La Modélisation      Nizar El Hachemi         11 mars 2011Nizar El Hachemi   La Modélisation
Introduction  On peut résumer la modélisation à l’habileté à traduire divers  problèmes par des relations mathématiques. L...
Quelques exemples de base  Les chaises de M. Eugène  M. Eugène a adapté pour la production en courtes séries, deux  modèle...
Quelques exemples de base  Les chaises de M. Eugène  M. Eugène se propose de consacrer à la fabrication de ces chaises  to...
Quelques exemples de base  Les chaises de M. Eugène      Opération       Porte-à-faux       Barcelone         Heures dispo...
Quelques exemples de base  Construction d’un modèle linéaire  L’information importante est le nombre de chaises porte-à-fa...
Quelques exemples de base  Construction d’un modèle linéaire  Il y a bien sûr des empêchements naturels, appelés contraint...
Quelques exemples de base  Construction d’un modèle linéaire  Contrainte de laquage s’écrit comme suit : 30xA + 45xB ≤ 100...
Quelques exemples de base  Modèle final                   Max 450xA + 800xB                     (1)                        ...
Les hypothèses de la programmation linéaire  la programmation linéaire  Le problème utilisé pour traduire le problème de M...
Forme générale d’un modèle linéaire  modèle linéaire                    Max (Min)z =            ci xi        (10)         ...
Les conditions de linéarité  Conditions    1 Le modèle comporte une fonction-objectif qu’il s’agit soit de      maximiser,...
Un problème de comptabilité de gestion  Définition du problème  Vincent pratique le métier ébéniste, sa spécialité est la f...
Un problème de comptabilité de gestion  Définition du problème  Une grande part de la main-d’oeuvre est occasionnelle, elle...
Données  Résumé de la situation financière au 1er juin                                                   Actif    Passif   ...
Un problème de comptabilité de gestion  Définition du problème  Vincent doit établir combien de tables et de berceaux il lu...
Modèle  Variables de décisions  x1 = nombre de tables à langer à fabriquer et à vendre en juin.  x2 = nombre de berceaux à...
Modèle  Objectif et contraintes      L’objectif est : Max z = 175x1 + 290x2      Contraintes de main-d’oeuvre ou disponibi...
Modèle  Contraintes      Contrainte d’encaisse : il faut au moins 15.900$ en banque au      début de juillet.      20.000 ...
Modèle  Contraintes      Actif = Encaisse + comptes clients + Stocks      Actif = 101.050 + 175x1 + 290x2      Passif = 30...
Modèle  Formulation complète                         Max 175x1 + 290x2                 (14)                               ...
Un problème du chocolatier-confiseur  Définition du problème  Un chocolatier-confiseur reçoit une commande de 3.000  assortim...
Un problème du chocolatier-confiseur  Définition du problème  On cherche une recette qui est optimale pour tous les assortim...
Un problème du chocolatier-confiseur  Objectif  Le chocolatier-confiseur veut maximiser ses profits. Un kg de  chocolats se v...
Un problème du chocolatier-confiseur  Contraintes      Contrainte de la demande : x1 + x2 + x3 = 3000      Contrainte du po...
Un problème du chocolatier-confiseur  Contraintes      Contrainte du poids du chocolats 1 et 3 (au moins 50%).        x1 +x...
Modèle  Formulation complète                  Max 4x1 + 6, 55x2 + 5, 60x3                (22)                             ...
Problème de la coupe de bobines-mères  Description du problème  Les papetiers fabriquent des rouleaux de papier dont la la...
Problème de la coupe de bobines-mères  Description du problème et données  Supposons que toutes les bobines-mères dont dis...
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Problème de la coupe de bobines-mères  Description du problème et données  Comme la longueur des rouleaux commandés est id...
Problème de la coupe de bobines-mères  Description du problème et données  Quel est l’objectif poursuivi par le papetier ?...
Problème de la coupe de bobines-mères  Description du problème et données  s’agit-il du même objectif, formulé différemment...
Problème de la coupe de bobines-mères  Plan de coupe  Déterminons tous les plans de coupe :   Largeur (en cm)             ...
Problème de la coupe de bobines-mères  Objectif  L’objectif du papetier est de remplir les commandes soit en  minimisant l...
Problème de la coupe de bobines-mères  Variables de décision  Énonçons tout d’abord le premier objectif visé : minimiser l...
Problème de la coupe de bobines-mères  Puisque chaque mise en oeuvre d’un plan de coupe implique la  découpe transversale ...
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Problème de la coupe de bobines-mères  Solution optimale  L’unique solution optimale de ce modèle est :      x1 = 120     ...
Problème de la coupe de bobines-mères  Troisième modèle  Si on s’appuie sur la solution optimale du dernier modèle, le  pa...
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Électro  Déscription  qui produit l’électricité convoyée par les lignes de transport vers les  consommateurs. Chez Électro...
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Électro  Déscription  Le problème d’aujourd’hui consiste à produire 8312 kWh en période  de pointe tout en minimisant les ...
Électro  Variables de décision  Les variables de décision sont :       vI = 1 si la chaudière I est active       wj = 1 si...
Électro  Contraintes  Pour indiquer qu’il faut produire au moins 8312 kWh, on pose :       4y1 + 3y2 + 4y3 + 3y4 ≥ 8312  P...
Électro          Minz = 9xA + ... + 7, 25xD + 3y1 + ... + 4y4            (48)                                             ...
Électro  Solution optimale       xA = 929, xC = 675, xD = 600      y1 = 800, y3 = 900, y4 = 504      vA = vC = vD = w1 = w...
Électro  Remarques  Électro présente un cas particulier d’une situation fréquente. Dans  le présent exemple, les variables...
Électro  Remarques  Dans certains contextes, le domaine d’une variable est formé de  plus de deux intervalles fermés disjo...
Électro  Exemple      u = 1 si x appartient à l’intervalle [0 ;20]      v = 1 si x appartient à l’intervalle [50 ;64]     ...
Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères  Déscription  Reprenons le problème de la coupe de bobines-...
Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères  Déscription  À ce propos, imaginons qu’aient été conclus, ...
Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères  Modèle  Comme dans les modèles précédents, les variables x...
Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères  Modèle     c2 est le coût de passage d’un plan de coupe au...
Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères  Modèle  Celles qui lient chaque variable xj à la variable ...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Déscription  Un manufacturier dispose de l’équipement nécessai...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Données de fabrication       Atelier          P1          P2  ...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Déscription  Ce qui es fabriqué au cours d’un mois n’est livré...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Données de fabrication                Produits                ...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Déscription  Le carnet de commandes et le maintien de ses part...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Modélisation  Les coûts d’entreposage ne sont pas linéaires et...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Modélisation  Le modèle suivant constitue une façon de traduir...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Modélisation  Suite du modèle :                 v0 + v1 + v2 +...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Discussion  L’approche retenue pour modifier par à-coups le mem...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Discussion  Il songe à augmenter l’espace d’entreposage et che...
La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte  Discussion  Pour modéliser une telle situation, il suffit de rel...
Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes  Présentation  Il arrive que les contraintes technologiques, dans leur e...
Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes  Les contraintes de signe ≥  Nous illustrons notre propos à l’aide d’un ...
Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes  Modéle                Min z = 5xA + 6xB                         subject...
Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes  Discussion  La valeur minimale de la fonction-objectif dans le modèle c...
Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes  Modéle           Min z = 5xA + 6xB                 subject to :        ...
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  1. 1. La Modélisation Nizar El Hachemi 11 mars 2011Nizar El Hachemi La Modélisation
  2. 2. Introduction On peut résumer la modélisation à l’habileté à traduire divers problèmes par des relations mathématiques. Les relations mathématiques obtenues ne constituent que des modèles des problèmes considérés. Connaître une solution optimale d’un modèle permet souvent au gestionnaire d’obtenir de précieuses indications sur la façon de se comporter pour tirer au mieux son épingle du jeu. Nizar El Hachemi La Modélisation
  3. 3. Quelques exemples de base Les chaises de M. Eugène M. Eugène a adapté pour la production en courtes séries, deux modèles de chaises : la chaise en porte-à-faux et la chaise Barcelone. M. Eugène les a pourvus d’une armature métallique dont les pièces sont assemblées par brasage puis enduites de laques isolantes, ce qui confère au métal un toucher chaud. Dossiers et sièges sont ensuite recouverts de cuirs de Cordoue capitonnés. M. Eugène s’est engagé à livrer d’ici 3 semaines 42 chaises en porte-à-faux et 53 chaises Barcelone. Il estime à 100 unités le marché potentiel pour chaque type. Nizar El Hachemi La Modélisation
  4. 4. Quelques exemples de base Les chaises de M. Eugène M. Eugène se propose de consacrer à la fabrication de ces chaises toutes les heures de main d’oeuvre dont il disposera dans son atelier pendant les prochaines 3 semaines. Nizar El Hachemi La Modélisation
  5. 5. Quelques exemples de base Les chaises de M. Eugène Opération Porte-à-faux Barcelone Heures disponibles Brasage 1,5 (h) 2 (h) 250 (h) Laquage 30 min 45 min 100 (h) Capitonnage 2 (h) 3 (h) 327 (h) Profit par chaise 450 $ 800 $ Nizar El Hachemi La Modélisation
  6. 6. Quelques exemples de base Construction d’un modèle linéaire L’information importante est le nombre de chaises porte-à-faux xA et le nombre de chaises Barcelone xB à fabriquer d’ici 3 semaines. xA et xB sont dites variables de décisions. Quel profit M. Eugène retirera-t-il de la vente de ces chaises ? Il s’agit d’additionner les bénéfices à tirer de chacun des 2 types de chaises. Le profit total à tirer des chaises fabriquées s’élève donc à : z = 450xA + 800xB Nizar El Hachemi La Modélisation
  7. 7. Quelques exemples de base Construction d’un modèle linéaire Il y a bien sûr des empêchements naturels, appelés contraintes, qui freinent le rêve d’un profit infini. Prenons en considération chacune des contraintes. Contraintes de demande, il faut exiger que le plan de production satisfasse les commandes fermes : xA ≥ 42 et xB ≥ 53. Ne pas excéder le marché potentiel : xA ≤ 100 et xB ≤ 100. Contrainte de brasage, le temps utilisé pour braser les chaises ne peut excéder les 250 heures disponibles : 1, 5xA + 2xB ≤ 250. Nizar El Hachemi La Modélisation
  8. 8. Quelques exemples de base Construction d’un modèle linéaire Contrainte de laquage s’écrit comme suit : 30xA + 45xB ≤ 100, cependant il faudrait faire très attention aux unités. La contrainte devient donc 0, 5xA + 0, 75xB ≤ 100. La contrainte de capitonnage s’écrit tout naturellement : 2xA + 3xB ≤ 327. Contraintes de non-négativité et d’intégrité : xA , xB ≥ 0 et entiers. Nizar El Hachemi La Modélisation
  9. 9. Quelques exemples de base Modèle final Max 450xA + 800xB (1) subject to : (2) 42 ≤ xA ≤ 100 (3) 53 ≤ xB ≤ 100 (4) 1, 5xA + 2xB ≤ 250 (5) 0, 5xA + 0, 75xB ≤ 100 (6) 2xA + 3xB ≤ 327 (7) xA , xB ≥ 0 (8) xA , xB entiers (9) Nizar El Hachemi La Modélisation
  10. 10. Les hypothèses de la programmation linéaire la programmation linéaire Le problème utilisé pour traduire le problème de M. Eugène en langage mathématique est qualifié de linéaire. Mais à quelles conditions doit obéir un modèle pour être déclaré linéaire ? Et pourquoi les modèles linéaires sont-ils tant recherchés ? Les modèles linéaires se présentent dans la modélisation de plusieurs situations. Il existe toute une gamme d’algorithmes efficaces pour résoudre ces modèles. Nizar El Hachemi La Modélisation
  11. 11. Forme générale d’un modèle linéaire modèle linéaire Max (Min)z = ci xi (10) i subject to : (11)   ≤ ∀i, aij xj  =  bi (12) ≥ ∀i, xi ≥ 0 (13) Nizar El Hachemi La Modélisation
  12. 12. Les conditions de linéarité Conditions 1 Le modèle comporte une fonction-objectif qu’il s’agit soit de maximiser, soit de minimiser. 2 La fonction-objectif de même que les membres gauches des contraintes s’écrivent comme des sommes dont chaque terme est un produit d’une constant et une variable. 3 Chaque variable est soumise à une contrainte de non-négativité. 4 Le modèle ne comporte pas de contraintes écrites sous forme d’inéquations strictes. 5 On suppose que tous les paramètres qui apparaissent dans le modèle sont déterministes et sont connus avec précision. Nizar El Hachemi La Modélisation
  13. 13. Un problème de comptabilité de gestion Définition du problème Vincent pratique le métier ébéniste, sa spécialité est la fabrication de tables à langer et les berceaux en bois précieux. Aujourd’hui, le 1er Juin, Vincent dispose d’assez de bois et de fournitures pour fabriquer 100 tables à langer et 100 berceaux. Une table se vend 500$ et un berceau, 800$. Les coûts de main-d’oeuvre sont de 250$ pour une table et de 350$ pour un berceau. Le bois et les fournitures lui coûtent 75$ pour une table et 160$ pour un berceau. Nizar El Hachemi La Modélisation
  14. 14. Un problème de comptabilité de gestion Définition du problème Une grande part de la main-d’oeuvre est occasionnelle, elle vient principalement d’une école d’ébinisterie. Le nombre d’apprentis disponible sera réduit au cours de la période estivale qui débute, ce qui limite sa production de juin à un maximum de 50 tables et de 30 berceaux. Nizar El Hachemi La Modélisation
  15. 15. Données Résumé de la situation financière au 1er juin Actif Passif Encaisse 20.000$ Comptes clients 37.000$ Stocks* 23.500$ Emprunt bancaire 30.000$ * 23500 = (100*75)+(100*160) Nizar El Hachemi La Modélisation
  16. 16. Un problème de comptabilité de gestion Définition du problème Vincent doit établir combien de tables et de berceaux il lui faut fabriquer au cours du mois de juin. Sa clientèle ne paie toutefois jamais comptant : les meubles vendus en juin ne seront payés qu’au début du mois d’août. En juin, Vincent doit recevoir 13.850$ de comptes clients et il devra payer 1.600$ pour le loyer de son atelier. Il aura à rembourser une partie de l’emprunt bancaire, soit 4.350$. La dernière semaine de juin, il recevra une livraison de bois précieux valant 26.500$, qu’il lui faudra payer en août. Vincent veut disposer, au début de juillet, d’au moins 15.900$ pour acheter en payant comptant. Le banquier de Vincent exige que le ratio actif/passif soit, au début de juillet égal au moins 2. Nizar El Hachemi La Modélisation
  17. 17. Modèle Variables de décisions x1 = nombre de tables à langer à fabriquer et à vendre en juin. x2 = nombre de berceaux à fabriquer et à vendre en juin. L’objectif de Vincent consiste à maximiser le profit qu’il retirera de la production de juin. Pour une table à langer le profit est : 500 − 250 − 75 = 175(dollars) Pour un berceau : 800 − 350 − 160 = 290(dollars) Nizar El Hachemi La Modélisation
  18. 18. Modèle Objectif et contraintes L’objectif est : Max z = 175x1 + 290x2 Contraintes de main-d’oeuvre ou disponibilité des apprentis x1 ≤ 50 x2 ≤ 30 Contraintes de fournitures (Le bois et les fournitures disponibles) x1 ≤ 100 x2 ≤ 100 Nizar El Hachemi La Modélisation
  19. 19. Modèle Contraintes Contrainte d’encaisse : il faut au moins 15.900$ en banque au début de juillet. 20.000 + 13.850 − 4.350 − 1.600 − 250x1 − 350x2 ≥ 15.900 27.900 − 250x1 − 350x2 ≥ 15.900 250x1 + 350x2 ≤ 12.000 Contrainte de ration actif/passif : Au début de juillet, ce ratio doit être ≥ 2. Encaisse = 27.900 − 250x1 − 350x2 Comptes clients = 37.000 + 500x1 + 800x2 − 13.850 Stocks = 23.500 − (75x1 + 100x2 ) + 26.500 Nizar El Hachemi La Modélisation
  20. 20. Modèle Contraintes Actif = Encaisse + comptes clients + Stocks Actif = 101.050 + 175x1 + 290x2 Passif = 30.000 − 4.350 + 26.500 = 52.150 101.050+175x1 +290x2 La contrainte s’écrit donc 52.150 ≥2 Ce qui se traduit par 175x1 + 290x2 ≥ 3.250 Nizar El Hachemi La Modélisation
  21. 21. Modèle Formulation complète Max 175x1 + 290x2 (14) subject to : (15) x1 ≤ 50 (16) x2 ≤ 30 (17) 250x1 + 350x2 ≤ 12.000 (18) 175x1 + 350x2 ≤ 3.250 (19) x1 , x2 ≥ 0 (20) x1 , x2 entiers (21) Nizar El Hachemi La Modélisation
  22. 22. Un problème du chocolatier-confiseur Définition du problème Un chocolatier-confiseur reçoit une commande de 3.000 assortiments de chocolats. Pour les confectionner, il a convenu d’y placer 3 sortes de chocolats, dénotés chocolats 1,2 et 3, dont chaque kg lui coûte 4$, 1,45$ et 2,40$ respectivement. Chaque assortiment doit peser un kg et se vendra 8$. Les chocolats 1 doivent représenter entre 10% et 20% du poids d’un assortiment. Les chocolats 1 et 2 présents dans un assortiment ne doivent pas peser plus de 800 g. Au moins la moitié du poids d’un assortiment doit provenir des chocolats 1 et 3. Nizar El Hachemi La Modélisation
  23. 23. Un problème du chocolatier-confiseur Définition du problème On cherche une recette qui est optimale pour tous les assortiments (les 3.000 assortiments seront confectionnés de la même manière). Les quantités achetés, s’obtiennent en multipliant par 3.000 cette recette optimale. Et réciproquement, pour résoudre le problème, il suffit de connaître le nombre de kg à acheter de chaque sorte. De ces remarques découle immédiatement la définition des 3 variables de décision suivantes : xj = nombre de kg de chocolats j que se procurera le confiseur Nizar El Hachemi La Modélisation
  24. 24. Un problème du chocolatier-confiseur Objectif Le chocolatier-confiseur veut maximiser ses profits. Un kg de chocolats se vend toujours 8$, le profit de chaque kg de chocolats 1 s’établit à 8$ - 4$ = 4$, le profit de chaque kg de chocolats 2 s’établit à 8$ - 1,45$ = 6,55$ et finalement le profit associé au chocolat 3 est 8$ - 2,40$ = 5,60$. La fonction-objectif qui représente les représente les profits s’écrit donc : Max z = 4x1 + 6, 55x2 + 5, 60x3 Nizar El Hachemi La Modélisation
  25. 25. Un problème du chocolatier-confiseur Contraintes Contrainte de la demande : x1 + x2 + x3 = 3000 Contrainte du poids de chocolats 1 du poids total de x l’assortiment (au moins 10%) : x1 +x1 +x3 ≥ 0, 1 2 Simplification 0, 9x1 − 0, 1x2 − 0, 1x3 ≥ 0 Contrainte du poids de chocolats (au plus 20%) : 0, 8x1 − 0, 2x2 − 0, 2x3 ≤ 0 Contrainte du poids du chocolats 1 et 2 dans un assortiment ne doivent pas peser plus que 800 grammes. x1 +x2 x1 +x2 +x3 ≤ 0, 8 ce qui s’écrit comme : 0, 2x1 + 0, 2x2 − 0, 8x3 ≤ 0 Nizar El Hachemi La Modélisation
  26. 26. Un problème du chocolatier-confiseur Contraintes Contrainte du poids du chocolats 1 et 3 (au moins 50%). x1 +x3 x1 +x2 +x3 ≥ 0, 5, ce qui s’écrit comme : 0, 5x1 − 0, 5x2 + 0, 5x3 ≥0 Contraintes de non-négativité : x1 , x2 , x3 ≥ 0 Nizar El Hachemi La Modélisation
  27. 27. Modèle Formulation complète Max 4x1 + 6, 55x2 + 5, 60x3 (22) subject to : (23) x1 + x2 + x3 = 3.000 (24) x1 ≥ 300 (25) x1 ≤ 600 (26) x1 + x2 ≤ 2.400 (27) x1 + x3 ≥ 1.500 (28) x1 , x2 , x3 ≥ 0 (29) Nizar El Hachemi La Modélisation
  28. 28. Problème de la coupe de bobines-mères Description du problème Les papetiers fabriquent des rouleaux de papier dont la largeur est fixée par les caractéristiques des machines qu’ils utilisent. Ils les désignent sous le vocable de bobines-mères. Par contre, leurs clients réclament des rouleaux de divers largeurs et parfois de diverses longueurs. Comme il est fréquent que ni la largeur ni la longueur des bobines-mères ne soient des multiples de celles des rouleaux commandés, les papetiers encourent souvent, pour satisfaire les commandes de leur clientèle, des pertes de papier qu’ils désignent sous le nom de chutes. Nizar El Hachemi La Modélisation
  29. 29. Problème de la coupe de bobines-mères Description du problème et données Supposons que toutes les bobines-mères dont dispose un papetier ont une largeur de 215 cm et une longueur de 250 m, et qu’il a accepté les commandes données au tableau suivant : Nizar El Hachemi La Modélisation
  30. 30. Problème de la coupe de bobines-mères Largeur (en cm) Longueur (en m) Nombre de rouleaux 64 250 360 60 250 180 35 250 180 Nizar El Hachemi La Modélisation
  31. 31. Problème de la coupe de bobines-mères Description du problème et données Comme la longueur des rouleaux commandés est identique à celle des bobines-mères, il suffit d’assurer la coupe transversale d’un certain nombre de bobines-mères. Nizar El Hachemi La Modélisation
  32. 32. Problème de la coupe de bobines-mères Description du problème et données Quel est l’objectif poursuivi par le papetier ? s’agit-il pour lui de satisfaire les commandes acceptées ? Si tel était le cas, il lui suffirait de tailler tout bonnement un seul rouleau par bobine-mère : les commandes des clients seraient évidemment satisfaites, mais exigeraient 720 bobines-mères, ce qui constituerait un gaspillage de papier. Il faut se rendre à l’évidence : l’objectif poursuivi n’est pas uniquement de remplir les commandes. Si le papetier se propose d’utiliser le moins possible de bobines-mères pour s’acquitter des commandes, comment peut-il atteindre cet objectif ? Et s’il cherche plutôt à minimiser les chutes tout en remplissant les commandes, Nizar El Hachemi La Modélisation
  33. 33. Problème de la coupe de bobines-mères Description du problème et données s’agit-il du même objectif, formulé différemment, ou d’un second objectif totalement distinct du premier ? Et si ces objectifs s’avèrent distincts, lequel faut-il privilégier ? Voilà des questions auxquelles nous nous proposons d’apporter réponses. Nizar El Hachemi La Modélisation
  34. 34. Problème de la coupe de bobines-mères Plan de coupe Déterminons tous les plans de coupe : Largeur (en cm) Plans de coupe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 64 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 60 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 35 0 0 2 0 2 4 1 2 4 6 Chutes 23 27 17 31 21 11 0 25 15 5 Nizar El Hachemi La Modélisation
  35. 35. Problème de la coupe de bobines-mères Objectif L’objectif du papetier est de remplir les commandes soit en minimisant les chutes (pertes), soit en minimisant le nombre de bobines-mères utilisées. Le papetier doit déterminer quels plans de coupe retenir et combien de fois mettre chacun en oeuvre de façon à atteindre l’un ou l’autre objectifs. Nizar El Hachemi La Modélisation
  36. 36. Problème de la coupe de bobines-mères Variables de décision Énonçons tout d’abord le premier objectif visé : minimiser le nombre de bobines-mères à découper pour satisfaire les commandes. Nous nous préoccuperons plus loin de l’autre objectif. Comme il s’agit de déterminer les plans de coupes à retenir et le nombre de mises en oeuvre pour chacun, posons : xj = nombre de mises en oeuvre du plan numéro j. Dire que le plan de coupe numéro j n’est retenu revient à exiger que la variable de décision xj est nulle. Nizar El Hachemi La Modélisation
  37. 37. Problème de la coupe de bobines-mères Puisque chaque mise en oeuvre d’un plan de coupe implique la découpe transversale d’une bobine-mère, l’objectif visé consiste à minimiser la somme des mises en oeuvre des diverses coupes : Minz = xi (30) i≤10 subject to : (31) 3x1 + 2x2 + 2x3 1x4 + 1x5 + 1x6 ≥ 360 (32) 1x2 + 2x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 + 1x9 ≥ 180 (33) 2x3 + 2x5 + 4x6 + 1x7 + 2x8 + 4x9 + 6x10 ≥ 180 (34) ∀i, xi est entier (35) Nizar El Hachemi La Modélisation
  38. 38. Problème de la coupe de bobines-mères Solutions optimales Ce modèle admet plusieurs solutions optimales. En voici 3, qui proposent chacune d’utiliser 200 bobines-mères et qui, sans qu’on l’ait exigé, occasionnent toutes la même longueur totale de chutes, soit 2860 cm : Largeur (en cm) Longueur (en m) Nombre de rouleaux Solution A Solution B Solution C x1 = 120 x1 = 80 x1 = 110 x7 = 60 x3 = 60 x6 = 30 x10 = 20 x7 = 60 x7 = 60 z = 200 z = 200 z = 200 Chutes = 2860 cm Chutes = 2860 cm Chutes = 2860 cm Nizar El Hachemi La Modélisation
  39. 39. Problème de la coupe de bobines-mères Un modèle pour minimiser les chutes Retournons maintenant au second objectif proposé, soit la minimisation des chutes obtenues en satisfaisant les commandes. Le modèles s’écrit : Minw = 23x1 + 27x2 + ... + 5x10 (36) subject to : (37) 3x1 + 2x2 + 2x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 ≥ 360 (38) 1x2 + 2x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 + 1x9 ≥ 180 (39) 2x3 + 2x5 + 4x6 + 1x7 + 2x8 + 4x9 + 6x10 ≥ 180 (40) ∀i, xi est entier (41) Nizar El Hachemi La Modélisation
  40. 40. Problème de la coupe de bobines-mères Solution optimale L’unique solution optimale de ce modèle est : x1 = 120 x7 = 180 w = 2760 Nizar El Hachemi La Modélisation
  41. 41. Problème de la coupe de bobines-mères Troisième modèle Si on s’appuie sur la solution optimale du dernier modèle, le papetier découpe plus de bobines-mères, produit davantage de rouleaux 60 cm, mais engendre des chutes totales moins élevées que s’il applique l’une ou l’autre des solutions optimales du premier modèle. Comment expliquer ce paradoxe ? Tout simplement par le fait qu’aucune pénalité ne s’applique à la production de rouleaux qui ne sont pas essentiels à l’exécution des commandes. Le bon modèle est donc : Nizar El Hachemi La Modélisation
  42. 42. Problème de la coupe de bobines-mères Un modèle pour minimiser les chutes Le bon modèle s’écrit : Mint = w + Exc64 + Exc60 + Exc35 (42) subject to : (43) 3x1 + 2x2 + 2x3 1x4 + 1x5 + 1x6 ≥ 360 (44) 1x2 + 2x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 + 1x9 ≥ 180 (45) 2x3 + 2x5 + 4x6 + 1x7 + 2x8 + 4x9 + 6x10 ≥ 180 (46) ∀i, xi est entier (47) Nizar El Hachemi La Modélisation
  43. 43. Problème de la coupe de bobines-mères Un modèle pour minimiser les chutes Où : w = 23x1 + 27x2 + ... + 5x10 Exc64 = 64(3x1 + 2x2 + 2x3 1x4 + 1x5 + 1x6 − 360) Exc60 = 60(1x2 + 2x4 + 1x5 + 3x7 + 2x8 + 1x9 − 180) Exc35 = 35(2x3 + 2x5 + 4x6 + 1x7 + 2x8 + 4x9 + 6x10 − 180) Nizar El Hachemi La Modélisation
  44. 44. Problème d’affectation : la rotation du personnel Description du problème À intervalles réguliers, l’armée organise la rotation d’une partie de son personnel technique entre les différentes bases militaires. Elle a plusieurs raisons d’agir ainsi : permettre l’acquisition d’une expérience de travail diversifiée, donner l’occasion de suivre des cours, accéder aux demandes de mutation vers des postes où le climat est plus favorable, récompenser ou punir certains comportements. Nizar El Hachemi La Modélisation
  45. 45. Problème d’affectation : la rotation du personnel Description du problème Supposons, à titre d’exemple, que l’armée dispose d’une liste de 10 sergents d’état-major, spécialistes de la mécanique des chars d’assaut, et qu’elle souhaite réaffecter chacun au poste de l’un de ses 9 collègues. Certains de ces militaires sont célibataires, d’autres sont mariés mais n’ont pas d’enfants, d’autres encore sont mariés et ont des enfants... L’armée a évalué pour chacun les coûts de mutation à chaque poste. L’objectif est d’assurer au moindre coût que chaque sergent occupe un nouveau poste et que tous les postes soient comblés. Nizar El Hachemi La Modélisation
  46. 46. Problème d’affectation : la rotation du personnel Description du problème Dénotons les sergents par les lettres A, B, ..., H, M et N. Et désignons par i le poste occupé présentement par le sergent d’état-major I : le sergent A occupe présentement le poste a, et ainsi de suite. Le tableau suivant présente la matrice des coûts de mutation de chaque sergent à chacun des postes. Nizar El Hachemi La Modélisation
  47. 47. Problème d’affectation : la rotation du personnel Matrice des coûts Poste Sergent a b c d e f g h m n A * 12 15 11 17 15 11 12 10 10 B 6 * 14 12 16 11 17 18 18 16 C 8 17 * 21 17 16 14 12 10 15 D 7 16 9 * 12 18 18 14 11 14 E 7 13 8 12 * 22 19 12 13 12 F 8 8 11 14 12 * 12 17 9 18 G 6 9 13 9 11 16 * 14 13 16 H 7 14 16 11 16 22 15 * 14 18 M 11 16 17 15 17 18 21 22 * 11 N 8 9 8 13 9 7 8 9 8 * Nizar El Hachemi La Modélisation
  48. 48. Problème d’affectation : la rotation du personnel Description du problème et modélisation Comme il n’est pas permis qu’un sergent conserve le poste qu’il occupe présentement, on remplace chaque astérisque de la diagonale par un montant M, largement supérieur à ceux qui sont en jeu pour les mutations envisagées, en marquant ainsi l’impossibilité de maintenir un sergent dans son poste actuel. Posons, par exemple : M = 500. Nizar El Hachemi La Modélisation
  49. 49. Problème d’affectation : la rotation du personnel Variables de décision Définissons les variables de décision binaires suivantes : vIj = 1 si le sergent I est muté du poste i au poste j. La fonction-objectif s’écrit comme suit : Minz = 500vAa + 12vAb + 15vAc + ... + 9vNh + 8vNm + 500vNn Les contraintes indiquent : qu’à chaque sergent on doit attribuer un poste ; que chaque poste doit être combler. Nizar El Hachemi La Modélisation
  50. 50. Problème d’affectation : la rotation du personnel modèle À titre d’exemple, la contrainte associée au sergent A est : vAa + vAb + vAc + ... + vAn = 1 et celle associée au poste a : vAa + vBa + vCa + ... + vNa = 1 une solution optimale de ce problème est : Sergent A B C D E F G H M N Poste m f h e c b d a n g Nizar El Hachemi La Modélisation
  51. 51. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Description du problème Une firme d’exploration minière veut recruter 6 personnes pour combler les postes vacants dans une équipe d’arpenteurs-géomètres qui doit se rendre pour de longues périodes dans le Grand Nord. On a retenu, parmi les dossiers reçus, 12 candidatures valables. Les émoluments annuels exigés par ces personnes apparaissent au tableau suivant. Nizar El Hachemi La Modélisation
  52. 52. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Description du problème Candidat Émoluments 1 56.000$ 2 55.000$ 3 54.000$ 4 57.000$ 5 49.000$ 6 51.000$ 7 54.000$ 8 56.000$ 9 52.000$ 10 55.000$ 11 53.000$ 12 50.000$ Nizar El Hachemi La Modélisation
  53. 53. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Description du problème La cohésion de l’équipe est de prime importance. Des tests de personnalité et des séances d’interaction entre les 12 candidats menés par des psychologues ont révélé que certaines combinaisons de candidats n’étaient pas souhaitables. En particulier, on désire respecter les contraintes de cohésion suivantes : Nizar El Hachemi La Modélisation
  54. 54. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Description du problème Si les candidats 3 et 8 sont embauchés, le candidat 9 ne peut l’être. Si on embauche le candidat 2, il convient d’embaucher le candidat 11, et réciproquement, puisqu’ils sont mari et femme. Le candidat 7 est en conflit avec les candidats 4 et 5, et on ne veut pas retenir ses services si l’un des candidats 4 ou 5, ou les deux, sont embauchés. Nizar El Hachemi La Modélisation
  55. 55. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Description du problème De plus, compte tenu des travaux à effectuer par l’équipe, on tient également à respecter les contraintes de qualifications suivantes : On ne peut embaucher plus de trois des cinq candidats suivants : 1, 3, 6, 10, 12. On doit embaucher un et un seul des trois candidats 3, 5 et 12. Nizar El Hachemi La Modélisation
  56. 56. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Modèle : objectif Quels candidats faut-il embaucher si l’objectif est de minimiser le total des émoluments annuels à verser aux nouveaux employés ? Les variables de décision sont les variables binaires vj (1 ≤ j ≤ 12), où vj = 1 si le candidat j est embauché. La fonction objectif s’écrit : Min z = 56v1 + 55v2 + 54v3 + ... + 50v12 où z représente les émoluments totaux (en milliers de dollars) de l’équipe. Nizar El Hachemi La Modélisation
  57. 57. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Modèle : contraintes Écrivons les contraintes. Tout d’abord, il s’agit d’embaucher 6 candidats : 1≤j≤12 vj = 6. La contrainte 1 se traduit par v3 + v8 + v9 ≤ 2. La contrainte 2 s’écrit comme : −v2 + v11 = 0. Quant à la contrainte 3, on la traduit par les 2 inéquations suivantes : v4 + v7 ≤ 1 et v5 + v7 ≤ 1. Nizar El Hachemi La Modélisation
  58. 58. Problème : Les conditions logiques, l’équiped’arpenteurs-géomètres Modèle : contraintes et solution optimale On peut remplacer les deux inéquations par une seule, qui équivaut aux 2 précédents : v4 + v5 + 2v7 ≤ 2 Les dernières contraintes de qualification donnent lieu à : v1 + v3 + v6 + v10 + v12 ≤ 3 v3 + v5 + v12 = 1 Une solution optimale consiste à embaucher les candidats 2, 6, 7, 9, 11 et 12, pour un coût total de 315 milliers de dollars. Nizar El Hachemi La Modélisation
  59. 59. La verrerie Grand Siècle Description du problème La verrerie Grand Siècle exploite une usine de verre dépoli dans chacune des 5 villes suivantes : A, B, C, D et E. Le procédé de fabrication exige de l’acide fluorhydrique que, jusqu’à maintenant, Grand Siècle entreposait sur l’emplacement même de ses usines. Le ministère de l’Environnement exige qu’à compter de l’an prochain les fûts l’acide soient entreposés à la campagne en des endroits où d’éventuelles émanations accidentelles se diffuseraient dans l’atmosphère. Nizar El Hachemi La Modélisation
  60. 60. La verrerie Grand Siècle Description du problème Grand Siècle a repéré 4 emplacements, qui ont reçu l’agrément du Ministère, où il serait possible de stocker les fûts en attendant de les acheminer un à un, au fur et à mesure des besoins, vers les différents usines. Les coûts reliés à l’acquisition des terrains et à la construction des installations de stockage varient très peu d’un emplacement à l’autre ; une fois répartis sur la vie utile des installations, ils correspondent, selon les comptables de Grand Siècle, à une dépense annuelle de 85.000 $ par emplacement. Par contre, les coûts d’entretien des chemins d’accés différeraient de façon notable. Le tableau suivant donne, pour les 4 emplacements envisagés, les coûts annuels d’entretien de ces chemins d’accés. Nizar El Hachemi La Modélisation
  61. 61. La verrerie Grand Siècle Données : coûts annuels d’entretien des chemins d’accés Emplacement Coût 1 12.000$ 2 4.000$ 3 4.000$ 4 10.000$ Nizar El Hachemi La Modélisation
  62. 62. La verrerie Grand Siècle Données : coûts annuels d’acheminement des fûts (en 1000 $) Le tableau suivant donne les coûts annuels, en milliers de dollars, d’acheminement des fûts de chacun de ces emplacements. Emplacement A B C D E 1 7 13 11 6 11 2 9 18 5 10 23 3 16 8 5 17 15 4 12 8 7 12 8 Nizar El Hachemi La Modélisation
  63. 63. La verrerie Grand Siècle Objectif L’objectif de Grand Siècle est de minimiser les coûts des opérations ( approvisionnement annuel des usines en fûts d’acide fluorhydrique). Il est convenu que chaque usine sera approvisionnée à partir d’un seul emplacement. La dirction se pose deux questions : Sur quel(s) emplacement(s) faut-il construire des installations de stockage ? Quelles sont les usines qui seront approvisionnées en acide à partir de chaque emplacement où des installations de stockage auront été construites ? Nizar El Hachemi La Modélisation
  64. 64. La verrerie Grand Siècle Réponses et variables de décision Répondre à la première question revient à déterminer, pour chaque emplacement, si oui ou non on y construira des installations de stockage. De plus, De plus, pour qu’une usine puisse être approvisionnée à partir d’un emplacement, il faut que les installations de stockage y aient été aménagées et que le chemin d’accés soit entretenu. On est donc amené à introduire les variables de décision binaires suivantes : vi = 1 si Grand Siècle construit un entrepôt sur l’emplacement i. wiJ = 1 si l’entrepôt de l’emplacement i alimente en fûts l’usine de la ville J. Nizar El Hachemi La Modélisation
  65. 65. La verrerie Grand Siècle Objectif Il s’agit de minimiser la fonction-objectif z obtenue en additionnant l’amortissement annuel (en 1000 $) des investissements réalisés sur les emplacements retenus 85(v1 + v2 + v3 + v4 + v5 ), Les coûts annuels (en 1000$) d’entretien des chemins d’accés 12v1 + 4v2 + 4v3 + 10v4 et finalement les coûts d’acheminement des fûts 7w1A + 13w1B + ... + 8w4E Nizar El Hachemi La Modélisation
  66. 66. La verrerie Grand Siècle Contraintes Les contraintes technologiques se regroupent en deux groupes. Le premier, traduit la contrainte qu’une usine J peut être approvisionnée à partir d’un emplacement i seulement lorsque des installations de stockage existent sur cet emplacement. Les contraintes du deuxième bloc traduisent le fait que chaque usine est approvisionnée à partir d’un seul emplacement. wiJ ≤ vi , ∀i, ∀J w1J + w2J + w3J + w4J = 1, ∀J Nizar El Hachemi La Modélisation
  67. 67. L’utilisation de variables binaires pour linéariser Déscription Les variables binaires sont souvent utilisées conjointement avec des variables réelles non négatives pour traduire en modèles linéaires des problèmes qui, a priori, semblent non linéaires. Nous allons voir quelques exemples simples qui illustrent comment le recours astucieux à des varoables binaires permet d’agrandir considérablement le champ d’application des modèles linéaires. Nizar El Hachemi La Modélisation
  68. 68. Électro Déscription En périodes de basses eaux, ou durant l’hiver pour faire face à une demande accrue, Électro, un fournisseur d’énergie électrique, fait appel à des centrales thermiques alimentées au mazout et regroupées sur un emplacement situé prés d’une grande ville où une bonne part de sa clientèle. Dans chacune des 4 centrales thermiques d’Électro, des brûleurs génèrent dans une chaudière la vapeur nécessaire à l’entraînement du groupe turboalternateur Nizar El Hachemi La Modélisation
  69. 69. Électro Déscription qui produit l’électricité convoyée par les lignes de transport vers les consommateurs. Chez Électro, la vapeur produite par l’une ou l’autre des 4 chaudières peut être acheminée sans perte conséquente vers l’un ou l’autre des 4 groupes turboalternateurs, cette configuration a été adoptée pour faire face aux nombreuses pannes et aux fréquents arrêts nécessités par entretiens. Nizar El Hachemi La Modélisation
  70. 70. Électro Déscription Électro a construit ces centrales au fur et à mesure que son réseau grandissait, de sorte que certaines centrales sont plus modernes et, partant, plus rentables que d’autres. Chaudières et groupes alternateurs ont des plages d’exploitation en dehors desquelles leur fonctionnement n’est ni économique ni sécuritaire. Le respect de ces plages assure de plus une vie utile prolongée à l’équipement. Les tableaux suivants contient, pour les 4 chaudières et les 4 groupes alternateurs, les données pertinentes au problème. Nizar El Hachemi La Modélisation
  71. 71. Électro Données Chaudière tonnage minimal tonnage maximale coût de vapeur produite de vapeur produite par tonne A 800 1200 9,00 B 650 900 8,50 C 425 675 7,75 D 360 600 7,25 Nizar El Hachemi La Modélisation
  72. 72. Électro Données Groupe tonnage tonnage kWh par tonne coût par minimal maximale de vapeur tonne 1 500 800 4 3,00 2 900 1300 3 3,40 3 600 900 4 3,25 4 500 800 4 4,00 Nizar El Hachemi La Modélisation
  73. 73. Électro Déscription Le problème d’aujourd’hui consiste à produire 8312 kWh en période de pointe tout en minimisant les coûts. Combien de vapeur produira chacune des chaudières et de quelle façon sera répartie la vapeur entre les groupes, sachant qu’il possible que certaines chaudières ou que certains groupes soient inutilisés ? Nizar El Hachemi La Modélisation
  74. 74. Électro Variables de décision Les variables de décision sont : vI = 1 si la chaudière I est active wj = 1 si le groupe j est mis à contribution xI = nombre de tonnes de vapeur produites par la chaudière I yj = nombre de tonnes de vapeur utilisées par le groupe j Nizar El Hachemi La Modélisation
  75. 75. Électro Contraintes Pour indiquer qu’il faut produire au moins 8312 kWh, on pose : 4y1 + 3y2 + 4y3 + 3y4 ≥ 8312 Pour indiquer que les 4 chaudières doivent produire ensemble au moins autant de tonnes de vapeur qu’en utiliseront les 4 groupes, on pose : xA + xB + xC + xD ≥ y1 + y2 + y3 + y4 Pour chaque chaudière I, il faut forcer la variable xI , à être nulle, soit dans l’intervalle admissible. Par exemple, pour la chaudière A, on pose : 800vA ≤ xA ≤ 1200vA Nizar El Hachemi La Modélisation
  76. 76. Électro Minz = 9xA + ... + 7, 25xD + 3y1 + ... + 4y4 (48) subject to : (49) 4y1 + 3y2 + 4y3 + 3y4 ≥ 8312 (50) xA + xB + xC + xD − y1 − y2 − y3 − y4 ≥ 0 (51) 800vA ≤ xA ≤ 1200vA (52) 650vB ≤ xB ≤ 900vB (53) 425vC ≤ xC ≤ 675vC (54) 360vD ≤ xD ≤ 600vD (55) 500w1 ≤ y1 ≤ 800w1 (56) 900w2 ≤ y2 ≤ 1300w2 (57) 600w3 ≤ y3 ≤ 900w3 (58) 500w4 ≤ y4 ≤ 800w4 (59) Nizar El Hachemi La Modélisation
  77. 77. Électro Solution optimale xA = 929, xC = 675, xD = 600 y1 = 800, y3 = 900, y4 = 504 vA = vC = vD = w1 = w3 = w4 = 1 z = 25283, 25 dollars Nizar El Hachemi La Modélisation
  78. 78. Électro Remarques Électro présente un cas particulier d’une situation fréquente. Dans le présent exemple, les variables xI et yj doivent soit être nulles, soit appartenir aux plages d’exploitation économique et sécuritaire. Autrement dit, les domaines admissibles de ces variables sont composés de deux intervalles fermés disjoints : par exemple, le domaine de xA est la réunion des intervalles [0 ;0] et [800 ;1200]. Nizar El Hachemi La Modélisation
  79. 79. Électro Remarques Dans certains contextes, le domaine d’une variable est formé de plus de deux intervalles fermés disjoints. L’approche utilisée dans le problème d’Électro s’adapte aisément à ces situations. À titre d’exemple, considérons une variable x dont la valeur doit impérativement appartenir à l’un des intervalles [0 ;20], [50 ;64] et [75 ;81]. Il suffit d’introduire des variables binaires u, v et w ainsi définies : Nizar El Hachemi La Modélisation
  80. 80. Électro Exemple u = 1 si x appartient à l’intervalle [0 ;20] v = 1 si x appartient à l’intervalle [50 ;64] w = 1 si x appartient à l’intervalle [75 ;81] Il reste à ajouter au modèle : u+v +w =1 0u + 50v + 75w ≤ x ≤ 20u + 64v + 81w Nizar El Hachemi La Modélisation
  81. 81. Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères Déscription Reprenons le problème de la coupe de bobines-mères considéré avant. Convenons cette fois de tenir compte non seulement des coûts reliés aux chutes, mais également des coûts engendrés par le passage d’un plan de coupe à un autre. Convenons de plus de nous conformer à une pratique du monde manufacturier où l’on tolère, souvent tacitement, des variations de faible amplitude dans la fourniture des commandes. Nizar El Hachemi La Modélisation
  82. 82. Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères Déscription À ce propos, imaginons qu’aient été conclus, entre le papetier et ses clients, des accords dont il s’autorise pour se contenter de satisfaire, à quelques rouleaux près, l’ensemble des commandes de rouleaux d’une largeur donnée. Pour fixer les idées, disons qu’il se donne une marge de 10 rouleaux de 64 cm, en plus ou en moins, se contraignant à produire non pas exactement 360 rouleaux, comme l’indique le carnet de commandes, mais de 350 à 370 rouleaux de cette largeur ; et fixons à 5 rouleaux la marge de manoeuvre qu’il s’accorde pour les commandes de 180 rouleaux de chacune des 2 autres largeurs. Nizar El Hachemi La Modélisation
  83. 83. Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères Modèle Comme dans les modèles précédents, les variables xj dénotent le nombre de mises en oeuvre du plan de coupe numéro j. On leur adjoint des variables binaires vj telles que : vj = 1 si le plan de coupe j est mis en oeuvre au moins une fois. La fonction objectif prend alors l’allure suivante : Min z = (c1 *Chutes) + (c2 *Passages) où c1 est le coût correspondant à chaque cm de chute Chutes = total des chutes (en cm) Chutes = 23x1 + 27x2 + 17x3 + ... + 5x10 Nizar El Hachemi La Modélisation
  84. 84. Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères Modèle c2 est le coût de passage d’un plan de coupe au suivant Passages = nombre de passages d’un plan de coupe à un autre Passages = v1 + v2 + v3 + ... + v10 − 1 Les contraintes se regroupent en 3 catégories. Celles qui visent à satisfaire la demande à quelques rouleaux près : 350 ≤ 3x1 + 2x2 + ... + 1x6 ≤ 370 175 ≤ 1x2 + 2x4 + ... + 1x9 ≤ 185 175 ≤ 2x3 + 2x5 + ... + 6x10 ≤ 185 Nizar El Hachemi La Modélisation
  85. 85. Comment tenir compte des coûts fixes : la coupe debobines-mères Modèle Celles qui lient chaque variable xj à la variable vj correspondante de façon à traduire l’obligation pour vj de prendre la valeur 1 si et seulement si la variable xj est positive : vj ≤ xj ≤ Mvj où M est une constante suffisamment élevée Celles qui exigent que les variables xj sont non négatives et entières, que les variables vj soient binaires. Nizar El Hachemi La Modélisation
  86. 86. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Déscription Un manufacturier dispose de l’équipement nécessaire pour mettre en marché 4 produits alimentaires : P1 , P2 , P3 et P4 . Ces produits requirent l’intervention de 3 ateliers distincts : A1 , A2 et A3 . Le tableau suivant présente les données relatives aux durées de production et aux disponibilités de ces ateliers au cours du prochain mois. Nizar El Hachemi La Modélisation
  87. 87. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Données de fabrication Atelier P1 P2 P3 P4 Heures disponibles A1 0,12 0,15 0,10 0,09 2760 A2 0,10 0,09 0,15 0,10 2500 A3 0,05 0,04 0,04 0,05 1200 Profit par caisse 2,20 $ 1,90 $ 2,25 $ 1,71 $ Table: Données en heure Nizar El Hachemi La Modélisation
  88. 88. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Déscription Ce qui es fabriqué au cours d’un mois n’est livré qu’à la fin du mois suivant : en effet, une période minimale d’un mois de mûrissement et d’affinage est requise pour que les produits atteignent leur pleine saveur. L’espace d’entreposage requis pour une caisse de chaque produit est donné au tableau qui suit. Le manufacturier dispose de 4000 m3 d’espace d’entreposage, qui lui coûtent 1200$ par mois. Il peut louer de l’espace supplémentaire par tranche de 2000 m3 , au tarifs mensuels donnés au tableau. Nizar El Hachemi La Modélisation
  89. 89. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Données de fabrication Produits P1 P2 P3 P4 Espace requis en m3 0,27 0,28 0,29 0,24 Table: Espace requis Espace (103 m3 ) 2 4 6 8 10 12 14 16 Coût 103 $ 3 4,8 6,4 7,8 9 10 10,8 11,5 Table: Coût de location mensuel Nizar El Hachemi La Modélisation
  90. 90. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Déscription Le carnet de commandes et le maintien de ses parts de marché imposent au manufacturier de fabriquer un total d’au moins 5000 caisses de P1 et de P2 confondus, au plus 4000 caisses de P2 , au moins 2000 caisses de P4 et un total d’au plus 30000 caisses des produits P1 et P3 confondus. Nizar El Hachemi La Modélisation
  91. 91. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Modélisation Les coûts d’entreposage ne sont pas linéaires et il sera nécessaire d’introduire des variables binaires. Les variables de décision sont donc xj (1 ≤ j ≤ 4), C et vh (0 ≤ h ≤ 8), où xj = nombre de caisses du produit j que fabriquera le manufacturier C n’apparaît que pour représenter le coût des 4000 m3 disponible v0 = 1 si le manufacturier n’utilise que les 4000 m3 dont il dispose et où, pour h = 1, ..., 8 vh = 1 si le manufacturier loue exactement (2h) milliers de m3 Nizar El Hachemi La Modélisation
  92. 92. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Modélisation Le modèle suivant constitue une façon de traduire mathématiquement le problème du manufacturier : Max 2, 2x1 + ... + 1, 71x4 − 103 (3v1 − ... − 11, 5v8 ) − C subject to : (60) 0, 12x1 + 0, 15x2 + 0, 10x3 + 0, 09x4 ≤ 2760 (61) 0, 10x1 + 0, 09x2 + 0, 15x3 + 0, 10x4 ≤ 2500 (62) 0, 05x1 + 0, 04x2 + 0, 04x3 + 0, 05x4 ≤ 1200 (63) 3 0, 27x1 + 0, 28x2 + 0, 29x3 + 0, 24x4 ≤ 10 (4v0 + ... + 20v8 ) (64) Nizar El Hachemi La Modélisation
  93. 93. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Modélisation Suite du modèle : v0 + v1 + v2 + ... + v8 = 1 (65) x1 + x2 ≥ 5000 (66) x2 ≤ 4000 (67) x4 ≥ 2000 (68) x1 + x3 ≤ 30000 (69) C = 1200 (70) Nizar El Hachemi La Modélisation
  94. 94. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Discussion L’approche retenue pour modifier par à-coups le membre de droit de la contrainte d’entreposage mérite une présentation plus générale. L’objectif du manufacturier est de maximiser ses profits en utilisant à bon escient diverses ressources. L’une d’elles est l’espace d’entreposage, et le manufacturier dispose pour le moment de b0 = 4000m3 . Il doit donc respecter une contrainte du genre ai xi ≤ b0 . Nizar El Hachemi La Modélisation
  95. 95. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Discussion Il songe à augmenter l’espace d’entreposage et cherche le niveau de cette ressource qui lui permettrait de maximiser ses profits en relaxant le membre droit de la contrainte associé. Comme les contrats de location offrent l’espace supplémentaire en blocs, il s’agit de permettre à b0 de varier pat à-coups, disons de b0 à b1 , de b1 à b2 , de b2 à b3 , etc. Les écarts entre deux bh consécutifs n’ont pas à être égaux, bien qu’ils le soient dans l’exemple. Nizar El Hachemi La Modélisation
  96. 96. La modification par à-coups du membre droit d’unecontrainte Discussion Pour modéliser une telle situation, il suffit de relier comme suit les coûts afférents à chacun des accroissements prèvus de la ressource, à partir du seuil minimal b0 : Pour le passage de b0 à bh : coûts de ch h = 1, ..., p 0 < c1 < c2 < ... < cp . vh = 1 si le membre de droit de la contrainte est égale à bh Nizar El Hachemi La Modélisation
  97. 97. Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes Présentation Il arrive que les contraintes technologiques, dans leur ensemble, excluent toute solution admissible, ou encore limitent la fonction-objectif à une valeur jugée inacceptable par les gestionnaires. On cherche alors à agrandir l’ensemble des solutions admissibles. Une façon de procéder est de faire jouer à certaines contraintes technologiques un rôle de critères et d’accepter que seulement un certain nombre de ses critères puissent être satisfaits. Nizar El Hachemi La Modélisation
  98. 98. Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes Les contraintes de signe ≥ Nous illustrons notre propos à l’aide d’un problème classique de diète, dont toutes les contraintes en un premier temps doivent être satisfaits. Les normes d’une diète idéale imposent des quantités minimales de glucides, de lipides et de protides. Une diètéticienne, qui cherche à minimiser le coût de rations composées à partir des aliments A et B, se voit confrontée au problème linéaire suivant : Nizar El Hachemi La Modélisation
  99. 99. Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes Modéle Min z = 5xA + 6xB subject to : (71) 120xA + 200xB ≥ 1200 (72) 300xA + 250xB ≥ 2200 (73) 200xA + 200xB ≥ 1375 (74) xA , xB ≥ 0 (75) Nizar El Hachemi La Modélisation
  100. 100. Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes Discussion La valeur minimale de la fonction-objectif dans le modèle ci-dessus est z = 42, 53. Si le coût 42,53 de la diète optimale est jugé trop élevé, il est possible d’améliorer la situation en exigeant seulement que 2 des 3 contraintes technologiques soient satisfaites. Voici comment traduire algébriquement cette exigence. On commence par définir des variables binaires vi (1 ≤ j ≤ 3) : vi = 1 si la contrainte-critère numéro i doit être satisfaite. Nizar El Hachemi La Modélisation
  101. 101. Comment satisfaire à un nombre fixé de contraintes Modéle Min z = 5xA + 6xB subject to : (76) 120xA + 200xB ≥ 1200 − (1 − v1 )M (77) 300xA + 250xB ≥ 2200 − (1 − v2 )M (78) 200xA + 200xB ≥ 1375 − (1 − v3 )M (79) v1 + v2 + v3 ≥ 2 (80) xA , xB ≥ 0 (81) v1 , v2 , v3 ∈ {0, 1} (82) Nizar El Hachemi La Modélisation

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