Cours1
- 1. اﻟﺘﻌﺪاد واﻟﺤﺴﺎب
·
ﻟﯿﻜﻦ aو bو cأﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻃﺒﯿﻌﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚ aﯾﻘﺴﻢ اﻟﺠﺬاء bc
إذا ﻛﺎن : aو bأوﻟﯿﯿﻦ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن aﯾﻘﺴﻢ c
·
ﻟﯿﻜﻦ aو bو cأﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺤﺔ ﻃﺒﯿﻌﯿﺔ إذا ﻛﺎن aﯾﻘﺴﻢ cو bﯾﻘﺴﻢ c
و aو bأوﻟﯿﯿﻦ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن abﯾﻘﺴﻢ c
·
ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 6 إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 2 و 3 .
·
ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 21 إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 و 4 .
·
ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 51 إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 و 5 .
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ R
·
·
·
·
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ھﻲ اﺗﺤﺎد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ Qواﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻤﺎء I
ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻛﺴﺮي ﻧﺴﺒﻲ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ دورﯾﺔ ، وﻛﻞ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ دورﯾﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا ﻛﺴﺮﯾﺎ وﺣﯿﺪا
ﻛﻞ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ وﻏﯿﺮ دورﯾﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا أﺻﻤﺎ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﺪدي ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ﺣﯿﺚ أن ﻛﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﯾﻤﺜﻞ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ وﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ
اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻓﻲ R
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن aو ﻻ ﻓﺈن :
a+b = b+a
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ aﻓﺈن :
a+0 = 0+a = a
·
اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ aو bھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ dﺣﯿﺚ :
a= d+bوﻧﻜﺘﺐ d = a – b
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن aو bﻓﺈن :
-(a+b) = -a – b
- 2. ·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن aو bﻓﺈن :
axb=bxa
·
ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ aو bو cﻓﺈن :
a(b-c) = ab – ac
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ aﻓﺈن :
)a x (-1) = (-1) x a = (-a
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن aو bﻓﺈن :
0 = abﯾﻌﻨﻲ 0 = aأو 0 = b
·
ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ aو bو cﻓﺈن :
a + ( b+c) = ( a+ b) + c = a+ b +c
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ aﻓﺈن :
0 = )a + (-a
·
ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ aو bو cﻓﺈن :
a – ( b – c) = a – b + c
a – ( b + c) = a – b – c
·
ﻛﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ aﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻟﮫ ﻣﻘﻠﻮب 1/a
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ aﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﺈن :
1 = a x 1/a
·
Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺪرج ) (oiﻓﺎﺻﻠﻨﮭﺎ xاﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟـ x
ھﻲ اﻟﺒﻌﺪ |x| = OM : OM
·
|x| = Xإذا ﻛﺎن Xﻋﺪد ﻣﻮﺟﺒﺎ
·
|x| = - Xإذا ﻛﺎن Xﻋﺪد ا ﺳﺎﻟﺒﺎ
·
0 = | |xﯾﻌﻨﻲ 0 = X
·
ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن aو bﻓﺈن :
||ab| = |a| .| b
- 3. اﻟﻘﻮى ﻓﻲ R
·
إذا ﻛﺎن aو ﻻ ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﻟﻠﺼﻔﺮ و nو pﻋﺪدﯾﻦ ﺻﺤﯿﺤﯿﻦ ﻓﺈن :
(a x b ) = an x bn
(an) = anp
an x ap = an+p
( a/b)² = an / bn
اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ واﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻓﻲ R
·
ﻟﯿﻜﻦ aو bﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ
0≤ a-bﯾﻌﻨﻲ a ≤b
0≥ a-bﯾﻌﻨﻲ a ≥b
·
ﻟﺘﻜﻦ xو yو zأﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ
a ≤ bﯾﻌﻨﻲ a + c ≤ b +c
·
إذا ﻛﺎن aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ
·
a ≤ bﯾﻌﻨﻲ a + c ≤ b +c
·
c ≤ d a ≤ bﯾﻌﻨﻲ a + c ≤ b +d
·
ﻧﻌﺘﺒﺮ aو bﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ
1- إذا ﻛﺎن cﻋﺪدا ﻣﻮﺟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺈن :
a ≤ bﯾﻌﻨﻲ a c ≤ b c
2- إذا ﻛﺎن cﻋﺪدا ﺳﺎﻟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺈن :
a ≤ bﯾﻌﻨﻲ a c ≥ b c
·
إذا ﻛﺎن aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ :
A ≤bو c≤dإذن ac ≤bd
·
إذا ﻛﺎن aو bو cو dأﻋﺎد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ :
A ≤bو c ≤dإذن ac ≥bd
·
ﻧﻌﺘﺒﺮ xو yﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ
X ≤ yﯾﻌﻨﻲ
·
²x² ≤y
ﻧﻌﺘﺒﺮ xو yﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﺳﺎﻟﺒﯿﻦ
X ≤ yﯾﻌﻨﻲ
²x² ≥y
- 4. ·
ﻟﯿﻜﻦ xو yﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ
||x|≤|y
² x² ≤yﯾﻌﻨﻲ
Xو yﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﻟﻠﺼﻔﺮ وﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻼﻣﺔ
·
X ≤ yﯾﻌﻨﻲ
·
إذا ﻛﺎن aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﻓﺈن :
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
(a+b)(c-d) = ac – ad + bc - bd
(a-b)(c-d) = ac – ad - bc - bd
(a-b)(c+d) = ac + ad - bc - bd
·
إذا ﻛﺎن aو bﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ :
²( a +b) ² = a² + 2ab + b
²(a -b) ² = a² - 2ab + b
²( a + b) ( a – b)= a² - b
·
ﺣﺼﺮ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ b
aﺃﻭ b
x
x
aﺗﺴﻤﻰ ﺣﺼﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩ . x
ﺍﻟﻔﺮﻕ b – aﻳﺴﻤﻰ ﻣﺪﻯ ﺍﻟﺤﺼﺮ
·
ﺣﺼﺮ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻋﺪﺩﻳﻦ :
aﻭ bﻭ cﻭ dﻭ xﻭ yﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ.
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ b
x
ﻓﺈﻥ b+d
x+y
·
aﻭ d
y
a+ c
ﺣﺼﺮ ﺟﺬﺍﺀ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﻮﺟﺒﻴﻦ
c
- 5. aﻭ bﻭ cﻭ dﻭ xﻭ yﺃﻋﺪﺍﺩ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ
ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ b
x
ﻓﺈﻥ : bd
xy
b
ac
ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﺤﺪﻭﺩﺓ ﻓﻲ
·
b
aﻭ d
y
c
a
x
x
[ ]a ; b
a
a
b
x
b
a>x
]]a;b
ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﻏﻴﺮ ﺍﻟﻤﺤﺪﻭﺩﺓ ﻓﻲ
·
X≥a
[
+ ; [a
X
[
+ ; ]a
a
X≤a
a
]X
·
]ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ
| |xﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ
| |xﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻝ
| |xﻫﻲ [
+ ; [a
-]
| |xﻫﻲ [
+ ; ]a
-]
