Modelisation d'un Robot capable d'écrire, le PARVUS

GMC-3001 Modélisation en ingénierie
TP3
Le Robot Parvus
Réalisé par
Nom Matricule
DEGALY WILSON Emilia Lechka Georgette DEGE14865
MOHAMED SEROUIS Alioum MOHA13780

Rapport TP3 Modélisation en Ingénierie
Degaly Wilson – Mohamed Serouis
Table des Matières
I. Mise en situation 3
II. Conception et dessin du Robot 3
1. Le corps du robot 4
2. Les Bras du robot 5
3. L’effecteur 7
4. Les Liaisons 8
III. Equations régissant le système 8
1. Equation permettant de déterminer Ө 9
2. Equation permettant de déterminer ф 9
3. Plausibilité des solutions 9
IV. Cinématique Inverse 11
1. Tracé du triangle 11
2. Tracé de la lettre « M » 13
V. Simulation du système 14
1. Importation des données 14
2. Simulation du robot à l’aide de Catia 15
VI. Conclusion 17
Annexe 20
Equations 20
Figures 20

I. Mise en situation
Dans ce devoir il était question de réaliser un robot qui est capable d’écrire une lettre de notre
choix à l’aide du logiciel Catia. Dans Maple, on devait rédiger les équations qui permettraient
à ce robot d’écrire la lettre en question.
Le robot est constitué de deux bras assimilables à deux double pendules pouvant effectuer des
rotations dans le plan XY. Ce document montre en détail comment les processus de
conception, d’animation et de simulation du robot ont été réalisés dans le but de répondre au
cahier de charges du TP.
II. Conception et dessindu Robot
Pour mener à bien le travail demandé, il a d’abord été question de dessiner une esquisse du
robot Parvus sur Catia pour essayer de voir comment pouvait fonctionner le mécanisme. Une
tâche onéreuse qui a quand même pris du temps car il n’a pas été facile de trouver le bon
design et en absence d’une fiche technique du robot, il a fallu tout imaginer.
Nous sommes tout de même parvenus au résultat suivant :

FIGURE 1- DESSIN DU ROBOT
Les différentes pièces seront montrées avec plus de détails dans la suite de ce rapport
1. Le corps du robot
Cette pièce était la plus difficile à réaliser car, dans le but de minimiser le nombre de
contraintes, le corps a été réalisé en un seul bloc. Pour rendre la pièce la plus fidèle à la
réalité, il a fallu faire plusieurs extrusions consécutives, et on a du travailler dans l’atelier
Generative Shape Design de Catia. Il sera présent dans les pièces jointes au rapport sous le
nom de « CorpsRebuilt ».

FIGURE 2- CORPS DU ROBOT
2. Les Bras du robot
Les bras du robot donnaient l’impression à première vue d’être identiques deux à deux, mais
un problème de pénétration de matière dans la matière nous a fait comprendre qu’il fallait les
dessiner de manière à ce qu’ils puissent s’imbriquer les uns dans les autres.
Il a donc fallu faire des bras plus ou moins différents les uns les autres :
i. Les bras reliés aux moteurs
Ils sont tous les deux identiques, et se fixent aux moteurs pour se terminer à la liaison avec les
seconds bras.
Leur géométrie est la suivante :

FIGURE 3- BRAS MOTEURS
ii. Les bras reliés à l’effecteur
Pour qu’ils puissent rentrer l’un dans l’autre, il a été obligatoire de les faire différents, mais
tout en conservant la même longueur et les mêmes diamètres nominaux des trous car sinon le
mécanisme ne serait pas cohérent.
La géométrie choisie fut la suivante :

FIGURE 4- BRAS SECONDAIRES
3. L’effecteur
L’effecteur a été dessiné avec un réel souci de répondre fidèlement au modèle réel du robot
Parvus, raison pour laquelle il a été nécessaire de dessiner la forme ondulée qui ressemble à
un film sur la photographie du robot.
FIGURE 5- EFFECTEUR

4. Les Liaisons
En ce qui concerne les liaisons mécaniques dans ce système, elles sont pour la plupart des
liaisons pivot et des liaisons rigides.
L’image ci-dessous vous le montre avec plus de détails :
FIGURE 6- LIAISONS MECANIQUES DU ROBOT
III. Equations régissantle système
Comme il l’a été demandé dans la Partie I du cahier de charges, les équations permettant
d’obtenir les coordonnées cartésiennes de la position du point C en fonction des différents
paramètres du système sont :
Suivant (Ox) : 𝑥 𝑐 =
±𝐿𝑓
2
+ 𝐿𝑝𝐶𝑜𝑠( 𝜃) + 𝐿𝑑𝐶𝑜𝑠(ф)
Suivant (Oy) : 𝑦𝑐 = 𝐿𝑝𝑆𝑖𝑛( 𝜃) + 𝐿𝑑𝑆𝑖𝑛(ф)
ÉQUATION 1 - POSITION DE L'EFFECTEUR ENFONCTION DES PARAMETRES DUSYSTEME

Que ce soit pour les bras de gauche ou ceux de droite, on aura le même système d’équations.
En résolvant le système en question, on obtient deux équations très importantes car elles
permettent de déterminer les valeurs des angles ф et Ө en fonction de la position de
l’effecteur.
Cette méthode appelée cinématique inverse est d’une grande importance car elle nous
permettra de faire des animations du robot et lui permettre d’écrire la lettre « L »
Les équations sont les suivantes :
1. Equation permettant de déterminer Ө
(𝐿𝑑2
− 𝑥 𝑐
2
− 𝑦𝑐
2
−
1
4
𝐿𝑓2
− 𝐿𝑝2
)
2
= ((−2𝐿𝑝(𝑦𝑐 𝑆𝑖𝑛( 𝜃) + 𝑥 𝑐√1− (𝑆𝑖𝑛(𝜃))2) +
𝐿𝑓(−𝑥 𝑐 + 𝐿𝑝√1 − (𝑆𝑖𝑛( 𝜃))
2
))
2
ÉQUATION 2 - EQUATION PERMETTANT DE DETERMINER Ө
2. Equation permettant de déterminer ф
ф = tan−1
(
𝑦𝑐 − 𝐿𝑝𝑆𝑖𝑛(𝜃)
𝑥 𝑐 −
1
2
𝐿𝑓 − 𝐿𝑝𝐶𝑜𝑠(𝜃)
)
ÉQUATION 3 - EQUATION PERMETTANT DE DETERMINER Ф
A l’aide du logiciel Maple on peut aisément résoudre ces équations. Il sera donc question par
la suite de résoudre les équations en question et d’étudier leur plausibilité.
3. Plausibilité dessolutions
En résolvant l’équation (1) par exemple, on retrouve 4 solutions distinctes. Mais les solutions
ne fonctionnent pas toutes au même moment.

En effet, pour une position donnée de l’effecteur plusieurs configurations sont possibles ; le
fait qu’on ait 4 solutions veut donc dire qu’en principe on devrait avoir 16 configurations
différentes pour une même position donnée ! Cela est illogique au vu de certaines
configurations comme les suivantes :
Les deux bras se
rentrent l’un
dans l’autre,
chose qui est
physiquement
impossible.
FIGURE 7- SOLUTIONS PHYSIQUEMENT IMPOSSIBLES
Au final, seules deux configurations fonctionnent pour une même position de l’effecteur.
Il s’agit des configurations suivantes :
Les solutions
sont symétriques
FIGURE 8- CONFIGURATIONS POSSIBLES D ROBOT POUR UNE POSITION DONNEE

Sur la base des résultats obtenus, nous pouvons à présent effectuer la cinématique inverse,
dans le but d’imposer des valeurs aux angles pour que l’effecteur suive une trajectoire bien
définie.
IV. CinématiqueInverse
L’utilisation de la cinématique inverse nous sera d’une grande utilité pour permettre à
l’effecteur de se déplacer suivant une trajectoire bien définie.
Les équations liant les coordonnées cartésiennes de l’effecteur avec les paramètres du système
ayant été définies, il ne nous reste plus qu’à écrire leurs équations en fonction du temps. Ceci
nous a permis de tracer entre autres un triangle, ainsi que la lettre « M » de l’alphabet.
1. Tracé du triangle
Pour le faire, il a fallu tout d’abord définir les sommets du triangle et par la suite écrire les
relations entre le temps t et les coordonnées xc et yc de l’effecteur. Les équations sont les
suivantes :
𝑥 𝑐 = {
0 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 4𝑠
−15𝑡 + 60 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 6𝑠
7.5𝑡 − 75 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 10𝑠
𝑦𝑐 = {
80 + 15𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 4𝑠
140 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 6𝑠
−15𝑡 + 230 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 10𝑠
ÉQUATION 4 - EQUATIONS PERMETTANT A L'EFFECTEUR DE TRACER UN TRIANGLE
La vitesse de l’effecteur peut être calculée par la relation 𝑣𝑐 = √𝑥 𝑐
2 + 𝑦𝑐
2 .
Grâce à ces équations, on obtient le tracer suivant :

𝑡 ≤ 4𝑠 4𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 6𝑠 6𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 10𝑠
FIGURE 9- TRACE D'UN TRIANGLE
La trajectoire se fait suivant les coordonnées suivantes :
FIGURE 10- TRAJECTOIRE DE L'EFFECTEUR SUR LE PARCOURS EN TRIANGLE
Les trajectoires angulaires des moteurs sont les suivantes :
P2 (-30, 140)
P4 (0, 140)
P5 (0, 80)

FIGURE 11- TRAJECTOIRES ANGULAIRES DES MOTEURS POUR UNE TRAJECTOIRE TRIANGULAIRE
2. Tracé de la lettre « M »
De la même manière, il a d’abord été question de définir les équations permettant d’obtenir la
position de l’effecteur en fonction du temps. Les équations sont les suivantes :
𝑥 𝑐 = {
15 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 2𝑠
−7.5𝑡 + 30 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 6𝑠
−15 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 8𝑠
𝑦𝑐 = {
10𝑡 + 80 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 2𝑠
−5𝑡 + 110 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 4𝑠
5𝑡 + 70 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 6𝑠
−10𝑡 + 160 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 8𝑠
ÉQUATION 5 - EQUATIONS PERMETTANT A L'EFFECTEUR DE TRACER LA LETTRE M
Ces équations ont permis d’obtenir la trajectoire suivante :

𝑡 ≤ 2𝑠 2𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 6𝑠 𝑡 ≤ 8𝑠
FIGURE 12- TRACE DE LA LETTRE M
V. Simulation du système
Après avoir réalisé les étapes de modélisation, de calculs et d’animations du système pour
différents cas, il est désormais question dans cette partie de simuler le robot (assimilable à un
système constitué de deux double-pendules) à l’aide du logiciel Catia, dans l’atelier DMU
Kinematics.
Pour cela, il faudra tout d’abord récupérer les valeurs des angles calculés à l’aide de la
cinématique inverse pour une trajectoire donnée, ensuite de les importer dans Catia pour
commander les liaisons créées.
1. Importation des données
Les équations régissant le système ayant été écrites à l’aide du logiciel Maple, pour pouvoir
stocker les valeurs des angles et du temps il a fallu faire appel à la commande « writedata » :
Grâce à cette commande, les valeurs de tous les angles en fonction du temps sont stockées.
On s’attend donc à obtenir une matrice de 5 colonnes, mais ce n’est pas le cas ; on obtient le
document texte suivant :

Il a donc fallu passer par le logiciel Matlab pour rédiger un programme qui permet d’importer
les données contenues dans le document créé à l’aide de Maple, et à l’aide d’un système de
compteurs le résultat obtenu fut le suivant :
Ceci est bien le résultat que l’on attendait, donc on peut désormais stocker les données
organisées sous forme de matrice à l’aide de la commande « save » de Matlab :
Maintenant il ne reste plus qu’à les importer dans Catia pour commander les moteurs.
2. Simulation du robot à l’aide deCatia
Cette étape se fait dans l’atelier DMU Kinematics du logiciel Catia. Après avoir créé les
fichiers contenant les valeurs des angles en fonction du temps, on paramètre les liaisons
créées dans Catia. On obtient les résultats suivants :

FIGURE 13- TRACE DES ANGLES PAR CATIA
Comme prévu, les tracés des angles ф et Ө sont identiques à ceux obtenus à l’aide du logiciel
Maple. Le résultat final devrait donc être celui obtenu à lors de l’animation sur Maple.
Malheureusement cela n’est pas le cas ; malgré le fait que les courbes des angles dans Catia et
dans Maple soient identiques, lorsqu’on entame la simulation avec les lois qui ont été établies,
le mécanisme ne se comporte pas du tout comme il était prévu. Les deux bras se détachent
l’un de l’autre, le mouvement est de très faible amplitude et le déplacement des bras est
incohérent.
Cependant il y a tout de même quelque chose d’important : la trace laissée par l’effecteur se
rapproche de la trace désirée (le triangle qui a été tracé à l’aide de Maple) et la trajectoire en
question est plane. On peut bien l’observer sur la figure suivante :

Vue isolée Aperçu Vue de profil
FIGURE 14- TRACE DE L'EFFECTEUR APRES LA SIMULATION
Le détail le plus intéressant est que le contour ainsi dessiné est susceptible d’être extrudé. Ce
qu’il y a d’intéressant dans cette affirmation est qu’un contour ne peut être extrudé que s’il est
fermé.
Donc le contour tracé par le robot est un contour fermé, et en voici la preuve :
FIGURE 15- ANALYSE DE LA TRACE
Par contre nous reconnaissons que pour les dimensions du contour, cela ne coïncide pas avec
les données théoriquement calculées avec Maple.
C’est ainsi que s’achève la partie concernant la simulation du robot Parvus à l’aide de Catia.
VI. Conclusion
La conception, le dessin, la simulation, l’animation et toutes les tâches effectuées pour remplir
les conditions demandées par le cahier de charges du TP n’ont vraiment pas été simples. Les
animations et la résolution des équations laissaient croire que le reste des tâches sur Catia

serait plus ou moins facile, mais cela ne fut pas le cas. Il a fallu réassembler à plusieurs
reprises le robot pour être au moins sur la piste d’une éventuelle erreur, et quelques
hypothèses ont été émises.
Parmi elles, la plus plausible est celle de la liaison entre les bras secondaires. En effet, lors de
l’assemblage géométrique du robot nous avons imposé aux parties de ces deux bras qui sont
capables de s’imbriquer l’une dans l’autre (les extrémités du côté de l’effecteur) de toujours
avoir leurs axes coïncidents, car cela est tout à fait logique pour que l’effecteur ne rentre pas
dans l’un des bras, et qu’un bras ne rentre pas dans un autre.
Mais lorsque nous avons converti les liaisons géométriques en liaisons mécaniques, cela a
créé une liaison cylindrique entre ces deux bras. Chose totalement impossible.
Nous avons donc supprimé cette contrainte et essayé de la remplacer par une liaison rigide. Le
résultat a été catastrophique car le mécanisme devenait sur-contraint.
La solution a donc été de laisser tomber la contrainte mécanique, pour que le bras se déplace
comme il veut.
Dès le lancement de la simulation, la configuration changeait tout d’un coup :
Avant Après
FIGURE 16- CHANGEMENT DE LA CONFIGURATION DU SYSTEME
Les deux bras se séparent l’un de l’autre, et on n’obtient pas le résultat attendu.
La solution à ce problème réside sans doute dans la création d’une contrainte qui pourra
permettre aux deux bras de toujours rester joints et alignés pendant le mouvement des autres.
Le deuxième problème est celui des angles. Il semblerait que Catia ne permette pas de définir
une origine commune pour tous les angles, c’est-à-dire un seul repère pour toutes les pièces

du mécanisme. Nous le disons car nous pensons que si c’était le cas, la simulation sur Catia
aurait donné des résultats identiques à l’animation sur Maple car sur les deux logiciels, les
mêmes dimensions ont été utilisées : la longueur des bras primaires et secondaires, ainsi que
l’écart entre les moteurs.
De plus, l’affichage des lois montre bien que les tracés de Catia sont identiques à ceux de
Maple, concernant les angles. La simulation devrait donc donner le même résultat que celui
observé sur Maple.
Pour terminer, nous pouvons dire que ce TP nous a permis de développer nos compétences
sur les logiciels de calcul tels que Matlab et Maple, et sur les logiciels de CAO tels que Catia.
Grâce aux compétences acquises lors des cours de modélisation, aux recherches sur Internet et
à de grands efforts nous y sommes plus ou moins arrivés, même si l’objectif n’a pas été atteint
en totalité.
Mais cela n’est que le début car en dehors du cours, nous continuerons d’améliorer le robot et
de chercher à lui permettre de tracer des contours plus précis et plus complexes.
Des propositions ont déjà été faites, et les deux plus intéressantes sont
 Ecrire un programme qui permettra de dresser les équations de la cinématique inverse
pour chacune des lettres de l’alphabet, comme cela il sera plus simple de commander
le robot
 Ecrire un programme qui permettra à l’utilisateur de déterminer quel type de contour il
souhaiterait tracer (carré, rectangle, triangle) et par la suite il pourra importer les
données pour que le robot puisse le tracer dans Catia, et enfin il pourra utiliser le
contour tracé par le robot pour dessiner ce qu’il veut.
Ainsi se termine ce rapport concernant la modélisation du Robot Parvus.

Annexe
Equations
Équation 1 - Position de l'effecteur en fonction des paramètres du système ............................8
Équation 2 - Equation permettant de déterminer Ө..................................................................................9
Équation 3 - Equation permettant de determiner ф..................................................................................9
Équation 4 - Equations permettant à l'effecteur de tracer un triangle........................................11
Équation 5 - Equations permettant à l'éffecteur de tracer la lettre M.........................................13
Figures
Figure 1 - Dessin du robot..........................................................................................................................................4
Figure 2 - Corps du robot............................................................................................................................................5
Figure 3 - Bras moteurs................................................................................................................................................6
Figure 4 - Bras secondaires........................................................................................................................................7
Figure 5 - Effecteur..........................................................................................................................................................7
Figure 6 - Liaisons mécaniques du robot..........................................................................................................8
Figure 7 - Solutions physiquement impossibles........................................................................................10
Figure 8 - Configurations possibles d robot pour une position donnee......................................10
Figure 9 - Tracé d'un triangle................................................................................................................................12
Figure 10 - Trajectoire de l'effecteur sur le parcours en triangle...................................................12
Figure 11 - Trajectoires angulaires des moteurs pour une trajectoire triangulaire...........13
Figure 12 - Tracé de la lettre m............................................................................................................................14
Figure 13 - Tracé des angles par catia..............................................................................................................16
Figure 14 - Trace de l'effecteur apres la simulation................................................................................17
Figure 15 - Analyse de la trace..............................................................................................................................17
Figure 16 - Changement de la configuration du système lors de la simulation......................18

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