Approximation et interpolation polynomiale Fonctions polynomiales Fonctions trigonométriques Fonctions exponentielles On recherche des fonctions “simples” (polynômes, polynômes par morceaux, polynômes trigonométriques) passant par (ou proche) des points données Interpolation polynomiale par morceaux: interpol ˆ e de type spline. ´

1. Université de Thiès
UFR SI
Analyse Numérique
Support de cours
Hamed FALL
hamed.fall@univ-thies.sn
1

2. 2
Objectif:
On recherche des fonctions “simples” (polynômes, polynômes par
morceaux, polynômes trigonométriques) passant par (ou proche)
des points données
(𝑥0, 𝑦0) (𝑥1, 𝑦1) (𝑥2, 𝑦2) (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
… .
Autrement on recherche un polynôme 𝑃 𝑥
telles que 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖
pour 𝑖 = 0,1, … . , 𝑛

3. 3
Exemple:
Population d’un pays entre 1936 et 2005
𝑥𝑖
𝑦𝑖
Objectif trouver une fonction pour estimer la population
en 1970 ou la prédire en 2010

4. Existence de plusieurs fonctions d’approximations
 Trois principales sont:
1. Fonctions polynomiales
2. Fonctions trigonométriques
3. Fonctions exponentielles
Erreur d’approximation
4
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
𝑃 𝑥 − 𝑓(𝑥)

5. Interpolation polynomiale
5
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
Polynôme de Lagrange Différences divisées

6. 6
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.1 Polynôme de Lagrange
Les données (𝑥0, 𝑦0) (𝑥1, 𝑦1) (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑛 + 1 points
Trouver une fonction simple 𝑃 𝑥
telles que 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 pour 𝑖 = 0,1, … . , 𝑛
𝑃 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ … . 𝑎𝑛𝑥𝑛 =
Polynôme
Existence d’un polynôme 0
( ) ( )
n
i i
i
P x y L x

 

7. 7
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.1 Polynôme de Lagrange
0
(
) (
)
n
ii
i
P
x y
L
x


 0,
( )
( )
( )
n
j
i
j j i i j
x x
L x
x x
 




ave
c
Pour 𝑛 = 2 0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
P x y L x y L x y L x
  
1 2
0
0 1 0 2
( )( )
( )
( )( )
x x x x
L x
x x x x
 

 
0 2
1
1 0 1 2
( )( )
( )
( )( )
x x x x
L x
x x x x
 

 
0 1
2
2 0 2 1
( )( )
( )
( )( )
x x x x
L x
x x x x
 

 

8. 8
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.1 Polynôme de Lagrange
Exemple
𝒙𝒊 -1 0 1
𝒚𝒊 8 3 6
0 2 0 1
1 2
0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x
xx
x x
xx
x
x
xx
x
P
x y y y
xxxx xxxx xxxx
   
 
  
     
Soit
Les données
1 2
0
0 1 0 2
( )
( ) ( 0
)
( 1
) ( 1
)
()
( )
( ) (10
)
(11
) 2
x x x x x x x
x
Lx
x x x x
    
  
  
 


9. 9
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.1 Polynôme de Lagrange
𝒙𝒊 -1 0 1
𝒚𝒊 8 3 6
0 2
1
1 0 1 2
( )( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
( )
( )( ) (0 1)(0 1) 1
x x x x x x x x
L x
x x x x
     
  
    
0 1
2
2 0 2 1
( )( ) ( 1)( 0) ( 1)
( )
( )( ) (1 1)(1 0) 2
x x x x x x x x
L x
x x x x
    
  
   
( )( 1) ( )( 1)
( ) 8 3( 1)( 1) 6
2 2
x x x x
P x x x
 
    
( ) 4 ( 1) 3( 1)( 1) 3 ( 1)
P x x x x x x x
      
2
( ) 4 3
P x x x
  

10. 10
Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.1 Polynôme de Lagrange
Exemple 2 Approximation de cos(𝑥)
𝑥𝑖 connues 𝒙𝒊 0 𝝅 2𝝅
𝒚𝒊 1 -1 1
0 2 0 1
1 2
0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x
xx
x x
xx
x
x
xx
x
P
x y y y
xxxx xxxx xxxx
   
 
  
     
0 2
( )( 2 )
( )
2
x x
L x
 

 
 1 2
( 2 )
( )
x x
L x



  2 2
( )
( )
2
x x
L x




2 2 2
( )( 2 ) ( 2 ) ( )
( )
2 2
x x x x x x
P x
   
  
   
  
𝑦𝑖 calculée
s

11. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
Les données (𝑥0, 𝑦0) (𝑥1, 𝑦1) (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑛 + 1 points
Trouver une fonction simple 𝑃 𝑥
telles que 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 pour 𝑖 = 0,1, … . , 𝑛
Le polynôme d’ordre 𝑛 s’écrit
0
( ) ( )
n
k k
k
P x e x


 

12. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
avec
0
( ) ( )
n
k k
k
P x e x


 
1
0
( ) ( )
k
k i
i
e x x x


 
 Par convention 0 ( ) 1
e x 
1 0
( ) ( )
e x x x
 
2 0 1
( ) ( )( )
e x x x x x
  
3 0 1 2
( ) ( )( )( )
e x x x x x x x
   
0 1 2 1
( ) ( )( )( )...( )
n n
e x x x x x x x x x 
    
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n n
P x e x e x e x e x
   
    

13. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
0
( ) ( )
n
k k
k
P x e x


 
et  
1
, ,...
k o k
f x x x
 
 
0 o
f x
 
 
1 1
,
o
f x x
 
 
2 1 2
, ,
o
f x x x
 
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n n
P x e x e x e x e x
   
    
   
0 0 1 0 0 1 2 0 1
( ) ( ) , ( ) , , ( )( ) ...
P x f x f x x x x f x x x x x x x
      

14. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
Soit  
0 0
( )
o
f x f x
  
  1 0
1 1
1 0
,
o
y y
f x x
x x


 

3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
  1
1
1
, i i
i i
i i
y y
f x x
x x






  2 1
1 2
2 1
,
y y
f x x
x x



  3 2
2 3
3 2
,
y y
f x x
x x



  4 3
3 4
4 3
,
y y
f x x
x x




15. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
 
   
1 2 1
2 1
2
, ,
, , i i i i
i i i
i i
f x x f x x
f x x x
x x
  
 




 
   
1 2 0 1
2 0 1 2
2 0
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x


 

 
   
2 3 1 2
1 2 3
3 1
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x



 
   
3 4 2 3
2 3 4
4 2
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x



 
   
4 5 3 4
3 4 5
5 3
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x




16. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
 
 
 
1
2
3 0
1
2
3 1
2
3
3
0
,
, ,
,
,
,
,
o
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
 
 

 
   
2 1 3 2 1
3 1 2 1
3
, , , ,
, , , i i i i i i
i i i
i i
f x x x f x x x
f x x x x
x x
    
  




 
   
2 3 4 1 2 3
1 2 3 4
4 1
, , , ,
, , ,
f x x x f x x x
f x x x x
x x



 
   
3 4 5 2 3 4
2 3 4 5
5 2
, , , ,
, , ,
f x x x f x x x
f x x x x
x x



 
   
4 5 6 3 4 5
3 4 5 6
6 3
, , , ,
, , ,
f x x x f x x x
f x x x x
x x




17. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
 
   
1 2 0 1 1
1
0
, ,..., , ,....,
, ,... k k
k o k
k
f x x x f x x x
f x x x
x x
 

 

3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
0 0 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n n
P x e x e x e x e x
   
    
   
0 0 1 0 0 1
( ) ( ) , ( ) 0, 1, 2 ( )( ) ...
P x f x f x x x x f x x x x x x x
      

18. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
Tableau à remplir pour un polynôme de degré 𝑛 = 4
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑓[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−3, 𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−4, 𝑥𝑖−3, 𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
0 𝑥0 𝑦0
1 𝑥1 𝑦1 𝑓[𝑥0, 𝑥1]
2 𝑥2 𝑦2 𝑓[𝑥1, 𝑥2] 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2]
3 𝑥3 𝑦3 𝑓[𝑥2, 𝑥3] 𝑓[𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]
4 𝑥4 𝑦4 𝑓[𝑥3, 𝑥4] 𝑓[𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
𝑓[𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
   
   
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3
( ) ( ) , ( ) , , ( )( )
, , , ( )( )( ) , , , , ( )( )( )( )
P x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x
      
       
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x e x e x e x e x e x
    
    

19. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
Tableau à remplir
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑓[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−3, 𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−4, 𝑥𝑖−3, 𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
0 -3 2
1 -1 0 -1
2 0 2 2 1
3 2 -1 -1,5 -1,167 -0,433
4 4 1 1 0,625 0,358 0,113
( ) 2 ( 3) ( 3)( 1) 0.433( 3)( 1)( ) 0.113( 3)( 1)( )( 2)
P x x x x x x x x x x x
            

20. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
Exemple 2 Approximation de cos 𝑥
Ici 𝑓 𝑥 = cos(𝑥) et
𝒙𝒊 0 𝝅 2𝝅
𝒚𝒊 1 -1 1
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
𝑥0 = 0, 𝑥1 = 𝜋, 𝑥2 = 2𝜋
On calcule les 𝑦𝑖 tel que 𝑦𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 = cos(𝑥𝑖)
   
0 0 1 0 0 1
( ) ( ) , ( ) 0, 1, 2 ( )( )
P x f x f x x x x f x x x x x x x
     
On veut un polynôme de degré 𝑛 = 2

21. Chapitre 3 : Approximation et interpolation polynomiale
Exemple 2 Approximation de cos 𝑥
3.2 Différences divisées ou interpolation de Newton
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑓[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] 𝑓[𝑥𝑖−2, 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]
0 𝑥0 𝑦0
1 𝑥1 𝑦1 𝑓[𝑥0, 𝑥1]
2 𝑥2 𝑦2 𝑓[𝑥1, 𝑥2] 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2]
2
2 2
( ) 1 ( )( )
P x x x x 
 
   
  1 0
1
1 0
1 1 2
,
0
o
y y
f x x
x x  
   
  
 
  2 1
1 2
2 1
1 ( 1) 2
,
2
y y
f x x
x x   
  
  
 
𝒙𝒊 0 𝝅 2𝝅
𝒚𝒊 1 -1 1
𝑦0 = 1
 
   
1 2 0 1
0 1 2 2
2 0
2 2
( )
, , 2
, ,
2 0
f x x f x x
f x x x
x x
 
 
 

  
 