1. CHAPITRE IX
Conception des compensateurs avec la technique du lieu des racines
(Première partie)
Plan du chapitre
1. Introduction
2 Contrôleur proportionnel intégral (PI)
3 Compensateur par retard de phase (RP)
4 Compensateur proportionnel dérivé (PD)
5 Compensateur par avance de phase (AP)
6 Compensateur proportionnel intégral dérivé (PID)
7 Compensateur par avance et retard de phase (ARP)
1 Introduction
En général, le lieu des racines du système non compensé (SNC) ne passe pas par le pôle dominant
souhaité. Dans ce cas le rôle du compensateur est de déformer le lieu des racines du SNC afin qu’il
passe par le pôle dominant souhaité. Cette déformation est possible en introduisant des pôles et des
zéros complémentaires à la fonction de transfert de la chaîne directe du SNC. En fonction du pôle et/ou
de zéro introduits, ainsi que de leur emplacement on définit les compensateurs suivants : proportionnel
intégral (PI), par retard de phase (RP), proportionnel dérivé (PD), par avance de phase (AP),
proportionnel intégral dérivé (PID) et par avance et retard de phase (ARP). Le but de ce chapitre est
d’étudier la méthode de conception de ces différents compensateurs tout en précisant le(s) critère(s) de
performance amélioré(s).
Le schéma bloc des SNC en boucle fermée qui seront étudiés a (peut être réduit) sous la forme
suivante :
)
s
(
C
)
s
(
Y
)
s
(
G
K
Figure 9.1 : Structure générale du schéma bloc des SNC en boucle fermée
La fonction de transfert (FT) en boucle fermée du SNC est :
)
s
(
KG
1
)
s
(
KG
)
s
(
Gsnc
bf
+
= (9.1)
Dans la suite on suppose que :
)
s
(
D
)
s
(
N
)
s
(
G
G
G
= (9.2)
En tenant compte de (9.2) l’équation (9.1) devient :
)
s
(
D
)
s
(
KN
)
s
(
G snc
bf
G
snc
bf = (9.3)
où :
)
s
(
KN
)
s
(
D
D G
G
snc
bf +
= (9.4)
2. 2
Le schéma bloc des systèmes compensés (SC) en boucle fermée qui seront étudiés a (peut être réduit)
sous la forme suivante :
)
s
(
C )
s
(
Y
)
s
(
G
)
s
(
Gc
Figure 9.2 : Structure générale du schéma bloc des SC en boucle fermée
où Gc(s) – FT du compensateur utilisé.
La FT en boucle fermée du SC est:
)
s
(
G
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
G
c
c
sc
bf
+
= (9.5)
Dans la suite on suppose que :
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
D
s
N
s
G
s
D
s
N
s
G
C
C
c
G
G
(9.6)
En tenant compte de (9.6) l’équation (9.5) devient :
)
(
)
(
)
(
)
(
s
D
s
N
s
N
s
G sc
bf
G
C
sc
bf = (9.7)
où :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( s
N
s
N
s
D
s
D
s
D G
C
G
C
sc
bf +
= (9.8)
2 Contrôleur proportionnel intégral (PI)
2.1 Utilisation
Ce compensateur est utilisé lorsqu’on désire annuler l’erreur en régime permanent ess du système
pour une entrée donnée : échelon, rampe ou parabole (voir chapitre 4).
2.2 Conception
a) Fonction de transfert
En général, pendant la conception du compensateur PI on cherche à annuler ess sans trop changer le
régime transitoire (la position du pôle dominant) du SNC. Pour cela la FT du compensateur doit avoir
la forme générale suivante :
s
)
z
s
(
K
)
s
(
G
pi
pi
c
−
= (9.9)
où Kpi et zpi – gain et zéro du compensateur PI.
L’équation (9.9) montre que le compensateur PI introduit un pôle à l’origine (ce qui augmente le type
du SNC de 1) et un zéro complémentaires à la fonction de transfert de la chaîne directe du SNC.
3. 3
Note : Le zéro du compensateur doit être placé à droite du pôle dominant du SNC et prés de l’origine
afin de ne pas trop changer la position du pôle dominant du SNC.
La forme standard d’écriture de la FT d’un compensateur PI est :
s
G
G
s
G i
p
pi +
=
)
(
où Gp et Gi – gain proportionnel et intégral respectivement.
La comparaison de (9.9) avec Gpi(s) donne :
−
=
=
pi
pi
i
pi
p
z
K
G
K
G
(9.10)
b) Procédure de la conception
La procédure de la conception d’un compensateur PI est composée des étapes suivantes :
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SNC. Ici on exprime les coordonnées du
pôle dominant en fonction des spécifications données. Dans cette procédure et par la suite
on suppose que le facteur d’amortissement (ζ) souhaité est donné. Dans ce cas on exprime le
pôle dominant par :
−
ω
ζ
−
+
ζ
−
ω
= snc
n
2
snc
n
snc
d ),
1
j
(
P Fréquence naturelle du SNC (9.11)
Ensuite on détermine la fréquence naturelle du SNC et la valeur correspondante du gain K. Pour
cela on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
(9.12)
3) Choix du zpi. On place zpi à droite du pôle dominant du SNC. Généralement on choisit zpi =
-0,1; -0,01 ou -0,001 si nécessaire.
À cette étape on exprime Gc(s) en tenant compte de la valeur de zpi choisie. Par exemple si
on choisit zpi = -0,1. Alors,
s
)
1
,
0
s
(
K
)
s
(
G
pi
c
+
=
4) Calcul de Kpi. On exprime d’abord les coordonnées du pôle dominant du SC par :
−
ω
ζ
−
+
ζ
−
ω
= sc
n
2
sc
n
sc
d ),
1
j
(
P Fréquence naturelle du SC (9.13)
Ensuite on détermine la fréquence naturelle du SC et le gain Kpi. Pour cela on résout le système
d’équations suivant :
4. 4
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
(9.14)
À cette étape pour déterminer sc
bf
D selon (9.8) on tenant compte de l’expression de Gc(s)
obtenue à l’étape 3) précédente. On écrit l’expression de Gc(s) en tenant compte de la valeur
de Kpi obtenue. Ensuite on détermine les gains du compensateur selon (9.10).
5) Comparaison de snc
d
P avec sc
d
P
Ici on vérifie si :
sc
d
snc
d P
P ≈ (9.15)
6) Vérification de la validité de l’approximation. Pour cela on détermine tous les pôles du
SC et on fait une analyse basée sur les notions du pôle dominant et de la simplification pôle
– zéro (voir chapitre 4).
Pour déterminer tous les pôles du SC on résout l’équation caractéristique suivante :
0
)
s
(
Dsc
bf = (9.16)
L’exemple ci-dessous illustre la procédure de conception d’un compensateur PI.
Exemple 9.1
Un système dont le schéma bloc est donné à la figure 9.1 a :
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
1
)
s
(
G
+
+
+
=
On souhaite avoir un facteur d’amortissement de 0,175 et une erreur nulle en régime permanent sans
trop affecter le régime transitoire du SNC. Faites la conception du compensateur PI.
Solution
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
Le schéma bloc du SNC a la structure donnée à la figure 9.1.
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SNC
Le pôle dominant du SNC est :
)
985
,
0
j
174
,
0
(
)
1
j
(
P snc
n
2
snc
n
snc
d +
−
ω
=
ζ
−
+
ζ
−
ω
=
Dans ce cas selon (9.4) en tenant compte de G(s) donnée on a :
K
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
Dsnc
bf +
+
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessous:
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
5. 5
donne (on retient les valeurs positives et non nulles) :
=
=
ω
565
,
164
K
s
/
rad
985
,
3
snc
n
D’où :
925
,
3
693
,
0 j
Psnc
d +
−
=
3) Choix du zpi
La partie réelle de snc
d
P est -0,693. Comme le zéro du compensateur doit être à droite de snc
d
P et
près de l’origine on peut choisir zpi = -0,1.
D’où :
s
)
1
,
0
s
(
K
)
s
(
G
pi
c
+
=
4) Calcul de Kpi
Le pôle dominant du SC est :
)
985
,
0
j
174
,
0
(
)
1
j
(
P sc
n
2
sc
n
sc
d +
−
ω
=
ζ
−
+
ζ
−
ω
=
Dans ce cas selon (9.8) en tenant compte de l’expression de Gc(s) obtenue à l’étape 3)
précédente et de G(s) donnée on a :
)
1
,
0
s
(
K
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
s
D pi
sc
bf +
+
+
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessous:
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
donne (on retient les valeurs positives et non nulles) :
=
=
ω
128
,
158
K
s
/
rad
894
,
3
pi
sc
n
D’où :
835
,
3
677
,
0 j
Psc
d +
−
=
s
)
1
,
0
s
(
128
,
158
)
s
(
Gc
+
=
=
−
−
=
−
=
=
=
8128
,
15
)
1
,
0
(
128
,
158
128
,
158
pi
pi
i
pi
p
z
K
G
K
G
5) Comparaison de snc
d
P avec sc
d
P
6. 6
On a :
925
,
3
693
,
0 j
Psnc
d +
−
=
835
,
3
677
,
0 j
Psc
d +
−
=
Donc,
sc
d
snc
d P
P ≈
6) Validation de l’approximation
Pour déterminer tous les pôles du SC on résout :
0
)
1
,
0
s
(
128
,
158
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
s
Dsc
bf =
+
+
+
+
+
=
Dans l’expression de sc
bf
D ci-dessus on a remplacé Kpi par sa valeur (158,128) trouvée à l’étape
4).
On trouve les pôles suivants :
−
=
−
=
−
=
09
,
0
s
554
,
11
s
836
,
3
j
677
,
0
s
4
3
2
,
1 m
Analyse : Les pôles s1,2 sont dominants par rapport au pôle s3 et une simplification pôle - zéro
est possible entre s4 et zpi. Donc, l’approximation est valide.
3 Compensateur par retard de phase (RP)
3.1 Utilisation
Le compensateur par retard de phase (RP) est utilisé pour réduire l’erreur en régime permanent ess
du système SNC. Mais à la différence d’un PI il n’augmente pas le type du système. Donc, le SNC et le
SC auront le même type.
3.2 Conception
a) Fonction de transfert
En général, pendant la conception du compensateur RP on cherche à réduire ess sans trop changer le
régime transitoire du SNC. Pour cela la FT du compensateur doit avoir la forme générale suivante :
rp
rp
rp
rp
rp
c p
z
,
)
p
s
(
)
z
s
(
K
)
s
(
G >
−
−
= (9.17)
où Krp, zrp et prp – gain, zéro et pôle du compensateur RP respectivement.
L’équation (9.17) montre que le compensateur RP introduit un pôle et un zéro complémentaires à la
fonction de transfert de la chaîne directe du SNC.
Pour ne pas trop changer le régime transitoire du SNC zrp et prp doivent être placés à droite du pôle
dominant du SNC, mais prp n’est pas à l’origine. La phase du compensateur AP doit être négative. Pour
cela le zéro zrp doit être plus éloigné que le pôle prp par rapport à l’axe imaginaire.
b) Procédure de la conception
7. 7
La procédure de la conception d’un compensateur RP est composée des étapes suivantes :
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1.
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SNC.
Connaissant le facteur d’amortissement (ζ) souhaité on exprime le pôle dominant par :
−
ω
ζ
−
+
ζ
−
ω
= snc
n
2
snc
n
snc
d ),
1
j
(
P Fréquence naturelle du SNC (9.18)
Ensuite on détermine la fréquence naturelle du SNC et la valeur correspondante du gain K. Pour
cela on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
(9.19)
3) Calcul de la constante d’erreur appropriée du SNC.
4) Calcul de la constante d’erreur souhaitée du SC.
5) Calcul de β (rapport de la constante d’erreur du SC et de la constante d’erreur du SNC).
6) Calcul de prp et zrp.
On choisit arbitrairement prp, mais tel que :
[ ]
β
>
SNC
d
rp
P
real
p (9.20)
Ensuite on détermine zrp par :
rp
rp p
z β
= (9.21)
Afin on donne l’expression de Gc(s) en fonction des prp et zrp déterminés.
Note : La condition (9.20) permet de placer prp et zrp à droite du pôle dominant.
7) Calcul de Krp Pour cela on exprime les coordonnées du pôle dominant du SC par :
−
ω
ζ
−
+
ζ
−
ω
= sc
n
2
sc
n
sc
d ),
1
j
(
P Fréquence naturelle du SC (9.22)
Ensuite on détermine la fréquence naturelle du SC et le gain Krp. Pour cela on résout le système
d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
(9.23)
À cette étape pour déterminer sc
bf
D selon (9.8) on tient compte de l’expression de Gc(s) obtenue
à l’étape 6) précédente. Ensuite on écrit l’expression de Gc(s) en tenant compte de la valeur de
Krp obtenue.
8. 8
8) Comparaison de snc
d
P avec sc
d
P
Ici on vérifie si :
sc
d
snc
d P
P ≈ (9.24)
9) Vérification de la validité de l’approximation.
On procède comme indiqué pendant la conception du compensateur PI.
L’exemple ci-dessous illustre la procédure de la conception d’un compensateur RP.
Exemple 9.2
Un système dont le schéma bloc est donné à la figure 9.1 a :
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
1
)
s
(
G
+
+
+
=
On souhaite avoir un facteur d’amortissement de 0,175 et réduire l’erreur en régime permanent par un
facteur de 10. Faites la conception du compensateur RP.
Solution
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
Le schéma bloc du SNC a la structure donnée à la figure 9.1.
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SNC
Le pôle du SNC est :
)
985
,
0
j
174
,
0
(
)
1
j
(
P snc
n
2
snc
n
snc
d +
−
ω
=
ζ
−
+
ζ
−
ω
=
Dans ce cas selon (9.4) en tenant compte de G(s) donnée on a :
K
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
Dsnc
bf +
+
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessous :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
donne (on retient les valeurs positives et non nulles) :
=
=
ω
565
,
164
K
s
/
rad
985
,
3
snc
n
Donc,
925
,
3
j
693
,
0
)
985
,
0
j
174
,
0
(
985
,
3
)
985
,
0
j
174
,
0
(
P snc
n
snc
d +
−
=
+
−
=
+
−
ω
=
3) Calcul de la constante d’erreur du SNC
Le SNC est de type 0. Donc, on calcule :
9. 9
228
,
8
)
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
565
,
164
lim
)
s
(
KG
lim
K
0
s
0
s
snc
p =
+
+
+
=
=
→
→
4) Calcul de la constante d’erreur du SC
D’après l’énoncé le SC doit avoir une erreur en régime permanent réduite par un facteur de 10.
Donc, on a :
28
,
91
1
)
228
,
8
1
(
10
1
)
K
1
(
10
K
)
K
1
(
10
1
K
1
1 snc
p
sc
p
snc
p
sc
p
=
−
+
=
−
+
=
⇒
+
=
+
5) Calcul de β
094
,
11
228
,
8
28
,
91
K
K
snc
p
sc
p
=
=
=
β
6) Calcul de prp et de zrp
[ ] 062
.
0
094
,
11
693
,
0
P
real SNC
d
−
=
−
=
β
Selon (9.20) on peut choisir prp = -0,01.
D’où :
111
,
0
)
01
,
0
(
094
,
11
p
z rp
rp −
≈
−
=
β
=
Donc,
)
01
,
0
s
(
)
111
,
0
s
(
K
)
s
(
G
rp
c
+
+
=
7) Calcul de Krp
Le pôle dominant du SC est :
)
985
,
0
j
174
,
0
(
)
1
j
(
P sc
n
2
sc
n
sc
d +
−
ω
=
ζ
−
+
ζ
−
ω
=
Dans ce cas selon (9.8) en tenant compte de l’expression de Gc(s) obtenue à l’étape 6)
précédente et de G(s) donnée on a :
)
111
,
0
(
)
01
,
0
)(
10
)(
2
)(
1
( +
+
+
+
+
+
= s
K
s
s
s
s
D rp
sc
bf
La résolution du système d’équations ci-dessous :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
donne (on retient les valeurs positives et non nulles) :
10. 10
=
=
ω
047
,
158
K
s
/
rad
894
,
3
rp
sc
n
D’où :
835
,
3
j
677
,
0
)
985
,
0
j
174
,
0
(
894
,
3
)
985
,
0
j
174
,
0
(
P sc
n
sc
d +
−
=
+
−
=
+
−
ω
=
)
01
,
0
s
(
)
111
,
0
s
(
047
,
158
)
s
(
Gc
+
+
=
8) Comparaison de snc
d
P avec sc
d
P
925
,
3
693
,
0 j
Psnc
d +
−
=
835
,
3
677
,
0 j
Psc
d +
−
=
Donc,
sc
d
snc
d P
P ≈
9) Validité de l’approximation du SC
Pour déterminer tous les pôles du SC on résout :
0
)
111
,
0
s
(
047
,
158
)
01
,
0
s
)(
10
s
)(
2
s
)(
1
s
(
Dsc
bf =
+
+
+
+
+
+
=
Dans l’expression de sc
bf
D ci-dessus on a remplacé Krp par sa valeur (158,047) trouvée à l’étape
7).
On trouve les pôles suivants :
−
=
−
=
−
=
101
,
0
s
554
,
11
s
835
,
3
j
677
,
0
s
4
3
2
,
1 m
Analyse : les pôles s1,2 sont dominants par rapport au pôle s3 et une simplification pôle - zéro
est possible entre s4 et zpi. Donc, l’approximation est valide.
4 Compensateur proportionnel dérivé (PD)
4.1 Utilisation
Le compensateur proportionnel dérivé (PD) est utilisé pour améliorer la réponse transitoire (par
exemple réduire le temps de stabilisation Ts) du système SNC. L’utilisation du compensateur PD est
limitée car il amplifie le bruit.
4.2 Conception
a) Fonction de transfert
La FT d’un compensateur PD a la forme générale suivante :
11. 11
)
z
s
(
Kpd
)
s
(
G pd
c −
= (9.25)
où Kpd, zpd – gain et zéro du compensateur PD respectivement.
L’équation (9.25) montre que le compensateur PD introduit un zéro complémentaire à la fonction de
transfert de la chaîne directe du SNC.
La forme standard d’écriture de la FT d’un compensateur PD est :
d
p
pd sG
G
s
G +
=
)
(
où Gp et Gd – gain proportionnel et dérivé respectivement.
La comparaison de (8.25) avec Gpd(s) donne :
−
=
=
pd
pd
p
pd
d
z
K
G
K
G
(9.26)
b) Procédure de la conception
La procédure de la conception d’un compensateur PD est composée des étapes suivantes :
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SC
Les coordonnées du pôle dominant du SC sont déterminées à partir des indices de
performance souhaités (dépassement, facteur d’amortissement, temps de réponse, temps du
premier dépassement, etc).
3) Calcul de zpd et Kpd.
Pour cela on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
À cette étape on détermine sc
bf
D selon (9.8) en tenant compte de l’expression de Gc(s)
donnée par (9.25). Ensuite on détermine les gains du compensateur selon (9.26).
4) Validation de l’approximation du SC
On procède comme indiqué pendant la conception du compensateur PI.
L’exemple ci-dessous illustre la procédure de la conception d’un compensateur PD.
Exemple 9.3
Un système dont le schéma bloc est donné à la figure 9.1 a :
)
6
s
)(
4
s
(
s
1
)
s
(
G
+
+
=
On souhaite avoir un pourcentage de dépassement de 16% et réduire le temps de stabilisation par un
facteur de 3. Faites la conception du compensateur PD.
12. 12
Solution
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 8.1
Le schéma bloc du SNC a la structure donnée à la figure 8.1.
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant sc
d
P du SC
La partie réelle du pôle est :
[ ] sc
s
sc
d
T
4
P
real −
=
La partie imaginaire du pôle est :
[ ] [ ] ( )
ζ
−
= arccos
tg
P
real
P
imag sc
d
sc
d
Le temps de stabilisation sc
s
T du SC d’après l’énoncé est défini par :
3
T
T
snc
s
sc
s =
Le temps de stabilisation snc
s
T du SNC est :
[ ]
snc
d
snc
s
P
real
4
T −
=
Le pôle dominant du SNC est :
)
1
( 2
ζ
ζ
ω −
+
−
= j
P snc
n
snc
d
où :
504
,
0
)
OS
(%
ln
)
OS
ln(%
2
2
≈
+
π
−
=
ζ
D’après l’énoncé %OS = 16%. Donc,
504
,
0
≈
ζ
Pour calculer les coordonnées de snc
n
P on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
13. 13
Dans ce cas selon (9.4) en tenant compte de G(s) donnée on a :
K
)
6
s
)(
4
s
(
s
Dsnc
bf +
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessus en tenant compte de l’expression
de snc
bf
D donne (on retient les valeurs positives et non nulles) :
=
=
ω
361
,
43
K
s
/
rad
39
,
2
snc
n
Donc,
065
,
2
j
205
,
1
)
864
,
0
j
504
,
0
(
39
,
2
)
864
,
0
j
504
,
0
(
P snc
n
snc
d +
−
=
+
−
=
+
−
ω
=
D’où :
s
32
.
3
)
205
,
1
(
4
Tsnc
s =
−
−
= et s
T sc
s 107
,
1
3
32
,
3
≈
=
Donc,
[ ] 613
,
3
107
,
1
4
P
real sc
d −
=
−
= et [ ] ( ) 191
,
6
504
,
0
arccos
tg
)
613
,
3
(
P
imag sc
d =
−
−
=
D’où :
191
,
6
j
613
,
3
Psc
d +
−
=
3) Calcul de zpd et Kpd
On résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
Dans ce cas on a :
)
z
s
(
K
)
6
s
)(
4
s
(
s
D pd
pd
sc
bf −
+
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessus en tenant compte de l’expression
de sc
bf
D donne :
=
−
=
427
,
47
K
3
z
pd
pd
Donc, la FT du compensateur est :
14. 14
)
3
(
427
,
47
)
( +
= s
s
Gc
D’où :
=
−
−
=
−
=
=
=
281
,
142
)
3
(
427
,
47
427
,
47
pd
pd
p
pd
d
z
K
G
K
G
4) Validité de l’approximation du SC
Pour déterminer tous les pôles du SC on résout :
0
)
3
s
(
427
,
47
)
6
s
)(
4
s
(
s
Dsc
bf =
+
+
+
+
=
Dans l’expression de sc
bf
D ci-dessus on a remplacé Kpd et zpd par leur valeur respective,
déterminées à l’étape 3).
On trouve les pôles suivants :
−
=
−
=
767
,
2
s
191
,
6
j
616
,
3
s
3
2
,
1 m
Analyse : Une simplification pôle - zéro est possible entre s3 et zpd. Donc, l’approximation est
valide.
5 Compensateur par avance de phase (AP)
5.1 Utilisation
Comme le compensateur PD le compensateur par avance de phase (AP) est utilisé pour améliorer la
réponse transitoire (par exemple réduire le temps de stabilisation Ts) du système SNC.
L’amplification du bruit est réduite par rapport à un compensateur PD.
5.2 Conception
a) Fonction de transfert
La FT d’un compensateur AP a la forme générale suivante :
ap
ap
ap
ap
ap
c p
z
,
)
p
s
(
)
z
s
(
K
)
s
(
G <
−
−
= (9.27)
où Kap, zap et pap – gain, zéro et pôle du compensateur AP respectivement.
L’équation (9.27) montre que le compensateur AP introduit un zéro et un pôle complémentaires à la
fonction de transfert de la chaîne directe du SNC. La phase du compensateur AP doit être positive.
Pour cela le pôle pap doit être plus éloigné que le zéro zap par rapport à l’axe imaginaire.
b) Procédure de la conception
La procédure de la conception d’un compensateur AP est composée des étapes suivantes :
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
15. 15
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SC
Les coordonnées du pôle dominant du SC sont déterminées à partir des indices de
performance souhaités (dépassement, facteur d’amortissement, temps de réponse, temps du
premier dépassement, etc.).
3) Choix zap
Afin de réduire l’ordre du système on choisit zap égal à un pôle de la FT G(s). Il est
recommandé de placer ce zéro au moins au 2e
pôle de G(s).
À cette étape on écrit l’expression de Gc(s) en remplaçant zap par la valeur choisie.
4) Calcul de pap et Kap.
Pour cela on détermine sc
bf
D selon (9.8) en tenant compte de l’expression de Gc(s) obtenue à
l’étape 3). Ensuite on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
À cette étape on écrit la FT du compensateur.
5) Validité de l’approximation du SC.
On procède comme indiqué pendant la conception du compensateur PI.
L’exemple ci-dessous illustre la procédure de la conception d’un compensateur AP.
Exemple 9.4
Un système dont le schéma bloc est donné à la figure 9.1 a :
)
6
s
)(
4
s
(
s
1
)
s
(
G
+
+
=
On souhaite avoir un pourcentage de dépassement de 30% et réduire le temps de stabilisation par un
facteur de 2. Faites la conception du compensateur AP.
Solution
1) Réduction du SNC au schéma représenté à la figure 9.1
Le schéma bloc du SNC a la structure donnée à la figure 9.1.
2) Calcul des coordonnées du pôle dominant du SC
La partie réelle du pôle est :
[ ] sc
s
sc
d
T
4
P
real −
=
La partie imaginaire du pôle est :
[ ] [ ] ( )
ζ
−
= arccos
tg
P
real
P
imag sc
d
sc
d
Le temps de stabilisation sc
s
T du SC d’après l’énoncé est défini par :
16. 16
2
T
T
snc
s
sc
s =
Le temps de stabilisation snc
s
T du SNC est :
[ ]
snc
d
snc
s
P
real
4
T −
=
Le pôle dominant du SNC est :
)
1
j
(
P 2
snc
n
snc
d ζ
−
+
ζ
−
ω
=
où :
)
OS
(%
ln
)
OS
ln(%
2
2
+
π
−
=
ζ
D’après l’énoncé %OS = 30%. Donc,
358
,
0
≈
ζ
Pour calculer les coordonnées de snc
n
P on résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
snc
d
snc
d
P
s
snc
bf
P
s
snc
bf
Dans ce cas selon (9.4) en tenant compte de G(s) donnée on a :
K
)
6
s
)(
4
s
(
s
Dsnc
bf +
+
+
=
La résolution du système d’équations ci-dessus en tenant compte de l’expression de snc
bf
D donne
(on retient les valeurs positives et non nulles) :
=
=
ω
20
,
63
K
s
/
rad
813
,
2
snc
n
Donc,
626
,
2
j
007
,
1
)
934
,
0
j
504
,
0
(
813
,
2
)
358
.
0
1
j
358
,
0
(
P 2
snc
n
snc
d +
−
=
+
−
=
−
+
−
ω
=
D’où :
s
972
.
3
)
007
,
1
(
4
Tsnc
s =
−
−
= et s
986
,
1
2
972
,
3
Tsc
s ≈
=
Donc,
[ ] 014
,
2
1986
,
1
4
P
real sc
d −
=
−
= et [ ] ( ) 253
,
5
358
,
0
arccos
tg
)
014
,
2
(
P
imag sc
d =
−
−
=
D’où :
253
,
5
j
014
,
2
Psc
d +
−
=
3) Choix de zap
On choisit zap = -4. Donc, au 2e
pôle de G(s). Dans ce cas on a :
)
p
s
(
)
4
s
(
K
)
s
(
G
ap
ap
c
−
+
=
4) Calcul de zap et Kap
Dans ce cas on a :
17. 17
ap
ap
sc
bf K
p
s
s
s
D +
−
+
= )
)(
6
(
Note : Le terme (s+4) n’apparait pas dans l’expression ci-dessus car il a été simplifié.
On résout le système d’équations suivant :
[ ]
[ ]
=
=
=
=
0
)
s
(
D
imag
0
)
s
(
D
real
sc
d
sc
d
P
s
sc
bf
P
s
sc
bf
La résolution du système d’équations ci-dessus en tenant compte de l’expression
de sc
bf
D donne :
=
−
=
881
,
697
K
078
,
20
p
ap
ap
Donc, la FT du compensateur est :
)
078
,
20
s
(
)
4
s
(
881
,
697
)
s
(
Gc
+
+
=
5) Validité de l’approximation du SC
Pour déterminer tous les pôles du SC on résout :
( )
881
,
697
)
078
,
20
)(
6
( +
+
+
= s
s
s
Dsc
bf
Dans l’expression de sc
bf
D ci-dessus on a remplacé Kap et zap par leur valeur respective,
déterminées à l’étape 4).
On trouve les pôles suivants :
−
=
−
=
05
,
22
253
,
5
014
,
2
3
2
,
1
s
j
s m
Analyse : Les pôles s1,2 sont dominants par rapport au pôle s3. Donc, l’approximation est valide.
