1. نظرية فان هيل في التفكير الهندسي
78
رفاء الرمحي
تقوم نظرية فان هيل ( )Van Hieleفي التفكير الهندسي التي مت تطويرها من قبل باحثني هولنديني هما ديانا فان هيل غيلدوف (Diana Van Hiele
ّ
)Geldofوزوجها بيير ماري فان هيل ( )Pierre Marie Van Hieleعلى فكرة مفادها إن التعلم عملية ليست متصلة (،)discontinuos
ّ
بل هناك قفزات في منحنى التعلم، ما يعني وجود مستويات تفكير منفصلة ومختلفة. ومن هنا رأى الباحثان ضرورة وجود مستويات مختلفة
اخلصائص في التفكير الهندسي.
سأتناول في هذه املقالة اجلوانب الثالثة األساسية للنظرية، وهي وجود املستويات، وخصائصها، وكيفية االنتقال من مستوى إلى املستوى الذي
يليه، أما اجلزء األخير للمقالة، فسأركز فيه على أهمية معرفة النظرية لتطوير تعليم وتعلم املوضوعات الهندسية.
ملف الثقافة العلمية
لقد طور كل من ديانا وبيير نظريتهما في رسالتي دكتوراه منفصلتني أواخر العام 7591 في هولندا، وقد توفيت ديانا بعد أن أنهت رسالتها الدكتوراه
التي تناولت موضوع تعليم الهندسة. وكان زوجها بيير الذي كان موضوع دراسته «دور احلدس في تعليم الهندسة» هو الشخص القادر على توضيح
تلك النظرية وشرحها (2891، Usiskin؛ 8891، .)Fuys ،et al
أما مستويات فان هيل (كما ورد في: 2891 , ،)Usiskinفهي:
ّ وفي العام 8591-9591، نشر بيير ثالث أوراق بحثية عن النظرية،
إحداها بالهولندية، وترجمت فيما بعد إلى الفرنسية، واثنتني باإلجنليزية
املستوى (0): التعرف على الشكل ( )recognitionأو البصري
ّ )2891, .(Usiskinوكانت إحدى األوراق البحثية بعنوان «الهندسة
( :)visualizationوفيه يحكم الطالب على الشكل الهندسي من وتفكير الطفل» )،(The thought of the child & geometry
ً
مظهره العام، ومييزه ككل، وال يعرف شيئ ًا عن اخلصائص. فمثال وشرح فيها خمسة مستويات لتطور التفكير الهندسي عند األطفال
الشكل مستطيل ألنه يشبه الباب، الشكل مربع ألنه يشبه الشباك. وال )6791 ,.(Wirzup
يستطيع الطالب في هذا املستوى الربط بني اخلصائص، كما أنه ال يعرف
العالقات بينها، وبالنسبة له فإن املربع يختلف عن املستطيل.
ّ وتوجد للنظرية ثالثة جوانب ) (aspectأساسية، هي ),Usiskin
8891 , :(1982; Fuys, et alوجود املستويات، خصائص
املستوى (1): التحليلي ( )analysisأو الوصفي (:)descriptive املستويات، االنتقال من مستوى إلى املستوى الذي يليه.
يحلّل الطالب الشكل الهندسي بداللة مكوناته والعالقة بني هذه
املكونات. كما يعتمد صفات مميزة لكل فئة من األشكال بشكل تريبي 1. وجود مستويات التفكير الهندسي
(الطي، القياس، الشبكات)، ويستخدم اخلصائص في حل املسائل.
فمثالً؛ يفكر في املربع على أن له أربعة أضالع وأربع زوايا قائمة. ويقارن
ّ ترى نظرية فان هيل أن التعلم هو عملية ليست متصلة )،(discontinuos
ّ
رؤى تربوية - العدد التاسع والعشرون
بني األشكال باالعتماد على اخلصائص وليس باالعتماد على الشكل إذ توجد قفزات في منحنى التعلم، وهذا يعني وجود مستويات تفكير
ً
العام، فمثال يقارن بني املربع واملثلث باالعتماد على عدد األضالع، منفصلة ومختلفة)8891 ,.(Fuys, et al
ً
ولكن ال يستطيع الطالب في هذا املستوى الربط بني اخلصائص، فمثال
ال يستنتج أن املربع هو متوازي أضالع. وقد استخدمت األدبيات بنيتني رقميتني مختلفتني لتحديد تلك
املستويات، األولى ترقّم املستويات من 0–4 ،وهو نظام مياثل النظام
املستوى (2): الترتيبي ( )orderingأو العالئقي ()relationship األوروبي لعد الطوابق في بناية ما بادئ ًا بالطابق األرضي، ثم األول
أو االستنتاج غير الشكلي ( :)informal deductionير ّتب الطالب وبعده الثاني ... وهكذا. ونظام آخر يرقم املستويات من 1-5
األشكال والعالقات بشكل منطقي، كما يستخدم استنتاج ًا بسيط ًاً، )9891 , .(Senkوسأستخدم في هذه املقالة الترقيم من 0-4، وذلك
ولكنه ال يفهم البرهان. باستطاعة الطالب تصنيف األشكال بشكل اعتماد ًا على الترقيم الذي وضعه فان هيل.
2. )9991 ,:(Usiskin, 1982; Hiele هرمي بتحليل خصائصها والقيام مبناقشات غير شكلية. مثال ذلك
أن املربع هو معني، ألنه معني غير أن له خصائص إضافية، وفي هذا
ّ ّ ّ
< املعلومات: يجب أن يبدأ التدريس مبواد تقدم للطفل وتقوده الكتشاف املستوى يدرك الطالب أهمية التعريف ويبني روابط بني األشكال من
بنى معينة. خالل التعريفات. 88
< التوجيه املباشر ( :)directed orientationوهي أن تقدم املهام
للطلبة بطريقة تعل البنى املتعلمة مألوفة لديهم. املستوى (3): االستنتاج الشكلي ( :)formal deductionيفهم
< الوضوح ( :)explicitationيقدم املعلم املصطلحات الهندسية الطالب أهمية االستنتاج، ويبني نظريات في نظام مسلمات، ويقوم
ويشجع الطلبة على استخدامها في كتاباتهم ومناقشاتهم في حصص بالتمييز بني العناصر غير املعرفة والتعريفات واملسلمات، والبرهان،
الهندسة. ويذكر السبب بشكل شكلي وبعبارات منطقية باالعتماد على املسلمات
< التوجيه احلر ( :)Free orientationيقدم املعلم مهمات ميكن والنظريات، ويعطي الطالب إثبات ًا شكلياً، ولكن دون املقارنة بني
إمتامها بطرق مختلفة، ويكتسب الطلبة خبرات في حل متطلبات ً
األنظمة املسلمية، فمثال يكون باستطاعته برهنة تكافؤ مجموعتني من
مبفردهم باالعتماد على ما درسوه سابقاً. اخلصائص التي حتدد تعريف متوازي األضالع.
< التكامل ( :)Integrationيعطى الطلبة فرص ًا لتجميع ما درسوه
سابقاً، كأن يصمموا أنشطتهم بأنفسهم. املستوى (4):التجريد( )rigorأوفوقالرياضي()amathematical
أو املسلماتي ( :)axiomaticيفهم الطالب ضرورة التجريد الصارم،
يقتصر دور املعلم في املرحلة األخيرة على التخطيط للمهام، وتوجيه وباستطاعته أن يجري استنتاج ًا مجرد ًا بحيث ميكن فهم الهندسة
انتباه الطلبة للخصائص الهندسية لألشكال، واستخدام مصطلحات الالإقليدية. وفي هذا املستوى، يذكر الطالب السبب حول نظام
هندسية، وتشجيع الطلبة على استخدامها، وتشجيع حل املشكالت رياضي بشكل شكلي أكثر من اخلصائص التي يعرفها من قبل، ويكون
باستطاعته حتليل االستنتاجات من املسلمات والتعريفات، كما يكون
بإمكانه التعلم عن طريق استحداث مسلمات جديدة باالعتماد على
ملف الثقافة العلمية
النظام الهندسي.
2. خصائص املستويات (2891 ,)Usiskin
اخلاصية األولى: التتابع الثابت ( )fixed sequenceأو الهرمية
( :)hierarchicalوهي ضرورة أن مير الطالب في املستوى السابق
قبل أن يصل إلى املستوى التالي.
اخلاصية الثانية: التجاور ( :)adjacencyكل ما يكون ضمني ًا
ً
( )intrinsicفي مستوى التفكير السابق يصبح صريح ًا ()extrinsic
في مستوى التفكير التالي.
اخلاصية الثالثة: التمييز ( :)distinctلكل مستوى تفكير رموزه اخلاصة
ولغته وعالقاته التي تربط بني تلك الرموز.
اخلاصية الرابعة: الفصل ( :)separationوتعني أنه لن يتمكن
شخصان في مستويي تفكير مختلفني من فهم بعضهما البعض. فإذا كان
الطالب في مستوى التفكير الثاني واملعلم يشرح في املستوى الثالث،
فلن يتمكن الطالب من فهم ما يقوله معلمه )8891 ,.(Fuys, et al
ذكر الزوجان فان هيل خاصية خامسة، وهي االكتساب
رؤى تربوية - العدد التاسع والعشرون
( :)attainmentوتعني أنه ميكن لعملية التعلم نقل الطالب من
مستوى تفكير إلى آخر.
3. االنتقال بني املستويات
اعتقد فان هيل أ ّنه ميكن تسريع التطوير الذهني املعرفي في الهندسة من
خالل التعليم )2891 , ،(Usiskinوليس من خالل النضج أو العمر
من فعاليات مسرح احلرية في جنني. )8891; . .(Senk, 1989; Fuys, et alوطبق ًا لفان هيل، فإن
االنتقال من مستوى تفكير إلى آخر يتم من خالل خمس مراحل، وهي
3. بتدريسها استيعاب ًا تاماً، وهذا الشعور لن يتأ ّتى ما لم يكن املعلم على التي حتتاج إلى تفكير حتليلي حول األشكال الهندسية، مع أهمية
دراية تامة مبوضوعاتها، بحيث يكون باستطاعته أن يعرض أي موضوع استخدام مواد ملموسة مثل أحاجي الفسيفساء ()Mosaic Puzzle
من موضوعاتها بطرق مختلفة، وأن يوضح ما يوجد بينها من ترابط التي تساعد على بناء خلفية بصرية وتفكير حتليلي عند األطفال. رأى
98 وتداخل. وكما ظهر أن التفكير الهندسي يعتمد بشكل مباشر على
ّ فان هيل ضرورة أن يتذكر املعلم دائم ًا أن “الهندسة تبدأ باللعب” (613
اخللفية الرياضية ملعلم الرياضيات التي يكون قد تلقاها وهو طالب في :9991 ,.)Hiele
املدرسة، فإذا كانت هذه اخللفية ضعيفة، فإن ذلك سيؤدي بالضرورة
إلى ضعف في تدريسه الهندسة لطالبه، كما أن ملعتقدات املعلمني
ّ تقييم وخالصة
وتوجهاتهم أثر ًا كبيراً، حيث يرى الكثير منهم أن الهندسة هي من
املواضيع األقل أهمية )7991 , (Backe-Nanwaldفي (شويخ، تعتبر نظرية فان هيل في التفكير الهندسي من النظريات املهمة التي تلقى
5002). فعلى الصعيد الفلسطيني، وجد أن نظرة املعلمني للهندسة اهتمام التربويني في العالم؛ وذلك ألن فهمها ومعرفتها يساعد في
ّ
ليست باألمر املشجع (شويخ، 5002)، وقد يشكل ذلك أحد أسباب تدريس الهندسة للطلبة في املراحل املختلفة. وللنظرية تبعات تربوية
الصعوبات أمام الطلبة واملعلمني في تعلمها وتعليمها، لذا يقع على كثيرة، فهي تبني للمعلمني ضرورة مرور طلبتهم خالل مستويات تفكير
ّ
عائق املعلمني تطوير فهمهم للموضوعات الهندسية ليستطيعوا إيصال ً
دنيا، وصوال إلى مستويات التفكير العليا، غير أن ذلك قد يستغرق
ّ
املفاهيم الهندسية لطلبتهم بشكل صحيح ألن «فاقد الشيء ال يعطيه»! بعض الوقت، كما أن على معلمي الرياضيات معرفة أن التعليم أساسي
للتقدم خالل املستويات، وأنه بإمكان الطلبة الفهم والتوسع في نظام
وقد أظهرت دراسة بورجر وشوجنسي ),Burger &Shaughnessy مسلمات ( )axiomatic systemفقط عندما يصلون إلى مستويات
6891( أهمية املستويات (0) و(1) و(2) في وصف عملية االستدالل التفكير العليا في الهرمية، وقد يفسر ذلك ما أظهرته دراسات عديدة
لدى الطلبة، وقد يكون النقص في التمارين واألنشطة التي يدرسها (9891 , )Usiskin, 1982; Senkوهو أن كتابة برهان هندسي
الطالب في مستويات التفكير الهندسي والتي تؤهل لالنتقال من مستوى أمر صعب وغير مرغوب فيه بني الطلبة، ذلك ألن مثل هؤالء الطلبة
إلى آخر أحد أسباب التأرجح بني املستويات، فقد يكتسب الطالب قد ال يكونون قد وصلوا إلى مستوى االستنتاج الشكلي، فقد ظهر في
ملف الثقافة العلمية
مستوى معيناً، ولكنه يفقده بعد فترة ليعود للمستوى األدنى. لذا، ال بد
ّ دراسة سنك )9891 , (Senkأن الطلبة الذين كانت خلفيتهم الهندسية
ّ
من تطوير نشاطات كافية تساعد الطلبة على االنتقال خالل املستويات، ضعيفة في املستويني البصري والتحليلي ودخلوا املرحلة الثانوية، كانت
كما يجب مساعدة طلبة املرحلة األساسية على اكتشاف خصائص فرصتهم في تعلم الهندسة في وقت الحق من السنة قليلة، ولم يكونوا
األشكال الهندسية بشكل غير شكلي، وتطوير قدراتهم البصرية. قادرين إال على حفظ البراهني.
وأخير ًا أرى ضرورة تعريف املعلمني مبستويات فان هيل للتفكير كما أن نظرية التفكير الهندسي تلفت انتباه معلمي الرياضيات إلى ما
الهندسي، وباملراحل الضرورية حلدوث االنتقال من مستوى تفكير إلى يعرف باحلاجز اللغوي بني املعلم والطالب الذي -كما ذكر فان هيل- أنه
آخر، ما يساعد املعلمني على ترتيب أفكارهم وتقييم مستوى فان هيل ينتج عندما يستخدم املعلم لغة أعلى من مستوى تفكير الطلبة ),Fuys
الذي وصل إليه طلبتهم سابقاً، والبناء عليه قبل البدء بشرح أي موضوع
ّ 2891 , ،(et al., 1988; NCTM, 1988; Usiskinوقد يفسر
هندسي جديد. ذلك صعوبات الطلبة في تعلم الهندسة، فكما أشارت الدراسات إلى
أن ضعف الطلبة العام في البرهان ناجم عن ضعف قدرات املعلمني
رفاء الرمحي في الهندسة )7991 , (Back- Nanwaldفي (شويخ، 5002).
محاضرة في جامعة بيرزيت لذا، فإن على معلم الهندسة أن يشعر أنه يستوعب املادة التي يقوم
املراجع
> شويخ، جهاد (5002). أمناط التفكير الهندسي لدى الطلبة الفلسطينيني - رسالة ماجستير غير منشورة، جامعة بيرزيت، بيرزيت، فلسطني.
> Burger, W. F. & Shaughnessy, J.M. (1986). Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry. Journal
رؤى تربوية - العدد التاسع والعشرون
.84-13 ,)1(71 ,for Research in Mathematics Education
.> Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents
Journal for Research in Mathematics Education Monograph Series, No. 3, Reston, VA: National Council of Teachers
.of Mathematics
> NCTM.(1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics
.3 ,Education, Monograph No
> Senk, S.L. (1989). Van Hiele levels and achievement in writing geometry proofs. Journal for Research in Mathematics
.123-903 ,)3( 02 ,Education
4. > Usiskin, Z . (1982). Van Hiele Levels and achievement in Secondary School geometry (Final report of the Cognitive
Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago: University of Chicago, Department
of Education. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 220 288).
> Van Hiele , P. (1999). Developing geometric thinking through activities that begin with play. Teaching Children 90
Mathematics, 5(6), 310-316.
> Wirzup, I. (1976). Breakthroughs in the psychology of learning and teaching geometry, in: J. Martin (Ed). Space and
geometry: papers from a research workshop ( pp. 75-97). Columbus, Ohio: ERICK/SMEAC.
ملف الثقافة العلمية
رؤى تربوية - العدد التاسع والعشرون
.من فعاليات مدرسة غزة للموسيقى
