1. CONTOH SOAL DAN
PEMBAHASAN SUBGRUP
Posted on Maret 27, 2011
1. Tentukan subgrup dari Z6 dan gambar diagram latticenya!
penyelesaiannya:
Pada Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Ambil sembarang H = {0, 2, 4} kelipatan dari dua dan {0, 3}.
Maka operasinya,
H = {0, 2, 4} H = {0, 3}
0+2=2 0+3=0
2+0=2 3+0=3
0+4=4 3+3=0
4+0=4
4+2=0
2+2=4
4+4=2
Dari hasil operasi Z6 yang merupakan subgrup non trivial sejati adalah {0, 2, 4} dan {0, 3}.
diagram lattice dari Z6,

2. Z6 merupakan puncak atau grup terbesar dimana
subgrupnya adalah {0, 2, 4} dan {0, 3} dengan identitas {0}.
2. (G, o) suatu grup, a € G dan H = {an / n € Z}. Tunjukkan bahwa H subgrup dari G.
Penyelesaiannya:
Ambil p, q € H akan ditunjukkan bahwa poq-1 Î H.
p € H berarti p = an, n € Z, demikian pula q € H berarti q = am, m € Z dan q-1 = (am)-1 = a-m, -m
€ Z. sehingga poq-1 = an o a-m = an-m, (n-m) € Z. jadi, poq-1 € Z. Terbukti H subgrup G.
3. Misalkan A dan B masing-masing subgrup dari G. Apakah A Ç B juga merupakan subgrup
dari G?
Jawab:
Ambil sebarang p, q € A Ç B. p, q € A Maka dan p, q € B .
Karena H subgrup, maka pq € A dan karena B subgrup, maka pq € B.
Akibatnya, p, q € A Ç B.
Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
Selanjutnya karena p € A dan A subgrup maka p-1 € A. karena dan K subgrup maka p € B.
Dengan demikian, p-1 € A Ç B. Jadi sifat invers dipenuhi.
Kesimpulannya, A Ç B adalah subgrup dari G.
contohsoalsubgrup siklik
Posted on March 22, 2011 by itha89
Contoh 1:
Tentukan subgrup dari Z8 dan Z12 atas penjumlahan kemudian gambarlah diagram latticenya !
JAWAB:

3. 1. Z8={0,1,2,3,4,5,6,7,}
Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21=2
22=4
23=6
24=0
25=2
Apabila 2 selanjutnya dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang.
Sehingga <2> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z8.
Selanjutnya ambil a=4, dimana <4>={0,4}. Dengan cara serupa kita dapatkan:
41=4
42=0
43=4
44=0
45=4
Apabila 4 dipangkatkan sampai n, dimana n є Z maka hasilnya akan berulang pada order dari
<4> sehingga <4> tertutup terhadap operasi di Z8 akibatnya <4> merupakan subgrup dari Z8.
Ternyata subgrup dari Z8 adalah <2> dan <4> dimana <2>={0,2,4,6} dan <4>={0,4}. <2>
dan <4> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z8.
Sehingga diagram latticenya adalah:

4. 2. Z12={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Ambil a= 2 dimana <2>={0,2,4,6,8,10}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21=2 24=8
22=4 25=10
23=6 26=0
Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap berada pada <2> sehingga
tertutup terhadap operasi pada Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z12.
Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3>={0,3,6,9} sehingga diperoleh:
31=3 35=3
32=6 36=6
33=9 37=9
34=0 38=0
Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.
Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}. Berdasarkan teorema 4.2 maka:
41=4 44=4
42=8 45=8
43=0 46=0

5. Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana n є Z hasilnya akan sama dengan order
dari <4> yaitu <4>={0,4,8} sehingga tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <4>
merupakan subgrup dari Z12.
Ambil a=6 dimana <6>={0,6} dengan cara yang sama diperoleh:
61=6 63=6
62=0 64=0
Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6>
tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6> merupakan subgrup dari Z12.
Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z12.
<2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup sejati nontrivial dari Z12 dan <0> merupakan
subgrup trivial dari Z12.
Diagram lattice dari Z12 adalah sebagai berikut:
Contoh 2:
Pada contoh sebelumnya, yaitu pada Z8<2> dan <4> adalah subgrup siklik dari Z8.
Contoh 3:
Carilah pembangun dari Z5 !!!
Jawab:
Order dari Z6 adalah Z6={0,1,2,3,4,5}. Misal kita ambil a=1 maka:
11, 12, 13, 14, 15, 16,….,={1,2,3,4,5,0,….,}= Z6.

6. Sehingga <1> merupakan pembangun dari Z6.
Selanjutnya dicari pembangun yang lain dari Z6. Kita ambil a=2
21, 22, 23, 24, 25, 26,….,={2,4,0,2,4,0,….}≠ Z6.
Sehingga 2 bukan pembangun dari Z6.
untuk a=3 hasilnya:
31, 32, 33, 34, 35, 36,….,={3,0,3,0,3,0,….}≠ Z6
Sehingga 3 bukan pembangun dari Z6.
Kemudian untuk a=4 didapatkan:
41, 42, 43, 44, 45, 46,….,={4,2,0,4,2,0,….}≠ Z6
Sehingga 4 bukan pembangun dari Z6.
Selanjutnya untuk a=5 diperoleh:
51, 52, 53, 54, 55, 56,….,={5,4,3,2,1,0,….,}= Z6.
Sehingga <5> merupakan pembangun dari Z6.
Kesimpulan :
Berdasarkan hasil di atas dapat kita simpulkan bahwa pembangun dari Z6 adalah 1 dan 5
karena <1>=<5>= Z6. Dari definisi di atas ternyata Z6 merupakan subgrup siklik dengan
pembangun 1 dan 5.
CONTOH SOAL SUBGRUP
24032011
1. SebuahgrupH memilikiduabuahsubgrup, yaituGdanJ. Tunjukkanirisankeduasubgrup (Gdan
J )tersebutmembentuksubgrup!
2. Perhatikanbahwa
dan
kemudian berdasarkan teorema 3.2 persamaan
pasti mempunyai solusi tunggal, yakni identitas H. Apakah persamaan
tersebut bisa dipandang sebagai persamaan di G juga?
Jawab

7. 1. Iya, karena jika G dan J subgrup dari H, maka identitas dari H
terdapat juga di G dan
J, jadii irisan keduanya paling mungkin membentuk subgrup dengan anggota {e}(subgrup
trivial).
2. Persamaantersebutbisadipandangsebagaipersamaan di G juga,
tapikitabisalihatbahwapersamaaninijugamemilikisolusiidentitas di G.
Argumenserupabisadiaplikasikan di persamaan
dilihat sebagai persamaan di H dan di G, dimana balikan a-1 dari a di G juga
merupakan balikan a di H.
Subgrup; Soaldan Pembahasan
Posted by ratnarianthi on March 24, 2011
1. Misalkan H dan K masing-masing subgrup dari G. Apakah juga merupakan subgrup
dari G?
Jawab:
Ambil sebarang . Maka dan .
Karena H subgrup, maka dan karena K subgrup, maka .
Akibatnya, .
Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
Selanjutnya karena dan H subgrup maka . karena dan K subgrup maka
. Dengan demikian, . Jadi sifat invers dipenuhi.
Kesimpulannya, adalah subgrup dari G.
2. Z merupakan himpunan bilangan bulat dan (Z, +) merupakan grup. H = 3Z adalah
himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukkan bahwa H ≤ B.
Jawab:
Kita ketahui bahwa dan . Untuk membuktikan H subgrup dari Z,
Ambil akan dibuktikan bahwa (a+b) ϵ H dan .
berarti a = 3k dengan k ϵ Z. b ϵ H berarti b = 3h dengan h ϵ Z. Oleh karena itu,

8. a + b = 3k +3h = 3(k + h) dengan (k + h) ϵ Z, karena (Z, +) suatu grup . sehingga (a + b) ϵ
H.
Jadi, . Terbukti bahwa H subgrup dari Z.