1. Lycée Marcelin Berthelot – Maths en JEANS 2009
Sébastien Canu – David Nowinsky

2. Partie I

3. L’objet
Il doit être :
 plan
 convexe
 pouvoir en calculer l’aire
 pouvoir calculer des parties de son aire
 flottant (densité < 1 et même en dessous pour que la
surface de flottaison ne soit pas nulle)

4. Quelques objets

5. Ce qu’on lui fait subir
 On le plonge dans l’eau
 On le fait tourner

6. Notation
 On notera d la densité, c’est-à-dire le rapport entre
l’aire de la zone mouillée et l’aire totale de l’objet.
a
d
A

7. Ce qu’on cherche
Quelle est la surface de l’objet qui n’est jamais mouillée
lors de notre expérience ?
On appelle cette surface la surface de flottaison.

8. Dispositif expérimental
Avec plongée Super objet transparent (TM)
On évite les déformations dues à la réfraction.

9. Exemple facile : le cercle
 La surface de flottaison d’un cercle est un cercle
concentrique. Avec R le rayon du cercle et r le rayon de
la surface de flottaison,
R² d R² arccos(r / R) r R sin(arccos r / R))
(
R
r

10. Partie II

11. Méthode d’étude
 On prend un triangle équilatéral de densité d.
 On fait bouger un point M sur un des côtés et on
considère que ce point appartient { la surface de l’eau.
 Où se trouve le point N tel que la droite (MN) soit la
surface de l’eau ?

12. Paramétrage
 Pour faciliter les calculs, on préfère garder le triangle
fixe et faire bouger l’eau !
 On note m l’abscisse de M.

13. Equation de la surface de flottaison
 On trouve, avec m la position du point M sur le côté,
que la droite (MN) (surface de l’eau) est donnée par :

14. Tracé de la surface de flottaison
Lorsqu’on fait varier m :

15. Tracé de la surface de flottaison
 Pour obtenir la totalité de la surface de flottaison, il
suffit de faire 2 rotations de 120° et de centre le centre
du triangle.
 Ici : d=0.1

16. Influence de la densité
d=0.35 d=0.02

17. Partie III

18. Deux cas à distinguer
Cas du triangle Cas du trapèze

19. Cas du triangle
 On cherche les
coordonnées polaires du
point S, c’est-à-dire h en
fonction de θ.
1
h 2 cos( ) c d sin( 2 )
2 4

20. 1
Cas du triangle h
2
2 cos(
4
) c d sin( 2 )

21. Cas du trapèze
 On cherche les
coordonnées polaires
du point S, c’est-à-dire
h en fonction de θ.
cos( )
h c (1 2d )
2

22. cos( )
h c (1 2d )
Cas du trapèze 2

23. Raccord des solutions
 On cherche à quel angle
θ correspond le cas
limite.
arctan( d )
2
 On définit alors la
fonction par morceaux.

24. Influence de la densité
Densité d=0.4 Densité d=0.01

25. Tracé de la surface de flottaison
 Maintenant qu’on a tous
les points S, il faut tracer
toutes les perpendiculaires
aux droites OS passant par
S pour obtenir toutes les
surfaces de l’eau.
 Ici, pour une densité de
d=0.1.

26. Influence de la densité
Densité d=0.48 Densité d=0.01

27. Et après ?...
 En faisant tendre vers l’infini le nombre de droites
tracées, on trouve la totalité de la zone mouillée.
 La surface de flottaison est le complémentaire de cet
ensemble dans le plan.

28. Pistes de recherches :
• d’autres surfaces (ellipses, polygones réguliers ou non,... )
• généralisation (une formule générale de cette surface ?)
• étudier les propriétés de la surface (points de rebroussement,
…)
• tester d’autres surfaces dans votre lavabo !
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