Aula pb 12_resumo

Teoria da Decisão
Exercício 7 – Enunciado

Utilidade e Árvores de Decisão

Gestão e Teoria da Decisão

Uma empresa de construção civil tem a possibilidade de concorrer a duas grandes obras A e B. Dadas as
limitações do departamento de obras, a empresa poderá apenas executar uma das obras.
O director de projecto estima que para concorrer à obra A gastará 15 000 € em estudos e projecto
enquanto que para concorrer a B o custo será de 25 000 €. Os lucros líquidos (já com o custo do
projecto) estimados para as obras A e B são de 150 000 e 250 000 €, respectivamente. Uma vez ganha
uma obra a empresa pode ainda desistir mediante o pagamento de uma multa de 30 000 €. A empresa
desconhece as probabilidades associadas a ganhar as obras tendo resolvido, neste caso, atribuir 25% à
probabilidade de ganhar.
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada
um dos concursos. A informação custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram
70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso para a empresa comprar a informação
adicional.
c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da
maximização do valor esperado da utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a
representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o resultado obtido na alínea a).
1

(Continua)

Teoria da Decisão

Exercício 7 – Enunciado (Continuação)


Curva de Utilidade

U(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros
U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros

2

Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução



Decisões sequenciais: Árvores de Decisão
Representação de problemas de decisão sequenciais, descrevendo a sequência de
momentos de decisão ( ) e de acaso ( ), que permitem identificar cadeias de decisões
optimizadas (ao longo do tempo)

Resumo dos passos
1. Representam-se em árvore as possíveis sequências de escolhas do decisor e do acaso
(trajectórias de alternativas)
2. Calculam-se os resultados relativos às “pontas” da árvore (nós terminais)
3. “Probabilizam-se” os ramos dos nós de acaso a fim de poder associar-se a cada nó um
valor de síntese (em geral, o valor esperado)
4. Escolhem-se nos nós de decisão os ramos com melhor resultado, iniciando essas
escolhas nos nós de decisão mais profundos da árvores e recuando progressivamente até
3
atingir o nó de decisão inicial (correspondente ao instante actual)

Teoria da Decisão




Dados do problema

4

Teoria da Decisão




Árvore de decisão: Passo 1

Legenda
- Nó de decisão
- Nó de acaso
- Nó terminal

5

Teoria da Decisão




Árvore de decisão: Passos 2 e 3
95000 (150000-25000-30000)

Resultados
Probabilidades

0.0625
205000 (250000-15000-30000)

0.1875

0.1875

0.5625

0.25

0.75

0.25

0.75
0

125000

(150000-25000)

235000

(250000-15000)

-40000

(-15000-25000)

150000

(150000)

-15000

(-15000)

250000

(250000)

-25000

(-25000)
6

Teoria da Decisão





X

Resultados
Probabilidades

95000

0.0625
205000

205000

57812.5
0.1875

Valor Esperado (V.E.)=
( 0.0625*205000+
+0.1875*125000+
+0.1875*235000+
+0.5625*(-40000))

0.1875

0.5625

57812.5
26250
max(57812.5, 26250, 43750, 0)

0.25

max(95000,205000)

235000
-40000

X

Decisão alternativa
não optimal

150000

X
0.75

V.E.=( 0.25*150000+0.75*(-15000))

X

0.25
43750
0.75

V.E.=( 0.25*250000+0.75*(-25000))

125000

X

0

-15000

250000

-25000

Resposta: Concorrer a A
e B e, no caso de ganhar
A e B, escolher B. 7

Teoria da Decisão


b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação
custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso
para a empresa comprar a informação adicional.


Dados do problema

Custo da informação adicional: 2500€

8

Teoria da Decisão



b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação
custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso
para a empresa comprar a informação adicional.
95000
X

Resultados
Probabilidades

0.35
205000

205000

144750
0.35

0.15

0.15

144750
100500

0.70

125000

235000
-40000

150000

X
0.30

X

0.50
112500
0.50

X

0

-15000

250000

-25000

Resposta: Mantém-se a
decisão
óptima
de
Concorrer a A e B, pelo que
o valor da informação
adicional
é
0,
não
justificando, assim, o custo
9
de 2500€.

Teoria da Decisão


c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da
utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o
resultado obtido na alínea a).


Dados do problema

Função de Utilidade
U(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros
U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros

Teoria da Decisão



c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da
utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o
resultado obtido na alínea a).
1,8 (U(95000))

Árvore de decisão: Passos 2,3 e 4
Resultados
Probabilidades

0.0625

6.2

6.2 (U(205000))

-0.7

X

max(1.8, 6.2)
0.1875

( 0.0625*6.2+0.1875*3+
+0.1875*7.4+0.5625*(-5.4))

0.1875

0.5625

-0.25
max(-0.7, -0.95,-0.25,-2)

X

-0.95

0.25

0.75

3

(U(125000))

7.4 (U(235000))
-5.4 (U(-40000))

4

(U(150000))

-2.6 (U(-15000))

V.E.=( 0.25*4+0.75*(-2.6))

0.25
-0.25
0.75
V.E.=( 0.25*8+0.75*(-3))

X

-2 (U(0))

8

(U(250000))

-3

(U(-25000))

Resposta: Concorrer só a B.
(Prejuízos
superiores
a
25000€ mais penalizados
pela função de utilidade).
11

Teoria da Decisão
Utilidade e Decisões sequenciais
Árvores de Decisão


Exercício 10 – Enunciado

Marcelino França acaba de receber em herança de um avô excêntrico: uma casa (no valor de 100 000 €)
e 100 000 € em dinheiro com a condição de, ao fim de 2 anos, doar essa quantia à Fundação Avelar
Esteves. Se, ao fim dos 2 anos, o Marcelino possuir menos de 100 000 € em dinheiro será obrigado a
vender a casa para cumprir o testamento.
O Marcelino está a pensar investir os 100 000 € que recebeu em dinheiro, estando, no entanto, indeciso
entre os dois investimentos seguintes.
I - Investir os 100 000 € em acções que só podem ser vendidas ao fim de dois anos. O valor final das
acções é função da sua taxa de valorização anual, pensando-se que o valor dessa taxa no 2º ano é
independente do valor da taxa no 1º ano e que esta pode tomar em qualquer dos anos, os valores:
Taxa de valorização anual
(%)

Probabilidade

30

0.3

20

0.6

-10

0.1

II - Investir os 100 000 € num depósito bancário com prazo de dois anos, com um juro fixo de 10%.
Ao fim de um ano, os juros podem ser investidos num depósito bancário de um ano com um juro
também de 10% ou investidos, por um ano, em acções cujas taxas de valorização se pensa serem as
12
(Continua)
indicadas acima.

Teoria da Decisão
Exercício 10 – Enunciado (Continuação)



a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu
capital ao fim de dois anos.
b) Admita agora que o Marcelino França atribuiu um grande valor sentimental à casa que o avô lhe
deixou e que portanto considera catastróficos os resultados de investimentos que obriguem à venda da
casa. Por outro lado, o Marcelino associa a resultados de investimentos que não acarretem a venda da
casa um valor proporcional ao seu excesso em relação a 100 000 €.
b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino
França.
b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França?
Qual o critério de decisão que utilizou para fazer a sua recomendação ?
b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?

13

Teoria da Decisão



Dados do problema

14

Teoria da Decisão

Exercício 10 - Resolução

a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.



Ano 1

Ano 2

Legenda
- Nó de decisão
- Nó de acaso
- Nó terminal

TAB=10%

TAB=10%

15

Teoria da Decisão





169000

(100000×(1+0.3) ×(1+0.3))

156000

(100000×(1+0.3) ×(1+0.2))

0.1

117000

(100000×(1+0.3) ×(1-01))

0.3

156000

(100000×(1+0.2) ×(1+0.3))

144000

(100000×(1+0.2) ×(1+0.2))

108000

(100000×(1+0.2) ×(1-0.1))

117000

(100000×(1-0.1) ×(1+0.3))

108000

(100000×(1-0.1) ×(1+0.2))

0.3

Resultados
Probabilidades

156000
0.3

144000 0.6 144000

0.6

0.6
0.1

0.1

0.3

108000
144000

0.6
0.1

0.3

122000

0.6
0.1

81000 (100000×(1-0.1) ×(1-0.1))
123000

(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.3))

122000

(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.2))

119000 (100000×(1+0.1) +10000×(1-0.1))

122000
Depósito bancário

121000 (100000×(1+0.1) ×(1+0.1))

16

Teoria da Decisão





0.3

Resultados
Probabilidades

156000

0.6

117000

0.3

156000

0.3

( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)

144000 0.6 144000

0.6
0.1

0.1

( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)

0.3

108000
144000

( 0.3*117000+0.6*108000+0.1*81000)

0.6
0.1

0.3

X
122000

0.6
0.1

( 0.3*123000+0.6*122000+0.1*119000)

156000

0.1

( 0.3*169000+0.6*156000+0.1*117000)

max(144000, 122000)

169000

144000
108000
117000
108000

X

Decisão alternativa
não optimal

81000
123000
122000
119000

122000
Depósito bancário

max(122000, 121000)

121000

17

Teoria da Decisão




Resposta: A Estratégia recomendada é investir em accções no 1º e 2º anos com um
rendimento esperado de 144000 €.

Teoria da Decisão



b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino França.

-∞

19

Teoria da Decisão


b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou
para fazer a sua recomendação ?
69000 (U(169000)=169 000-100 000)
0.3


Árvore de decisão: Passo 2 e 4
Resultados
Probabilidades

56000

0.6
0.1

( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*(-∞)

-∞
∞

0.6

44000

17000 (U(117000)=117 000-100 000)

0.3

0.3

( 0.3*69000+0.6*56000+0.1*17000)

56000 (U(156000)=156 000-100 000)

0.6
0.1

0.1

X

( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*8000)

0.3

-∞
∞
max(-∞, 22000)

22000

0.6
0.1

( 0.3*17000+0.6*8000+0.1*(-∞))

0.3

22000

0.6
0.1

( 0.3*23000+0.6*22000+0.1*19000)

56000 (U(156000)=156 000-100 000)

22000
Max(22000, 21000)

44000 (U(144000)=144 000-100 000)
8000 (U(108 000)=108 000-100 000)
17000 (U(117 000)=117 000-100 000)
8000 (U(108 000)=108 000-100 000)
-∞ (U(81 000)=-∞)
23000 (U(123 000)=123 000-100 000)
22000 (U(122 000)=122 000-100 000)
19000 (U(119 000)=119 000-100 000)

X
21000 (U(121 000)=121 000-100 000)

20

Teoria da Decisão



b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou
para fazer a sua recomendação ?

Resposta: Depósito bancário no 1º e 2º anos com investimento dos juros bancários do 1º
ano em accções no 2º ano, com um rendimento líquido esperado de 22000 €.

b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?

Resposta: A função utilidade definida em b1), e utilizada em b2), molda-se, na medida do
possível, ao perfil do decisor (Marcelino), para o qual a perda da casa é completamente
inaceitável (ou totalmente avesso ao risco de perder a casa).

21

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