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Réglage des régulateurs PID
1
GEL-4100 : Commande industrielle

Plan
2
Réglage par la méthode simplifiée
 Système 1er ordre (avec et sans retard)
 Système 2ème ordre (avec et sans retard)
 Système 2ème ordre avec zéro stable (avec et sans retard)
 Système 2ème ordre avec zéro instable (avec et sans retard)
 Système avec intégration
Réglage par placement de pôles
 Par un régulateur Proportionnel (P)
 Par un régulateur à action intégrale
Réglage par sélection de la marge de phase

3
 Définition
Cette méthode simplifiée de réglage des régulateurs PI est une adaptation de
« Manipulated variable based PI tuning and detection of poor settings : An
industrial experience », A. Pomerleau et É. Poulin, ISA Transactions, Vol. 43,
No. 3, pp. 445-457, 2004.
On utilise un régulateur PI ou PI avec filtre.

4
 Système 1er ordre

5
 Système 2ème ordre

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 Système 2ème ordre avec zéro instable

7
 Système 2ème ordre avec zéro stable

8
 Système avec intégration

Le réglage par placement de pôle
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 Définition
Cette méthode consiste à choisir le gain du régulateur de façon à placer les
pôles de H(s) à des valeurs désirées.
On peut utilisé ce réglage avec un régulateur:
- Proportionnel
- À action Intégral

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 Régulateur Proportionnel (P)
En présence d’un régulateur proportionnel Gc(s) = Kc, la fonction de transfert
de la boucle fermée est :
L’équation caractéristique qui permet le calcul des pôles de H(s) est donc :
1 + KcG(s) = 0. Il est donc clair que Kc influence la position des pôles de H(s).
Pour des procédés simples tels ceux du premier et second ordres, il est facile de
calculer le gain Kc de façon à placer adéquatement les pôles de H(s) dans le
plan de Laplace.

11
Exemple : (procédé du premier ordre)
Le procédé est Gp(s) = 2/(1+10s).

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Exemple : (procédé du premier ordre)
Le procédé est Gp(s) = 2/(1+10s).
Avec l’utilisation d’un régulateur proportionnel, la fonction de transfert de la boucle
fermée est donc :
La constante de temps de la boucle fermée est donc 10/(1+2Kc) ce qui correspond au
pôle −0.1(1 +2Kc).
Plus Kc est grand et plus le système H(s) est rapide (sa largeur de bande est plus grande).
Le gain de H(s) n’est pas unitaire, conduisant ainsi à une erreur statique (à moins que Kc
ne tende vers l’infini).
L’absence d’une intégration dans G(s) explique ce comportement.

13
Exemple : (procédé du second ordre)
Le procédé est Gp(s) = 2/(s(1+10s))

14
Utiliser un régulateur proportionnel avec le procédé Gp(s) = 2/(s(1+10s)) conduit à :
Ne pouvant modifier qu’un seul paramètre (Kc), il n’est pas possible de placer les deux
pôles de H(s) de façon indépendante. Une approche efficace consiste à calculer Kc de
façon à ce que le facteur d’amortissement soit égal à 0.7. Cette valeur conduit au temps de
réponse le plus court pour une valeur donnée de la fréquence propre non amortie ωn.

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En comparant les termes de degré deux des dénominateurs de l’équation :
on obtient :
La comparaison des termes degré 1 et l’insertion de l’équation conduisent à :
d’où Kc = 0.0255.

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 Régulateur à action Intégrale
L’idée de base de cette méthode est de sélectionner Gc(s) de façon à ce que :
Cette relation conduit à :
La constante de temps désirée de la boucle fermée est TH et son gain statique est
unitaire car G(s) possède une intégration.
Pour obtenir 1/(TH s), il faut que Gc(s) annule les pôles et les zéros de Gp(s). Cette
méthode vise à obtenir un pôle unique pour H(s) et le placer à −1/TH.
on peut obtenir l’expression du régulateur :

17
Exemple 1:
L’identification du procédé donne le modèle Gp(s) = K/(1+T s) (T > 0) et la
constante de temps désirée en boucle fermée est TH.

18
Exemple 1:
L’identification du procédé donne le modèle Gp(s) = K/(1+T s) (T > 0) et la
constante de temps désirée en boucle fermée est TH.
Réponse :
L’utilisation de l’équation précédente permet de déduire le régulateur :

19
Exemple 2:
Le modèle du procédé est Gp(s) =K(1+T0s)/((1+T1 s)(1+T2 s))
avec T0 > T1 ≥ T2 > 0, expliquant que sa réponse à l’échelon présente un
dépassement sans oscillations. La spécification est TH.

20
Exemple 2:
Le modèle du procédé est Gp(s) =K(1+T0s)/((1+T1 s)(1+T2 s))
avec T0 > T1 ≥ T2 > 0, expliquant que sa réponse à l’échelon présente un
dépassement sans oscillations. La spécification est TH.
Réponse :
Le régulateur obtenu est :

21
Remarque :
Parce que le design du régulateur nécessite l’inversion du procédé, l’application de
cette technique est limitée à certains types de procédés. Les restrictions sont les
suivantes :
1. Le degré relatif du modèle du procédé doit être unitaire. Si le degré relatif est
deux ou plus, le régulateur résultant est impropre et donc impossible à implanter.
2. Le modèle du procédé doit être à déphasage minimal. (zéro à partie réelle
positive -> pôle instable). (Retard -> prédiction dans le futur).
3. Le procédé doit être stable asymptotiquement.
(Si le procédé possède une intégration et que tous les autres pôles sont stables,
l’asservissement sera stable mais le régulateur n’aura pas une action intégrale,
n’assurant pas une erreur statique nulle face à une perturbation d’entrée en
échelon).

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1. Les procédés avec un degré relatif supérieur à l’unité
Deux solutions s’offrent :
 Ajout d’un filtre au régulateur
 Simplification du modèle pour avoir un modèle à degré relatif unitaire.

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Ajout d’un filtre au régulateur
Le modèle du procédé est Gp(s) = k/(1+t1s)(1+t2s) avec t1 ≥ t2 > 0. le régulateur menant
à une constante de temps TH en boucle fermée est:

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Ajout d’un filtre au régulateur
Le modèle du procédé est Gp(s) = k/(1+t1s)(1+t2s) avec t1 ≥ t2 > 0. le régulateur menant
à une constante de temps TH en boucle fermée est:
La fonction de transfert de Gc(s) est impropre et donc impossible à implanter. Une
solution consiste à ajouter un filtre au régulateur, le transformant en un
compensateur PIDF :

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Utilisation d’un modèle à degré relatif unitaire
Exemple: Le système étudié est : Gp(s) = 2/((1+10s)(1+5s)).
On souhaite que TH=10.

26
Réponse :

27
Réponse :
On considère le modèle suivante : Gp(s) ≈ 2/(1+13s) .

28
Remarque :
Pour les systèmes second ordre, on peut utiliser l’approximation suivante :
Et le réglage du régulateur sera comme suit :

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2. Les procédés à déphasage non minimal
La présence d’un zéro positif ou d’un retard dans la fonction de transfert d’un
procédé rend sa phase plus négative et risque donc de rendre l’asservissement
instable.
Le régulateur se déduit en inversant Gp(s). Puisqu’inverser un zéro positif et un
retard n’est pas possible (car la fonction de transfert du régulateur serait
instable et contiendrait une prédiction dans le futur),
une approximation grossière de Gp(s) consiste à négliger ces termes :

30
Le degré relatif de Gp(s) étant maintenant supérieur à l’unité, la réduction suivante
de modèle est utilisée :
On obtient :
Donc :

31
Il est suggéré de choisir la constante de temps de la boucle fermée comme suit :
En absence de déphasage minimal, la spécification est donc TH=1.5T, ce qui
correspond à la dynamique de Gp(s) et est donc raisonnable.
Plus T0 et θ sont longs et plus l’approximation choisie est mauvaise.
Par conséquent, TH doit être plus grand car il faut diminuer les performances pour
contrebalancer les erreurs de modélisation.
Les paramètres du régulateur PI sont donc :

32
Exemple 1 :
Le modèle du procédé est Gp(s) = 3 e−4s/(1+2s).

33
Exemple 1 :
Le modèle du procédé est Gp(s) = 3 e−4s/(1+2s).
Réponse :
TH=1.5(T+T0+θ) = 1.5 (2+0+4)= 9
Kc=T/(K.(T+T0+θ)) = 2/(3 (2 + 0 + 4 )) =1/9
Ti=1,5 . T = 1,5 . 2 = 3
Donc :

34
Exemple 1 :
Remarque :
Durant la durée du retard, la commande est une rampe. La commande à l’instant de
l’application de l’échelon de consigne est u(1) = Kc . r(1) = 1/9.
Le gain Kc ne peut pas être trop élevé car la commande augmente en rampe par la
suite durant la durée du retard. Si la commande augmente trop avant que le retard
ne soit écoulé, la sortie oscillera et le procédé peut même devenir instable. Cette
propriété explique pourquoi la valeur de Kc doit être diminuée avec l’augmentation
de la longueur du retard du procédé.

35
Exemple 2: (Procédé avec retard et départ malin)
Deux procédés sont définis par la fonction de transfert suivante :
Procédé 1 : T0 = 2.5 et θ= 5.
Procédé 2 : T0 = 10 et θ= 20.

36
Deux procédés sont définis par la fonction de transfert suivante :
Procédé 1 : T0 = 2.5 et θ= 5.
Procédé 2 : T0 = 10 et θ= 20.
Réponse :
Pour le procédé 1 : TH=1.5(T+T0+θ) = 1.5 (10+2.5+5)= 26.25
Kc=T/(K.(T+T0+θ)) = 10/(2 (10 + 2.5 + 5 )) = 0.2857
Ti=1,5 . T = 1,5 . 10 = 15
Pour le procédé 2 : TH=1.5(T+T0+θ) = 1.5 (10+10+20)= 60
Kc=T/(K.(T+T0+θ)) = 10/(2 (10 + 10 + 20 )) = 0.1250
Ti=1,5 . T = 1,5 . 10 = 15

37
Procédé 1 Procédé 2

38
3. Les procédés stables non asymptotiquement
Les techniques proposées ici se limitent aux procédés représentés par :
Si on emploie un PI, on obtient :
(La réponse à l’échelon présente un dépassement – présence d’un zéro -1/Ti)
Un filtre de consigne permet d’éliminer ce comportement indésirable.
Et on obtient :

39
1ère approche : (choisir Kc et Ti afin de placer les pôles – impossible d’obtenir un pôle
unique - Comparaison à un système 2ème ordre)
On obtient :
Avec :
Tr est le temps de réponse à ±5%.

40
Exemple : (procédé intégrateur)
Suite à une identification du procédé, le modèle obtenu est : Gp(s)=-2/s
Le temps de réponse visé à ±5% est 10.

41
Suite à une identification du procédé, le modèle obtenu est : Gp(s)=-2/s
Le temps de réponse visé à ±5% est 10.
Réponse :
ωn=3/Tr=3/10 =0.3. Si on choisit ζ= 0.7,
les équations : Ti=2.ζ/ωn et Kc= 2.ζ.ωn/K
conduisent à :
Kc = −0.21 et Ti = 4.67

42
2ème approche : (Amplitude initiale désirée de la variable manipulée suite à un
changement de consigne en échelon)
À partir de :
On obtient :
Avec : on obtient
Pour un système asservi au repos, la variable manipulée calculée par un PI à l’instant
zéro suite à un échelon de la consigne rf d’amplitude |∆rf| à cet instant est u(0) =
Kc|∆rf|. Par conséquent, si la variation maximale visée pour u(0) est |∆u| alors :

43
Suite à une identification du procédé, le modèle obtenu est : Gp(s) = -2/s
Si on désire une variation maximale de 0.5 sur la commande (|∆u|=0.5) suite à une
variation unitaire de consigne (sans filtre de consigne).

44
Suite à une identification du procédé, le modèle obtenu est : Gp(s) = -2/s
Si on désire une variation maximale de 0.5 sur la commande (|∆u|=0.5) suite à une
variation unitaire de consigne (sans filtre de consigne).
Réponse :
Le réglage obtenu à partir des équations :
Kc =signe(K)*|∆u|/|∆rf| et Ti=4.ζ2/(K.Kc)
est : Kc = −0.5 et Ti = 1.96

Le réglage par sélection de la marge de phase
45
 Régulateur proportionnel
Modifier le gain du régulateur proportionnel ne modifie pas la phase de G(s). Le
gain Kc multiplie toutefois le rapport d’amplitude de G(s), déplaçant ainsi la
fréquence ω0 à laquelle le rapport d’amplitude vaut 0dB. C’est à cette fréquence ω0
qu’est calculée la marge de phase. Typiquement, augmenter Kc fait croître ω0 et
diminuer la marge de phase.

46
Exemple :
Le procédé est Gp(s) = 2/(1+10s)2 . On désire concevoir un régulateur proportionnel
pour que la marge de phase soit 60°.

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Exemple :
Réponse :
Cette spécification implique que G( jω0) = −120°.
En résolvant l’équation on obtient ω0= 0.1732 rad/s.
À la fréquence obtenue ω0, le rapport d’amplitude doit être unitaire (0dB):
d’où Kc = 2.

48
Exemple :
Réponse :
Le trait continu tracé à la figure montre la réponse
en fréquences de Gp(s), c’est-à-dire G(s) dans
le cas où Kc = 1.
On constate que si on déplaçait verticalement
la courbe de 6 dB vers le haut (ligne pointillée),
la marge de phase désirée serait obtenue,
d’où Kc = 6 dB = 2.

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