v

1. 2022-03-06
1
CONTRÔLE AVANCE Page 1
CONTRÔLE AVANCE
Recueil d’acétates
Chapitre02: Commande avancée
Solutions et réalisations dans
l’espace d’État
Version Hiver 2022
Pr. Khalid BENJELLOUN
CONTRÔLE AVANCE Page 2
 x = P x est appelé une transformation équivalente de similarité.
est l’équation algébrique équivalente de l’ équation d’état d’origine.
Équation d’état équivalente
( ) ( ) ( )
t t t
 
x Ax Bu

( ) ( ) ( )
t t t
 
y Cx Du
 Considérons une équation dans l’espace d’état de dimension n :
 Soit P une matrice d’ordre nn réel non singulier, et soit
x = P x. Alors, l’équation dans l’espace d’État
( ) ( ) ( )
t t t
 
x Ax Bu
  
 
( ) ( ) ( )
t t t
 
y Cx Du
 

Où
1
,


A P AP
 ,

B PB
 1
,


C C P
 .

D D

~
~
1
2

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2
CONTRÔLE AVANCE Page 3
Équation d’état équivalente
 Démonstration :
Remplaçons
1
( ) ( )
t t


x P x

1 1
( ) ( ) ( )
t t t
 
 
P x AP x Bu

 
1
( ) ( ) ( )
t t t

 
y C P x Du

1
( ) ( ) ( )
t t t

 
x P AP x PBu

 
A
 B

C
 D

CONTRÔLE AVANCE Page 4
Équation d’état équivalente
 Du dernier circuit électrique,
Variables d’État:
• : courant d’inducteur iL
• : tension de condensateur vC
1
x
2
x
Variables d’État:
• : courant de boucle à gauche
• : boucle de courant à droite
1
x

2
x

( )
u t


1 F
1 
1 H
( )
y t


 Les deux ensembles d’États peuvent être liés de la manière suivante:
1 1
2 2
1 0
1 1
x x
x x
   
 

   
 

 
   


or
1
1 1
2 2
1 0
1 1
x x
x x

   
 

   
 

 
   


1 1
2 2
1 0
1 1
x x
x x
   
 

   
 

 
   


3
4

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3
CONTRÔLE AVANCE Page 5
Exemple 1
Trouver les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ci-dessous:
5 4 2
0.5 3 1
10 14 2
  
 
 
  
 
 
 
A
CONTRÔLE AVANCE Page 6
Fonction de transfert et matrice de transfert
( ) ( ) ( )
t t u t
 
x Ax B

( ) ( ) ( )
y t t Du t
 
Cx
 Considérons l’ équation d’état pour les systèmes SISO:
 En utilisant le Transformée de Laplace, nous obtiendrons:
( ) (0) ( ) ( )
s s s U s
  
X x AX B
( ) ( ) ( )
Y s s DU s
 
C X
 Pour les conditions initiales nulles, x(0) = 0,
1
( ) ( ) ( )
s s U s

 
X I A B
 
1
( ) ( ) ( )
Y s s D U s

  
C I A B
1
( )
( ) ( )
( )
Y s
G s s D
U s

   
C I A B Fonction de transfert
5
6

4. 2022-03-06
4
CONTRÔLE AVANCE Page 7
Exemple 2
Trouvez la fonction de transfert de la représentation d’état suivante:
 
4 0 2
1 2 1
0.5 1
u
y
 
   
 
   

   
 

x x
x
CONTRÔLE AVANCE Page 8
Réalisation des équations d’État
 Chaque système linéaire invariant dans le temps peut être décrit par la
description entrée-sortie sous la forme de :
( ) ( ) ( )
Y s U s G s

 Et peut également être décrit par l’équation d’état suivante:
( ) ( ) ( )
t t u t
 
x Ax B

( ) ( ) ( )
y t t Du t
 
Cx
 Le problème concernant la façon de décrire le système dans l’espace
d’état, à condition que la fonction de transfert du système, G(s), est
déterministe, c’est donc un problème de réalisation.
 G(s) A, B, C, D.
7
8

5. 2022-03-06
5
CONTRÔLE AVANCE Page 9
Réalisation des équations d’État
Trois méthodes de réalisation seront discutées:
Forme canonique commandable
Forme canonique observable
Forme canonique modale
CONTRÔLE AVANCE Page 10
Forme canonique commandable
( )
( )
( )
Y s
G s
U s

1
1 1 0
1
1 1 0
m m
m m
n n
n
b s b s b s b
s a s a s a




   

   


1
1 1 0
1
1
1 1 0
1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n n
n
n n
m m
m m
m m
d y t d y t dy t
a a a y t
dt dt dt
d u t d u t du t
b b b b u t
dt dt dt

 

 
    
   


 Cas spécial : Pas de dérivation de l’entrée
1
1 1 0 0
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
n
n n
d y t d y t dy t
a a a y t b u t
dt dt dt

 
    

9
10

6. 2022-03-06
6
CONTRÔLE AVANCE Page 11
 Nous définissons :
1( ) ( )
x t y t

2 ( ) ( )
x t y t
  1( )
x t
 
3 ( ) ( )
x t y t
  2 ( )
x t
 

( 1)
( ) ( )
n
n
x t y t

 1( )
n
x t

 
1 1
2 2
0 1 1 0
( ) 0 1 0 ( ) 0
( ) 0 0 1 0 ( ) 0
( )
( ) ( )
n n n
x t x t
x t x t
u t
x t a a a x t b

       
       
       
 
       
       
  
       
 

    
 
 
1
2
( )
( )
( ) 1 0 0 0 ( )
( )
n
x t
x t
y t u t
x t
 
 
 
 
 
 
 



Cas special
Forme canonique
commandable
Forme canonique commandable
CONTRÔLE AVANCE Page 12
 Cas général : Avec la dérivation de l’entrée
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s b
Y s
U s s a s a s a




   

   


( )
( )
N s
D s
 m n

 
1 2
1 2 1 0
( )
( )
( )
n n
n n
U s
Y s b s b s b s b
D s
 
 
    

2 1
0 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n
U s U s U s U s
Y s b b s b s b s
D s D s D s D s
 
 
    

1( )
X s 2 ( )
X s 1( )
n
X s
 ( )
n
X s
 Si m = n–1 (valeur la plus élevée possible), alors
Forme canonique commandable
11
12

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7
CONTRÔLE AVANCE Page 13
1
( )
( )
( )
U s
X s
D s
 1
1 1 0
( )
n n
n
U s
s a s a s a



   

1 2
1 1 1 2 1 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
s X s a s X s a s X s a sX s a X s U s


     

1 2
1 1 1 2 1 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
s X s U s a s X s a s X s a sX s a X s


     

( ) ( 1)
1 1 1 2 1 1 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
x t u t a x t a x t a x t a x t


     
 

1 2 3 1 2 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
x t u t a x t a x t a x t a x t

     
 
 Mais
 
1
1 1
( ) ( )
x t X s

 L
2 1
( ) ( )
x t x t
 
1 2
( ) ( )
n n
x t x t
 
 
1
( ) ( )
n n
x t x t

 

 Si m=n–1 (la plus grande valeur possible), alors
Forme canonique commandable
CONTRÔLE AVANCE Page 14
 La représentation dans l’espace d’état peut être écrite comme suit :
1 1
2 2
0 1 1
( ) 0 1 0 0 ( ) 0
( ) 0 0 1 0 ( ) 0
( )
( ) ( ) 1
n n n
x t x t
x t x t
u t
x t a a a x t

       
       
       
 
       
       
    
     


    
 
 
1
2
0 1 2 1
( )
( )
( ) 0 ( )
( )
n n
n
x t
x t
y t b b b b u t
x t
 
 
 
 
 
 
 
 




Forme Frobenius,
cas général
Forme canonique commandable
13
14

8. 2022-03-06
8
CONTRÔLE AVANCE Page 15
Exemple 3
Trouvez la réalisation dans l’espace d’état de l’équation différentielle ordinaire
suivante, où les conditions initiales sont nulles.
3 2
3 2
5 2
d y d y dy
y u
dt dt dt
   
1
2 1
3 2
x y
x x y
x x y


 

 


Soit
 
1 1
2 2
3 3
1
2
3
0 1 0 0
0 0 1 0
2 1 5 1
1 0 0
x x
x x u
x x
x
y x
x
       
       
 
       
       
  
       

 
 
  
 
 



CONTRÔLE AVANCE Page 16
Exemple 3
Trouvez la réalisation dans l’espace d’état de l’équation différentielle ordinaire
suivante, où les conditions initiales sont nulles.
3 2
3 2
5 2
d y d y dy
y u
dt dt dt
   
 
1 1
2 2
3 0 1 2 3
1
2
3
0 1 0 0
0 0 1 0
1
1 0 0
x x
x x u
x a a a x
x
y x
x
       
       
 
       
       
  
       

 
 
  
 
 



3 2
( ) 5 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
s Y s s Y s sY s Y s U s
   
Alternativement,
3 2
( ) 1
( )
( ) 5 2
Y s
G s
U s s s s
 
  
2
a 1
a 0
a
15
16

9. 2022-03-06
9
CONTRÔLE AVANCE Page 17
Forme canonique Observable
1 2
1 2 1 0
1
1 1 0
( )
,
( )
n n
n n
n n
n
b s b s b s b
Y s
U s s a s a s a
 
 


   

   


1
1 1 0
1 2
1 2 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
n n
n n
s Y s a s Y s a sY s a Y s
b s U s b s U s b sU s b U s


 
 
    
   


1
n m
 
1 1 0
1
1 2 1 0
2 1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n n n n
Y s Y s Y s
Y s a a a
s s s
U s U s U s U s
b b b b
s s s s
 
  
    
   


     
 
1 1 2 2
0 0
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
n n n n
Y s b U s a Y s b U s a Y s
s s s
b U s a Y s
s
   
 
     
 
 


  
 


1( )
X s
CONTRÔLE AVANCE Page 18
 
1 0 0
1
( ) ( ) ( )
X s b U s a Y s
s
  1 0 0
( ) ( ) ( )
x t b u t a y t
 

 
 
2 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
X s bU s a Y s X s
s
   2 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
x t b u t a y t x t
  

 
 
 
1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
X s b U s a Y s X s
s
  
   1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
x t b u t a y t x t
  
  

( ) ( )
n
Y s X s
 ( ) ( )
n
y t x t

Forme canonique Observable
17
18

10. 2022-03-06
10
CONTRÔLE AVANCE Page 19
 La représentation d’état sous forme d’observable :
1 0 1 0
2 1 2 1
1 1
( ) 0 0 ( )
( ) 1 0 ( )
( )
( ) 0 0 1 ( )
n n n n
x t a x t b
x t a x t b
u t
x t a x t b
 

       
       

       
 
       
       

       
 
 
     

 
1
2
( )
( )
( ) 0 0 1 0 ( )
( )
n
x t
x t
y t u t
x t
 
 
 
 
 
 
 


 Forme Observable
Forme canonique Observable
CONTRÔLE AVANCE Page 20
Exemple 4
Trouver la réalisation dans l’espace d’état de la fonction de transfert suivante
3 2
3 2
4 25 45 34
( )
2 12 20 16
s s s
G s
s s s
  

  
3 2
3 2
4 25 45 34
( )
2 12 20 16
s s s
G s
s s s
  

  
2
3 2
5 2
2
2 12 20 16
s s
s s s
 
 
  
2
1 1
2 2
3 2
2 1
2
6 10 8
s s
s s s
 
 
  
 
1 0 1 0
2 1 2 1
3 2 3 2
1
2
3
0 0
1 0
0 1
0 0 1 0 ( )
x a x b
x a x b u
x a x b
x
y x u t
x

       
       
  
       
       

       
 
 
 
 
 
 



 
1 1
1
2 2 2
1
3 3 2
1
2
3
0 0 8 1
1 0 10 2
0 1 6
0 0 1 2 ( )
x x
x x u
x x
x
y x u t
x
  
     
 
     
    
     
 
     

       

 
 
 
 
 
 



19
20

11. 2022-03-06
11
CONTRÔLE AVANCE Page 21
Forme canonique modale
( )
( ) ( )
( )
N s
Y s U s
D s
 0
1
( )
n
i
i i
r
r U s
s 

 
 
 

 

 Pour construire la représentation d’état sous forme canonique (modale),
nous devons effectuer une décomposition partielle de la fonction de
transfert respective
 Dans le cas où tous les pôles sont distincts, nous définissons :
1 1 1
( ) ( ) ( )
x t x t u t

 

1
1
1
( ) ( )
X s U s
s 


2
2
1
( ) ( )
X s U s
s 


 1
( ) ( )
n
n
X s U s
s 


2 2 2
( ) ( ) ( )
x t x t u t

 

( ) ( ) ( )
n n n
x t x t u t

 

1 1 2 2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
y t r x t r x t
r x t r u t
  
 

1 1 2 2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
Y s r X s r X s
r X s rU s
  
 

CONTRÔLE AVANCE Page 22
 L’équation dans l’espace d’état au cas où tous les pôles sont distincts:
1 1 1
2 2 2
( ) 0 0 ( ) 1
( ) 0 0 ( ) 1
( )
( ) 0 0 ( ) 1
n n n
x t x t
x t x t
u t
x t x t



       
       
       
 
       
       
 
     
 

     
  Forme canonique,
Pôles distincts
 
1
2
1 2 0
( )
( )
( ) ( )
( )
n
n
x t
x t
y t r r r r u t
x t
 
 
 
 
 
 
 


• La matrice A qui en résulte est une matrice diagonale.
• Les ODE sont découplés, chacun d’eux peut être résolu
indépendamment.
Forme canonique modale
21
22

12. 2022-03-06
12
CONTRÔLE AVANCE Page 23
Forme canonique modale
 Le diagramme de bloc des équations des différents états dans la forme
canonique peut être donné comme suit :
1

 1
r
1
2

 2
r
1
n

 n
r
1
∑

)
(t
u
)
(t
y








0
r
1
x
2
x
n
x
 Les ODE sont complètement
découplés les uns des autres.
 Contrôlabilité, Observabilité
CONTRÔLE AVANCE Page 24
Exemple 5
Trouvez la réalisation de la forme canonique modale de la fonction de
transfert suivante :
3 2
6 12
( )
8 19 12
s
G s
s s s


  
23
24

13. 2022-03-06
13
CONTRÔLE AVANCE Page 25
Forme canonique modale
 En cas de répétition des pôles, par exemple λ1 est répété p fois, la
fonction de transfert est décomposée sera :
1 1
11 12 2
0 2
1 1 1 2 1
( ) ( )
( ) ( )
p n p
p
n p
r r
r r r
Y s r U s
s s s s s
    
 
 
 
 
       
 
    
 
 
 
 Nous définissons:
1 1 1
( ) ( ) ( )
x t x t u t

 

1
1
1
( ) ( )
X s U s
s 


2 2
1
1
( ) ( )
( )
X s U s
s 


2 1 2 1
( ) ( ) ( )
x t x t x t

 

1
1
1
( )
X s
s 


1
1
( ) ( )
( )
p p
X s U s
s 


1 1
( ) ( ) ( )
p p p
x t x t x t
 
 


1
1
1
( )
p
X s
s  



•x1(t) couplé avec x2(t)
•xp–1(t) couplé avec xp(t)
CONTRÔLE AVANCE Page 26
11 1 12 2
1 2 1
1 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
p p p
n p n
y t r x t r x t
r x t r x t
r x t r u t

 
  
  
 


11 1 12 2
1 2 1
1 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
p p p
n p n
Y s r X s r X s
r X s r X s
r X s rU s

 
  
  
 


1 2 1
( ) ( ) ( )
p p
x t x t u t

 
 

1
2
1
( ) ( )
p
X s U s
s 
 


1
( ) ( ) ( )
n n p n
x t x t u t
  
 

1
1
( ) ( )
n
n p
X s U s
s   



Forme canonique modale
25
26

14. 2022-03-06
14
CONTRÔLE AVANCE Page 27
Forme canonique modale
 L’équation dans l’espace d’état en cas de répétition des pôles :
1
1 1
1
2 2
1
1
2
1 1
1
0 0
( ) ( ) 1
1 0 0
( ) ( ) 0
0
0 1
( ) ( ) 0
0 0
( ) ( ) 1
1
0 0
( ) ( ) 1
p p
p p
n p
n n
x t x t
x t x t
x t x t u
x t x t
x t x t






 
 
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
 
     
 
     
 
     
 
     
 
     
 
   
 




  
  




  
 


( )
t
Forme canonique,
pour les Pôles
multiples
CONTRÔLE AVANCE Page 28
1
2
11 12 1 2 1 0
1
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
p n p p
p
n
x t
x t
y t r r r r r x t r u t
x t
x t
 

 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 

 

 L’équation dans l’espace d’état en cas de répétition des pôles :
Forme canonique modale
Forme canonique,
pour les Pôles
multiples
27
28

15. 2022-03-06
15
CONTRÔLE AVANCE Page 29
Devoir 3: Fonction de transfert - Espace d’État
 Trouvez les réalisations dans l’espace d’état de la fonction de transfert
suivante, La forme de Frobenius commandable, la forme observable, et la
forme canonique modale.
3 2
( ) 2
( )
( ) 8 19 12
Y s s
G s
U s s s s

 
  
 Indice: Apprenez les fonctions suivantes dans Matlab et utilisez le pour
résoudre ce problème: roots, residue, conv.
CONTRÔLE AVANCE Page 30
Devoir 3A: Fonction de transfert - Espace d’État
 Effectuez une transformation étape par étape (par calcul de la matrice de
transfert) à partir de l’équations d’état suivantes pour donner lieu à la
fonction de transfert correspondante.
 
0 1 0 0
( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )
3 4 2 1
( ) 5 1 0 ( )
t t u t
y t t
   
   
   
   
   
  
   
 
x x
x

 Vérifiez votre résultat de calcul à l’aide de Matlab.
 Indice: Apprenez les fonctions suivantes dans Matlab et utilisez les pour
résoudre ce problème: ss2tf, tf2ss.
29
30