistrer. L’Accord de Bˆle (15 juillet 1988) fixe le cadre r´glementaire de l’activit´ a e e de cr´dit de l’ensemble des banques des pays signataires. Le ratio Cooke impose notamment un niveau e de fonds propres minimal : ` chaque actif d´tenu par la banque est associ´ un coefficient de pond´ration a e e e (0%, 20%, 50% ou 100%) en fonction du risque associ´ ; le capital total destin´ ` couvrir le risque doit e ea atteindre au moins 8% de l’ensemble des actifs ainsi pond´r´s. La principale critique formul´e ` l’encontre ee e a des propositions du Comit´ de Bˆle provient de l’absence de fondement ´conomique des coefficients de e a e pond´ration appliqu´s aux actifs : ceux-ci sont fix´s de fa¸on arbitraire si bien qu’ils ne refl`tent pas e e e c e correctement le risque de cr´dit r´el encouru par les banques. e e Face ` cette situation r´glementaire imparfaite, les ´tablissements bancaires cherchent ` mettre en a e e a place des outils de mesure du risque efficaces permettant de d´terminer le capital ´conomique n´cessaire e e e pour chacune de leurs activit´s. De tels outils doivent permettre ` terme d’´valuer et de comparer les e a e rentabilit´s ´conomiques (et non plus comptables) des activit´s dans lesquelles les banques sont engag´es. e e e e Le risque de cr´dit peut ˆtre d´fini comme le risque de pertes cons´cutives au d´faut d’un emprun- e e e e e teur sur un engagement de remboursement de dettes qu’il a contract´es. En g´n´ral, on distingue trois e e e composantes : – Le risque de d´faut correspond ` l’incapacit´ du d´biteur ` faire face ` ses obligations. L’agence e a e e a a Moody’s Investors Service retient la d´finition suivante du risque de d´faut : tout manquement ou e e tout retard sur le paiement du principal ou des int´rˆts . Dans une telle situation, les cr´anciers ee e sont susceptibles d’accuser une perte s’ils ne recouvrent qu’une partie du montant stipul´ par le e contrat de dette. – La deuxi`me composante du risque de cr´dit provient de l’incertitude pesant sur le taux de recou- e e vrement une fois le d´faut survenu. e
- 96. ´ ´ ´ ´ CHAPITRE 8. PRESENTATION GENERALE DU RISQUE DE CREDIT – La d´gradation de la qualit´ du cr´dit constitue la troisi`me source de risque portant sur une dette. e e e e Si la perception de la qualit´ de l’emprunteur se d´t´riore, la prime de risque accord´e par les e ee e march´s financiers s’accroˆ en cons´quence. De plus, si l’emprunteur b´n´ficie d’une note de la part e ıt e e e d’une agence de notation, celle-ci est susceptible de se d´grader suite ` la perception n´gative des e a e march´s. e Notons que les risques de d´faut et de d´gradation sont fortement corr´l´s dans la mesure o` la d´gradation e e ee u e de la qualit´ de la contrepartie peut ˆtre pr´curseur d’un d´faut. Ce sont n´anmoins deux risques bien e e e e e distincts. Le risque de d´gradation se traduit par une possible d´valorisation de la dette au cours sa e e p´riode de vie. Les pertes li´es ` la d´gradation de la qualit´ de la contrepartie se r´alisent donc en cas e e a e e e de vente anticip´e de la dette sans qu’un d´faut se soit pour autant produit. e e 8.2 Le march´ du risque de cr´dit e e C’est un march´ tr`s h´t´rog`ne puisque le risque de cr´dit prend diff´rentes formes. On distingue e e ee e e e n´anmoins deux grandes cat´gories. La premi`re correspond aux prˆts bancaires (et plus g´n´ralement e e e e e e aux diff´rentes facilit´s de cr´dit telles que les lignes de cr´dit confirm´es ou non confirm´es). Dans ce e e e e e e cas l`, l’´v´nement de cr´dit (credit event) est un risque de d´faillance (ou de contrepartie). La seconde a e e e e cat´gorie correspond aux obligations risqu´es. Cela explique en partie que les banques utilisent des outils e e diff´rents pour mesurer et g´rer le risque de cr´dit selon le portfeuille consid´r´. La principale diff´rence e e e ee e tient au choix de l’horizon temporel (default mode (DM) paradigm et Mark-to-market (MTM) paradigm). 8.2.1 Le march´ des prˆts bancaires e e Ce n’est pas un march´ au sens ´conomique du terme. Le risque de cr´dit provient d’une asym´trie e e e e d’information entre la banque et son client. – Prˆts court terme et long terme ; e – Lignes de cr´dit confirm´es et non confirm´es ; e e e – Financement structur´s ; e – etc. 8.2.2 Le march´ des obligations risqu´es e e En ce qui concerne le march´ des obligations risqu´es (risky bond), Turc [1999] consid´re que la e e e probl´matique du risque de cr´dit est triple : e e D’une part, l’´mission des obligations implique une probl´matique de la demande de cr´dit : pourquoi e e e se financer par obligation ? D’autre part elle est achet´e, ´chang´e, agr´ment´e de d´riv´s en tout genre, e e e e e e e sujette ` sp´culation d’o` une probl´matique de trading, ou d’interm´diation financi`re : comment prendre a e u e e e en compte le risque de d´faut dans le prix d’un produit d´riv´ ? Enfin, l’obligation est partie int´grante du e e e e portefeuille d’un investisseur, ce qui engendre un probl´matique de gestion : comment g´rer un portfeuille e e avec risque de cr´dit, comment estimer le risque globalement encouru par le d´tenteur de ce portefeuille ? e e L’investisseur en obligations risqu´es cherche un placement plus rentable que celui des obligations d’´tat e e (sovereign debt). La diff´rence entre la rentabilit´ d’une obligation risqu´e et d’une obligation sˆre est e e e u appel´e le spread de taux. Deux composantes expliquent ce spread de taux : le spread de cr´dit (risque e e de d´pr´ciation de la qualit´ de signature de l’emprunteur) et la liquidit´ (profondeur du carnet d’ordre). e e e e 8.2.3 Les d´riv´s de cr´dit e e e Contrairement aux prˆts bancaires et aux obligations risqu´es qui sont une source de risque de cr´dit, e e e les d´riv´s du cr´dit sont des instruments financiers hors bilan qui permettent de transf´rer le risque de e e e e l’actif ` une contrepartie sans c´der cet actif. a e 1. Premi`re g´n´ration de d´riv´s de cr´dit e e e e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 86
- 97. – Credit Guarantees – Revolving Credit – Repo Market – Asset Swaps – Structured Notes 2. Deuxi`me g´n´ration de d´riv´s de cr´dit e e e e e e – Credit default swaps (CDS) – Default digital put – Total return swaps – Credit linked notes – Spread Options 3. Troisi`me g´n´ration de d´riv´s de cr´dit e e e e e e – First-to-defaults (F2D) – First losses – Collateralized bond obligations (CBO) – Collateralized loan obligations (CLO) – Collateralized debt obligations (CDO) – Basket credit derivatives Bibliographie [1] Credit risk modelling : current practices and applications, Basle Committee on Banking Supervision, April 1999, N◦ 49 [2] Legras, J. et L. Bonnat [2001], Le Cooke est mort, vive le Cooke, Cr´dit Commercial de France, e Quants, 38 [3] Turc, J. [1999], Pr´sentation du march´ du risque de cr´dit, CDC March´s, S´minaire INRIA du 8 e e e e e juin 1999
- 99. 9 L’approche standard 9.1 Lar´glementation prudentielle e Nous rappelons que l’exigence minimale en fonds propres est compos´e de trois ´l´ments fondamentaux : e ee 1. une d´finition du capital r´glementaire, e e 2. une d´finition des actifs pond´r´s, e ee 3. et un ratio minimal de capital pour ces actifs pond´r´s : ee Capital ≥ 8% Total des actifs risqu´s pond´r´s e ee Le total des actifs risqu´s pond´r´s est la somme des actifs pond´r´s pour le risque de cr´dit et 12,5 fois e ee ee e les fonds propres r´glementaires pour les risques de march´ et op´rationnel. e e e Remarque 13 Contrairement aux risques de march´ et op´rationnel, la base de calcul concerne directe- e e ment la mesure des actifs pond´r´s et non les fonds propres r´glementaires (raison historique). Le Comit´ e e e e de Bˆle donne l’exemple suivant. Si les fonds propres r´glementaires sont ´gaux ` $10 pour le risque de a e e a march´ et $20 pour le risque op´rationnel, et si la valeur des actifs pond´r´s pour le risque de cr´dit e e e e e est $875, alors le total des actifs risqu´s pond´r´s est $1250 (875 + 12.50 × 10 + 12.50 × 20). L’exigence e e e minimale en fonds propres est donc de $100 et nous avons la r´partition suivante1 : e Type de risque Cr´dit e March´ e Op´rationnel e Capital 70 10 20 Remarque 14 Le risque de taux d’int´rˆt dans le portefeuille bancaire (risque de taux du bilan) ne fait e e pas partie de l’exigence minimale (premier pilier). Celui-ci est trait´ dans le second pilier (ALM). e Plusieurs raisons sont ´voqu´es pour justifier la refonte de la mesure des actifs pond´r´s pour le risque e e ee de cr´dit : e – obtenir une meilleure mesure de risque en prenant en compte les notations externes et internes, – ´viter l’arbitrage r´glementaire, par exemple en utilisant des d´riv´s de cr´dit, e e e e e – consid´rer de fa¸on plus coh´rente les techniques de r´duction des risques. e c e e 1 Nous v´rifions que $70 = $875 × 8%. e
- 100. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD 9.2 Les pond´rations e D´finition 2 Un actif pond´r´ risqu´ (risk weight asset ou RWA) est la valeur de l’actif risqu´ e e e e e affect´e d’un coefficient de pond´ration qui d´pend de la nature du risque de l’actif. Cet actif pond´r´ e e e e e risqu´ est aussi appel´ plus simplement risque pond´r´. e e e e Dans la version de 1988, la matrice de pond´ration standard comprend 4 pond´rations (0%, 20%, 50% e e et 100%) avec un d´coupage assez grossier (distinction OCDE et non OCDE). La nouvelle matrice de e pond´ration est la suivante : e Notation AAA ` AA- a A+ ` A- a BBB+ ` BBB- BB+ ` B- a a B- ` C a non not´ e Emprunteurs souverains 0% 20% 50% 100% 150% 100% 1 20% 50% 100% 100% 150% 100% Banques 2 20% 50% 50% 100% 150% 50% 2 CT 20% 20% 20% 50% 150% 20% BBB+ ` BB- a B+ ` C a Entreprises 20% 50% 100% 150% 100% Les risques pond´r´s souverains (sovereign risk weights) correspondent aux cr´ances sur les em- ee e prunteurs souverains et leurs banques centrales nationales. Les notations utilis´es sont celles d´finies par e e l’agence de rating Standards Poor’s. Cependant, d’autres agences de notations peuvent ˆtre utilis´es e e (Moody’s par exemple). Actuellement, le Comit´ de Bˆle envisage la possibilit´ de prendre en compte les e a e scores de risques pays (country risk rating) publi´es par les agences de cr´dit ` l’exportation (Export e e a Credit Agencies ou ECA) qui utilise la m´thodologie 1999 de l’OCDE (par exemple, la COFACE en e France). Le mapping entre les scores de risques pays et les notations SP pourrait ˆtre le suivant : e Notation SP AAA ` AA- a A+ ` A- a BBB+ ` BBB- a BB+ ` B- a B- ` C a non not´ e Score ECA 1 2 3 4`6 a 7 Pond´ration e 0% 20% 50% 100% 150% 100% Notons aussi que la pond´ration est de 0% pour la Banque des R´glements Internationaux (Bank for e e International Settlements ou BIS), le Fonds Mon´taire International (International Monetary e Fund ou IMF), la Banque Centrale Europ´enne (European Central Bank ou ECB) et la Communaut´ e e Europ´nenne (European Community ou EC). e L’autorit´ de r´gulation peut choisir de traiter les cr´ances sur les entit´s du secteur public (Non- e e e e Central Government Public Sector Entities ou PSE) comme des cr´ances sur emprunteurs souve- e rains ou comme des cr´ances sur banques. e Concernant les banques multilat´rates de d´veloppement (Multilateral Development Banks ou MDB), le e e syst`me de pond´ration est plus complexe. Pour appliquer une pond´ration de 0%, la MDB doit satisfaire e e e plusieurs crit`res : e – la notation de long terme est AAA, – l’actionnariat est principalement compos´ d’emprunteurs souverains pr´sentant une notation ´gale e e e ou sup´rieure ` AA, e a – etc. Le Comit´ de Bˆle propose ainsi que les banques suivantes ont une pond´ration de 0% : e a e 1. The World Bank Group comprised of the International Bank for Reconstruction and Development (IBRD) and the International Finance Corporation (IFC) 2. The Asian Development Bank (ADB) 3. The African Development Bank (AfDB) 4. The European Bank for Reconstruction and Development (EBRD) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 90
- 101. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD 5. The Inter-American Development Bank (IADB) 6. The European Investment Bank (EIB) 7. The Nordic Investment Bank (NIB) 8. The Caribbean Development Bank (CDB) 9. The Council of Europe Development Bank (CEDB) Pour les banques, les autorit´s r´glementaires ont le choix entre deux options. Dans la premi`re e e e option, la pond´ration d´pend de la notation du pays et non de la banque. Par exemple, la e e pond´ration 20% est applicable aux banques dont le si`ge social est dans un ´tat not´ AAA ` AA-. Dans e e e e a la seconde option, la pond´ration d´pend de la notation de la banque et de la maturit´ de e e e la cr´ance. Ainsi, une pond´ration plus favorable est appliqu´e aux cr´ances d’une dur´e inf´rieure ou e e e e e e ´gale ` 3 mois. Afin de bien comprendre les deux options, voici quelques exemples : e a Caract´ristiques de la cr´ance e e Pond´ration e Rating du pays Rating de la banque Maturit´ e Option 1 Option 2 1 AAA BBB 1 mois 20% 20% 2 AAA BBB 10 ans 20% 50% 3 BB+ AA 3 mois 100% 20% 4 BB+ AA 1 an 100% 20% 5 non not´e A 4 mois 100% 50% 6 A non not´e 4 mois 50% 50% Pour les entreprises d’investissement (securities firms), les pond´rations sont les mˆmes que celles e e des banques. Les pond´rations pour les entreprises (corporates) s’appliquent aussi aux compagnies d’assurance e (insurance companies). Contrairement aux banques, il n’y a qu’une seule option et seule la notation de l’entreprise est prise en compte. N´anmoins, le d´coupage des classes de rating est diff´rent de celui e e e des emprunteurs souverains. Concernant les entreprises non not´es, le Comit´ de Bˆle consid`re que leurs e e a e cr´ances ne sont pas g´n´ralement de qualit´ faible (signal low credit quality) et qu’une pond´ration e e e e e de 150% serait trop p´nalisante. e Enfin, les cr´ances garanties par des biens immobiliers r´sidentiels (claims secured by residential e e property) et par des biens immobiliers commerciaux (claims secured on commercial real estate) sont pond´r´es respectivement ` 50% et 100%. Concernant les actifs de la banque de r´seau (retail assets), ee a e aucune m´thodologie n’a encore ´t´ propos´e. e ee e 9.3 Les notations externes Le cœur de l’approche standard (Standardized Approach ou SA) est bien sˆr les notations externes. u Celles-ci sont faites par des organismes externes d’´valuation de cr´dit (External Credit Assessment e e Institution ou ECAI). Nous pouvons citer par exemple les agences de rating les plus c´l`bres Standard ee Poor’s, Moody’s, Fitch IBCA et DCR. La Banque de France fournit aussi une notation appel´e “code BdF”. e Nous pouvons aussi mentionner que la COFACE produit des notes pays. Les autorit´s r´glementaires e e auront donc ` valider les ECAI que pourront utiliser les banques. Pour cela, une ECAI devra v´rifier a e diff´rents crit`res d’´ligibilit´ (voir les paragraphes 53 ` 62 du document [1]) : e e e e a – Objectivit´ (m´thodologie rigoureuse et valid´e par un backtesting) e e e – Ind´pendance (pas de pressions politiques ou ´conomiques susceptibles d’influencer la notation) e e – Acc`s international et transparence e – Information (publication des m´thodologies d’´valuation) e e – Ressources 9.3. LES NOTATIONS EXTERNES 91
- 102. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD – Cr´dibilit´ e e La principale difficult´ va ˆtre le mapping des diff´rentes notations. Le 30 avril 2001, le Comit´ de Bˆle e e e e a proposait la correspondance suivante entre les deux grandes agences internationales de notation : Prime High Grade Upper Lower Maximum Safety High Quality Medium Grade Medium Grade SP AAA AA+ AA AA- A+ A A- BBB+ BBB BBB- Moody’s Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Non Investment Speculative Highly Substantial In Poor Grade Speculative Risk Standing SP BB+ BB BB- B+ B B- CCC+ CCC CCC- Moody’s Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1 Caa2 Caa3 Extremely May be Default Speculative in Default SP CC C D Moody’s Ca C Des travaux sont en cours pour obtenir un mapping plus exhaustif. A titre d’exemple, Bardos [2001] propose le rapprochement suivant entre les cotations Banque de France et les ratings SP pour les risques pond´r´s Corporate : ee Notation AAA ` AA- a A+ ` A- a BBB+ ` BB- a BB- ` C a non not´ e Cote BdF A37 Autres A37 47 57, 67, 58, 59, 68 et 69 Pond´ration e 20% 50% 100% 150% 100% A titre d’exemples, voici quelques notations que nous pouvons trouver sur le site de SP : http ://www.standardandpoors.com/RatingsActions/index.html – Extrait de Sovereign Ratings List (October 11, 2001) : Local Currency Foreign Currency Long- Short- Long- Short- Sovereign term Outlook term term Outlook term rating rating rating rating Argentina CCC+ Negative C CCC+ Negative C Belgium AA+ Stable A-1+ AA+ Stable A-1+ Canada AAA Stable A-1+ AA+ Stable A-1+ Colombia BBB Negative A-3 BB Negative B Denmark AAA Stable A-1+ AAA Stable A-1+ France AAA Stable A-1+ AAA Stable A-1+ Suriname B Watch Neg B- Watch Neg INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 92
- 103. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD – Extrait de Financial Institutions Counterparty Ratings List Banque Notation (Long Term/Outlook/Short Term) Credit Suisse First Boston AA/Stable/A-1+ Morgan Stanley Dean Witter Co. AA-/Negative/A-1+ Merrill Lynch Co. Inc. AA-/Negative/A-1+ Nomura Securities Co. Ltd. BBB+/Stable/A-2 La Poste AAA/Stable/A-1+ J.P. Morgan Chase Co AA-/Stable/A-1+ Bank of America Corp. A+/Stable/A-1 Barclays Bank PLC AA/Stable/A-1+ UBS AG AA+/Stable/A-1+ Deutsche Bank AG AA/Stable/A-1+ Societe Generale AA-/Stable/A-1+ Credit Lyonnais A-/Positive/A-2 Caisse des Depots et Consignations AAA/Stable/A-1+ Caisse Nationale de Credit Agricole AA/Stable/A-1+ BNP PARIBAS AA-/Stable/A-1+ Caisse Nationale des Caisses d’Epargne et de Prevoyance AA/Stable/A-1+ International Industrial Bank (Russia) CCC+/Stable/C OJSC Infobank (Russia) D – Evolution du rating de la F´d´ration de Russie e e Date Local Currency Rating Foreign Currency Rating June 27, 2001 B/Stable/B B/Stable/B Dec. 8, 2000 B-/Stable/C B-/Stable/C July 27, 2000 B-/Stable/C SD/Not Meaningful/SD Feb. 15, 2000 CCC+/Positive/C SD/Not Meaningful/SD May 7, 1999 CCC/Stable/C SD/Not Meaningful/SD Jan. 27, 1999 SD/Not Meaningful/SD Sept. 16, 1998 CCC-/Negative/C Aug. 17, 1998 CCC/Negative/C Aug. 13, 1998 B-/Negative/C June 9, 1998 B+/Stable/B May 27, 1998 BB-/CW-Neg./B Dec. 19, 1997 BB-/Negative/B Oct. 4, 1996 BB-/Stable/B Des informations analogues sont disponibles sur le site de Moody’s : http ://www.moodys.com Voici quelques exemples : – Cr´dit Lyonnais SA e – LT Senior-Most Rating : A1, Mar 27 2001 , Senior Unsecured - Fgn Curr – ST Most Recent Rating : P-1, Apr 28 2000 , Other Short Term – Total Fina Elf S.A. – LT Senior-Most Rating : Aa2, Feb 10 2000 , Senior Unsecured - Fgn Curr – ST Most Recent Rating : P-1, Sep 4 2000 , Other Short Term – Groupe Danone – LT Senior-Most Rating : A1, Nov 4 1993 , Senior Unsecured - Dom Curr 9.3. LES NOTATIONS EXTERNES 93
- 104. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD – Vivendi Universal S.A. – LT Senior-Most Rating : Baa2, May 15 1998 , Senior Unsecured - Fgn Curr – Carrefour S.A. – LT Senior-Most Rating : A1, Apr 13 2001 , Senior Unsecured – ST Most Recent Rating : P-1, Aug 16 1999 , Other Short Term – European Aeronautic Defence Space Co. EADS – LT Senior-Most Rating : A2, Mar 8 2001 , LT Issuer Rating 9.4 Les proc´dures de r´duction des risques e e Les proc´dures de r´duction de risque (Credit Risk Mitigation ou CRM) permettent de diminuer le e e risque d’une ligne de cr´dit en agissant sur la valeur r´elle de l’exposition ou sur le taux de recouvrement e e potentiel. Parmi des proc´dures de CRM, nous trouvons les sˆret´s ou collat´raux (collateral), les d´riv´s e u e e e e de cr´dit (credit derivatives), les garanties (guarantees) et les accords de compensation (offsetting e position subject to a netting agreement). Dans l’Accord de 1988, l’approche utilis´e est largement e “all-or-nothing”. Concernant le nouvel Accord, les techniques de r´duction de risque sont beaucoup plus e larges. 9.4.1 Les sˆret´s ou collat´raux u e e Dans une transaction avec un collat´ral, une partie du risque est couverte par une sˆret´ remise par e u e la contrepartie. Pour que cette sˆret´ soit elligible au titre de CRM, elle doit remplir certains crit`res u e e (contrat l´gal, faible corr´lation avec le risque de contrepartie, etc.). Les sˆret´s valid´es par le Comit´ e e u e e e de Bˆle sont les suivantes : a 1. Esp`ces e 2. Or 3. Titres not´s AAA ` BB- d’emprunteurs souverains (par exemple des obligations d’´tat) e a e 4. Titres not´s AAA ` BBB- des banques, des entreprises d’investissement et des entreprises (par e a exemple des actions) 5. Actions qui font partie d’un indice principal (par exemple les actions composant le CAC 40) 6. Actions ´chang´es sur une bourse “internationale” e e 9.4.1.1 L’approche compl`te e Dans cette approche, on applique des d´cotes (Haircuts) ` la valeur de march´ de la suret´ C afin de e a e e prendre en compte la volatilit´ du prix de la suret´. Si nous notons E la valeur de l’exposition et r la e e pond´ration de cette exposition, le risque pond´r´ n’est donc pas ´gal ` r × (E − C). En fait, le risque e ee e a pond´r´ sera de la forme ee r × (E − (1 − w) CA ) (9.1) o` CA represente la valeur de la sˆret´ apr`s prise en compte des d´cotes et w est un facteur plancher u u e e e (floor) appliqu´ ` la part s´curis´e de la transaction (w × CA repr´sente le risque r´siduel ). Supposons ea e e e e que w est ´gal ` z´ro, le risque pond´r´ est donc e a e ee r × (E − CA ) (9.2) c’est-`-dire le produit entre la pond´ration r et l’exposition ajust´e (E − CA ). Si w est diff´rent de z´ro, a e e e e nous avons r × (E − (1 − w) CA ) = r × (E − CA + wCA ) r × (E − CA ) (9.3) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 94
- 105. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD L’introduction de ce facteur w correspond ` un souci de prudence de la part du Comit´ de Bˆle (afin de a e a traiter le risque r´siduel). Pour l’instant, w a ´t´ fix´ ` 15%. e ee ea Si CA E, le Comit´ de Bˆle applique la r`gle CA = E. Dans ce cas, le risque pond´r´ devient e a e ee r × (E − (1 − w) E) = r × w × E (9.4) Finalement, le risque pond´r´ est donc ee r × max ((E − (1 − w) CA ) , w × E) (9.5) Nous pouvons alors d´finir une pond´ration ajust´e r (c’est-`-dire une pond´ration prenant en compte e e e a e l’effet du collat´ral) par la formule suivante : e r × max ((E − (1 − w) CA ) , w × E) r = E = r × max ((1 − (1 − w) CA /E) , w) (9.6) Prenons un exemple pour bien comprendre l’effet de sˆret´. Consid´rons une exposition de $100 sur une u e e contrepartie corporate not´e AA. Celle-ci apporte en esp`ces une sˆret´ de $20. Nous consid´rons qu’il e e u e e n’est pas n´cessaire d’appliquer une d´cote puisque la suret´ et l’exposition sont exprim´es dans la mˆme e e e e e devise. Dans ce cas, le risque pond´r´ RWA est ´gal ` ee e a RWA = 20% × max (($100 − (1 − 15%) $20) , 15% × $100) = $16.6 Cela revient ` utiliser une pond´ration (ajust´e) de 16,6%. Sur les graphiques (9.1) et (9.2), nous avons a e e report´ la valeur de r en fonction de CA et E dans le cas d’un emprunteur corporate. Nous observons e clairement l’influence du facteur de seuil w, c’est-`-dire l’influence des risques r´siduels. a e GRAPHIQUE 9.1. Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de la sˆret´ ajust´e CA (E = 100) e e u e e Voyons maintenant comment sont appliqu´es les d´cotes pour d´finir la valeur ajust´e du collat´ral e e e e e CA . La formule g´n´rale est e e C CA = (9.7) 1 + HE + HC + HF X ´ ´ 9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 95
- 106. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD GRAPHIQUE 9.2. Evolution de la pond´ration ajust´e r en fonction de l’exposition E (CA = 50) e e avec HE la d´cote li´e ` la volatilit´ de l’exposition, HC la d´cote li´e ` la volatilit´ de la sˆret´ et HF X e e a e e e a e u e la d´cote li´e au risque de change. Pour calculer ces d´cotes, nous avons deux possibilit´s : e e e e – utiliser des d´cotes prudentielles standard donn´es par le Comit´ de Bˆle, e e e a – ou les estimer statistiquement. L’annexe 3 du document [1] pr´sente les estimations des d´cotes prudentielles standard (en %) lorsque e e la p´riode de d´tention est 10 jours et la valorisation et la reconstitution des marges sont journali`res e e e (10-business day haircuts assuming daily mark-to-market and daily remargining) : Notation Maturit´ r´siduelle e e Emprunteurs souverains Banques/Entreprises 0 ` 1 an a 0.5 1 AAA ` AA a 1` 5 ans a 2 4 +5 ans 4 8 0 ` 1 an a 1 2 A ` BBB a 1` 5 ans a 3 6 +5 ans 6 12 BB 20 Esp`ces e 0 Or 15 Actions d’un indice principal 20 Actions d’une bourse “internationale” 30 Risque FX 8 Consid´rons une sˆret´ de de $100 sur une obligation du tr´sor AAA. Si la maturit´ r´siduelle de l’obli- e u e e e e gation est 10 ans et si la sˆret´ est en esp`ces dans la devise de l’obligation, alors nous avons u e e 100 CA = = $96.153 1 + 0.04 + 0 + 0 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 96
- 107. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD Si la devise de l’obligation et la devise des esp`ces sont diff´rentes, il y a un risque de change et nous e e obtenons 100 CA = = $89.285 1 + 0.04 + 0 + 0.08 Supposons maintenant que la sˆret´ correspond ` de l’or, nous avons u e a 100 CA = = $84.033 1 + 0.04 + 0.15 + 0 Consid´rons maintenant une obligation d’´tat BB, une sˆret´ constitu´e par des actions d’une bourse e e u e e “internationale” (mais qui ne sont pas dans un indice principal) libell´es dans une devise ´trang`re. La e e e valeur ajust´e de la sˆret´ devient e u e 100 CA = = $63.291 1 + 0.20 + 0.30 + 0.08 Si nous appliquons le risque r´siduel, nous obtenons (1 − 15%) × $63, 291 = $53, 797. Dans ce dernier cas, e la valeur ajust´e du colat´ral apr`s prise en compte du risque r´siduel ne repr´sente que la moiti´ de la e e e e e e valeur nominale de la protection. Dans le cadre d’une estimation interne des d´cotes, celle-ci doit v´rifier les mˆmes crit`res quantitatifs e e e e que ceux pour le risque de march´. En particulier, la p´riode de d´tention est fix´e ` 10 jours et le seuil e e e e a de confiance est 99%. Quelque soit l’approche retenue pour calculer les d´cotes (standard ou mod`le interne), les valeurs de e e celles-ci doivent ˆtre modifi´es e e – si la p´riode N de reconstitution des marges pour les op´rations de march´ est sup´rieure ` la e e e e a journ´e e N +9 H = H10 (9.8) 10 – ou si la p´riode N de revalorisation pour les op´rations de prˆts garantis est sup´rieure ` la journ´e2 e e e e a e N + 19 H = H10 (9.9) 10 H10 repr´sente ici la d´cote ` 10 jours. e e a 9.4.1.2 L’approche simple Dans cette approche, la pond´ration applicable ` la partie non couverte (E − C) est celle de la contre- e a partie ou de l’emprunteur et la pond´ration applicable ` la sˆret´ C est celle de l’instrument de couverture e a u e (avec un plancher de 20%). 9.4.2 Les garanties et les d´riv´s de cr´dit e e e Pour tenir compte de garanties (et des d´riv´s de cr´dit), certaines conditions doivent ˆtre remplies e e e e (voir les articles 183 ` 199 du document [1]) : a – la garantie est directe, explicite, irr´vocable et inconditionnelle ; e – information publique ; – etc. 2 Dans ce cas, la p´riode de d´tention standard est 20 jours ouvr´s et non 10 jours ouvr´s. e e e e ´ ´ 9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 97
- 108. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD Dans le cas d’une couverture proportionnelle, on calcule les risques pond´r´s de la fa¸on suivante ee c r × E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA (9.10) avec GA le montant de la garantie ajust´ du risque de change et g la pond´ration du risque de la garantie. e e Nous remarquons que dans le cas d’une protection totale (E = GA ), cette expression devient r = (r × w) + g (1 − w) (9.11) et r = g si w est ´gal ` z´ro. La m´thode de calcul est proche de celle issue de l’approche simple pour e a e e les sˆret´s. En effet, si nous posons w ´gal ` z´ro, nous avons u e e a e r × E = r × (E − GA ) + g × GA (9.12) Dans le cas d’une couverture par tranches (senior et junior), nous distinguons deux cas : 1. Le risque de cr´dit sur la tranche junior GJ est transf´r´ et le risque de cr´dit sur la tranche senior e ee e GS est conserv´ : e r × E = r × GS + [(r × w) + g (1 − w)] GJ (9.13) Cela revient donc ` une couverture proportionelle avec GA = GJ = E − GS . a 2. Le risque de cr´dit sur la tranche junior GJ est conserv´ et le risque de cr´dit sur la tranche senior e e e GS est transf´r´ : ee r × E = [(r × w) + g (1 − w)] GS On consid`re dans ce cas que le risque sur la tranche junior (qui est un risque de premi`re perte) e e doit ˆtre d´duit du montant des fonds propres. e e Concernant les risques r´siduels, voici les valeurs de w calcul´e par le Comit´ de Bˆle : e e e a w Garantie 0 Garantie souveraine 0.15 Autres garanties 0.15 D´riv´s de cr´dit e e e 9.4.3 Autres consid´rations e 9.4.3.1 Compensation de bilan Le Comit´ de Bˆle reconnait les accords de compensation de bilan dans le portefeuille bancaire des e a prˆts et d´pˆts. N´anmoins, la contrepartie doit satisfaire certains crit`res. Dans ce cas, le facteur de e e o e e pond´ration du risque r´siduel w est ´gal ` 0. e e e a 9.4.3.2 Le d´calage des maturit´s e e Un d´calage de maturit´ intervient losque la maturit´ r´siduelle de la couverture est plus faible que e e e e celle de l’exposition sous-jacente. Dans ce cas, la pond´ration corrig´e r est e e r si TCRM ≤ 1 an r = TCRM TCRM 1− TE r+ TE r si 1 an ≤ TCRM ≤ TE avec r la pond´ration de l’exposition, r la pond´ration ajust´e de l’exposition, TE la maturit´ de l’ex- e e e e position et TCRM la maturit´ de la couverture CRM. e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 98
- 109. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD 9.4.3.3 L’asym´trie des devises e Nous rappelons que la valeur ajust´e du collat´ral CA est e e C CA = (9.14) 1 + HE + HC + HF X Dans le cadre d’une compensation de bilan, la valeur ajust´e du d´pˆt re¸u D est e e o c D DA = (9.15) 1 + HF X Concernant les garanties et les d´riv´s de cr´dit, une formule analogue existe e e e G GA = 1 + HF X 9.4.4 Quelques exemples Nous reproduisons ici les exemples donnn´s par le Comit´ de Bˆle (annexe 4 du document [1]). e e a 9.4.4.1 Collateralised transactions Flat repo with a bank counterparty, not satisfying the conditions for zero w Bank A repos out $1,000-worth of 10-year AAA-rated sovereign securities to Bank B (risk weighted at 20%) and receives $1,000 in cash collateral. Revaluation and remargining are conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is applied to the sovereign securities lent out while there is no haircut for the collateral received, since it is cash. Then the adjusted value of the collateral, CA , is C CA = 1 + HE + HC + HF X $1000 = 1 + 0.04 + 0 + 0 = $962 In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0.15), and the risk weight of counterparty (r = 0.2) are inserted into the equation below. Note that the exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($962). r ×E = r × max ((E − (1 − w) CA ) , w × E) = 0.2 × (1000 − 0.85 × 962) = $36.50 So, the risk weighted assets will be $36.50 (r = 20% and r = 3.65%). Flat reverse repo with a bank counterparty This is the opposite side of the transaction in Example above. Bank B takes in $1,000 worth of 10-year AAA-rated sovereign securities (from this banks perspective these securities are the collateral received) and provides $1,000 in cash to Bank A (counterparty risk weight 50%). Revaluation and remargining are conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is applied to the sovereign securities reverse repoed in (i.e. taken as collateral) while there is no haircut for the cash posted. Then the adjusted value of the collateral, CA , is $1000 CA = 1 + 0 + 0.04 + 0 = $962 ´ ´ 9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 99
- 110. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0.15), and the risk weight of Bank A (r = 0.5) are inserted into the equation below. Note that for Bank B, too, the exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($962). r ×E = r × (E − (1 − w) CA ) = 0.5 × (1000 − (1 − 0.15) 962) = $91.20 So, the risk weighted assets will be $91.20 (r = 50% and r = 9.12%). Undercollateralised repo with a bank counterparty, not satisfying the conditions for zero w Bank A repos out $1,000-worth of 10-year AAA-rated government securities to Bank B (risk weighted at 20%) and receives $950 in cash collateral. Revaluation and remargining are conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is applied to the government securities lent out while there is no haircut for the collateral received since it is cash. Then the adjusted value of the collateral, CA , is $950 CA = 1 + 0.04 + 0 + 0 = $913 In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0.15), and the risk weight of counterparty (r = 0.2) are inserted into the equation below. Note that the exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($913). r ×E = 0.2 × (1000 − 0.85 × 913) = $44.71 So, the risk weighted assets will be $44.71 (r = 20% and r = 4.47%). Reverse repo with a bank counterparty, overcollateralised Bank B reverse repos in $1,000-worth of 10-year AAA-rated sovereign securities from Bank A (risk weighted at 50%) and posts $950 in cash collateral. Revaluation and remargining are conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch. In this case a haircut of 4% is applied to the government securities reverse repoed in while there is no haircut for the collateral posted since it is cash. Then the adjusted value of the collateral received, CA , is $1000 CA = 1 + 0 + 0.04 + 0 = $962 In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0.15), and the risk weight of counterparty (r = 0.5) are inserted into the equation below. Note that the adjusted value of collateral ($962) exceeds the exposure ($950). r ×E = 0.5 × 0.15 × 950 = $71.25 So, the risk weighted assets will be $71.25 (r = 50% and r = 7.50%). Flat repo with an non-bank finance company, zero w Bank repos out $1,000-worth of 10-year AAA-rated sovereign securities to finance company (risk weigh- ted at 100%) and receives $1,000 in cash collateral. Revaluation and remargining are conducted daily. There is no currency mismatch or maturity mismatch and the conditions for a zero w are satisfied. A haircut of 4% is applied to the sovereign securities lent out while there is no haircut for the cash collateral received. Then the adjusted value of the collateral received, CA , is $1000 CA = 1 + 0.04 + 0 + 0 = $962 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 100
- 111. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0), and the risk weight of counterparty (r = 1.0) are inserted into the equation below. Note that the exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($962). r ×E = 1.0 × (1000 − 962) = $38.50 So, the risk weighted assets will be $38.50 (r = 100% and r = 3.85%). Securities lending transaction Bank A lends out $1,000 in 10-year AA-rated sovereign securities to Bank B (risk weight 20%) and receives $1,000 in 7-year AAA-rated corporate securities. Daily mark-to-market and daily remargining are conducted. There is no currency mismatch or maturity mismatch. A haircut of 4% is applied to the government securities lent out while a haircut of 8% is also applied to the corporate securities taken as collateral. The adjusted value of the collateral CA is $1000 CA = 1 + 0.04 + 0.08 + 0 = $893 In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , the weight for remaining risks (w = 0.15), and the risk weight of counterparty Bank B (r = 0.2) are inserted into the equation below. Note that E ($1,000) exceeds CA ($893). r ×E = 0.2 × (1000 − 0.85 × 893) = $48.20 So, the risk weighted assets will be $48.20 (r = 20% and r = 4.82%). Secured lending to an unrated corporate, cash against main index equities, with a currency mismatch and revaluation every 90 business days A bank lends $950 to an unrated corporate and receives as collateral main index equities denominated in a different currency and currently worth $1000. The equity collateral is revalued every 90 business days and there is no remargining. The collateral is pledged for the life of the exposure. With daily remargining, a haircut of 20% would be applied to the equity collateral while there is no haircut for the lending since it is cash. The ten-day standard supervisory haircut for currency mismatch is 8%. Since the frequency of revaluation is once every 90 days, both of these haircuts need to be increased, according to the following formula for secured lending transactions : N + 19 H = H10 10 We have 90 + 19 HF X = 0.08 = 0.2641 10 and 90 + 19 HC = 0.20 = 0.6603 10 Then HF X = 26.2% and HC = 66.0%, and the adjusted value of the collateral received, CA , is $1000 CA = 1 + 0 + 0.26 + 0.66 = $520 ´ ´ 9.4. LES PROCEDURES DE REDUCTION DES RISQUES 101
- 112. CHAPITRE 9. L’APPROCHESTANDARD In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA, the weight for remaining risks (w=0.15), and the risk weight of counterparty (r=1.0) are inserted into the equation below. Note that the exposure ($950) exceeds the adjusted value of collateral ($520). r ×E = 100% × (950 − 0.85 × 520) = $508.31 So, the risk weighted assets will be $48.20 (r = 100% and r = 53.51%). 9.4.4.2 On-balance sheet netting Netting of interbank loans and deposits with a maturity and currency mismatch A bank lends $1000 to another bank (eligible for a risk weight of 20%) with a maturity of three years. The same bank counterparty places a two-year deposit in Euros currently worth $950, revalued every 250 business days. The conditions for on-balance sheet netting are satisfied. There is a currency mismatch and a maturity mismatch. For on-balance sheet netting, w is zero. Both loan and deposit are cash, which attracts a zero haircut. The ten-day standard supervisory haircut for currency mismatch is 8%. Since the frequency of revaluation is once every 250 business days, this haircut needs to be increased, according to the following formula for secured lending transactions : N + 19 H = H10 10 We have 250 + 19 HF X = 0.08 = 0.4149 10 Then HF X = 41.5%, and the adjusted value of the collateral received CA is $950 CA = 1 + 0 + 0 + 0.42 = $671 In order to calculate the risk weighted assets, the exposure E, CA , and the risk weight of counterparty (r = 0.2) are inserted into the equation below. Note that the exposure ($1,000) exceeds the adjusted value of collateral ($671). r × (E − (1 − w) CA ) r = E 20% × (1000 − 671) = 1000 = 6.57% Finally, there is a maturity mismatch, so r needs to be adjusted according to the following formula, where t = 2 years and T = 3 years. t t r = r+ r 1− T T 2 2 = 1− × 20% + × 6.57% 3 3 = 11.05% We have r × E = 11.05% × 1000 So, the risk weighted assets will be $110.48 (r = 20%, r = 6.57% and r = 11.05%). INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 102
- 113. 9.4.4.3 Guarantees/credit derivatives Loan to an unrated corporate fully guaranteed by a third-party corporate eligible for a 20% risk weight A bank has lent $1000 to an unrated corporate and has obtained a guarantee for the full amount from a third-party corporate (20% counterparty risk weight). The formula is r × E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA Here E = GA = $1000, r = 100%, g = 20%, w = 0.15 and so the risk-weighted assets are r ×E = [(100% × 15%) + 20% (1 − 15%)] × $1000 = $320 Loan to an unrated corporate fully protected by a guarantee with a third-party bank eligible for a 20% risk weight A bank has lent $1000 to an unrated corporate and has obtained a guarantee for the full amount from a third-party bank (20% counterparty risk weight). Since the guarantor is a bank, a zero w applies. So, the risk weighted assets will be r ×E = [(100% × 0%) + 20% (1 − 0%)] × $1000 = $200 Note that this result is equivalent to the present substitution approach. Pro rata guarantee from bank Bank A has an exposure of $1000 with a three-year residual maturity, and has obtained a pro rata guarantee of $500 of this exposure, also with a three-year residual maturity. The formula for r is r ×E = r × (E − GA ) + [(r × w) + g (1 − w)] GA = 100% × ($1000 − $500) + [(100% × 0%) + 20% × (1 − 0%)] × $500 = $600 Bibliographie [1] Basel Committee on Banking Supervision, The Standardized Approach to Credit Risk — Consultative Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001 [2] Bardos [2001], Statistiques de d´faillance selon les cotations, Banque de France, Secretariat G´n´ral, e e e Direction des Entreprises, Observatoire des Entreprises
- 115. 10 La m´thode IRB e 10.1 Les principes g´n´raux e e Contrairement ` l’approche standardis´e, la m´thode IRB est bas´e sur des ´valuations internes des a e e e e probabilit´s de d´faillance (Probability of Default ou PD). Notons que ce concept n’intervient pas dans e e la m´thode SA. N´anmoins, elle est implicitement contenue dans la d´finition des pond´rations. Avec la e e e e m´thode IRB, le but du Comit´ de Bˆle est double : e e a 1. proposer une m´thode plus sensible au risque de cr´dit ( additional risk sensitivity ) ; e e 2. et d´finir une m´thode “f´d´ratrice” pour calculer le risque de cr´dit ( incentive compatibility, in e e e e e that an appropriately structured IRB approach can provide a framework which encourages banks to continue to improve their internal risk management practices ). Outre la probabilit´ de d´faut PD, la m´thode IRB est bas´e sur deux autres concepts : e e e e – la perte en cas de d´faillance (Loss Given Default ou LGD) ; e – l’exposition en cas de d´faillance (Exposure At Default ou EAD). e Le Comit´ de Bˆle d´finit alors deux approches IRB. Dans la premi`re approche dite approche IRB simple e a e e (foundation approach), seule la probabilit´ de d´faillance est estim´e par la banque alors que les autres e e e param`tres sont fournis par les autorit´s de r´gulation. Dans la seconde approche ou approche IRB avanc´e e e e e (advanced approach), tous les param`tres sont estim´s par la banque. N´anmoins, une banque qui adopte e e e la m´thode avanc´e ne peut avoir une exigence en fonds propres inf´rieure ` 90% de celle calcul´e avec e e e a e la m´thode simple (c’est la concept du floor). e 10.1.1 Le sch´ma simplifi´e de l’approche IRB e e Le sch´ma simplifi´e de l’approche IRB est le suivant : e e – Une classification des expositions. – Pour chaque classe d’exposition, la banque doit fournir les composantes de risque (risk components). – A partir de ces composantes de risque, une fonction de risques pond´r´s (risk-weight function) ee permet de calculer le montant des actifs pond´r´s. ee – Le respect de certains crit`res est exig´ pour ˆtre elligible ` l’approche IRB. e e e a – Un processus de supervision s’occupe de faire respecter ces crit`res. e Les banques devront donc classer les expositions du portefeuille en six cat´gories : emprunteurs souve- e rains, banques, entreprises, retail (banque de d´tail), financements de projets (project finance) et equity e (actions). Concernant la d´finition de la cat´gorie “retail”, l’exposition devra remplir les conditions sui- e e vantes :
- 116. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB 1. Le risque porte sur une ou des personnes individuelles. 2. Le risque porte sur certains produits (cartes de cr´dits, prˆts aux particuliers, cr´dit bail, d´couverts, e e e e cr´dits aux logements, etc.). e 3. L’exposition est d’un montant relativement faible. 4. L’exposition est “comprise” parmi un grand nombre d’expositions comparables (notion de granu- larit´ du portefeuille). e Comme nous l’avons vu, les composantes de risque sont la probabilit´ de d´faillance, la perte en cas e e de d´faillance et l’exposition en cas de d´faillance. Une quatri`me composante concerne la maturit´ e e e e M. Quelle que soit la m´thode (simple ou avanc´e), les probabilit´s de d´faillance sont estim´es par la e e e e e banque et doivent correspondre ` une moyenne conservatrice des probabilit´s de d´faillance sur le long a e e terme (conservative view of a long-run average PD). Bien sˆr, ces probabilit´s de d´faillance sont li´es u e e e a ` la construction des notations internes. Dans l’approche simple, les valeurs de LGD sont fournies par les autorit´s de r´gulation. Le document consultatif de Janvier 2001 propose une valeur de 50% pour la e e plupart des transactions (dettes seniors) et 75% pour les dettes subordonn´es. Dans la m´thode avanc´e, e e e c’est la banque elle-mˆme qui fournit la valeur. En r`gle g´n´rale, l’exposition en cas de d´faillance sera e e e e e ´gale au montant nominal du cr´dit. Le calcul des risques pond´r´s RWA correspond alors e e ee RWA = r × EAD (10.1) avec r la pond´ration “interne” calcul´e ` partir de PD, LGD, M et la fonction de risques pond´r´s. e e a ee La banque peut alors calculer la valeur totale des risques pond´r´s par portefeuille (c’est-`-dire pour ee a chaque classe d’exposition) en faisant une simple somme. Finalement, un facteur d’ajustement qui refl`te e la granularit´ du portefeuille est appliqu´ pour obtenir la valeur finale des risques pond´r´s. e e ee 10.1.2 D´finition de la d´faillance e e On remarque que la notion cl´ dans cette approche est donc la d´faillance. Dans les paragraphes 139 e e a ` 151 du document [3], celle-ci est d´finie de la fa¸on suivante : e c La d´faillance d’une contrepartie donn´e est suppos´e ˆtre survenue si l’un des quatres ´v´nements e e e e e e a eu lieu 1. L’emprunteur ne peut plus honorer ses obligations de remboursement (principal, int´rˆts ou com- ee mission) en totalit´. e 2. Il est survenu un ´v´nement de cr´dit (par exemple, une provision sp´cifique). e e e e 3. L’emprunteur est en d´faut de paiement depuis 90 jours sur l’un de ses cr´dits. e e 4. L’emprunteur est en faillite juridique. On voit donc que cette d´finition recouvre deux types de cr´ances : les cr´ances contentieuses (le risque e e e de perte est constat´) et les cr´ances douteuses (le risque de perte est potentiel). Le Comit´ de Bˆle e e e a est conscient que cela peut poser des probl`mes de p´rim`tre. C’est pourquoi des travaux sont en cours e e e concernant le mapping d’estimations bas´es sur d’autres d´finitions. e e 10.1.3 La notation interne Celle-ci est au cœur de la m´thode IRB. La table 10.1 est un exemple de syst`me de notation interne. En e e g´n´ral, c’est un syst`me avec diff´rents niveaux (grade) et ` chaque niveau est associ´e une probabilit´ e e e e a e e de d´faillance. Ce syst`me de notation fera l’objet d’une validation par les autorit´s de r´glementation et e e e e la banque devra d´montrer qu’il est conforme aux exigences minimum depuis au moins trois ans. e 10.2 L’exemple de la m´thode IRB pour les entreprises e Nous reprenons ici les grandes lignes du chapitre 2 du document [3]. Le Comit´ de Bˆle remarque que e a les banques utilisent un syst`me de notation interne bas´ sur 10 notes en moyenne. e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 106
- 117. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Rating Degree of risk Definition Borrower category by self-assessment 1 No essential risk Extremely high degree of certainty of repayment 2 Negligible risk High degree of certainty of repayment 3 Some risk Sufficient certainty of repayment A Better There is certainty of repayment, but substential changes in 4 B than the environment in the future may have some impact on C average this incertainty Normal A There are no problems foreseeable in the future, but a strong 5 B Average likelihood of impact from changes in the environment C A There are no problems foreseeable in the future, but the future 6 B Tolerable cannot be considered entirely safe. C 7 Lower than There are no problems at the current time but the financial position average of the borrower is relatively weak A Needs There are problems with lending terms or fulfilment, or the borrower’s Needs 8 preventive business conditions are poor or unstable, or there are other factors attention B management requiring careful management 9 Needs There is a high likelihood of bankruptcy in the future In danger of bankruptcy 10 I serious The borrower is in serious financial straits and “effectively bankrupt” Effectively bankrupt II management The borrower is bankrupt Bankrupt TABLE 10.1. Exemple de syst`me de notation interne (Ieda, Marumo et Yoshiba [2000]) e 10.2.1 Formulation des pond´rations de risque e Les pond´rations de risque (risk weights) sont obtenues ` partir d’une fonction sp´cifique continue (risk e a e weight function). Nous avons r = RW (PD, LGD, M) (10.2) et RWA = r × EAD = RW (PD, LGD, M) × EAD (10.3) Les valeurs de PD, LGD, M et EAD sont exprim´es en chiffres r´els (par exemple, 100% correspond ` e e a une valeur de 100). Dans l’approche IRB simple, la maturit´ n’est pas prise en compte. Dans ce cas, la maturit´ moyenne e e des expositions est suppos´e ´gale ` 3 ans. Nous avons e e a LGD r = RW = min × BRW (PD) , 12.5 × LGD (10.4) 50 RW repr´sente la pond´ration associ´e ` des valeurs donn´es des composantes de risques et BRW est la e e e a e fonction dite benchmark calibr´e pour une perte en cas de d´faillance ´gale ` 50%. Dans la m´thode IRB e e e a e avanc´e, la maturit´ est prise en compte. Nous avons alors e e LGD RW = min × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (P D)] , 12.5 × LGD 50 Si la maturit´ M est ´gale ` 3 ans, nous retrouvons la formule de l’approche IRB simple. Le terme e e a 1 + (M − 3) b (P D) est un facteur d’´chelle multiplicatif lin´aire en M . b (P D) est ici une fonction de la e e probabilit´ de d´faillance. e e 10.2.1.1 Dans l’approche IRB simple Le Comit´ de Bˆle d´finit la fonction BRW de la fa¸on suivante : e a e c 1 − PD BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × (10.5) PD0.44 Dans cette formule, PD est exprim´e en valeur d´cimale (par exemple, 1% correspond ` 0.01). Le Comit´ e e a e de Bˆle indique que cette fonction de r´f´rence (Benchmark Risk Weight function) est la r´sultante du a ee e produit de trois facteurs s´par´s : e e ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 107
- 118. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB – Le terme Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 repr´sente la somme des pertes esp´r´es et non esp´r´es e ee ee associ´e ` un portefeuille infiniment granulaire de prˆts de maturit´ 1 an et de perte en cas de e a e e d´faillance ´gale ` 100%. La calibration a ´t´ faite ` partir d’un mod`le de risque de cr´dit ` la e e a ee a e e a Merton avec un seul facteur de risque syst´matique. Le seuil de confiance et la corr´lation moyenne e e des actifs ont ´t´ fix´s respectivement ` 99.5% et 20%. ee e a 1−PD – Le terme 1 + 0.470 × PD0.44 est un coefficient d’ajustement qui refl`te une maturit´ moyenne ´gale e e e a ` 3 ans. – Le facteur d’´chelle 976.50 a ´t´ calibr´ pour des valeurs PD et LGD par d´faut ´gales ` 0.7% et e ee e e e a 50%. Dans ce cas, la fonction BRW (PD) prend la valeur 100%. Sur le graphique 10.1, nous avons repr´sent´ la fonction de r´f´rence BRW (PD) en fonction de la proba- e e ee bilit´ de d´faillance. Nous remarquons que celle-ci croˆ tr`s vite — voir le graphique 10.2 repr´sentant e e ıt e e la d´riv´e premi`re ∂ BRW (PD) /∂ PD. Afin de bien mesurer l’impact de l’ajustement de maturit´ e e e e 1−PD 1 + 0.470 × PD0.44 — c’est-`-dire la passage d’une maturit´ un an ` une maturit´ trois ans, le gra- a e a e phique 10.3 montre le coefficient d’ajustement dans la formule BRW (PD). Enfin, nous avons report´ e les valeurs des pond´rations (en %) des actifs risqu´s dans les tables 10.2 ` 10.4. Nous v´rifions que la e e a e fonction de r´f´rence a bien ´t´ calibr´e afin que la pond´ration soit approximativement 100% pour une ee ee e e probabilit´ de d´faillance ´gale ` 0.7% et une perte en cas de d´faillance ´gale ` 50%. e e e a e e a GRAPHIQUE 10.1. Fonction de r´f´rence BRW ee Nous pouvons comparer la m´thode SA avec la m´thode IRB simple. La table 10.5 pr´sente les valeurs e e e implicites de PD et LGD pour une valeur RW donn´e. La relation est bien sˆr lin´aire par rapport ` la e u e a variable LGD. 10.2.1.2 Dans l’approche IRB avanc´e e Cette approche diff`re sensiblement de la m´thode simple. En effet, les valeurs de perte en cas de e e d´faillance ne sont plus fix´es par le r´gulateur (50% et 75%), mais sont estim´es par la banque. Ensuite, e e e e la maturit´ est explicitement prise en compte (elle peut l’ˆtre aussi dans la m´thode simple). Dans ce e e e cas, la valeur de la pond´ration devient e LGD RW = min × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (PD)] , 12.5 × LGD (10.6) 50 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 108
- 119. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB GRAPHIQUE 10.2. D´riv´e premi`re de la fonction de r´f´rence BRW e e e ee 1−PD GRAPHIQUE 10.3. Ajustement de la maturit´ 1 + 0.470 × e PD0.44 ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 109
- 120. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB PD (en %) BRW (PD) Maturity RW (LGD) Adjustment 25% 50% 100% 0.0001 0.60 21.52 0.30 0.60 1.19 0.01 7.43 3.70 3.71 7.43 14.85 0.02 11.09 2.99 5.55 11.09 22.18 0.03 14.09 2.67 7.04 14.09 28.18 0.04 16.73 2.47 8.36 16.73 33.46 0.05 19.14 2.33 9.57 19.14 38.27 0.06 21.38 2.23 10.69 21.38 42.75 0.07 23.49 2.15 11.74 23.49 46.97 0.08 25.49 2.08 12.75 25.49 50.98 0.09 27.41 2.03 13.70 27.41 54.82 0.10 29.25 1.98 14.63 29.25 58.51 TABLE 10.2. Pond´ration des actifs risqu´s (I) e e PD (en %) BRW (PD) Maturity RW (LGD) Adjustment 25% 50% 100% 0.10 29.25 1.98 14.63 29.25 58.51 0.20 45.10 1.72 22.55 45.10 90.21 0.30 58.27 1.60 29.14 58.27 116.55 0.40 69.94 1.53 34.97 69.94 139.88 0.50 80.59 1.48 40.30 80.59 161.18 0.60 90.48 1.44 45.24 90.48 180.97 0.70 99.78 1.41 49.89 99.78 199.55 0.80 108.58 1.39 54.29 108.58 217.16 0.90 116.97 1.37 58.48 116.97 233.94 1.00 125.00 1.35 62.50 125.00 250.01 TABLE 10.3. Pond´ration des actifs risqu´s (II) e e PD (en %) BRW (PD) Maturity RW (LGD) Adjustment 25% 50% 100% 1.00 125.00 1.35 62.50 125.00 250.01 2.00 192.43 1.26 96.22 192.43 384.87 3.00 245.97 1.21 122.99 245.97 491.95 4.00 291.45 1.19 145.73 291.45 582.90 5.00 331.38 1.17 165.69 331.38 662.76 6.00 367.14 1.15 183.57 367.14 734.28 7.00 399.60 1.14 199.80 399.60 799.21 8.00 429.36 1.13 214.68 429.36 858.73 9.00 456.85 1.12 228.42 456.85 913.70 10.00 482.38 1.12 241.19 482.38 964.76 15.00 588.04 1.09 294.02 588.04 1176.07 20.00 668.18 1.08 312.50 625.00 1250.00 50.00 908.00 1.03 312.50 625.00 1250.00 TABLE 10.4. Pond´ration des actifs risqu´s (III) e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 110
- 121. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB RW PD (en %) 20% 50% 100% 150% 0.025 79.08 0.05 52.25 0.075 40.82 0.10 34.19 85.46 0.25 19.26 48.15 96.30 0.50 12.41 31.02 62.04 93.06 0.75 9.59 23.98 47.97 71.95 1.00 8.00 20.00 40.00 60.00 2.50 4.54 11.34 22.68 34.02 5.00 3.02 7.54 15.09 22.63 7.50 2.41 6.03 12.05 18.08 10.00 2.07 5.18 10.37 15.55 25.00 1.60 4.00 8.00 12.00 50.00 1.60 4.00 8.00 12.00 TABLE 10.5. Relation implicite entre la probabilit´ de d´faillance et la perte en cas de d´faut pour une valeur e e e RW donn´e e La fonction de r´f´rence ne change pas. Le terme 1 + (M − 3) b (PD) intervient ici comme un facteur de ee diminution (M 3) ou d’augmentation (M 3) de la pond´ration. e La fonction b (PD) repr´sente la sensibilit´ de la pond´ration par rapport ` la maturit´. Par exemple, si e e e a e b (PD) est ´gal ` z´ro, la maturit´ M n’a pas d’influence sur la pond´ration. Notons que pour des raisons e a e e e ´videntes, nous devons v´rifier que e e 1 + (M − 3) b (PD) 0 (10.7) ou encore pour M 3 1 b (PD) (10.8) 3−M Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle n’a pas fix´ d´finitivement la fonction b (PD). Les premiers travaux e a e e montrent que cette fonction d´pend de l’approche consid´r´e pour traiter le risque de cr´dit : approche e ee e Mark-to-Market ou approche Default Mode. Dans la premi`re approche (MtM), la calibration du e Comit´ de Bˆle sugg`re cette fonction e a e 0.0235 × (1 − PD) b (PD) = 0.44 (10.9) PD +0.470 × (1 − PD) Dans ce cas, la valeur de la pond´ration devient e LGD RW = × BRW (PD) × [1 + (M − 3) b (PD)] 50 LGD 1 − PD = × 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × × 50 PD0.44 0.0235 × (1 − PD) 1 + (M − 3) 0.44 PD +0.470 × (1 − PD) LGD = × 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 50 1 − PD 1 − PD 1 + 0.470 × + 0.0235 × (M − 3) × (10.10) PD0.44 PD0.44 Cela revient ` d´finir une nouvelle fonction de r´f´rence : a e ee 1 − PD 1 − PD BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × + 0.0235 × (M − 3) × PD0.44 PD0.44 (10.11) Nous remarquons que le coefficient d’ajustement de la maturit´ est maintenant plus complexe puisqu’il e comprend deux termes : ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 111
- 122. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB β (PD, M ) PD (en %) β (PD) M = 0.5 M =1 M =3 M =5 M =7 0.025 2.81 0.55 1.00 2.81 4.61 6.42 0.05 2.33 0.67 1.00 2.33 3.66 4.99 0.075 2.11 0.72 1.00 2.11 3.23 4.34 0.10 1.98 0.75 1.00 1.98 2.96 3.94 0.25 1.65 0.84 1.00 1.65 2.31 2.96 0.50 1.48 0.88 1.00 1.48 1.96 2.44 0.75 1.40 0.90 1.00 1.40 1.80 2.20 1.00 1.35 0.91 1.00 1.35 1.71 2.06 2.50 1.23 0.94 1.00 1.23 1.46 1.70 5.00 1.17 0.96 1.00 1.17 1.33 1.50 7.50 1.14 0.97 1.00 1.14 1.27 1.41 10.00 1.12 0.97 1.00 1.12 1.23 1.35 25.00 1.06 0.98 1.00 1.06 1.13 1.19 50.00 1.03 0.99 1.00 1.03 1.06 1.10 TABLE 10.6. Facteur d’ajustement de la maturit´ e 1−PD 1. Le premier terme 1 + 0.470 × PD0.44 est le terme de correction pour passer d’une maturit´ 1 an e a ` une maturit´ moyenne 3 ans. Il est strictement sup´rieur ` 1 si la probabilit´ de d´faillance est e e a e e inf´rieure ` 100%. e a 1−PD 2. Le second terme 0.0235 × (M − 3) × PD0.44 est le terme de correction qui prend en compte de fa¸on c explicite la maturit´. Il peut ˆtre positif ou n´gatif. e e e Nous remarquons que si la maturit´ est ´gale ` un an (M = 1), nous avons e e a BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 (10.12) Nous retrouvons bien la fonction de r´f´rence qui a ´t´ calibr´e pour une maturit´ ´gale ` un an. Si la ee ee e ee a maturit´ vaut trois ans, alors nous obtenons l’´galit´ BRW (PD) = BRW (PD). La table 10.6 pr´sente e e e e les valeurs des facteurs d’ajustement de maturit´e 1 − PD β (PD) = 1 + 0.470 × (10.13) PD0.44 et 1 − PD 1 − PD β (PD, M ) = 1 + 0.470 × 0.44 + 0.0235 × (M − 3) × (10.14) PD PD0.44 L’incidence sur la valeur de la pond´ration est pr´sent´e dans la table 10.7. e e e Dans l’approche DM, la calibration du Comit´ de Bˆle sugg`re une fonction polynomiale e a e + b (PD) = 7.6752 × PD2 −1.9211 × PD +0.0774 (10.15) Dans ce cas, b (PD) prend syst´matiquement la valeur z´ro si la probabilit´ de d´faillance est sup´rieure e e e e e a ` 5%. A titre de comparaison, l’incidence sur la pond´ration est pr´sent´e dans la table 10.8. Nous e e e remarquons que la sensibilit´ de la pond´ration ` la maturit´ est beaucoup moins forte dans l’approche e e a e DM que dans l’approche MtM (voir le graphique 10.4). 10.2.2 Justification de la m´thode IRB e Dans ce paragraphe, nous suivons l’expos´ de Wilson [2001a]. Consid´rons un portefeuille Π de I e e cr´dits. Notons LGDi la perte nominale en cas de d´faillance. LGDi est une variable al´atoire de moyenne e e e Ei et d’´cart-type Ei · σ i . Nous supposons que la probabilit´ de d´faillance du i-i`me cr´dit d´pend d’un e e e e e e mod`le factoriel : e Pi = Pi (X1 , . . . , Xn ) (10.16) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 112
- 123. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB RW / RW PD (en %) M = 0.5 M =1 M =3 M =5 M =7 0.025 0.20 0.36 1.00 1.64 2.29 0.05 0.29 0.43 1.00 1.57 2.14 0.075 0.34 0.47 1.00 1.53 2.05 0.10 0.38 0.50 1.00 1.50 1.99 0.25 0.51 0.60 1.00 1.40 1.79 0.50 0.59 0.68 1.00 1.32 1.65 0.75 0.64 0.71 1.00 1.29 1.57 1.00 0.67 0.74 1.00 1.26 1.52 2.50 0.76 0.81 1.00 1.19 1.38 5.00 0.82 0.86 1.00 1.14 1.29 7.50 0.85 0.88 1.00 1.12 1.24 10.00 0.87 0.90 1.00 1.10 1.21 25.00 0.92 0.94 1.00 1.06 1.12 50.00 0.96 0.97 1.00 1.03 1.06 TABLE 10.7. Rapport entre la pond´ration ajust´e et la pond´ration originale (approche MtM) e e e RW / RW PD (en %) M = 0.5 M =1 M =3 M =5 M =7 0.03 0.81 0.85 1.00 1.15 1.31 0.05 0.81 0.85 1.00 1.15 1.31 0.07 0.81 0.85 1.00 1.15 1.30 0.10 0.81 0.85 1.00 1.15 1.30 0.25 0.82 0.85 1.00 1.15 1.29 0.50 0.83 0.86 1.00 1.14 1.27 0.75 0.84 0.87 1.00 1.13 1.25 1.00 0.85 0.88 1.00 1.12 1.24 2.50 0.91 0.93 1.00 1.07 1.14 5.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 7.50 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 10.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 25.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 50.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 TABLE 10.8. Rapport entre la pond´ration ajust´e et la pond´ration originale (approche DM) e e e ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 113
- 124. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB GRAPHIQUE 10.4. Repr´sentation graphique de la fonction b (PD) e Le d´faut Di est alors une variable al´atoire dont la distribution est une loi de Bernoulli de param`tre e e e Pi . Nous avons donc E [Di ] = Pi et σ 2 [Di ] = Pi (1 − Pi ). La perte du portefeuille L est al´atoire e I L= Di · LGDi (10.17) i=1 Nous pouvons calculer les deux premiers moments sous l’hypoth`se que les d´fauts et les pertes nominales e e sont ind´pendantes. Nous avons e I E [L] = E Di · LGDi i=1 I = E [Di · LGDi ] i=1 I = E [Di ] E [LGDi ] i=1 I = Ei · Pi (10.18) i=1 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 114
- 125. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB et I σ 2 [L] = σ2 Di · LGDi i=1 I = σ 2 [Di · LGDi ] i=1 I 2 = E (Di · LGDi −E [Di · LGDi ]) i=1 I = E Di E LGD2 − E2 [Di ] E2 [LGDi ] 2 i i=1 I = σ 2 [Di ] + E2 [Di ] σ 2 [LGDi ] + E2 [LGDi ] − E2 [Di ] E2 [LGDi ] i=1 I = Pi (1 − Pi ) + Pi2 Ei σ 2 + Ei − Pi2 Ei 2 i 2 2 i=1 I = Ei Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi 2 i (10.19) i=1 Notons que cette moyenne et cet ´cart-type sont des variables conditionnelles aux r´alisations des facteurs e e X1 , . . . , Xn . Dans ce cadre d’analyse, Wilson [2001a] consid´r`re un portefeuille ΠM “´quivalent” au ee e portfeuille original Π. Ce nouveau portefeuille est construit en rempla¸ant chaque cr´dit par M cr´dits c e e ind´pendants d’exposition Ei /M et de mˆme probabilit´ de d´faillance Pi (X1 , . . . , Xn ). Lorsque M tend e e e e vers l’infini, nous obtenons un portefeuille not´ Π∞ . C’est le portefeuille infiniment granulaire du Comit´ e e de Bˆle (infinitely fine-grained portfolio). Notons L∞ la perte de ce portefeuille. Nous avons a I M 1 E [LM ] = Ei · Pi i=1 m=1 M I = Ei · Pi i=1 = E [L] (10.20) et I M 1 2 σ 2 [LM ] = E Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi i=1 m=1 M2 i i I 1 = Ei Pi (1 − Pi ) + σ 2 Pi 2 i M i=1 1 2 = σ [L] (10.21) M Nous en d´duisons que E [L∞ ] = E [L] et σ 2 [L∞ ] = 0. Conditionnellement aux r´alisations des facteurs, e e la distribution de perte L∞ est une variable al´atoire sˆre qui prend la valeur E [L] : e u Pr {L∞ = E [L]} = 1 (10.22) L’al´a du portefeuille infiniment granulaire ne porte donc plus que sur les facteurs X1 , . . . , Xn . Si nous e supposons un seul facteur X de distribution H et si Pi est une fonction croissante du facteur, l’inverse de la distribution de la perte est donc I F−1 (α) := ∞ Ei · Pi H−1 (α) (10.23) i=1 ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 115
- 126. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB La contribution du cr´dit i est donc SRCi = Ei · Pi H−1 (α) . e Dans le paragraphe 172 du document [3], le Comit´ de Bˆle explique que la formule de la fonction de e a r´f´rence BRW a ´t´ calibr´e en utilisant un mod`le ` la Merton avec un seul facteur. Pour retrouver son ee ee e e a expression, nous utilisons les r´sultats de Finger [1999]. Soit Zi la valeur de l’actif normalis´e. Dans e e le mod`le de Merton, la d´faillance intervient si Zi passe en dessous d’une barri`re Bi : e e e Di = 1 ⇔ Zi Bi (10.24) ou encore Φ (Zi ) Pi (10.25) La valeur normalis´e de l’actif est mod´lis´e de la fa¸on suivante e e e c √ Zi = ρX + 1 − ρεi (10.26) avec X le facteur de risque syst´matique et εi le facteur de risque individuel. Les variables al´atoires Zi , e e Z et εi sont ind´pendantes de distribution N (0, 1). Pour interpr´ter le param`tre ρ, nous calculons e e e E [Zi Zj ] = E ρX 2 + (1 − ρ) εi εj + X ρ (1 − ρ) (εi+ εj ) = ρ (10.27) ρ est donc la corr´lation (constante) des valeurs des actifs. Nous pouvons maintenant caract´riser la e e probabilit´ de d´faillance conditionnelle e e Pi = Pr {Di = 1 | X} = Pr {Zi Bi | X} √ = Pr ρX + 1 − ρεi Bi √ Bi − ρX = Pr εi √ 1−ρ √ Bi − ρX = Φ √ (10.28) 1−ρ Notons pi la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle. Nous remarquons que e e pi = Pr {Zi Bi } = Φ (Bi ) (10.29) Nous en d´duisons que e √ Φ−1 (pi ) − ρX Pi = Φ √ (10.30) 1−ρ Une couverture au seuil de confiance α implique donc une contribution individuelle ´gale `1 e a √ Φ−1 (pi ) − ρΦ−1 (1 − α) SRCi = Ei · Pi = Ei · Φ √ (10.31) 1−ρ Pour α = 99.5% et ρ = 20% (valeurs pr´sent´es dans le paragraphe 172 du document [3]), nous obtenons e e SRCi = Ei · Φ 1.118Φ−1 (pi ) + 1.288 (10.32) Nous pouvons noter que la probabilit´ conditionnelle Pi est extrˆmement sensible au seuil de confiance e e α et ` la corr´lation ρ (voir les graphiques 10.5 ` 10.8). a e a 1 car la relation entre la probabilit´ de d´faillance conditionnelle et le facteur X est d´croissante. e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 116
- 127. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB GRAPHIQUE 10.5. Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (ρ = 20%) e e GRAPHIQUE 10.6. Influence du seuil α sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des valeurs donn´es e e e de pi (ρ = 20%) ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 117
- 128. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB GRAPHIQUE 10.7. Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi (α = 99.5%) e e e GRAPHIQUE 10.8. Influence de la corr´lation ρ sur la probabilit´ de d´faillance conditionnelle Pi pour des valeurs e e e donn´es de pi (α = 99.5%) e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 118
- 129. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Remarque 15 Nous pouvons v´rifier que pi est bien la probabilit´ non conditionnelle2 : e e √ Φ−1 (pi ) − ρX pi = EX Φ √ (10.40) 1−ρ Remarque 16 Si ρ est ´gal ` 0, alors la probabilit´ conditionnelle est ´gale ` la probabilit´ non condi- e a e e a e tionnelle : Pi = pi Si ρ est ´gal ` 1, la probabilit´ conditionnelle vaut respectivement 0 si pi 1 − α, 1/2 si pi = 1 − α et 1 e a e si pi 1 − α. Concernant le terme repr´sentant l’ajustement de maturit´, nous pouvons pens´ qu’il a ´t´ obtenu par e e e ee une m´thode de calibration ` partir d’une relation ´conom´trique. Notons τ la maturit´ ou l’horizon du e a e e e (τ ) d´faut et Di la variable al´atoire associ´e au d´faut de maturit´ τ . Pour τ ´gal ` 1 an, nous avons e e e e e e a (τ ) Di = Di et Di 0 1 Probabilit´ e 1 − pi pi Nous avons donc 2 ´tats de la nature (0 ou 1) et nous pouvons repr´senter le syst`me par une chaˆ de e e e ıne Markov stationnaire dont la matrice des probabilit´s de transition π est e 1 − pi pi π := π τ ,τ +1 = (10.41) 0 1 2 (preuve sugg´r´e par Jean-Fr´d´ric Jouanin). e e e e Nous devons montrer que Z √ Φ−1 (pi ) − ρx pi = Φ √ φ (x) dx (10.33) 1−ρ Pour cela, nous posons Z √ t − ρx A (t) = Φ √ φ (x) dx (10.34) 1−ρ Nous avons Z √ 1 t − ρx ∂t A (t) = √ √ φ φ (x) dx 1−ρ 1−ρ Z √ 2 ! 1 x2 t − ρx = √ exp − − dx (10.35) 2π 1 − ρ 2 2 (1 − ρ) Nous mettons le trinˆme du second degr´ en x sous forme canonique : o e √ 2 √ 2 x2 t − ρx t2 ρt − x + = + (10.36) 2 2 (1 − ρ) 2 2 (1 − ρ) Finalement, nous obtenons 2Z √ 2 ! 1 t 1 x− ρt ∂t A (t) = √ exp − p exp − dx (10.37) 2π 2 2π (1 − ρ) 2 (1 − ρ) 1 √ En faisant le changement de variable y = (1 − ρ)− 2 x − ρt , l’expression de ∂t A (t) devient 2 1 t ∂t A (t) = √ exp − (10.38) 2π 2 Nous en d´duisons que A (t) = Φ (t) et nous v´rifions bien que e e A Φ−1 (pi ) = pi (10.39) ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 119
- 130. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Un calcul rapide montre que τ τ (1 − pi ) 1 − (1 − pi ) π (τ ) := π × π × . . . × π = (10.42) 0 1 τ fois (τ ) Nous en d´duisons que la distribution Di e est une variable de Bernoulli avec (τ ) Di 0 1 τ τ Probabilit´ e (1 − pi ) 1 − (1 − pi ) Le Comit´ de Bˆle indique que la maturit´ implicite de la m´thode IRB simple est 3 ans. Nous rappelons e a e e que 1 − PD BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.118 × Φ−1 (PD) + 1.288 × 1 + 0.470 × (10.43) PD0.44 scaling factor Probabilit´ conditionnelle de d´faillance ` 1 an e e a Ajustement de maturit´ e (3) En utilisant la distribution de Di , nous en d´duisons que la fonction de r´f´rence qui prend en compte e ee de fa¸on explicite la maturit´ 3 ans est c e 3 BRW (PD) = C × Φ 1.118 × Φ−1 1 − (1 − PD) + 1.288 (10.44) scaling factor Probabilit´ conditionnelle de d´faillance ` 3 ans e e a Nous pouvons comparer les pond´rations en risque obtenues avec la formule (10.43) du Comit´ de Bˆle e e a avec celle donn´e par l’´quation (10.44) – voir le graphique 10.9. Si nous prenons C ´gal ` 976.5, nous e e e a remarquons que l’ajustement propos´ par le Comit´ de Bˆle n’est pas tr`s bons (sauf pour des probabilit´ e e a e e de d´faillance tr`s faibles). N´anmoins, pour comparer les formules (10.43) et (10.44), il est n´cessaire de e e e e fixer le facteur d’´chelle C afin d’obtenir une pond´ration ´gale ` 100% pour une probabilit´ de d´faillance e e e a e e de 0.7% et une perte en cas de d´faillance de 50%. Dans ce cas, C vaut 619.59 et l’ajustement est excellent e (lorsque PD est inf´rieur ` 10%). e a GRAPHIQUE 10.9. Fonction de r´f´rence BRW (ajustement de maturit´/formule exacte) ee e Enfin, la valeur 976.5 est le facteur d’´chelle calibr´ afin que la pond´ration soit ´gale ` 100% pour une e e e e a probabilit´ de d´faillance de 0.7% et une perte en cas de d´faillance de 50%. e e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 120
- 131. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB 10.2.3 Param`tres de la fonction de pond´ration e e 10.2.3.1 La probabilit´ de d´faillance e e Si le cr´dit n’est pas prot´g´ par une technique CRM, la probabilit´ de d´faillance est celle associ´e ` e e e e e e a la note interne ` laquelle l’emprunteur est affect´ pour un horizon d’un an. Dans le cas d’une protection, a e nous devons distingu´ l’approche IRB simple de l’approche IRB avanc´e : e e – Dans la premi`re approche, la probabilit´ de d´faillance ajust´e PD (qui est applicable uniquement e e e e a ` la partie couverte de l’exposition) est PD = w × PD + (1 − w) × PDG (10.45) o` PDG est la probabilit´ de d´faillance de la garantie et w est le facteur de risque r´siduel (0 ou u e e e 15%). – Dans la deuxi`me approche, la probabilit´ de d´faillance ajust´e PD est celle de la garantie. e e e e 10.2.3.2 La perte en cas de d´faillance e Nous rappelons que les pertes en cas de d´faillance sont r´glementaires (50% ou 75%) dans l’approche e e simple. Dans le cas d’existence de suret´s, la perte en cas de d´faillance ajust´e LGD est e e e CA LGD = max 1 − (1 − w) × × LGD, w × LGD (10.46) E o` E est l’exposition et CA la valeur ajust´e des suret´s. Si le colat´ral est physique (une r´sidence par u e e e e exemple), alors la perte en cas de d´faillance ajust´e LGD est donn´e par le tableau suivant e e e Condition LGD C E ≤ 30% 50% C E 140% 40% C 30% E ≤ 140% 1− 1 × 7 C E × 50% Dans l’approche avanc´e, les banques pourraient utiliser leurs propres estimations. e 10.2.3.3 La maturit´ e Celle-ci n’intervient explicitement que dans le cas de l’approche avanc´e. La maturit´ correspond ` la e e a dur´e r´siduelle maximum avec un plancher ´gal ` un an. e e e a 10.2.3.4 L’exposition en cas de d´faillance e C’est l’encours nominal du cr´dit. e 10.2.4 Les exigences minimales d’´ligibilit´ e e Celles-ci sont nombreuses (voir les paragraphes 189 ` 261 du document [3]). Elles concernent a – la notation, – l’audit interne et externe, – la surveillance du risque de cr´dit, e – la qualification du personnel, – l’estimation des param`tres, e – le mapping vers des donn´es externes, e – etc. Prenons par exemple les normes minimales pour l’estimation de la probabilit´ de d´faillance. Dans ce e e cas, la banque doit la calculer sur un an pour toutes ses cat´gories de notation interne. La probabilit´ de e e d´faillance doit ˆtre une mesure prudente de la probabilit´ de d´faillance moyenne ` long terme et une e e e e a mesure prospective. La longueur des s´ries historiques doit ˆtre d’au moins cinq ans. La fr´quence e e e des estimations est annuelle... D’autres informations concernant la gestion du risque de cr´dit sont disponibles dans les documents e [1] et [2]. ´ 10.2. L’EXEMPLE DE LA METHODE IRB POUR LES ENTREPRISES 121
- 132. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB 10.3 Prolongements Les travaux du Comit´ de Bˆle sont loin d’ˆtre finis. Nous indiquons ici les principales diff´rences qui e a e e existent par rapport au risque corporate. 10.3.1 Risque retail Le Comit´ de Bˆle propose d’utiliser la fonction de r´f´rence suivante : e a ee 1 − PD BRW (PD) = 976.5 × Φ 1.043 × Φ−1 (PD) + 0.766 × 1 + 0.470 × (10.47) PD0.44 Cela implique que la corr´lation a ´t´ fix´e ` 8%, ce qui est beaucoup plus faible que pour le risque e ee e a corporate. La tr`s grande diff´rence avec le risque corporate est la notation, ou plus pr´cis´ment la segmentation e e e e des clients. Celle-ci varie ´norm´ment d’une banque ` une autre. De plus il n’existe pas de m´thodologies e e a e externes qui pourraient aider ` la construction d’une m´thodologie standardis´e ou f´d´ratrice. a e e e e 10.3.2 Risque souverain Le Comit´ de Bˆle propose de traiter le risque sovereign comme le risque corporate. e a 10.3.3 Risque banque Le Comit´ de Bˆle propose de traiter le risque bank comme le risque corporate. e a 10.3.4 Risque financement de projet Les travaux sont en cours. 10.3.5 Risque equity Les travaux sont en cours. 10.4 Granularit´ du portefeuille e L’analyse pr´c´dente n’est valide que pour des portefeuilles infiniment granulaires (infinitely fine- e e grained portfolio). Dans le cas o` le portefeuille pr´sente des concentrations, il convient d’ajuster les u e fonds propres pour tenir compte de ces risques. Cet ajustement est appel´ l’ajustement de granularit´ e e (granularity adjustment) par le Comit´ de Bˆle. e a 10.4.1 La m´thodologie e Le Comit´ de Bˆle d´finit une sensibilit´ au risque syst´matique de la fa¸on suivante : e a e e e c F = Pi − pi (10.48) C’est la diff´rence entre la probabilit´ de d´faillance conditionnelle et la probabilit´ de d´faillance non e e e e e conditionnelle. Un autre expression de F est √ Φ−1 (pi ) − ρΦ−1 (1 − α) F =Φ √ − pi (10.49) 1−ρ ou encore F = Φ α1 Φ−1 (pi ) + α0 − pi (10.50) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 122
- 133. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB avec 1 α1 = √ (10.51) 1−ρ et ρ α0 = Φ−1 (α) (10.52) 1−ρ Par exemple, pour le risque corporate3 , nous obtenons α1 = 1.118 et α0 = 1.288. Le Comit´ de Bˆle propose de calculer l’ajustement de granularit´ en deux ´tapes : e a e e 1. Dans une premi`re ´tape, le portefeuille actuel de la banque est transform´ en un portefeuille e e e hypoth´tique d’expositions homog`nes. Quatre composantes agr´g´es de risque sont alors d´finies : e e e e e (a) une probabilit´ de d´faillance agr´g´e PDAG , e e e e (b) une perte en cas de d´faillance agr´g´e LGDAG , e e e (c) une sensibilit´ au risque syst´matique FAG , e e (d) et un nombre “effectif” de prˆts n . e 2. Dans une deuxi`me ´tape, on calcule l’ajustement par la formule suivante e e TNRE × GSF G= − 0.04 × RWANR (10.53) n o` TNRE est l’exposition totale hors retail, GSF est le coefficient d’ajustement de granularit´ et u e RWANR est la valeur des actifs pond´r´s hors retail. Le montant G est alors additionn´ aux actifs ee e pond´r´s. ee Avant de d´finir le coefficient d’ajustement de granularit´ (granularity scaling factor), nous devons e e pr´ciser les 4 composantes agr´g´es de risque. Nous notons C une cat´gorie de risque. Notons sC la part e e e e d’exposition au risque de la cat´gorie C dans le risque total : e i∈C EADi sC = C i∈C EADi Nous avons PDAG = sC · PDC C C sC · PDC · LGDC LGDAG = PDAG FAG = sC · F C = sC · Φ α1 Φ−1 (PDC ) + α0 − PDC (10.54) C C avec PDC la probabilit´ de d´faillance de la cat´gorie C et e e e i∈C EADi · LGDi LGDC = (10.55) i∈C EADi Le nombre “effectif” de prˆts n est l’inverse de l’indice d’Herfindahl H . H e est une mesure de la concentration du portefeuille. Nous avons 1 n = H 1 = 2 (10.56) C AC · HC · sC 3 Nous rappelons que ρ = 20% et α = 99.5%. ´ 10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 123
- 134. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB avec i∈C EAD2 i HC = 2 (10.57) i∈C EADi et LGD2 · PDC · (1 − PDC ) − 0.033 · FC + 0.25 · PDC · LGDC · (1 − LGDC ) C 2 AC = (10.58) LGD2 AG 2 · (PDAG · (1 − PDAG ) − 0.033 · FAG ) + 0.25 · PDAG · LGDAG · (1 − LGDAG ) Le coefficient d’ajustement de la granularit´ correspond alors ` e a PDAG GSF = (0.6 + 1.8 × LGDAG ) × 9.5 + 13.75 × (10.59) FAG Remarque 17 TNRE est l’exposition totale hors retail, c’est-`-dire la somme des expositions en cas de a d´faillance : e TNRE = EADi (10.60) C i∈C 10.4.2 Exemples Afin de bien comprendre comment l’ajustement de granularit´ fonctionne en pratique, nous consid´rons e e le cas d’un portefeuille avec deux cat´gories de risque C1 et C2 . La probabilit´ de d´faillance de C1 et C2 est e e e not´e respectivement PD1 et PD2 . Dans la premi`re cat´gorie de risque C1 , nous avons N1 cr´dits de mˆme e e e e e caract´ristiques EAD1,i et LGD1,i et un cr´dit dont les caract´ristiques sont EAD1,0 et LGD1,0 . Dans e e e la deuxi`me cat´gorie de risque C2 , nous avons N2 cr´dits de mˆme caract´ristiques EAD2,i et LGD2,i e e e e e et un cr´dit dont les caract´ristiques sont EAD2,0 et LGD2,0 . Les calculs sont pr´sent´s dans le tableau e e e e suivant. Afin de comprendre l’impact d’un coefficient, nous avons laisser les cases vides correspondant ` a des param`tres qui ne changent pas d’un exemple ` un autre. e a Exemple #1 #2 #3 #4 #5 N1 100 10000 100 PD1 0.7% EAD1,0 1 LGD1,0 50% EAD1,i 1 LGD1,i 50% N2 100 10000 100 PD2 0.7% 5% EAD2,0 1 1000 LGD2,0 50% EAD2,i 1 1000 1 LGD2,i 50% PDAG 0.7% 2.85% 4.99% 4.63% LGDAG 50% FAG 0.065 0.153 0.240 0.226 n 202 20002 20432 100.12 1.344 GSF 16.46 18.09 18.53 18.48 TNRE 202 20002 100102 1201 RWANR 201.55 19957 43120 331484 3745.96 G 8.40 -781.83 -1707 5268.16 16361 RWANR +G 209.95 19175 41413 336752 20107 Remarque 18 Attention, la perte en cas de d´faillance intervient en % dans le calcul du risque pond´r´, e e e alors qu’elle intervient en d´cimal dans le calcul de la granularit´. e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 124
- 135. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB 10.4.3 D´rivation du coefficient d’ajustement de granularit´ e e Celle-ci est expliqu´e en d´tail dans l’article de Gordy [2001]. Une formalisation plus accessible est e e pr´sent´e dans Wilson [2001a,2001b]. Afin de bien comprendre comment l’ajustement est obtenu, nous e e reprenons les principaux points de ces articles. 10.4.3.1 La d´termination du coefficient β e Notons D la variable al´atoire de Bernoulli repr´sentant la d´faillance, LGD la perte (relative) en cas e e e de d´faillance et EAD l’exposition en cas de d´faillance. Consid´rons un portefeuille Πn compos´ de n e e e e lignes de cr´dit. La perte Ln du portefeuille Πn est donc e n Ln = Di · LGDi · EADi (10.61) i=1 Gordy [2001] d´finit Ln comme le ratio de la perte du portefeuille sur le total des expositions : e n i=1 Di · LGDi · EADi Ln = n (10.62) i=1 EADi Nous rappelons que pour un portefeuille infiniment granulaire ou asymptotique, la perte du portefeuille Π∞ est la perte syst´matique e Pr {L∞ = E [L∞ ]} = 1 (10.63) Afin de clarifier les notations, nous ´crivons la perte esp´r´e conditionnelle de la fa¸on suivante : e ee c E [Ln ] := E [Ln | X] (10.64) avec X le facteur de risque syst´matique. Notons ψ (X; α) le quantile α de la variable al´atoire X. e e Michael Gordy donne une autre interpr´tation statistique de la notion de portefeuille infiniment granulaire e (Proposition 5 de Gordy [2001]) : lim Pr {Ln ≤ E [Ln | ψ (X; α)]} = α (10.65) n→∞ Cela veut dire que la valeur en risque d’un portefeuille infiniment granulaire VaR [L∞ ; α] est bien la perte esp´r´e conditionnelle E [L∞ | ψ (X; α)] : ee VaR [L∞ ; α] := E [L∞ | ψ (X; α)] ou qu’une charge en capital ´gale ` E [L∞ | ψ (X; α)] correspond bien ` une probabilit´ de solvabilit´ e a a e e ´gale ` α : e a [...] for an infinetely fine-grained portfolio, the proposed portfolio-invariant capital rule provides a solvency probability of exactly α (Gordy [2001]). Cela implique qu’une charge en capital ´gale ` E [Ln | ψ (X; α)] ne permet pas n´cessairement de couvrir e a e le risque au seuil de confiance α dans le cas non asymtotique : VaR [Ln ; α] = E [Ln | ψ (X; α)] (10.66) C’est pourquoi nous devons ajuster la perte esp´r´e conditionnelle afin d’obtenir le bon degr´ de couver- ee e ture : VaR [Ln ; α] = E [Ln | ψ (X; α)] + ∆Ln (10.67) L’ajustement de granularit´ correspond tout simplement ` ∆Ln . e a La question principale est alors de caract´riser cet ajustement ∆Ln . Pour cela, Gordy [2001] montre e la proposition suivante : ´ 10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 125
- 136. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Proposition 1 (Gordy [2001, Proposition 6, p. 12]) If the portfolio is statistically homogeneous, the function µ (x) := E [Ln | X = x] is continous, arbitrarily differentiable, and increasing, and the syste- matic risk factor X is drawn from an arbitrary differentiable continuous distribution, then VaR converges to its asymptotic limit at rate 1/n, that is, VaR [Ln ; α] = µ (ψ (X; α)) + O n−1 (10.68) L’interpr´tation de cette proposition est simple : e [...] it says that the difference between the VaR for a given homogeneous portfolio and its asymtotic approximation E [Ln | ψ (X; α)] is proportional to 1/n. This suggests that the accuracy of the asymptotic capital rule can be improved by introducing a “granularity add-on charge” that is inversely proportional to the number of obligors in the portfolio. To calibrate such add-on charge for a homogeneous portfolio, we need to find a constant of proportionality β such that E [Ln | ψ (X; α)] + β/n is a good approximation to VaR [Ln ; α] (Gordy [2001]). Nous en d´duisons que e ∆Ln β/n (10.69) Voyons maintenant comment d´terminer le coefficient β. Pour cela, nous utilisons les r´sultats de e e Wilson [2001b]. Michael Gordy d´rive l’ajustement (10.69) sous l’hypoth`se que le portefeuille est sta- e e tistiquement homog`ne. Cela veut dire que les lignes de cr´dit ont la mˆme exposition en cas de e e e d´faillance et la mˆme perte esp´r´e conditionnelle — ce qui implique la mˆme probabilit´ de d´faillance e e ee e e e non conditionnelle et la mˆme distribution de perte en cas de d´faillance. Les portfeuilles Πn de Gordy e e et ΠM de Wilson sont donc diff´rents, mais nous pouvons construire le portefeuille Πn ` partir du por- e a tefeuille ΠM . Pour cela, il suffit de poser I = 1 et M = n — voir le paragraphe 10.2.2. Reprenons les notations de ce mˆme paragraphe. La perte du portfeuille (qui se r´duit ` la perte de la ligne de cr´dit e e a e puisque I est ´gal ` 1) est not´e L. Les deux premiers moments de la perte conditionnelle sont E [L | X] e a e et σ 2 [L | X] — dans le paragraphe 10.2.2, nous avions utilis´ l’´criture E [L] et σ 2 [L] puisque le condi- e e tionnement ´tait parfaitement explicite. Nous introduisons les fonctions µ (x) et υ (x) d´finies de la fa¸on e e c suivante : µ (x) := E [L | X = x] (10.70) et υ (x) := σ 2 [L | X = x] (10.71) Wilson [2001b] montre alors que4 1 d h (x) υ (x) VaR [L; α] µ (ψ (X; α)) − (10.72) 2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α) avec h la densit´ de X. Reprenons la construction du portefeuille infiniment granulaire de la page 115. e Nous avons 1 d h (x) υ (x) VaR [LM ; α] µ (ψ (X; α)) − M (10.73) 2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α) puisque E [LM | X = x] = E [L | X = x] et σ 2 [LM | X = x] = σ 2 [L | X = x] /M . Nous en d´duisons e que5 β VaR [Ln ; α] VaR [L∞ ; α] + (10.74) n 4 La d´monstration n’est pas tr`s technique, mais assez longue (pages 104 et 105 de Wilson [2001b]). e e 5 puisque M = n et VaR [L∞ ; α] = E [L∞ | X = ψ (X; α)] = µ (ψ (X; α)). INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 126
- 137. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB avec 1 d h (x) υ (x) β = − 2h (x) dx ∂x µ (x) x=ψ(X;α) 2 1 ∂x µ (ψ (X; α)) ∂x ln h (ψ (X; α)) ∂x υ (ψ (X; α)) = υ (ψ (X; α)) 2 − υ (ψ (X; α)) − 2 [∂x µ (ψ (X; α))] ∂x µ (ψ (X; α)) ∂x µ (ψ (X; α)) (10.75) Le Comit´ de Bˆle explique que la calibration du coefficient β a ´t´ faite ` partir du mod`le CreditRisk+ : e a ee a e Calibration of the β coefficient inevitably depends on the choice of model and its calibra- tion. IRB benchmark risk-weights have been calibrated within a CreditMetrics style model. For the purposes of designing a granularity adjustment, however, we use a generalised version of the CreditRisk+ model. The advantage is that the functional form of CreditRisk+ risk-weights allows the granularity adjustment to be assessed with minimal reporting and computational burden. The obvious disadvantage is the greater potential for inconsistency with CreditMetrics- based IRB exposure-level risk-weights. Fortunately, it is by now well-known that CreditRisk+ can be calibrated so that the tail of its loss distribution will align closely with the tail of the CreditMetrics loss distribution. So long as care is exercised in calibration, the discrepancy between our granularity adjustment and a full CreditMetrics-based estimate can be kept to a minimum (§444 du document [3]). Dans le cas du mod`le de type CreditMetrics (ou Merton), nous rappelons que la relation entre la proba- e bilit´ de d´faillance conditionnelle Pi et la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle pi est e e e e √ Φ−1 (pi ) − ρX Pi = Φ √ (10.76) 1−ρ Dans le cas du mod`le de type CreditRisk+, nous avons6 e Pi = pi (1 + i (X − 1)) (10.77) avec i la pond´ration factorielle — i ∈ [0, 1] — et X le facteur syst´matique de distribution Γ (a, b) e e a−1 — h (x) = (x/b) exp (−x/b) / (bΓ (a)). Dans ce cas, les expressions (10.18) et (10.19) deviennent µ (x) = E [L | X = x] = E [LGD1 ] P1 = E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) (10.78) et υ (x) = σ 2 [L | X = x] = E2 [LGD1 ] P1 (1 − P1 ) + σ 2 [LGD1 ] P1 = E2 [LGD1 ] + σ 2 [LGD1 ] P1 − E2 [LGD1 ] P1 2 0 2 2 E [LGD1 ] + σ [LGD1 ] P1 = E1 + σ 2 [LGD1 ] p1 (1 + 2 1 (x − 1)) (10.79) Le Comit´ de Bˆle fait l’hypoth`se suivante (§447 du document [3]) : e a e 1 σ [LGD1 ] = E1 (1 − E1 ) (10.80) 2 6 voir Gordy [2000]. ´ 10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 127
- 138. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Nous en d´duisons que e 1 3 υ (x) = E1 + E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) (10.81) 4 4 2 1 3 Le calcul des d´riv´es donne ∂x µ (x) = E1 p1 e e 1, ∂x µ (x) = 0, ∂x υ (x) = E1 4 + 4 E1 p1 1 et ∂x ln h (ψ (X; α)) = (a − 1) x−1 − b−1 . Nous avons donc 1 a−1 1 −1 β= (0.25 + 0.75E1 ) − − 1 + (x − 1) − 1 (10.82) 2 x b Afin de maintenir une certaine coh´rence entre la formulation des pond´rations en risque et le facteur de e e granularit´, le Comit´ de Bˆle impose que les probabilit´s de d´faillance conditionnelles CreditMetrics et e e a e e CreditRisk+ co¨ ıncident : √ Φ−1 (pi ) + ρΦ−1 (α) Φ √ = pi (1 + i (x − 1)) (10.83) 1−ρ Dans ce cas, la pond´ration factorielle e i vaut 1 Fi i = (10.84) (x − 1) pi avec √ Φ−1 (pi ) + ρΦ−1 (α) Fi = Φ √ − pi (10.85) 1−ρ L’expression de β est donc 1 pi β= (0.25 + 0.75E1 ) A − 1 + A (10.86) 2 Fi avec a−1 1 A=− − (x − 1) (10.87) x b Pour achever la calibration, le Comit´ de Bˆle indique que celle-ci a ´t´ faite sous l’hypoth`se que e a ee e E [X] = 1 et σ [X] = 2 (§445 du document [3]). Les param`tres de la distribution Gamma7 implicite sont e donc a = 0.25 et b = 4. Puisque α est ´gal ` 99.5%, le quantile correspondant de la distribution Gamma e a Γ (0.25, 4) est 12.007243 et la valeur prise par A est 3.4393485, ce qui donne 1 pi β = (0.25 + 0.75E1 ) 2.4393485 + 3.4393485 2 Fi pi = (0.4 + 1.2E1 ) 0.76229640 + 1.0747964 (10.88) Fi Nous retrouvons (presque) la formule donn´e par le Comit´ de Bˆle (§456 du document [3]) : e e a PD β = (0.4 + 1.2 × LGD) 0.76 + 1.10 × (10.89) F Pour retrouver exactement la formule du Comit´ de Bˆle, nous ne devons pas utiliser l’approxima- e a tion P12 4 3 0 pour calculer υ (x). Dans ce cas, nous avons υ (x) = E1 1 + 4 E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) − 2 2 2 1 3 2 2 E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) et ∂x υ (x) = E1 4 + 4 E1 p1 1 − 2E1 p1 1 (1 + 1 (x − 1)). Nous en d´duisons e que 1 a−1 1 −1 β = (0.25 + 0.75E1 ) − − 1 + (x − 1) − 1 2 x b 1 −1 a−1 1 +E1 p1 (1 + 1 (x − 1)) 1 + − (10.90) 2 1 x b Terme de correction 7 Nous avons E [X] = ab et σ [X] = √ab. INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 128
- 139. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Dans le cas o` E1 varie de 5% ` 95%, PD de 0.10% ` 15% and ρ de 10% ` 30%, alors l’erreur relative u a a a entre la formule exacte (10.90) et la formule approch´e (10.89) n’exc`de pas 1%. e e A titre de remarque, il faut noter que le coefficient β est extrˆmement sensible aux valeurs des e param`tres : la perte en cas de d´faillance LGD, la probabilit´ de d´faillance PD, la corr´lation des actifs e e e e e ρ, le seuil de confiance α et la volatilit´ du facteur σ [X] — E [X] n’est pas un param`tre puisque nous e e avons l’´quivalence suivante E [Pi ] = pi ⇔ E [X] = 1. Le graphique 10.10 illustre cette sensibilit´. e e GRAPHIQUE 10.10. Impact des param`tres sur le coefficient β (valeurs par d´faut : LGD = 50%, α = 99.5%, e e ρ = 20% et σ [X] = 2) 10.4.3.2 Du coefficient β ` l’ajustement de granularit´ du Comit´ de Bˆle a e e a Nous devons dans un premier temps ‘transformer’ le coefficient β en actifs pond´r´s. De plus, le Comit´ ee e de Bˆle indique qu’il a utilis´ un facteur d’´chelle c afin d’obtenir une pond´ration ´gale ` 100% pour a e e e e a une probabilit´ de d´faillance de 0.7%, une perte en cas de d´faillance de 50% et une maturit´ de 3 ans. e e e e (§457 du document [3]). Dans le paragraphe 10.2.2, nous l’avons d´j` calcul´ et obtenu c ea e 1.5. Nous avons donc EAD ×β ∆ RWA = 1.5 × 8% n PD = EAD × (0.6 + 1.8 × LGD) 9.5 + 13.75 × n (10.91) F Nous rappelons aussi que le coefficient β a ´t´ d´termin´ pour un portefeuille statistiquement homog`ne. ee e e e Dans la pratique, les portefeuilles Π d’engagement des banques ne sont pas homog`nes. Il faut donc e pouvoir trouver un portefeuille homog`ne ´quivalent ΠAG pour calculer l’ajustement de granularit´ G, e e e qui est exprim´ en terme d’actifs pond´r´s. Le Comit´ de Bˆle indique aussi que la calibration effectu´e e ee e a e est telle que 4% du capital couvre d´j` l’effet de granularit´. Nous avons donc ea e PDAG G = EADAG × (0.6 + 1.8 × LGDAG ) 9.5 + 13.75 × nAG − 0.04 × RWANR (10.92) FAG ´ 10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 129
- 140. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB En utilisant les notations du Comit´ de Bˆle, nous retrouvons la formule e a TNRE × GSF G= − 0.04 × RWANR (10.93) n avec PDAG GSF = (0.6 + 1.8 × LGDAG ) 9.5 + 13.75 × (10.94) FAG Il nous reste maintenant ` justifier la construction du portefeuille homog`ne ´quivalent ΠAG . Celle-ci a e e est pr´sent´e dans la section 4 de Gordy [2001]. Nous reprenons les notations pr´c´dentes en introduisant e e e e les classes de risques C. Nous avons L= Di · LGDi · EADi (10.95) C i∈C Nous notons pC la probabilit´ de d´faillance non conditionnelle de la classe de risque C et sC la part e e d’exposition au risque de la classe C dans le risque total : i∈C EADi sC = (10.96) C i∈C EADi Le but est alors de construire un portefeuille ‘´quivalent’ ΠAG au portefeuille Π de taille n et de e param`tres communs p , E , σ [LGD ], EAD , etc. (Gordy [2001]). Dans ce cas, l’expression de la e perte est LAG = D · LGD · EAD (10.97) L’id´e sous-jacente est d’ajuster diff´rents moments ou d’imposer des restrictions. Michael Gordy impose e e l’´galit´ des taux de d´faillance et des pertes esp´r´es (pond´r´s par les expositions). Nous avons donc e e e ee ee E [D · EAD ] = E Di · EADi (10.98) C i∈C Il est bien sˆr naturel de prendre EAD = u C i∈C EADi (mˆme exposition dans le portefeuille ΠAG et e le portefeuille Π), ce qui implique C i∈C pC · EADi p = C i∈C EADi = sC · pC (10.99) C Nous avons aussi E [D · LGD · EAD ] = E Ei · LGDi · EADi C i∈C p ·E · EADi = pC · Ei · EADi C i∈C C i∈C = pC Ei · EADi (10.100) C i∈C Introduisons la perte en cas de d´faillance moyenne par classe de risque EC d´finie par e e i∈C Ei · EADi EC = (10.101) i∈C EADi INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 130
- 141. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Nous en d´duisons que e p ·E · EADi = pC · EC · EADi (10.102) C i∈C C i∈C ou encore pC i∈C EADi E = · EC · p C i∈C EADi C sC · pC = · EC (10.103) C C sC · pC Rappelons que la variance conditionnelle de la distribution de perte est σ 2 [L | X] = EAD2 · Ei · Pi · (1 − Pi ) + σ 2 [LGDi ] · Pi i 2 (10.104) C i∈C La variance non conditionnelle de la distribution de perte a donc pour expression8 σ 2 [L] = σ 2 [E [L | X]] + E σ 2 [L | X] = σ2 Pi · Ei · EADi +E EAD2 · Ei · Pi · (1 − Pi ) + σ 2 [LGDi ] · Pi i 2 C i∈C C i∈C Contribution du risque syst´matique e Contribution du risque idiosyncratique = σ2 PC · EC · sC · EAD + pC · (1 − pC ) − σ 2 [PC ] · EAD2 ·Ei i 2 C C i∈C Contribution du risque syst´matique e Contribution du risque de d´faut idiosyncratique e + pC EAD2 ·σ 2 [LGDi ] i (10.106) C i∈C Contribution du risque de recouvrement idiosyncratique Pour le portefeuille ΠAG , nous avons 2 2 2 EAD 2 σ [LAG ] = σ [P · E · EAD ] + E · p · (1 − p ) − σ 2 [P ] + p · σ 2 [LGD ] (10.107) n Pour d´terminer n , nous allons calibrer les diff´rentes contributions avec un mod`le de type CreditRisk+ : e e e Pi = pi (1 + i (X − 1)) (10.108) Nous avons d´j` utilis´ le fait que E [Pi ] = pi — ce qui implique que E [X] = 1. Pour la variance, nous ea e avons σ 2 [Pi ] = p2 i 2 2 iσ [X] (10.109) La calibration du risque syst´matique implique que la pond´ration factorielle e e est C pC C EC sC = p E C pC C EC sC = (10.110) C sC pC EC 8 car nous avons E [Pi · (1 − Pi )] = E [Pi ] − E Pi2 = E [Pi ] − σ2 P 2 − E2 [Pi ] (10.105) ´ 10.4. GRANULARITE DU PORTEFEUILLE 131
- 142. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB Concernant la calibration du risque de d´faut idiosyncratique, nous avons e 2 2 E p (1 − p ) − (p σ [X]) n = (10.111) 2 2 2 2 C EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X]) i∈C (EADi Ei ) (EAD EC ) Nous utilisons les ´galit´s suivantes e e 2 2 i∈C (EADi Ei ) i∈C (EADi Ei ) 2 = P 2 (EAD EC ) EAD i∈C Ei EADi P i∈C EADi 2 2 i∈C (EADi Ei ) i∈C EADi = 2 i∈C Ei · EADi C i∈C EADi = HC s 2 C avec HC l’index d’Herfindahl d´fini par l’expression suivante e 2 i∈C (EADi Ei ) HC = 2 (10.112) i∈C Ei · EADi Remarque 19 Nous n’obtenons pas exactement les mˆmes r´sultats que Gordy [2001], puisque celui-ci e e utilise l’expression suivante pour HC : i∈C EAD2 i HC = 2 (10.113) i∈C EADi Finalement, l’expression de n est 1 n = (10.114) C Λc HC s2 C avec 2 2 EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X]) Λc = (10.115) 2 2 E p (1 − p ) − (p σ [X]) Nous retrouvons l’expression de n du Comit´ de Bˆle (§445 du document [3]). Il existe n´anmoins une e a e diff´rence fondamentale entre l’analyse de Gordy [2001] et la formulation propos´e par le Comit´ de e e e Bˆle concernant Λc . Dans le document [3], la calibration de n ne se fait pas uniquement ` partir du a a risque de d´faut idiosyncratique, mais utilise aussi le risque de recouvrement idiosyncratique. Dans ce e cas, nous avons 2 2 EC pC (1 − pC ) − (pC C σ [X]) + pC σ 2 [LGDC ] Λc = (10.116) 2 2 E p (1 − p ) − (p σ [X]) + p σ 2 [LGD ] En reprenant les hypoth`ses du Comit´ de Bˆle, nous avons e e a 2 2 σ [X] (pi i σ [X]) = Fi (10.117) (ψ (X; α) − 1) et 1 σ [LGDi ] = Ei (1 − Ei ) (10.118) 2 Puisque X ∼ Γ (0.25, 4), ψ (X; 99.5%) et σ [X] prennent les valeurs 12.007243 et 2, et nous obtenons 2 (pi i σ [X]) = 0.033014360 × Fi2 (10.119) INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 132
- 143. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB L’expression de Λc est bien celle du Comit´ de Bˆle : e a 2 2 EC pC (1 − pC ) − 0.033 · FC + 0.25 · pC EC (1 − EC ) Λc = 2 (10.120) E p (1 − p ) − 0.033 · F 2 + 0.25 · p E (1 − E ) avec FC = PC − pC (10.121) et F = sC FC (10.122) C 10.5 Les modifications du 5 novembre 2001 Le 5 novembre 2001, le Comit´ de Bˆle publie deux documents. Le premier concerne les r´sultats du e a e QIS2 (Second Quantitative Impact Study). 138 banques de 25 pays diff´rents ont r´pondu. Parmi elles, e e 127 banques ont fourni des calculs complets pour la m´thode SA, 55 pour la m´thode IRB simple et 22 e e pour la m´thode IRB avanc´e. La table 10.9 pr´sente les r´sultats concernant les variations de charge en e e e e capital au titre du risque de cr´dit par rapport ` la m´thode SA actuelle (Accord de Bˆle 1988). Nous e a e a remarquons que la m´thode IRB simple pour les banque du G10 conduit ` une augmentation de 14%, e a alors que cette augmentation n’est que de 6% pour la m´thode SA. Dans ce cas, il y a une faible incitation e a ` utiliser la m´thode IRB simple. e M´thode e SA IRB simple IRB avanc´e e G10 +6% +14% −5% EU +6% +10% −1% autres +5% TABLE 10.9. R´sultat du QIS2 e C’est pourquoi dans un second document, le Comit´ de Bˆle propose une nouvelle formulation de la e a pond´ration en risque. Mˆme si les nouvelles formules sont tr`s diff´rentes ` premi`re vue, elles sont e e e e a e en fait une modification des formules pr´c´dentes. Consid´rons le cas du risque corporate. La nouvelle e e e pond´ration en risque du Comit´ de Bˆle est e e a Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%) 1 − PD RW = 12.50 × LGD ×Φ × 1 + 0.470 × (10.123) 1 − ρ (PD) PD0.44 avec 1 − e−50×PD 1 − 1 − e−50×PD ρ (PD) = 0.10 × −50 + 0.20 × (10.124) 1−e 1 − e−50 Une nouvelle ´criture de RW est e LGD Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%) 1 − PD RW = × 625 × Φ × 1 + 0.470 × (10.125) 50 1 − ρ (PD) PD0.44 Nouvelle fonction de r´f´rence BRW ee Nous voyons que cela revient ` utiliser une nouvelle fonction de r´f´rence. Les diff´rences sont les sui- a ee e vantes : 1. Le seuil de confiance n’est plus 99,5% mais 99,9%. 2. L’expression explicite de la probabilit´ conditionnelle Pi est utilis´e car la corr´lation n’est pas e e e constante mais d´pend de la probabilit´ de d´faillance PD. e e e 10.5. LES MODIFICATIONS DU 5 NOVEMBRE 2001 133
- 144. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB PD (en %) Janvier 2001 Novembre 2001 corporate retail corporate retail res. mortage 0.03 14.09 6.39 18.11 4.58 4.80 0.10 29.25 13.55 33.73 11.62 12.50 0.25 51.92 24.75 53.59 22.48 25.23 0.50 80.59 39.62 74.29 35.39 42.10 0.75 104.23 52.40 88.52 44.97 56.31 1.00 125.00 63.97 99.41 52.52 68.92 1.25 143.80 74.71 108.27 58.65 80.38 1.50 161.12 84.83 115.82 63.73 90.98 2.00 192.43 103.65 128.47 71.63 110.21 2.50 220.45 121.03 139.26 77.45 127.45 3.00 245.97 137.33 149.05 81.88 143.18 4.00 291.45 167.44 167.20 88.13 171.26 5.00 331.38 195.02 184.44 92.40 195.94 10.00 482.38 309.76 262.00 106.31 289.62 20.00 625.00 478.74 374.59 132.49 406.24 TABLE 10.10. Comparaison des pond´rations Janvier 2001 et Novembre 2001 e 3. Enfin, il n’y a plus de r´f´rence ` une calibration LGD = 50% et PD = 0.7%, ce qui explique la ee a disparition du facteur d’´chelle 976,5. e Remarque 20 L’ajustement de maturit´ existe toujours et n’a pas ´t´ modifi´. Il y a ici une certaine e ee e incoh´rence puisque celui-ci avait ´t´ calibr´ sur les probabilit´s conditionnelles de d´faillance ` 3 ans de e ee e e e a la forme (3) 3 Pi = Φ 1.118 × Φ−1 1 − (1 − PD) + 1.288 (10.126) Les hypoth`ses sous-jacentes ´taient alors un seuil de confiance de 99,5% et une corr´lation constante e e e de 20%. Pour le risque retail, le Comit´ de Bˆle propose de distinguer les prˆts hypoth´caires (r´sidential e a e e e mortgage) des autres cr´dits. Dans le premier cas, la formule de pond´ration en risque est e e Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%) RW = 12.50 × LGD ×Φ 1 − ρ (PD) avec une corr´lation ρ (PD) constante et ´gale ` 15%. Pour les autres cr´dits, nous avons e e a e Φ−1 (PD) + ρ (PD)Φ−1 (99.9%) RW = 12.50 × LGD × Φ − PD (10.127) 1 − ρ (PD) avec 1 − e−25×PD 1 − 1 − e−25×PD ρ (PD) = 0.04 × −50 + 0.15 × (10.128) 1−e 1 − e−25 Outre les diff´rences mentionn´es plus haut, nous remarquons que le facteur d’ajustement de matu- e e rit´ disparaˆ e ıt. Afin de mesurer l’impact des nouvelles propositions, nous avons report´ dans la table 10.10 — voir e aussi les graphiques 10.11 et 10.12— les pond´rations Janvier 2001 et Novembre 2001 pour une perte en e cas de d´faillance de 50%. Globalement, nous observons une diminution de la valeur des actifs pond´r´s e ee pour les probabilit´s de d´faillance ´lev´es. Ceci s’explique par une corr´lation entre les valeurs des actifs e e e e e plus faible (voir le graphique 10.13). Bibliographie [1] Basel Committee on Banking Supervision, Best Practices for Credit Risk Disclosure, 74, September 2000 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 134
- 145. ´ CHAPITRE 10. LA METHODE IRB GRAPHIQUE 10.11. Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (I) e GRAPHIQUE 10.12. Impact des propositions du 5 Novembre 2001 sur les pond´rations en risque (II) e 10.5. LES MODIFICATIONS DU 5 NOVEMBRE 2001 135
- 146. GRAPHIQUE 10.13. Impactdes propositions du 5 Novembre 2001 sur les corr´lations ρ (PD) e [2] Basel Committee on Banking Supervision, Principles for the Management of Credit Risk, 75, Sep- tember 2000 [3] Basel Committee on Banking Supervision, The Internal Ratings-Based Approach — Consultative Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001 [4] Basel Committee on Banking Supervision, Results of the Second Quantitative Impact Study, 5 November 2001 [5] Basel Committee on Banking Supervision, Potential Modifications to the Committee’s Proposals, 5 November 2001 [6] Koyluoglu, H.U. et A. Hickman [1998], Reconcilable differences, Risk Magazine, 11, October, 56-62 [7] Finger, C.C. [1999], Conditional approaches for CreditMetrics portfolio distributions, CreditMetrics Monitor, April, 14-33 [8] Gordy, M.B. [2000], A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24, 119-149 [9] Gordy, M.B. [2001], A risk-factor model foundation for ratings-based bank capital rules, Board of Governors of the Federal Reserve Systems, Working Paper [10] Ieda, A., K. Marumo et T. Yoshiba [2000], A simplified method for calculating the credit risk of lending portfolios, Institute for Monetary and Economic Studies, Bank of Japan, Discussion Paper, 2000-E-10 [11] Wilson, T. [2001a], IRB approach explained, Risk Magazine, 14, May, 87-90 [12] Wilson, T. [2001b], Probing granularity, Risk Magazine, 14, August, 103-106
- 147. Quatri`me partie e Les mod`les de risque de cr´dit e e 137
- 149. 11 Introduction Si le risque de march´ est aujourd’hui plutˆt bien contrˆl´ par les ´tablissements bancaires, le risque de e o oe e cr´dit demeure un ph´nom`ne difficile ` appr´hender. En effet, le risque de cr´dit diff`re des risques de e e e a e e e march´ dans la mesure o` il est ´troitement li´ ` la performance individuelle et la structure capitalistique e u e ea de l’emprunteur. La mod´lisation du risque de cr´dit n´cessite donc la connaissance de donn´es structu- e e e e relles mais celles-ci sont inobservables pour la plupart des op´rateurs financiers. La collecte des donn´es e e constitue la limite majeure des premiers mod`les de risque de cr´dit d´velopp´s ` partir des ann´es 70. e e e e a e Une deuxi`me approche plus math´matique a vu le jour au cours de ann´es 90, qui cherche ` contourner e e e a la difficult´ en limitant les donn´es n´cessaires au calibrage des mod`les ` la seule information disponible e e e e a sur les march´s de cr´dit. Si cette approche sous forme r´duite est tr`s s´duisante a priori, elle pr´sente e e e e e e n´anmoins deux inconv´nients importants. e e – D’une part, les donn´es de march´ utilisables sont peu nombreuses. Les mod`les sous forme r´duite e e e e utilisent les spreads de taux comme param`tres permettant d’´valuer le risque de cr´dit. Si les e e e spreads contiennent effectivemment une composante li´e au risque de cr´dit, ce dernier n’en est pas e e l’unique d´terminant : les probl`mes de liquidit´ ou de taxation jouent un rˆle tout aussi important. e e e o – D’autre part, contrairement aux march´s d’actions, les march´s d’obligations des grandes entreprises e e sont tr`s peu liquides. Les donn´es disponibles ne refl`tent donc pas n´cessairement les prix que e e e e l’on devrait observer sous les hypoth`ses d’absence d’opportunit´ d’arbitrage et de compl´tude des e e e march´s. e
- 151. 12 Le mod`le dela firme e L’approche structurelle du risque de cr´dit est fond´e sur les m´thodes d’´valuation des options mises e e e e en place par Black et Scholes [1973] et Merton [1974]. Il s’agit d’une approche relativement intuitive dans la mesure o` le risque de cr´dit encouru par le d´tenteur d’une obligation est directement reli´ ` la u e e ea r´alit´ ´conomique de la firme : le d´faut intervient d`s que la valeur de march´ de l’ensemble des actifs e ee e e e de la firme passe sous un certain seuil d´termin´ par le niveau global de la dette contract´e. Il s’agit d’une e e e vision optionnelle de la dette : l’´metteur re¸oit le droit de faire d´faut sur sa dette, droit qu’il exerce d`s e c e e que la valeur de ses actifs ne permet plus de la couvrir. Merton est le premier ` proposer ce type de mod`le. Il l’applique ` la forme de dette la plus simple : a e a l’obligation z´ro coupon. Dans ce cadre, Merton obtient une formule ferm´e d’´valuation de la dette e e e faisant apparaˆ le spread de taux comme une prime li´e au risque de d´faut de la firme. D’un point de ıtre e e vue th´rorique, ce mod`le est tr`s s´duisant car il explicite directement les fondements ´conomiques du e e e e e risque obligataire : – le taux sans risque ; – la volatilit´ de la valeur de march´ des actifs de l’entreprise, c’est-`-dire l’incertitude pesant sur le e e a rendement de l’ensemble des actifs de la firme ; – le levier, c’est-`-dire le rapport entre la valeur actualis´e au taux sans risque de la dette, et la valeur a e initiale des actifs : plus le levier est important (i.e. plus la part de la dette dans le total des actifs, vu d’aujourd’hui, est importante) plus la dette est risqu´e. e N´anmoins, d’un point de vue pratique, la prise en compte de variables ´conomiques propres ` chaque e e a entreprise limite le champ d’application du mod`le de Merton. De fa¸on g´n´rale, les mod`les structurels e c e e e s’av`rent difficiles ` mettre œuvre parce qu’ils requi`rent la connaissance de nombreux param`tres : e a e e 1. la valeur des actifs, la structure financi`re de l’´metteur : e e Ces param`tres sont propres aux mod`les structurels. Si l’on souhaite ´valuer la dette d’un ´metteur e e e e de fa¸on pr´cise, il convient d’avoir une tr`s bonne connaissance de la valeur de march´ totale de ses c e e e actifs et de la fa¸on dont elle est susceptible d’´voluer au cours du temps. Cette valeur n’´tant pas c e e directement observable, il faut l’estimer le plus pr´cis´ment possible. Une telle d´marche n´cessite e e e e une base de donn´es particuli`rement riche portant sur la structure financi`re de l’entreprise et sa e e e valorisation boursi`re. L’exemple de Credit Monitor TM , outil de gestion du risque de cr´dit mis en e e place par K.M.V. (c.f. section 12.3), illustre la fa¸on dont ces donn´es peuvent ˆtre utilis´es pour c e e e estimer les probabilit´s de d´faut d’une entreprise. Cependant, d’un point de vue op´rationnel, il e e e est tr`s difficile d’acc´der ` ce type d’information, ce qui limite la port´e des mod`les structurels e e a e e pour la majorit´ des acteurs financiers engag´s sur les march´s obligataires. Notons de plus qu’on e e e ne peut contrˆler la structure capitalistique d’une entreprise en temps continu dans la mesure o`, o u la plupart du temps, les comptes sont publi´s une fois par an. e
- 152. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME 2. les conditions d’´mission de la dette : e Il s’agit ici de prendre en compte les termes du contrat fixant entre autres la maturit´, les flux e vers´s, les ´ventuelles options de conversion, les ordres de priorit´ en cas de d´faut. e e e e 3. La perte sachant le d´faut : e Une fois la faillite d´clar´e, une proc´dure de liquidation judicaire est mise en place. Un liquidateur e e e est alors nomm´, dont le rˆle est de r´aliser les actifs de la firme afin de rembourser les cr´anciers e o e e suivant leur ordre de priorit´. Notons que les modalit´s d’une telle proc´dure varient en fonction des e e e r´glementations propres ` chaque pays et que le montant total recouvr´ par les cr´anciers d´pend de e a e e e la mani`re dont est men´e la liquidation : par exemple, si la liquidation est rapide, les actifs risquent e e d’ˆtre brad´s. Dans les diff´rents mod`les structurels, la partie de la dette recouvr´e correspond ` e e e e e a une fraction de la valeur de march´ de la firme ` l’instant de d´faut (Merton [1974], Leland e a e et Toft [1996]). Il peut ´galement s’agir d’une fonction de la valeur faciale de la dette, ou d’un e processus stochastique. 4. le processus du taux sans risque et la correlation entre ce processus et le prix des actifs : Les spreads de taux peuvent difficilement ˆtre analys´s ind´pendemment de la structure des taux e e e sans risque. En effet, ce dernier d´pend fortement du cycle ´conomique, tout comme le risque de e e cr´dit. Par exemple, en p´riode de forte activit´, on peut s’attendre ` ce que d’une part, l’´cart e e e a e entre taux court et taux long s’acroisse, et d’autre part ` ce que la meilleure qualit´ du cr´dit a e e conduise ` une r´duction des spreads (l’´tude [4] men´e par Duffee en 1998 met en ´vidence ce type a e e e e de r´sultats). Pour pouvoir d´terminer le prix des instruments de cr´dit, il faut donc connaˆ le e e e ıtre lien entre la structure des taux sans risque et les probabilit´s de d´faut des entreprises. e e 12.1 Le mod`le de Merton [1974] e Nous pr´sentons dans cette section les caract´ristiques du mod`le propos´ par Merton en 1974 et les e e e e principaux r´sultats qui en d´coulent. Les quatre points abord´s pr´c´demment sont sp´cifi´s de la fa¸on e e e e e e e c suivante : 1. Evolution de la valeur des actifs, Structure financi`re de l’´metteur : e e Merton utilise la dynamique suivante pour la valeur V (t) des actifs de la firme : dV (t) = (αV (t) − C) dt + σV (t) dW (t) (12.1) o` α repr´sente le taux de rendement instantan´ des actifs de la firme, C le montant des payouts (di- u e e videndes et int´rˆts) par unit´ de temps, et σ 2 la variance du processus de rendement. (W (t) , t ≥ 0) ee e est un mouvement brownien standard. Les avoirs de la firme sont divis´s en deux classes : une classe unique et homog`ne de dette, le reste e e correpondant aux capitaux propres. De plus, la firme ne verse aucun dividende et ne peut proc´der e a ` aucun remboursement partiel de sa dette avant la maturit´. e 2. Conditions d’´mission de la dette : e La firme promet de payer un montant B ` la maturit´ T . De plus, elle ne peut ni ´mettre de nouvelle a e e dette, ni rembourser une partie de sa dette avant la maturit´. Compte tenu de ces conditions e d’´mission et de la structure financi`re de la firme, le param`tre C de l’´quation (12.1) vaut 0 et la e e e e dynamique suivi par la valeur des actifs devient : dV (t) = α dt + σ dW (t) (12.2) V (t) 3. Perte sachant le d´faut : e En cas de d´faut, le d´tenteur de la dette devient propri´taire de la firme. Merton suppose que la e e e firme fait d´faut si la valeur V (T ) ` la maturit´ T des actifs est inf´rieure ` B. En cas de d´faut, le e a e e a e d´tenteur de la dette re¸oit donc V (T ) , et il perd B − V (T ). Le payoff final peut d`s lors s’´crire e c e e D (T ) = B − max (B − V (T ) , 0) (12.3) La d´tention d’une dette risqu´e s’interpr`te alors comme une strat´gie o` l’on aurait achet´ un z´ro- e e e e u e e coupon sans risque dont on aurait financ´ une partie du coˆt par la vente d’un put de sous-jacent e u V , de prix d’exercice B et de maturit´ T . e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 142
- 153. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME 4. Processus de taux sans risque : le taux d’int´rˆt sans risque demeure constant au cours du temps, ´gal ` r. Les probl`mes li´s ` la ee e a e e a dynamique des taux ne sont pas abord´s dans ce premier mod`le. e e La dette est valoris´e en supposant que les deux conditions suivantes sont v´rifi´es : e e e – il y a absence d’opportunit´ d’arbitrage : il est impossible de g´n´rer un profit presque sˆr ` partir e e e u a d’un investissement nul ; – les march´s sont complets : il est possible de r´pliquer tout produit d´riv´ ` l’aide d’une strat´gie e e e ea e dynamique fond´e sur les actifs sous-jacents. e Ce sont deux hypoth`ses fortes qui, d’un point de vue pratique, assurent l’existence (absence d’opportunit´ e e d’arbitrage) et l’unicit´ (compl´tude des march´s) des prix de march´. N´anmoins, contrairement aux e e e e e march´s d’actions, les march´s obligataires sont particuli`rement peu liquides. Supposer dans ce cas e e e pr´cis l’existence d’arbitrageurs qui contraignent les prix ` v´rifier certaines relations ne semble donc pas e a e tr`s r´aliste. e e Par contre, si on consid`re que ces hypoth`ses sont vraies sur le march´ des actions, la valorisation f e e e de la firme sur le march´ des actions (qui est connue) refl`te les anticipations du march´ concernant la e e e valeur de la firme ` la maturit´ et en utilisant l’identit´ vraie ` chaque instant a e e a F =V −f (12.4) on obtient la valeur F aujourd’hui de la dette contract´e en fonction de f et de la valeur de march´ V e e des actifs de la firme. Notons que le param`tre V n’´tant pas accessible, il faut l’estimer. Comme nous e e le verrons ` la section 12.3, une telle estimation peut ˆtre r´lis´e ` partir de la valeur des actions f a e e e a et de la valeur comptable de la dette B. Les prix obtenus par une telle m´thode peuvent ˆtre qualifi´s e e e d’implicites : ce ne sont pas les prix observ´s sur le march´ mais les prix que l’on devrait observer compte e e tenu de la valorisation boursi`re de la firme. e Dans le cadre de ces hypoth`ses, la valeur de la dette correspond ` l’esp´rance des flux futurs actualis´s e a e e qu’elle g´n`re. Merton explicite alors le spread de taux par rapport au taux r du z´ro-coupon certain, e e e r´sultant du risque de d´faut : e e 1 1 R (T ) − r = − ln Φ h2 d, σ 2 T + Φ h1 d, σ 2 T (12.5) T d o` Φ repr´sente la fonction de r´partition d’une loi normale centr´e r´duite et u e e e e B d = V (0)erT 1 h (x, y) = −y − 2 1 y − ln x (12.6) 1 2 h (x, y) = −y − 2 1 y + ln x 1 2 2 Pour une maturit´ T donn´e, la prime de risque d´pend uniquement de la volatilit´ σ 2 de la valeur des e e e e actifs et du levier d. Merton montre que R (T ) − r est une fonction croissante de ces deux param`tres, ce e qui est conforme ` l’intuition : a – La volatilit´ de la valeur de march´ d’une firme refl`te l’incertitude des op´rateurs sur les rendements e e e e a ` venir de cette firme. Par cons´quent, plus la volatilit´ est ´lev´e, plus le risque encouru par le e e e e d´tenteur de la dette est important et plus la prime doit ˆtre cons´quente. e e e – L’effet de levier permet aux propri´taires d’une entreprise (les actionnaires) d’accroˆ e ıtre le niveau d’activit´ sans augmenter pour autant le montant de leurs engagements. Le risque suppl´mentaire e e li´ au surplus d’activit´ est alors support´ par les cr´anciers, ce qui se traduit par une meilleure e e e e r´mun´ration de leurs placements. e e Les graphiques suivants illustrent la fa¸on dont le levier influence la structure par terme des spreads c de taux : ` 12.1. LE MODELE DE MERTON [1974] 143
- 154. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME 1. Dans le premier cas, d 1 : le spread est une fonction d´croissante du temps restant avant maturit´. e e La valeur anticip´e (au taux sans risque) des actifs de la firme ` la maturit´ T est inf´rieure au e a e e montant de ses engagements. Or, il est d’autant plus probable que la valeur anticip´e des actifs se e r´alise que la date d’´ch´ance se rapproche. Par cons´quent, pour un niveau de levier d 1, plus le e e e e temps avant maturit´ est court, plus le risque encouru par le d´tenteur de la dette est ´lev´ et plus e e e e la prime qui en r´sulte est importante. e 2. Dans le second cas, d 1 : la valeur anticip´e des actifs de la firme est sup´rieure au montant de e e ses engagements. Par cons´quent, dans le cas limite o` la maturit´ de la dette est atteinte (T = 0), e u e la firme peut enti`rement rembourser ses cr´anciers, ce qui se traduit par un spread nul. Par contre, e e en s’´loignant de l’´ch´ance, l’incertitude pesant sur l’´volution de la valeur des actifs (σ = 10%) e e e e fait croˆ la probabilit´ de d´faut et donc le spread (premi`re partie de la courbe). Dans un second ıtre e e e temps, on retrouve un effet similaire ` celui observ´ sur la premi`re courbe (d 1) : l’´loignement a e e e de la maturit´ rend plus certain, pour un niveau de levier d fix´, le recouvrement de la dette, si e e bien que le spread diminue (seconde partie de la courbe). GRAPHIQUE 12.1. Effet de levier (d 1) Notons que ces deux courbes font apparaˆ le d´faut comme un ´v`nement parfaitement pr´visible : ıtre e e e e le spread tend soit vers 0 soit vers l’infini lorsque l’on se rapproche de la maturit´. Dans le premier cas, e juste avant la maturit´, le march´ sait qu’il n’y aura pas de d´faut et n’a donc aucune raison d’accorder e e e une prime de risque. Dans le second cas, on observe le ph´nom`ne inverse. e e 12.2 Extensions du mod`le de Merton e Les extensions du mod`le de Merton ne conduisent pas ` des r´sultats tr`s diff´rents de ceux que l’on e a e e e vient de d´crire. Ils cherchent ` mod´liser le d´faut de fa¸on plus r´aliste. e a e e c e 12.2.1 G´n´ralisation de la notion de d´faut e e e Les extensions du mod`le de Merton utilisent une vision moins simpliste du d´faut. La faillite est en e e g´n´ral d´clar´e bien avant l’´ch´ance de la dette, sans attendre de constater que celle-ci ne pourra ˆtre e e e e e e e rembours´e. Un certain nombre de mod`les cherchent donc ` rendre compte de cette r´alit´. e e a e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 144
- 155. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME GRAPHIQUE 12.2. Effet de levier (d 1) L’extension la plus directe du mod`le de Merton suppose que le d´faut peut se produire ` chaque date e e a de paiement du principal ou des int´rˆts (mod`le de Geske [1977]). Les actionnaires disposent d’une ee e option compos´e qu’ils peuvent exercer ` chaque date de versement. e a Un second type d’extension consiste ` appr´hender le d´faut non plus de fa¸on discr`te mais en temps a e e c e continu : la firme peut faire d´faut ` n’importe quelle date entre la date d’´mission et la maturit´, qu’il e a e e s’agisse ou non d’une date de paiement. Black et Cox [1976] reprennent le cadre d’analyse de Merton en supposant de plus que la firme peut-ˆtre mise en faillite d`s que la valeur de march´ V (t) passe sous un seuil critique K (t) tel que e e e K (t) = Ke−r(T −t) , 0K≤B (12.7) ¯ Black et Cox d´finissent ainsi un levier maximal d = B/K ≥ 1 que les actionnaires ne peuvent franchir e pour financer l’activit´ de leur entreprise. Notons que la barri`re K est fix´e de fa¸on exog`ne : elle doit e e e c e ˆtre d´finie de fa¸on explicite dans le contrat de dette. e e c 12.2.2 Introduction de sauts dans le processus de valorisation des actifs Comme nous l’avons d´j` remarqu´, le mod`le de Merton sp´cifie le d´faut comme un ph´nom`ne ea e e e e e e parfaitement pr´visible si bien que le spread tend vers zero ` mesure que l’on se rapproche de la maturit´. e a e Dans la pratique, on n’observe pas de tel ph´nom`ne : les spreads restent importants mˆme pour des e e e dates de maturit´ assez proches. e Zhou [1997] propose une solution ` ce probl`me tout en conservant un cadre d’analyse proche de a e celui de Merton : il int`gre un processus de sauts au processus de valorisation des actifs, si bien que les e trajectoires suivies par la valeur de march´ de la firme ne sont plus n´cessairement continues. Dans ce e e contexte, Zhou montre que les spreads demeurent significatifs mˆme pour une dette risqu´e proche de la e e maturit´ : les investisseurs demandent une prime permettant de s’assurer contre le risque suppl´mentaire e e engendr´ par les sauts. e ` 12.2. EXTENSIONS DU MODELE DE MERTON 145
- 156. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME 12.3 M´thodologie mise en place par K.M.V. Corporation e En introduction de la section 8.1, nous avons pr´sent´ les trois composantes du risque de cr´dit : le risque e e e de d´faut, l’incertitude pesant sur le taux de recouvrement, et le risque de d´gradation de la qualit´ de la e e e contrepartie. Ce paragraphe constitue une illustration de la fa¸on dont le risque de d´faut est appr´hend´ c e e e par K.M.V. Leur m´thodologie se fonde sur le mod`le de la firme : ` partir de la valeur comptable de la e e a dette d’une entreprise et de l’estimation de sa valeur de march´, K.M.V calcule la distance de la firme au e d´faut et en d´duit, pour un horizon donn´, sa probablit´ de d´faut, not´e EDFT M (Expected Default e e e e e e Frequency). Cette section se fonde essentiellement sur le document [3] de P. Crosbie, publi´ par K.M.V., consultable e sur internet ` l’adresse suivante : a http ://www.kmv.com 12.3.1 Une mesure du risque de d´faut : la distance au d´faut e e Le mod`le de Merton laisse entendre qu’une mesure pertinente de la valeur nette d’une firme est sa e valeur de march´ moins la valeur comptable de sa dette, le d´faut intervenant d`s que la valeur nette e e e s’annule : – La valeur de march´ des actifs rend compte de la rentabilit´ esp´r´e de l’activit´ de l’entreprise. Il e e ee e s’agit d’une mesure dynamique de sa valeur. Savoir si l’entreprise dispose du cash n´cessaire pour e faire face ` ses engagements n’est d`s lors pas fondamental. Si la valeur de march´ des actifs est a e e suffisante, l’entreprise peut toujours faire face au paiement de sa dette en vendant une partie de ses actifs. Ce qui compte est donc davantage la valeur esp´r´e de l’entreprise reposant sur son activit´ ee e future (valeur de march´), que la valeur de l’entreprise r´sultant de son activit´ pass´e (derni`re e e e e e ligne du bilan de l’entreprise). – Il faut en revanche consid´rer la valeur comptable de la dette car elle correspond ` ce que la firme e a devra effectivement payer. Dans la pratique, le d´faut peut se produire pour des valeurs nettes n´gatives. Ceci tient ` la nature des e e a engagements de l’entreprise, sa dette pouvant se d´composer en dette ` long terme et dette ` court terme. e a a La pr´sence d’une dette ` long terme dans le bilan de l’entreprise apporte donc une certaine flexibilit´. e a e Le point de d´faut se situe en g´n´ral entre le montant total de la dette et le montant de la dette de court e e e terme. Pour ´valuer le risque de d´faut, la valeur nette ne peut ˆtre consid´r´e ind´pendamment du risque e e e ee e li´ ` l’activit´ de l’entreprise. En effet, il n’est int´ressant de connaˆ l’´cart entre la valeur de march´ ea e e ıtre e e des actifs et le point de d´faut que si l’on sait dans quelle mesure il risque d’ˆtre combl´. La distance au e e e point de d´faut K d´finie par K.M.V normalise donc la valeur nette de l’entreprise en la comparant ` son e e a ´cart-type : e VA − K DD = (12.8) σ A VA DD correspond au nombre d’´carts-type s´parant la valeur de march´ des actifs du point de d´faut. On e e e e peut remarquer que cette mesure fait la synth`se des facteurs de risque mis en ´vidence par le mod`le de e e e Merton : elle int`gre ` la fois le levier et la volatilit´ des actifs. Notons de plus que la distance au d´faut e a e e prend en compte l’influence du secteur d’activit´, de la zone g´ographique et de la taille de l’entreprise e e par l’interm´diaire de la volatilit´ des actifs. Le graphique 12.3 publi´ par K.M.V met en ´vidence l’impact e e e e de deux de ces facteurs sur la volatilit´.e – La volatilit´ des actifs est d’autant plus importante que la taille de l’entreprise est faible. Une grande e entreprise peut donc s’endetter davantage qu’une petite entreprise pour financer son activit´ sans e que le risque de cr´dit associ´ soit pour autant sup´rieur. e e e – De fa¸on analogue, parmi les cinq secteurs d’activit´ pr´sent´s, le secteur bancaire est celui qui c e e e autorise les niveaux de levier les plus ´lev´s, le rendement des actifs y ´tant moins incertain. e e e La connaissance de la distance au d´faut et de la distribution de la valeur des actifs permet de calculer e directement les probabilit´s de d´faut. e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 146
- 157. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME GRAPHIQUE 12.3. Volatilit´ des actifs, secteur d’activit´ et taille de l’entreprise e e 12.3.2 Estimation de la distance au d´faut e Valeur de march´ et volatilit´ des actifs sont deux grandeurs inobservables. K.V.M utilise la vision e e optionnelle du passif de la firme pour estimer ces deux param`tres. La m´thode s’apparente ` celle e e a utilis´e par les traders de produits d´riv´s pour d´terminer la volatilit´ implicite d’un sous-jacent ` partir e e e e e a de l’observation du prix de march´ d’une option. e Dans le mod`le de Merton, les actionnaires re¸oivent max (VA − B, 0) ` la maturit´ T . La valeur de la e c a e firme sur le march´ des actions est donc le prix d’un call europ´en de sous-jacent la valeur de march´ des e e e actifs et de strike la valeur comptable B de la dette. En supposant, comme le fait Merton, que VA ´volue e suivant un processus de diffusion log-normal, on explicite le syst`me de deux ´quations ` deux inconnues e e a permettant d’estimer VA et σ A ` partir le la valorisation boursi`re VE : a e VE = VA Φ (d1 ) − e−rT BΦ (d2 ) VA (12.9) σ E = VE Φ (d1 ) σ A avec d1 = σ 1 T ln VA + r + 2 σ 2 T √ 1 A A √ B (12.10) d2 = d1 − σ A T Dans la pratique, il convient de prendre en compte la plus grande complexit´ de la structure capitalistique e de l’entreprise. K.M.V d´termine donc deux fonctions f1 et f2 et r´sout un syt`me analogue au syst`me e e e e (12.9) afin d’estimer VA et σ A : VE = f1 (VA , σ A , Structure Capitalistique, r) (12.11) σ E = f2 (VA , σ A , Structure Capitalistique, r) La valeur de march´ et la volatilit´ des actifs ainsi obtenues sont les valeurs implicites d´termin´es par e e e e le march´ des actions. Notons que l’on pourrait de fa¸on analogue d´terminer VA et σ A en utilisant la e c e valorisation de la dette sur les march´s obligaires. N´anmoins, comme nous l’avons d´j` soulign´ ` la e e ea e a section 12.1, les march´s obligataires sont beaucoup moins efficients que les march´s d’actions car les e e transactions y sont plus rares. L’information que l’on peut obtenir sur les march´s d’actions est donc plus e pertinente. ´ 12.3. METHODOLOGIE MISE EN PLACE PAR K.M.V. CORPORATION 147
- 158. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME 12.3.3 Calcul de l’EDF La probablit´ de d´faut pour un horizon H donn´ correspond ` la probablitit´ que la valeur de march´ e e e a e e des actifs de la firme ` la date H passe sous le point de d´faut. Comme le montre le graphique 12.4, le a e calcul de l’EDF requiert la connaissance de 5 param`tres : e 1. la valeur de march´ initiale des actifs ; e 2. la fonction de r´partition de la valeur des actifs ` la maturit´ H ; e a e 3. la volatilit´ future des actifs ` la date H ; e a 4. le niveau du point de d´faut K (c’est ` dire le montant des engagement) ` la date H ; e a a 5. le rendement esp´r´ des actifs. ee GRAPHIQUE 12.4. Expected default frequency Dans le mod`le de Merton, le syst`me d’´quations (12.9) permet d’estimer VA , la valeur de march´ e √ e e e initiale des actifs, et σ A T , la volatilit´ des actifs ` la maturit´ T . Le rendement esp´r´ α des actifs e a e ee est suppos´ connu et le niveau du point de d´faut est ´gal ` la valeur faciale B de la dette z´ro-coupon. e e e a e L’´quation (12.2) sp´cifie le processus suivi par la valeur des actifs, si bien que la fonction de r´partition e e e des actifs ` la maturit´ est connue : a e 1 √ ln VA (T ) = ln VA + α − σ 2 T + σ A T ε avec ε ∼ N (0, 1) (12.12) 2 A La distance au d´faut de la firme ` la date T s’´crit donc e a e VA 1 ln B + α − 2 σ2 T A DD = √ (12.13) σA T et la probabilit´ de d´faut P (T ) vaut e e P (T ) = P (VA (T ) ≤ B | VA (0) = VA ) = Φ (− DD) (12.14) Dans la pratique, la probabilit´ de d´faut ne peut pas ˆtre calcul´e en supposant une distribution e e e e gaussienne de la valeur des actifs. La principale raison est que, contrairement ` ce que l’on a suppos´ a e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 148
- 159. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME jusqu’` pr´sent, le point de d´faut n’est pas d´terministe : une firme proche d’une situation de d´faut a e e e e cherchera ` ajuster le niveau de sa dette. En g´n´ral, on observe que l’endettement des entreprises a e e commerciales ou industrielles s’accroˆ lorsque la situation se d´teriore tandis que l’endettement des ıt e institutions financi`res diminue. Ceci est dˆ ` la plus ou moins grande liquidit´ des actifs de l’entreprise : e ua e plus les actifs sont liquides plus il est facile pour une entreprise d’ajuster le niveau de son levier en cas de difficult´. e Par cons´quent, K.M.V relie directement la distance au d´faut ` la probabilit´ de d´faut en se fondant e e a e e sur des donn´es empiriques : leur base de donn´es contient environ 100 000 entreprises et 2000 incidents e e de d´faut par an. Ainsi, pour calculer la probabilit´ de d´faut ` 1 an d’une entreprise distante du point e e e a de d´faut de 7 ´carts-type, K.M.V calcule la proportion d’entreprises pr´sentes dans leur base, distante e e e du point de d´faut de 7 ´carts-type et ayant fait d´faut sous un an. e e e Les graphiques suivants fournis par K.M.V illustrent dans deux cas diff´rents la fa¸on dont se comporte e c l’EDF, et son aptitude ` anticiper le d´faut. En particulier, ces deux exemples montrent bien l’importance a e des donn´es de march´ dans la calibration des mod`les. Dans le cas de Bangkok Metropolitan Bank, l’EDF e e e n’a cess´e de croˆ depuis juillet 1993 jusqu’` janvier 1998, date de d´faut de la banque. En revanche, e ıtre a e dans le cas de Burns Philip, une entreprise australienne du secteur agro-alimentaire, l’EDF n’a pas su anticiper la d´gradation de la situation de l’entreprise : le march´ s’est laiss´ surprendre, il n’a pris e e e conscience de la sur´valuation de la firme qu’en juillet 1997. e GRAPHIQUE 12.5. EDF de Bangkok Metropolitan Bank En r´sum´, l’approche structurelle du risque de cr´dit permet d’´valuer de fa¸on assez performante le e e e e c risque de d´faut des entreprises pour deux raisons : e – la structure capitalistique de l’entreprise (levier) est prise en compte ; – l’´valuation des probabilit´s de d´faut est r´alis´e ` partir de l’information de march´ la plus e e e e e a e pertinente : la valorisation boursi`re des entreprises. e N´anmoins cette approche est tr`s difficile ` impl´menter car elle n´cessite de nombreux param`tres en e e a e e e entr´e qui sont soit inobservables, soit difficilement accessibles. C’est pourquoi, au cours des ann´es 1990, e e un deuxi`me type de mod`le est apparu, dont l’objetif principal est de limiter les inputs aux donn´es e e e observables sur les march´s. e ´ 12.3. METHODOLOGIE MISE EN PLACE PAR K.M.V. CORPORATION 149
- 160. ` CHAPITRE 12. LE MODELE DE LA FIRME GRAPHIQUE 12.6. EDF de Burns Philip GRAPHIQUE 12.7. Valeur de march´ de Burns Philip e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 150
- 161. 12.4 Une application: le mod`le CreditMetrics e Le mod`le CreditMetrics sera d´velopp´ dans le cours “Gestion des Risques Multiples”. e e e Bibliographie [1] Black, F. and M. Scholes [1973], The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 81, 637-659 [2] Black, F. and J. Cox [1976], Valuing corporate securities : some effects of bond indenture provisions, Journal of Finance, 31, 351-367 [3] Crosbie, P. [1997], Modeling default risk, K.M.V., Working Paper [4] Duffee, G.R. [1998], The relation between treasury yields and corporate bond yield spreads, Journal of Finance, 53(6), 2225-2241 [5] Geske, R. [1977], The valuation of corporate liabilities as compound options, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12(4), 541-552 [6] Leland, H. [1994], Corporate debt value, bond convenants, and optimal capital structure, Journal of Finance, 49, 1213-1252 [7] Leland, H. and K. Toft [1996], Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, 51, 987-1019 [8] Merton, R.C. [1974], On the pricing of corporate debt : the risk structure of interest rates, Journal of Finance, 29, 449-470 [9] Zhou, C. [1997], A jump-diffusion approach to modeling credit risk and valuing defaultable securities, Federal Reserve Board, Working Paper
- 163. 13 L’approche actuarielle deCreditRisk+ Ce mod`le propos´ par Credit Suisse Financial Product (CSFP) apparaˆ comme une alternative aux e e ıt deux principales m´thodologies rencontr´es sur le march´, ` savoir celles de J.P. Morgan et de KMV. Ce e e e a mod`le est fond´ sur une approche probabiliste du processus de d´faut de paiement d’une contrepartie e e e sans faire aucune hypoth`se sur la cause du d´faut. Le mod`le CreditRisk+ consid`re le taux de d´faut e e e e e comme une variable al´atoire continue. La prise en compte d’une volatilit´ du taux de d´faut associ´e e e e e a ` une analyse par secteur permettent de rendre compte ` la fois de l’incertitude du niveau de d´faut a e et des ´ventuelles corr´lations existant entre plusieurs obligations. Ce choix s’explique d’apr`s CSFP par e e e l’instabilit´ des corr´lations de d´faut et par le manque de donn´es empiriques pour suivre la d´marche e e e e e propos´e par CreditMetrics. e En appliquant des techniques math´matiques plus souvent rencontr´es dans le domaine de l’assurance e e que dans celui de la finance, ce mod`le cerne les caract´ristiques essentielles de l’occurrence de d´fauts e e e de paiement et permet un calcul explicite de la distribution des pertes d’un portefeuille comportant un risque de cr´dit. e 13.1 La d´marche e les concepts cl´s qui sont ` la base de CreditRisk+ sont les suivants : e a – Les taux de d´faut sont stochastiques. e – Le niveau du taux de d´faut a une incidence sur l’occurrence du d´faut, mais il n’y a pas de relations e e causales entre ces occurrences. Le mod`le est alors structur´ selon le sch´ma 13.1. La d´marche suivie focalise tout d’abord son ´tude e e e e e sur un mod`le simplifi´ dans lequel la volatilit´ des taux de d´faut n’est pas prise en compte. Une fois la e e e e distribution des pertes obtenue dans un cas simple, on int`gre cette volatilit´ dans le processus, ce qui au e e vu des r´sultats correspond ` une dimension al´atoire suppl´mentaire et donc ` une simple composition e a e e a de lois de probabilit´s. On montre alors l’existence de cas o` le mod`le ` volatilit´ converge vers le e u e a e cas simple. Finalement, on ´tend la premi`re approche sectorielle ` un cas plus complet. On est alors e e a en mesure d’exploiter les r´sultats, notamment pour d´terminer les diff´rentes contributions au risque e e e d’un portefeuille des ´metteurs qui le composent ou les corr´lations des taux de d´faut entre ces mˆmes e e e e ´metteurs. e
- 164. 154 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES GRAPHIQUE 13.1. Organigramme de la d´marche suivie par CreditRisk+ e © £ ¤¦¡ ¥¥ ¡ ¤ ¥ ¨ ¤ © ¨ ¦© ¨ © £ ¤¦¡ ¨ ¤¥¦§ £ ¢ ¥ ¡ ¥ $¢ ¥ £ # © ! £ © § ¥¦ ' ¨ 4 % % ¤ © ¥¤ © 3£ ¤¦¡ ¨ ¦©¤¥¦§ 2 $ 1 © ¥¦§ ' ¨ ¤ % % © £ ©¦¤¦¡ ¡ $ ' ) © § ¥¦ #' ¨ % % ¤ ¤© ¨ ( # £ ¥¥ ¨ 0 1 1 ¤© ¨ ( 1 © ¥ ¨ ¤ ©¢¥ © ! £ $ ' ¨ © 1 1 ¥¤¦¤¨ 9£ 1 ¤ © ¦' ' ¨ © ¥ % © § ¥¦ % ( ¤ ' ¨ £ ¥ % £ ¢ ¤ ¡ © ¦' #' ¨ 4 % ( ¤ ¨ £ £ ¤¦8 ¨ 7 © ¥¤ © 3£ ¤¦¡ ¨ ¦©¤¥¦§ 2 $ 1 © 6¨ 5£ ¤¦¡ ¦ $ # $ © (¦' ' ¨ ¤ % © £ ©¦¤¦¡ ¡ $ ' ) © ¦' ' ¨ % ( ¤ ¤© ¨ ( # £ ¥¥ ¨ 0 1 1 CHAPITRE 13. L’APPROCHE ACTUARIELLE DE CREDITRISK+
- 165. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ 13.2 Mod´lisation ` taux de d´faut fixes e a e 13.2.1 Occurrence de d´fauts e Les d´fauts de cr´dits ne peuvent pas ˆtre pr´vus ni dans leur date, ni dans leur nombre, si bien que e e e e CreditRisk+ tente de mod´liser globalement le risque cr´dit d’un portefeuille. e e Nous consid`rons un portefeuille compos´ de N obligations. Nous supposons dans cette partie que e e chacun de ces titres est sujet ` une probabilit´ de d´faut ` un horizon de un an connue. Ainsi, nous avons a e e a PA = Probabilit´ annuelle de d´faut pour A e e (13.1) On introduit alors la fonction g´n´ratrice associ´e au nombre D de d´fauts survenus parmi les obligations e e e e du portefeuille : ∞ F (z) = P (D = n) · z n (13.2) n=0 Or, chaque ´metteur fait ou ne fait pas d´faut ; la fonction g´n´ratrice d’un portefeuille compos´ d’une e e e e e unique obligation s’obtient donc facilement : FA (z) = 1 − PA + PA · z = 1 + PA · (z − 1) (13.3) De plus, les ´v´nements sont suppos´s ind´pendants, ce qui induit e e e e F (z) = FA (z) = (1 + PA · (z − 1)) (13.4) A A ce qui revient ` ´crire ae ln F (z) = ln (1 + PA · (z − 1)) (13.5) A Or, nous pouvons raisonnablemement penser que les probablilit´s sont suffisamment faibles pour approxi- e mer cette derni`re expression par un d´veloppement limit´ au premier ordre, ce qui se traduit par : e e e F (z) = exp PA · (z − 1) = exp (µ · (z − 1)) (13.6) A avec µ= PA (13.7) A µ repr´sente en fait le nombre moyen de d´fauts attendus en un an parmi les ´missions du portefeuille e e e consid´r´. On remarque de plus que la derni`re expression peut s’ecrire sous une autre forme, grˆce aux ee e a s´ries enti`res, ce qui donne une formule explicite de la r´partition de la variable al´atoire D : e e e e ∞ e−µ µn n F (z) = exp (µ · (z − 1)) = z (13.8) n=0 n! d’o` u e−µ µn P (D = n) = (13.9) n! Finalement, sous les hypoth`ses faites plus haut, le nombre de d´faut ` survenir suit une loi de Poisson de e e a param`tre µ. Ce param`tre est l’unique inconnue du mod`le, il ne d´pend ni du nombre de titres pr´sents e e e e e dans le portefeuille ni des probabilit´s individuelles de d´faut de chaque obligation, pourvu qu’elles soient e e suffisamment petites pour valider les approximations effectu´es. Reste ` noter, pour la suite, qu’une loi e a √ de Poisson de param`tre µ a pour moyenne µ et pour ´cart-type µ. e e Evidemment, les hypoth`ses faites ne sont pas satisfaisantes et ne cadrent pas avec la r´alit´. Toutefois, e e e ces r´sultats seront utiles pour la suite, notamment pour le passage ` des taux variables et ` l’introduction e a a de volatilit´ des taux de de d´fauts. e e ´ ` ´ 13.2. MODELISATION A TAUX DE DEFAUT FIXES 155
- 166. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ 13.2.2 Pertes de d´faut e L’objectif principal est de quantifier le risque de perte d’un portefeuille. Or, un mˆme niveau de perte e peut ˆtre obtenu par un seul “gros” d´faut aussi bien que pour de nombreux “petits” d´fauts. Cette consta- e e e tation a incit´ CSFP ` regrouper les ´missions contenues dans un portefeuille par tranche d’exposition. e a e Ceci a pour effet de r´duire consid´rablemment le nombre de donn´es ` l’entr´e pour l’impl´mentation. e e e a e e Cette approximation sera d’autant plus l´gitime que les tranches d’expositions seront nombreuses et e ´troites en comparaison avec l’exposition moyenne du portefeuille. Ainsi, ces approximations seront utiles e sans pour autant modifier significativement les r´sultats. e On adopte les notations suivantes : R´f´rence ee Notation Emetteur A Exposition LA Probabilit´ de d´faut e e PA Pertes attendues λA L’exposition et les pertes attendues sont exprim´es en L, qui repr´sente une unit´ arbitraire choisie, si e e e bien que pour chaque ´metteur A, on d´finit εA et ν A de la mani`re suivante : e e e LA = ν A × L (13.10) et λA = εA × L (13.11) Le passage important est d’arrondir chaque ν A ` l’entier le plus proche. Ainsi, pour un gros portefeuille, a un choix adapt´ de L permettra de r´duire ` un nombre relativement petit les valeurs ν A partag´es par e e a e plusieurs ´missions. Le portefeuille se retrouve alors divis´ en m tranches d’exposition, index´e par j, ce e e e qui revient ` ne retenir que les notations suivantes : a R´f´rence ee Notation Exposition commune dans la tranche j en L νj Pertes attendues dans la tranche j en L εj Nombre de d´faut attendu dans la tranche j e µj De plus, ces trois variables sont reli´es par la relation suivante e εj = µj × ν j (13.12) donc εj εA µj = = (13.13) νj νA A|ν A =ν j Nous utiliserons aussi par la suite m m εj µ= µj = (13.14) j=1 j=1 νj 13.2.2.1 Proc´dure de calcul et distribution des pertes e On adopte ici le mˆme point de vue que pour le nombre de d´fauts ; on d´finit la distribution des pertes e e e agr´g´es ` travers sa fonction g´n´ratrice e e a e e ∞ G(z) = P (Pertes agr´g´es = n × L) · z n e e (13.15) n=0 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 156
- 167. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ Nous faisons alors intervenir le fait que les titres ont ´t´ regroup´s par niveau d’exposition, et que les ee e tranches sont ind´pendantes entre elles, ce qui s’´crit de mani`re plus formalis´e : e e e e m G(z) = Gj (z) (13.16) j=1 On consid`re alors chaque tranche comme un portefeuille ` part enti`re, et on applique le r´sultat suivant e a e e o` on note Dj la variable al´atoire rendant compte du nombre de d´faut ` survenir dans la tranche j u e e a ∞ ∞ e−µj µn nν j j Gj (z) = P (Dj = n) · z nν j = z = exp −µj + µj z ν j (13.17) n=0 n=0 n! et donc, en revenant au portefeuille global m m G(z) = exp − µj + µj z ν j (13.18) j=1 j=1 C’est la formule d´sir´e qui nous renseigne sur la distribution des risques cr´dits du portefeuille. e e e On remarque que si on pose P (z) le polynˆme o m εj m νj zνj 1 νj j=1 P (z) = µj z = m (13.19) µ j=1 εj νj j=1 la fonction g´n´ratrice des pertes agr´g´es se pr´sente alors sous la forme e e e e e G(z) = exp (µ · (P (z) − 1)) = F (P (z)) (13.20) G(z) s’exprime alors comme la compos´e de deux sources d’incertitude : la loi de Poisson du nombre de e d´fauts et la variabilit´ des montants d’exposition. On remarque ´galement qu’elle ne d´pend que de deux e e e e types de donn´es ν et ε. Ainsi, les seules entr´es n´cessaires ` la mesure du risque cr´dit d’un portefeuille e e e a e sont la connaissance des diff´rentes tailles d’exposition et les pertes attendues pour chaque taille. CSFP e estime que cela repr´sente peu d’efforts, mˆme pour un portefeuille assez important. e e Toutefois, la derni`re expression de la fonction g´n´ratrice n’est pas tr`s maniable et ne nous renseigne e e e e pas explicitement sur la distribution des pertes. Aussi, on est amen´ ` d´terminer les probabilit´s associ´es ea e e e a ` une perte de n × L par un autre algorithme. En effet d’apr`s l’expression (13.15), on a : e 1 dn G P (Pertes agr´g´es = n × L) = e e (0) = An (13.21) n! dz n On applique alors successivement la formule de Leibnitz pour obtenir une formule de r´currence nous e permettant de calculer An : A = G(0) = exp (−µ) = exp − m εj 0 νj j=1 (13.22) A n = εj n An−ν j j|ν j ≤n 13.2.2.2 Application au cas multi-annuel Il peut sembler plus int´ressant de consid´rer l’´tude du risque de cr´dit d’un portefeuille sur une e e e e p´riode plus longue qu’une ann´e. En effet, la maturit´ d’un portefeuille pourrait sembler ˆtre un horizon e e e e l´gitime. Dans cet optique, il faut ˆtre capable d’adapter les expressions pr´c´dentes ` ce cas multi-annuel, e e e e a moyennant la d´finition de notations plus adapt´es : e e R´f´rence ee Notation (t) Exposition commune dans la tranche j en L pendant l’ann´e t e νj (t) Pertes attendues dans la tranche j en L pendant l’ann´e t e εj (t) Nombre de d´faut attendu dans la tranche j pendant l’ann´e t e e µj ´ ` ´ 13.2. MODELISATION A TAUX DE DEFAUT FIXES 157
- 168. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ Alors, en supposant les ´v´nements de diff´rentes ann´es ind´pendants, on applique les r´sultats obtenus e e e e e e pr´cedemment, d’o` e u (t) εj (t) G(z) = exp (t) (z ν j − 1) (13.23) t,j ν j ce qui implique une relation de r´currence semblable ` la pr´c´dente : e a e e (t) εj A0 = G(0) = exp (−µ) = exp − (t) νj j,t (t) (13.24) A n = εj An−ν (t) n (t) j,t|ν j ≤n j 13.3 Passage ` des taux de d´faut al´atoires a e e 13.3.1 Incertitude des taux de d´faut e Jusqu’ici, nous n’avons consid´r´ que des portefeuilles compos´s d’obligations dont le taux de d´faut ee e e ´tait connu et fixe. CreditRisk+ prend en compte le fait que ces taux sont difficiles ` d´terminer et sont e a e sujets ` une variabilit´ non n´gligeable pour des titres semblables. De plus, les statistiques publi´es sur a e e e la fr´quence des d´fauts montrent des variations assez importantes d’une ann´e sur l’autre. La situation e e e se r´sume alors en trois points : e – Les probabilit´s de d´faut sont volatiles dans le temps, mˆme pour des ´metteurs de qualit´ cr´dit e e e e e e comparable. – La variabilit´ des probabilit´s de d´faut peut ˆtre expliqu´e par des variabilit´s sous-jacentes d’un e e e e e e petit nombre de variables li´es ` l’environnement ´conomique. e a e – Un changement dans l’´conomie ou d’un autre facteur ayant de l’influence sur la variabilit´ des e e taux de d´faut ne doit pas n´cessairement induire un d´faut. Le d´faut d’une contrepartie est un e e e e ´v´nement rare. e e 13.3.2 Analyse par secteur Le second point ´nonc´ souligne l’existence de facteurs susceptibles d’agir sur la qualit´ cr´dit de e e e e plusieurs ´missions ` la fois. Pour mesurer cet effet, et donc ˆtre en mesure de quantifier l’impact des e a e volatilit´s des taux de d´faut individuelles au niveau du portefeuille, CSFP a eu recours ` une analyse par e e a secteur. L’´conomie est alors divis´e en K secteurs, et CreditRisk+ suppose que chaque secteur peut ˆtre e e e mod´lis´ par un unique facteur sous-jacent. C’est ce facteur qui nous permettra d’expliquer la variabilit´ e e e dans le temps du nombre total de d´faut mesur´ pour ce secteur. e e Pour chaque secteur k, nous introduisons une variable al´atoire xk qui repr´sente le nombre moyen de e e d´fauts dans ce secteur. L’esp´rance de xk sera not´e µk , et l’´cart-type σ k . e e e e Variable par secteur Notation Unit´ d’exposition au risque e L (k) (k) Tranche d’exposition Lj = ν j × L (1 ≤ k ≤ K et 1 ≤ j ≤ m(k)) (k) (k) Pertes attendues dans chaque tranche d’exposition λj = εj × L (1 ≤ k ≤ K et 1 ≤ j ≤ m(k)) Sous ces nouvelles notations, on a donc : m(k) (k) εj εA µk = (k) = (13.25) j=1 ν j νA A∈k INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 158
- 169. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ u εA o` νA est la probabilit´ de d´faut sur la p´riode de A. Pour obtenir une estimation semblable de l’´cart- e e e e type du taux de d´faut pour chaque secteur, on est contraint d’assigner un ´cart-type pour le taux de e e d´faut de chaque ´metteur du secteur consid´r´. Une mani`re pratique de faire cela revient ` supposer que e e ee e a cet ´cart-type d´pend de la qualit´ cr´dit de l’´metteur. On obtient donc σ k ` partir des σ A , sachant que la e e e e e a probabilit´ de d´faut de chaque ´metteur appartenant au secteur k sera consid´r´e comme proportionnelle e e e ee a ` la variable al´atoire xk , ce qui s’´crit : e e εA xk xA = (13.26) ν A µk εA On peut noter que l’esp´rance de xA vaut e νA = PA . Nous sommes alors en mesure de lier les σ A ` σ k a selon l’´quation suivante : e εA σ k σA = = σk (13.27) ν A µk A∈k A∈k σ Les statistiques montrent que le ratio PA est de l’ordre de 1, si bien que l’´cart-type du nombre de d´fauts A e e parmi les ´metteurs d’un mˆme groupe de qualit´ cr´dit est du mˆme ordre que le nombre moyen annuel e e e e e de d´fauts. C’est la mˆme chose ` l’´chelle du secteur, comme le montre la relation suivante : e e a e σA σA PA PA σk A∈k A∈k = = (13.28) µk PA PA A∈k A∈k Ainsi, en l’absence de donn´es suffisamment d´taill´es, les estimations caract´ristiques de chaque ´metteur e e e e e σA PA peuvent ˆtre remplac´s par un unique ratio e e k pour le secteur, ce qui induit alors : σk = k × µk (13.29) Chercher ` estimer σ k est alors ´quivalent ` estimer a e a k. 13.3.3 Occurrence de d´fauts e En suivant la mˆme d´marche que pr´c´dement, et en incluant la volatilit´ du taux de d´faut dans le e e e e e e mod`le, on obtient une fonction g´n´ratrice du nombre de d´fauts du type : e e e e K K ∞ F (z) = Fk (z) = exp (x · (z − 1)) fk (x) dx (13.30) k=1 k=1x=0 o` fk (x) est la densit´ de la variable xk . Pour prolonger les calculs, il est alors n´cessaire de donner une u e e loi de distribution ` xk . CreditRisk+ conseille de choisir une loi Gamma de moyenne µk et d’´cart-type a e σ k . Sous ces hypoth`ses fk (x) est alors d´fini de la mani`re suivante : e e e 1 x P (x ≤ xk ≤ x + dx) = fk (x) dx = exp − xαk −1 dx (13.31) β αk Γ(αk ) k βk ∞ µ2 σ2 o` αk = u k σ2 , βk = k µk et Γ(α) = e−x xα−1 dx. k x=0 βk Apr`s simplification et en notant pk = e 1+β k , on obtient l’expression suivante : αk ∞ 1 − pk αk n + αk − 1 n n Fk (z) = = (1 − pk ) pk z (13.32) 1 − pk z n=1 n On en d´duit que e n + αk − 1 n P (Dk = n) = (1 − pk )αk pk (13.33) n Dk qui est le nombre de d´faut dans le secteur k suit donc une Loi Binomiale N´gative. e e ` ´ ´ 13.3. PASSAGE A DES TAUX DE DEFAUT ALEATOIRES 159
- 170. CHAPITRE 13. L’APPROCHEACTUARIELLE DE CREDITRISK+ 13.3.4 Distribution des pertes de d´faut e 13.3.4.1 Pertes de d´faut e Nous reprenons l’approche d´finie dans le cas o` les taux de d´faut ´taient fixes, et nous g´n´ralisons ce e u e e e e proc´d´ en y incorporant la volatilit´ de ces taux de d´fauts. On obtient alors des expressions semblables e e e e a ` celles rencontr´es plus haut : e K K K ∞ G(z) = Gk (z) = Fk (Pk (z)) = ex(Pk (z)−1) fk (x)dx (13.34) k=1 k=1 k=1x=0 o` u m(k) (k) εj (k) (k) zνj m(k) (k) j=1 νj 1 εj (k) Pk (z) = = (k) zνj (13.35) m(k) (k) εj µk j=1 νj (k) j=1 νj Et l` encore les int´grales peuvent ˆtre calcul´es, ce qui abouti ` l’expression analytique suivante : a e e e a αk K 1 − pk G(z) = (13.36) pk m(k) (k) εj (k) k=1 1− z ν j µk (k) νj j=1 13.3.4.2 Relation de r´currence e Pour ˆtre suffisamment exploitable, la fonction g´n´ratrice doit ˆtre mise sous forme de s´rie enti`re e e e e e e o` les probabilit´s associ´es aux pertes sont lues sans aucun effort. Or, pour arriver ` cette forme, on est u e e a amen´ ` traiter la derni`re expression obtenue de G(z) et mettre en ´vidence les coefficients An d´finis de ea e e e la mˆme mani`re que ceux rencontr´s plus haut. Le fait que G(z) se pr´sente sous la forme de fractions e e e e rationnelles nous facilite la tˆche. en effet, il existe de nombreuses m´thodes pour transformer une fraction a e rationnelle et la pr´senter sous forme de polynˆme de degr´ infini. Ces algorithmes sont plutˆt techniques e o e o et ne m´ritent pas d’ˆtre d´taill´s ici. Ils semblent, en outre, ne pas poser de difficulter particuli`res. Il e e e e e est en effet pr´f´rable de livrer le type de raisonnement suivi et la relation de r´currence ` laquelle on ee e a aboutit apr`s la mise en œuvre d’un de ces algorithmes. Ainsi, on cherche les An tels que : e ∞ G(z) = An z n (13.37) n=0 Or, si G(z) v´rifie une relation du type : e G (z) A(z) = (13.38) G(z) B(z) o` A(z) et B(z) sont respectivement deux polynˆmes de la forme suivante : u o A(z) = a0 + .... + ar zr (13.39) B(z) = b0 + .... + bs z s alors les coefficients An v´rifient la relation de r´currence e e min(r,n) min(s−1,n−1) 1 An+1 = ai An−i − bl+1 (n − l)An−l (13.40) b0 (n + 1) i=0 l=0 On applique alors cette relation, sachant que G(z) v´rifie la condition sur sa d´riv´ logarithmique. En e e e effet, nous avons m(k) (k) p k αk (k) K µk εj z ν j −1 G (z) j=1 = (13.41) G(z) pk m(k) (k) εj (k) k=1 1− z ν j µk (k) νj j=1 INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 160
- 171. On applique alorsla relation de r´currence, apr`s avoir r´duit au mˆme d´nominateur la derni`re ex- e e e e e e pression. Evidemment, un choix judicieux de L, l’unit´ d’exposition, permettrait de r´duire le degr´ du e e e polynˆme B(z) de telle sorte que les calculs soient plus faciles ` traiter. On se retrouve alors en possession o a de la forme explicite de la distribution des pertes du portefeuille. 13.4 Conclusion Tout d’abord, notons que cette approche peut ˆtre g´n´ralis´e en consid´rant l’´ventuelle appartenance e e e e e e d’un ´metteur ` plusieurs secteurs. On fait alors intervenir des coefficients θA,k qui pour chaque ´mission e a e A donne la proportion de l’influence de son taux de d´faut par la variable xk . En g´n´ralisant de la sorte, e e e on accorde ` tous les titres d’ˆtre d´pendants de plusieurs secteurs. Cette hypoth`se est trait´e dans a e e e e CreditRisk+, qui donne alors le processus et la nouvelle distribution des pertes encourus. Remarquons, de plus, que la notion de corr´lation n’apparait pas explicitement dans le mod`le, mais e e est pris en compte indirectement dans les volatilit´s de chaque secteur et ´ventuellement dans le profil e e des coefficients θA,k . On peut toutefois calculer les contributions marginales de chacun des titres ainsi que les corr´lations entre ces mˆmes titres a posteriori. Les ´tapes n´cessaires pour aboutir ` ces corr´lations e e e e a e et ` ces contributions ne sont pas pr´sent´es ici mais le sont dans CreditRisk+. a e e Le principal reproche adress´ ` CSFP r´side dans le fait que leur mod`le ignore la possibilit´ d’un e a e e e changement de spread des titres composant le portefeuille sans pour autant observer un quelconque d´faut. Par analogie avec CreditMetrics, ce mod`le ne tient pas compte de la perte ou du gain de valeur e e du portefeuille provoqu´s par des changements de rating. Ce mod`le semble, en fait, s’adapter au cas de e e banques accordant des cr´dits, et cherchant ` se couvrir contre un certain niveau de risque dˆ au d´faut e a u e de paiement d’une contrepartie. Mais cet outil ne convient pas ` une gestion de portefeuille qui a pour a vocation d’ˆtre assez liquide et qui tire son rendement des spreads des titres qui le composent. e Bibliographie [1] Credit Suisse Financial Products [1997], CreditRisk+ : A credit Risk Managment Framework, London
- 173. 14 L’approche Intensit´ :une approche sous forme r´duite e e L’approche sous forme r´duite ne s’int´resse pas aux raisons ´conomiques du d´faut : ce type d’ap- e e e e proche envisage le d´faut comme un ´v`nement impr´visible. Le lien entre la structure de l’entreprise, e e e e la valorisation boursi`re et le risque de d´faut n’est pas exhib´. Les mod`les ` intensit´ s’int´ressent e e e e a e e davantage aux donn´es que l’on peut trouver sur les march´s de cr´dit : les spreads de taux en sont le e e e principal input. Comme nous l’avons d´j` soulign´, ce type de mod`le est confront´ au probl`me d’absence de liquidit´ ea e e e e e sur le march´ obligataire des grandes entreprises. Il est d`s lors peu probable qu’une ´valuation risque- e e e neutre des actifs conduise ` des prix correspondant aux prix observ´s sur le march´. a e e De plus, si les spreads observ´s sur le march´ peuvent ˆtres utilis´s pour calibrer les mod`les, il convient e e e e e n´anmoins de d´terminer la composante li´e au risque de d´faut : liquidit´, taxation, risque de march´, e e e e e e zone g´ographique sont autant de facteurs pouvant intervenir dans la formation des spreads. e 14.1 Cadre de l’analyse On se place dans un espace probabilis´ (Ω, G, P) muni d’une filtration F = (Ft )t∈R+ . e – P est une probabilit´ risque neutre pour laquelle les prix des actifs financiers sont ´gaux aux e e esp´rances de leurs payoffs futurs actualis´s. Une telle hypoth`se suppose l’absence d’opportunit´ e e e e d’arbitrage sur le march´ avec d´faut. e e – F correspond ` la filtration engendr´e par les prix des actifs financiers (dont les spreads de taux) ; a e la tribu Ft repr´sente l’information disponible sur le march´ ` la date t. e ea t Le taux d’int´rˆt non risqu´ ` court terme est mod´lis´ par un processus r F−adapt´. Bt = exp ee ea e e e r du 0 u correspond au facteur de capitalisation. Pour une maturit´ T 0 donn´e, on repr´sente par une variable al´atoire X FT −mesurable le montant e e e e auquel a droit le d´tenteur d’un actif risqu´ ` la date T , ` condition que le d´faut ne se soit pas produit. e ea a e Le payoff en cas de d´faut est mod´lis´ par un processus Z F−pr´visible. Il s’agit donc du processus de e e e e recouvrement. Notons que l’hypoth`se faite ici est tr`s forte et loin d’ˆtre v´rifi´e sur les march´s : supposer que e e e e e e Z est F−pr´visible revient ` dire qu’il est possible de couvrir le risque li´ au recouvrement ` partir de e a e a produits disponibles sur le march´. Ceci n’est certainement pas le cas, notamment lorsqu’une proc´dure e e
- 174. ´ ´ CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE de liquidation judiciaire est mise en place : le montant recouvr´ d´pendra de la fa¸on dont la proc´dure e e c e se d´roulera. e L’instant avant d´faut est mod´lis´ par une variable al´atoire τ d´finie sur l’espace (Ω, G, P). On in- e e e e e troduit le processus de saut H associ´ ` τ : Ht = 1{τ ≤t}, ∀t ∈ R+ , et on d´finit H = (Ht )t∈R+ comme la ea e filtration engendr´e par ce processus : Ht = σ (Hu , u ≤ t) , ∀t ∈ R+ . e L’observation des donn´es de march´ montre qu’il est impossible de dire avec certitude si le d´faut e e e est survenu ou non uniquement ` partir de celles-ci. En effet, il se peut tr`s bien qu’` une date donn´e, a e a e deux obligations aient un prix identique alors mˆme que l’un des deux ´metteurs vient de faire d´faut. e e e Math´matiquement, cela signifie que Ft Ht : τ n’est pas un F−temps d’arrˆt. e e Si l’occurence du d´faut ne peut pas se lire dans les prix de march´, on peut n´anmoins supposer e e e que les op´rateurs financiers disposent de cette information par un autre biais. Autrement dit, ` une e a date t donn´e, l’information disponible peut ˆtre mod´lis´e par la tribu Gt = σ (Fu , Hu , u ≤ t). On note e e e e G = F ∨ H la filtration associ´e. Le temps de d´faut est alors un G−temps d’arrˆt. e e e A la date t, les op´rateurs financiers disposent de deux types d’information bien distincts : e – D’une part, ils savent si le d´faut est survenu ou non. Cette information est contenue dans la tribu e Ht . – D’autre part, ils ont acc`s ` ce que l’on a appel´ dans un premier temps l’information de march´ e a e e (provenant des prix). Cette information, mod´lis´e par Ft , permet de formuler des hypoth`ses sur la e e e qualit´ de l’´metteur de la dette. Il s’agit donc de l’information utile, si le d´faut ne s’est pas encore e e e produit, pour ´tablir le prix de la dette risqu´e ` la date t . D`s lors, Ft ne se r´duit pas forc´ment e e a e e e aux prix de march´, elle peut contenir toute information permettant une meilleure appr´ciation de e e la qualit´ de la contrepartie (notes de rating par exemple). e 14.1.1 D´finition de l’intensit´ de survie e e La d´composition de G en deux sous-filtrations F et H permet d’isoler l’information pertinente pour e le calcul des probabilit´s de d´faut. En particulier, on peut construire le processus Ft = P (τ ≤ t | Ft ) , e e ∀t ∈ R+ : F est bien d´fini car τ n’est pas F−adapt´. Il s’agit d’une F−sous-martingale positive born´e, e e e que l’on peut par cons´quent supposer continue ` droite. Ft traduit les croyances du march´ ` la date t e a ea concernant la possible occurence du d´faut avant cette date. Notons que l’incertitude des march´s pesant e e sur l’apparition du d´faut se traduit par Ft 1 ∀t ∈ R+ . On peut d`s lors d´finir le processus de hazard e e e Γ associ´ au temps de d´faut τ : Γt = − ln (1 − Ft ) , ∀t ∈ R+ . e e A chaque instant, on sait si le d´faut s’est produit ou non. Par contre, s’il ne s’est pas produit, les e op´rateurs financiers formulent des hypoth`ses ` partir des donn´es de march´. Ceci se traduit de fa¸on e e a e e c math´matique par la relation suivante : e ∀t s, P (τ s | Gt ) = 1{τ t} EP eΓt −Γs | Ft (14.1) Dans l’hypoth`se o` Γ est un processus absolument continu, il existe un processus F−progressivement e u t mesurable tel que Γt = 0 γ u du. La relation (14.1) peut donc se r´´crire ee Rs ∀t s, P (τ s | Gt ) = 1{τ t} EP e− t γ u du | Ft (14.2) La signification intuitive de γ apparaˆ ici : il s’agit de l’intensit´ de survie (ou encore intensit´ de d´faut) ıt e e e sachant le flux d’information de march´ (Ft )t∈R+ . e Si de plus, on suppose que Γ est un processus croissant (i.e. γ 0), alors le processus m d´fini par e t∧τ mt = Ht − γ u du, ∀t ∈ R+ (14.3) 0 est une G−martingale. Cette propri´t´ est particuli`rement importante car elle permet d’´tablir une ee e e nouvelle repr´sentation du prix de la dette risqu´e. De plus, historiquement, c’est ` partir de cette e e a propri´t´ que l’intensit´ de d´faut a ´t´ d´finie (cf. Duffie, Schroder et Skiadas [1996]). ee e e ee e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 164
- 175. ´ ´ CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE 14.1.2 Une autre approche de l’intensit´ de d´faut e e La d´composition de la filtration G en deux sous-filtrations F et H a permis de mettre en ´vidence le e e processus γ. N´anmoins, si l’on raisonne sans prendre en compte cette d´composition, on peut montrer1 e e qu’il existe un processus λ positif G−adapt´ tel que le processus M d´fini par e e t∧τ Mt = Ht − λu du, ∀t ∈ R+ (14.4) 0 est une G−martingale. En g´n´ral, l’intensit´ de d´faut est d´finie ` partir de ce processus λ. N´anmoins, l’interpr´tation de e e e e e a e e λ reste difficile. En particulier on ne peut rien dire de la relation existant entre λ et l’intensit´ de survie e γ. Il se peut par exemple que le processus λ soit d´fini sans que γ existe. De plus, la caract´risation du e e processus λ reste probl´matique dans la mesure o` il n’est d´fini de fa¸on unique que jusqu’` l’instant de e u e c a d´faut τ . e Compte tenu de ce que l’on a dit jusqu’ici, on sait que si Γ est un processus croissant absolument continu, alors λt∧τ = γ t∧τ , ∀t ∈ R+ . L’int´rˆt de la d´composition de G en deux sous-filtrations F et ee e H apparaˆ ` nouveau ici : elle met en ´vidence de fa¸on assez intuitive la signification de l’intensit´ de ıt a e c e d´faut λ, λ ´tant l’objet math´matique g´n´ralement introduit dans les mod`les ` intensit´. e e e e e e a e Par la suite, nous d´finirons l’intensit´ de d´faut ` partir de ce processus λ. Pour de plus amples e e e a d´veloppements concernant les liens entre les processus λ et γ, on pourra se r´f´rer ` l’article [5] de e ee a Jeanblanc et Rutkowski. 14.2 Les diff´rentes repr´sentations du prix de la dette risqu´e e e e 14.2.1 Premi`res repr´sentations e e Soit (X, Z, τ ) une dette risqu´e. Notons D le processus des “dividendes” associ´ : e e Dt = Zu dHu + X (1 − HT ) 1{t=T } (14.5) ]0,t] A l’aide de ce processus, la valorisation rique-neutre de l’actif risqu´ ` la date t s’´crit : ea e −1 Vt = Bt EP Bu dDu | Gt (14.6) ]t,T ] o` bien, de fa¸on ´quivalente : u c e −1 −1 Vt = Bt EP Bu Zu dHu + BT X1{T τ } | Gt (14.7) ]t,T ] ce qui peut encore s’´crire : e −1 −1 Vt = Bt EP Bτ Zτ 1{tτ ≤T } + BT X1{T τ } | Gt (14.8) En particulier, cette derni`re relation implique que la valeur de la dette ` la maturit´ est VT = X1{T τ } . e a e De plus on retrouve bien dans cette relation que la valeur de la dette apr`s l’instant de d´faut est nulle : e e on a suppos´ dans le mod`le que le porteur de l’actif risqu´ est ind´mnis´ ` hauteur de Z d`s que le e e e e e a e d´faut se produit. e En utilisant la relation (14.4) d´finissant le processus λ, on peut r´´crire (14.7) de la fa¸on suivante : e ee c −1 −1 Vt = Bt EP Bu Zu λu 1{u≤τ } du + BT X1{T τ } | Gt (14.9) ]t,T ] 1 La d´monstration repose sur l’existence du e G−compensateur de H (d´composition de Doob-Meyer) et sur une hypoth`se e e d’absolue continuit´ de ce processus. e ´ ´ ´ 14.2. LES DIFFERENTES REPRESENTATIONS DU PRIX DE LA DETTE RISQUEE 165
- 176. ´ ´ CHAPITRE 14. L’APPROCHE INTENSITE : UNE APPROCHE SOUS FORME REDUITE 14.2.2 Th´or`me de repr´sentation du prix de la dette risqu´e e e e e La repr´sentation suivante du prix de la dette risqu´e est le r´sultat le plus int´ressant, qui justifie e e e e le d´veloppement de l’approche ` intensit´. Il apparaˆ que le prix d’une dette risqu´e peut ˆtre calcul´ e a e ıt e e e comme s’il s’agissait d’un actif sans risque de d´faut ` condition d’incorporer une prime de risque dans e a le facteur d’actualisation. Pour aboutir ` un tel r´sultat, il convient de formuler les deux hypoth`ses a e e suivantes : – Il y a continuit´ de la valeur de march´ de la dette risqu´e ` l’instant de d´faut. Autrement dit, la e e e a e probabilit´ qu’un saut inattendu se produise ` l’instant de d´faut est nulle. e a e – Toute F−martingale est une G−martingale, ce qui peut ˆtre formul´ de fa¸on ´quivalente par la e e c e relation suivante : P (τ ≤ u | Ft ) = P (τ ≤ u | F∞ ) ∀ 0 u ≤ t Ainsi, si le d´faut s’est produit avant la date t, l’´volution des prix sur le march´ apr`s cette date e e e e ne s’enrichira pas d’information nouvelle ` ce sujet. a Compte tenu de ces deux hypoth`ses, la valeur Vt de la dette ` la date t peut s’´crit : e a e T ˜ Vt = 1{tτ } Bt EP ˜ −1 ˜ −1 Bu Zu λu du + BT X | Ft (14.10) t t u ˜ o` Bt = exp 0 (ru + λu ) du . Notons que le conditionnement n’est plus effectu´ par rapport ` la filtration G : seule l’information e a de march´ F est prise en compte. On s’est donc ramen´ au cadre classique o` la filtration consid´r´e est e e u ee la filtration brownienne des prix. Ceci permet d’int´grer les mod`les ` intensit´ dans une th´orie plus e e a e e g´n´rale (les mod`les d´riv´s de la th´orie de Black et Scholes ou bien encore les diff´rents mod`les de e e e e e e e e taux sont toujours sp´cifi´s en consid´rant la filtration des prix). e e e 14.3 Un exemple d’application : le mod`le de Jarrow et Turnbull e [1995] Le mod`le de Jarrow et Turnbull reprend l’ensemble des hypoth`ses formul´es pr´c´demment. Les e e e e e hypoth`ses sp´cifiques au mod`le sont les suivantes : e e e – L’´mission consid´r´e est une obligation z´ro-coupon de maturit´ T , donnant droit au versement e ee e e d’un dollar ` la date T . a – En cas de d´faut, l’entreprise ne versera qu’une fraction du paiement promis. Le taux de recouvre- e ment δ de la dette est suppos´ constant2 . Math´matiquement, cette hypoth`se s’´crit e e e e Bu Zu = δ, ∀u ∈ [0, T ] BT – Le processus de d´faut (Ht ) associ´ ` l’instant de d´faut τ correspond ` un simple saut poissonien e ea e a entre deux ´tats. Autrement dit, l’intensit´ de d´faut λ est suppos´e constante au cours du temps3 . e e e e – Le processus du taux sans risque est suppos´ ind´pendant du processus de d´faut. Il s’agit ici d’une e e e hypoth`se simplificatrice et peu r´aliste, que l’on retrouve dans la plupart des mod`les ` intensit´. e e e a e 2δ peut d´pendre du niveau de priorit´ de l’obligation risqu´e au sein de l’ensemble de la dette ´mise par l’entreprise. e e e e 3 Notons que Jarrow, Lando et Turnbull [1997] proposent une extension de ce mod`le dans laquelle le processus de e d´faut est associ´ ` une chaˆ de Markov dont les diff´rents ´tats sont les classes de rating des agences de notation. A e e a ıne e e chaque classe de rating correspond alors une intensit´ de d´faut. Une telle mod´lisation permet de faire ´voluer la valeur e e e e de la dette risqu´e en fonction de la note qui lui est associ´e. e e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 166
- 177. Compte tenu deces quatre hypoth`ses suppl´mentaires, l’´quation (14.10) devient e e e Vt = 1{tτ } p (t, T ) δ 1 − e−λ(T −t) + e−λ(T −t) (14.11) Bt o` p (t, T ) = EP u BT | Ft repr´sente le prix ` la date t d’un z´ro-coupon sans risque de maturit´ T . e a e e Cette derni`re formule est tr`s intuitive : le prix d’un z´ro-coupon risqu´ est ´gal au prix du z´ro-coupon e e e e e e sans risque multipli´ par l’esp´rance du payoff ` la maturit´ sous la probabilit´ risque-neutre. e e a e e Nous allons maintenant utiliser cette formule pour calculer le spread de taux entre le z´ro-coupon e ∂ sans risque et la dette risqu´e. Notons F (t, T ) = − ∂T log Vt le taux forward d’un z´ro-coupon risqu´ e e e et f (t, T ) le taux forward d’un z´ro-coupon sans risque. En utilisant l’´quation (14.11), on obtient la e e relation suivante : (1 − δ) λe−λ(T −t) F (t, T ) = f (t, T ) + (14.12) δ 1 − e−λ(T −t) + e−λ(T −t) En faisant tendre T vers t, on obtient la relation liant le taux spot risqu´ R au processus de taux sans e risque r : R (t) = r (t) + (1 − δ) λ (14.13) Ce r´sultat int´ressant montre que le spread de taux observ´ sur les march´s est dˆ au risque de cr´dit. e e e e u e En outre, il apparaˆ que ce spread d´pend tout autant du processus de d´faut que du processus de ıt e e recouvrement. On retrouve ici un r´sultat analogue ` celui obtenu par Duffie et Singleton de fa¸on plus e a c g´n´rale (cf. articles [1] et [3]). e e Bibliographie [1] Duffie, D. et K. Singleton [1997], An econometric model of the term structure of interest rate swap yields, Journal of Finance, 52, 1287-1321 [2] Duffie, D., M. Schroder et C. Skiadas [1996], Recursive valuation of defaultable securities and the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Prbability, 6, 1075-1090 [3] Duffie, D. et K. Singleton [1999], Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Fi- nancial Studies, 12-4, 687-720 [4] Jarrow], R., D. Lando et S. Turnbull [1997], A markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies, 10-2, 481-523 [5] Jeanblanc, M. et M. Rutkowski [1999], Modelling of default risk : an overview, Working Paper
- 179. Cinqui`me partie e Le risque op´rationnel e 169
- 181. 15 La r´glementation prudentielle e Les documents consultatifs du Comit´ de Bˆle ouvrent la voie ` une prise en compte explicite des e a a risques op´rationnels dans le calcul des fonds propres r´glementaires bancaires, ` l’instar de ce qui existe e e a d´j` sur les risques de cr´dit et de march´. Toutefois, sur le plan m´thodologique, la mesure du risque ea e e e op´rationnel n’a pas encore la maturit´ qu’on constate sur les autres risques. En effet, sur ces derniers — e e risque de cr´dit et risque de march´ — les banques ont consacr´ des ressources importantes et ont ainsi e e e abouti ` des mod`les de type Value-At-Risk qui, mˆme s’ils sont loin d’ˆtre parfaits, ont atteint un degr´ a e e e e de sophistication et de robustesse remarquable. Ce manque de maturit´ intellectuelle sur les risques op´rationnels n’est ´videmment pas appel´ ` durer : e e e ea ce risque fera l’objet dans un avenir proche d’un traitement analogue aux autres, fond´ sur la construction e d’un mod`le interne et l’´valuation d’un capital ´conomique plus pr´cis qu’un calcul forfaitaire. Cette e e e e ´volution est dans le sens de l’histoire r´glementaire. Elle r´sultera aussi d’une volont´ des banques de e e e e piloter en interne la cr´ation de valeur (Value-based management) et, en l’occurrence, de r´duire au e e minimum les destructions de valeur dues ` des d´fauts de proc´dure ou ` un manque de “best practices” a e e a que r´v`le la mat´rialisation des risques op´rationnels. R´aliser ce pilotage imposera tˆt ou tard de e e e e e o disposer de mesures des risques op´rationnels fond´es sur des calculs autres que des calculs forfaitaires. e e Il convient de nuancer tr`s fortement les r´flexions pr´c´dentes. Lors de la sortie du document consultatif e e e e du 16 janvier 2001, il semblait qu’effectivement les banques ´taient largement plus avanc´es sur la e e mod´lisation du risque de cr´dit que sur celle du risque op´rationnel. La mise en place de Groupes e e e de Travail (par exemple, WGOR — Working Group on Operational Risk — cr´´ par l’Institute ee International Finance) a montr´ que certaines banques (mais le nombre est relativement faible) sont e tout ` fait capables de mesurer le risque op´rationnel avec un mod`le interne. Il est devenu a e e ´vident aussi que le risque de cr´dit est beaucoup plus difficile ` mod´liser que le risque e e a e op´rationnel. Au mois de septembre 2001, la situation est donc la suivante : e – le Comit´ de Bˆle autorise l’utilisation d’un mod`le interne LDA pour mesurer les risques op´rationnels ; e a e e – pour l’instant, seulement une dizaine ( ?) de banques au monde sont capables de mettre en place la m´thode LDA ; e – il n’est pas sˆr que ce nombre soit beaucoup plus important en 2005, lors de l’impl´mentation de u e l’Accord. 15.1 La d´finition du risque op´rationnel e e Rappelons que, selon le document consultatif [1] du comit´ de Bˆle, les risques op´rationnels se e a e d´finissent comme les risques de pertes directes ou indirectes r´sultant de l’inadaptation ou de la d´faillance e e e
- 182. ´ CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE de proc´dures ou de personnes, de personnes ou de syst`mes ou r´sultant d’´v´nements ext´rieurs ( the e e e e e e risk of direct or indirect loss resulting from inadequate or failed internal processes, people and systems or from external events ). Cette d´finition a ´t´ critiqu´e, car il est relativement difficile de calculer certaines e ee e pertes indirectes. Le 28 septembre 2001, le Comit´ de Bˆle a donc propos´ une seconde d´finition : e a e e Les risques op´rationnels se d´finissent comme le risque de pertes dues ` une inad´quation e e a e ou ` une d´faillance des proc´dures, personnels, syst`mes internes ou ` des ´v´nements a e e e a e e ext´rieurs (Thoraval [2001]). e Il est n´cessaire de pr´ciser les types de perte que comprend cette d´finition. Dans le document [1], le e e e Comit´ de Bˆle avait retenu 6 types de pertes : e a 1. Write-Downs : direct reduction in value of assets due to theft, fraud, unauthorised activity or market and credit losses arising as a result of operational events . 2. Loss of Recourse : payments or disbursements made to incorrect parties and not recovered . 3. Restitution : payments to clients of principal and/or interest by way of restitution, or the cost of any other form of compensation paid to clients . 4. Legal Liability : judgements, settlements and other legal costs . 5. Regulatory and Compliance (incl. Taxation Penalties) : fines, or the direct cost of any other penalties, such as license revocations . 6. Loss of or Damage to Assets : direct reduction in value of physical assets, including certificates, due to some kind of accident (e.g. neglect, accident, fire, earthquake) . Cette classification est relativement ´loign´e de celles qui avaient ´t´ mises en place par l’industrie ban- e e ee caire. Par exemple, la base de donn´es “Operational Risk Losses Database” de la BBA (British Bankers’ e Association) consid´re 4 types de perte : e 1. People 2. Process 3. Systems 4. External Finalement, le Comit´ de Bˆle a adopt´ une nouvelle classification le 28 septembre 2001 : e a e 1. Internal Fraud : losses due to acts of a type intended to defraud, misappropriate property or circumvent regulations, the law or company policy, excluding diversity/discrimination events, which involves at least one internal party . 2. External Fraud : losses due to acts of a type intended to defraud, misappropriate property or circumvent the law, by a third party . 3. Employment Practices Workplace Safety : losses arising from acts inconsistent with employment, health or safety laws or agreements, from payment of personal injury claims, or from diversity/discrimination events . 4. Clients, Products Business Practices : losses arising from an unintentional or negligent failure to meet a professional obligation to specific clients (including fiduciary and suitability requi- rements), or from the nature or design of a product . 5. Damage to Physical Assets : losses arising from loss or damage to physical assets from natural disaster or other events . 6. Business Disruption System Failures : losses arising from disruption of business or system failures . 7. Execution, Delivery Process Management : losses from failed transaction processing or process management, from relations with trade counterparties and vendors . Nous remarquons donc que les risques strat´giques et r´putationnels sont exclus du p´rim`tre des risques e e e e op´rationnels. e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 172
- 183. ´ CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE Le Comit´ de Bˆle consid´re un d´coupage matriciel de la banque. Celle-ci est donc divis´e en diff´rentes e a e e e e activit´s : e Business Units Business Lines Investment Banking Corporate Finance Trading Sales Banking Retail Banking Commercial Banking Payment Settlement Agency Services Custody Others Asset Management Retail Brokage Toutefois, les typologies exactes des types de risque et des lignes de m´tier restent n´anmoins impr´cises. e e e Mˆme si le document consultatif donne beaucoup de pr´cisions, la banque doit faire un travail de mapping e e important. En outre, l’existence d’un “double-comptage” n’est pas exclu. En effet, le capital r´glementaire e allou´ au risque de cr´dit ou de march´ est d´j` cens´ couvrir une part du risque op´rationnel. Il y a donc e e e ea e e un risque d’allouer deux fois du capital pour le mˆme risque. e 15.2 Les approches forfaitaires A la lecture du document [1], il n’est pas encore clair de savoir si les fonds propres r´glementaires doivent e couvrir les seules pertes exceptionnelles (“unexepected loss”), ou en plus les pertes moyennes (“expected loss”). En th´orie, les fonds propres ne couvrent que les seules pertes exceptionnelles et non les pertes e moyennes, ces derni`res ´tant cens´es ˆtre couvertes par des provisions ou imput´es sur le r´sultat courant. e e e e e e Toutefois, dans la mesure o` les normes comptables de provisionnement diff`rent d’un pays ` l’autre et u e a d’un type de risque ` un autre, les fonds propres au titre du risque op´rationnel pourraient ˆtre amen´s a e e e a ` jouer ce double rˆle. D’apr`s le document [2], la mesure du risque op´rationnel semble correspondre au o e e quantile, c’est-`-dire ` la somme de l’expected loss et de l’unexpected loss. a a S’agissant des m´thodologies propos´es par le document consultatif du Comit´ de Bˆle, elles s’inspirent e e e a fortement de celles que ce mˆme document envisage pour le risque de cr´dit. Il y a eu une volont´ assez e e e forte de mettre en parall`le le traitement de ces deux risques en proposant soit des m´thodes dites e e standards (c’est-`-dire forfaitaires) soit des m´thodes n´cessitant des ´l´ments rattach´s directement aux a e e ee e risques eux-mˆmes (probability of default/probability of event, Loss Given Default/Loss Given Event, e etc.). Le Comit´ de Bˆle utilisent le terme “Advanced Measurement Approaches” ou AMA pour e a d´finir ces approches non standards. Celles-ci seront expos´es dans le chapitre suivant. e e 15.2.1 Basic Indicator Approach (BIA) C’est une m´thode forfaitaire o` le calcul du capital se fait ` partir d’un indicateur d’exposition EI. Le e u a capital ´conomique associ´ au risque op´rationnel est donc reli´ aux r´sultats (par exemple, le PNB ou le e e e e e revenu) mais pas au risque op´rationnel r´el ni ` la qualit´ intrins`que de la banque en terme de maˆ e e a e e ıtrise de ces risques (qualit´ de l’audit interne par exemple). Ceci pose ´videmment probl`me en p´nalisant les e e e e banques profitables d’une part, et en n’incitant pas ` la maˆ a ıtrise des risques d’autre part. Le Comit´ de Bˆle propose de retenir le PNB — Gross Income — GI comme proxy. Les fonds propres e a FP se calcule alors tr`s facilement ` partir de la formule e a FP = α × GI (15.1) o` α est un coefficient fix´ par les autorit´s r´glementaires. Dans le document [1], un premier calcul u e e e du Comit´ de Bˆle donnait α ´gal ` 30%. D’apr`s les r´sultats de QIS2, α est en fait proche de 20%. e a e a e e Notons que l’approche BIA sera calibrer afin d’obtenir une charge en capital pour la “Banque Mondiale Moyenne” ´gale ` 20% de la charge totale en capital. Pour cette approche, aucun crit`re d’´ligibilt´ n’est e a e e e exig´. e 15.2. LES APPROCHES FORFAITAIRES 173
- 184. ´ CHAPITRE 15. LA REGLEMENTATION PRUDENTIELLE 15.2.2 Standardised Approach (SA) C’est un prolongement plus fin de l’approche pr´c´dente en d´clinant ce type de calcul par type d’acti- e e e vit´. Selon l’activit´, l’indicateur retenu ne serait pas le mˆme. Ainsi, par exemple en gestion d’actifs, le e e e capital ´conomique pourrait ˆtre calcul´ sur la base du montant des fonds en gestion (voir document [1]). e e e N´anmoins, le document du 28 septembre 2001 utilise le PNB comme indicateurs des 8 lignes de m´tiers. e e Dans cette approche, les fonds propres de la banque pour le risque op´rationnel sont ´gaux ` la somme e e a des fonds propres de chaque ligne de m´tier. Nous avons e FP = FP (i) = β (i) × FI (i) (15.2) i i avec FI l’indicateur financier de la ligne de m´tier i. e Si l’indicateur financier est le PNB, les r´sultats de QIS2 sont les suivants : e Ligne de m´tier e β (i) m´dian e β (i) moyen Financement d’entreprises 0.131 0.236 N´gociation et vente e 0.171 0.241 Banque de d´tail e 0.125 0.127 Banque commerciale 0.132 0.169 Paiements et r´glements e 0.208 0.203 Services d’agence 0.174 0.232 Gestion d’actifs 0.133 0.185 Courtage de d´tail e 0.113 0.149 Dans cette approche, le Comit´ de Bˆle indique que l’objectif de charge de capital est de 12% (et non e a de 20%). Les banques sont donc incit´es ` choisir cette m´thode plutˆt que celle de l’indicateur basique. e a e o N´anmoins, il y a des crit`res d’´ligibilit´ concernant la qualit´ du syst`me de gestion du risque et le suivi e e e e e e des donn´es de perte : e – Effective risk management and control – The bank must have a well-documented, independent operational risk management and control process, which includes firm-level policies and procedures concerning operational risk and strategies for mitigating operational risk. – The board of directors and senior management must be actively involved in the oversight of the operational risk management process. – There must be regular reporting of relevant operational risk data to business unit management, senior management and the board of directors. – Internal auditors must regularly review the operational risk management processes. This review should include both the activities of the business units and the operational risk management and control process. – Measurement and validation – The bank must have both appropriate risk reporting systems to generate data used in the calculation of a capital charge and the ability to construct management reporting based on the results. – The bank must begin to systematically track relevant operational risk data, including internal loss data, by business line. – The bank must develop specific, documented criteria for mapping current business lines and activities into the standardised framework. The criteria must be reviewed and adjusted for new or changing business activities and risks as appropriate . 15.3 Annexe : composition du Risk Management Group (RMG) of the Basel Committee on Banking Supervision – Chairman : Roger Cole Federal – Reserve Board, Washington, D.C. INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 174
- 185. – Banque Nationalede Belgique, Brussels : Dominique Gressens – Commission Bancaire et Financi`re, Brussels : Jos Meuleman e – Office of the Superintendent of Financial Institutions, Ottawa : Jeff Miller – Commission Bancaire, Paris Laurent Le Mou¨l e – Deutsche Bundesbank, Frankfurt am Main : Magdalene Heid et Karin Sagner – Bundesaufsichtsamt f¨r das Kreditwesen, Bonn : J¨rgen Dreymann u u – Banca dItalia, Rome : Claudio Dauria et Sergio Sorrentino – Bank of Japan, Tokyo : Eiji Harada – Financial Services Agency, Tokyo : Hirokazu Matsushima – Commission de Surveillance du Secteur Financier, Luxembourg : Davy Reinard – De Nederlandsche Bank, Amsterdam : Klaas Knot – Banco de Espa˜a, Madrid : Juan Serrano n – Finansinspektionen, Stockholm : Jan Hedquist – Sveriges Riksbank, Stockholm : Camilla Ferenius – Eidgen¨ssiche Bankenkommission, Bern : Daniel Sigrist et Martin Sprenger o – Financial Services Authority, London : Helmut Bauer et Victor Dowd – Bank of England, London : Alison Emblow – Federal Deposit Insurance Corporation, Washington, D.C. : Mark Schmidt – Federal Reserve Bank of New York : Beverly Hirtle et Stefan Walter – Federal Reserve Board, Washington, D.C. : Kirk Odegard – Office of the Comptroller of the Currency, Washington, D.C. : Kevin Bailey et Tanya Smith – European Central Bank, Frankfurt am Main : Panagiotis Strouzas – European Commission, Brussels : Michel Martino et Melania Savino – Secretariat of the Basel Committee on Banking Supervision, Bank for International Settlements : Ralph Nash Bibliographie [1] Basel Committee on Banking Supervision, Operational Risk — Consultative Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001 [2] Basel Committee on Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Operational Risk, september 2001 [3] Institute International Finance, Inc, Letter to Mr. Roger Cole, March 1, 2001 ´ [4] Ceske, R. et J.V. Hernandez [1999], Where theory meets practice, Risk Magazine (Operational Risk Report), 12, November, 17-20 ´ ´ [5] Ceske, R., J.V. Hernandez et L.M. Sanchez [2000], Quantifying event risk : the next convergence, The Journal of Risk Finance, 1(3), 9-23 [6] Lasry, J-M. [2001], Le calcul des fonds propres en face du risque op´rationnel, Club Banque, e F´d´ration des Banques Fran¸aises, 1er mars 2001 e e c
- 187. 16 Les m´thodes AMA e Dans le document consultatif du 16 janvier 2001, le Comit´ de Bˆle proposait une troisi`me m´thode e a e e appel´e Internal Measurement Approach (IMA). Depuis le Comit´ de Bˆle a modifi´ sa position e e a e et propose de remplacer IMA par un “spectre” de m´thodes dites internes. En fait, cette d´cision a ´t´ e e ee prise suite aux recommandations (et aux pressions) de l’organisation professionnelle IIF (Institute of International Finance). Pour pouvoir utiliser une m´thode AMA, la banque devra satisfaire de nombreux crit`res (voir l’annexe e e 1 du document [2]). Notons aussi que la charge en capital calcul´e avec une m´thode AMA ne peut ˆtre e e e inf´rieure ` celle donn´e par la m´thode SA de plus de 25% : e a e e 3 FPAMA ≥ FPSA 4 C’est la notion du Floor. Enfin, les assurances ne seront prises en compte que pour la m´thode LDA e uniquement. 16.1 L’approche IMA La m´thode Internal Measurement Approach (IMA) fait l’objet du paragraphe VI de la section e B du document [1]. Nous notons UL la perte exceptionnelle. Celle-ci est calcul´e ` partir de la formule e a suivante : UL = EL ×γ × RPI (16.1) o` EL est la perte esp´r´e, γ le facteur d’´chelle et RPI l’indice de profil de risque. Cette charge en capital u ee e est calcul´e pour chaque business line et chaque type de risque : e Type de risque business line 1 2 ··· j ··· Total 1 UL (1, 1) UL (1, 2) UL (1, ·) 2 UL (2, 1) UL (2, 2) UL (2, ·) . . . i UL (i, j) UL (i, ·) . . . Total UL (·, 1) UL (·, 2) UL (i, j) i,j
- 188. ´ CHAPITRE 16. LES METHODES AMA Pour une business line i et un type de risque j, nous avons UL (i, j) = EL (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (16.2) La charge en capital au titre du risque op´rationnel est calcul´e en faisant la somme des diff´rentes charges e e e en capital UL (i, j). Nous d´taillons maintenant les diff´rentes composantes de UL (i, j) : e e – EL (i, j) est la perte esp´r´e. Dans le document [1], le Comit´ de Bˆle propose qu’elle soit calcul´e ee e a e a ` partir de la formule suivante : EL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (i, j) (16.3) D´taillons ces diff´rents param`tres : e e e – EI (i, j) est l’indicateur d’exposition. – PE (i, j) est la probabilit´ d’occurence d’une perte unitaire. e – LGE (i, j) est le montant de la perte unitaire. – γ (i, j) est le facteur d’´chelle. La valeur de celui-ci est d´termin´e par les autorit´s r´glementaires. e e e e e C’est d’ailleurs le seul coefficient qui n’est pas propre ` l’´tablissement financier. a e – RPI (i, j) est l’indice de profil de risque. Pour l’instant, le Comit´ de Bˆle n’a propos´ aucune e a e formule pour le calculer. Le but de cet indice est de prendre en compte les propri´t´s leptokurtiques ee de la distribution r´elle des pertes de la banque. Il permet de convertir le facteur d’´chelle exog`ne e e e en un facteur d’´chelle propre ` la business line et au type de risque de la banque. Nous avons e a UL (i, j) = EL (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) Facteur d’´chelle r´glementaire e e = EL (i, j) × γ (i, j) (16.4) Facteur d’´chelle “interne” e Il apparait clairement que γ (i, j) repr´sente la valeur du benchmark, c’est-`-dire la valeur pour la e a Banque Mondiale Moyenne (le comit´ de Bˆle emploie le terme de “scaling factor based on the e a industry wide loss distribution”) et RPI (i, j) sert ` prendre en compte les caract´ristiques de la a e banque par rapport ` la Banque Mondiale Moyenne. a Nous remarquons que ces param`tres (EI, PE, LGE, γ, RPI) sont diff´rents pour chaque business line e e et chaque type de risque. D’autres choix pourraient ˆtre possibles. Par exemple, e UL (i, j) = EI (i, j) × PE (i, j) × LGE (j) × γ (j) × RPI (i, j) (16.5) Dans ce cas, les param`tres LGE et γ d´pendent uniquement du type de risque op´rationnel. Dans le e e e document [3], il ressort qu’en g´n´ral les membres du Groupe de Travail sur le Risque Op´rationnel e e e (WGOR) ont du mal ` distinguer l’indicateur d’exposition en fonction du type de risque. Dans ce cas, a nous avons UL (i, j) = EI (i) × PE (i, j) × LGE (i, j) × γ (i, j) × RPI (i, j) (16.6) Cela veut dire que l’indicateur d’exposition est propre ` la business line, et ne d´pend pas du type de a e risque. Pour conclure, nous faisons deux remarques : 1. Dans le document [2], le Comit´ de Bˆle retient un d´coupage de la banque en 8 business lines. Avec e a e 7 types de risque, nous obtenons donc un d´coupage matriciel de 56 cellules. Ce qui veut e dire aussi plus de 250 param`tres pour calculer la charge en capital. On peut penser e que des probl`mes de robustesse vont se poser. En particulier, on voit mal comment e les autorit´s r´glementaires vont ˆtre capables de calculer les 56 param`tres de facteur e e e e d’´chelle. e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 178
- 189. ´ CHAPITRE 16. LES METHODES AMA 2. Dans la pratique, le double indi¸age sera difficile ` mettre en place, par manque de donn´es. Des c a e approximations seront donc faites du type LGE (i, j) = LGE (j) quelque que soit la business line On le voit d’ailleurs avec l’´tude WGOR sur les indicateurs d’exposition qui sont presque toujours e les mˆmes. On risque finalement d’aboutir ` l’utilisation de tr`s peu d’indicateurs (moins d’une e a e dizaine). Il nous semble que la m´thode IMA devrait ˆtre simplifi´e : e e e – en r´duisant le double indi¸age ; e c – en r´duisant le nombre de variables ; Par exemple, pourquoi ne pas adopter une d´finition plus e e naturelle de la perte esp´r´e ` partir du nombre de pertes NE : ee a EL (i, j) = NE (i, j) × LGE (i, j) (16.7) 16.2 L’approche LDA Cette approche est expos´e dans le document de travail de Frachot, Georges et Roncalli [2001]. e C’est une approche actuarielle tr`s ancienne largement utilis´e en assurances (Klugman, Panjer et e e Willmot [1998]). Des trois m´thodes AMA, nous pouvons consid´rer que c’est v´ritablement la m´thode e e e e de r´f´rence pour le calcul de risque avec un mod`le interne. Nous donnons ici quelques ´l´ments, mais ee e ee l’expos´ oral du cours s’appuiera sur le document [8]. e 16.2.1 Pr´sentation de la m´thode statistique e e L’id´e g´n´rale est de mod´liser la perte li´e au risque op´rationnel pour une p´riode donn´e (par e e e e e e e e exemple, un an) et d’en d´duire la valeur en risque. La difficult´ provient du fait que cette perte ne e e correspond pas forc´ment ` une seule occurence. Pendant une ann´e, la perte totale est en fait le r´sultat e a e e de plusieurs pertes successives. La perte totale est donc une perte agr´g´e (aggregate loss distribution). e e Celle-ci se d´finit par e 1. le nombre de pertes individuelles, 2. et le montant de chaque pertes individuelles. Dans le cadre d’un mod`le probabiliste, le nombre de pertes est al´atoire. A priori, nous ne savons e e pas combien de fraudes “carte bleue” vont avoir lieu pour l’ann´e 2002. Nous allons donc mod´liser ce e e nombre de pertes par un processus de comptage, et la distribution de ce nombre de pertes est appel´e e la distribution de la fr´quence des pertes (loss frequency distribution). Nous supposons alors que les e pertes individuelles sont ind´pendantes et identiquement distribu´es. La distribution du montant d’une e e perte individuelle est appel´e la distribution de la s´v´rit´ des pertes (loss severity distribution). Dans e e e e ce cas l`, la perte agr´g´e est la somme al´atoire des pertes individuelles. La distribution de la perte a e e e agr´g´e est donc une distribution compos´e (compound distribution). e e e La formulation math´matique est donc la suivante. Nous consid´rons diff´rentes lignes de m´tier (i = e e e e 1, . . . , I) et diff´rents types de risque (j = 1, . . . , J). ζ (i, j) est la variable al´atoire repr´sentant le e e e montant d’une perte pour la ligne de m´tier i et le type de risque j. La distribution de la s´v´rit´ des e e e e pertes est not´e Fi,j . Nous supposons que le nombre d’occurences entre les dates t et t+τ est al´atoire. La e e variable al´atoire de comptage N (i, j) a une fonction de probabilit´ pi,j . La distribution de la fr´quences e e e n des pertes Pi,j correspond alors ` Pi,j (n) = k=0 pi,j (k). La perte pour la ligne de m´tier i et le type a e N (i,j) de risque j entre les dates t et t + τ est donc ϑ (i, j) = n=0 ζ n (i, j). Soit Gi,j la distribution de probabilit´ de ϑ (i, j). Gi,j est la distribution compos´e suivante : e e ∞ pi,j (n) Fn (x) x0 i,j Gi,j (x) = n=1 (16.8) p (0) x=0 i,j Le graphique (16.1) pr´sente un exemple de calcul de la distribution de la perte agr´g´e. Dans de nom- e e e breux cas, il n’est pas possible d’obtenir une formulation analytique de Gi,j . Dans ce cas, nous pouvons 16.2. L’APPROCHE LDA 179
- 190. ´ CHAPITRE 16. LES METHODES AMA GRAPHIQUE 16.1. Distribution agr´g´e avec ζ (i, j) ∼ LN (8, 2.2) et N (i, j) ∼ P (50) e e approximer cette distribution en utilisant la m´thode de Monte Carlo ou d’autres m´thodes (la plus e e c´l`bre est l’algorithme de Panjer). ee La charge en capital pour la ligne de m´tier i et le type de risque j correspond alors au quantile α de e Gi,j : CaR (i, j; α) = G−1 (α) = inf {x | Gi,j (x) ≥ α} i,j (16.9) La charge en capital pour la banque est alors la somme de toutes les charges en capital CaR (i, j; α) : I J CaR (α) = CaR (i, j; α) (16.10) i=1 j=1 Cela implique une d´pendance positive parfaite des diff´rentes pertes ϑ (i, j). En janvier 2001, le Comit´ e e e de Bˆle sugg´rait α ´gal ` 99.9%. Maintenant, α est fix´ ` 99%. a e e a ea 16.2.2 Robustesse de l’approche LDA Certaines banques ont l’intention de fonder leur mod`le interne sur la th´orie des extrˆmes et non e e e sur l’approche LDA. Suite ` l’attaque terroriste sur le World Trade Center, il semblerait (tout cela est a a ` prendre au conditionnel) que Roger Cole soit de plus en plus favorable ` la th´orie des extrˆmes. Je a e e pense que c’est une mauvaise vision des choses pour diff´rentes raisons : e – La th´orie des extrˆmes est math´matiquement s´duisante. En pratique, elle n´cessite une expertise e e e e e importante et un certain recul pour “lui faire dire quelque chose”. – L’obstacle majeur ` la mise en place d’une m´thode bas´e sur la th´orie des extrˆmes est la dispo- a e e e e nibilit´ de donn´es. e e – Enfin, je crois qu’il y a confusion entre “th´orie des extrˆmes” et “mod´lisation des queues ´paisses”. e e e e Dans le document [8], nous pr´sentons diff´rents ´l´ments pour bien impl´menter la m´thode LDA. Le e e ee e e calcul des charges en capital par la m´thode LDA doit se faire en concertation avec le risk manager et son e INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 180
- 191. ´ CHAPITRE 16. LES METHODES AMA N τ 1 million 10 millions 100 millions 1 milliard 5 milliards 100 1 an 99.8 51.4 3.7 0.08 0.00 200 2 ans 99.9 76.4 7.2 0.17 0.00 300 3 ans 100.0 88.5 10.7 0.26 0.01 400 4 ans 100.0 94.4 14.0 0.35 0.01 500 5 ans 100.0 97.3 17.2 0.44 0.02 1000 10 ans 100.0 99.9 31.4 0.89 0.04 5000 50 ans 100.0 100.0 84.9 4.38 0.20 TABLE 16.1. µ = 10 and σ = 2.50 N τ 1 million 10 millions 100 millions 1 milliard 5 milliards 100 1 an 99.9 73.1 10.4 0.48 0.03 200 2 ans 100.0 92.7 19.7 0.95 0.07 300 3 ans 100.0 98.0 28.1 1.43 0.10 400 4 ans 100.0 99.4 35.5 1.91 0.14 500 5 ans 100.0 99.8 42.2 2.38 0.18 1000 10 ans 100.0 99.9 66.7 4.70 0.36 5000 50 ans 100.0 100.0 99.5 21.42 1.80 TABLE 16.2. µ = 10 and σ = 2.75 ´quipe. Il est n´cessaire de comprendre les chiffres, de les interpr´ter et de les comparer. Le statisticien e e e apporte une aide technique, et doit proposer des outils pour aider le risk manager ` juger la pertinence a des r´sultats. Prenons un exemple. Nous pouvons calculer la fonction de survie du maximum de N pertes e de loi de probabilit´ Gi,j . Nous avons e N pmax := Pr {max (ϑ1 (i, j) , . . . , ϑN (i, j)) ≥ x} = 1 − [Gi,j (x)] (16.11) Cette probabilit´ a une interpr´tation tr`s intuitive. Supposons que N pertes surviennent. pmax est la e e e probabilit´ que la perte maximale soit sup´rieure au montant x. Le Risk Management a des id´es (ou des e e e benchmarks internes et externes) sur la perte maximale ` un an, deux ans, etc. Il peut donc confronter a ces propres croyances avec les r´sultats donn´s par le mod`le. Supposons que 100 pertes surviennent e e e en moyenne par an. Supposons aussi que la distribution de la s´v´rit´ est une distribution log-normale e e e LN (µ, σ). Une premi`re estimation ` partir des donn´es historiques donne µ = 10 et σ = 2, 50. Sur la e a e table 16.1, nous avons report´ les valeurs correspondantes de pmax pour diff´rentes valeurs de N et x. e e Par exemple, la probabilit´ que nous observons une perte maximale sur 5 ans sup´rieure ` 100 millions e e a est de 17, 2%. Si l’estimation a ´t´ faite avec un historique de 5 ans, et que nous observons dans la base ee de donn´es plusieurs pertes sup´rieures ` 100 millions, nous pouvons penser que cette distribution sous- e e a estime largement les pertes exceptionnelles. Si µ = 10 et σ = 2, 50, nous obtenons la table 16.2. Dans ce cas, la probabilit´ est ´gale ` 42,2%. C’est ce genre d’outils que le statisticien doit fournir au risk e e a manager, car une mesure de risque ne veut rien dire en elle-mˆme, c’est sa compr´hension e e et son interpr´tation qui comptent. e 16.3 Le mapping IMA/LDA Je pr´senterai cette section en cours de fa¸on plus d´taill´e, car les travaux sur ce sujet ´voluent tr`s e c e e e e rapidement. Le mapping IMA/LDA consiste ` d´finir de fa¸on quantitative la m´thode IMA ` partir de la a e c e a m´thode LDA (Frachot, Georges et Roncalli [2001]). On peut penser en effet que l’IMA a ´t´ con¸ue e ee c comme une version simplifi´e, praticable et standardis´e d’une approche de type LDA plus compl`te et e e e plus satisfaisante mais plus compliqu´e ` mettre en œuvre. Au mois de septembre 2001, la situation sur e a le sujet est la suivante : – Proposition d’une m´thodologie par Sakura Bank au mois de F´vrier 2001. e e – Prolongement de cette m´thodologie par l’I.I.F. Taskforce on “technical” I.M.A. issues. e 16.3. LE MAPPING IMA/LDA 181
- 192. ´ CHAPITRE 16. LES METHODES AMA La derni`re proposition de l’I.I.F. est de d´finir l’indice de profil de risque par e e 1 EIIndustry · PEIndustry 2 RPI = EIBank · PEBank On peut justifier cette formulation en utilisant une approximation du quantile α de la distribution com- pos´e (Frachot, Georges et Roncalli [2001]). e 16.4 L’approche Scorecard Cette approche a ´t´ int´gr´e dans le dernier document de Bˆle. Comme il est difficile de comprendre ee e e a cette m´thode, voici la d´finition donn´e dans le document [2] : e e e In this approach, banks determine an initial level of operational risk capital at the firm or business line level, and then modify these amounts over time on the basis of scorecards that attempt to capture the underlying risk profile and risk control environment of the various business lines. These scorecards are intended to bring a forward-looking component to the capital calculations, that is, to reflect improvements in the risk control environment that will reduce both the frequency and severity of future operational risk losses. The scorecards may be based on actual measures of risk, but more usually identify a number of indicators as proxies for particular risk types within business units/lines. The scorecard will normally be completed by line personnel at regular intervals, often annually, and subject to review by a central risk function. In order to qualify for the AMA, a scorecard approach must have a sound quantitative basis, with the overall size of the capital charge being based on a rigorous analysis of internal and external loss data. In some cases, scorecard approaches are based on initial estimation methods that are similar to those used in internal measurement or loss distribution approaches. Where the scorecard approach differs from these approaches is that it relies less exclusively on historical loss data in determining capital amounts. Instead, once the size of the capital charge has been determined, its overall size and its allocation across business lines may be modified on a qualitative basis. Nevertheless, historical loss data must be used to validate the results of scorecards, with adjustments to capital size or allocation based upon such results. At present, a range of scorecard approaches are in development with some banks already operating a system of economic capital allocation based on such an approach. However, as with the other approaches, no industry standards has emerged. En fait, c’est sous la pression de certaines banques de l’IIF (notamment les banques anglaises) que cette m´thode a ´t´ int´gr´e par le Comit´ de Bˆle. Pour mieux comprendre l’approche, voici la formule1 e ee e e e a propos´e par l’IIF : e I J CaR = EI (i, j) · ω (i, j) · RS (i, j) (16.12) i=1 j=1 avec EI l’indicateur d’exposition (Exposure Indicator), RS le score de risque (Risk Score) et ω le facteur d’´chelle. e Bibliographie [1] Basel Committee on Banking Supervision, Operational Risk — Consultative Document, Supporting document to the New Basel Capital Accord, January 2001 1 Dans la formule originale, c’est la racine car´e de l’indicateur d’exposition et non directement l’indicateur d’exposition e qui est utilis´e. A l’´poque, l’IIF travaillait sur la nature non-lin´aire du risque op´rationnel. Mais le Comit´ de Bˆle n’a e e e e e a pas suivi les recommandations de l’IIF sur ce sujet pour l’instant. INTRODUCTION A LA GESTION DES RISQUES 182
- 193. [2] Basel Committeeon Banking Supervision, Working Paper on the Regulatory Treatment of Operational Risk, september 2001 [3] Institute International Finance, Inc, Letter to Mr. Roger Cole, March 1, 2001 [4] Institute International Finance, Inc, Report of the Working Group on Operational Risk, June 4 5, 2001 (Washington, D.C.) [5] I.I.F. Taskforce on “technical” I.M.A. issues, March 2001 [6] Sakura Bank Ltd, Derivation of the IMA formula — RPI calculation, February 2001 [7] Mori, T. et E. Harada [2001], Internal Measurement Approach to operational risk capital charge, Bank of Japan, Discussion Paper [8] Frachot, A., P. Georges et T. Roncalli [2001], Loss Distribution Approach for operational risk, Groupe de Recherche Op´rationnelle, Cr´dit Lyonnais, Working Paper e e [9] Klugman, S.A., H.H. Panjer et G.E. Willmot [1998], Loss Models : From Data to Decisions, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, John Wiley Sons, New York [10] Thoraval, P-Y. [2001], Le risque op´rationnel, Club Banque, F´d´ration des Banques Fran¸aises, e e e c 27 septembre 2001
- 195. Conclusion g´n´rale e e Le but de ce cours est d’introduire les principales notions de gestion des risques. Pour cela, il me semble que la r´glementation est le meilleur support possible pour d´velopper les id´es essentielles. Bˆle II occupe e e e a donc une place importante. N´anmoins, les m´thodologies ne sont pas fig´es. Il est donc important de e e e suivre les d´veloppements r´cents dans diff´rents domaines, par exemple : e e e – le risque optionnel, – le risque de mod`le, e – le risque de taux dans le bilan, – la mod´lisation du risque de cr´dit, e e – et le backtesting dans le risque op´rationnel. e Enfin, j’ai tr`s peu abord´ un probl`me qui est fondamental dans la gestion des risques : celui de la e e e d´pendance stochastique. Ce probl`me fera l’objet du cours “Gestion des risques multiples”. e e