Cours_3_Analyse_des_systèmes.pdf

Commande des Systèmes Linéaires
Continus
Présenté par:
Pr Ahmed MOUTABIR
2020-2021

Titre de la leçon:
Analyse des Systèmes Asservis
Linéaires Continus

Objectifs du cours
Analyse des Systèmes Linéaires Continus 3
• La définition d’un système asservi et ses éléments:
- la consigne, le signal de retour, l’écart.
- la chaine directe, la chaine de retour.
• La définition de la boucle ouverte et la boucle fermée d’un
système asservi.
• L’étude de la stabilité d’un système asservi linéaire continu.
• L’étude de la précision d’un système asservi linéaire continu.

Notion de système asservi
Commande du système en boucle ouverte:
Problèmes:
• Aucune information sur les évolutions de la sortie:
- Le modèle du système (G(p)) n’est pas parfait.
- Le système est soumis aux perturbations.

Fonction de
transfert du système
𝑮(𝒑)
Fonction de
transfert du capteur
𝑯(𝒑)
+
-
Consigne E(p) Ecart 𝜺(𝒑) Sortie S(p)
Retour R(p)
Solution: Commande du système en boucle fermée.
Le système est bouclé:
• Mesure de la sortie.
• Comparaison de la sortie à une consigne.
• Le résultat de la comparaison donne l’information
sur l’évolution de la sortie.

𝑭𝑩𝑶 𝒑 =
𝑹 𝒑
𝜺 𝒑
= 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑)
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑺 𝒑
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑)
Fonction de transfert en boucle ouverte :
Fonction de transfert en boucle fermée :
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯 𝒑
Expression de l’erreur :
Caractéristiques du système asservi général :

𝑮(𝒑)
+-
𝑬(𝒑) 𝜺(𝒑) 𝑺(𝒑)
𝑹(𝒑)
𝑭𝑩𝑶 𝒑 =
𝑹 𝒑
𝜺 𝒑
= 𝑮 𝒑
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑺 𝒑
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
Système asservi à retour unitaire :

Système asservi à retour unitaire de 1er ordre:
𝑭𝑩𝑶 𝒑 = 𝑮 𝒑 =
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
𝟏 +
𝑲
𝟏 + 𝝉𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝑲 + 𝝉𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝑲
𝟏 +
𝝉
𝟏 + 𝑲 𝒑
=
𝑲′
𝟏 + 𝝉′𝒑

Système asservi à retour unitaire de 1er ordre:

Système asservi à retour unitaire de 2nd ordre:
𝑭𝑩𝑶 𝒑 = 𝑮 𝒑 =
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
𝑭𝑩𝑭 𝒑 =
𝑮(𝒑)
𝟏 + 𝑮 𝒑
=
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
𝟏 +
𝑲
𝟏 + 𝟐𝒎
𝒑
𝝎𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
=
𝑲
𝟏 + 𝑲
𝟏 +
𝟐𝒎
𝟏 + 𝑲
𝒑
𝝎𝒏
+
𝟏
𝟏 + 𝑲
𝒑𝟐
𝝎𝒏
𝟐
=
𝑲′
𝟏 + 𝟐𝒎′
𝒑
𝝎′𝒏
+
𝒑𝟐
𝝎′𝒏
𝟐

Système asservi à retour unitaire de 2nd ordre:

Stabilité des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
Définition de la stabilité:
Un système est stable si après une perturbation il revient
à son état d’équilibre.
Système toujours stable Système stable.
Après perturbation, il revient à son
état d’équilibre (après plusieurs
oscillations)
Système instable

Linéaire Continus
Définition de la stabilité:
Un système est stable si les pôles de sa fonction de
transfert en boucle fermée 𝐹𝐵𝐹(𝑝) sont réels négatifs ou
complexes à parties réelles négatives.

Linéaire Continus
Discussion de la stabilité selon la position du pôle:

Linéaire Continus
Etudier la stabilité des systèmes linéaires
continus en utilisant deux méthode:
• La méthode algébrique en étudiant le critère de
Routh.
• La méthode graphique par utilisation du critère
de revers dans les trois diagrammes (Bode,
Black et Nyquist).

Linéaire Continus
𝑫𝑭𝑩𝑭
𝒑 = 𝟏 + 𝑮 𝒑 𝑯(𝒑) = 𝒂𝒏𝒑𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒑𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒑𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒑 + 𝒂𝟎
𝐩𝐧 𝐚𝐧 𝐚𝐧−𝟐 𝐚𝐧−𝟒 …….. Les coefficients 𝐛𝐢 et 𝐜𝐢 sont
calculés comme suit :
𝐛𝟏 =
𝐚𝐧−𝟏𝐚𝐧−𝟐 − 𝐚𝐧𝐚𝐧−𝟑
𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟐 =
𝐚𝐧−𝟏𝐚𝐧−𝟒 − 𝐚𝐧𝐚𝐧−𝟓
𝐚𝐧−𝟏
𝐜𝟏 =
𝐛𝟏𝐚𝐧−𝟑 − 𝐛𝟐𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟏
𝐜𝟐 =
𝐛𝟏𝐚𝐧−𝟓 − 𝐛𝟑𝐚𝐧−𝟏
𝐛𝟏
𝐩𝐧−𝟏 𝐚𝐧−𝟏 𝐚𝐧−𝟑 𝐚𝐧−𝟓 ……..
𝐩𝐧−𝟐 𝐛𝟏 𝐛𝟐 𝐛𝟑 ……..
𝐩𝐧−𝟑 𝐜𝟏 𝐜𝟐 𝐜𝟑 ……..
𝐩𝟎 𝟎
Critère algébrique de stabilité ⟹ Critère de Routh:

Enoncé du critère de Routh :
• Si tous les termes de la 1ère colonne sont strictement
positifs alors les pôles sont soit réels négatifs ou
complexes à parties réelles négatives c’est-à-dire le
système étudié est stable.
• Si les termes de la 1ère colonne ne sont pas strictement
positifs alors le nombre de changement de signes est
égal au nombre de pôles réels positifs ou complexes à
parties réelles positives c’est-à-dire que le système
étudié est instable.
Linéaire Continus

Linéaire Continus
𝑫𝑭𝑩𝑭
𝒑 = 𝟐𝒑𝟒 + 𝟓𝒑𝟑 + 𝟑𝒑𝟐 + 𝒑 + 𝟏
𝐩𝟒
2 3 1
Les coefficients 𝐛𝐢 et 𝐜𝐢 sont
calculés comme suit :
𝐛𝟏 =
𝟓 ∗ 𝟑 − 𝟐 ∗ 𝟏
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓
𝐛𝟐 =
𝟓 ∗ 𝟏 − 𝟐 ∗ 𝟎
𝟓
= 𝟏
𝐜𝟏 =
𝟐, 𝟔 ∗ 𝟏 − 𝟏 ∗ 𝟓
𝟐, 𝟔
= −
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝒅𝟏 = 𝟏
𝐩𝟑 5 1
𝐩𝟐
𝐛𝟏 =
𝟏𝟑
𝟓
𝐛𝟐 = 𝟏 0
𝒑 𝐜𝟏 = −
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝐜𝟐 = 𝟎
𝐩𝟎 𝒅𝟏 = 𝟏 0
𝐩𝟎 𝟎
Critère algébrique de stabilité ⟹ Critère de Routh (Exemple):

Linéaire Continus
Critères graphiques de stabilité :
Point critique:
𝑭𝑩𝑭 𝒋𝝎 =
𝑺 𝒋𝝎
𝑬 𝒑
=
𝑮(𝒋𝝎)
𝟏 + 𝑮 𝒋𝝎 𝑯(𝒋𝝎)
𝟏 + 𝑮 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 = 𝟎 ⟹ 𝑮 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 = −𝟏
𝑭𝑩𝑶 𝒋𝝎𝑪 = 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝟏 ⟹
∥ 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 ∥= 𝟏
𝑨𝒓𝒈 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝝅
⟹
𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈 ∥ 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 ∥= 𝟎
𝑨𝒓𝒈 𝑮 𝒋𝝎𝑪 𝑯 𝒋𝝎𝑪 = −𝝅

Linéaire Continus
Critère de revers dans le plan de Nyquist:

Enoncé du critère du revers dans le plan de
Nyquist:
Un système est stable en boucle fermée si en
parcourant son lieu de Nyquist en boucle
ouverte 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔𝐶 dans le sens des 𝜔
croissants, on laisse le point critique A(-1,0) à
gauche.
Linéaire Continus

Linéaire Continus
Critère de revers dans le plan de Black:

Enoncé du critère du revers dans le plan de
Black:
Le système est stable en boucle fermée si en
parcourant le lieu de Black de sa fonction de
transfert en boucle ouverte 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔𝐶 dans le
sens des 𝜔 croissants, on laisse le point critique
A(-180°,0dB) à droite.
Linéaire Continus

Linéaire Continus
Critère de revers dans le plan de Bode:

Linéaire Continus
Enoncé du critère du revers dans la plan de Bode:
Le système en boucle fermée est stable si l’une des conditions
suivantes est satisfaite:
• Le lieu du gain de la fonction en boucle ouverte 𝐺𝑑𝐵 =
20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂(𝑗𝜔) ∥ coupe l’axe 0dB pour un argument
𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔 > −180°.
• L’argument 𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔 = −180° pour un gain inférieur à
0dB.
• Le lieu du gain de la fonction en boucle ouverte
𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂(𝑗𝜔) ∥ coupe l’axe 0dB avec une pente
supérieure à -40dB/dec (ou -2).

Linéaire Continus
𝑀𝐺 = −20𝑙𝑜𝑔 ∥ 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔−𝜋 ∥
𝑀𝜑 = 𝐴𝑟𝑔(𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ) + 𝜋
𝐴𝑟𝑔𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔−𝜋 = −𝜋
∥ 𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ∥=1
Marge de gain 𝑴𝑮 :
Marge de phase 𝑴𝝋 :
Marges de stabilité :

Nyquist:
Black:
Bode:
Linéaire Continus
Marges de stabilité :

Linéaire Continus
Interprétation des marges de stabilité
 Un système est stable en BF si la marge de phase est positive, ce qui se traduit par :
∥ 𝐴𝑟𝑔(𝐹𝐵𝑂 𝑗𝜔0 ∥< 𝜋
 La marge de gain correspond au gain supplémentaire maximum que l'on peut donner au
système en BO sans risquer de le rendre instable en BF.
 Plus les marges sont grandes, plus robuste est la stabilité.
 Pour des raisons pratiques on adopte les choix suivants pour les marges de gain et de
phase:
10𝑑𝐵 ≤ 𝑀𝐺 ≤ 15𝑑𝐵
𝜋
4
= 45° ≤ 𝑀𝜑 ≤
𝜋
3
= 60°

Précision des Systèmes Asservis
Linéaire Continus
𝑮(𝒑)
+ -
𝑺(𝒑)
Par définition, on dira qu’un système est d’autant plus
précis que le signal d’erreur 𝜀 𝑡 est plus faible.
Définition :
𝜺∞ = 𝒍𝒊𝒎
𝒕→+∞
𝜺 𝒕 = 𝟎 , ∀𝒕

Linéaire Continus
𝜀∞ = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝜀 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑝→0
𝑝𝜀 𝑝
On a:
𝜀 𝑝 = 𝐸 𝑝 − 𝑆 𝑝 𝑒𝑡 𝑆 𝑝 = 𝐺 𝑝 𝜀 𝑝
⟹ 𝜀 𝑝 1 + 𝐺 𝑝 = 𝐸(𝑝)
Finalement:
𝜀 𝑝 =
𝐸(𝑝)
1 + 𝐺(𝑝)
=
𝐸(𝑝)
1 + 𝐹𝐵𝑂(𝑝)
En utilisant le théorème de la valeur finale
(propriété de Laplace) l’erreur est définie par:

Linéaire Continus
D’après cette expression on remarque que 𝜀 𝑝 dépend :
• de la nature de l’entrée (ou consigne) (présence de E(p) dans
l’expression).
• de la nature du système (présence de la fonction de transfert en
boucle ouverte G(p)).
𝜺 𝒑 =
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑭𝑩𝑶(𝒑)
=
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)

Linéaire Continus
La fonction de transfert en boucle ouverte peut être exprimée sous la
forme suivante :
𝐹𝐵𝑂 𝑝 = 𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
Où :
 𝛼 : le nombre d’intégrateurs de la fonction de transfert en boucle
ouverte, c’est la classe du système.
 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 : coefficients positifs.
 𝑛 > 𝑚 : pour des raisons de réalisabilité du système.
 𝐾 : gain statique de 𝐺 𝑝 .

Linéaire Continus
Exemples:
𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
𝐺1 𝑝 =
3
𝑝
*𝐾 = 3, 𝑏𝑖 = 0, 𝑎𝑖 = 0, 𝛼 = 1
𝐺2 𝑝 =
𝑝 + 1
𝑝(𝑝2 + 3𝑝 + 1)
*𝐾 = 1, 𝑚 = 1, 𝑏𝑚 = 𝑏1 = 1, 𝛼 = 1, 𝑛 = 2, 𝑎2 = 1, 𝑎1 = 3

Linéaire Continus
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)
= 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 +
𝑲
𝒑𝜶
= 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑𝜶+𝟏
𝒑𝜶 + 𝑲
𝑬(𝒑)
Sachant que: 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒃𝒎𝒑𝒎+𝒃𝒎−𝟏𝒑𝒎−𝟏+⋯+𝒃𝟏𝒑+𝟏
𝒂𝒏𝒑𝒏+𝒂𝒏−𝟏𝒑𝒏−𝟏+⋯+𝒂𝟏𝒑+𝟏
= 𝟏
𝐺 𝑝 =
𝐾(𝑏𝑚𝑝𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑝 + 1)
𝑝𝛼(𝑎𝑛𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑝 + 1)
𝒕→+∞
𝜺 𝒕 = 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑𝜺 𝒑 = 𝒍𝒊𝒎
𝒑→𝟎
𝒑
𝑬(𝒑)
𝟏 + 𝑮(𝒑)

Linéaire Continus
 Types de consigne (entrée) :
L’erreur statique peut être calculée pour n’importe quelle consigne,
mais en pratique l’intérêt est porté pour trois types de consigne :
• L’échelon unitaire : 𝑒 𝑡 = 𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝
.
• La rampe : 𝑒 𝑡 = 𝑡𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝2.
• L’accélération : 𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
2
𝑝3.

Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée échelon unitaire :
𝑒 𝑡 = 𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur de position et est
notée 𝜀𝑝.
On remplace de l’expression de 𝜀∞ :
𝜀∞ = 𝜀𝑝 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
1
𝑝
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼
𝑝𝛼 + 𝐾
=
𝛼 = 0 →
1
1 + 𝐾
𝛼 = 1 → 0
𝛼 > 1 → 0

Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée rampe :
𝑒 𝑡 = 𝑡𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur de vitesse (ou de
trainage) et est notée 𝜀𝑉.
𝜀∞ = 𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
1
𝑝2
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼−1
𝑝𝛼 + 𝐾
𝛼 = 0 → lim
𝑝→0
1
𝑝(1 + 𝐾)
= +∞
𝛼 = 1 → lim
𝑝→0
1
(𝑝 + 𝐾)
=
1
𝐾
𝛼 > 1 → 0

Linéaire Continus
Erreur statique pour une entrée accélération (ou parabole) :
𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢 𝑡
ℒ
𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
Dans ce cas l’erreur statique est appelée erreur d’accélération et
est notée 𝜀𝑎.
𝜀∞ = 𝜀𝑎 = lim
𝑝→0
𝑝
𝐸(𝑝)
1 +
𝐾
𝑝𝛼
= lim
𝑝→0
𝑝𝛼+1
𝑝𝛼 + 𝐾
2
𝑝3
= lim
𝑝→0
2 𝑝𝛼−2
𝑝𝛼 + 𝐾

Linéaire Continus
𝛂
𝛃-Entrée 𝟎 𝟏 𝟐 ≥ 𝟑
𝛃 = 𝟏 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩
𝛆𝐩 =
𝐀
𝐊𝐩
𝛆𝐩 = 𝟎 𝛆𝐩 = 𝟎 𝛆𝐩 = 𝟎
𝛃 = 𝟐 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩𝟐
𝛆𝐕 = +∞ 𝛆𝐕 =
𝐀
𝐊𝐯
𝛆𝐕 = 𝟎 𝛆𝐕 = 𝟎
𝛃 = 𝟑 ⟹ 𝐄 𝐩 =
𝐀
𝐩𝟑
𝛆𝐚 = ∞ 𝛆𝐚 = ∞ 𝛆𝐚 =
𝐀
𝐊𝐚
𝛆𝐚 = 𝟎

Linéaire Continus

𝑮(𝒑)
+ -
𝑺(𝒑)
𝐺 𝑝 =
𝑝 + 2
𝑝2 + 6𝑝 + 2
=
2(0,5𝑝 + 1)
2(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
=
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
𝐾 = 1; 𝑏1 = 0,5; 𝑎2 = 0,5; 𝑎1 = 3; 𝛼 = 0 ⟹ pas d′intégration
1
𝑝
• L’erreur de position pour une entrée échelon : 𝐸 𝑝 =
1
𝑝
𝜀𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
=
1
2
Linéaire Continus
Exemple 1:

• L’erreur de vitesse pour une entrée en rampe:𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
𝜀𝑉 = +∞ = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝2
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝(1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= +∞
• L’erreur d’accélération pour une entrée (𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢(𝑡)): 𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
𝜀𝑎 = +∞ = lim
𝑝→0
𝑝
2/𝑝3
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝2(1 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= +∞
Linéaire Continus

𝑮(𝒑)
+ -
𝑺(𝒑)
𝐺 𝑝 =
𝑝 + 2
𝑝(𝑝2 + 6𝑝 + 2)
=
2(0,5𝑝 + 1)
2𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
=
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
𝐾 = 1; 𝑏1 = 0,5; 𝑎2 = 0,5; 𝑎1 = 3; 𝛼 = 0 ⟹ il y′
a une intégration
1
𝑝
• L’erreur de position: entrée échelon E(p)=1/p
𝜀𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
= 0
Linéaire Continus
Exemple 2:

• L’erreur de vitesse pour une entrée en rampe: 𝐸 𝑝 =
1
𝑝2
𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
𝑝
1/𝑝2
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝(1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
)
⟹ 𝜀𝑉 = lim
𝑝→0
1
𝑝 +
0,5𝑝 + 1
0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1
)
= 1
• L’erreur d’accélération pour une entrée (𝑒 𝑡 = 𝑡2
𝑢(𝑡)): 𝐸 𝑝 =
2
𝑝3
𝜀𝑎 = lim
𝑝→0
𝑝
2/𝑝3
1 + 𝐺 𝑝
= lim
𝑝→0
1
𝑝2(1 +
0,5𝑝 + 1
𝑝(0,5𝑝2 + 3𝑝 + 1)
)
= +∞
Linéaire Continus

Cours_3_Analyse_des_systèmes.pdf

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Cours_3_Analyse_des_systèmes.pdf

Similaire à Cours_3_Analyse_des_systèmes.pdf (20)

Dernier

Dernier (15)

Cours_3_Analyse_des_systèmes.pdf