Dokumen tersebut membahas cara menentukan invers suatu matriks bujursangkar dengan menggunakan determinan dan matriks kofaktor. Langkah-langkahnya adalah menghitung determinan matriks, membentuk matriks kofaktor, dan mengambil transpose dari matriks kofaktor tersebut serta membaginya dengan determinan asli matriks.

1. MENCARI INVERS MATRIKS MELALUI DETERMINAN
Setiap matriks bujursangkar-n A = [aij] selalu memiliki
skalar khusus yang disebut determinan yang dinotasi-
kan dengan det(A) atau |A| atau
a11 a12 a13 ..... ..... a1n
a21 a22 a23 ..... ..... a2n
..... ..... ..... ..... ..... .....
an1 an2 an3 ..... ..... anm

2. • Misalkan
• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar
• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian
minor dan kofaktor.
• Ilustrasi:
• Minor komponen adalah
• Kofaktor komponen adalah
det A = | A | := ad-bc
Minor adalah bagian matrik terkecil dengan dimensi 2x2 dari
suatu matrik bujursangkar yang sama atau lebih dari dimensi 3x3
Kofaktor adalah nilai skalar permutasi dari minor

3. Dengan cara yang sama diperoleh
Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikan
skema berikut :
Diperoleh
Definisi determinan matriks 3 x 3:
Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.
Aij* = (-1)i+j
.Mij

4. sehingga determinan matriks A adalah = 36 + 12 + 16 = 64
Mencari determinan matriks A dengan kofaktor
3
6
-4
3
0
= 3 x (-1)1+1
x (6x0 - 3x-4) = 36
2
1
2
3
0
= 2 x (-1)1+2
x (1x0 - 3x2) = 12
-1
1
2
6
-4
= -1 x (-1)1+3
x (1x-4 - 6x2) = 16
i = 1, j = 1
i = 1, j = 2
i = 1, j = 3

5. Adjoint matriks
• Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor
aij adalah Cij maka matriks
• Contoh:
disebut matriks kofaktor dari A, dan
transposenya disebut adjoint A, ditulis
adj(A).
Kofaktor A :

6. Mencari kofaktor melalui minor matriks A
i =1, j = 1
Mij = M11 =
6
-4
3
0
= (6 x 0) - (3 x -4) = 12
Cij = (-1)i+j x Mij
C11 = (-1)1+1 x M11
C11 = 1 x 12
C11 = 12

7. i =1, j = 2
Mij = M12 =
1
2
3
0
= (1 x 0) - (3 x 2) = -6
Cij = (-1)i+j x Mij
C12 = (-1)1+2 x M12
C12 = -1 x -6
C12 = 6
i =1, j =3
Mij = M13 =
1
2
6
-4
= (1 x -4) - (6 x 2) = -16
Cij = (-1)i+j x Mij
C13 = (-1)1+3 x M13
C13 = 1 x -16
C13 = -16

8. i =2, j = 2
Mij = M22 =
3
2
-1
0
= (3 x 0) - (-1 x 2) = 2
Cij = (-1)i+j x Mij
C22 = (-1)2+2 x M22
C22 = 1 x 2
C22 = 2
i =2, j = 1
Mij = M21 =
2
-4
-1
0
= (2 x 0) - (-1 x -4) = -4
Cij = (-1)i+j x Mij
C21 = (-1)2+1 x M21
C21 = -1 x -4
C21 = 4

9. i =2, j =3
Mij = M23 =
3
2
2
-4
= (3 x -4) - (2 x 2) = -16
Cij = (-1)i+j x Mij
C23 = (-1)2+3 x M23
C23 = -1 x -16
C23 = 16
i =3, j = 1
Mij = M31 =
2
6
-1
3
= (2 x 3) - (-1 x 6) = 12
Cij = (-1)i+j x Mij
C31 = (-1)3+1 x M31
C31 = 1 x 12
C31 = 12

10. i =3, j = 3
Mij = M33 =
3
1
2
6
= (3 x 6) - (2 x 1) = 16
Cij = (-1)i+j x Mij
C33 = (-1)3+3 x M33
C33 = 1 x 16
C33 = 16
i =3, j =2
Mij = M32 =
3
1
-1
3
= (3 x 3) - (-1 x 1) = 10
Cij = (-1)i+j x Mij
C32 = (-1)3+2 x M32
C32 = -1 x 10
C32 = -10

11. Hasil kofaktor dibentuk menjadi matriks
Matriks kofaktor
Matriks kofaktor ditranspose

12. • Invers matiks A adalah
• Contoh: diperhatikan kembali matriks A
sebelumnya, mudah diperoleh det(A) =
64, jadi
Invers matriks