factorización

1. Factorización
Consuelo Díaz
Raquel Valdés

2. Factorización de
diferencia de
cuadrados
y cubos
FFaaccttoorriizzaacciióónn
Estrategia
Factor común y
por agrupación
Factorización
de trinomios

4. Factor
Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión
(a - b)( x - z) (a - b) y ( x - z)
Factorización
Son factores
a - b( x - z) b y ( x - z)
Operación necesaria para re-escribir una expresión
algebraica como producto de factores simples
ma2 -mb2 = m(a + b)(a - b)

5. Caso I. Factor Común
Aparece en todos los términos de la expresión
algebraica, un término común
ma2 -mb2
3x2 y - x
24a2xy2 - 36x2 y4
a(x +1) - b(x +1)
• Identificar el máximo
término común
• Dividir la expresión
algebraica original
entre el máximo
término común

6. Caso I. Factor Común
Ejemplo Máx.
factor
común
Segundo
factor
Factorización
Resolviendo los ejemplos:
ma2 -mb2
3x2 y - x
24a2xy2 - 36x2 y4
a(x +1) - b(x +1)
m a2 - b2 m(a2 - b2)
x 3xy -1 x(3xy -1)
12xy2 2 2 2a - 3xy 12xy2(2a2 - 3xy2)
x +1 a - b (x +1)(a - b)

7. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Aparece un término común compuesto después
de agrupar términos con factores comunes simples
ax + a - bx -b
• Agrupar términos con
factores comunes, usando
la propiedad asociativa
• Factorizar (Caso I) en cada
grupo, los factores comunes
• Identificar el máximo
término común
• Dividir la expresión
algebraica entre el máximo
término común
3m2 - 6mn + 4m-8n
2am+ n -1- 2an + 2a -m

8. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
ax + a -bx -b (ax + a) - (bx + b)
(a - b)(x +1) a(x +1) - b(x +1)
procedimiento

9. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
3m2 - 6mn + 4m-8n (3m2 - 6mn) + (4m-8n)
(3m+ 4)(m- 2n) 3m(m- 2n) + 4(m- 2n)
procedimiento

10. Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2am+ n -1- 2an + 2a -m (2am- 2an + 2a) - (m- n +1)
(2a -1)(m- n +1) 2a(m- n +1) - (m- n +1)
procedimiento

11. Caso II. Factorización de
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
a2 + 2ab + b2
• Determinar si es tcp
• Obtener la raíz cuadrada
del primer y tercer
términos
• Observar el signo del
segundo término
• Escribir el binomio al
cuadrado
x2 - 2x +1
4a2x2 -12ax + 9

12. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
¿ es tcp ?
Sí
a2 = a
b2 = b
+ 2ab
procedimiento

13. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
(2ax - 3)2
¿ es tcp ?
Sí
4a2x2 = 2ax
9 = 3
-12ax
procedimiento
4a2x2 -12ax + 9

14. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Trinomio de la forma x2 + cx + d
•Obtener la raíz cuadrada
del primer término
• Determinar dos números
que sumados sean igual a c
y que multiplicados sean
igual a d
• Escribir el producto de
binomios
x2 -12x + 20
9a2x2 - 39ax + 30

15. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
(x -10)(x - 2)
-10 - 2 = -12
(-10)(-2) = 20
procedimiento
x2 -12x + 20
x2 = x

16. Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
(3ax - 3)(3ax -10)
9a2x2 = 3ax
-10 - 3 = -13
procedimiento
9a2x2 - 39ax + 30
(-10)(-3) = 30
3(ax -1)(3ax -10)

17. Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Trinomio de la forma x2 + cx + d
• Completar el tcp
• Factorizar la diferencia
de cuadrados resultantes
x2 -12x + 20
9a2x2 - 39ax + 30
Método general

18. x2 -12x + 20
(x - 2)(x -10)
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
x2 = x
2ax = -12x
a x
= - 12 = -
x2 -12x + 36 - 36 + 20
(x - 6 + 4)(x - 6 - 4) (x - 6)2 -16
6
2
x
(-6)2 = 36

19. Trinomio Cuadrado Perfecto
Resultado del siguiente producto notable:
(a + b)2
(a - b)2
o,
= a2 + 2ab + b2
= a2 - 2ab + b2

20. Trinomio de la forma
x2 + cx + d
Resultado del siguiente producto notable:
(x + a)(x + b)
Donde:
c = a + b
= x2 + (a + b)x + ab
d = ab
y

21. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
a2 - b2
a2 -1 • Identificar la diferencia
de cuadrados
• Obtener la raíz cuadrada
del primer y segundo
términos
• Escribir el producto de
binomios conjugados
9 -16x6
x2 + 2x +1- y2

22. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
(3+ 4x3)(3- 4x3)
9 = 3
16x6 = 4x3
procedimiento
9 -16x6

23. Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
x2 + 2x +1- y2
(x +1+ y)(x +1- y)
(x +1)2 = x +1
y2 = y
procedimiento

24. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
a3 -1
• Identificar si es suma o
diferencia de cubos
• Obtener la raíz cúbica
del primer y segundo
términos
• Escribir el producto del
binomios por trinomio
correspondiente
27 + 64x6
a3 - b3

25. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
(a -1)(a2 + a +1)
3 a3 = a
3 1 =1
procedimiento
a3 -1
diferencia

26. Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
(-3+ 4x2)(9 +12x2 +16x4)
3 - 27 = -3
3 64x6 = 4x2
procedimiento
- 27 + 64x6
suma

27. Diferencia de Cuadrados
Resultado del siguiente producto notable:
(a + b)(a - b) = a2 - b2

28. Suma y Diferencia de Cubos
Resultado del siguiente producto notable:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
o bien,
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

29. Estrategia General
1. Factorizar todos los factores comunes.
2. Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original). Si
hay:
I. Cuatro términos: factorizar por agrupación.
II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.
III.Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.
IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
3. Asegurarse de que la expresión está
factorizada completamente.