alpha beta version

1. 1 | P a g e
Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal
Filière d’Ingénieurs d’état : Génie Electrique
Option : Electrotechnique et Electronique
Industrielle (GE : EEI)
Semestre 5
MODULE : Régimes Transitoires Des
Machines Electriques Tournantes
RAPPORT DES TRAVAUX DE
SIMULATION
Modélisation De La Machine Asynchrone Dans Le Repère (α, β)
Sur MATLAB SIMULINK
Réalisé par : Encadré par :
OUMHELLA Youssef PR. RAMZI Mohamed
Année universitaire : 2021-2022

2. 2 | P a g e
I. Objectifs :
L’objectif de ce rapport c’est de faire une modélisation de la machine asynchrone dans le
repère (α, β) et de la simuler sur MATLAB SIMULINK.
Pour ce faire, il faut mettre toutes les équations d’état régissant le fonctionnement de la
machine asynchrone comme le modèle décrit ci-dessous :
 Les vecteurs d’entrée : système de tension triphasé (Va, Vb, Vc)
 Les vecteurs de sortie : Vecteur
|𝑿|: |
𝝋𝒔𝜶
𝝋𝒔𝜷
𝝋𝒓𝜶
𝝋𝒓𝜷
| ; |
|
𝒊𝒔𝜶
𝒊𝒔𝜷
𝒊𝒓𝜶
𝒊𝒓𝜷
|
| ; |
𝒊𝒔𝜶
𝒊𝒔𝜷
𝝋𝒓𝜶
𝝋𝒓𝜷
| ; |
𝝋𝒔𝜶
𝝋𝒔𝜷
𝒊𝒓𝜶
𝒊𝒓𝜷
|
On choisira un vecteur ayant la forme suivante : |𝑿| = |
𝒊𝒔𝜶
𝒊𝒔𝜷
𝝋𝒓𝜶
𝝋𝒓𝜷
|
Les équations d’état régissant le fonctionnement de la machine asynchrone peuvent se mettre
sous la forme suivante :
|𝑿
̇ | = |𝑨|.|𝑿| + |𝑩|.|𝑽|
 |𝑿|: Vecteur d'état composé des n variables d'état
 |𝑨|: Matrice dynamique du système
 |𝑩|: Matrice de commande du système
 |𝑽|: Vecteur entrée
Donc, dans ce qui suit on va définir toutes les régissant le fonctionnement de la machine
asynchrone et on va chercher à les écrire sous la forme précédente.

3. 3 | P a g e
II. Équations régissant le fonctionnement de la machine
asynchrone dans le repère (α, β) :
1. Les équations du flux régissant le fonctionnement de la
machine asynchrone dans le repère (α, β)
Les équations électromagnétiques de la machine dans le repère (α, β) s’écrivent :
Avec :
 Remarque :
 La composante homopolaire du courant rotorique ir0 ne crée aucun flux dans
l’armature du stator.
 De même pour la composante homopolaire du courant statorique is0, elle ne
crée aucun flux dans l’armature rotorique.

4. 4 | P a g e
1.1 Au stator :
𝝋𝒔𝜶
= 𝒍𝒔.𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓. 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒓𝜶
− 𝒎𝒔𝒓.𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒓𝜷
𝝋𝒔𝜷
= 𝒍𝒔. 𝒊𝒔𝜷
+ 𝒎𝒔𝒓.𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒓𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓.𝒄𝒐𝒔𝜽.𝒊𝒓𝜷
𝜱
̅𝒔(𝒔) = (𝝋𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝝋𝒔𝜷
)
𝜱
̅𝒔(𝒔) = 𝒍𝒔𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽.𝒊𝒓𝜶
− 𝒎𝒔𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒓𝜷
+ 𝒋. ( 𝒍𝒔𝒊𝒔𝜷
+ 𝒎𝒔𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒓𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒓𝜷
)
𝜱
̅ 𝒔(𝒔) = 𝒍𝒔 (𝒊𝒔𝜶
+ 𝒋𝒊𝒔𝜷
)
⏟
𝑰
̅𝒔(𝒔)
+ 𝒎𝒔𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒊𝒏𝜽)
⏟
𝒆𝒋.𝜽
𝒊𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝒎𝒔𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒋𝒔𝒊𝒏𝜽)
⏟
𝒆𝒋.𝜽
𝒊𝒓𝜷
1.2 Au rotor :
𝝋𝒓𝜶
= 𝒍𝒓. 𝒊𝒓𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓. 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓. 𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒔𝜷
𝝋𝒓𝜷
= 𝒍𝒓. 𝒊𝒓𝜷
− 𝒎𝒔𝒓. 𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓. 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒔𝜷
𝜱
̅𝒓(𝒓) = (𝝋𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝝋𝒓𝜷
)
𝜱
̅𝒓(𝒓) = 𝒍𝒓𝒊𝒓𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒔𝜷
+ 𝒋. ( 𝒍𝒓𝒊𝒓𝜷
− 𝒎𝒔𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒊𝒔𝜶
+ 𝒎𝒔𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒊𝒔𝜷
)
𝜱
̅𝒓(𝒓) = 𝒍𝒓 (𝒊𝒓𝜶
+ 𝒋𝒊𝒓𝜷
)
⏟
𝑰
̅𝒓(𝒓)
+ 𝒎𝒔𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒋. 𝒔𝒊𝒏𝜽)
⏟
𝒆−𝒋.𝜽
𝒊𝒔𝜶
+ 𝒋𝒎𝒔𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒋. 𝒔𝒊𝒏𝜽)
⏟
𝒆−𝒋.𝜽
𝒊𝒔𝜷
𝜱
̅𝒓(𝒓) = 𝒍𝒓.𝑰
̅𝒓(𝒓) + 𝒎𝒔𝒓.𝒆−𝒋.𝜽
. 𝑰
̅𝒔(𝒔)
𝜱
̅𝒔(𝒔) = 𝒍𝒔.𝑰
̅𝒔(𝒔)+ 𝒎𝒔𝒓.𝒆𝒋.𝜽
.𝑰
̅𝒓(𝒓)

5. 5 | P a g e
2. Équations des tensions régissant le fonctionnement de la
machine asynchrone dans le repère (α, β) :
2.1 Au stator :
𝒗𝒔𝜶
= 𝑹𝒔.𝒊𝒔𝜶
+
𝒅𝝋𝒔𝜶
𝒅𝒕
; 𝒗𝒔𝜷
= 𝑹𝒔. 𝒊𝒔𝜷
+
𝒅𝝋𝒔𝜷
𝒅𝒕
𝑽
̅𝒔(𝒔) = 𝒗𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝒗𝒔𝜷
= 𝑹𝒔.(𝒊𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝒊𝒔𝜷
)
⏟
𝑰
̅𝒔(𝒔)
+
𝒅𝝋𝒔𝜶
𝒅𝒕
+ 𝒋.
𝒅𝝋𝒔𝜷
𝒅𝒕
⏟
𝒅𝜱
̅ 𝒔 (𝒔)
𝒅𝒕
Avec :
 𝑽
̅𝒔(𝒔): Tension rotorique dans le référentiel statorique
 𝑰
̅𝒔(𝒔): Courant rotorique dans le référentiel statorique
 𝜱
̅𝒔(𝒔): Flux rotorique dans le référentiel statorique
2.2 Au rotor :
𝒗𝒓𝜶
= 𝑹𝒓. 𝒊𝒓𝜶
+
𝒅𝝋𝒓𝜶
𝒅𝒕
; 𝒗𝒓𝜷
= 𝑹𝒓. 𝒊𝒓𝜷
+
𝒅𝝋𝒓𝜷
𝒅𝒕
𝑽
̅𝒓(𝒓) = 𝒗𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝒗𝒓𝜷
= 𝑹𝒓. (𝒊𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝒊𝒓𝜷
)
⏟
𝑰
̅𝒓(𝒓)
+
𝒅𝝋𝒓𝜶
𝒅𝒕
+ 𝒋.
𝒅𝝋𝒓𝜷
𝒅𝒕
⏟
𝒅𝜱
̅ 𝒓(𝒓)
𝒅𝒕
Avec :
 𝐕
̅𝐫(𝐫): Tension rotorique dans le référentiel rotorique
 𝐈̅𝐫(𝐫): Courant rotorique dans le référentiel rotorique
 𝚽
̅𝐫(𝐫): Flux rotorique dans le référentiel rotorique
𝑽
̅𝒓(𝒓) = 𝑹𝒓.𝑰
̅𝒓(𝒓) +
𝒅𝜱
̅ 𝒓(𝒓)
𝒅𝒕
𝑽
̅𝒔(𝒔) = 𝑹𝒔. 𝑰
̅𝒔(𝒔)+
𝒅𝜱
̅𝒔(𝒔)
𝒅𝒕

6. 6 | P a g e
3. Expressiondu couple Cem dans le repère (α, β) :
Si la matrice de passage A est indépendante de Ѳ (Ce qui est notre cas), Cem peut s’écrire :
III. La représentation vectorielle du système d'équations :
D’après tous ce qui est précède
𝑽
̅𝒔(𝒔) = 𝑹𝒔.𝑰
̅𝒔(𝒔) +
𝒅𝜱
̅ 𝒔(𝒔)
𝒅𝒕
(1)
𝑽
̅𝒓(𝒓) = 𝑹𝒓. 𝑰
̅𝒓(𝒓)+
𝒅𝜱
̅ 𝒓(𝒓)
𝒅𝒕
(2)
𝜱
̅𝒔(𝒔) = 𝒍𝒔.𝑰
̅𝒔(𝒔)+ 𝒎𝒔𝒓.𝒆𝒋.𝜽
.𝑰
̅𝒓(𝒓) (3)
𝜱
̅𝒓(𝒓) = 𝒍𝒓.𝑰
̅𝒓(𝒓)+ 𝒎𝒔𝒓.𝒆−𝒋𝜽
. 𝑰
̅𝒔(𝒔) (4)
(4) ⟹ 𝑰
̅𝒓(𝒓) =
𝜱
̅ 𝒓(𝒓)−𝒎𝒔𝒓.𝒆−𝒋.𝜽
.𝑰
̅𝒔
𝒍𝒓
(5)
(5) ⟹ 𝑰
̅̇
𝒓(𝒓) =
𝜱
̅̇
𝒓(𝒓)−𝒎𝒔𝒓.𝒆−𝒋.𝜽
.𝑰
̅̇
𝒔+𝒎𝒔𝒓.𝒋.𝜽.
̇ 𝒆−𝒋.𝜽
.𝑰
̅𝒔
𝒍𝒓
(1) ⟹𝑽
̅𝒔(𝒔)− 𝑹𝒔𝑰
̅𝒔(𝒔) = 𝜱
̅̇
𝒔 = 𝒍𝒔𝑰
̅𝒔(𝒔) + 𝒎𝒔𝒓.𝒆𝒋.𝜽. 𝑰
̅𝒓(𝒓)
⏞
.
𝜱
̅̇
𝒔 = 𝒍𝒔𝑰
̅𝒔(𝒔) + 𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋𝜽. 𝑰
̅𝒓(𝒓)
⏞
.
= 𝒍𝒔𝑰
̅̇
𝒔 + 𝒋𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓.𝒆𝒋𝜽
. 𝑰
̅𝒓(𝒓)+ 𝒎𝒔𝒓.𝒆𝒋.𝜽
.𝑰
̅̇
𝒓(𝒓)
𝜱
̅̇
𝒔 = 𝒍𝒔. 𝑰
̅̇
𝒔 + 𝒋𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋.𝜽
. 𝑰
̅𝒓(𝒓)+
𝒎𝒔𝒓. 𝒆𝒋𝜽
𝒍𝒓
. [𝜱
̅̇
𝒓(𝒓) − 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽
. 𝑰
̅̇
𝒔 + 𝒎𝒔𝒓𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆−𝒋𝜽
. 𝑰
̅𝒔]
Puisque notre machine asynchrone est à rotor en court-circuit ceci implique que 𝑽
̅𝒓(𝒓) =0
D’où :
𝑰
̅𝒓(𝒓) =
−𝜱
̅̇
𝒓(𝒓)
𝑹𝒓
=
𝜱
̅𝒓(𝒓)− 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽.𝑰
̅𝒔
𝒍𝒓
𝑪𝒆 = 𝒑.
𝒎𝒔𝒓
𝒍𝒓
. (𝝋𝒓𝜶. 𝒊𝒔𝜷 − 𝝋𝒓𝜷. 𝒊𝒔𝜶)

7. 7 | P a g e
Alors :
𝜱
̅̇
𝒓(𝒓) = −
𝑹𝒓
𝒍𝒓
. [𝜱
̅𝒓(𝒓)− 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽
.𝑰
̅𝒔]
On déduit :
𝑽
̅𝒔 − 𝑹𝒔. 𝑰
̅𝒔 = 𝒍𝒔.𝑰
̅̇
𝒔 + 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋.𝜽
.[
𝜱
̅ 𝒓(𝒓)− 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽
. 𝑰
̅𝒔
𝒍𝒓
]
+
𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋.𝜽
𝒍𝒓
[−
𝑹𝒓
𝒍𝒓
(𝜱
̅𝒓(𝒓)− 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽
𝑰
̅𝒔)− 𝒎𝒔𝒓𝒆−𝒋𝜽
𝑰
̅̇
𝒔 + 𝑴. 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆−𝒋.𝜽
.𝑰
̅𝒔]
Ceci nous ramène à :
𝑽
̅𝒔 − 𝑹𝒔.𝑰
̅𝒔 = 𝒍𝒔. 𝑰
̅̇
𝒔 −
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
. 𝑰
̅̇
𝒔 + (
𝒋𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋.𝜽
𝒍𝒓
. 𝜱
̅𝒓(𝒓))− 𝒋. 𝜽.
̇
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
. 𝑰
̅𝒔
−
𝒎𝒔𝒓𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐 . 𝒆𝒋.𝜽
.𝜱
̅ 𝒓(𝒓)+
𝒎𝒔𝒓𝟐
.𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐 . 𝑰
̅𝒔 + 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
. 𝑰
̅𝒔
𝑽
̅𝒔 − 𝑹𝒔.𝑰
̅𝒔 = 𝒍𝒔𝑰
̅̇
𝒔 −
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
𝑰
̅̇
𝒔 + (
𝒋𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝒆𝒋.𝜽
𝒍𝒓
. 𝜱
̅𝒓(𝒓)) − 𝒋. 𝜽.
̇
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
. 𝑰
̅𝒔
−
𝒎𝒔𝒓𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐 . 𝒆𝒋.𝜽
.𝜱
̅ 𝒓(𝒓)+
𝒎𝒔𝒓𝟐
.𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐 . 𝑰
̅𝒔 + 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒓
. 𝑰
̅𝒔
Donc :
𝑽
̅𝒔 − 𝑹𝒔. 𝑰
̅𝒔 = 𝒍𝒔 (𝟏 −
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒔.𝒍𝒓
)𝑰
̅̇
𝒔 + (
𝒋. 𝜽̇
𝒍𝒓
−
𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐
)𝒆𝒋.𝜽
𝜱
̅𝒓(𝒓)𝒎𝒔𝒓 +
𝒎𝒔𝒓𝟐
.𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐
. 𝑰
̅𝒔
Enfin :
𝒍𝒔 (𝟏 −
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒔. 𝒍𝒓
)𝑰
̅̇
𝒔 = 𝒎𝒔𝒓 (
𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐
−
𝒋. 𝜽̇
𝒍𝒓
) 𝒆𝒋𝜽
𝜱
̅𝒓(𝒓)− (𝑹𝒔 +
𝒎𝒔𝒓𝟐
.𝑹𝒓
𝒍𝒓
𝟐
) . 𝑰
̅𝒔 + 𝑽
̅𝒔
On pose :
𝝈 = (𝟏 −
𝒎𝒔𝒓𝟐
𝒍𝒔.𝑳𝒓
); 𝑲𝒓 =
𝒎𝒔𝒓
𝒍𝒓
; 𝑹𝝈 = 𝑲𝒓
𝟐
.𝑹𝒓 + 𝑹𝒔; 𝝉𝒓 =
𝒍𝒓
𝑹𝒓
; 𝝉𝝈
′
= 𝝈.
𝒍𝒔
𝑹𝒔
; 𝜽̇ = 𝝎
On aura donc :
𝑰
̅̇
𝒔 =
𝑲𝒓
𝝈. 𝒍𝒔.𝒍𝒓
(𝟏 − 𝒋𝝎𝝉𝒓)𝜱
̅𝒓(𝒔)−
𝑹𝝈
𝝈. 𝒍𝒔
.𝑰
̅𝒔 +
𝑽𝒔
𝝈. 𝒍𝒔
𝒅𝒊𝒔𝜶
𝒅𝒕
+ 𝒋.
𝒅𝒊𝒔𝜷
𝒅𝒕
=
𝑲𝒓
𝝈. 𝒍𝒔.𝝉𝒓
(𝟏 − 𝒋𝝎𝝉𝒓). (𝝋𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝝋𝒓𝜷
) −
𝑹𝝈
𝝈. 𝒍𝒔
. (𝒊𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝒊𝒔𝜷
)+
𝒗𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝒗𝒔𝜷
𝝈. 𝒍𝒔

8. 8 | P a g e
𝒅𝒊𝒔𝜶
𝒅𝒕
= −
𝑹𝝈
𝝈. 𝒍𝒔
𝒊𝒔𝜶
+
𝑲𝒓
𝝈. 𝒍𝒔.𝝉𝒓
𝝋𝒓𝜶
+
𝑲𝒓
𝝈. 𝒍𝒔
𝝎𝝋𝒓𝜷
+
𝒗𝒔𝜶
𝝈. 𝒍𝒔
𝒅𝒊𝒔𝜶
𝒅𝒕
= −
𝒊𝒔𝜶
𝝉𝝈
′
+
𝑲𝒓
𝝉𝒓. 𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
. 𝝋𝒓𝜶
+
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
. 𝝎.𝝋𝒓𝜷
+
𝒗𝒔𝜶
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
𝒅𝒊𝒔𝜷
𝒅𝒕
= −
𝒊𝒔𝜷
𝝉𝝈
′
−
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
. 𝝎. 𝝋𝒓𝜶
+
𝑲𝒓
𝝉𝒓.𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
.𝝋𝒓𝜷
+
𝒗𝒔𝜷
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
𝜱
̅𝒓(𝒔) = 𝜱
̅𝒓(𝒓). 𝒆𝒋.𝜽
⟹ 𝜱
̅̇
𝒓(𝒔) = 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆𝒋.𝜽
. 𝜱
̅𝒓(𝒓)+ 𝜱
̅̇
𝒓(𝒓).𝒆𝒋.𝜽
𝜱
̅̇
𝒓(𝒔) = 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆𝒋.𝜽
. 𝜱
̅𝒓(𝒓)+ [
−𝑹𝒓
𝒍𝒓
. (𝜱
̅𝒓(𝒓) − 𝒎𝒔𝒓. 𝒆−𝒋.𝜽
. 𝑰
̅𝒔)]. 𝒆𝒋.𝜽
𝜱
̅̇
𝒓(𝒔) = 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆𝒋.𝜽
. 𝜱
̅𝒓(𝒓)+
𝒎𝒔𝒓.𝑹𝒓
𝒍𝒓
. 𝑰
̅𝒔 −
𝑹𝒓
𝒍𝒓
. 𝒆𝒋.𝜽
. 𝜱
̅𝒓(𝒓)
𝜱
̅̇
𝒓(𝒔) = 𝒋. 𝜽.
̇ 𝒆𝒋.𝜽. 𝜱
̅𝒓(𝒓)
⏞
𝜱
̅ 𝒓(𝒔)
+
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
. 𝑰
̅𝒔 −
𝒆𝒋.𝜽.𝜱
̅ 𝒓(𝒓)
⏞
𝜱
̅ 𝒓(𝒔)
𝝉𝒓
𝒅
𝒅𝒕
𝜱
̅𝒓(𝒔) +
𝜱
̅𝒓(𝒔)
𝝉𝒓
=
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
. 𝑰
̅𝒔 + 𝒋. 𝝎.𝜱
̅ 𝒓(𝒔)
𝒅𝝋𝒓𝜶
𝒅𝒕
+ 𝒋.
𝒅𝝋𝒓𝜷
𝒅𝒕
=
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
. (𝒊𝒔𝜶
+ 𝒋. 𝒊𝒔𝜷
) + 𝒋𝝎 (𝝋𝒓𝜶
+ 𝒋. 𝝋𝒓𝜷
) − (
𝝋𝒓𝜶
𝝉𝒓
+ 𝒋.
𝝋𝒓𝜷
𝝉𝒓
)
Enfin on a :
On déduit donc La matrice dynamique du système |𝑨| peut s’écrire :
|𝑨| =
|
|
|
−
𝟏
𝝉𝝈
′ 𝟎
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝝉𝒓𝑹𝝈
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝑹𝝈
.𝝎
𝟎 −
𝟏
𝝉𝝈
′ −
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝑹𝝈
. 𝝎
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝝉𝒓𝑹𝝈
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
𝟎 −
𝟏
𝝉𝒓
−𝝎
𝟎
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
𝝎 −
𝟏
𝝉𝒓
|
|
|
𝒂𝟏 = −
𝟏
𝝉𝝈
′
𝒂𝟐 =
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝝉𝒓𝑹𝝈
𝒂𝟑 =
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ 𝑹𝝈
𝒂𝟒 =
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
𝒂𝟓 = −
𝟏
𝝉𝒓
𝒅𝒊𝒔𝜶
𝒅𝒕
= −
𝒊𝒔𝜶
𝝉𝝈
′ +
𝑲𝒓
𝝉𝒓.𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
.𝝋𝒓𝜶
+
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
. 𝝎.𝝋𝒓𝜷
+
𝒗𝒔𝜶
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
𝒅𝒊𝒔𝜷
𝒅𝒕
= −
𝒊𝒔𝜷
𝝉𝝈
′ −
𝑲𝒓
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
.𝝎.𝝋𝒓𝜶
+
𝑲𝒓
𝝉𝒓.𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
. 𝝋𝒓𝜷
+
𝒗𝒔𝜷
𝝉𝝈
′ . 𝑹𝝈
𝒅𝝋𝒓𝜶
𝒅𝒕
=
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
. 𝒊𝒔𝜶
−
𝝋𝒓𝜶
𝝉𝒓
− 𝝎.𝝋𝒓𝜷
𝒅𝝋𝒓𝜷
𝒅𝒕
=
𝒎𝒔𝒓
𝝉𝒓
.𝒊𝒔𝜷
+ 𝝎. 𝝋𝒓𝜶
−
𝝋𝒓𝜷
𝝉𝒓

9. 9 | P a g e
|𝑨| Peut se mettre sous la forme : |𝑨| = |𝑨𝟏| + 𝝎.|𝑨𝟐|
|𝑨𝟏| = |
𝒂𝟏 𝟎 𝒂𝟐 𝟎
𝟎 𝒂𝟏 𝟎 𝒂𝟐
𝒂𝟒 𝟎 𝒂𝟓 𝟎
𝟎 𝒂𝟒 𝟎 𝒂𝟓
| ; |𝑨𝟐| = |
𝟎 𝟎 𝟎 𝒂𝟑
𝟎 𝟎 −𝒂𝟑 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
|
La matrice de commande |𝑩| s'écrit comme suit :
|𝑩| =
|
|
𝟏
𝝉𝝈
′ 𝑹𝝈
𝟎
𝟎
𝟏
𝝉𝝈
′ 𝑹𝝈
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
|
|
IV. Modélisation de la machine asynchrone sur MATLAB
SIMULINK :
Le figure ci-dessousreprésente le modèlede la machine asynchrone surMatlabSimulink :

10. 10 | P a g e
V. Modélisation de la machine asynchrone sur MATLAB
SIMULINK :
1. Les tensions d’entrée dans le repère triphasé :
2. Les tensions d’entrée dans le repère diphasé :

11. 11 | P a g e
3. Le courant Is alpha :
4. Le courant Is beta :
 Le courant appelé au démarrage est élevé (presque 5 fois) et normalement après un
certain temps correspondant au régime transitoire, ce courant se stabilise.

12. 12 | P a g e
5. Le flux rotorique phi r alpha :
6. Le flux rotorique phi r beta :

13. 13 | P a g e
7. Le couple électromagnétique :
 La valeur du couple électromagnétique tend vers celle du couple résistant qui est nulle
après un régime transitoire.
 Si on change la valeur du couple résistant à 5 N.M on obtient la courbe suivante :