Seminararbeit-GANZ

Johann-Philipp-von-Schönborn-Gymnasium
Sprachliches Gymnasium – Humanistisches Gymnasium – Ganztagsgymnasium
S E M I N A R A R B E I T
Rahmenthema des Wissenschaftspropädeutischen Seminars:
Leitfach: Mathematik
Das Geheimnis von √-1
Abiturjahrgang 2010/2012
Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie im Bezug auf praktische Anwendungen
Verfasser: Nicholaas de Young, Tiger
Kursleiter: StD Neugebauer
Abgabetermin: 8. November 2011

Inhaltsverzeichnis:
1. Einführende Informationen
2. Chaos
2.1 Schmetterlingseffekt
2.2 Taschenrechner-Beispiel
2.3 Deterministisches Chaos (Laplace’scher Dämon)
3. Mandelbrotfraktale
3.1 Fraktale allgemein
3.2 Selbstähnlichkeit
3.3 Hausdorff- und fraktale Dimension
3.4 Iteration
3.5 Das Apfelmännchen
4. Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie
4.1 Begründung für Ordnung im Chaos
4.2 Voraussagen „chaotischer“ Formen anhand Mandelbrotfraktale
5. Praktische Anwendungen der Mandelbrotfraktale
5.1 Anwendungen in der Filmindustrie
5.2 Anwendungen in der Wirtschaft
5.3 Fraktale an der Börse
6. Zusammenfassung
7. Literaturliste

3
Seminararbeit zum Thema
„Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie im Bezug auf praktische Anwendungen“
1. Einführende Informationen
Mandelbrotfraktale sind eine der modernen Entdeckungen in der Mathematik und haben
einen wichtigen Platz in vielen Bereichen der Wissenschaft, nicht nur in der
Mathematik, gefunden. In der Kunstwelt werden sie aufgrund ihrer mystischen
Schönheit bewundert und in der Filmindustrie wird deren Merkmal der
Selbstähnlichkeit benutzt, um unglaublich realistische Bilder künstlich herzustellen1
.
Auch in der Wirtschaft wurde ihre Rolle schon anerkannt, um eine mit Chaos geprägte
Wirtschaft voraussagen zu können2 3
. Ihr wichtigster wissenschaftlicher Beitrag liegt
allerdings in der Mathematik bei der Chaostheorie. Jedoch könnten sie künftig viel mehr
Information über unser Universum preisgeben.
In dieser Seminararbeit wird versucht, die näheren Anwendungen von
Mandelbrotfraktalen in den oben genannten Bereichen mit mathematischen Beispielen
zu erklären.
2. Chaostheorie
Die Chaostheorie ist eines der neusten Themen in der Mathematik. Das sogenannte
„Chaos“ wurde zuerst von Edward N. Lorenz, einem amerikanischen
Wetterwissenschaftler, im Jahr 1960 entdeckt, als er versuchte, mit einem damaligen
Computer die Wettervoraussage zu berechnen4
. Er hatte die Daten bis zur dritten
Kommastelle eingegeben, was zu der Zeit als sehr akkurat angesehen wurde. Allerdings
1
Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness
2
Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward
3
Siehe <12> The Variation of Certain Speculative Prices
4
Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.13ff

4
als er den gleichen Vorgang mit einer zusätzlichen Kommastelle durchführte, ergab sich
plötzlich ein ganz anderes Ergebnis als bei der ersten Rechnung5
.
2.1 Schmetterlingseffekt
Dieses Phänomen nannte er den Schmetterlingseffekt6
, welchen er in seinem Werk
„Vorhersagbarkeit: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen
Tornado in Texas auslösen?“7
im Jahr 1972 an der Universität Cambridge
veröffentlichte. Der Schmetterlingseffekt liegt heutzutage im Herzen der Chaostheorie
und behauptet, dass ein kleiner, auch übersehbarer Unterschied am Anfang eines
Prozesses zu einem drastisch anderen Ergebnis führen könne.8
Ein Beispiel dessen ist
ein Ball, der sich an einem Berggipfel befindet. Wenn er einen Zentimeter nach links
oder rechts gesetzt wird, kann die neue Lage entscheiden, ob der Ball beispielsweise in
einen Tal nach rechts oder links herunterrollt oder gar stehen bleibt. Die Ergebnisse
können je nach Anfangsbedingungen extrem variieren. So tritt Chaos auch in der
Mathematik auf.
2.2 Taschenrechner-Beispiel
Auch bei der Rechnung auf Computern ist Chaos präsent. Ein gutes Beispiel dazu ist
das Runden eines Taschenrechners. Geht man davon aus, dass zwei Taschenrechner
fehlerfrei und gleich rechnen, dann sollten auch deren Ergebnisse gleich sein.
Allerdings funktioniert dies oft nicht in der Praxis, da alle Taschenrechner auf eine
bestimmte Zahl von Kommastellen beschränkt sind, welche variieren kann.
Im folgenden Versuch wurden zwei Taschenrechner verwendet, die angeblich fehlerfrei
und gleich rechnen. Beim Taschenrechner A handelt es sich um einen TI-84 Plus, Silver
Edition, von Texas Instruments, der insgesamt zehn Stellen ausrechnet. Anders beim
5
Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.13ff
6
Englisch: Butterfly Effect
7
Veröffentlicht im Jahr 1972 unter dem Titel: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil
set off a tornado in Texas?
8
Siehe <9> Predictability: Does the flap of a butterly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?

5
Taschenrechner A ist Taschenrechner B ein markenloser Werbungstaschenrechner mit
insgesamt acht Ziffern.
Die Funktion f(x) = 2x + 1 wird iteriert, indem das Ergebnis wieder in die Funktion
eingesetzt wird. Also wird die folgende Rechnung beim Taschenrechner A und B
durchgeführt:
f(fx) = 2x + 1 ; gilt als Anfangswert für x
Die folgende Tabelle zeigt die auftretenden Unterschiede in den Ergebnissen:
Iterationen Taschenrechner A Taschenrechner B
0 2,333333333 2,3333332
1 5,666666666 9,6666664
2 12,33333333 19,333332
3 25,66666666 38,666664
4 52,33333332 78,333328
5 105,6666664 157,66665
6 212,3333328 316,3333
Somit kann man feststellen, dass auch kleine, übersehbare Unterschiede trotz der hohen
Genauigkeit der beiden Taschenrechner zu großen Abweichungen der Ergebnisse
führen können. Dieses „Chaos“ ist unvermeidbar aufgrund des endlichen Rechnens und
würde genauso auf dem besten Rechner der Welt auftreten, da auch er nicht unendlich
rechnen kann.9
9
Siehe <1>, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.51

6
2.3 Deterministisches Chaos (Laplace„scher Dämon)
Allerdings sei Chaos besiegbar in Form des Laplace‟schen Dämons, welcher von
Pierre-Simon Laplace im 18. Jahrhundert erfunden wurde, indem man alles über alle
Prozesse und Objekte im Universum wüsste (wie zum Beispiel, Geschwindigkeit,
Richtung und Lage), und so wäre einem die Zukunft komplett offenbart10
. Dies drückte
er im folgenden Zitat aus:
„Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die
Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und
die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen,
würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des
leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und
Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen.“11
Diese Theorie nannte er „deterministisches Chaos“ und behauptete, dass Chaos nicht
chaotisch wäre; wüsste man nur genug darüber, so würde aus Chaos Ordnung12
.
3. (Mandelbrot-) Fraktale
Benoît Mandelbrot erfand den Ausdruck „Fraktal“, um chaotische Formen zu
beschreiben, die als chaotisch galten und somit unbeschreibbar waren13
. Er erkannte
jedoch, dass diese chaotischen Formen ein bestimmtes Merkmal, das sie miteinander
teilten: die Selbstähnlichkeit, besaßen14
.
10
Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.12
11
Übersetzung aus dem Englischen; siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.12
12
13
14
Siehe <3> The Beauty of Fractals, S.VI

7
3.1 Selbstähnlichkeit
Aufgrund dieses Merkmals ließen sich nun viele „chaotische“ Formen mit Fraktalen
beschreiben, da diese Formen das gleiche Muster mit nur wenigen Varianten besaßen.
Das Aussehen solcher Formen beschrieb er als „Rauheit“, welche mit Fraktalen
herzustellen sei.15
Das Merkmal der Selbstähnlichkeit ist fast omnipräsent. Es ist der Grund, warum
heutzutage erstaunlich realistische Bilder von natürlichen Objekten, wie zum Beispiel
Wolken oder Bäumen, hergestellt werden können16
. Dies wird durch die sogenannte
Rauheit gemacht17
. Ein Beispiel ist eine Wolke, deren Rauheit möglicherweise 2,64
beträgt18
.
Eine Küste, deren Form offenbar keinem Muster ähnelt, besitzt auch Selbstähnlichkeit.
Wenn sie vergrößert wird, bleibt sie gleich kompliziert. Wie kompliziert bestimmt die
Rauheit, die wiederum ein realistisches, künstliches Herstellen dessen ermöglicht.
3.2 Ausrechnen der Hausdorff-Dimension
Diese Rauheit kann mit der Hausdorff-Dimension ausgerechnet werden, die einem
Raum eine Dimension zuordnet. Sie liegt normalerweise zwischen 1 (zum Beispiel ein
Strich) und 2 (beispielsweise etwas so komplex wie ein Mandelbrotfraktal). Allerdings
muss sie nicht zwingend eine reelle Zahl sein. Die Hausdorff-Dimension eines Punktes
beträgt 0, wobei die einer Linie 1 beträgt. Das Mandelbrotfraktal besitzt eine Hausdorff-
Dimension von 2.
Die Hausdorff-Dimension wird berechnet, indem die Anzahl einer verkleinerten Form
durch deren Maß dividiert wird. Die allgemeine Formel für eine selbstähnliche Struktur
lautet19
:
15
16
17
18
Siehe 5.1 Anwendung in der Filmindustrie
19

8
Dabei a = die Anzahl der verkleinerten Teile der originalen Struktur; s = der
Verkleinerungsfaktor (das heißt, der Maß); und D = die Dimension.20
Somit ergibt sich beispielsweise bei einem Quadrat:
Da neun Quadrate im Maß 1:3 in ein Quadrat passen. Nimmt man eine komplexere
Struktur, wie zum Beispiel die Koch-Kurve, so können vier Teile des Ganzen im Maß
1:3 in das Original einpassen. So ergibt sich folgende Gleichung:
Versucht man aber die fraktale Dimension einer Struktur auszurechnen, die keine
genaue Selbstähnlichkeit besitzt (zum Beispiel: der britischen Küste), funktioniert die
oben genannte Formel nicht mehr. So muss man die Boxcounting-Methode anwenden,
die von Mandelbrot auf Basis der Hausdorff-Dimension erfunden wurde.21
3.4 Iteration
Der Prozess der Iteration wurde zum ersten Mal von Sir Isaac Newton und Gottfried W.
Leibniz verwendet und spielt bis heute noch in allen Bereichen der Wissenschaft eine
wichtige Rolle.22
Sie kann beispielsweise angewendet werden, um die Lage und
Geschwindigkeit eines Partikels aufgrund seiner vorherigen Lage und Geschwindigkeit
zu einem gewissen Zeitpunkt auszukalkulieren. Physiker denken dabei oft im Rahmen
unendlicher Zeitschritte: natura non facit saltus - Die Natur macht keine radikalen
Sprünge. 23
20
21
22
23
Übersetzt aus dem Englischen; siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.17

9
Anders wird sie in der Biologie verwendet, um beispielsweise Änderungen in einer
gegebenen Bevölkerung von Jahr zu Jahr (beziehungsweise von Generation zur
Generation) zu beobachten. Allerdings bleibt das Prinzip der Iteration in allen Fällen
gleich, wie das folgende Diagramm zeigt.
3.5 Das Apfelmännchen
Das sogenannte „Apfelmännchen“ wurde von Benoît B. Mandelbrot im Jahr 1979 als
Abbildung seines Mandelbrotfratkals kreiert24
, indem er die Iterationen des Fraktals mit
verschiedenen Tönen einer Farbe (unten: blau) färbte25
. Dies ist nur mit Hilfe eines
Computers möglich, da die Rechnung bis ins feinste Detail durchgeführt werden muss.
24
Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.415f
25
Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.417ff
Iteration
AusgangswertEingabewert Gleichung

10
Quelle: Wikimedia26
Das Apfelmännchen etablierte sich schnell als eine Art „Standardsymbol“ für Fratkale,
obwohl es eines der neusten Fratkale ist, die es heutzutage gibt27
. Allerdings war die Art
der Abbildung neu und ist jetzt Standard, um Fratkale „schön“ darzustellen.
4. Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie
Das Mandelbrotfraktal (auch bekannt als „Mandelbrotmenge“) fand sehr schnell einen
Platz in der Chaostheorie, da es als Beispiel benutzt wurde, dass man im Chaos
Ordnung finden könnte. Dies wurde am Beispiel des Mandelbrotfraktals begründet,
denn es sieht sehr komplex und unendlich chaotisch aus; ist aber in der Tat
selbstähnlich und deshalb extrem einfach28
.
4.1 Begründung für Ordnung im Chaos
Auf dem ersten Blick erscheint das Mandelbrotfraktal, völlig chaotisch und
unregelmäßig zu sein. Allerdings ist dies nicht der Fall aufgrund seines Merkmals der
26
Wikimedia.org, Internetseite
https://secure.wikimedia.org/wikipedia/en/wiki/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg, abgerufen am
04.11.2011
27
Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.415f
28

11
Selbstähnlichkeit (siehe 3.1). Durch die Erfindung des Fraktals wurden „chaotische“
Formen plötzlich regelmäßig, da ihre Selbstähnlichkeit zum ersten Mal erkannt wurde29
.
So wurden aus anscheinend sehr chaotischen und unregelmäßigen Formen Ordnung30
.
5. Praktische Anwendungen
Fraktale haben in mehreren Industrien und Bereichen der Wissenschaft einen wichtigen
Platz gefunden. Sie helfen beispielsweise in der Medizin, den Raum einer Lunge mit
allen Bronchien und Blasen auszurechnen31
. In der Wirtschaft versucht man anhand
Fraktale Börsen und Rohstoffpreise voraussagen zu können32
. Im öffentlichen Sektor
könnten Fraktale künftig verwendet werden, um Erdbeben aufgrund ihres fraktalen
Charakters vorauszusagen33 34
. Viele weitere Anwendungen findet man noch in den
Geowissenschaften35
. Da die Zahl der praktischen Anwendungen von Fraktalen extrem
hoch ist, werden hauptsächlich nur die Anwendungen in der Filmindustrie, der
Wirtschaft und schließlich bei der Börse in dieser Seminararbeit erläutert.
5.1 Anwendung in der Filmindustrie
In der Filmindustrie spielt das Mandelbrotfraktal mit anderen Fraktalen eine große
Rolle. Sie werden verwendet, um natürliche Objekte künstlich abzubilden, sodass ein
sehr realistisches Bild entsteht36
.
Unten sind zwei Beispiele von ähnlichen Wolken. Allerdings ist nur eine „echt“, und
die andere aus einem Fraktal hergestellt.
29
30
31
32
33
Siehe <5> Fractals in Earth Sciences, S.227ff
34
Siehe <13> Fractal Power, S.3
35
Siehe <5> Fractals in Earth Sciences, S.1ff
36

12
Diese künstliche Wolke hat eine Hausdorff-Dimension von 2,6437
Quelle: Siehe <10> What Is Cloud Rendering?
Diese echte Wolke besitzt eine Hausdorff-Dimension von 2,6438
Quelle: Siehe <11> Neuland in der Wolke?
Anhand dieser zwei Beispiele ist zu erkennen, dass zwei Bilder (ein natürliches und ein
künstliches) beides erstaunlich realistisch aussehen. Hier sieht man, wie die Hausdorff-
Dimension (das heißt, die Rauheit) eines echten Objektes (hier: einer Wolke) verwendet
werden kann, um ein ebenso realistisches Bild herzustellen39
.
37
Ausgerechnet am 05.11.2011 mit dem Programm ImageJ mit dem Plugin FracLac 2.5
38
Ausgerechnet am 05.11.2011 mit dem Programm ImageJ mit dem Plugin FracLac 2.5
39
Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughnes

13
5.2 Anwendungen in der Wirtschaft
Benoît Mandelbrot fing in der späteren Hälfte des Jahrhunderts an, die Wirtschaft und
deren Aufschwünge und Platzen zu erforschen40
. Er suchte ein passenderes Modell, das
noch nicht vorhanden war, da seiner Meinung nach alle bis dann erstellten Modelle sehr
große Aufschwünge und sehr große Wirtschaftsplatzen ignoriert hätten. So seien alle
Details bei einem Modell zu betrachten, egal wie wichtig, beziehungsweise unwichtig
sie erschienen.
Zunächst betrachtete er die monatlichen amerikanischen Wollpreise vom Jahr 1890 bis
Jahr 193041
. Aus diesen bisher als chaotisch gesehenen Daten erkannte er ein
besonderes Merkmal: die Selbstähnlichkeit. Egal ob er einen Ausschnitt von zwanzig
Jahren oder zwanzig Monaten anschaute, sah der Graph ähnlich aus.
So meinte er, dass sich die Preise sporadisch und stoßweise bewegten42
. Man müsse
bloß den Preis über einen längeren Zeitraum näher betrachten43
. Nur so ergab sich das
erkennbare fraktale Muster.
5.3 Fraktale an der Börse
Eine ähnliche Theorie stellte er im Rahmen der Börse vor44
. Allerdings ist diese trotz
desselben Prinzips durch eine höhere Komplexität gekennzeichnet45
. Die Behauptung,
dass man alle Details eines Prozesses (dies wird oft für unmöglich gehalten46
)
betrachten müsse, entspricht der klassischen Chaostheorie47
.
Mandelbrot lehnte das klassische Modell der Gaußglocke (ein glockenförmiger Graph
mit hohen Y-Werten um den Punkt 0; 0) als Modell für das Verhalten der Börse ab48
, da
40
Siehe <14> Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets
41
42
43
Siehe <7> Benoit Mandelbrot and the wildness of the financial markets
44
45
46
Siehe 2.3 Deterministisches Chaos ( Laplace’scher Dämon)
47
48

14
die Realität oft zu sehr davon abweiche49
. Die häufigen Aufblähungen und Crashs der
Börse würden bei der Gaußglocke zu wenig berücksichtigt50
. Allerdings seien laut
Mandelbrot Phasen bei der Börse zu merken, in denen die Börse „ruhiger” sei und sich
eher an die Gaußglocke halte. Umgekehrt gebe es auch „unruhige” Phasen mit vielen
Aufblähungen und Crashs. So solle kein heutiges Modell in der Lage sein, die Börse
akkurat genug darzustellen51
. Jedoch könnten Mandelbrotfraktale eine wichtige Rolle
bei der Erstellung eines relativ akkuraten, langfristigen Modells der Börse spielen52
.
eine typische Gaußglocke53
6. Zusammenfassung
Obwohl die Fraktale eines der neusten Bereiche der Mathematik sind, können sie mit
weiterer Forschung noch viel mehr für die Wissenschaft (in all ihren Bereichen) und gar
für die Menschheit tun. Sie haben das Potenzial, Menschenleben zu retten,
mathematische Geheimnisse zu aufzudecken und sogar Ordnung in einer anscheinend
chaotischen Wirtschaft zu schaffen. Was sich alles noch hinter diesen chaotisch
aussehenden Formen verbirgt, wird sich jedoch erst im Laufe der Zeit zeigen.
49
Siehe <16> Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street
50
51
Siehe <16> Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street
52
Siehe <16> How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street
53

15
Literaturliste
1. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals,
New Frontiers of Science, Springer-Verlag New York, 2004, 2. Auflage.
2. Stauffer, Dietrich; Stanley, H. Eugene; From Newton to Mandelbrot, Springer-
Verlag Berlin Heidelberg New York, 1996, 2. Auflage .
3. Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H.; the Beauty of Fractals, Springer-Verlag
Berlin Heidelberg, 1986.
4. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Fractals for the
Classroom, Part Two, Springer-Verlag New York, 1992.
5. Barton, Christopher Cramer; La Pointe, Paul R.; Fractals in the Earth Sciences,
Plenum Press New York, 1995.
6. Kaplan, Ian; „Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk,
Ruin, and Reward”, Internetseite
http://www.bearcave.com/bookrev/misbehavior_of_markets.html vom
30.11.2004, aufgerufen am 24.10.2011.
7. Matson, John; „Benoit Mandelbrot and the wildness of the financial markets”,
Internetseite http://www.scientificamerican.com/blog/post.cfm?id=benoit-
mandelbrot-and-the-wildness-2009-03-13 vom 13.03.2009, aufgerufen am
24.09.2011
8. „Ted”; „Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness”, Internetseite
https://www.youtube.com/watch?v=ay8OMOsf6AQ vom 06.07.2010,
aufgerufen am 09.10.2011.
9. Lorenz, Edward N.; „Predictability: Does the flap of a butterly’s wings in Brazil
set off a tornado in Texas?”, Internetseite
http://eapsweb.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf vom 29.12.1972
(Veröffentlichungsdatum), aufgerufen am 24.09.2011.
10. Bisson, James; „What is cloud rendering?”, Internetseite
http://www.ehow.com/facts_6831487_cloud-rendering_.html vom 2011,
11. Unbekannt; „Neuland in der Wolke“, Internetseite http://www.industrial-
technology-and-witchcraft.de/index.php/site/comments/478, vom 30.11.2009,
aufgerufen am 05.11.2011

16
12. Mandelbrot, Benoît; „The Variation of Certain Speculative Prices“,
Internetseite http://www.e-m-h.org/Mand63.pdf, vom Jahr 1963
(Veröffentlichungsdatum), aufgerufen am 05.11.2011.
13. Patterson, Kay; „Fractal Power“, Internetseite
http://www.firstscience.com/home/articles/big-theories/fractal-power-page-2-
1_47300.html, vom 02.05.2008, aufgerufen am 24.09.2011.
14. „Public Broadcast Service“; „Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black
Swan) on Markets”, Internetseite
https://www.youtube.com/watch?v=QCsLTPGpEfw, vom 30.01.2010,
15. Challoner, Jack; „How Mandelbrot’s fractals changed the world”, Internetseite
http://www.bbc.co.uk/news/magazine-11564766, vom 18.10.2010, aufgerufen
am 06.11.2011.
16. Mandelbrot, Benoît; „How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall
Street“, Internetseite,
http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=multifractals-explain-wall-
street, vom 15.09.2008, aufgerufen am 06.11.2011.

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